Základné Nasledujúce maticové transformácie sa nazývajú:
1) permutácia akýchkoľvek dvoch riadkov (alebo stĺpcov),
2) vynásobením riadka (alebo stĺpca) nenulovým číslom,
3) pridanie do jedného riadka (alebo stĺpca) ďalšieho riadka (alebo stĺpca) vynásobeného nejakým číslom.
Dve matice sa nazývajú ekvivalent, ak je jeden z nich získaný od druhého s konečná množina elementárne transformácie.
Ekvivalentné matice nie sú vo všeobecnosti rovnaké, ale ich poradie je rovnaké. Ak sú matice A a B ekvivalentné, potom sa to zapíše ako: A ~ B.
Kanonický Matica je matica, ktorá má niekoľko 1 v rade na začiatku hlavnej uhlopriečky (ktorej počet môže byť nula) a všetky ostatné prvky sa rovnajú nule, napr.
S pomocou elementárne transformácie riadkov a stĺpcov akúkoľvek maticu je možné zredukovať na kanonickú. Hodnosť kanonickej matice sa rovná číslu jednotky na svojej hlavnej uhlopriečke.
Príklad 2 Nájdite hodnosť matice
A= 
a priviesť ho do kánonickej podoby.
Riešenie. Odčítajte prvý riadok od druhého a usporiadajte tieto riadky:
.
Teraz od druhého a tretieho riadku odpočítajte prvý vynásobený 2 a 5:
;
odpočítať prvý od tretieho riadku; dostaneme maticu
B = 
,
ktorá je ekvivalentná matici A, keďže sa z nej získava pomocou konečnej množiny elementárnych transformácií. Je zrejmé, že poradie matice B je 2, a teda r(A)=2. Maticu B možno ľahko zredukovať na kanonickú. Odčítaním prvého stĺpca vynásobeného vhodnými číslami od všetkých nasledujúcich vynulujeme všetky prvky prvého riadku okrem prvého a prvky zostávajúcich riadkov sa nemenia. Potom odčítaním druhého stĺpca, vynásobeného príslušnými číslami, od všetkých nasledujúcich, vynulujeme všetky prvky druhého riadku, okrem druhého, a dostaneme kanonická matica:
.
Kroneckerova - Capelliho veta- kritérium kompatibility lineárneho systému algebraické rovnice:
Komu lineárny systém je konzistentné, je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť rozšírenej matice tohto systému rovnala hodnosti jeho hlavnej matice.
Dôkaz (podmienky kompatibility systému)
Potreba
Nechaj systém kĺb. Potom existujú čísla sú, čo . Preto je stĺpec lineárnou kombináciou stĺpcov matice. Zo skutočnosti, že poradie matice sa nezmení, ak sa vymaže systém jej riadkov (stĺpcov), alebo sa priradí riadok (stĺpec), ktorý je lineárnou kombináciou iných riadkov (stĺpcov), vyplýva, že .
Primeranosť
Nechajte . Vezmime si v matici nejaké základné drobné. Keďže potom bude aj základom minor matice. Potom podľa základnej vety maloletý, posledný stĺpec matice bude lineárnou kombináciou základných stĺpcov, teda stĺpcov matice . Preto stĺpec voľných členov systém je lineárna kombinácia stĺpcov matice.
Dôsledky
Počet hlavných premenných systémov rovná hodnosti systému.
Spoločný systém bude určené (jeho riešenie je jedinečné) ak sa hodnosť systému rovná počtu všetkých jeho premenných.
Homogénna sústava rovníc
Veta15 . 2 Homogénna sústava rovníc
|
|
vždy spolupracuje.
Dôkaz. Pre tento systém je riešením množina čísel , , ,.
V tejto časti použijeme maticový zápis systémy: .
Veta15 . 3 Súčet riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc je riešením tejto sústavy. Riešenie vynásobené číslom je tiež riešením.
Dôkaz. Nechať a slúžiť ako riešenia systému. Potom a . Nechajte . Potom
Od , potom je riešenie.
nechaj -- ľubovoľné číslo, . Potom
Od , potom je riešenie.
Dôsledok15 . 1 Ak homogénny systém lineárne rovnice má nenulové riešenie, potom má nekonečne veľa rôznych riešení.
Skutočne, vynásobením nenulového riešenia rôznymi číslami dostaneme rôzne riešenia.
Definícia15
.
5
Povieme, že riešenia 
forma systémov základný rozhodovací systém ak stĺpce 
tvoria lineárne nezávislý systém a akékoľvek riešenie systému je lineárnou kombináciou týchto stĺpcov.
V tejto téme budeme potrebovať také pojmy ako maticový moll a hraničný moll. V téme "Algebraické doplňovačky a vedľajšie. Druhy vedľajších a algebraických doplňovačiek" je podrobný výklad týchto pojmov.
$$ \left|\begin(pole)(cc) -1 & 2 \\ -3 & 0 \end(pole) \right|=-1\cdot 0-2\cdot (-3)=6. $$
Existuje teda druhoradý druh, ktorý sa nerovná nule, čo znamená, že $\rang A≥ 2$. Uvažujme maloletých tretieho rádu okolo daného maloletého druhého poriadku. Ako zostaviť prílohu maloletého? K tomu treba pridať ešte jeden riadok a ešte jeden stĺpec k množine riadkov a stĺpcov, v ktorých priesečníku ležia prvky druhoradého molla. Pripomíname, že nami zapísané prvky 2. rádu sa nachádzajú na priesečníku riadkov č. 1, č. 2 a stĺpcov č. 1, č. 2. Pridajme riadok č. 3 k riadkom a stĺpec č. 3 k stĺpcom. Dostaneme moll tretieho rádu, ktorého prvky (na obrázku sú znázornené modrou farbou) ležia v priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 1, č. , č. 3.
Nájdite hodnotu tohto minoru pomocou vzorca č. 2 z témy o:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) -1 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & 5 \\ -5 & 4 & 7 \end(pole) \right|=0. $$
Fringing minor nula. Čo to hovorí? To naznačuje, že musíme pokračovať v hľadaní hraničiacich maloletých. Buď sú všetky rovné nule (a potom sa poradie bude rovnať 2), alebo je medzi nimi aspoň jeden, ktorý sa od nuly líši.
Prvky druhej ohraničujúcej minory ležia v priesečníku radov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 1, č. 2, č. 4. Na obrázku vyššie sú znázornené prvky tejto minority v zelenej farbe. Vypočítajme túto minoritu pomocou rovnakého vzorca č. 2 z témy o výpočte determinantov druhého a tretieho rádu:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) -1 & 2 & 3 \\ -3 & 0 & 4 \\ -5 & 4 & 10 \end(pole) \right|=0. $$
A tento hraničný moll sa rovná nule. Neexistujú žiadne ďalšie hraničiace maloleté osoby. Preto sa všetky neplnoleté osoby na hraniciach rovnajú nule. Poradie posledného zloženého nenulového molla je 2. Záver: poradie je 2, t.j. $\poradie A=2$.
Odpoveď: $\rank A=2$.
Príklad č. 2
Nájdite poradie matice $A=\left(\begin(pole)(ccccc) 1 & 2 & 0 & 4 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -1 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 5 & 7\\ -1 & -2 & 2 & 9 & 11 \end(pole) \vpravo)$ okrajovou mollovou metódou.
Opäť, ako v predchádzajúcom príklade, začneme riešenie výberom vedľajšej kategórie druhého poriadku, ktorá sa nerovná nule. Napríklad na priesečníku riadkov č. 1, č. 2 a stĺpcov č. 1, č. 2 sú prvky vedľajšej $\left|\begin(array)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(pole) \right|$, ktorý sa dá ľahko vypočítať pomocou vzorca č. 1 z témy o výpočte determinantov druhého a tretieho rádu:
$$ \left|\begin(pole)(cc) 1 & 2 \\ 3 & 6 \end(pole) \right|=1\cdot 6-2\cdot 3=0. $$
Tento druhoradý neplnoletý sa rovná nule, t.j. výber je nesprávny. Zoberme si ešte jednu menšiu z druhého rádu. Napríklad ten, ktorého prvky sa nachádzajú na priesečníku riadkov č. 1, č. 2 a stĺpcov č. 2, č. 3:
$$ \left|\begin(pole)(cc) 2 & 0 \\ 6 & -2 \end(pole) \right|=-4. $$
Existuje teda nenulový neplnoletý druh druhého poriadku, takže $\rang A≥ 2$. Označme tohto neplnoletého ako $M_2$ a začneme ho ohraničovať s maloletými tretieho rádu. Pridajme napríklad riadok č. 3 a stĺpec č. 1 k riadkom a stĺpcom, v ktorých sa nachádzajú prvky $M_2$. Tie. nájdime moll tretieho rádu, ktorého prvky sú na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 1, č. 2, č. 3. Použijeme na to vzorec č. 2 z témy o výpočte determinantov druhého a tretieho rádu. Podrobné výpočty Nedám, zapíšeme len odpoveď:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) 1 & 2 & 0 \\ 3 & 6 & -2 \\ -2 & -4 & 2 \end(pole) \right|=0. $$
Uvažujme maloletého tretieho rádu, ktorého prvky ležia na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 2, č. 3, č. 4. Táto maloletá tiež obklopuje $M_2$:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) 2 & 0 & 4 \\ 6 & -2 & -1 \\ -4 & 2 & 5 \end(pole) \right|=0. $$
A opäť, minorita tretieho rádu okolo $M_2$ sa rovná nule. Takže prejdeme k ďalšiemu maloletému tretiemu rádu. Zoberme si moll tretieho rádu, ktorého prvky ležia na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 2, č. 3, č. 5. Táto maloletá tiež obklopuje $M_2$:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) 2 & 0 & 5 \\ 6 & -2 & -3 \\ -4 & 2 & 7 \end(pole) \right|=4. $$
Takže medzi maloletými tretieho rádu hraničiacimi s $M_2$ je nenulový neplnoletý, čo znamená $\rang A≥ 3$. Označme túto nenulovú vedľajšiu ako $M_3$. Prvky $M_3$ minor ležia v priesečníku riadkov #1, #2, #3 a stĺpcov #2, #3, #5. Obklopme $M_3$ moll s maloletými štvrtého rádu. Na začiatok si zoberme moll štvrtého rádu, ktorého prvky ležia na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3, č. 4 a stĺpcov č. 1, č. 2, č. , č. 5. Tento neplnoletý obklopuje $M_3$. Jeho hodnotu ľahko zistíte, ak použijete napríklad rozšírenie podľa riadku alebo stĺpca:
$$ \left|\begin(pole)(cccc) 1 & 2 & 0 & 5\\ 3 & 6 & -2 & -3\\ -2 & -4 & 2 & 7\\ -1 & -2 & 2 a 11 \end(pole) \vpravo|=0. $$
Podobne, ak vezmeme do úvahy minor štvrtého rádu, ktorého prvky sú umiestnené na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3, č. 4 a stĺpcov č. 2, č. 3, č. 4, č. , dostaneme:
$$ \left|\begin(pole)(cccc) 2 & 0 & 4 & 5\\ 6 & -2 & -1 & -3\\ -4 & 2 & 5 & 7\\ -2 & 2 & 9 & 11 \koniec(pole) \vpravo|=0,$$
Pre neplnoletých $M_3$ neexistujú žiadne iné hraničiace maloletých. Všetci neplnoletí štvrtého rádu okolo $M_3$ sa rovnajú nule. Posledná nenulová vedľajšia, t.j. $M_3$, bol tretieho rádu. Záver: poradie je 3, t.j. $\poradie A=3$.
Odpoveď: $\rank A=3$.
Príklad č. 3
Nájdite poradie matice $A=\left(\begin(pole)(ccccc) -1 & 3 & 2 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 5 & 0 & -3\\ 1 & -5 & 3 & 7 & 6 \end(pole) \right)$ metódou ohraničenia maloletých.
Opäť začíname riešenie výberom druhoradého vedľajšieho, ktorý sa nerovná nule. Napríklad na priesečníku riadkov #1, #2 a stĺpcov #1, #2 sú prvky menšieho $\left|\begin(array)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end (pole) \right| $, ktoré vypočítame pomocou vzorca č. 1 z témy o výpočte determinantov druhého a tretieho rádu:
$$ \left|\begin(pole)(cc) -1 & 3 \\ 0 & -2 \end(pole) \right|=2. $$
Tento neplnoletý (označme ho $M_2$) sa nerovná nule, preto ho ohraničíme neplnoletými osobami tretieho rádu. Pridajme napríklad riadok č. 3 a stĺpec č. 3 k riadkom a stĺpcom, v ktorých sa nachádzajú prvky $M_2$. Tie. nachádzame moll tretieho rádu, ktorého prvky sa nachádzajú na priesečníku radov č.1, č.2, č.3 a stĺpcov č.1, č.2, č.3. Použijeme na to vzorec č. 2 z témy o výpočte determinantov druhého a tretieho rádu:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) -1 & 3 & 2 \\ 0 & -2 & 5 \\ 1 & -5 & 3 \end(pole) \right|=0. $$
Tento neplnoletý sa rovná nule, takže musíte prejsť na ďalší hraničný neplnoletý. Buď sa všetci neplnoletí tretieho rádu okolo $M_2$ rovnajú nule, alebo je medzi nimi stále aspoň jeden, ktorý sa od nuly líši.
Uvažujme maloletého tretieho rádu, ktorého prvky ležia na priesečníku riadkov č. 1, č. 2, č. 3 a stĺpcov č. 1, č. 2, č. 4. Táto maloletá tiež obklopuje $M_2$:
$$ \left|\begin(pole)(ccc) -1 & 3 & 4 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & -5 & 7 \end(pole) \right|=22. $$
Takže medzi neplnoletými osobami tretieho rádu, hraničiacimi s $M_2$, je aspoň jeden, ktorý sa nerovná nule. Už nemôžeme tvoriť maloletých štvrtého rádu, pretože vyžadujú 4 riadky a v matici $A$ sú len 3 riadky. Keďže teda posledný nenulový maloletý bol tretieho rádu, poradie je 3, t.j. $\poradie A=3$.
Odpoveď: $\rank A=3$.
Dajme nejakú maticu:
.
Vyberte v tejto matici 
ľubovoľné čiary a 
ľubovoľné stĺpce 
. Potom determinant 
rád, zložený z maticových prvkov 
umiestnený na priesečníku vybraných riadkov a stĺpcov sa nazýva vedľajší 
matica -tého rádu 
.
Definícia 1.13. Hodnosť matice 
volal najväčší poriadok nenulová minorita tejto matice.
Na výpočet poradia matice je potrebné vziať do úvahy všetky jej neplnoleté osoby najmenšieho rádu a ak je aspoň jedna z nich nenulová, pristúpiť k zváženiu neplnoletých osôb najvyššieho rádu. Tento prístup k určovaniu poradia matice sa nazýva metóda ohraničenia (alebo metóda ohraničenia maloletých).
Úloha 1.4. Metódou ohraničenia maloletých určiť hodnosť matice 
.
.
Zvážte ohraničenie prvého poriadku, napr. 
. Potom prejdeme k úvahe o nejakom ohraničení druhého rádu.
Napríklad, 
.
Nakoniec analyzujme ohraničenie tretieho rádu.
.
Touto cestou, najvyššieho rádu nenulová vedľajšia je 2, takže 
.
Pri riešení úlohy 1.4 si možno všimnúť, že rad hraničiacich maloletých druhého rádu je nenulový. V tomto ohľade platí nasledujúca predstava.
Definícia 1.14. Základom minor matice je akýkoľvek nenulový minor, ktorého poradie sa rovná hodnote matice.
Veta 1.2.(Základná vedľajšia veta). Základné riadky (základné stĺpce) sú lineárne nezávislé.
Všimnite si, že riadky (stĺpce) matice sú lineárne závislé práve vtedy, ak aspoň jeden z nich môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia ostatných.
Veta 1.3. Počet lineárne nezávislých riadkov matice sa rovná počtu lineárne nezávislých stĺpcov matice a rovná sa hodnote matice.
Veta 1.4.(Nevyhnutná a postačujúca podmienka, aby sa determinant rovnal nule). V poradí pre determinant 
- poradie 
sa rovná nule, je potrebné a postačujúce, aby jej riadky (stĺpce) boli lineárne závislé.
Výpočet poradia matice na základe jej definície je príliš ťažkopádny. Toto sa stáva obzvlášť dôležitým pre matrice vysokého rádu. V tomto ohľade sa v praxi počíta poradie matice na základe aplikácie viet 10.2 - 10.4, ako aj použitia konceptov maticovej ekvivalencie a elementárnych transformácií.
Definícia 1.15. Dve matrice 
a 
sa nazývajú rovnocenné, ak sú ich hodnosti rovnaké, t.j. 
.
Ak matriky 
a 
sú ekvivalentné, potom pozn 
.
Veta 1.5. Hodnosť matice sa od elementárnych transformácií nemení.
Budeme volať elementárne transformácie matice 
niektorú z nasledujúcich akcií na matici:
Nahradenie riadkov stĺpcami a stĺpcov zodpovedajúcimi riadkami;
Permutácia riadkov matice;
Prečiarknutie čiary, ktorej všetky prvky sa rovnajú nule;
Násobenie ľubovoľného reťazca nenulovým číslom;
Pridanie zodpovedajúcich prvkov iného riadku k prvkom jedného riadku vynásobených rovnakým číslom 
.
Dôsledok vety 1.5. Ak matica 
získané z matrice 
s pomocou konečné číslo elementárne transformácie, potom matice 
a 
sú ekvivalentné.
Pri výpočte hodnosti matice by sa mala zredukovať na lichobežníkový tvar pomocou konečného počtu elementárnych transformácií.
Definícia 1.16. Lichobežník nazveme takú formu zobrazenia matice, keď v hraničnej moll vyššia moc nenulové, všetky prvky pod uhlopriečkou zmiznú. Napríklad:
.
Tu 
, prvky matrice 
obrátiť na nulu. Potom bude forma zobrazenia takejto matice lichobežníková.
Spravidla sa matice redukujú do lichobežníkového tvaru pomocou Gaussovho algoritmu. Myšlienkou Gaussovho algoritmu je, že vynásobením prvkov prvého riadku matice zodpovedajúcimi faktormi dosiahnu, že všetky prvky prvého stĺpca umiestnené pod prvkom 
, by sa zmenil na nulu. Potom vynásobením prvkov druhého stĺpca zodpovedajúcimi multiplikátormi dosiahneme, že všetky prvky druhého stĺpca umiestnené pod prvkom 
, by sa zmenil na nulu. Ďalej postupujte podobne.
Úloha 1.5. Určte poradie matice jej zmenšením na lichobežníkový tvar.
.
Pre pohodlie použitia Gaussovho algoritmu môžete zameniť prvý a tretí riadok.
.
Očividne tu 
. Aby sa však výsledok dostal do elegantnejšej podoby, možno pokračovať v ďalších premenách nad stĺpmi.
.
Definícia. Hodnosť matice je maximálny počet lineárne nezávislých riadkov považovaných za vektory.
Veta 1 o hodnosti matice. Hodnosť matice je maximálny rád nenulovej minority matice.
Pojem minor sme už rozoberali v lekcii o determinantoch a teraz ho zovšeobecníme. Zoberme si počet riadkov a počet stĺpcov v matici a toto "koľko" by malo byť menej ako číslo riadkov a stĺpcov matice a pre riadky a stĺpce musí byť toto „niečo“ rovnaké číslo. Potom na priesečníku koľko riadkov a koľko stĺpcov bude matica menšieho rádu ako naša pôvodná matica. Determinant tejto matice bude k-teho rádu menší, ak spomínané „niečo“ (počet riadkov a stĺpcov) označíme k.
Definícia. Menší ( r+1)-tý rád, vo vnútri ktorého leží vybraný minor r-tého rádu, sa pre daného maloletého nazýva hraničný.
Dve najčastejšie používané metódy nájdenie hodnosti matice. to spôsob zneužívania maloletých a metóda elementárnych transformácií(Gaussovou metódou).
Metóda ohraničenia maloletých používa nasledujúcu vetu.
Veta 2 o hodnosti matice. Ak je možné z prvkov matrice poskladať moll r rádu, ktorý sa nerovná nule, potom sa poradie matice rovná r.
Pri metóde elementárnych transformácií sa používa nasledujúca vlastnosť:
Ak sa elementárnymi transformáciami získa lichobežníková matica ekvivalentná pôvodnej, potom hodnosť tejto matice je počet riadkov v ňom okrem riadkov pozostávajúcich výlučne z núl.
Zisťovanie hodnosti matice metódou ohraničenia maloletých
Hraničný neplnoletý je vo vzťahu k danému maloletý vyššieho rádu, ak tento neplnoletý vyššieho rádu daného neplnoletého obsahuje.
Napríklad vzhľadom na maticu
Vezmime si maloletého
lemovaním budú také maloletí:
Algoritmus na nájdenie hodnosti maticeĎalšie.
1. Nájdeme neplnoleté osoby druhého rádu, ktoré sa nerovnajú nule. Ak sú všetci maloletí druhého poriadku nula, potom bude poradie matice rovnaké rovný jednej (r =1 ).
2. Ak existuje aspoň jeden neplnoletý druh druhého rádu, ktorý sa nerovná nule, potom tvoríme hraničných maloletých tretieho poriadku. Ak sú všetky neplnoleté osoby tretieho rádu nulové, potom je poradie matice dve ( r =2 ).
3. Ak aspoň jeden z ohraničujúcich maloletých tretieho rádu nie je rovný nule, potom skladáme maloletých, ktoré ho ohraničujú. Ak sú všetky hraničiace neplnoleté osoby štvrtého rádu nula, potom je poradie matice tri ( r =2 ).
4. Pokračujte tak dlho, ako to veľkosť matice umožňuje.
Príklad 1 Nájdite hodnosť matice
.
Riešenie. Minor druhého rádu 
.
Zarámujeme to. Budú tam štyria maloletí susediaci:
,
,
Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa teda rovnajú nule, preto je poradie tejto matice dve ( r =2 ).
Príklad 2 Nájdite hodnosť matice
Riešenie. Hodnosť tejto matice je 1, pretože všetci maloletí druhého poriadku tejto matice sa rovnajú nule (v tomto, ako v prípade hraničiacich maloletých v nasledujúcich dvoch príkladoch, sú milí študenti vyzvaní, aby si sami overili, možno pomocou pravidiel na výpočet determinantov) a medzi neplnoletými osobami prvého poriadku, teda medzi prvkami matice, nie sú rovné nule.
Príklad 3 Nájdite hodnosť matice
Riešenie. Vedľajší prvok druhého rádu tejto matice je a všetky minority tretieho rádu tejto matice sú nulové. Preto je poradie tejto matice dve.
Príklad 4 Nájdite hodnosť matice
Riešenie. Hodnosť tejto matice je 3, pretože jediná menšia tretia rada tejto matice je 3.
Nájdenie hodnosti matice metódou elementárnych transformácií (Gaussovou metódou)
Už v príklade 1 je vidieť, že problém určenia hodnosti matice metódou ohraničenia maloletých si vyžaduje výpočet Vysoké číslo determinanty. Existuje však spôsob, ako znížiť množstvo výpočtov na minimum. Táto metóda je založená na použití elementárnych maticových transformácií a nazýva sa aj Gaussova metóda.
Elementárne transformácie matice znamenajú nasledujúce operácie:
1) vynásobenie ľubovoľného riadka alebo stĺpca matice číslom iným ako nula;
2) pridanie zodpovedajúcich prvkov iného riadka alebo stĺpca k prvkom ľubovoľného riadka alebo stĺpca matice, vynásobených rovnakým číslom;
3) výmena dvoch riadkov alebo stĺpcov matice;
4) odstránenie "nulových" riadkov, to znamená tých, ktorých všetky prvky sú rovné nule;
5) vymazanie všetkých proporčných riadkov okrem jedného.
Veta. Elementárna transformácia nemení poradie matice. Inými slovami, ak použijeme elementárne transformácie z matice Aísť do matrixu B, potom .
Hodnosť matice je dôležitá číselná charakteristika. Väčšina charakteristickú úlohu, ktorá vyžaduje zistenie hodnosti matice, je kontrola kompatibility sústavy lineárnych algebraických rovníc. V tomto článku uvedieme pojem hodnosti matice a zvážime metódy na jej nájdenie. Pre lepšiu asimiláciu materiálu podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých príkladov.
Navigácia na stránke.
Určenie hodnosti matice a potrebné dodatočné pojmy.
Pred vyslovením definície hodnosti matice by sme mali dobre porozumieť konceptu neplnoletosti a nájdenie neplnoletých matice znamená schopnosť vypočítať determinant. Preto odporúčame v prípade potreby pripomenúť teóriu článku, metódy na nájdenie maticového determinantu, vlastnosti determinantu.
Vezmite maticu A poriadku. Nech je k nejaké prirodzené číslo nepresahujúce najmenšie z čísel m a n , tj. 
.
Definícia.
Vedľajší k-tý rád matica A sa nazýva determinant štvorcovú maticu poriadku , zložený z prvkov matice A , ktoré sú vo vopred vybratých k riadkoch a k stĺpcoch a umiestnenie prvkov matice A je zachované.
Inými slovami, ak vymažeme (p–k) riadkov a (n–k) stĺpcov v matici A a zo zvyšných prvkov vytvoríme maticu so zachovaním usporiadania prvkov matice A, potom je determinantom výslednej matice minora rádu k matice A.
Pozrime sa na definíciu matice moll na príklade.
Zvážte maticu 
.
Zapíšme si niekoľko maloletých prvého poriadku tejto matice. Napríklad, ak si vyberieme tretí riadok a druhý stĺpec matice A, potom náš výber zodpovedá vedľajšej matici prvého poriadku 
. Inými slovami, aby sme získali túto minoritu, prečiarkli sme prvý a druhý riadok, ako aj prvý, tretí a štvrtý stĺpec z matice A a zo zvyšného prvku sme vytvorili determinant. Ak zvolíme prvý riadok a tretí stĺpec matice A, tak dostaneme vedľajšiu 
.
Uveďme si postup na získanie uvažovaných neplnoletých osôb prvého poriadku 
a 
.
Teda, minority prvého poriadku matice sú samotné prvky matice.
Ukážme niekoľko maloletých druhého rádu. Vyberte dva riadky a dva stĺpce. Vezmite napríklad prvý a druhý riadok a tretí a štvrtý stĺpec. Touto voľbou máme maloletého druhého poriadku 
. Táto vedľajšia položka môže byť tiež vytvorená vymazaním tretieho riadku, prvého a druhého stĺpca z matice A.
Ďalšou menšou maticou A druhého rádu je .
Ukážme si konštrukciu týchto maloletých druhého poriadku 
a 
.
Maloletí tretieho rádu matice A možno nájsť podobne. Keďže v matici A sú len tri riadky, vyberieme ich všetky. Ak pre tieto riadky vyberieme prvé tri stĺpce, dostaneme menšie číslo tretieho rádu 
Dá sa skonštruovať aj vymazaním posledného stĺpca matice A.
Ďalším maloletým tretieho rádu je 
získaný vymazaním tretieho stĺpca matice A.
Tu je nákres znázorňujúci konštrukciu týchto maloletých tretieho rádu 
a 
.
Pre danú maticu A nie sú žiadne minority vyššieho rádu ako tretie, keďže .
Koľko k-teho rádu existuje v matici A rádu?
Počet rád k maloletých možno vypočítať ako , kde 
a 
- počet kombinácií od p do k a od n do k.
Ako zostrojiť všetky minory rádu k matice A rádu p na n?
Potrebujeme množinu čísel riadkov matice a množinu čísiel stĺpcov. Nahrávanie všetkého kombinácie p prvkov podľa k(budú zodpovedať vybraným riadkom matice A pri konštrukcii moll rádu k). Ku každej kombinácii čísel riadkov postupne pridávame všetky kombinácie n prvkov po k číslach stĺpcov. Tieto sady kombinácií čísiel riadkov a čísiel stĺpcov matice A pomôžu zostaviť všetky minority rádu k.
Vezmime si príklad.
Príklad.
Nájdite všetky neplnoleté osoby druhého rádu v matici.
Riešenie.
Keďže poradie pôvodnej matice je 3 x 3, potom bude celkový počet neplnoletých osôb druhého poriadku 
.
Zapíšme si všetky kombinácie 3 až 2 riadkových čísel matice A: 1, 2; 1, 3 a 2, 3. Všetky kombinácie čísel stĺpcov 3 x 2 sú 1, 2 ; 1, 3 a 2, 3.
Vezmite prvý a druhý riadok matice A. Výberom prvého a druhého stĺpca pre tieto riadky, prvého a tretieho stĺpca, druhého a tretieho stĺpca získame neplnoleté osoby 
Pre prvý a tretí riadok s podobným výberom stĺpcov máme 
Zostáva pridať prvý a druhý, prvý a tretí, druhý a tretí stĺpec do druhého a tretieho riadku: 
Nájdeme teda všetkých deväť maloletých druhého rádu matice A.
Teraz môžeme prejsť k určovaniu hodnosti matice.
Definícia.
Hodnosť matice je najvyšší rád nenulovej matice minor.
Hodnosť matice A je označená ako Rank(A) . Môžete vidieť aj označenia Rg(A) alebo Rang(A) .
Z definícií poradia matice a vedľajšej matice môžeme dospieť k záveru, že poradie nulovej matice sa rovná nule a poradie nenulovej matice je aspoň jedna.
Nájdenie poradia matice podľa definície.
Takže prvá metóda na nájdenie poradia matice je metóda menšieho sčítania. Táto metóda je založená na určení poradia matice.
Potrebujeme nájsť poradie matice A.
Stručne opíšte algoritmu riešenie tohto problému metódou sčítania maloletých.
Ak existuje aspoň jeden prvok matice, ktorý je nenulový, potom sa poradie matice rovná aspoň jednej (pretože existuje vedľajší prvok prvého poriadku, ktorý sa nerovná nule).
Ďalej opakujeme neplnoleté osoby druhého rádu. Ak sa všetci maloletí druhého poriadku rovnajú nule, potom sa poradie matice rovná jednej. Ak existuje aspoň jeden nenulový druhoradý neplnoletý, potom prejdeme k vymenovaniu neplnoletých tretieho poriadku a poradie matice sa rovná aspoň dvom.
Podobne, ak sú všetci maloletí tretieho rádu nula, potom je poradie matice dve. Ak existuje aspoň jeden nenulový menší stupeň tretieho rádu, potom je poradie matice aspoň tri a pristúpime k vymenovaniu maloletých štvrtého rádu.
Všimnite si, že poradie matice nemôže presiahnuť najmenšiu hodnotu p a n.
Príklad.
Nájdite hodnosť matice 
.
Riešenie.
Keďže matica je nenulová, jej poradie nie je menšie ako jedna.
Minor druhého rádu 
sa líši od nuly, preto je poradie matice A aspoň dva. Prechádzame k výčtu maloletých tretieho rádu. Všetky 
veci. 
Všetci maloletí tretieho poriadku sa rovnajú nule. Preto je poradie matice dve.
odpoveď:
Poradie (A) = 2.
Zistenie hodnosti matice metódou fringingu maloletých.
Existujú aj iné metódy na nájdenie poradia matice, ktoré vám umožňujú získať výsledok s menšou výpočtovou prácou.
Jednou z týchto metód je fringing minor metóda.
Poďme sa zaoberať pojem hraničiaci maloletý.
Hovorí sa, že vedľajšia M ok (k+1)-tého rádu matice A obklopuje vedľajšiu M rádu k matice A, ak matica zodpovedajúca vedľajšej M ok "obsahuje" maticu zodpovedajúcu vedľajšej matici. M .
Inými slovami, matica zodpovedajúca ohraničenej minoritnej M sa získa z matice zodpovedajúcej hraničnej minoritnej Mok vymazaním prvkov jedného riadku a jedného stĺpca.
Zoberme si napríklad maticu 
a vziať si maloletú z druhého rádu. Zapíšme si všetkých hraničiacich maloletých: 
Spôsob ohraničenia maloletých je odôvodnený nasledujúcou vetou (jej formuláciu uvádzame bez dôkazu).
Veta.
Ak sú všetky minority ohraničujúce k-teho rádu minor matice A rádu p x n rovné nule, potom všetky minority rádu (k + 1) matice A sú rovné nule.
Na nájdenie hodnosti matice teda nie je potrebné vymenovať všetkých maloletých, ktorí dostatočne hraničia. Počet maloletých hraničiacich s k-tým menším rádom matice A rádu sa zistí podľa vzorca 
. Všimnite si, že v matici A nie je viac minorít ohraničujúcich k-teho rádu, ako je (k + 1)-teho poriadku matice A . Preto je použitie metódy ohraničenia maloletých vo väčšine prípadov výnosnejšie ako jednoduché sčítanie všetkých maloletých.
Pristúpme k hľadaniu hodnosti matice metódou okrajovania maloletých. Stručne opíšte algoritmu túto metódu.
Ak je matica A nenulová, potom akýkoľvek prvok matice A, ktorý je odlišný od nuly, berieme ako vedľajší prvok prvého poriadku. Považujeme ju za maloletých. Ak sú všetky rovné nule, potom sa poradie matice rovná jednej. Ak existuje aspoň jeden nenulový hraničný maloletý (jeho poradie je rovné dvom), prechádzame k úvahe o jeho hraničiacich maloletých. Ak sú všetky nulové, potom Poradie (A) = 2 . Ak je aspoň jeden hraničiaci neplnoletý nenulový (jeho poradie je rovné trom), potom považujeme jeho hraničiace maloletého. A tak ďalej. Výsledkom je, že Rank(A) = k, ak sú všetky hraničiace minority (k + 1) rádu matice A rovné nule, alebo Rank(A) = min(p, n), ak existuje nenulový vedľajšia hraničiaca s moll poradia (min( p, n) – 1) .
Analyzujme na príklade metódu ohraničenia maloletých na zistenie hodnosti matice.
Príklad.
Nájdite hodnosť matice 
metódou hraničiacich maloletých.
Riešenie.
Keďže prvok a 1 1 matice A je nenulový, berieme ho ako vedľajší prvok prvého rádu. Začnime hľadať vedľajšiu hraničnú hodnotu okrem nuly: 
Nájdený nenulový okrajový neplnoletý druh druhého poriadku. Vymenujme jeho hraničiacich maloletých (ich 
veci): 
Všetky neplnoleté osoby ohraničujúce maloletú 2. rádu sa rovnajú nule, preto sa poradie matice A rovná dvom.
odpoveď:
Poradie (A) = 2.
Príklad.
Nájdite hodnosť matice 
s pomocou ohraničujúcich maloletých.
Riešenie.
Ako nenulový moll prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 1 matice A . Friing to minor druhého rádu 
sa nerovná nule. Tento maloletý je ohraničený maloletým tretieho rádu 
. Keďže sa nerovná nule a neexistuje pre ňu žiadna hraničná vedľajšia, hodnosť matice A sa rovná trom.
odpoveď:
Poradie (A) = 3.
Nájdenie poradia pomocou elementárnych transformácií matice (Gaussovou metódou).
Zvážte iný spôsob, ako nájsť hodnosť matice.
Nasledujúce maticové transformácie sa nazývajú elementárne:
- permutácia riadkov (alebo stĺpcov) matice;
- násobenie všetkých prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) matice ľubovoľným číslom k, ktoré je odlišné od nuly;
- pridanie k prvkom ľubovoľného riadku (stĺpca) zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) matice, vynásobených ľubovoľným číslom k.
Matica B sa nazýva ekvivalentná matici A, ak B získame z A pomocou konečného počtu elementárnych transformácií. Ekvivalencia matíc sa označuje symbolom "~", to znamená, že sa píše A ~ B.
Zistenie poradia matice pomocou elementárnych maticových transformácií je založené na tvrdení: ak maticu B získame z matice A pomocou konečného počtu elementárnych transformácií, potom Rank(A) = Rank(B) .
Platnosť tohto tvrdenia vyplýva z vlastností determinantu matice:
- Keď sú riadky (alebo stĺpce) matice permutované, jej determinant zmení znamienko. Ak sa rovná nule, potom pri permutácii riadkov (stĺpcov) zostane rovný nule.
- Pri vynásobení všetkých prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) matice ľubovoľným číslom k odlišným od nuly sa determinant výslednej matice rovná determinantu pôvodnej matice vynásobenému k. Ak sa determinant pôvodnej matice rovná nule, potom po vynásobení všetkých prvkov ľubovoľného riadku alebo stĺpca číslom k bude determinant výslednej matice tiež rovný nule.
- Pripočítaním prvkov určitého riadku (stĺpca) matice zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) matice, vynásobených určitým číslom k, sa nemení jej determinant.
Podstata metódy elementárnych premien je priviesť maticu, ktorej hodnosť musíme nájsť, na lichobežník (v konkrétnom prípade na horný trojuholník) pomocou elementárnych transformácií.
Načo to je? Poradie matrík tohto druhu je veľmi jednoduché nájsť. Rovná sa počtu riadkov obsahujúcich aspoň jeden nenulový prvok. A keďže sa rank matice pri elementárnych transformáciách nemení, výsledná hodnota bude rank pôvodnej matice.
Uvádzame ilustrácie matíc, z ktorých jedna by mala byť získaná po transformáciách. Ich forma závisí od poradia matice.
Tieto ilustrácie sú šablónami, na ktoré transformujeme maticu A.
Poďme popísať algoritmus metódy.
Predpokladajme, že potrebujeme nájsť hodnosť nenulovej matice A rádu (p sa môže rovnať n).
Takže, . Vynásobme všetky prvky prvého riadku matice A číslom . Pritom dostaneme ekvivalentná matica, označme to A (1): 
K prvkom druhého riadku výslednej matice A (1) pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . K prvkom tretieho riadku pridajte zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené . A tak ďalej až po p-tý riadok. Dostaneme ekvivalentnú maticu, označme ju A (2): 
Ak sa všetky prvky výslednej matice v riadkoch od druhého do p-tého rovnajú nule, potom sa poradie tejto matice rovná jednej, a teda poradie pôvodnej matice sa rovná jednej .
Ak je v riadkoch od druhého po p-tý aspoň jeden nenulový prvok, pokračujeme v transformáciách. Navyše konáme presne rovnakým spôsobom, ale iba s časťou matice A označenou na obrázku (2) 
Ak , potom preusporiadame riadky a (alebo) stĺpce matice A (2) tak, aby sa "nový" prvok stal nenulovým.
