Zvážte nasledujúce rovnice:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y2 = 8.

Každá z vyššie uvedených rovníc je rovnica s dvoma premennými. Veľa bodov súradnicová rovina, ktorého súradnice menia rovnicu na správnu číselnú rovnosť, sa nazýva graf rovnice o dvoch neznámych.

Graf rovnice v dvoch premenných

Rovnice s dvoma premennými majú širokú škálu grafov. Napríklad pre rovnicu 2*x + 3*y = 15 bude graf priamka, pre rovnicu x 2 + y 2 = 4 bude grafom kruh s polomerom 2, graf rovnice y* x = 1 bude hyperbola atď.

Celé rovnice s dvoma premennými majú tiež taký pojem ako stupeň. Tento stupeň sa určuje rovnakým spôsobom ako pre celú rovnicu s jednou premennou. Ak to chcete urobiť, uveďte rovnicu do tvaru kedy ľavá strana existuje polynóm štandardný pohľad a ten pravý je nula. To sa deje prostredníctvom ekvivalentných transformácií.

Grafická metóda riešenia sústav rovníc

Poďme zistiť, ako vyriešiť sústavy rovníc, ktoré budú pozostávať z dvoch rovníc s dvoma premennými. Uvažujme o grafickej metóde riešenia takýchto systémov.

Príklad 1. Riešte sústavu rovníc:

(x2 + y2 = 25

(y = -x2 + 2*x + 5.

Zostrojme grafy prvej a druhej rovnice v rovnakom súradnicovom systéme. Grafom prvej rovnice bude kružnica so stredom v počiatku a polomerom 5. Grafom druhej rovnice bude parabola s vetvami smerujúcimi nadol.

Všetky body na grafoch budú spĺňať svoju vlastnú rovnicu. Musíme nájsť body, ktoré budú spĺňať prvú aj druhú rovnicu. Je zrejmé, že to budú body, kde sa tieto dva grafy pretínajú.

Pomocou nášho obrázku nájdeme približné hodnoty súradnice, na ktorých sa tieto body pretínajú. Získame nasledujúce výsledky:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

To znamená, že naša sústava rovníc má štyri riešenia.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Ak tieto hodnoty dosadíme do rovníc nášho systému, vidíme, že prvé a tretie riešenie sú približné a druhé a štvrté sú presné. Grafická metódačasto sa používa na odhad počtu koreňov a ich približných hraníc. Riešenia sú často skôr približné ako presné.

Video tutoriál " Grafická metóda riešenia sústav rovníc“ uvádza vzdelávací materiál zvládnuť túto tému. Materiál obsahuje všeobecný pojem o riešení sústavy rovníc, ako aj podrobné vysvetlenie na príklade, ako sa graficky rieši sústava rovníc.

Vizuálna pomôcka využíva animáciu, aby boli konštrukcie pohodlnejšie a zrozumiteľnejšie rôzne cesty vypúšťanie dôležité pojmy a podrobnosti pre hlbšie pochopenie materiálu a lepšie zapamätanie.

Video lekcia začína predstavením témy. Žiakom pripomíname, čo je sústava rovníc a aké sústavy rovníc poznali už v 7. ročníku. Predtým museli žiaci riešiť sústavy rovníc v tvare ax+by=c. Prehĺbenie konceptu riešenia systémov rovníc a s cieľom rozvíjať schopnosť ich riešiť, táto video lekcia skúma riešenie systému pozostávajúceho z dvoch rovníc druhého stupňa, ako aj jednej rovnice druhého stupňa a druhého stupňa. prvého stupňa. Pripomíname si, čo je riešenie sústavy rovníc. Na obrazovke sa zobrazí definícia riešenia systému ako dvojice hodnôt premenných, ktoré obrátia svoje rovnice pri dosadení do správnej rovnosti. V súlade s definíciou systémového riešenia je úloha špecifikovaná. Zobrazuje sa na obrazovke, aby ste si zapamätali, že riešenie systému znamená nájsť vhodné riešenia alebo dokázať ich absenciu.

Navrhuje sa zvládnuť grafickú metódu riešenia určitého systému rovníc. Aplikácia túto metódu sa uvažuje na príklade riešenia sústavy pozostávajúcej z rovníc x 2 +y 2 =16 a y=-x 2 +2x+4. Grafické riešenie Systém začína vykreslením grafu každej z týchto rovníc. Je zrejmé, že grafom rovnice x 2 + y 2 = 16 bude kruh. Riešením rovnice sú body patriace do daného kruhu. Vedľa rovnice je na rovine súradníc zostrojená kružnica s polomerom 4 so stredom O v počiatku. Grafom druhej rovnice je parabola, ktorej vetvy sú znížené nadol. Táto parabola zodpovedajúca grafu rovnice je zostrojená na súradnicovej rovine. Akýkoľvek bod patriace do paraboly, je riešením rovnice y=-x 2 +2x+4. Vysvetľuje sa, že riešením sústavy rovníc sú body na grafoch, ktoré súčasne patria do grafov oboch rovníc. To znamená, že priesečníky zostrojených grafov budú riešeniami sústavy rovníc.

Je potrebné poznamenať, že grafická metóda pozostáva z nájdenia približnej hodnoty súradníc bodov umiestnených na priesečníku dvoch grafov, ktoré odrážajú množinu riešení každej rovnice systému. Na obrázku sú súradnice nájdených priesečníkov dvoch grafov: A, B, C, D[-2;-3.5]. Tieto body sú riešeniami systému rovníc nájdených graficky. Ich správnosť môžete skontrolovať ich dosadením do rovnice a získaním primeranej rovnosti. Po dosadení bodov do rovnice je jasné, že niektoré body dávajú presná hodnota riešenia a časť predstavuje približnú hodnotu riešenia rovnice: x 1 =0, y 1 =4; x2 = 2, y2 = 3,5; x3 = 3,5, y3 = -2; x4 = -2, y4 ≈-3,5.

Videonávod podrobne vysvetľuje podstatu a aplikáciu grafickej metódy riešenia sústavy rovníc. To umožňuje použiť ho ako videonávod na hodine algebry v škole pri štúdiu tejto témy. Materiál bude tiež užitočný pre samoštúdiumštudentov a môže pomôcť vysvetliť tému počas dištančného vzdelávania.

V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie sústav dvoch rovníc v dvoch premenných. Najprv sa pozrime na grafické riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc a špecifiká množiny ich grafov. Ďalej budeme riešiť niekoľko systémov pomocou grafickej metódy.

Téma: Sústavy rovníc

Hodina: Grafická metóda riešenia sústavy rovníc

Zvážte systém

Nazýva sa dvojica čísel, ktorá je súčasne riešením prvej aj druhej rovnice sústavy riešenie sústavy rovníc.

Riešenie sústavy rovníc znamená nájsť všetky jej riešenia, alebo zistiť, že riešenia neexistujú. Pozreli sme sa na grafy základných rovníc, prejdime k uvažovaniu systémov.

Príklad 1. Vyriešte sústavu

Riešenie:

Sú to lineárne rovnice, graf každej z nich je priamka. Graf prvej rovnice prechádza bodmi (0; 1) a (-1; 0). Graf druhej rovnice prechádza bodmi (0; -1) a (-1; 0). Priamky sa pretínajú v bode (-1; 0), toto je riešenie sústavy rovníc ( Ryža. 1).

Riešením systému je dvojica čísel Dosadením tejto dvojice čísel do každej rovnice dostaneme správnu rovnosť.

Máme jediné rozhodnutie lineárny systém.

Pripomeňme, že pri riešení lineárneho systému sú možné tieto prípady:

systém má unikátne riešenie - čiary sa pretínajú,

systém nemá žiadne riešenia - čiary sú rovnobežné,

sústava má nekonečné množstvo riešení – priamky sa zhodujú.

Skontrolovali sme špeciálny prípad systémy, kde p(x; y) a q(x; y) sú lineárne vyjadrenia x a y.

Príklad 2. Riešte sústavu rovníc

Riešenie:

Graf prvej rovnice je priamka, graf druhej rovnice je kruh. Zostavme prvý graf po bodoch (obr. 2).

Stred kruhu je v bode O(0; 0), polomer je 1.

Grafy sa pretínajú v bode A(0; 1) a bode B(-1; 0).

Príklad 3. Vyriešte sústavu graficky

Riešenie: Zostrojme graf prvej rovnice - je to kružnica so stredom v t.O(0; 0) a polomerom 2. Grafom druhej rovnice je parabola. Je posunutý smerom nahor o 2 vzhľadom na pôvod, t.j. jeho vrcholom je bod (0; 2) (obr. 3).

Grafy majú jeden spoločný bod-t A(0; 2). Je to riešenie systému. Zapojme do rovnice pár čísel, aby sme skontrolovali, či je to správne.

Príklad 4. Vyriešte sústavu

Riešenie: Zostrojme graf prvej rovnice - ide o kružnicu so stredom v t.O(0; 0) a polomerom 1 (obr. 4).

Nakreslíme funkciu Toto je prerušovaná čiara (obr. 5).

Teraz ho posuňme o 1 nadol pozdĺž osi oy. Toto bude graf funkcie

Umiestnime oba grafy do rovnakého súradnicového systému (obr. 6).

Dostaneme tri priesečníky - bod A(1; 0), bod B(-1; 0), bod C(0; -1).

Pozreli sme sa na grafickú metódu riešenia systémov. Ak dokážete vykresliť graf každej rovnice a nájsť súradnice priesečníkov, potom je táto metóda úplne postačujúca.

Grafická metóda však často umožňuje nájsť iba približné riešenie systému alebo odpovedať na otázku o počte riešení. Preto sú potrebné iné metódy, presnejšie a budeme sa im venovať v nasledujúcich lekciách.

1. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Učebnica. Pre všeobecné vzdelanie Inštitúcie.- 4. vyd. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: chor.

2. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Problémová kniha pre žiakov vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a ďalší - 4. vyd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor.

3. Makarychev Yu. 9. ročník: výchovný. pre študentov všeobecného vzdelávania. inštitúcie / Yu N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. vyd., rev. a dodatočné - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9. ročníka. 16. vyd. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9. ročníka. V 2 hodinách 1. časť. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. vyd., vymazané. - M.: 2010. - 224 s.: chor.

6. Algebra. 9. ročníka. V 2 častiach. 2. časť. Problémová kniha pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina a ďalší; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. vydanie, rev. - M.: 2010.-223 s.: chor.

1. Časť College.ru o matematike ().

2. Internetový projekt „Úlohy“ ().

3. Vzdelávací portál„POUŽITIE VYRIEŠIM“ ().

1. Mordkovich A.G. a iné Algebra 9. ročník: Úloha pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a i. - 4. vyd. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor. č. 105, 107, 114, 115.

Prvá úroveň

Riešenie rovníc, nerovníc, sústav pomocou funkčných grafov. Vizuálny sprievodca (2019)

Mnohé úlohy, ktoré sme zvyknutí počítať čisto algebraicky, sa dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie a rýchlejšie pomocou funkčných grafov. Poviete si "ako to?" niečo nakresliť a čo nakresliť? Verte mi, niekedy je to pohodlnejšie a jednoduchšie. Môžeme začať? Začnime s rovnicami!

Grafické riešenie rovníc

Grafické riešenie lineárnych rovníc

Ako už viete, graf lineárnej rovnice je priamka, odtiaľ názov tohto typu. Lineárne rovnice sa algebraicky riešia celkom jednoducho – všetky neznáme prenesieme na jednu stranu rovnice, všetko, čo vieme, na druhú a voilá! Našli sme koreň. Teraz vám ukážem, ako na to graficky.

Takže máte rovnicu:

Ako to vyriešiť?
možnosť 1 a najbežnejším je presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú, dostaneme:

Teraz poďme stavať. Čo si dostal?

Čo je podľa vás koreňom našej rovnice? Správne, súradnica priesečníka grafov je:

Naša odpoveď je

To je celá múdrosť grafického riešenia. Ako môžete ľahko skontrolovať, koreňom našej rovnice je číslo!

Ako som povedal vyššie, toto je najbežnejšia možnosť, blízko k algebraické riešenie, ale môžete to vyriešiť inak. Na zváženie alternatívne riešenie Vráťme sa k našej rovnici:

Tentokrát nebudeme nič presúvať zo strany na stranu, ale grafy vytvoríme priamo, keďže už existujú:

Postavený? Pozrime sa!

Aké je riešenie tentokrát? To je správne. To isté - súradnica priesečníka grafov:

A naša odpoveď je opäť.

Ako vidíte, s lineárne rovnice všetko je mimoriadne jednoduché. Je čas pozrieť sa na niečo komplexnejšie... Napr. grafické riešenie kvadratických rovníc.

Grafické riešenie kvadratických rovníc

Začnime teda riešiť kvadratickú rovnicu. Povedzme, že potrebujete nájsť korene tejto rovnice:

Samozrejme, teraz môžete začať počítať cez diskriminant alebo podľa Vietovej vety, ale veľa ľudí od nervov robí chyby pri násobení alebo umocňovaní, najmä ak je príklad s veľké čísla, a ako iste viete, na skúšku nebudete mať kalkulačku... Preto sa skúsme pri riešení tejto rovnice trochu uvoľniť a kresliť.

Nájdite riešenia graficky daná rovnica Môcť rôzne cesty. Pozrime sa na rôzne možnosti a môžete si vybrať, ktorá sa vám najviac páči.

Metóda 1. Priamo

Jednoducho zostavíme parabolu pomocou tejto rovnice:

Aby ste to urobili rýchlo, dám vám jeden malý tip: Konštrukciu je vhodné začať určením vrcholu paraboly. Nasledujúce vzorce pomôžu určiť súradnice vrcholu paraboly:

Poviete „Stop! Vzorec pre je veľmi podobný vzorcu na nájdenie diskriminantu,“ áno, je, a to je obrovská nevýhoda „priamoho“ zostrojenia paraboly na nájdenie jej koreňov. Počítajme však do konca a potom vám ukážem, ako to urobiť oveľa (oveľa!) jednoduchšie!

Počítal si? Aké súradnice ste získali pre vrchol paraboly? Poďme na to spolu:

Presne tá istá odpoveď? Výborne! A teraz už poznáme súradnice vrcholu, no na zostrojenie paraboly potrebujeme viac... bodov. Koľko minimálnych bodov si myslíte, že potrebujeme? Správny, .

Viete, že parabola je symetrická podľa svojho vrcholu, napríklad:

Preto potrebujeme ďalšie dva body na ľavej alebo pravej vetve paraboly a v budúcnosti budeme tieto body symetricky odrážať na opačnej strane:

Vráťme sa k našej parabole. Pre náš prípad bodka. Potrebujeme ešte dva body, aby sme mohli brať pozitívne alebo negatívne? Ktoré body sú pre vás výhodnejšie? Je pre mňa pohodlnejšie pracovať s pozitívnymi, takže vypočítam na a.

Teraz máme tri body a môžeme ľahko zostrojiť našu parabolu odrazom dvoch posledné body vzhľadom na jeho vrchol:

Aké je podľa vás riešenie rovnice? To je pravda, body, v ktorých, to je, a. Pretože.

A ak to povieme, znamená to, že sa musí aj rovnať, príp.

Len? Dokončili sme s vami riešenie rovnice zložitým grafickým spôsobom, alebo bude viac!

Samozrejme, našu odpoveď si môžete skontrolovať algebraicky – korene môžete vypočítať pomocou Vietovej vety alebo Diskriminantu. Čo si dostal? Rovnaký? Tu vidíte! Teraz sa pozrime na veľmi jednoduché grafické riešenie, určite sa vám bude páčiť!

Metóda 2. Rozdelená na niekoľko funkcií

Zoberme si rovnakú rovnicu: , ale napíšeme ju trochu inak, konkrétne:

Môžeme to napísať takto? Môžeme, keďže transformácia je ekvivalentná. Pozrime sa ďalej.

Zostavme dve funkcie oddelene:

- rozvrh je jednoduchá parabola, ktorý ľahko postavíte aj bez definovania vrcholu pomocou vzorcov a zostavenia tabuľky na určenie ďalších bodov.
- graf je priamka, ktorú môžete rovnako ľahko zostaviť odhadom hodnôt vo vašej hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Postavený? Porovnajme s tým, čo som dostal:

Myslíte si, že v v tomto prípade sú korene rovnice? Správny! Súradnice získané priesečníkom dvoch grafov, a to:

Preto je riešením tejto rovnice:

Čo hovoríš? Súhlasíte, táto metóda riešenia je oveľa jednoduchšia ako predchádzajúca a dokonca jednoduchšia ako hľadanie koreňov cez diskriminant! Ak áno, skúste vyriešiť nasledujúcu rovnicu pomocou tejto metódy:

Čo si dostal? Porovnajme naše grafy:

Grafy ukazujú, že odpovede sú:

Zvládli ste to? Výborne! Teraz sa pozrime na rovnice trochu zložitejšie, konkrétne na riešenie zmiešané rovnice, teda rovnice obsahujúce funkcie rôznych typov.

Grafické riešenie zmiešaných rovníc

Teraz skúsme vyriešiť nasledovné:

Samozrejme, všetko vieme doniesť spoločný menovateľ, nájdite korene výslednej rovnice, pričom nezabudnite vziať do úvahy ODZ, ale opäť sa to pokúsime vyriešiť graficky, ako sme to urobili vo všetkých predchádzajúcich prípadoch.

Tentoraz zostavme nasledujúce 2 grafy:

- graf je hyperbola
- graf je priamka, ktorú môžete ľahko zostaviť odhadom hodnôt v hlave bez toho, aby ste sa museli uchýliť k kalkulačke.

Uvedomil si to? Teraz začnite stavať.

Tu je to, čo som dostal:

Pri pohľade na tento obrázok mi povedzte, aké sú korene našej rovnice?

Je to tak a. Tu je potvrdenie:

Skúste do rovnice zapojiť naše korene. Stalo?

To je správne! Súhlasíte, riešenie takýchto rovníc graficky je potešením!

Skúste rovnicu vyriešiť graficky sami:

Dám vám nápovedu: presuňte časť rovnice do pravá strana, takže na oboch stranách sú najjednoduchšie funkcie na zostavenie. Dostali ste nápovedu? Konajte!

Teraz sa pozrime, čo máte:

Respektíve:

- kubická parabola.
- obyčajná priamka.

No poďme stavať:

Ako ste už dávno zapísali, koreň tejto rovnice je - .

Po tomto rozhodnutí veľké množstvo príklady, som si istý, že ste si uvedomili, ako rýchlo a jednoducho môžete riešiť rovnice graficky. Je čas prísť na to, ako riešiť systémy týmto spôsobom.

Grafické riešenie systémov

Grafické riešenie systémov sa v podstate nelíši od grafického riešenia rovníc. Zostavíme tiež dva grafy a ich priesečníky budú koreňmi tohto systému. Jeden graf je jedna rovnica, druhý graf je ďalšia rovnica. Všetko je mimoriadne jednoduché!

Začnime tým najjednoduchším – riešením sústav lineárnych rovníc.

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Povedzme, že máme nasledujúci systém:

Najprv to pretvorme tak, aby naľavo bolo všetko, s čím súvisí, a napravo - všetko, s čím súvisí. Inými slovami, napíšme tieto rovnice ako funkciu v našom obvyklom tvare:

Teraz len postavíme dve rovné čiary. Aké je riešenie v našom prípade? Správny! Bod ich priesečníka! A tu musíte byť veľmi, veľmi opatrní! Premýšľajte o tom, prečo? Dovoľte mi poradiť: máme čo do činenia so systémom: v systéme je oboje a... Máte tip?

To je správne! Pri riešení sústavy sa musíme pozerať na obe súradnice, a to nielen ako pri riešení rovníc! Ďalší dôležitý bod- zapíšte si ich správne a nezamieňajte, kde máme význam a kde význam! Napísal si to? Teraz porovnajme všetko v poradí:

A odpovede: a. Urobte kontrolu - dosaďte nájdené korene do systému a presvedčte sa, či sme to graficky vyriešili správne?

Riešenie sústav nelineárnych rovníc

Čo ak namiesto jednej priamky máme kvadratická rovnica? Je to v poriadku! Namiesto priamky postavíte parabolu! neveríte? Skúste vyriešiť nasledujúci systém:

Aký je náš ďalší krok? Správne, zapíšte si to, aby bolo pre nás vhodné vytvárať grafy:

A teraz je to všetko otázka malých vecí – postavte to rýchlo a tu je vaše riešenie! Staviame:

Vyšli grafy rovnako? Teraz označte riešenia systému na obrázku a správne zapíšte zistené odpovede!

Urobil som všetko? Porovnaj s mojimi poznámkami:

Je všetko v poriadku? Výborne! Už klikáš podobné úlohy ako orechy! Ak áno, dáme vám zložitejší systém:

Čo robíme? Správny! Systém píšeme tak, aby bolo vhodné ho zostaviť:

Dám vám malú nápovedu, pretože systém vyzerá veľmi komplikovane! Pri konštrukcii grafov ich postavte „viac“ a hlavne vás neprekvapí množstvo priesečníkov.

Tak, poďme! Vydýchnutý? Teraz začnite stavať!

Tak ako? krásne? Koľko priesečníkov ste získali? Mám tri! Porovnajme naše grafy:

tiež? Teraz si pozorne zapíšte všetky riešenia nášho systému:

Teraz sa znova pozrite na systém:

Viete si predstaviť, že by ste to vyriešili len za 15 minút? Súhlasíte, matematika je stále jednoduchá, najmä pri pohľade na výraz sa nebojíte urobiť chybu, ale jednoducho ju vezmite a vyriešte! Si veľký chalan!

Grafické riešenie nerovností

Grafické riešenie lineárnych nerovností

Po posledný príklad Všetko zvládnete! Teraz vydýchnite - v porovnaní s predchádzajúcimi časťami bude táto veľmi, veľmi ľahká!

Začneme, ako inak, grafickým riešením lineárna nerovnosť. Napríklad tento:

Najprv vykonajte najjednoduchšie transformácie - otvorte zátvorky úplné štvorce a uveďte podobné výrazy:

Nerovnosť nie je striktná, preto nie je zahrnutá v intervale a riešením budú všetky body, ktoré sú vpravo, keďže viac, viac atď.

odpoveď:

To je všetko! ľahko? Poďme vyriešiť jednoduchú nerovnosť s dvoma premennými:

Nakreslíme funkciu v súradnicovom systéme.

Dostali ste takýto rozvrh? Teraz sa pozrime pozorne na to, akú nerovnosť tam máme? menej? To znamená, že maľujeme všetko, čo je naľavo od našej priamky. Čo keby ich bolo viac? To je pravda, potom by sme premaľovali všetko, čo je napravo od našej priamky. Je to jednoduché.

Všetky riešenia tejto nerovnosti"tieňovaný" oranžová. To je všetko, nerovnosť s dvoma premennými je vyriešená. To znamená, že riešením sú súradnice ľubovoľného bodu zo zatienenej oblasti.

Grafické riešenie kvadratických nerovností

Teraz pochopíme, ako graficky vyriešiť kvadratické nerovnosti.

Ale predtým, než sa pustíme do práce, zopakujme si nejaký materiál týkajúci sa kvadratickej funkcie.

Za čo je zodpovedný diskriminant? To je pravda, pre polohu grafu vzhľadom na os (ak si to nepamätáte, určite si prečítajte teóriu o kvadratických funkciách).

V každom prípade je tu pre vás malá pripomienka:

Teraz, keď sme si osviežili všetok materiál v pamäti, poďme na vec – vyriešte nerovnosť graficky.

Hneď vám poviem, že existujú dve možnosti, ako to vyriešiť.

možnosť 1

Našu parabolu zapíšeme ako funkciu:

Pomocou vzorcov určíme súradnice vrcholu paraboly (presne rovnaké ako pri riešení kvadratických rovníc):

Počítal si? Čo si dostal?

Teraz zoberme ďalšie dva rôzne body a vypočítajme pre ne:

Začnime budovať jednu vetvu paraboly:

Symetricky odrážame naše body do inej vetvy paraboly:

Teraz sa vráťme k našej nerovnosti.

Potrebujeme, aby to tak bolo menej ako nula, respektíve:

Keďže v našej nerovnosti je znamienko striktne menšie ako, potom koncové body vylučujeme - „vypichnúť“.

odpoveď:

Dlhá cesta, však? Teraz vám ukážem jednoduchšiu verziu grafického riešenia na príklade rovnakej nerovnosti:

Možnosť 2

Vrátime sa k našej nerovnosti a označíme intervaly, ktoré potrebujeme:

Súhlasíte, je to oveľa rýchlejšie.

Teraz si napíšme odpoveď:

Uvažujme o ďalšom riešení, ktoré zjednodušuje algebraickú časť, ale hlavnou vecou nie je zmiasť sa.

Vynásobte ľavú a pravú stranu:

Skúste sami vyriešiť nasledovné kvadratická nerovnosť akýmkoľvek spôsobom sa vám páči: .

Zvládli ste to?

Pozrite sa, ako dopadol môj graf:

odpoveď: .

Grafické riešenie zmiešaných nerovností

Teraz prejdime k zložitejším nerovnostiam!

Ako sa vám páči toto:

Je to strašidelné, však? Úprimne povedané, netuším, ako to vyriešiť algebraicky... Ale nie je to potrebné. Graficky na tom nie je nič zložité! Oči sa boja, ale ruky robia!

Prvá vec, s ktorou začneme, je zostrojenie dvoch grafov:

Nebudem písať tabuľku pre každú z nich - som si istý, že to zvládnete dokonale sami (wow, existuje toľko príkladov na riešenie!).

Namaľoval si to? Teraz vytvorte dva grafy.

Porovnáme naše kresby?

Je to tak aj u vás? Skvelé! Teraz usporiadame priesečníky a pomocou farby určíme, ktorý graf by sme mali mať teoreticky väčší. Pozrite sa, čo sa nakoniec stalo:

Teraz sa pozrime, kde je náš vybraný graf vyššie ako graf? Pokojne si vezmite ceruzku a premaľujte túto oblasť! Ona bude riešením našej komplexnej nerovnosti!