Rovnice s parametrami: metóda grafického riešenia

8-9 ročníkov

Článok pojednáva o grafickej metóde riešenia niektorých rovníc s parametrami, ktorá je veľmi efektívna, keď potrebujete určiť, koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra. a.

Úloha 1. Koľko koreňov má rovnica? | | x | – 2 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) zostrojíme grafy funkcií y = | | x | – 2 | a y = a. Graf funkcie y = | | x | – 2 | znázornené na obrázku.

Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou Ox alebo s ňou zhodná (ak a = 0).

Z výkresu je vidieť, že:

Ak a= 0, potom priamka y = a sa zhoduje s osou Ox a má graf funkcie y = | | x | – 2 | dva spoločné body; To znamená, že pôvodná rovnica má dva korene (in v tomto prípade korene možno nájsť: x 1,2 = d 2).
Ak 0< a < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, pôvodná rovnica má štyri korene.
Ak a= 2, potom má priamka y = 2 tri spoločné body s grafom funkcie. Potom má pôvodná rovnica tri korene.
Ak a> 2, potom priamka y = a bude mať dva body s grafom pôvodnej funkcie, to znamená, že táto rovnica bude mať dva korene.

Ak a < 0, то корней нет;
Ak a = 0, a> 2, potom existujú dva korene;
Ak a= 2, potom tri korene;
ak 0< a < 2, то четыре корня.

Úloha 2. Koľko koreňov má rovnica? | x 2 – 2| x | – 3 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) zostrojíme grafy funkcií y = | x 2 – 2| x | – 3 | a y = a.

Graf funkcie y = | x 2 – 2| x | – 3 | znázornené na obrázku. Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s Ox alebo s ňou zhodná (keď a = 0).

Z výkresu môžete vidieť:

Ak a= 0, potom priamka y = a sa zhoduje s osou Ox a má graf funkcie y = | x2 – 2| x | – 3 | dva spoločné body, ako aj priamka y = a bude mať s grafom funkcie y = | x 2 – 2| x | – 3 | dva spoločné body a> 4. Takže, kedy a= 0 a a> 4 pôvodná rovnica má dva korene.
Ak 0< a < 3, то прямая y = a má s grafom funkcie y = | x 2 – 2| x | – 3 | štyri spoločné body, ako aj priamka y= a bude mať štyri spoločné body s grafom zostrojenej funkcie at a= 4. Takže pri 0< a < 3, a= 4 pôvodná rovnica má štyri korene.
Ak a= 3, potom priamka y = a pretína graf funkcie v piatich bodoch; preto má rovnica päť koreňov.
Ak 3< a < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Ak a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

Ak a < 0, то корней нет;
Ak a = 0, a> 4, potom existujú dva korene;
ak 0< a < 3, a= 4, potom sú štyri korene;
Ak a= 3, potom päť koreňov;
ak 3< a < 4, то шесть корней.

Úloha 3. Koľko koreňov má rovnica?

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Zostrojme graf funkcie v súradnicovom systéme (x; y) ale najprv si to predstavme v tvare:

Čiary x = 1, y = 1 sú asymptoty grafu funkcie. Graf funkcie y = | x | + a získané z grafu funkcie y = | x | posunutie o jednotky pozdĺž osi Oy.

Funkčné grafy pretínajú v jednom bode a> – 1; To znamená, že rovnica (1) pre tieto hodnoty parametrov má jedno riešenie.

o a = – 1, a= – 2 grafy sa pretínajú v dvoch bodoch; To znamená, že pre tieto hodnoty parametrov má rovnica (1) dva korene.
O – 2< a < – 1, a < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Ak a> – 1, potom jedno riešenie;
Ak a = – 1, a= – 2, potom sú dve riešenia;
ak – 2< a < – 1, a < – 1, то три решения.

Komentujte. Pri riešení rovnice (1) úlohy 3 treba venovať osobitnú pozornosť prípadu, kedy a= – 2, keďže bod (– 1; – 1) nepatrí do grafu funkcie ale patrí do grafu funkcie y = | x | + a.

Prejdime k riešeniu ďalšieho problému.

Úloha 4. Koľko koreňov má rovnica?

x + 2 = a| x – 1 | (2)

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Všimnite si, že x = 1 nie je koreň daná rovnica, keďže rovnosť 3 = a· 0 nemôže byť pravdivé pre žiadnu hodnotu parametra a. Vydeľme obe strany rovnice | x – 1 |(| x – 1 | č. 0), potom bude mať rovnica (2) tvar V súradnicovom systéme xOy nakreslíme funkciu

Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku. Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (ak a = 0).

Ak aЈ – 1, potom nie sú žiadne korene;
ak – 1< aЈ 1, potom jeden koreň;
Ak a> 1, potom existujú dva korene.

Zoberme si najkomplexnejšiu rovnicu.

Problém 5. Pri akých hodnotách parametra a rovnica

a x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

má tri riešenia?

Riešenie. 1. Kontrolná hodnota parametra pre túto rovnicu bude číslo a= 0, pri ktorej rovnica (3) nadobúda tvar 0 + | x – 1 | = 0, odkiaľ x = 1. Preto, keď a= 0, rovnica (3) má jeden koreň, ktorý nespĺňa podmienky úlohy.

2. Zvážte prípad, kedy a № 0.

Prepíšme rovnicu (3) do nasledujúceho tvaru: a x 2 = – | x – 1 |. Všimnite si, že rovnica bude mať riešenia iba vtedy a < 0.

V súradnicovom systéme xOy zostrojíme grafy funkcií y = | x – 1 | a y = a x 2. Graf funkcie y = | x – 1 | znázornené na obrázku. Graf funkcie y = a x 2 je parabola, ktorej vetvy smerujú nadol, pretože a < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Rovnica (3) bude mať tri riešenia len vtedy, keď sa priamka y = – x + 1 dotýka grafu funkcie y= a x 2.

Nech x 0 je úsečka bodu dotyku priamky y = – x + 1 s parabolou y = a x 2. Dotyková rovnica má tvar

y = y (x 0) + y "(x 0) (x – x 0).

Zapíšme si tangenciálne podmienky:

Táto rovnica môže byť vyriešená bez použitia konceptu derivácie.

Uvažujme o inej metóde. Využime fakt, že ak má priamka y = kx + b jeden spoločný bod s parabolou y = a x 2 + px + q, potom rovnica a x 2 + px + q = kx + b musí mať jedinečné riešenie, to znamená, že jeho diskriminant je nula. V našom prípade máme rovnicu a x 2 = – x + 1 ( ač. 0). Diskriminačná rovnica

Problémy riešiť samostatne

6. Koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra a?

1)| | x | – 3 | = a;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = a;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = a;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = a.

1) ak a<0, то корней нет; если a=0, a>3, potom dva korene; Ak a=3, potom tri korene; ak 0<a<3, то четыре корня;
2) ak a<1, то корней нет; если a=1, potom existuje nekonečná množina riešení z intervalu [– 2; -1]; Ak a> 1, potom existujú dve riešenia;
3) ak a<0, то корней нет; если a=0, a<3, то четыре корня; если 0<a<1, то восемь корней; если a=1, potom šesť koreňov; Ak a=3, potom existujú tri riešenia; Ak a>3, potom existujú dve riešenia;
4) ak a<0, то корней нет; если a=0, 4<a<5, то четыре корня; если 0<a< 4, то восемь корней; если a=4, potom šesť koreňov; Ak a=5, potom tri korene; Ak a>5, potom existujú dva korene.

7. Koľko koreňov má rovnica | x + 1 | = a(x – 1) v závislosti od parametra a?

Poznámka. Pretože x = 1 nie je koreňom rovnice, možno túto rovnicu zredukovať do tvaru .

Odpoveď: ak a J – 1, a > 1, a=0, potom jeden koreň; ak – 1<a<0, то два корня; если 0<aЈ 1, potom neexistujú žiadne korene.

8. Koľko koreňov má rovnica x + 1 =? a| x – 1 |v závislosti od parametra a?

Nakreslite graf (pozri obrázok).

Odpoveď: ak aЈ –1, potom neexistujú žiadne korene; ak – 1<aЈ 1, potom jeden koreň; Ak a>1, potom existujú dva korene.

9. Koľko koreňov má rovnica?

2| x | – 1 = a(x – 1)

v závislosti od parametra a?

Poznámka. Znížte rovnicu do tvaru

Odpoveď: ak a J – 2, a>2, a=1, potom jeden koreň; ak -2<a<1, то два корня; если 1<aЈ 2, potom neexistujú žiadne korene.

10. Koľko koreňov má rovnica?

v závislosti od parametra a?

Odpoveď: ak aЈ 0, a i 2, potom jeden koreň; ak 0<a<2, то два корня.

11. Pri akých hodnotách parametra a rovnica

x 2 + a| x – 2 | = 0

má tri riešenia?

Poznámka. Zredukujte rovnicu na tvar x 2 = – a| x – 2 |.

odpoveď: kedy a J –8.

12. Pri akých hodnotách parametra a rovnica

a x 2 + | x + 1 | = 0

má tri riešenia?

Poznámka. Použite úlohu 5. Táto rovnica má tri riešenia, iba ak rovnica a x 2 + x + 1 = 0 má jedno riešenie a prípad a= 0 nespĺňa podmienky problému, to znamená, že prípad zostáva kedy

13. Koľko koreňov má rovnica?

x | x – 2 | = 1 – a

v závislosti od parametra a?

Poznámka. Zredukujte rovnicu na tvar –x |x – 2| + 1 = a

v závislosti od parametra a?

Poznámka. Zostrojte grafy ľavej a pravej strany tejto rovnice.

Odpoveď: ak a<0, a>2, potom existujú dva korene; ak 0Ј aЈ 2, potom jeden koreň.

16. Koľko koreňov má rovnica?

v závislosti od parametra a?

Poznámka. Zostrojte grafy ľavej a pravej strany tejto rovnice. Graf funkcie Nájdite intervaly konštantného znamienka výrazov x + 2 a x:

Odpoveď: ak a>– 1, potom jedno riešenie; Ak a= – 1, potom existujú dve riešenia; ak – 3<a<–1, то четыре решения; если aЈ –3, potom existujú tri riešenia.

Pre každú hodnotu parametra a a vyriešte nerovnosť | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Najprv vyriešme pomocný problém. Uvažujme túto nerovnosť ako nerovnosť s dvoma premennými x x a a a a narysujme na rovinu súradníc x O a xOa všetky body, ktorých súradnice nerovnici vyhovujú.

Ak 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (t.j. na priamke a = - 2 x a=-2x a vyššie), potom dostaneme 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+ a \leq x+2 \Šípka doľava doprava a \leq 2-x .

Súprava je znázornená na obr. jedenásť.

Teraz poďme vyriešiť pôvodný problém pomocou tohto výkresu. Ak opravíme a a , dostaneme vodorovnú čiaru a = const a = \textrm(const) . Ak chcete určiť hodnoty x x, musíte nájsť abscisu priesečníkov tejto čiary so súborom riešení nerovnosti. Napríklad, ak a = 8 a=8 , potom nerovnica nemá riešenia (priamka nepretína množinu); ak a = 1 a=1 , potom riešenia sú všetky x x zo segmentu [ - 1 ; 1 ] [-1;1] atď. Sú teda možné tri možnosti.

1) Ak $$a>4$$, potom neexistujú žiadne riešenia.

2) Ak a = 4 a = 4, potom x = - 2 x = -2.

ODPOVEĎ

za $$a

pre a = 4 a = 4 - x = - 2 x = -2;

za $$a>4$$ - neexistujú žiadne riešenia.

Nájdite všetky hodnoty parametra a a, pre ktoré je nerovnosť $$3-|x-a| > x^2$$ a) má aspoň jedno riešenie; b) má aspoň jedno kladné riešenie.

Prepíšme nerovnosť v tvare $$3-x^2 > |x-a)$$. Zostrojme grafy ľavej a pravej časti v rovine x O y xOy. Graf na ľavej strane je parabola s vetvami nadol s vrcholom v bode (0; 3) (0;3). Graf pretína os x v bodoch (± 3 ; 0) (\pm \sqrt(3);0) . Graf pravej strany je uhol s vrcholom na osi x, ktorého strany smerujú nahor pod uhlom 45° 45^(\circ) k súradnicovým osám. Úsečka vrcholu je bod x = a x=a .

a) Aby nerovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné a postačujúce, aby aspoň v jednom bode bola parabola nad grafom y = | x - a | y=|x-a| . To sa dosiahne, ak vrchol uhla leží medzi bodmi A A a B B osi x (pozri obr. 12 - body A A a B B nie sú zahrnuté). Je teda potrebné určiť, v akej polohe vrcholu sa jedna z vetiev uhla dotýka paraboly.

Uvažujme prípad, keď je vrchol rohu v bode A A . Potom sa pravá vetva uhla dotkne paraboly. Jeho sklon sa rovná jednej. To znamená, že derivácia funkcie y = 3 - x 2 y = 3-x^2 v bode dotyku sa rovná 1 1, t.j. - 2 x = 1 -2x=1, odkiaľ x = - 1 2 x = -\frac(1)(2) . Potom ordináta dotyčného bodu je y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac(1)(2))^2 = \frac(11)(4) . Rovnica priamky s uhlovým koeficientom k = 1 k=1 a prechádzajúcej bodom so súradnicami (- 1 2 ; 11 4) (-\frac(1)(2); \frac(11)(4) ) je nasledujúci * ( \^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .!}

Toto je rovnica pravej vetvy rohu. Súradnica priesečníka s osou x sa rovná - 13 4 -\frac(13)(4), t.j. bod A A má súradnice A (- 13 4 ; 0) A(-\frac(13)(4 0). Z dôvodov symetrie má bod B B súradnice: B (13 4 ; 0) B(\frac(13)(4); 0) .

Z toho dostaneme, že a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)) .

b) Nerovnica má kladné riešenia, ak je vrchol rohu medzi bodmi F F a B B (pozri obr. 13). Nájsť polohu bodu F F nie je ťažké: ak je vrchol rohu v bode F F, tak jeho pravá vetva (priamka daná rovnicou y = x - a y = x-a prechádza bodom (0; 3 ) (0;3) Odtiaľto zistíme, že a = - 3 a=-3 a bod F F má súradnice (- 3 ; 0) (-3;0) \in (-3; \frac(13)(4) ).

ODPOVEĎ

a) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac(13)(4); \frac(13)(4)),\:\:\: b) a ∈ (- 3 13 4) a \in (-3; \frac(13)(4)) .

* {\^* Полезные формулы: !}

- \-- priamka prechádzajúca bodom (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) s uhlovým koeficientom k k je daná rovnicou y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0= k(x-x_0);

- \-- uhlový koeficient priamky prechádzajúcej cez body (x 0 ; y 0) (x_0; y_0) a (x 1 ; y 1) (x_1; y_1), kde x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1, sa vypočíta podľa vzorca k = yi - y0 x 1 - x 0 k = \dfrac(y_1-y_0)(x_1-x_0) .

Komentujte. Ak potrebujete nájsť hodnotu parametra, pri ktorom sa priamka y = k x + l y=kx+l a parabola y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c dotýkajú, môžete napísať podmienka, že rovnica k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c má práve jedno riešenie Potom ďalší spôsob, ako nájsť hodnoty parametra aa, pre ktorý je vrchol uhla je v bode A A je nasledujúca: rovnica x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 má práve jedno riešenie ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Šípka vľavo D = 1 + 4(a+3) = 0 \šípka doľava a doprava a = -\ dfrac(13)(4) .

Upozorňujeme, že týmto spôsobom nie je možné zapísať podmienku, aby sa čiara dotkla ľubovoľného grafu. Napríklad priamka y = 3 x - 2 y = 3x - 2 sa dotýka kubickej paraboly y = x 3 y=x^3 v bode (1 ; 1) (1;1) a pretína ju v bode (- 2 - 8) (-2;-8), teda rovnica x3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 má dve riešenia.

Nájdite všetky hodnoty parametra a a , pre každú z nich platí rovnica (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2| )(x^2 +4x+1-a) = 0 má a) presne dva odlišné korene; b) presne tri rôzne korene.

Urobme to isté ako v príklade 25. Znázornime množinu riešení tejto rovnice v rovine x O a xOa . Je to ekvivalentné kombinácii dvoch rovníc:

1) a = | x + 2 | - 1a = |x+2| -1 je uhol s vetvami nahor a vrcholom v bode (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - toto je parabola s vetvami nahor a vrcholom v bode (- 2 ; - 3) (-2;-3) . Pozri obr. 14.

Nájdeme priesečníky dvoch grafov. Pravá vetva uhla je daná rovnicou y = x + 1 y=x+1 . Riešenie rovnice

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

zistíme, že x = 0 x = 0 alebo x = - 3 x = -3 . Vhodná je len hodnota x = 0 x=0 (keďže pre pravú vetvu x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Potom a = 1 a = 1 . Podobne nájdeme súradnice druhého priesečníka - (- 4 ; 1) (-4; 1) .

Vráťme sa k pôvodnému problému. Rovnica má práve dve riešenia pre tie a a, pre ktoré vodorovná čiara a = const a=\textrm(const) pretína množinu riešení rovnice v dvoch bodoch. Z grafu vidíme, že to platí pre a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ ( 1 ) a\in (-3;-1)\bigcup\(1\) . V prípade troch priesečníkov budú presne tri riešenia, čo je možné len vtedy, keď a = - 1 a=-1 .

ODPOVEĎ

a) a ∈ (- 3; - 1) ∪ ( 1 );       a\in (-3;-1)\bigcup\(1\);\:\:\: b) a = -1 a=-1 .

$$\začiatok(prípady) x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \koniec(prípady) $$

má presne jedno riešenie.

Znázornime riešenia sústavy nerovníc v rovine x O a xOa . Prepíšme systém v tvare $$ \begin(cases) a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac(x^2+6x)(6) .\end(cases) $$

Prvá nerovnosť je splnená bodmi ležiacimi na parabole a = - x 2 + x a = -x^2+x a pod ňou a druhá je splnená bodmi ležiacimi na parabole a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac(x^2 +6x)(6) a vyššie. Nájdeme súradnice vrcholov parabol a ich priesečníkov a potom zostavíme graf. Vrchol prvej paraboly je (1 2 ; 1 4) (\dfrac(1)(2);\dfrac(1)(4)), vrchol druhej paraboly je (- 1 ; - 1 6) ( -1 -\dfrac( 1)(6)), priesečníky sú (0 ; 0) (0;0) a (4 7 ; 12 49) (\dfrac(4)(7); \dfrac(12; )(49)). Množina bodov vyhovujúcich systému je znázornená na obr. 15. Je vidieť, že vodorovná čiara a = const a=\textrm(const) má práve jeden spoločný bod s touto množinou (čo znamená, že systém má práve jedno riešenie) v prípadoch a = 0 a=0 a a = 1 4 a= \dfrac(1)(4) .

ODPOVEĎ

A = 0 ,  a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac(1)(4)

Nájdite najmenšiu hodnotu parametra a a , pre každý z nich systém

$$\začiatok(prípady) x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt(3)ax,\\ \sqrt(3)|x|-y=4 \koniec (prípady) $$

má unikátne riešenie.

Transformujme prvú rovnicu, zvýraznenie úplných štvorcov:

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1.       18 (x^2- 2\sqrt(3)ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \šípka doľava doprava (x-a\sqrt(3))^2+(y-1)^2 =1. \:\:\:\vľavo(18\vpravo)

Na rozdiel od predchádzajúcich problémov je tu lepšie znázorniť kresbu v rovine x O y xOy (pri problémoch s jednou premennou a jedným parametrom sa zvyčajne používa kresba v rovine „premenná – parameter“ – výsledkom je množina v rovine V tomto probléme máme do činenia s dvoma premennými a parametrom Kreslenie množiny bodov (x; y; a) (x;y;a) v trojrozmernom priestore je navyše nepravdepodobné byť vizuálny). Rovnica (18) určuje kružnicu so stredom (a 3 ; 1) (a\sqrt(3);1) s polomerom 1. Stred tejto kružnice, v závislosti od hodnoty a a, sa môže nachádzať v ľubovoľnom bode čiara y = 1 y = 1.

Druhá rovnica systému je y = 3 | x | - 4 y = \sqrt(3)|x|-4 nastavuje uhol so stranami nahor pod uhlom 60° 60^(\circ) k osi x (\circ) (uhlový koeficient priamky je dotyčnica uhol sklonu tg 60 ° = 3 \textrm(tg )(60^(\circ)) = \sqrt(3)), s vrcholom v bode (0; - 4) (0;-4) .

Tento systém rovníc má práve jedno riešenie, ak sa kružnica dotýka jednej z vetiev uhla. Je to možné v štyroch prípadoch (obr. 16): stred kruhu môže byť v jednom z bodov A A, B B, C C, D D. Keďže potrebujeme nájsť najmenšiu hodnotu parametra a a , zaujíma nás úsečka bodu D D . Uvažujme pravouhlý trojuholník D H M DHM. Vzdialenosť od bodu D D k priamke H M HM sa rovná polomeru kružnice, preto D H = 1 DH=1. Takže DM = DH sin 60° = 2 3 DM=\dfrac(DH)(\textrm(sin)(60^(\circ))) = \dfrac(2)(\sqrt(3)) . Súradnice bodu M M nájdeme ako súradnice priesečníka dvoch priamok y = 1 y=1 a y = - 3 x - 4 y=-\sqrt(3)x-4 (ľavá strana rohu) .

Dostaneme M (- 5 3) M(-\dfrac(5)(\sqrt(3))) . Potom sa úsečka bodu D D rovná - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac(5)(\sqrt(3))-\dfrac(2)(\sqrt(3))=-\dfrac( 7)(\ sqrt(3)) .

Keďže úsečka stredu kruhu je rovná a 3 a\sqrt(3) , z toho vyplýva, že a = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3) .

ODPOVEĎ

A = - 7 3 a=-\dfrac(7)(3)

Nájdite všetky hodnoty parametra a a , pre každú z nich systém

$$\začiatok(prípady) |4x+3r| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end(cases) $$

má presne jedno riešenie.

Ukážme si množiny riešení každej z nerovníc v rovine x O y xOy .

V druhej nerovnosti vyberieme dokonalé štvorce:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 ay + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2        ) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8 )^2 \:\:\:\: (19)

Keď a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8), nerovnosť (19) určuje bod so súradnicami (7 a ; 3 a) (7a; 3a), t. j. (- 56 ; - 24) (-56;-24). Pre všetky ostatné hodnoty a a (19) definuje kruh so stredom v bode (7a; 3a) (7a;3a) polomeru | a+8 | |a+8| .

Zoberme si prvú nerovnosť.
1) Pre záporné a a nemá žiadne riešenia. To znamená, že systém nemá žiadne riešenia.

2) Ak a = 0 a=0, potom dostaneme priamku 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0. Z druhej nerovnosti dostaneme kružnicu so stredom (0; 0) (0; 0) s polomerom 8. Je zrejmé, že existuje viac riešení.

3) Ak $$a>0$$, potom táto nerovnosť je ekvivalentná dvojitej nerovnosti - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Definuje pásik medzi dvoma priamkami y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac(4x)(3) , z ktorých každá je rovnobežná s priamkou 4 x + 3 y = 0 4x+ 3y=0 (obr. 17).

Keďže uvažujeme $$a>0$$, stred kruhu sa nachádza v prvej štvrtine na priamke y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Súradnice stredu sú skutočne x = 7 a x = 7a , y = 3 a y = 3a ; vyjadrením a a a rovnítkom dostaneme x 7 = y 3 \dfrac(x)(7)=\dfrac(y)(3) , odkiaľ y = 3 x 7 y = \dfrac(3x)(7) . Aby mala sústava práve jedno riešenie, je potrebné a postačujúce, aby sa kružnica dotýkala priamky a 2 a_2 . To sa stane, keď sa polomer kruhu rovná vzdialenosti od stredu kruhu k priamke a 2 a_2. Podľa vzorca pre vzdialenosť od bodu k priamke * (\^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .!}

ODPOVEĎ

A = 2 a = 2

* {\^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} . !}

Pri akých hodnotách parametra a a má systém

$$\začiatok(prípady) |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \koniec(prípady)$$ nemá žiadne riešenia?

Prvá rovnica sústavy definuje štvorec A B C D ABCD v rovine x O y xOy (na jej zostrojenie uvažujme x ≥ 0 x\geq 0 a y ≥ 0 y\geq 0 . Potom rovnica nadobúda tvar x + y = 1 x+y=1 Získame úsečku - časť priamky x + y = 1 x+y=1, ležiacu v prvej štvrtine. Ďalej premietneme túto úsečku vzhľadom na os O x Ox odrážať výsledný súbor vzhľadom na os O y Oy (pozri obr. 18). Druhá rovnica definuje štvorec PQR S PQRS , ktorý sa rovná štvorcu A B C D ABCD , ale so stredom v bode (- a ; - a) (-a;-a) . Na obr. Ako príklad obr. 18 znázorňuje tento štvorec pre a = -2 a=-2. Systém nemá riešenia, ak sa tieto dva štvorce nepretínajú.

Je ľahké vidieť, že ak sa segmenty P Q PQ a B C BC zhodujú, potom stred druhého štvorca je v bode (1; 1) (1;1). Pre nás sú vhodné tie hodnoty a, pri ktorých je stred umiestnený „hore“ a „vpravo“, t.j. $$a1$$.

ODPOVEĎ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Nájdite všetky hodnoty parametra b b, pre ktoré systém

$$\začiatok(prípady) y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \koniec (prípady) $$

má aspoň jedno riešenie pre akúkoľvek hodnotu a .

Zoberme si niekoľko prípadov.

1) Ak $$b2) Ak b = 0 b=0 , potom systém nadobudne tvar $$\začiatok(prípady) y=x^2,\\ y=ax .\koniec (prípady) $$

Pre ľubovoľné a a je dvojica čísel (0 ; 0) (0;0) riešením tejto sústavy, preto je vhodné b = 0 b=0.

3) Opravme nejaké $$b>0$$. Prvá rovnica je splnená množinou bodov získaných z paraboly y = x 2 - b y=x^2-b odrazom časti tejto paraboly vzhľadom na os O x Ox (pozri obr. 19a, b). Druhá rovnica definuje rodinu priamych čiar (nahradením rôznych hodnôt a a môžete získať všetky druhy priamych čiar prechádzajúcich bodom (b ; 0) (b; 0) , s výnimkou zvislej. cez bod (b ; 0) (b; 0) . Ak bod (b ; 0) (b;0) leží na úsečke [ - b ; b ] [-\sqrt(b);\sqrt(b)] . os úsečky, potom priamka pretína graf prvej funkcie pre ľubovoľný sklon (obr. 19a). V opačnom prípade (obr. 19b) v každom prípade bude priamka, ktorá tento graf nepretína. Vyriešením nerovnosti - b ≤ b ≤ b -\sqrt(b)\leq b \leq \sqrt(b) a berúc do úvahy $$b>0$$ dostaneme, že b ∈ (0 ; 1 ] b \ v (0;1].

Výsledky skombinujeme: $$b \in $$.

ODPOVEĎ

$$b \v $$

Nájdite všetky hodnoty a a , pre každú z nich funkcia f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x má aspoň jeden maximálny bod.

Rozšírením modulu to dostaneme

$$f(x) = \begin(cases) x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\ :\: x\leq a^2 . \end(cases) $$

Na každom z týchto dvoch intervalov je grafom funkcie y = f (x) y=f(x) parabola s vetvami nahor.

Keďže paraboly so vzostupnými vetvami nemôžu mať maximálny počet bodov, jedinou možnosťou je, že maximálny bod je hraničným bodom týchto intervalov - bod x = a 2 x=a^2 . V tomto bode bude maximum, ak vrchol paraboly y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 pripadne na interval $$x>a^2$$, a vrchol paraboly y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - pre interval $$x\lt a^2$$ (pozri obr. 20). Táto podmienka je daná nerovnosťami a $$2 \gt a^2$$ a $$1 \lt a^2$$, ktorých riešením zistíme, že a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\ sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2)) .

ODPOVEĎ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt(2);1)\bigcup(1;\sqrt(2))

Nájdite všetky hodnoty a, pre každú z nich sú všeobecné riešenia nerovností

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a a y - x ≥ 2 a             (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

sú riešenia nerovnosti

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Na navigáciu v situácii je niekedy užitočné zvážiť jednu hodnotu parametra. Urobme nákres napríklad pre a = 0 a=0 . Nerovnice (20) (v skutočnosti máme do činenia so sústavou nerovníc (20)) vyhovujú body uhla B A C BAC (pozri obr. 21) - body, z ktorých každý leží nad oboma priamkami y = - 2 x y=-2x a y = x y =x (alebo na týchto riadkoch). Nerovnici (21) vyhovujú body ležiace nad priamkou y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac(1)(2)x + \dfrac(3)(2) . Je vidieť, že keď a = 0 a = 0, podmienka problému nie je splnená.

Čo sa zmení, ak vezmeme inú hodnotu pre parameter a a ? Každá z čiar sa bude pohybovať a meniť na čiaru rovnobežnú so sebou, pretože uhlové koeficienty čiar nezávisia od a. Aby bola splnená podmienka úlohy, musí celý uhol B A C BAC ležať nad priamkou l l . Keďže uhlové koeficienty priamok A B AB a A C AC sú v absolútnej hodnote väčšie ako uhlové koeficienty priamky l l , je potrebné a postačujúce, aby vrchol uhla ležal nad priamkou l l .

Riešenie sústavy rovníc

$$\začiatok(prípady) y+2x=a,\\ y-x=2a, \koniec (prípady)$$

nájdite súradnice bodu A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac(a)(3);\dfrac(5a)(3)) . Musia spĺňať nerovnosť (21), takže $$\dfrac(10a)(3)+\dfrac(a)(3) > a+3$$, odkiaľ pochádza $$a>\dfrac(9)(8)$$ .

ODPOVEĎ

$$a>\dfrac(9)(8)$$

TO úlohy s parametrom To môže zahŕňať napríklad hľadanie riešení pre lineárne a kvadratické rovnice vo všeobecnej forme, štúdium rovnice pre počet dostupných koreňov v závislosti od hodnoty parametra.

Bez podrobných definícií zvážte nasledujúce rovnice ako príklady:

y = kx, kde x, y sú premenné, k je parameter;

y = kx + b, kde x, y sú premenné, kab sú parametre;

ax 2 + bx + c = 0, kde x sú premenné, a, b a c sú parameter.

Riešenie rovnice (nerovnice, sústavy) s parametrom znamená spravidla riešenie nekonečnej množiny rovníc (nerovníc, sústav).

Úlohy s parametrom možno rozdeliť do dvoch typov:

A) podmienka hovorí: vyriešte rovnicu (nerovnosť, systém) - to znamená pre všetky hodnoty parametra nájsť všetky riešenia. Ak zostane aspoň jeden prípad nevyšetrený, takéto riešenie nemožno považovať za uspokojivé.

b) je potrebné uviesť možné hodnoty parametra, pri ktorých má rovnica (nerovnosť, systém) určité vlastnosti. Napríklad má jedno riešenie, nemá riešenia, má riešenia patriace do intervalu atď. Pri takýchto úlohách je potrebné jasne uviesť, pri akej hodnote parametra je požadovaná podmienka splnená.

Parameter, ktorý je neznámym pevným číslom, má akúsi zvláštnu dualitu. V prvom rade je potrebné vziať do úvahy, že predpokladaná obľúbenosť naznačuje, že parameter treba vnímať ako číslo. Po druhé, sloboda manipulácie s parametrom je obmedzená jeho nejasnosťou. Napríklad operácie delenia výrazom, ktorý obsahuje parameter alebo extrahovanie odmocniny párneho stupňa z takéhoto výrazu, si vyžadujú predbežný výskum. Preto je pri manipulácii s parametrom potrebná opatrnosť.

Ak chcete napríklad porovnať dve čísla -6a a 3a, musíte zvážiť tri prípady:

1) -6a bude väčšie ako 3a, ak a je záporné číslo;

2) -6a = 3a v prípade, keď a = 0;

3) -6a bude menšie ako 3a, ak a je kladné číslo 0.

Riešením bude odpoveď.

Nech je daná rovnica kx = b. Táto rovnica je skrátená forma pre nekonečný počet rovníc s jednou premennou.

Pri riešení takýchto rovníc môžu nastať prípady:

1. Nech k je ľubovoľné reálne číslo, ktoré sa nerovná nule a b je ľubovoľné číslo z R, potom x = b/k.

2. Nech k = 0 a b ≠ 0, pôvodná rovnica bude mať tvar 0 x = b. Je zrejmé, že táto rovnica nemá riešenia.

3. Nech k a b sú čísla rovné nule, potom máme rovnosť 0 x = 0. Jeho riešením je ľubovoľné reálne číslo.

Algoritmus na riešenie tohto typu rovnice:

1. Určite „kontrolné“ hodnoty parametra.

2. Vyriešte pôvodnú rovnicu pre x pre hodnoty parametrov, ktoré boli určené v prvom odseku.

3. Vyriešte pôvodnú rovnicu pre x pre hodnoty parametrov odlišné od hodnôt vybraných v prvom odseku.

4. Odpoveď môžete napísať v nasledujúcom tvare:

1) pre ... (hodnoty parametrov) má rovnica korene ...;

2) pre ... (hodnoty parametrov) nie sú v rovnici žiadne korene.

Príklad 1

Riešte rovnicu s parametrom |6 – x| = a.

Riešenie.

Je ľahké vidieť, že tu a ≥ 0.

Podľa pravidla modulu 6 – x = ±a vyjadrujeme x:

Odpoveď: x = 6 ± a, kde a ≥ 0.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 vzhľadom na premennú x.

Riešenie.

Otvorme zátvorky: aх – а + 2х – 2 = 0

Napíšme rovnicu v štandardnom tvare: x(a + 2) = a + 2.

Ak výraz a + 2 nie je nula, teda ak a ≠ -2, máme riešenie x = (a + 2) / (a ​​+ 2), t.j. x = 1.

Ak sa a + 2 rovná nule, t.j. a = -2, potom máme správnu rovnosť 0 x = 0, takže x je akékoľvek reálne číslo.

Odpoveď: x = 1 pre a ≠ -2 a x € R pre a = -2.

Príklad 3

Riešte rovnicu x/a + 1 = a + x vzhľadom na premennú x.

Riešenie.

Ak a = 0, tak rovnicu transformujeme do tvaru a + x = a 2 + ax alebo (a – 1)x = -a(a – 1). Posledná rovnica pre a = 1 má tvar 0 x = 0, teda x je ľubovoľné číslo.

Ak a ≠ 1, potom posledná rovnica bude mať tvar x = -a.

Toto riešenie je možné znázorniť na súradnicovej čiare (obr. 1)

Odpoveď: neexistujú žiadne riešenia pre a = 0; x – ľubovoľné číslo s a = 1; x = -a pre a ≠ 0 a a ≠ 1.

Grafická metóda

Uvažujme o ďalšom spôsobe riešenia rovníc s parametrom - graficky. Táto metóda sa používa pomerne často.

Príklad 4.

V závislosti od parametra a, koľko koreňov má rovnica ||x| – 2| = a?

Riešenie.

Na riešenie pomocou grafickej metódy zostrojíme grafy funkcií y = ||x| – 2| a y = a (obr. 2).

Nákres jasne ukazuje možné prípady umiestnenia priamky y = a a počtu koreňov v každom z nich.

Odpoveď: rovnica nebude mať korene, ak a< 0; два корня будет в случае, если a >2 a a = 0; rovnica bude mať tri korene v prípade a = 2; štyri korene – na 0< a < 2.

Príklad 5.

Aká je rovnica 2|x| + |x – 1| = a má jeden koreň?

Riešenie.

Ukážme si grafy funkcií y = 2|x| + |x – 1| a y = a. Pre y = 2|x| + |x – 1|, rozšírením modulov pomocou intervalovej metódy získame:

(-3x + 1, pri x< 0,

y = (x + 1, pre 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pre x > 1.

Zapnuté Obrázok 3 je jasne vidieť, že rovnica bude mať jeden koreň iba vtedy, keď a = 1.

Odpoveď: a = 1.

Príklad 6.

Určte počet riešení rovnice |x + 1| + |x + 2| = a v závislosti od parametra a?

Riešenie.

Graf funkcie y = |x + 1| + |x + 2| bude prerušovaná čiara. Jeho vrcholy budú umiestnené v bodoch (-2; 1) a (-1; 1) (Obrázok 4).

Odpoveď: ak je parameter a menší ako jedna, potom rovnica nebude mať korene; ak a = 1, potom riešením rovnice je nekonečná množina čísel zo segmentu [-2; -1]; ak sú hodnoty parametra a väčšie ako jedna, potom bude mať rovnica dva korene.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice s parametrom?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Oľga Otdelkina, žiačka 9. ročníka

Táto téma je neoddeliteľnou súčasťou kurzu školskej algebry. Cieľom tejto práce je hlbšie preštudovať túto tému, nájsť najracionálnejšie riešenie, ktoré rýchlo vedie k odpovedi. Táto esej pomôže ostatným študentom pochopiť využitie grafickej metódy na riešenie rovníc s parametrami, dozvedieť sa o vzniku a vývoji tejto metódy.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Úvod2

Kapitola 1. Rovnice s parametrom

História vzniku rovníc s parametrom3

Vietova veta 4

Základné pojmy5

Kapitola 2. Typy rovníc s parametrami.

Lineárne rovnice6

Kvadratické rovnice ……………………………………………………………………… 7

Kapitola 3. Metódy riešenia rovníc s parametrom

Analytická metóda ………………………………………………………… 8

Grafická metóda. História pôvodu ………………………………… 9

Algoritmus riešenia grafickou metódou..………………………………………………..10

Riešenie rovnice s modulom……………………………………………………………….11

Praktická časť ……………………………………………………………………… 12

Záver……………………………………………………………………………………….. 19

Referencie……………………………………………………………………… 20

Úvod.

Túto tému som si vybral, pretože je neoddeliteľnou súčasťou kurzu školskej algebry. Pri príprave tejto práce som si dal za cieľ hlbšie preštudovanie tejto témy, identifikovanie najracionálnejšieho riešenia, ktoré rýchlo vedie k odpovedi. Moja esej pomôže ostatným študentom pochopiť využitie grafickej metódy na riešenie rovníc s parametrami, dozvedieť sa o vzniku a vývoji tejto metódy.

V modernom živote vedie štúdium mnohých fyzikálnych procesov a geometrických vzorov často k riešeniu problémov s parametrami.

Na riešenie takýchto rovníc je veľmi účinná grafická metóda, keď potrebujete určiť, koľko koreňov má rovnica v závislosti od parametra α.

Problémy s parametrami majú čisto matematický význam, prispievajú k intelektuálnemu rozvoju študentov a slúžia ako dobrý materiál na precvičovanie zručností. Majú diagnostickú hodnotu, pretože sa môžu použiť na testovanie vedomostí z hlavných oblastí matematiky, úrovne matematického a logického myslenia, počiatočných výskumných zručností a sľubných príležitostí na úspešné zvládnutie kurzu matematiky na vysokých školách.

Moja esej pojednáva o často sa vyskytujúcich typoch rovníc a dúfam, že poznatky, ktoré som počas práce nadobudol, mi pomôžu pri skladaní školských skúšok, pretožerovnice s parametramisa právom považujú za jeden z najťažších problémov školskej matematiky. Práve tieto úlohy sú zahrnuté v zozname úloh v Jednotnej štátnej skúške.

História vzniku rovníc s parametrom

Problémy s rovnicami s parametrom sa už vyskytli v astronomickom pojednaní „Aryabhattiam“, ktoré v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický vedec, Brahmagupta (7. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jedinú kanonickú formu:

ax2 + bx = c, a>0

Koeficienty v rovnici, okrem parametra, môže byť aj negatívny.

Kvadratické rovnice od al-Khwarizmiho.

V algebraickom pojednaní al-Khwarizmi uvádza klasifikáciu lineárnych a kvadratických rovníc s parametrom a. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. αx 2 = bx.

2) „Štvorce sa rovnajú číslam“, t.j. αx 2 = c.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t.j. αx = c.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom“, t.j. αx 2 + c = bx.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. αx 2 + bx = c.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t. j. bx + c = αx 2 .

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc podľa al-Khwarizmiho v Európe boli prvýkrát uvedené v „Knihe Abacus“, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice s parametrom vo všeobecnom tvare je k dispozícii od spoločnosti Vieta, ale Vieta rozpoznávala iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 12. storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka prácam Girarda, Descarta, Newtona a ďalších vedcov nadobudol spôsob riešenia kvadratických rovníc svoju modernú podobu.

Vietov teorém

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi parametrami, koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, pomenovanú po Vietovi, prvýkrát sformuloval v roku 1591 takto: „Ak b + d vynásobené α mínus α 2 , sa rovná bc, potom α sa rovná b a rovná sa d.“

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si uvedomiť, že α, ako každé písmeno samohlásky, znamenalo neznáme (naše x), zatiaľ čo samohlásky b, d sú koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená:

Ak existuje

(α + b)x - x 2 = αb,

To znamená, že x 2 - (α -b)x + αb = 0,

potom x 1 = α, x 2 = b.

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami zapísanými pomocou symbolov Vieta nastolil jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietu má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc uvažoval len o prípadoch, keď všetky odmocniny boli kladné.

Základné pojmy

Parameter - nezávislá premenná, ktorej hodnota sa považuje za pevné alebo ľubovoľné číslo, alebo číslo patriace do intervalu určeného podmienkou úlohy.

Rovnica s parametrom— matematickýrovnica, ktorého vzhľad a riešenie závisí od hodnôt jedného alebo viacerých parametrov.

Rozhodnite sa rovnica s priemerom parametrov pre každú hodnotunájdite hodnoty x, ktoré spĺňajú túto rovnicu, a tiež:

1. 1. Preskúmajte, pri akých hodnotách parametrov má rovnica korene a koľko ich je pre rôzne hodnoty parametrov.
2. 2. Nájdite všetky výrazy pre korene a označte pre každý z nich tie hodnoty parametrov, pri ktorých tento výraz skutočne určuje koreň rovnice.

Uvažujme rovnicu α(x+k)= α +c, kde α, c, k, x sú premenné veličiny.

Systém prípustných hodnôt premenných α, c, k, xje akýkoľvek systém premenných hodnôt, v ktorom ľavá aj pravá strana tejto rovnice nadobúdajú skutočné hodnoty.

Nech A je množina všetkých prípustných hodnôt α, K množina všetkých prípustných hodnôt k, X množina všetkých prípustných hodnôt x, C množina všetkých prípustných hodnôt c. Ak pre každú z množín A, K, C, X vyberieme a zafixujeme jednu hodnotu α, k, c a dosadíme ich do rovnice, dostaneme rovnicu pre x, t.j. rovnica s jednou neznámou.

Premenné α, k, c, ktoré sa pri riešení rovnice považujú za konštantné, sa nazývajú parametre a samotná rovnica sa nazýva rovnica obsahujúca parametre.

Parametre sú označené prvými písmenami latinskej abecedy: α, b, c, d, ..., k, l, m, n a neznáme sú označené písmenami x, y, z.

Vyvolajú sa dve rovnice obsahujúce rovnaké parametre ekvivalentné, ak:

a) majú zmysel pre rovnaké hodnoty parametrov;

b) každé riešenie prvej rovnice je riešením druhej a naopak.

Typy rovníc s parametrami

Rovnice s parametrami sú: lineárne a štvorec.

1) Lineárna rovnica. Všeobecná forma:

α x = b, kde x je neznáme;α, b - parametre.

Pre túto rovnicu je špeciálna alebo kontrolná hodnota parametra tá, pri ktorej sa koeficient neznámej stáva nulou.

Pri riešení lineárnej rovnice s parametrom sa berú do úvahy prípady, keď sa parameter rovná svojej špeciálnej hodnote a líši sa od nej.

Špeciálnou hodnotou parametra α je hodnotaα = 0.

1.Ak, a ≠0, potom pre ľubovoľný pár parametrovα a b má jedinečné riešenie x = .

2. Ak, a =0, potom má rovnica tvar:0 x = b . V tomto prípade hodnota b = 0 je hodnota špeciálneho parametra b.

2.1. Pri b ≠ 0 rovnica nemá riešenia.

2.2. Pri b =0 rovnica bude mať tvar:0 x = 0.

Riešením tejto rovnice je akékoľvek reálne číslo.

Kvadratická rovnica s parametrom.

Všeobecná forma:

a x 2 + bx + c = 0

kde parameter α ≠0, b a c - ľubovoľné čísla

Ak α =1, potom sa rovnica nazýva redukovaná kvadratická rovnica.

Korene kvadratickej rovnice nájdeme pomocou vzorcov

Výraz D = b 2 - 4 α c sa nazýva diskriminant.

1. Ak D > 0, rovnica má dva rôzne korene.

2. Ak D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Ak D = 0, rovnica má dva rovnaké korene.

Metódy riešenia rovníc s parametrom:

1. Analytická - metóda priameho riešenia, opakujúca sa štandardné postupy na nájdenie odpovede v rovnici bez parametrov.
2. Grafický - v závislosti od podmienok úlohy sa uvažuje poloha grafu príslušnej kvadratickej funkcie v súradnicovom systéme.

Analytická metóda

Algoritmus riešenia:

1. Skôr ako začnete riešiť problém s parametrami pomocou analytickej metódy, musíte pochopiť situáciu pre konkrétnu číselnú hodnotu parametra. Napríklad vezmite hodnotu parametra α =1 a odpovedzte na otázku: je hodnota parametra α =1 potrebná pre túto úlohu.

Príklad 1. Vyriešte relatívne X lineárna rovnica s parametrom m:

Podľa významu úlohy (m-1)(x+3) = 0, teda m= 1, x = -3.

Vynásobením oboch strán rovnice (m-1)(x+3) dostaneme rovnicu

Dostaneme

Preto pri m = 2,25.

Teraz musíme skontrolovať, či existujú nejaké hodnoty m, pre ktoré

nájdená hodnota x je -3.

pri riešení tejto rovnice zistíme, že x sa rovná -3 s m = -0,4.

Odpoveď: kde m = 1, m = 2,25.

Grafická metóda. História pôvodu

Štúdium spoločných závislostí začalo v 14. storočí. Stredoveká veda bola scholastická. Pri tejto povahe nezostal priestor na skúmanie kvantitatívnych závislostí, išlo len o kvality predmetov a ich vzájomné prepojenie. Ale medzi scholastikmi vznikla škola, ktorá tvrdila, že vlastnosti môžu byť viac či menej intenzívne (šaty človeka, ktorý spadol do rieky, sú mokrejšie ako šaty niekoho, koho práve zastihol dážď)

Francúzsky vedec Nikolai Oresme začal zobrazovať intenzitu s dĺžkami segmentov. Keď umiestnil tieto segmenty kolmo na určitú priamku, ich konce vytvorili čiaru, ktorú nazval „čiara intenzity“ alebo „čiara horného okraja“ (graf zodpovedajúcej funkčnej závislosti Oresme dokonca študoval „rovinnú). “ a „fyzické“ vlastnosti, t. j. funkcie, v závislosti od dvoch alebo troch premenných.

Oresmeho dôležitým úspechom bol jeho pokus klasifikovať výsledné grafy. Identifikoval tri typy kvalít: Jednotné (s konštantnou intenzitou), rovnomerné-nerovnomerné (s konštantnou rýchlosťou zmeny intenzity) a nerovnomerné-nerovnaké (všetky ostatné), ako aj charakteristické vlastnosti grafov takýchto kvalít.

Na vytvorenie matematického aparátu na štúdium grafov funkcií bol potrebný koncept premennej. Tento pojem zaviedol do vedy francúzsky filozof a matematik René Descartes (1596-1650). Bol to Descartes, kto prišiel k myšlienkam o jednote algebry a geometrie a úlohe premenných Descartes zaviedol pevný jednotkový segment a začal uvažovať o vzťahoch iných segmentov k nemu.

Grafy funkcií tak za celú dobu svojej existencie prešli množstvom zásadných premien, ktoré ich priviedli do podoby, na akú sme zvyknutí. Každá etapa alebo etapa vo vývoji grafov funkcií je neoddeliteľnou súčasťou histórie modernej algebry a geometrie.

Grafický spôsob určenia počtu koreňov rovnice v závislosti od parametra, ktorý je v nej zahrnutý, je vhodnejší ako analytický.

Algoritmus riešenia grafickou metódou

Graf funkcie - súbor bodov, pri ktorýchúsečkasú platné hodnoty argumentov, A ordináty- zodpovedajúce hodnotyfunkcie.

Algoritmus na grafické riešenie rovníc s parametrom:

1. Nájdite doménu definície rovnice.
2. Vyjadrujeme α ako funkcia x.
3. V súradnicovom systéme zostavíme graf funkcieα (x) pre tie hodnoty x, ktoré sú zahrnuté v doméne definície tejto rovnice.
4. Nájdenie priesečníkov čiaryα =с, s grafom funkcie

a(x). Ak čiara α =с prechádza cez grafα (x), potom určíme úsečky priesečníkov. Na to stačí vyriešiť rovnicu c = a (x) vzhľadom na x.

1. Zapíšte si odpoveď

Riešenie rovníc s modulom

Pri riešení rovníc s modulom obsahujúcim parameter, graficky, je potrebné zostaviť grafy funkcií a zvážiť všetky možné prípady pre rôzne hodnoty parametra.

Napríklad │x│= a,

Odpoveď: ak a < 0, то нет корней, a > 0, potom x = a, x = - a, ak a = 0, potom x = 0.

Riešenie problémov.

Úloha 1. Koľko koreňov má rovnica?| | x | - 2 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) zostrojíme grafy funkcií y = | | x | - 2 | a y = a . Graf funkcie y = | | x | - 2 | znázornené na obrázku.

Graf funkcie y = a a = 0).

Z grafu je vidieť, že:

Ak a = 0, potom priamka y = a sa zhoduje s osou Ox a má graf funkcie y = | | x | - 2 | dva spoločné body; to znamená, že pôvodná rovnica má dva korene (v tomto prípade korene možno nájsť: x 1,2 = + 2).
Ak 0< a < 2, то прямая y = α má s grafom funkcie y = | | x | - 2 | štyri spoločné body, a preto má pôvodná rovnica štyri korene.
Ak a = 2, potom má priamka y = 2 tri spoločné body s grafom funkcie. Potom má pôvodná rovnica tri korene.
Ak a > 2, potom priamka y = a bude mať dva body s grafom pôvodnej funkcie, to znamená, že táto rovnica bude mať dva korene.

Odpoveď: ak a < 0, то корней нет;
ak a = 0, a > 2, potom existujú dva korene;
ak a = 2, potom existujú tri korene;
ak 0< a < 2, то четыре корня.

Úloha 2. Koľko koreňov má rovnica?| x 2 - 2| x | - 3 | = a v závislosti od parametra a?

Riešenie. V súradnicovom systéme (x; y) zostrojíme grafy funkcií y = | X 2 - 2| x | - 3 | a y = a.

Graf funkcie y = | X 2 - 2| x | - 3 | znázornené na obrázku. Graf funkcie y =α je priamka rovnobežná s Ox alebo s ňou zhodná (keď a = 0).

Z grafu môžete vidieť:

Ak a = 0, potom priamka y = a sa zhoduje s osou Ox a má graf funkcie y = | x2 - 2| x | - 3 | dva spoločné body, ako aj priamka y = a bude mať s grafom funkcie y = | X 2 - 2| x | - 3 | dva spoločné body a > 4. Takže pre a = 0 a a > 4 pôvodná rovnica má dva korene.
Ak 0< a< 3, то прямая y = a má s grafom funkcie y = | X 2 - 2| x | - 3 | štyri spoločné body, ako aj priamka y= a bude mať štyri spoločné body s grafom zostrojenej funkcie at a = 4. Takže pri 0< a < 3, a = 4 pôvodná rovnica má štyri korene.
Ak a = 3, potom priamka y = a pretína graf funkcie v piatich bodoch; preto má rovnica päť koreňov.
Ak 3< a< 4, прямая y = α pretína graf zostrojenej funkcie v šiestich bodoch; To znamená, že pre tieto hodnoty parametrov má pôvodná rovnica šesť koreňov.
Ak a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α nepretína graf funkcie y = | X 2 - 2| x | - 3 |.

Odpoveď: ak a < 0, то корней нет;
ak a = 0, a > 4, potom existujú dva korene;
ak 0< a < 3, a = 4, potom sú štyri korene;

Ak = 3, potom päť koreňov;
ak 3< a < 4, то шесть корней.

Úloha 3. Koľko koreňov má rovnica?

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Zostrojme graf funkcie v súradnicovom systéme (x; y)

ale najprv si to predstavme v tvare:

Čiary x = 1, y = 1 sú asymptoty grafu funkcie. Graf funkcie y = | x | + a získané z grafu funkcie y = | x | posunutie o jednotky pozdĺž osi Oy.

Funkčné grafy pretínajú v jednom bode a > - 1; To znamená, že rovnica (1) pre tieto hodnoty parametrov má jedno riešenie.

Keď a = - 1, a = - 2 grafy sa pretínajú v dvoch bodoch; To znamená, že pre tieto hodnoty parametrov má rovnica (1) dva korene.
O - 2< a< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Odpoveď: ak a > - 1, potom jedno riešenie;
ak a = - 1, a = - 2, potom existujú dve riešenia;
ak - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Komentujte. Pri riešení problémovej rovnice treba venovať osobitnú pozornosť prípadu, kedy a = - 2, keďže bod (- 1; - 1) nepatrí do grafu funkcieale patrí do grafu funkcie y = | x | + a.

Úloha 4. Koľko koreňov má rovnica?

x + 2 = a | x - 1 |

v závislosti od parametra a?

Riešenie. Všimnite si, že x = 1 nie je koreňom tejto rovnice, pretože rovnosť 3 = a 0 nemôže platiť pre žiadnu hodnotu parametra a . Vydeľme obe strany rovnice | x - 1 |(| x - 1 |0), potom rovnica nadobúda tvarV súradnicovom systéme xOy nakreslíme funkciu

Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku. Graf funkcie y = a je priamka rovnobežná s osou Ox alebo sa s ňou zhoduje (ak a = 0).