Úlohy pre samostatná práca
Nájdite všeobecné riešenia nasledujúcich homogénnych systémov diferenciálne rovnice jednou z uvažovaných metód a skontrolujte ich akoukoľvek inou metódou:
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
Lineárny systém diferenciálnych rovníc má tvar:
(9.1)
Volajú sa systémy (9.1) a (9.2). heterogénne , ak je aspoň jedna z funkcií f i(X) nie je identicky nula If pre všetky hodnoty nezávislej premennej X všetky funkcie f i(X) sa rovnajú nule, potom má napríklad systém (8.14) tvar:
a volá sa homogénne lineárny systém.
Ak všetky funkcie a ij(X) A f i(X) sú na segmente súvislé a£ X£ b, potom má systém napríklad (9.2). jediné rozhodnutie:
(9.4)
definované v celom segmente a£ X£ b a uspokojujúce počiatočné podmienky:
a počiatočné údaje 
možno zvoliť úplne ľubovoľne, a X Z intervalu treba vybrať 0 a£ X£ b.
Nehomogénna lineárna sústava rovníc s konštantné koeficienty má tvar:
(9. 6)
Padám f i (X) = 0, potom dostaneme homogénny systém s konštantnými koeficientmi
Ak 
zložky nejakého vektora,
A 
zložky derivácie vektora a koeficienty a ij sú prvky matice 
, potom napríklad systém rovníc (9.8) môže byť reprezentovaný ako:
Uvažujme o metódach integrácie lineárnych systémov s konštantnými koeficientmi.
1. Systém diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi možno vyriešiť napr. Eulerova metóda . Podstatou tejto metódy je, že riešenie sústavy (9.9) sa hľadá vo forme
, (9.10)
Kde λk - vlastné hodnoty koeficientové matice A, ktorý možno zistiť z rovnice 
:
(9.11)
(E– matica identity), ktorá je tzv charakteristická rovnica; - komponenty vlastného vektora P (k) zodpovedajúci vlastnej hodnote λk.
Ak do rovnice (9.9) dosadíme výraz (9.10) a po redukcii faktorom dostaneme homogénny systém lineárnych algebraické rovnice z ktorého môžeme nájsť vektor P (k) :
,
alebo v rozšírenej forme
(9.12)
teda spoločné rozhodnutie systém (9.9) bude vyjadrený vzorcom:
. (9.13)
Z tohto vzorca je zrejmé, že riešenie pôvodného systému závisí od vlastných hodnôt matice koeficientov λk alebo, čo je v podstate to isté, z tvaru koreňov charakteristickej rovnice 
.
1. prípad. Všetky korene λk sú skutočné a rôzne, potom všeobecné riešenie sústavy určíme vzorcom (9.13). Napíšme to v rozšírenej forme:
(9.14)
Príklad 9.1.6. Nájdite všeobecné riešenie systému
▲ Vytvorme maticu koeficientov 
, a potom budeme skladať charakteristická rovnica (31):
Korene tejto charakteristickej rovnice sú skutočné a odlišné: 
.
Nájdite vlastné vektory zodpovedajúce ich vlastným hodnotám (korene charakteristickej rovnice).
.
Hodnotu je možné brať ľubovoľne, napríklad nech =1, potom , teda vektor R (1) sa rovná: R (1) =.
Pre tento koreň tiež skladáme systém (9.12)
,
preto, ak =1, potom . Preto vektor R (2) =.
Všeobecné riešenie pôvodného systému teda možno napísať takto:
Zložky všeobecného riešenia majú preto podobu:
▲
2. prípad. Korene λk rôzne, ale medzi nimi sú aj zložité. Ak je koreň charakteristickej rovnice, potom bude aj jej koreňom, pretože všetky koeficienty pôvodného systému a ij sú platné.
Nájdeme komponenty všeobecného riešenia systému (8.29) zodpovedajúce koreňu presne rovnakým spôsobom ako v prípade 1. Potom oddelíme komplexné a reálne časti od funkcií y k, tvoriace toto riešenie, dostaneme dva platné riešenia rovnaký systém (8.29). Konjugovaný koreň nedáva nové riešenia (ak použijeme tento koreň, získame riešenia, ktoré sú lineárne závislé od už získaných). Toto sa robí pre každý komplexný koreň.
Príklad 9.2. Nájdite všeobecné riešenie systému
Korene tejto charakteristickej rovnice sú komplexne konjugované: .
nájdeme vlastný vektor, zodpovedajúcej vlastnej hodnote (koreň charakteristickej rovnice) rovné: .
Zostavme si sústavu algebraických rovníc (9.12)
Ak teda vezmeme =1, zistíme, t.j. vlastný vektor R (1) sa rovná: R (1) =.
teda základný systém bude vyzerať takto:
V týchto riešeniach oddeľujeme skutočnú a imaginárnu časť (neuvažujeme koreň, pretože riešenia zodpovedajúce tomuto koreňu sú lineárne závislé od koreňa), výsledkom je:
Všeobecné riešenie teda nakoniec vyzerá takto:
3. prípad. Medzi koreňmi charakteristickej rovnice je viacero koreňov.
Ak koreň λk, má mnohorakosť T, potom to zodpovedá Pčiastkové riešenia systému (9.9). Tieto riešenia získame vo forme:
Kde q 1(X),….,qn(X) – polynómy v X s neurčitými koeficientmi, pričom každý stupeň nie je vyšší ako ( T-1):
Preto budú riešenia vyzerať takto:
(9.15)
Dosadenie výrazov (9.15) do systému (9.9) a porovnanie koeficientov pre rovnaké mocniny nezávisle premennej X v každej rovnici získame sústavu algebraických rovníc na určenie neznámych koeficientov polynómov q 1(X),….,qn(X). Počet získaných algebraických rovníc bude menšie číslo neznáme koeficienty teda T z týchto koeficientov zostávajú ľubovoľné a zvyšok sa vyjadruje prostredníctvom nich.
Ak λ 1 je komplexné číslo, potom budú aj riešenia získané uvažovanou metódou komplexné funkcie od X. Oddelením skutočnej a imaginárnej časti v každom z riešení získame 2 T rozhodnutia. Tieto roztoky zodpovedajú páru konjugátu T– násobky zložité korene A .
Príklad 9.3. Nájdite všeobecné riešenie systému
▲ Vytvorme maticu koeficientov a potom vytvorte charakteristickú rovnicu (9.11):
Korene tejto charakteristickej rovnice sú skutočné a rôzne: . Pomer násobnosti T rovná sa: T= 2. Preto v tomto prípade polynómy p 1 (t) A p 2 (t) má tvar:
Riešenie teda zodpovedá dvojitému odmocneniu
Rozlišovanie X A pri, dostaneme
hodnoty X, pri, nahradiť ho do pôvodného systému a po znížení o e 4 t bude mať
Vyrovnanie koeficientov pri t A voľných členov, dostaneme nasledujúce systémy
Z toho vyplýva
Všeobecné riešenie pôvodného systému teda bude mať tvar:
▲
2. Systém formulára (9.8): ,
sa dá vyriešiť metóda neisté koeficienty . Algoritmus pre túto metódu je nasledujúci:
1. Zostavte charakteristickú rovnicu systému (9.8):
a nájsť jeho korene.
2. V závislosti od typu koreňov zapíšte riešenie sústavy a pre každé riešenie y i má svoje ľubovoľné konštanty:
3. Vypočítajú sa deriváty 
a spolu s nájdenými funkciami sa dosadia do rovníc pôvodného systému.
4. Koeficienty sa vyrovnajú identické funkcie na ľavej a pravej strane rovníc.
5. Z výsledných systémov možno všetky koeficienty vyjadriť jedným, napríklad koeficienty koeficientom C i.
Príklad 9.4. Nájdite všeobecné riešenie systému
Všeobecné riešenie nehomogénnej sústavy je súčtom všeobecného riešenia homogénnej sústavy a nejakého partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy.
Ak chcete nájsť všeobecné riešenie nehomogénneho systému, môžete použiť Lagrangeovu metódu variácie ľubovoľných konštánt.
Uvažujme lineárny homogénny systém obyčajných diferenciálnych rovníc tvaru
ktorý v vektorová forma napísané vo formulári
Matrix Φ , ktorých stĺpcov je n lineárne nezávislých riešení Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) homogénneho lineárny systém Y" = A(x)Y sa nazýva základná matica riešenia systému:
Fundamentálna matica riešení homogénnej lineárnej sústavy Y" = A(x)Y vyhovuje maticová rovnicaΦ" = A(x)Φ.
Pripomeňme, že Wronského determinant lineárne nezávislých riešení Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) je nenulový podľa .
Uvažujme lineárny systém diferenciálnych rovníc n-tého rádu:
Lineárny systém je Ljapunov stabilný pre t ≥ t0, ak každé z jeho riešení x = φ(t) je Ljapunovovo stabilné pre t ≥ t0.
Lineárny systém je asymptoticky Ljapunov stabilný ako t → ∞, ak každé jeho riešenie x = φ(t) je Ljapunovovo stabilné ako t → ∞.
Riešenia lineárneho systému sú buď všetky stabilné súčasne, alebo všetky nestabilné. Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé.
Veta o stabilite riešení lineárnej sústavy diferenciálnych rovníc. Nech je v nehomogénnej lineárnej sústave x" = A(t)x + b(t) matica A(t) a vektorová funkcia b(t) spojité na intervale )
