V tomto článku sa dozviete, ako vyriešiť matematické problémy, ak neviete, kde začať.
Pri riešení problémov sa školáci často „dostávajú do strnulosti“ - v ich hlavách je hmla, myšlienky sa niekde rozptýlili a zdá sa, že ich už nie je možné zbierať.
Chcem použiť príklad riešenia problému z Otvorte bankuúlohy ukázať ktoré jednoduché kroky musíte urobiť, aby ste zhromaždili svoje myšlienky a ako správne riešiť problémy.
Ako riešiť problémy. Úloha B13 (č. 26582)
Cyklista odišiel z konštantná rýchlosť z mesta A do mesta B, vzdialenosť medzi nimi je 98 km. Na druhý deň išiel späť rýchlosťou o 7 km/h vyššou ako predtým. Cestou si urobil zastávku na 7 hodín. Výsledkom bolo, že na ceste späť strávil rovnaký čas ako na ceste z A do B. Zistite rýchlosť cyklistu na ceste z A do B. Odpoveď uveďte v km/h.
1. Pozorne si prečítajte problém. Možno niekoľkokrát.
2. Určte, o akom procese hovoríme hovoríme o v probléme a aké vzorce popisujú tento proces. Vypíšme tieto vzorce. IN v tomto prípade toto je pohybová úloha a vzorec, ktorý popisuje tento proces, je S=vt.
3. Zapíšeme si rozmer každej premennej, ktorá je súčasťou rovnice:
- S - vzdialenosť - km
- v - rýchlosť - km/h
- t - čas - h
Znalosť rozmeru nám pomôže pri kontrole výsledných vzorcov.
4. Zapíšeme si všetky čísla, ktoré sa vyskytujú v úlohe, napíšeme, čo znamenajú a ich rozmer:
98 km - vzdialenosť medzi mestami,
7 km/h - rýchlosť cyklistu na spiatočnej ceste je oveľa väčšia ako rýchlosť na ceste z mesta A do mesta B,
7 hodín je čas, keď cyklista zastavil (v tomto čase nejazdil)
5. Ešte raz si prečítajte otázku úlohy.
6. Rozhodnite sa, akú hodnotu prijmeme ako neznámu. Je vhodné brať ako neznáme množstvo, ktoré je potrebné v probléme poznať. V tomto prípade ide o rýchlosť cyklistu na ceste z bodu A do bodu B.
Takže: rýchlosť cyklistu na ceste z A do B nech je x. Potom, keďže rýchlosť cyklistu na ceste späť je o 7 km/h väčšia ako rýchlosť na ceste z mesta A do mesta B, rovná sa x+7.
7. Zostavte rovnicu. Aby sme to dosiahli, vyjadríme tretiu veličinu pohybovej rovnice (čas) z hľadiska prvých dvoch. potom:
- čas, ktorý cyklistovi trvá dostať sa z bodu A do bodu B, je 98/x,
- a na ceste z B do A - 98/(x+7)+7 - nezabudnite, že pri ceste späť cyklista zastavil 7 hodín, to znamená, že jeho čas jazdy je súčtom času pohybu a parkovania čas.
Vytvorme rovnicu pre čas. V problémovom vyhlásení sa ešte raz dočítame, že hovorí o čase: V dôsledku toho strávil na ceste späť rovnaký čas ako na ceste z bodu A do bodu B. To znamená, že čas „tam“ sa rovná čas „späť“. Dáme rovnítko medzi čas „tam“ a čas „späť“ Dostaneme rovnicu:
98/x=98/(x+7)+7.
Ešte raz skontrolujeme rozmery veličín, ktoré sú zahrnuté v rovnici – treba sa uistiť, že napríklad k kilometrom nepripočítame hodiny.
8. Vyriešte rovnicu. Teraz sa musíme sústrediť na riešenie rovnice. Aby sme to dosiahli, určíme, o aký typ rovnice ide. Keďže neznáma je v menovateli zlomkov, toto racionálna rovnica. Aby ste to vyriešili, musíte posunúť všetky výrazy doľava a priviesť zlomky na spoločný menovateľ. Všimnite si, že čísla 98 a 7 sú násobky 7.
Pre zjednodušenie riešenia vydelíme obe strany rovnice 7. Dostaneme rovnicu: 14/x=14/(x+7)+1
Potom presunieme všetky pojmy doľava, privedieme ich k spoločnému menovateľovi a prirovnáme čitateľa k nule.
Dostaneme sa do čitateľa: 14(x+7)-14x-x(x+7)=0 Otvorme zátvorky a dáme podobné výrazy a vyriešiť kvadratickú rovnicu.
Jeho korene sú -14 a 7.
Číslo -14 nezodpovedá podmienkam problému: rýchlosť musí byť kladná.
Ešte raz si prečítame otázku problému a korelujeme ju s hodnotou, ktorú sme našli: zobrali sme neznámu rýchlosť cyklistu na ceste z A do B a potrebujeme nájsť rovnakú hodnotu.
Odpoveď: 7 km/h.
Ako riešiť problémy. Spodná čiara
Všimnite si, že celú cestu k riešeniu problému sme rozdelili na malé kúsky a v každej časti sme sa zamerali špecificky na myslenie konkrétnu akciu. A až po dokončení tejto akcie sa pristúpilo k ďalšiemu kroku.
Keď nie je jasné, čo robiť, musíte sa rozhodnúť, aký malý krok môžete urobiť práve teraz, urobte ho a potom premýšľajte o ďalšom.
IN túto sekciu Pripravujeme sa na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky ako základnú, úroveň profilu- prezentujeme analýzy úloh, testy, popisy skúšok a užitočné odporúčania. Pomocou nášho zdroja aspoň pochopíte, ako riešiť problémy a budete môcť úspešne zložiť jednotnú štátnu skúšku z matematiky v roku 2019. Začať!
Jednotná štátna skúška z matematiky je povinná skúška každý žiak v 11. ročníku, takže informácie uvedené v tejto časti sú relevantné pre každého. Skúška z matematiky sa delí na dva typy – základnú a špecializovanú. V tejto časti poskytujem analýzu každého typu úlohy podrobné vysvetlenie pre dve možnosti. Zadania jednotnej štátnej skúšky prísne tematické, takže pre každý problém môžete poskytnúť presné odporúčania a poskytnúť teóriu potrebnú špeciálne na riešenie tohto typu úloh. Nižšie nájdete odkazy na zadania, kliknutím na ktoré si môžete preštudovať teóriu a analyzovať príklady. Príklady sa neustále dopĺňajú a aktualizujú.
Štruktúra základného stupňa Jednotnej štátnej skúšky z matematiky
Papier na skúšku matematiky Základná úroveň zahŕňa jeden kus , vrátane 20 úloh s krátkou odpoveďou. Všetky úlohy sú zamerané na preverenie zvládnutia základných zručností a praktických aplikačných zručností matematické znalosti v každodenných situáciách.
Odpoveď na každú z úloh 1-20 je celé číslo, Konečný desiatkový , alebo postupnosť čísel .
Úloha s krátkou odpoveďou sa považuje za splnenú, ak sa správna odpoveď zapíše do odpoveďového formulára č. 1 vo forme uvedenej v pokynoch na vyplnenie úlohy.
Percentá v matematike. Problémy týkajúce sa percent.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Percentá v matematike.
Čo sa stalo percentá v matematike? Ako sa rozhodnúť percent problémov? Tieto otázky sa vynoria, žiaľ, zrazu... Keď si absolvent prečíta zadanie Jednotnej štátnej skúšky. A dali ho do slepej uličky. Ale márne. Sú to veľmi jednoduché koncepty.
Jediná vec, ktorú si musíte zapamätať, je to, čo to je jedno percento . Tento koncept je hlavný kľúč na riešenie problémov s percentami a na prácu s percentami vo všeobecnosti.
Jedno percento je stotina čísla . To je všetko. Už niet múdrosti.
Rozumná otázka – čo so stým dielom? aký dátum ? A tu je číslo, o ktorom sa hovorí v úlohe. Ak hovorí o cene, jedno percento je jedna stotina ceny. Ak hovoríme o rýchlosti, jedno percento je jedna stotina rýchlosti. A tak ďalej. Je jasné, že dané číslo je vždy 100%. A ak neexistuje samotné číslo, potom percentá nemajú žiadny význam...
Ďalšia vec je, že v komplexné úlohy samotné číslo bude skryté, takže ho nenájdete. Zatiaľ však necielime na komplikované. Poďme sa zaoberať percentá v matematike.
Nie nadarmo zdôrazňujem slová jedno percento, stotina. Spomienka na to, čo to je jedno percento, ľahko nájdete dve percentá, tridsaťštyri, sedemnásť a stodvadsaťšesť! Nájdete toľko, koľko potrebujete.
A to je mimochodom hlavná zručnosť pri riešení problémov s percentami.
Skúsime?
Nájdime 3 % zo 400. Najprv nájdime jedno percento. Toto bude jedna stotina, t.j. 400/100 = 4. Jedno percento sú 4. Koľko percent potrebujeme? Tri. Vynásobíme teda 4 tromi. Dostávame 12. To je všetko. Tri percentá zo 400 sú 12.
5 % z 20 je 20 delené 100 (jedna stotina je 1 %) a vynásobené piatimi (5 %):
5 % z 20 bude 1. To je všetko.
Jednoduchšie to už nemôže byť. Poďme si rýchlo zacvičiť, kým nezabudneme!
Zistite, koľko to bude:
5% z 200 rubľov.
8 % z 350 kilometrov.
120% z 10 litrov.
15 % zo 60 stupňov.
4 % výborných študentov z 25 študentov.
10% chudobných študentov z 20 ľudí.
Odpovede (v úplnom neporiadku): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Tieto čísla predstavujú počet rubľov, titulov, študentov atď. Nenapísal som koľko z čoho, aby bolo zaujímavejšie rozhodnúť...
Čo ak budeme musieť napísať X% z nejakého čísla, napríklad z 50? Áno, všetko je po starom. Jedno percento z 50 – koľko? Presne tak, 50/100 = 0,5. A máme toto percento - X. No, vynásobme 0,5 krát X! Chápeme to X% od 50 je toto - 0,5x.
Dúfam percentá v matematike máš to. A môžete ľahko nájsť akékoľvek percento z akéhokoľvek čísla. Je to jednoduché. Teraz môžete zvládnuť približne 60% všetkých percentuálnych problémov! Už viac ako polovicu. No, dokončíme zvyšok? Dobre, čokoľvek poviete!
Pri problémoch s percentami často nastáva opačná situácia. Dávajú nám množstvá (akýkoľvek druh), ale musíme ho nájsť záujem . Poďme zvládnuť tento jednoduchý proces.
3 ľudia zo 120 – koľko percent? Neviem? Nuž, nechajme to tak X percent.
Poďme počítať X% od 120 ľudí. V ľuďoch. To je to, čo môžeme urobiť. Vydeľte 120 100 (vypočítajte 1 %) a vynásobte X(počítame X%). Dostávame 1.2 X.
Poďme pochopiť výsledok.
X percent od 120 ľudí je to 1.2 X Ľudské . A máme troch takýchto ľudí. Zostáva rovnať:
Pamätáme si, že pre X sme vzali počet percent. To znamená, že 3 ľudia zo 120 ľudí sú 2,5 %.
To je všetko.
Dá sa to aj inak. Môžete to urobiť jednoduchou vynaliezavosťou, bez akýchkoľvek rovníc. Zamyslime sa , koľko krát 3 osoby menej ako 120? Vydeľte 120 3 a získajte 40. To znamená, že 3 je 40-krát menej ako 120.
Požadovaný počet ľudí v percentách bude rovnaký počet krát menej ako 100 %. Veď 120 ľudí je 100%. Vydeľte 100 40, 100/40 = 2,5
To je všetko. Získali sme 2,5 %.
Existuje aj metóda proporcií, ale to je v skrátenej verzii v podstate to isté. Všetky tieto metódy sú správne. Čokoľvek je pre vás pohodlnejšie, známe a zrozumiteľnejšie – zvážte to tak.
Opäť trénujeme.
Vypočítajte percento:
3 ľudia z 12.
10 rubľov od 800.
4 učebnice zo 160 kníh.
24 správnych odpovedí na 32 otázok.
2 uhádnuté odpovede na 32 otázok.
9 zásahov z 10 výstrelov.
Odpovede (v poradí): 75 %, 25 %, 90 %, 1,25 %, 2,5 %, 6,25 %.
V procese výpočtov sa môžete stretnúť so zlomkami. Vrátane tých nepohodlných, ako napríklad 1,333333... Kto vám povedal, aby ste používali kalkulačku? seba? Netreba. počítať bez kalkulačky , ako je napísané v téme “Zlomky”. Sú tam všelijaké percentá...
Takže prechod z množstiev na percentá a späť máme zvládnutý. Môžete prevziať úlohy.
Problémy týkajúce sa percent.
IN Úlohy jednotnej štátnej skúšky na úroky sú veľmi obľúbené. Od najjednoduchších po najzložitejšie. V tejto časti pracujeme s jednoduchými úlohami. IN jednoduché úlohy, spravidla musíte prejsť od percent k množstvám, o ktorých sa hovorí v probléme. Na ruble, kilogramy, sekundy, metre atď. Alebo naopak. Už vieme, ako na to. Potom je problém jasný a ľahko riešiteľný. neveríš mi? Presvedčte sa sami.
Nech máme takýto problém.
„Jazda autobusom stojí 14 rubľov. V dňoch školské prázdniny Pre študentov je zavedená zľava 25 %. Koľko stojí cesta autobusom počas školských prázdnin?
Ako sa rozhodnúť? Ak zistíme, koľko 25% v rubľoch- potom nie je o čom rozhodovať. Odpočítajme zľavu od pôvodnej ceny – a je to!
Ale to už vieme rozpoznať! Koľko bude jedno percento od 14 rubľov? Stotina časť. To znamená, že 14/100 = 0,14 rubľov. A máme 25 takýchto percent Takže vynásobme 0,14 rubľov 25. Získame 3,5 rubľov. To je všetko. Stanovili sme výšku zľavy v rubľoch, zostáva len zistiť nová hodnota inštrukcie:
14 – 3,5 = 10,5.
Desať a pol rubľov. Toto je odpoveď.
Len čo sme prešli z úroku na ruble, všetko bolo jednoduché a jasné. Toto všeobecný prístup na riešenie problémov s percentami.
Je jasné, že nie všetky úlohy sú rovnako elementárne. Sú aj zložitejšie. Len si pomysli! Teraz ich vyriešime aj my. Problém je v tom, že je to naopak. Dostali sme nejaké množstvá, ale musíme nájsť percentá. Napríklad táto úloha:
„Predtým Vasya správne vyriešil dva problémy z dvadsiatich. Po preštudovaní témy na jednej užitočnej stránke začal Vasya správne riešiť 16 z 20 problémov O koľko percent sa stal Vasya múdrejším? 20 vyriešených problémov považujeme za 100% inteligentných.“
Keďže otázka je o percentách (a nie o rubľoch, kilogramoch, sekundách atď.), Potom prejdeme k percentám. Poďme zistiť, koľko percent Vasya vyriešil predtým pochopenie, koľko percent po - a je to v taške!
Počítame. Dva problémy z 20 – koľko percent? 2 je 10 krát menej ako 20, však? To znamená počet problémov v percentách bude 10-krát menej ako 100 %. To znamená 100/10 = 10.
10 %. Áno, Vasya sa trochu rozhodol... Na Jednotnej štátnej skúške sa nedá nič robiť. Ale teraz sa stal múdrejším a vyriešil 16 problémov z 20. Spočítajme, koľko percent to bude? Koľkokrát je 16 menej ako 20? Nedá sa to povedať na prvý pohľad... Budete si to musieť rozdeliť.
5/4 krát. Teraz vydelíme 100 5/4:
Tu. 80% je už solídnych. A čo je najdôležitejšie – obloha je limit!
Ale toto ešte nie je odpoveď! Prečítali sme si problém ešte raz, aby sme sa z ničoho nič nepomýlili. Áno, pýtajú sa nás ako dlho Stal sa Vasya o percento múdrejším? No je to jednoduché. 80 % - 10 % = 70 %. O 70 %.
70% je správna odpoveď.
Ako vidíte, v jednoduchých problémoch stačí preložiť dané hodnoty v percentách, alebo dané percentá - v hodnotách, keď bude všetko jasné. Je jasné, že problém môže obsahovať ďalšie zvončeky a píšťalky. Ktoré často nemajú s percentami vôbec nič spoločné. Tu ide hlavne o to, aby ste si pozorne prečítali podmienku a krok za krokom, pomaly rozvinuli problém. O tom si povieme v ďalšej téme.
Ale v problémoch týkajúcich sa percent je jeden vážny prepad! Mnoho ľudí do toho spadne, áno... Tento prepad vyzerá celkom nevinne. Napríklad tu je problém.
„Krásny notebook stál v lete 40 rubľov. Pred začiatkom školský rok, predávajúci zvýšil cenu o 25 %. Notebooky sa však začali predávať tak slabo, že znížil cenu o 10 %. Stále to neberú! Cenu musel znížiť o ďalších 15 %. Tu sa začal obchod! Aká bola konečná cena notebooku?“
No, ako? Základné?
Ak ste rýchlo a radostne odpovedali „40 rubľov!“, prepadli vás...
Trik je v tom, že úrok sa vždy počíta od niečo .
Takže počítame. Koľko rubľov predražil predajca cenu? 25% zo 40 rubľov - to je 10 rubľov. To znamená, že notebook, ktorý sa stal drahším, teraz stojí 50 rubľov. To je pochopiteľné, však?
A teraz musíme znížiť cenu o 10% z 50 rubľov. Od 50, nie 40! 10% z 50 rubľov je 5 rubľov. V dôsledku toho po prvom znížení ceny notebook začal stáť 45 rubľov.
Zvažujeme druhé zníženie ceny. 15% zo 45 rubľov ( od 45, nie 40 alebo 50! ) je 6,75 rubľov. Konečná cena notebooku je teda:
45 – 6,75 = 38,25 rubľov.
Ako vidíte, háčik je v tom, že úrok sa počíta zakaždým z novej ceny. Z toho posledného. To sa stáva takmer vždy. Ak v probléme postupného zvyšovania-znižovania hodnoty v čistom texte nepovedal z čoho počítať úroky, musíte ich počítať od posledná hodnota. A to je pravda. Ako predajca vie, koľkokrát tento notebook pred ním zdražel a zlacnel a koľko stál na úplnom začiatku...
Mimochodom, teraz si možno myslíte, prečo je to napísané v probléme o smart Vasyi posledná veta? Toto: " Považujeme 20 vyriešených problémov za 100% chytrých? Zdá sa, že všetko je jasné... Uh-uh... Ako to povedať. Ak tam táto fráza nie je, Vasya ju môže považovať za 100% svoju počiatočné úspechy. Teda dva vyriešené problémy. A 16 úloh je osemkrát viac. Tie. 800%! Vasya môže celkom oprávnene hovoriť o svojej vlastnej múdrosti až o 700%!
Na 100% môžete prijať aj 16 úloh. A získajte novú odpoveď. Tiež správne...
Preto záver: Najdôležitejšou vecou pri problémoch s percentami je jasne určiť, z čoho by sa malo jedno alebo druhé percento vypočítať.
Mimochodom, toto je v živote nevyhnutné. Kde sa používajú percentá. V obchodoch, bankách, pri všetkých druhoch akcií. V opačnom prípade očakávate 70% zľavu, ale dostanete 7%. A nie zľavy, ale zdražovanie... A všetko je fér, zle som sa prepočítal.
No, máte predstavu o percentách v matematike. Všimnime si to najdôležitejšie.
1. V úlohách týkajúcich sa percent prechádzame od percent ku konkrétnym množstvám. Alebo, ak je to potrebné, od konkrétnych hodnôt po percentá. Pozorne si prečítajte úlohu!
2. Veľmi pozorne študujeme, z čoho treba vypočítať úrok. Ak to nie je uvedené priamo, je to nevyhnutne implicitné. Pri postupnej zmene hodnoty sa percentá prevezmú z poslednej hodnoty. Pozorne si prečítajte úlohu!
3. Po vyriešení problému si ho znova prečítajte. Je dosť možné, že ste našli medziodpoveď, nie konečnú. Pozorne si prečítajte úlohu!
Vyriešte niekoľko problémov s percentami. Takpovediac konsolidovať. V týchto hádankách som sa snažil pozbierať všetky hlavné ťažkosti, ktoré na riešiteľov čakajú. Tie hrable, na ktoré sa najčastejšie šliape. Tu sú:
1. Elementárna logika v analýze jednoduchých problémov.
2. Správna voľba sumu, z ktorej sa musia percentá počítať. Koľko ľudí na to narazilo! Existuje však veľmi jednoduché pravidlo...
3. Úrok z úroku. Je to maličkosť, ale je to naozaj nepríjemné...
4. A ďalšie vidly. Vzťah medzi percentami a zlomkami a časťami. Prekladať ich jeden do druhého.
„Do matematickej olympiády sa zapojilo 50 ľudí. 68 % žiakov riešilo málo problémov. 75 % zostávajúcich vyriešilo stredne závažné problémy a zvyšok vyriešil mnohé problémy. Koľko ľudí vyriešilo veľa problémov?
Nápoveda. Ak získate zlomkových študentov, je to nesprávne. Pozorne si prečítajte problém, je tu jedna vec dôležité slovo... Iný problém:
„Vasya (áno, tá istá!) naozaj miluje šišky s džemom. Ktoré sa pečú v pekárni, jednu zastávku od domova. Šišky stoja 15 rubľov za kus. So 43 rubľov v ruke Vasya išiel do pekárne autobusom za 13 rubľov. A v pekárni bola akcia „Zľava na všetko - 30%!!!“. Otázka: Koľko ďalších šišiek si Vasya nemohol kúpiť pre svoju lenivosť (mohol ísť na prechádzku, však?)
Krátke problémy.
Koľko percent je 4 menej ako 5?
Aké percento je 5 väčšie ako 4?
Dlhá úloha...
Kolya dostal jednoduchú prácu zahŕňajúcu výpočet úrokov. Počas rozhovoru šéf s úlisným úsmevom ponúkol Kolyovi dve možnosti odmeny. Podľa prvej možnosti bola Kolyovi okamžite pridelená sadzba 15 000 rubľov mesačne. Podľa druhého Kolju, ak bude súhlasiť, prvé 2 mesiace bude platiť mzdu zníženú o 50 %. Niečo ako nováčik. Potom mu ale zvýšia znížený plat až o 80%!
Kolja navštívil užitočnú stránku na internete... Preto po šiestich sekundách rozmýšľania s miernym úsmevom zvolil prvú možnosť. Šéf sa usmial a stanovil Kolyovi trvalý plat 17 000 rubľov.
Otázka: Koľko peňazí za rok (v tisícoch rubľov) vyhral Kolja na tomto rozhovore? V porovnaní s najhoršou možnosťou? A ešte jedna vec: prečo sa celý čas usmievali!?)
Ďalší krátky problém.
Nájdite 20 % z 50 %.
A opäť dlho.)
Rýchlik č. 205 "Krasnojarsk - Anapa" zastavil v stanici "Syzran-Gorod". Vasily a Kirill išli do staničného obchodu, aby dostali zmrzlinu pre Lenu a hamburger pre seba. Keď nakúpili všetko, čo potrebovali, upratovačka obchodu povedala, že ich vlak už odišiel... Vasilij a Kirill sa rýchlo rozbehli a podarilo sa im naskočiť do vozňa. Otázka: mal by majster sveta bežec za týchto podmienok čas naskočiť do koča?
Veríme, že za normálnych podmienok beží majster sveta o 30% rýchlejšie ako Vasilij a Kirill. Túžba dobehnúť kočiar (bol posledný), pohostiť Lenu zmrzlinou a zjesť hamburger však zvýšila ich rýchlosť o 20 %. A zmrzlina s hamburgerom v rukách šampióna a šľapkami na nohách by mu znížila rýchlosť o 10%...
Ale tu je problém bez percent... Zaujímalo by ma, prečo to tu je?)
Zistite, koľko váži 3/4 jablka, ak celé jablko váži 200 gramov?
A posledný.
V rýchliku č. 205 „Krasnojarsk – Anapa“ lúštili spolucestujúci krížovku. Lena uhádla 2/5 všetkých slov a Vasilij uhádol tretinu zvyšných slov. Potom sa pridal Kirill a vyriešil 30% celej krížovky! Seryozha uhádol posledných 5 slov. Koľko slov bolo v skenovacom slove? Je pravda, že Lena hádala najviac slov?
Odpovede sú v tradičnom neporiadku a bez názvov jednotiek. Kde sú šišky, kde sú študenti, kde sú ruble s úrokmi - to ste vy...
10; 50; Áno; 4; 20; nie; 54; 2; 25; 150.
Ako to teda je? Ak sa všetko spojí - gratulujeme! Záujem nie je váš problém. Pokojne môžete ísť pracovať do banky.)
Je tam niečo zle? Nefunguje? Neviete, ako rýchlo vypočítať percentá z čísla? Nepoznáte veľmi jednoduché a jasné pravidlá? Z čoho vypočítať napríklad úrok? Alebo ako previesť zlomky na percentá?
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)
Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.
Pojem percent sa v našom živote objavuje príliš často, preto je veľmi dôležité vedieť, ako riešiť problémy s percentami. V zásade nejde o zložitú záležitosť, hlavnou vecou je pochopiť princíp práce so záujmom.
Čo je percento
Fungujeme s konceptom 100 percent, a teda jedno percento je stotina určitý počet. A všetky výpočty sa vykonávajú na základe tohto pomeru.
Napríklad 1 % z 50 je 0,5, 15 zo 700 je 7.
Ako sa rozhodnúť
- S vedomím, že jedno percento je jedna stotina prezentovaného čísla, môžete nájsť ľubovoľný počet požadovaných percent. Aby to bolo jasnejšie, skúsme nájsť 6 percent z čísla 800. To sa robí jednoducho.
- Najprv nájdeme jedno percento. Ak to chcete urobiť, vydeľte 800 100. Ukázalo sa, že 8.
- Teraz to isté jedno percento, teda 8, vynásobíme počtom percent, ktoré potrebujeme, teda 6. Ukáže sa 48.
- Výsledok si upevníme opakovaním.
15 % zo 150. Riešenie: 150/100*15=22.
28 % z 1582. Riešenie: 1582/100*28=442.
- Existujú aj iné problémy, kde sú uvedené množstvá a musíte nájsť percentá. Napríklad viete, že obchod má 5 červené ruže zo 75 sú biele a musíte zistiť, aké percento je šarlátové. Ak toto percento nepoznáme, označíme ho ako x.
Existuje na to vzorec: 75 – 100 %
V tomto vzorci sú čísla vynásobené krížikom, to znamená x=5*100/75. Ukazuje sa, že x = 6% Takže percento šarlátových ruží je 6%.
- Existuje ďalší typ percentuálneho problému, kde potrebujete zistiť, o koľko percent je jedno číslo väčšie alebo menšie ako iné. Ako v tomto prípade vyriešiť problémy s percentami?
V triede je 30 ľudí, z toho 16 chlapcov. Otázkou je, o koľko percent je viac chlapcov ako dievčat. Najprv musíte vypočítať, koľko percent žiakov tvoria chlapci, potom musíte zistiť, koľko percent tvoria dievčatá. A nakoniec nájdite rozdiel.
Tak poďme na to. Vyrábame podiel 30 jednotiek. - 100 %
16 lekcií -X %
Teraz počítame. X=16*100/30, x=53,4 % všetkých žiakov v triede sú chlapci.
Teraz zistime percento dievčat v rovnakej triede. 100 – 53,4 = 46,6 %
Teraz zostáva len nájsť rozdiel. 53,4-46,6 = 6,8 %. Odpoveď: chlapcov je viac ako dievčat o 6,8 %.
Kľúčové body pri riešení percent
Aby ste teda nemali problémy s riešením percentuálnych úloh, nezabudnite na niekoľko základných pravidiel:
- Aby ste sa vyhli zmätku v percentách problémov, buďte vždy ostražití: v prípade potreby prejdite od konkrétnych hodnôt k percentám a naopak. Hlavná vec je nikdy nezamieňať jedno s druhým.
- Buďte opatrní pri výpočte percent. Je dôležité vedieť, od akej konkrétnej hodnoty treba počítať. Pre následné zmeny hodnôt sa percento vypočítava z poslednej hodnoty.
- Pred zapísaním odpovede si ešte raz prečítajte celý problém, pretože sa môže stať, že ste našli iba medziodpoveď a musíte vykonať ešte jednu alebo dve akcie.
Riešenie problémov s percentami teda nie je taká zložitá záležitosť, hlavnou vecou je pozornosť a presnosť, ako skutočne v každej matematike. A nezabudnite, že na zlepšenie akejkoľvek zručnosti je potrebná prax. Rozhodnite sa teda viac a všetko bude v poriadku alebo dokonca skvelé.
Naučiť sa riešiť typické logické problémy, jednoduché a neštandardné matematické problémy, je dôležité poznať základné techniky a metódy ich riešenia. Koniec koncov, v mnohých prípadoch je možné vyriešiť ten istý problém a dospieť k správnej odpovedi rôznymi spôsobmi.
Poznanie a pochopenie rôzne metódy riešenia vám pomôžu určiť, ktorá metóda je najlepšia v každom konkrétnom prípade, aby ste si vybrali najrýchlejší a najjednoduchší spôsob získania odpovede.
Medzi „klasické“ logické problémy patria slovné úlohy, ktorej účelom je rozpoznať predmety alebo ich v nich lokalizovať v určitom poradí v súlade so stanovenými podmienkami.
Náročnejšie a vzrušujúcejšie typy problémov sú problémy, v ktorých sú niektoré tvrdenia pravdivé a iné nepravdivé. Úlohy zahŕňajúce presúvanie, presúvanie, váženie a nalievanie sú najviac názorné príklady veľký rozsah neštandardné úlohy k logike.
Základné metódy riešenia logických problémov
- spôsob uvažovania;
- používanie pravdivostných tabuliek;
- metóda vývojového diagramu;
- pomocou algebry logiky (algebra výrokov);
- grafické (vrátane „stromu logických podmienok“, metódy Eulerovho kruhu);
- matematická metóda biliardu.
Pozrime sa bližšie na príkladoch na tri obľúbené spôsoby riešenia logických problémov, ktoré odporúčame použiť v Základná škola(deti 6-12 rokov):
- metóda sekvenčného uvažovania;
- typ metódy uvažovania - „od konca“;
- tabuľková metóda.
Metóda sekvenčného uvažovania
Najjednoduchší spôsob riešenia jednoduchých problémov je sekvenčné uvažovanie s použitím všetkých známych podmienok. Závery z tvrdení, ktoré sú podmienkami problému, postupne vedú k odpovedi na položenú otázku.
Ležia na stole Modrá , zelená , Hnedá A Oranžová
Tretia je ceruzka, ktorej meno má najviac písmen. Modrá ceruzka leží medzi Hnedá A Oranžová .
Usporiadajte ceruzky v opísanom poradí.
Riešenie:
Poďme sa rozprávať. Dôsledne využívame podmienky problému na formulovanie záverov o polohe, v ktorej by mala ležať každá ďalšia ceruzka.
- Slovo „hnedý“ má najviac písmen, čo znamená, že je tretie.
- Je známe, že modrá ceruzka leží medzi hnedou a oranžovou. Napravo od hnedej je len jedna pozícia, čo znamená, že umiestniť modrú medzi hnedú a ďalšiu ceruzku je možné len naľavo od hnedej.
- Ďalší výstup na základe predchádzajúceho: modrá ceruzka je na druhej pozícii a oranžová je na prvej.
- Posledná pozícia pre zelenú ceruzku je štvrtá.
Metóda „od konca“.
Táto metóda riešenia je typom metódy uvažovania a je vynikajúca pre problémy, pri ktorých poznáme výsledok vykonania určitých akcií a otázkou je obnoviť pôvodný obraz.
Babička upiekla rožky pre svoje tri vnúčatá a nechala ich na stole. Kolja pribehol ako prvý na občerstvenie. Počítal všetky rožky, zobral svoj podiel a ušiel.
Anya prišla do domu neskôr. Nevedela, že Kolja už vzal rožky, spočítal ich a rozdelil na tri a vzal si svoj podiel.
Tretí prišiel Geňa, ktorý tiež rozdelil zvyšok pečiva medzi troch a vzal si svoj podiel.
Na stole zostalo 8 rožkov.
Koľko rožkov zo zvyšných ôsmich by mal každý zjesť, aby sa nakoniec všetci najedli rovnako?
Riešenie:
Začnime argumentáciu od konca.
Gena nechal 8 rožkov pre Anyu a Kolju (po 4). Ukazuje sa, že on sám zjedol 4 bagely: 8 + 4 = 12.
Anya nechala 12 rožkov pre bratov (6 pre každého). To znamená, že sama zjedla 6 kusov: 12 + 6 = 18.
Kolja nechal pre chlapov 18 rožkov. To znamená, že on sám jedol 9: 18 + 9 = 27.
Babička položila na stôl 27 rožkov v nádeji, že každý dostane 9 kusov. Keďže Kolya už zjedol svoj podiel, Anya by mala zjesť 3 a Gena - 5 rožkov.
Riešenie logických problémov pomocou pravdivostných tabuliek
Podstatou metódy je zaznamenávanie podmienok problému a získaných výsledkov úvah do tabuliek špeciálne zostavených pre daný problém. V závislosti od toho, či je tvrdenie pravdivé alebo nepravdivé, sú príslušné bunky tabuľky vyplnené znakmi „+“ a „-“ alebo „1“ a „0“.
Traja športovci ( červená
, Modrá A zelená) hral basketbal.
Keď bola lopta v koši, červený zvolal: „Modrý strelil loptu.
Modrý namietal: "Zelený hodil loptu."
Green povedal: "Nehodil som."
Kto strelil loptu, ak len jeden z troch klamal?
Riešenie:
Najprv sa zostaví tabuľka: všetky vyhlásenia obsiahnuté v podmienke sú napísané vľavo a hore - možné možnosti odpoveď.
Potom sa tabuľka vyplní postupne: pravdivé tvrdenia sú označené znamienkom „+“ a nepravdivé tvrdenia sú označené znamienkom „-“.
Zoberme si prvú odpoveď („lopta bola hodená červená“), analyzujme vyhlásenia napísané vľavo a vyplňte ich najprv stĺpec.
Na základe nášho predpokladu („lopta bola hodená červená“), výrok „modrý strelil loptu“ je lož. Do bunky vložte „-“.
Výrok „Green hodil loptu“ je tiež lož. Vyplňte bunku znakom „-“.
Greenov výrok „nehodil som“ je pravdivý. Do bunky vložte „+“.
Uvažujme o druhej odpovedi (predpokladajme, že zelená hodila loptu) a vyplňte ho druhý stĺpec.
Výrok „Modrý strelil loptu“ je lož. Do bunky vložte „-“.
Výrok „loptu hodila zelená «
- pravda. Vyplňte bunku znamienkom „+“.
Greenov výrok „nehodil som“ je lož. Do bunky vložte „-“.
A nakoniec tretia možnosť: predpokladajme, že „lopta bola hodená Modrá«.
Potom výrok „loptu hodila modrá «
- pravda. Do bunky vložte „+“.
Výrok „zelená hodila loptu“ je lož. Vyplňte bunku znakom „-“. Greenov výrok „nehodil som“ je pravdivý. Do bunky vložte „+“.
Keďže podľa podmienky klamal iba jeden z troch chlapov, v vyplnenej tabuľke vyberieme možnosť odpovede, kde bude len jeden nepravdivé vyhlásenie (jeden znak „-“ v stĺpci). Tretí stĺpec je vhodný.
To znamená, že správna odpoveď je, že modrý strelil loptu.
Metóda vývojového diagramu
Metóda vývojového diagramu sa považuje za najlepšiu možnosť na riešenie problémov týkajúcich sa váženia a nalievania tekutín. Alternatívny spôsob riešenia tohto typu problému – metóda vymenovania možností – nie je vždy optimálna a je dosť ťažké nazvať ho systematickým.
Postup riešenia problémov pomocou metódy vývojového diagramu je nasledujúci:
- graficky (blokovou schémou) popíšeme postupnosť operácií;
- určiť poradie ich vykonávania;
- Aktuálne stavy zaznamenávame do tabuľky.
Viac o tomto a ďalších spôsoboch riešenia logických problémov s príkladmi a popisom riešenia hovoríme v plný kurz LogicLike pre rozvoj logického myslenia.
Hádajte najviac, zhromaždené špeciálne pre pravidelných čitateľov nášho blogu a študenti LogicLike riešia logické úlohy online spolu s tisíckami detí a dospelých!
