Cevova veta. Daný trojuholník a body
na stranách BC, AC a AB. Segmenty
pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

Lemma. Ak sú čísla také, že

To

pokiaľ menovateľ neklesne na nulu.

Dôkaz lemy. Je to elementárne. Mimochodom, tí, ktorí túto lemu vidia prvýkrát, veľmi často reagujú takto: „Sčítate čitateľov a menovateľov, v škole za to dávame dvojky! Po bližšom prezretí tvrdenia a uistení sa, že nejdeme takto sčítať zlomky, sa však väčšinou každý upokojí, najmä po pochopení dôkazu.

Označme všeobecný význam zlomky a
list
Potom

Q.E.D.

Aby bola táto lemma úplne zrejmá, rád by som uviedol aj to, čo niekedy nazývam VYLOUČENIE, teda uvažovanie, ktoré sa netvári ako striktné uvažovanie, ale pomáha priblížiť sa „kuchyni matematika“. Predstavte si teda dve mapy určitej oblasti v rôznych mierkach, a je vzdialenosť medzi bodmi D a E, b je medzi E a F na jednej mape, b a d sú podobné vzdialenosti na inej mape. V tomto prípade ide o pomer mierok mapy. Je jasné, že ak sčítame a a c, dostaneme dĺžku trasy od prvého bodu cez druhý po tretí na prvej mape a pripočítaním b a d - dĺžku trasy na druhej mape. Je zrejmé, že ich pomer sa opäť rovná pomeru mierok mapy.

Dôkaz vety.

1. Nechajte naznačené segmenty pretínať v bode , potom sa trojuholník rozdelí na 6 trojuholníkov, očíslovaných podľa nákresu. Zvážte prvý zlomok

Keďže čitateľ a menovateľ tohto zlomku sú základňami trojuholníkov a majú spoločnú výšku, zlomok sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ nahradí plochou označených trojuholníkov. A všimnúť si, že trojuholníky stoja na rovnakých základniach
a , čitateľa a menovateľa môžete nahradiť ich plochou.

Použime teraz lemmu: zlomky sa nezmenia, ak vezmeme rozdiel medzi čitateľmi a rozdielmi medzi menovateľmi:

Ak vykonáme podobné uvažovanie pre ďalšie dva zlomky, dostaneme:

čo dokazuje Cevovu vetu v jednom smere.

2. Nech sa nepretínajú v jednom bode Vedieme cez priesečník a
segment (bod sa nachádza na strane ).
Podľa osvedčeného

Keby sa to urobilo

,

To

čo je nemožné s

(povedzme, ak sú body na boku
usporiadané v poradí
potom je čitateľ prvého zlomku väčší ako čitateľ druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku menej ako menovateľ druhý, čo znamená, že prvý zlomok je väčší ako druhý).

Tým je dôkaz hotový.

Komentujte. Nie je ťažké ho získať trigonometrická forma Cevova veta.
Využime na to sínusovú vetu:

Podobne dostaneme

Odtiaľto sa ukazuje nové znenie Cevova veta.

Úsečky sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

Príklady.

1) Mediány sa pretínajú v jednom bode, pretože všetky tri zlomky v základnej formulácii Cevovej vety sú rovné 1.

2) Priesečníky sa pretínajú v jednom bode. Tu je vhodnejšie použiť Cevovu vetu v trigonometrickej forme.

3) Výšky v ostrom trojuholníku sa pretínajú v jednom bode. Opäť je jednoduchšie použiť trigonometrický tvar.

Aplikácia podobnosti na dokazovanie viet a riešenie problémov (Zobecnenie Thalesovej vety. Chevove a Menelaove vety.)

1. Úvod;

2. Zovšeobecnenie Tálesovej vety;

a) znenie;

(b) dôkazy;

3. Veta o proporcionálne segmenty;

4. Cevova veta;

a) znenie;

(b) dôkazy;

5. Menelaova veta;

a) znenie;

(b) dôkazy;

6. Problémy a ich riešenia;

7. Zdroje informácií;

Úvod.

Môj abstrakt je venovaný aplikácii podobnosti na dôkaz teorémov a riešeniu problémov, a to hĺbkovému štúdiu zovšeobecnenia Thalesovej vety, vety Ceva a Menelaa, ktoré sa v r. školské osnovy. Na tému podobnosti, ktorej sa v ôsmom ročníku venujeme, je vyčlenených len 19 hodín, čo na hlbšie preštudovanie tejto témy nestačí. Medzi témy podobnosti patria: definícia podobné trojuholníky, znaky podobnosti, pomer plôch podobných trojuholníkov, stredná čiara trojuholníka, proporcionálne segmenty atď.

Dovoľte mi pripomenúť definícia podobných trojuholníkov :

Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné podobným stranám druhého. Ukazuje sa, že pre podobné trojuholníky sa nielen pomer podobných strán, ale aj pomer akýchkoľvek iných podobných segmentov rovná koeficientu podobnosti. Napríklad pomer podobných bisektorov AD a A 1 D 1, t.j. osy rovnaké uhly A a A 1 v podobných trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sa rovná koeficientu podobnosti k, pomer podobných mediánov AM a A 1 M 1 sa rovná k a rovnakým spôsobom pomer podobných výšok AH a A1H1 sa rovná k.

Pomocou tohto materiálu, ktorý sa študuje v školských osnovách, môžeme riešiť pomerne úzky okruh problémov. Pri tvorbe mojej eseje sa chystám prehĺbiť svoje vedomosti o tejto téme, čo mi umožní vyriešiť viac široký kruh problémy na proporcionálnych segmentoch. Toto je relevantnosť mojej eseje.

Jednou z teorémov je zovšeobecnenie Thalesovej vety. Samotná Tálesova veta sa vyučuje v ôsmom ročníku. Ale hlavné vety sú vety Ceva a Menelaus.

Zovšeobecnenie Thalesovej vety.

Znenie:

Rovnobežné čiary pretínajúce dve dané čiary odrežú proporcionálne segmenty na týchto čiarach.

dokázať:

dôkaz:

Dokážme to napríklad

Zoberme si dva prípady:

1 prípad

Priamky a a b sú rovnobežné. Potom sú štvoruholníky A1A2B2B1 a A2A3B3B2 rovnobežníky. Preto A1A2=B1B2 a A2A3=B2B3, čo znamená, že

2 prípad

Priamky a a b nie sú rovnobežné. Cez bod A1 vedieme priamku c rovnobežnú s priamkou b. V niektorých bodoch C2 a C3 pretína priamky A2B2 a A3B3. Trojuholníky A1A2C2 a A1A3C3 sú podobné v dvoch uhloch (uhol A1 je spoločný, uhly A1A2C2 a A1A3C3 sú rovnaké, keď sú priamky A2B2 a A3B3 rovnobežné so sečnicou A2A3), preto

Odtiaľ, vlastnosťou proporcií, dostaneme:

Na druhej strane, podľa toho, čo bolo dokázané v prvom prípade, máme A1C2 = B1B2, C2C3 = B2B3. Nahradením v pomere (1) A1C2 za B1B2 a C2C3 za B2B3 sa dostaneme k rovnosti

Q.E.D.

Veta o proporcionálnych úsečkách v trojuholníku.

Na AC a BC strane trojuholník ABC body K a M sú označené tak, že AK:KS=m:n, BM:MC=p:q. Segmenty AM a BK sa pretínajú v bode O.

dokázať:

dôkaz:

Cez bod M vedieme priamku rovnobežnú s VC. Pretína stranu AC v bode D a podľa zovšeobecnenia Thalesovej vety

Nech AK=mx. Potom, v súlade s podmienkou problému, KS=nx, a keďže KD:DC=p:q, potom

Podobne je dokázané, že

Cevova veta.

Veta je pomenovaná po talianskom matematikovi Giovannim Cevovi, ktorý ju dokázal v roku 1678.

Znenie:

Ak sú body C 1, A 1 a B 1 brané na stranách AB, BC a CA trojuholníka ABC, potom sa segmenty AA 1, BB 1 a CC 1 pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

dokázať:

2. segmenty AA1, BB1 a CC1 sa pretínajú v jednom bode

dôkaz:

1. Nech sa úsečky AA1, BB1 a CC1 pretínajú v jednom bode O. Dokážme, že rovnosť (3) je splnená. Podľa vety o proporcionálnych segmentoch v trojuholníku máme:

Ľavé strany týchto rovností sú rovnaké, čo znamená, že aj pravé strany sú rovnaké. Keď ich prirovnáme, dostaneme

Rozdelenie oboch častí na pravá strana, dospejeme k rovnosti (3).

2. Dokážme opačné tvrdenie. Zoberme body C1, A1 a B1 na stranách AB, BC a CA tak, aby bola splnená rovnosť (3). Dokážme, že segmenty AA1, BB1 a CC1 sa pretínajú v jednom bode. Označme priesečník segmentov AA1 a BB1 písmenom O a narysujeme priamku CO. Pretína stranu AB v určitom bode, ktorý označíme ako C2. Keďže segmenty AA1, BB1 a CC1 sa pretínajú v jednom bode, potom podľa toho, čo bolo preukázané v prvom bode

Platí teda rovnosť (3) a (4).

Ich porovnaním dospejeme k rovnosti

Mestská vedecká a praktická konferencia

"LOMONOSOV ČÍTANIE"

Ceva teorém

MBOU "Stredná škola č. 17".

vedúci:

Učiteľ matematiky MBOU SOŠ č.17.

ja anotácia

táto práca môže pomôcť študentom rôznych vzdelávacie inštitúcie rozšírte svoje chápanie vlastností trojuholníka pomocou Cevovej vety. Práca systematizuje problémy použitia Cevovej vety na dokázanie vlastností pozoruhodných bodov trojuholníka, na zdôvodnenie niektorých transformácií roviny, na riešenie úloh hľadania veľkých a najnižšie hodnoty množstvá, ako aj úlohy rôzne úrovneťažkosti. Práca môže byť použitá na vedenie tried voliteľné predmety, v rámci prípravy na olympiády, jednotné štátne skúšky a prijímacie skúšky.

II Spätná väzba od manažéra

Aktuálne v moderná školaúloha geometrie je trochu podceňovaná. Táto práca môže pomôcť posilniť prestíž školský predmet geometria, pretože ukazuje, ako len jeden úžasná veta umožňuje otvoriť celú vrstvu najzaujímavejšie vlastnosti trojuholník, vychutnajte si krásu a ladnosť problémov vyriešených s jeho pomocou.

Počas práce ukázala autorka Věra Panková väčší stupeň nezávislosť. Metódou analýzy a komparácie existujúcich literárnych zdrojov sa autorka postavila pred potrebu použiť inú metódu výskumu – systematizáciu úloh. V použitej literatúre sú úlohy navrhované ako zoznam bez systému na určité témy. Tematická systematizácia problémov výrazne zjednodušila schopnosť hľadania metód na riešenie problémov. V čom väčšina z nich Problémy riešila Vera samostatne, čo prispelo k zvýšeniu úrovne logickej kultúry a rozvoju priestorovej predstavivosti autora.

Dielo je možné použiť na špeciálne kurzy, v špecializované školenie, v rámci prípravy na olympiády a jednotnú štátnu skúšku.

Dozorca

____________/

III Preskúmanie

Práca na tému „Cevova veta“ je venovaná skúmaniu možností využitia Cevovej vety, ktorá nie je súčasťou stredoškolského učiva geometrie. Téma je relevantná, pretože pri riešení celej triedy problémov vám Cevova veta umožňuje ľahko a elegantne získať riešenia, zatiaľ čo tradičné prístupy vedú k ťažkopádnym a únavným dôkazom.

Dôraz je kladený na dôkaz samotnej vety rôzne cesty a v rôznych formách.

V praktickej časti sú porovnané tradičné metódy dokazovania, že sa tri priamky pretínajú v jednom bode a dôkazy pomocou Cevovej vety.

Hlavné úsilie je zamerané na riešenie problémov pomocou vety a ich tematickú systematizáciu, umožňujúcu zjednodušiť hľadanie spôsobov riešenia. Autor zároveň v podstate rieši jeden problém: ukazuje výhody použitia Cevovej vety na uľahčenie riešenia problémov.

Je potrebné sa pozastaviť nad tým, že pri štúdiu možností aplikácie Cevovej vety sa autorovi podarilo prehĺbiť poznatky o pozoruhodných bodoch trojuholníka a doplniť známe v r. školský kurzštyri úžasné body, nové body a body druhého rádu, teda získané ako výsledok transformácií. Uvažované premeny sú zároveň prehĺbením školského kurzu.

Výhodou tejto práce je jej vedecká povaha, dôkazy a logická konzistentnosť pri prezentácii materiálu.

" "…………..2007 Vedúci

____________/

I Abstrakt………………………………………………………………………………………………..2

II Spätná väzba od manažéra………………………………………………………………3

III Preskúmanie………………………………………………………………………………………………...4

IV Tézy………………………………………………………………………………………………..6

IV Úvod……………………………………………………………………………………….….8

V Hlavná časť:

1) Teória……………………………………………………………………………………… 10

2) Cvičenie ……………………………………………………………………………………… 14

a) Cevova veta a pozoruhodné body trojuholníka.…………………..14

b) Gergonove a Nagelove body a Cevova veta ………………………….17

c) Niektoré pozoruhodné transformácie súvisiace s Cevovou vetou……………………………………………………………………….19

d) Aplikácia Cevovej vety na riešenie rôzne úlohy …………….23

e) Problémy hľadania najväčších a najmenších hodnôt veličín spojených s Cevovou vetou ……………………………………………………26

VI Záver………………………………………………………..…….31

VII Referencie……………………………………………………….…32

IV Abstrakty

1) Prvá časť práce je teoretická. Prezentované tu rôznymi spôsobmi dôkazy Cevovej priamej a konverznej vety: dôkaz pomocou podobných trojuholníkov, dva dôkazy s použitím pojmu plochy a Cevovej vety vo forme sínusov. Poskytuje tiež definíciu cevianov ako segmentov spájajúcich vrchol trojuholníka s určitým bodom na opačnej strane trojuholníka a koncept konkurencieschopnosti.

2) Druhá časť práce je praktická. Tu je tematická systematizácia problémov pomocou Cevovej vety. Všetky problémy sú sprevádzané riešeniami.

a) Cevova veta a pozoruhodné body trojuholníka. Táto kapitola využíva Cevovu vetu na preukázanie konkurencieschopnosti úžasné línie trojuholník: stredy, osi, nadmorské výšky a kolmice.

b) Gergonove a Nagelove body. Pomocou Cevovej vety je tu dokázané, že priamky prechádzajúce vrcholmi trojuholníka a dotykovými bodmi kružnice vpísanej sa pretínajú v jednom bode (Gergonneov bod), a tiež, že priamky prechádzajúce vrcholmi trojuholníka a dotykovými bodmi kružnice pretínajú v jednom bode (Nagelov bod).

c) Niektoré pozoruhodné transformácie súvisiace s Cevovou vetou. V tejto kapitole dokážeme pomocou Cevovej vety existenciu izotomicky konjugovaného, ​​izogonálne konjugovaného s priesečníkom Ceviánov vzhľadom na trojuholník bodu, izokruhového obrazu priesečníka Ceviánov. A tiež sú uvedené príklady pozoruhodných bodov 2. rádu, t. j. získaných pomocou naznačených rovinných transformácií.

d) Aplikácia Cevovej vety na riešenie rôznych problémov. Tu sú problémy s riešeniami rôznych úrovní zložitosti, ktoré možno použiť na sebakontrolu.

e) Problémy hľadania najväčších a najmenších hodnôt veličín spojených s Cevovou vetou. Táto kapitola rieši problémy hľadania najväčších a najmenších hodnôt veličín elementárne metódy, teda bez použitia derivátu.

V Úvod.

S širšou literatúrou,

ako kombinácia algebry a aritmetiky,

a prinajmenšom rovnako rozsiahle

ako analýza, geometria vo väčšej miere,

než ktorýkoľvek iný odbor matematiky,

je najbohatšia pokladnica

najzaujímavejšie, ale polozabudnuté veci,

kým, ponáhľajúca sa generácia

nemá čas si užívať.

Heslo Kozmu Prutkova „Nikto neprijme tú nesmiernosť“ možno plne pripísať geometrii trojuholníka. Trojuholník je ako sklad krásneho a úžasného geometrické vzory, skutočne nevyčerpateľné. Ich rozmanitosť a hojnosť, ktorú je ťažké systematizovať, nemôže len potešiť.

Geometria trojuholníka je zvyčajne spojená s pozoruhodnými bodmi. Väčšinu pozoruhodných bodov možno získať nasledovne.

Existuje nejaké pravidlo, podľa ktorého môžete vybrať bod A1 na strane BC trojuholníka ABC (napríklad vyberte stred tejto strany). Potom zostrojíme podobné body B1, C1 na ďalších dvoch stranách trojuholníka (v našom príklade ďalšie dva stredy strán). Ak je toto pravidlo „úspešné“, potom sa priamky AA1, BB1, CC1 pretnú v určitom bode Z. Vedci z minulosti vždy chceli mať metódu, ktorá by im umožnila určiť podľa polohy bodov na stranách trojuholníka či sa príslušné tri priamky pretínajú v jednom bode alebo nie.

Univerzálny stav, ktorý „uzatvoril“ tento problém, bol nájdený v roku 1678. Taliansky inžinier Giovanni Cheva.

Cevova pozoruhodná veta nie je zahrnutá do učebných osnov geometrie stredná škola. Pri riešení celej triedy problémov však táto veta umožňuje ľahko a elegantne získať riešenia. Cevova veta otvára možnosti na zoznámenie sa s mnohými novými teorémami a vlastnosťami trojuholníka, ktoré sa v školských osnovách neštudujú.

Cieľ práce: rozšíriť chápanie vlastností trojuholníka pomocou Cevovej vety.

Hypotéza: ak Ceva veta pomáha rozšíriť triedu riešiteľných geometrické problémy, potom je to jedna zo základných teorém geometrie.

Úlohy:

· preskúmať možnosti využitia Cevovej vety na dokázanie vlastností pozoruhodných bodov trojuholníka;

· naučiť sa aplikovať Cevovu vetu na riešenie problémov rôznej úrovne zložitosti;

· tematicky systematizovať problémy riešené pomocou Cevovej vety.

Výskumné metódy: rozbor a porovnanie dostupných literárnych zdrojov, systematizácia úloh.

V ja Hlavná časť

1) Teória

Úsečka spájajúca vrchol trojuholníka s nejakým bodom na opačnej strane sa nazýva CEVIANA.

AX, BY, CZ – Chevians ∆ ABC.

Ak sa všetky tri ceviany pretnú v jednom bode P, tak povieme, že sú KONKURENČNÉ.

1) Cevova veta. Ak sú tri ceviany AX, BY, CZ trojuholníka ABC konkurencieschopné, potom

Dôkaz. Je známe, že plochy trojuholníkov s rovnaké výškyúmerné základniam trojuholníkov.

Urobme vzťah

.

podobne,

.

Výsledné rovnosti vynásobme

.

Konverzná veta.

Ak tri Chevians AX, BY, CZ vyhovujú vzťahu , potom sú konkurencieschopné.

Dôkaz.

Predpokladajme, že prvé dva cevian sa pretínajú v bode P ako predtým a tretí cevian prechádzajúci bodom P bude CZ."

Potom podľa Cevovej priamej vety

.

Ale podľa stavu ,

Preto, .

Bod sa zhoduje s bodom Z a dokázali sme, že segmenty AX, BY a CZ sú konkurencieschopné.

2) Zvážme spôsob, ako dokázať Cevovu vetu pomocou podobných trojuholníkov.

Nechajte po stranách AB, B.C. A A.C. trojuholník ABC body sa berú podľa toho C 1, A 1 a B 1. Rovné A.A. 1, BB 1, CC 1 sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

(*)

rovno A.A. 1, BB 1, CC 1 sa pretínajú v bode O(obr. 2). Cez vrchol C trojuholník ABC nakreslíme rovnobežnú čiaru AB a jeho priesečníky s čiarami A.A. 1, BB 1 označujeme zodpovedajúcim spôsobom A 2, B 2. Z podobnosti trojuholníkov C.B. 2B 1 a ABB 1 máme rovnosť

Podobne podobnosti trojuholníkov BAA 1 a C.A. 2A 1 máme rovnosť

Ďalej z podobnosti trojuholníkov B.C. 1O A B 2CO, A.C. 1O A A 2CO máme Preto platí rovnosť

Vynásobením rovnosti (1), (2) a (3) dostaneme požadovanú rovnosť (*).

Dokážme opak. Daj na body A 1, B 1, C 1 na príslušných stranách trojuholníka ABC rovnosť (*) je splnená. Označme priesečník čiar A.A. 1 a BB 1 cez O a priesečník čiar CO A AB cez C" . Potom, na základe toho, čo bolo dokázané, platí rovnosť

https://pandia.ru/text/79/202/images/image017.gif" width="100" height="52"> z ktorých sa body zhodujú C" A C 1 a teda rovné A.A. 1, BB 1, CC 1 sa pretínajú v jednom bode.

3) Ďalší spôsob, ako dokázať Cevovu vetu, pomocou konceptu oblasti.

Predpokladajme, že priamky AA1, BB1, CC1 sa pretínajú v bode O. (obr. 3) Pustime kolmice AA, BB z vrcholov A a B trojuholníka ABC na priamku CC1. Trojuholníky AC1A" a BC1B" sú podobné, preto

66" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt plná biela; vertical-align:top;background:white"> Vynásobením jednej rovnosti druhou dostaneme:

Podobne

https://pandia.ru/text/79/202/images/image028.gif" width="187" height="56 src=">

Nakoniec máme: https://pandia.ru/text/79/202/images/image030.gif" width="260" height="47">

2) Cvičte

a) Cevova veta a pozoruhodné body trojuholníka.

Cevova veta umožňuje veľmi jednoducho dokázať tvrdenia o priesečníku stredníc, osi, nadmorských výšok (alebo ich predĺžení) a stredových čiar trojuholníka.

Mediány- sú to ceviany, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka so stredmi protiľahlé strany.

Úloha č.1. Dokážte, že mediány trojuholníka sú konkurencieschopné.

Dôkaz. Pretože AB1 = B1C; CA1 = A1B (obr. 5);

BC1 = C1A, potom

.

Podľa Cevovej vety z toho vyplýva, že mediány sú konkurenčné.

Výšky - toto sú Cheviáni, kolmo na strany alebo pokračovania strán trojuholníka.

ich spoločný bod volal ortocentrum.

Použitie opaku Cevovej vety na dôkaz, že tri priamky sa pretínajú v jednom bode, značne zjednodušuje dôkaz. Porovnajme dôkaz súbežnosti výšok trojuholníka uskutočnený pomocou Cevovej vety a dôkaz pomocou inej metódy.

Úloha č.2. Dokážte, že výšky ostrý trojuholník, konkurencieschopný.

Dôkaz. Nech AA1, BB1 a CC1 sú výšky trojuholníka. (Obr. 6) Obdĺžnikové ∆AA1C a ∆BB1C sú podobné (pretože majú spoločnú ostrý roh C), preto

Podobne z podobnosti ∆AA1B a ∆CC1B vyplýva:

A z podobnosti ∆ВВ1А a ∆СС1А – rovnosť.

* http://geometr. info/geometriia/treug/medvys. html

Svet geometrie – študentský portál

Body K, L, M teda tvoria trojuholník. MA je paralelná s BC a MB je konštrukciou paralelná s AC. To znamená, že štvoruholník MACB je rovnobežník. Preto MA = BC, MB = AC. Podobne AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Takže AP a BQ - kolmé osi na strany trojuholníka KLM. Pretínajú sa v bode O, čo znamená, že CO je tiež stredná kolmica. CO je kolmá na KL, KL je rovnobežná s AB, čo znamená, že CO je kolmá na AB. Nech R je priesečník AB a CQ. Potom je CR kolmá na AB, to znamená, že CR je výška trojuholníka ABC. Bod O patrí všetkým čiaram obsahujúcim nadmorské výšky trojuholníka ABC. To znamená, že čiary obsahujúce nadmorské výšky tohto trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Q.E.D.

Je zrejmé, že Cevova veta uľahčuje dôkaz.

Úloha č.3. Dokážte, že osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, to znamená, že sú konkurencieschopné.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image040.gif" width="272 height=53" height="53">

Vynásobením týchto rovnosti dostaneme:

Odtiaľto podľa Cevovej vety vyplýva, že osi sa pretínajú v jednom bode.

Štvrtým pozoruhodným bodom trojuholníka je priesečník odvesničiek so stranami trojuholníka.

prekonať uvažovaním stredného trojuholníka A1B1C1. Keďže stredové čiary sú rovnobežné so stranami pôvodného trojuholníka, kolmice sú nadmorské výšky stredný trojuholník, ktorej konkurencieschopnosť už bola dokázaná pomocou Cevovej vety. To znamená, že kolmice na strany ∆ ABC sú konkurenčné. Veta bola dokázaná.

b) Gergonove a Nagelove body a Cevova veta.

Využime Cevovu vetu na stanovenie dvoch ďalších pozoruhodných bodov trojuholníka.

Problém č.5 Dokážte, že priamky prechádzajúce vrcholmi trojuholníka a dotykovými bodmi kružnice sa pretínajú v jednom bode tzv. Gergonov názor.

Dôkaz.

Nech sa kružnica so stredom O dotýka strán ∆ABC v bodoch A1, B1, C1 (obr. 11), potom podľa vlastnosti dotyčníc nakreslených ku kružnici z jedného bodu.

AB1 = AC1; BC1 = BA1; CA1 = CB1

Obr.11

,

Prostriedky. Priamky AA1, BB1, CC1 sú konkurenčné, t.j. pretínajú sa v jednom bode G - Gergonovom bode.

Ďalším pozoruhodným bodom trojuholníka je Nagelov bod .

Definícia. Kruh sa nazýva nezapísané do trojuholníka, ak sa dotýka jednej strany tohto trojuholníka a predĺženia jeho dvoch ďalších strán.

Problém č.6 Dokáž to priamky prechádzajúce cez vrcholy trojuholníka a dotykové body kružníc sa pretínajú v jednom bode (Nagelov bod).

Dôkaz.

Nech AB = c; BC = a; AC = b; vlastnosťou rovnosti dotyčnicových segmentov BХb = BZb (obr. 12).

ВХb + BZb = ВС + СХb + ZbA + AB,

СХb + ZbA = b, https://pandia.ru/text/79/202/images/image045.gif" width="20" height="16"> ВХb + BZb = а +b +с = 2p (p – polobvod trojuholníka),

ВХb = BZb.= p, podobne pre dotyčnicové segmenty nakreslené z ostatných dvoch vrcholov. Tiež СХb = ВХb – ВС = p-a; pre všetky dotyčnicové segmenty môžeme aj písať

v strede tej strany, na

kde leží. Výsledné tri body označíme ako A2, B2, C2. Dokážte, že potom sa v nejakom bode Zm pretínajú aj čiary AA2, BB2, CC2.

Dôkaz. Podľa Chevovej vety, keďže AA1, BB1, CC1 sa pretínajú v jednom bode, potom

ale A2 a A1, B2 a B1, C2 a C1 sú symetrické vzhľadom na stredy strán trojuholníka, => AC1=BC2; C1B=AC2; BA1=CA2 atď.

teda , => AA2, BB2, СС2

pretínajú v jednom bode.

Tento bod sa nazýva izotomicky konjugované bod Z vzhľadom na trojuholník ABC.

Problém č.8

Dôkaz. Tu je vhodné použiť Cevovu vetu vo forme sínusov.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image068.gif" width="261" height="45 src=">,=> keďže priamky AA2, BB2, CC2 sú symetrické s priamkou AA1 , BB1, СС1 vzhľadom na osy zodpovedajúcich uhlov trojuholníka, potom sú uhly rovnaké =

= ACC 2 , atď.

priamky AA2, BB2, CC2 sa tiež pretínajú v jednom bode.

Tento bod sa nazýva izogonálne konjugovať bod Z vzhľadom na trojuholník ABC.

Používaním izotomický A izogonálne spojenia, môžete získať nové úžasné body.

Hm - antiortocentrom – bod izotomicky konjugovaný s ortocentrom, t. j. priesečník čiar prechádzajúcich bodmi symetrickými so základňami výšok voči stredom strán a príslušnými vrcholmi trojuholníka (obr. 16).

Gl– bod izogonálne konjugovaný s Gergonnovým bodom (obr. 18).

Dokážme, že priamky AA2, BB2, CC2 sa pretínajú v jednom bode pomocou Cevovej vety v dvoch formuláciách naraz - vo forme vzťahov sínusov a vo forme vzťahov segmentov, ako aj pomocou lemy.

Archimedova lemma. Ak je kružnica vpísaná do segmentu a dotýka sa oblúka v bode A1 a tetivy BC v bode A2, potom je priamka A1A2 osou uhla BA1C (str. 15).

Dôkaz. Nech ∟ВАА1=α1, ∟САА1=α2..gif" width="140" height="45 src="> Podobne získame, že

Kde β1=∟ SVV1, β2=∟АВВ1, γ 1=∟ ACC1, y 2=∟ VSS1. Chevova podmienka pre priame línie AA2, BB2, CC2 tak nadobúda podobu

Pravá strana tejto rovnosti je vyjadrením Chevovej podmienky vo forme sínusových pomerov pre priamky AA1, BB1, CC1 pretínajúce sa v bode Z.

To. priamky AA2, BB2, CC2 sa pretínajú v jednom bode Zc, ktorý je tzv izokruhovo Z bodov.

d) Aplikácia Cevovej vety na riešenie rôznych problémov

Problém č.10 Body C1 a A1 delia strany AB a BC ∆ ABC v pomere 1:2.

priamky CC1 a AA1 sa pretínajú v bode O. Nájdite pomer, v ktorom

priamka VO rozdeľuje stranu AC.

https://pandia.ru/text/79/202/images/image090.gif" width="121" height="53 src=">

Podľa Cevovej vety, ak sú linky konkurencieschopné, potom

https://pandia.ru/text/79/202/images/image092.gif" align="left" width="66" height="54 src=">90" height="30" bgcolor="white" style="border:.75pt solid white; vertical-align:top;background:white">

Problém č.11 Na stranách BC, CA a AB ∆ ABC sú body A1, B1 a C1 zobraté tak, že segmenty AA1, BB1 a CC1 sa pretínajú v jednom bode. Priamky A1B1 a A1C1 pretínajú priamku prechádzajúcu vrcholom A rovnobežne so stranou BC v bodoch C2 a B2. Dokážte, že AB2 = AC2. [2]

∆AC2S1 ~ ∆VA1S1,

Pamätám si, že v škole sme dokázali, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. A že osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Navyše, nadmorské výšky a kolmice trojuholníka majú tiež rovnakú vlastnosť.
Ale tieto vety boli dokázané... ako? Áno, faktom je, že každý z nich bol nejakým spôsobom dokázaný, každý mal svoj spôsob.

Chcem vám, milí čitatelia, ukázať jednotný spôsob, ako dokázať tieto teorémy. Dôkaz pomocou Cevovej vety.
Tu je jeho znenie:

Nech body A",B",C" ležia na priamkach BC,CA,AB trojuholníka. Priamky AA",BB",CC" sa pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy

Dôkaz.

Priama veta.

Na jednej strane
S AOB"/S COB" =AB"/B"C
Na druhej strane, rovnaký pomer plôch sa rovná pomeru výšok trojuholníkov AOB" a COB", nakreslených k základni OB", ako aj pomeru plôch trojuholníkov AOB a COB.

Teda AB"/B"C = S AOB/S COB.

Napísaním podobných rovníc pre vzťahy CA"/A"B a AC"/C"B a následným vynásobením všetkých získame požadovaný výrok.

Konverzná veta.

Povedzme teda, že sme vybrali body A", B", C" na stranách trojuholníka a rovnosť z podmienky je splnená.
Nech sa AA" a BB" pretínajú v bode O. Narysujme priamku CO a nech pretína stranu AB v nejakom bode C"". Potom, podľa priamej vety, budeme mať rovnakú obrovskú rovnosť, v ktorej namiesto bodu C" bude bod C" Na základe splnenia týchto dvoch rovníc - s bodom C"", ako sme ukázali, a s bodom C" z podmienok inverznej vety usudzujeme, že body C"" a C" sa zhodujú.

Môžete napísať Ceva stav v sínusovej forme:
Túto podmienku možno ľahko získať aplikáciou sínusovej vety na trojuholníky ABA" a ACA". Pre nich dostaneme A"B/AA"= sinBAA"/sinABA" a A"C/AA"=sinA"AC/sinA"CA. Vydelením jednej rovnosti druhou dostaneme A"B/A"C=sinBAA" /sinA"AC * (sinBCA/sinABC)

Zapísaním podobných rovníc pre zostávajúce segmenty a ich vynásobením získame Chevyho podmienku vo forme sínusov.

Podľa Cevovej vety je teda priesečník stredníc trojuholníka v jednom bode dokázaný v jednej priamke.
Podľa Cevovej vety v tvare sínusov je priesečník osi v jednom bode dokázaný v jednej priamke.
Ale dôkaz, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - to je podľa Chevovej vety vo forme sínusov dokázané v dvoch riadkoch. V prvom riadku dôkazu by sme mali napísať známe trigonometrická identita -
sin(90 - a) = cos a

OBECNÁ VEDECKÁ A PRAKTICKÁ KONFERENCIA „INTELEKTUÁLI XXI. STOROČIA“

Menelaova veta a Cevaova veta a ich aplikácie

Popov Bogdan Valerijevič

žiak triedy 10B

MAOU "Gymnázium č. 2"

vedúci:

Lysenko Nadežda Anatoljevna

Učiteľ najvyššej kvalifikačnej kategórie

G. Balakovo. 2012

Úvod 3 strany

Menelaova veta 4 strany

Cevova veta 6 strán

Dôsledky Cevovej vety 8 strán

Aplikácia vety Ceva a Menelaa na vyriešenie 10 strán

geometrické problémy

Záver 14 strán

Zoznam použitej literatúry 15 strán

Úvod

V geometrických problémoch, na rozdiel od algebraických problémov, nie je vždy možné uviesť recept na riešenie, algoritmus, ktorý vedie k úspechu. Tu je okrem formálnej znalosti početných vzťahov medzi prvkami geometrických útvarov potrebná aj intuícia a skúsenosti. Dôležité je vedieť sa pozerať a vidieť, všímať si rôzne funkciečísla, vyvodzovať závery zo zaznamenaných vlastností, predvídať možné doplnkové konštrukcie, čo uľahčuje analýzu problému. „Riešenie problémov je praktické umenie, ako plávanie alebo beh. Dá sa to naučiť iba napodobňovaním alebo cvičením,“ napísal D. Polya.

Geometria trojuholníka sa právom považuje za jeden z najzaujímavejších úsekov elementárnej geometrie. To nie je náhoda. Napriek tomu, že trojuholník je po úsečke azda najjednoduchším útvarom, má mnoho dôležitých a zaujímavých vlastností, na ktoré sa redukujú vlastnosti iných, zložitejších útvarov. Medzi teorémami o trojuholníkoch sú tie, ktorých štúdium nám umožňuje výrazne rozšíriť rozsah riešení geometrických problémov. Ich význam spočíva predovšetkým v tom, že z nich alebo pomocou nich možno odvodiť väčšinu geometrických teorémov, slúžia ako základ pre mnohé ďalšie závery. Sú to Pytagorova veta, sínusová veta, kosínusová veta atď. Mená mnohých vynikajúcich vedcov sú spojené s konceptom trojuholníka: Pytagorova veta, Heronova rovnica, Eulerova priamka, Carnotova veta a mnohé ďalšie.

Ale v geometrii trojuholníka existuje aj veľa teorémov, ktorých autori zostali v dejinách vedy len „vďaka trojuholníkom“. Je to o o dvoch takýchto teorémoch – Cevovej vete a Menelaovej vete. Obidva majú zaujímavé a početné aplikácie, vďaka ktorým je riešenie jednoduché a elegantné celá triedaúlohy.

Hlavný cieľ práce:

Analýza literatúry na túto tému;

VetaMenelaus

Menelaova veta je krásna a jednoduchá. V školskom kurze sa táto veta stratila niekde medzi problémami. Medzitým je zaradený do zlatého fondu starogréckej matematiky. Svoje meno dostala na počesť svojho autora, starogréckeho matematika a astronóma Menelaa z Alexandrie (asi 100 n. l.). V mnohých prípadoch táto veta pomáha veľmi jednoducho a elegantne riešiť pomerne zložité geometrické úlohy.

Veta: Nech sú body na stranách AB, BC a na pokračovaní strany AC (alebo na pokračovaní strán AB, BC a AC) ABC, resp. , A, ktoré sa nezhodujú s vrcholmi ABC. Body ležať na tej istej čiare vtedy a len vtedy, ak platí rovnosť

dôkaz:

Najprv dokážme nevyhnutnosť. Nechajte body ležať na priamke pôda = , = , = - jazdný pruh kolmice spustené z bodov A, B, C na priamku l (pozri obrázok 1). Z podobnosti trojuholníkov A dostaneme:

Podobne, ak vezmeme do úvahy ďalšie dvojice podobných trojuholníkov, dostaneme

Vynásobením výsledných proporcií dospejeme k požadovanej rovnosti.

Primeranosť. Nech sú body A1, B1, C1 (obr. 2) ležiace na priamkach BC, AC, AB také, že

Dokážme, že body , , ležať na rovnakej priamke.

Urobme direkt a dokázať, že bod C patrí jej.

Predpokladajme, že to tak nie je. Najprv si všimneme, že priamka nie na rovnobežná s čiarou AB. Nech T je priesečník čiar a AB (pozri obrázok 2). Potom

Teraz dokážeme, že ide o bod sa zhoduje s bodom C. Tento dôkaz sa nazýva lemma k Menelaovej vete.

Lemma. Nech A a B sú dva rôzne body. Potom pre ľubovoľné k > 0, k≠1 na priamke AB existujú dva a iba dva body M a N také, že a jeden z týchto bodov patrí do segmentu AB a druhý leží mimo segmentu AB.

Dôkaz. Zadáme súradnice na priamke AB, pričom za počiatok súradníc vezmeme bod A (pozri obrázok 3). Nech pre definitívnosť k > 1. Súradnica požadovaného bodu U, ležiaceho vo vnútri úsečky AB, spĺňa rovnicu: , odkiaľ.

Ceva teorém

Vieme, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a výšky trojuholníka (alebo ich predĺženia) sa pretínajú v jednom bode. Povedzme si to teraz všeobecná otázka. Zvážte ABC a označte body na jeho stranách BC, AC a AB (alebo ich predĺženia). ( pozri obrázok 1)

V akom mieste týchto bodov sa budú v jednom bode pretínať priamky AA, BB a CC?

Odpoveď na túto otázku našiel v roku 1678 taliansky hydraulický inžinier Giovanni Ceva (1698-1734).

Veta: : Nechajte body ležať po stranách slnka, AC a BA trojuholníka ABC (obr. 2). Segmenty pretínajú v jednom bode vtedy a len vtedy, ak platí rovnosť:

Dôkaz. Nechajte segmenty , Anie pretínajú v bode M vo vnútri trojuholníka ABC. Označme podľa oblasť trojuholníka kov AMC, SMV a AMV, a cez - vzdialenosti od bodov A a B po priamku MC.

Podobne, .

Po vynásobení výsledných proporcií sme presvedčení o platnosti vety.

Cevova veta v sínusovom tvare.

V každom z posudzovaných prípadov - a v prípade vnútorný bod O a v prípade vonkajšieho bodu O-podmienka . . =1 možno napísať aj v tvare: . . =1

Dôkaz: môžete použiť rovnosti:

Vynásobením (1), (2), (3) dostaneme . . =1

Priestorové zovšeobecnenie Cevovej vety.

Veta. Nech je bod M vo vnútri štvorstenu ABCD, - priesečníky rovín CMD, AMD, AMB a CMB s rebrami (pozri obrázok 3) AB, BC, CD a DA. Potom

Naopak, ak na body , ležiaci na zodpovedajúcom p ebrax, vzťah platí, potom roviny , , Aprejsť cez jeden bod.

Dôkaz o nevyhnutnostiľahko získať, ak si všimnete, že body (cm. Obrázok 3) leží v rovnakej rovine (toto je rovina prechádzajúca priamkami A, pretínajúci sa v bode M) a aplikujte Menelaovu vetu.

Opačná veta je dokázaná rovnakým spôsobom ako konverzná veta Menelaus v priestore: treba nakresliť rovinu cez body A1, B1, C1 a dokázať pomocou lemy, že táto rovina bude pretínať hranu DA v bode D1.

Dôsledky teorémovsChevy

Dôsledok 1. Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý delí každý medián v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu.

Dôkaz. Urobme dôkaz založený na vetách Ceva a Menelaus. Nech sú teda AA, BB, CC mediány ABC (obr. 20). Pretože AC=CB, BA=AC, AB=BC, potom =1, = 1, = 1. Potom . . , t.j. na body A,B,C ležiace na stranách trojuholníka ABC, podmienka je splnená . . =1 ; podľa Cevovej vety sa AA, BB, CC pretínajú v jednom bode O (prípad vnútorného bodu).

Vezmime si BBC, body A,O,A ležia na rovnakej priamke pretínajúcej strany BB,BC a predĺženie strany BC (ďalej to budeme nazývať sečna). A BC, O BB, ABC.

Podľa Menelaovej vety =.

Dôsledok 2. Osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz. Platnosť tohto tvrdenia možno dokázať pomocou vlastnosti osy:

keďže AA je osička = ; pretože BB je teda osička ; keďže SS je osou . Vynásobením ľavej a pravej strany týchto rovnosti dostaneme. . = . . = 1, teda pre body A, B, C je Chevova rovnosť splnená, čo znamená, že AA, BB, CC sa pretínajú v jednom bode.

Dôsledok3. Nadmorské výšky trojuholníka (alebo ich predĺženia) pretínajú v jednom bode (ortocentrum trojuholníka).

Dôkaz: Nech AA, BB, CC sú výšky ABC.

1) Ak je ABC akútna (obr. 22), tak body A, B, C ležia na jej stranách. ACC - obdĺžnikový, AC = AC cosA;

BCC- pravouhlý, BC = BC cosB; BAA – obdĺžnikový, BA= AB cosB;

AAC- pravouhlý, AC=AC cosC; CB=CB cosC; AB = AB cosA.

Potom..= = 1. A keďže podmienka () je splnená, potom

2) Nech je ABC tupé (obr. 23). Toto je prípad vonkajšieho bodu O. Z ACC AC=ACcosA; z CBC CB = CB cos (180-B) = -CB cosB (tupý uhol B);

z ABA BA=AB cos(180-B)=-AB cosB; podobne,

AB=AB cosA; BC = BC cosC; AC = AC cosC; CB=CBcosC.

Keďže Chevova podmienka je splnená, potom sa AA, BB, CC pretínajú v jednom bode alebo sú rovnobežné (kapitola 1). Ale ak by boli rovnobežné, potom by čiary na ne kolmé, teda strany trojuholníka ABC, boli navzájom rovnobežné, ale nie je to tak. To znamená, že čiary AA, BB, CC sa pretínajú v jednom bode.

3) Ak je ABC pravouhlé, C = 90 (obr. 3), potom je zrejmé, že výšky BC, AC, CC sa pretínajú v bode C. Dôsledok 3 je dokázaný.

Dôsledok4. Odvesny na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz. Uvažujme strednú MNK (vrcholy sú stredy strán ABC) (obr. 25). Potom NK,NM,MK sú stredové čiary trojuholníka ABC a podľa vlastnosti stredová čiara NK||AC, NM||BC, KM||AB. Preto odvesny na strany trojuholníka ABC obsahujú nadmorské výšky MNK. A v MNK, podľa Dôsledku 3, sa nadmorské výšky pretínajú v jednom bode, preto sa kolmé osi pretínajú v jednom bode.

Cevova veta teda umožňuje veľmi jednoducho dokázať známe tvrdenia o štyroch pozoruhodných bodoch trojuholníka.

Zoberme si ďalší dôsledok Cevovej vety.

Dôsledok 5. Čiary spájajúce vrcholy trojuholníka s bodmi, v ktorých sa kružnica dotýka opačných strán, sa pretínajú v jednom bode. Tento bod sa nazýva Gergonnov bod (obr. 26).

Dôkaz. Vlastnosťou dotyčníc nakreslených ku kružnici z jedného bodu máme AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z.

, podľa Cevovej vety AA, BB, CC sa pretínajú v jednom bode.

Aplikácia vety Ceva a Menelaa na riešenie geometrické problémy.

Chevove a Menelaove vety sa študujú v školskom matematickom kurze iba v triedach s hĺbkovým štúdiom matematiky. Medzitým tieto teorémy umožňujú jednoducho a elegantne vyriešiť celú triedu úloh planimetrie navrhnutých na vstupné testy na univerzity, do korešpondenčných kurzov matematické školy možno vyriešiť pomocou týchto teorémov.

Problém 1. V trojuholníkuABC, popísané o kruhu,AB =13, B.C. = 12, A.C. = 9, AAC– body dotyku ležiace po stranáchB.C.AAB. Q- priesečníksegmentovA.A.AB.H.,KdeB.H.- výška. Nájdite postojBQ: QH.

Riešenie:

Trojuholník ABC je scalene, čo znamená, že bod H sa nezhoduje s bodom dotyku. Označme dotykový bod ležiaci na strane AC písmenom B.

1. Nech CB = x, potom pomocou vlastnosti dotyčníc nakreslených ku kružnici z jedného bodu zavedieme zápis (obr. 32):

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Potom (13 – x) + (12 – x) = 9, x = 8. Takže CB = BA= 8, AC=AB= 5, CA=CB=4.

2. Podľa Heronovho vzorca

S=, B.H.=, B.H. = .

3. Z trojuholníka ABH (pravý trojuholník) pomocou Pytagorovej vety

4. V trojuholníku CBH pretína priamka AA dve jeho strany a pokračovanie tretej. Podľa Menelaovej vety

1, ..=1, ..=1, = .

Odpoveď: 162:53.

Problém 2. Daný rovnobežníkA B C D. BodkaMrozdeľuje segmentADvo vzťahupa bodNrozdeľuje segmentDCvo vzťahuq. PriamyB.M.AANpretínajú v bodeS. Vypočítajte pomerAS: SN.

Riešenie: ak MD= b, potom AM= pb; ak NC = a, potom DN = aq.

Nech B je priesečník priamok BM a CD.

MBD ~ BBC, potom;

; 1+ p = ; X = .

Priamka BB pretína dve strany a predĺženie tretieho trojuholníka AND. Podľa Menelaovej vety

Problém 3. Dana má pravdu trojboký hranol s bočnými rebrami, A. Navyše na pokračovaní rebradobrá poznámkaTakže. Cez bodky, a stredom rebraje nakreslená rovina. V akom pomere rozdeľuje objem hranola?

Riešenie:

1) Stavba úseku:

a), pripojte MB, .

b), pripojiť, .

c), spájame.

d) štvoruholník – požadovaný rez.

2) Nech sú objemy spodnej časti, hornej časti a celého hranola, výška hranola a strana základne.

M.L.A.~ ;

Uvažujme ABC, – sekant, .

Podľa Menelaovej vety.

– časti padajú. .

odpoveď: 13:23

Záver

Chevove a Menelaove vety sú ľahko pochopiteľné. Ale ťažkosti spojené so zvládnutím týchto teorémov sú odôvodnené ich použitím pri riešení problémov.

Riešenie problémov pomocou Chevových a Menelaových teorém je racionálnejšie ako ich riešenie inými metódami, napríklad vektorovými, ktoré si vyžadujú ďalšie akcie.

Domnievam sa, že takéto vety by mali byť zahrnuté do základného kurzu geometrie pre ročníky 7-9, pretože riešenie problémov pomocou týchto viet rozvíja myslenie a logiku študentov.

Chevove a Menelaove vety pomáhajú riešiť problémy rýchlo a originálnym spôsobom zvýšená zložitosť, vrátane úloh stupňa C jednotnej štátnej skúšky.

Bibliografia.

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I.

Geometria: Učebnica pre 7.-9. ročník strednej školy / L.S. Atanasyan,

V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol. - M.: Vzdelávanie, 1990. - 336 s.

2. Kachalkina E. Aplikácia teorém Ceva a Menelaus/Matematika. Nakladateľstvo„Prvý september“, 2004, – č. 13. – str.23-26

3. Myakishev A.G. Prvky trojuholníkovej geometrie. - Knižnica

„Matematické vzdelávanie“ - M.: Vydavateľstvo Moskovského centra

nepretržitý matematické vzdelanie, 2002. – 32 s.