Teória pravdepodobnosti ako matematická veda. História vzniku teórie pravdepodobnosti

Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá študuje vzorce hmoty náhodné udalosti.

Pred vznikom teórie pravdepodobnosti ako všeobecne uznávanej teórie dominoval vo vede determinizmus, podľa ktorého realizácia určitého súboru podmienok jednoznačne určuje výsledok. Klasický príklad je mechanika. Napríklad na základe zákonov nebeská mechanika podľa polohy planét známych v určitom okamihu slnečná sústava solárne a zatmenia Mesiaca. Takéto zákony sa nazývajú deterministické zákony.

Prax však ukázala, že tento prístup nie je vždy použiteľný. Nie všetky fenomény makrokozmu sú prístupné presná predpoveď, a to aj napriek tomu, že naše poznatky o nej sa neustále spresňujú a prehlbujú. Zákonitosti a zákonitosti mikrosveta sú ešte menej určené.

Matematické zákony teórie pravdepodobnosti odrážajú skutočné štatistické zákony, ktoré objektívne existujú v hromadných náhodných javoch.

Teória pravdepodobnosti sa pôvodne vyvinula ako aplikovaná disciplína. V tomto smere boli jej koncepcie a závery zafarbené oblasťami vedomostí, v ktorých boli získané.

V dielach B.V. Gnedenko, L.E. Maystrová, A.N. Kolmogorov predstavuje hlavné etapy vývoja teórie pravdepodobnosti. Pre stručnosť ich uvádzame v tabuľkovej forme.

stôl 1

Etapy vývoja teórie pravdepodobnosti

Zdroje vývoja uvedené v tabuľke odrážajú potreby praxe, ktoré sa stali impulzom pre rozvoj teórie pravdepodobnosti.

Do 17. storočia filozofia nazhromaždila pomerne veľké množstvo materiálu, čo ovplyvnilo vznik a prvé obdobie rozvoja teórie pravdepodobnosti. Hlavným zdrojom vzniku teórie pravdepodobnosti je prax. Potreba vytvorenia matematického aparátu na analýzu náhodných javov vyplynula z potreby spracovania a zovšeobecnenia štatistického materiálu. Teória pravdepodobnosti však nevznikla len na materiáli praktické problémy: Tieto úlohy sú príliš ťažké. Hazardné hry sa ukázali ako jednoduchší a pohodlnejší materiál na štúdium vzorcov náhodných javov. Na základe hazardných hier sa popri základných pojmoch vyvinuli aj metódy teórie pravdepodobnosti.

Pôvod teórie pravdepodobnosti začal tým, že dvoran francúzsky kráľ, Chevalier (Cavalier) de Mer (1607-1648), sám gambler, sa obrátil na francúzsky fyzik, matematik a filozof Blaise Pascal (1623-1662) s otázkami pre problém okuliarov. Dostali sa k nám dve známe otázky od de Merea po Pascala: 1) koľkokrát treba hodiť dve? kocky takže počet hodov dvoch šestiek naraz je viac ako polovica celkový počet hádzanie; 2) ako spravodlivo rozdeliť stávkové peniaze, ak hráči predčasne prerušili hru? Pascal sa obrátil na matematika Pierra Fermata (1601-1665) a písal si s ním o týchto problémoch. Obidvaja stanovili niektoré počiatočné princípy teórie pravdepodobnosti, najmä prišli na tento koncept matematické očakávanie a vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.

Priamy praktické využitie pravdepodobnostné metódy nachádza predovšetkým v problémoch s poistením. Odvtedy teória pravdepodobnosti nachádza čoraz väčšie uplatnenie v rôznych oblastiach.

Za objaviteľov teórie pravdepodobnosti sú považovaní francúzski vedci B. Pascal a P. Fermat a holandský vedec H. Huygens (1629-1695). sa začali vynárať nová veda, vzniká jej špecifickosť a metodológia: definície, vety, metódy.

Veľký krok vo vývoji teórie pravdepodobnosti je spojený s prácou Jacoba Bernoulliho (1654–1705). Je prvým, kto dokázal jednu z nich najdôležitejšie ustanovenia teória pravdepodobnosti? zákon veľkých čísel. Ešte pred Jacobom Bernoullim mnohí poznamenali ako empirický fakt tú vlastnosť náhodných javov, ktorá sa nazýva „vlastnosť stability frekvencií pod veľké číslo experimenty." Opakovane bolo zaznamenané, že pri veľkom počte experimentov, z ktorých každý je náhodný, relatívna frekvencia výskyt daného výsledku má tendenciu sa stabilizovať, blíži sa k určitému číslu pravdepodobnosti tohto výsledku? Jacob Bernoulli prvý dal teoretický základ toto empirický fakt. teorém Jacoba Bernoulliho? najjednoduchšia forma zákon veľkých čísel? vytvára súvislosť medzi pravdepodobnosťou udalosti a frekvenciou jej výskytu; pri dostatočne veľkom počte experimentov možno s praktickou istotou očakávať ľubovoľne tesnú zhodu medzi frekvenciou a pravdepodobnosťou.

Ďalší dôležitá etapa vo vývoji teórie pravdepodobnosti sa spája s menom Moavr (1667?1754). Tento vedec najprv uviedol do úvahy a v najjednoduchšom prípade zdôvodnil zákon, ktorý sa veľmi často pozoruje pri náhodných javoch: takzvaný normálny zákon (Gaussov zákon).

Normálny zákon hrá výlučne dôležitá úloha v náhodných javoch. Vety, ktoré odôvodňujú tento zákon za určitých podmienok, sú v teórii pravdepodobnosti spoločný názov"centrálne limitná veta».

Harmonickú a systematickú prezentáciu základov teórie pravdepodobnosti ako prvý podal slávny matematik Laplace (1749 – 1827). Dokázal jednu z foriem centrálnej limitnej vety (Moavre-Laplaceova veta) a vyvinul množstvo pozoruhodných aplikácií teórie pravdepodobnosti v praktických otázkach, najmä pri analýze chýb pozorovania a merania.

Významný krok vpred vo vývoji teórie pravdepodobnosti je spojený s menom Gauss (1777?1855), ktorý dal ešte všeobecnejšie odôvodnenie normálny zákon a vyvinuli metódu na spracovanie experimentálnych údajov známu ako „metóda najmenších štvorcov“.

Za povšimnutie stojí práca Poissona (1781–1840), ktorý dokázal všeobecnejšiu formu zákona veľkých čísel ako Jacob Bernoulli a tiež ako prvý aplikoval teóriu pravdepodobnosti na problémy so streľbou. Poissonovo meno je spojené s jedným zo zákonov rozdelenia, ktorý hrá dôležitú úlohu v teórii pravdepodobnosti a jej aplikáciách.

Pre všetky XVIII a začiatkom XIX storočia sa vyznačuje rýchlym rozvojom teórie pravdepodobnosti a rozšíreným nadšením pre ňu. Teória pravdepodobnosti sa stáva „módnou“ vedou. Začínajú ho používať nielen tam, kde je jeho používanie legálne, ale aj tam, kde to nie je nijako odôvodnené.

Toto obdobie sa vyznačovalo početnými pokusmi aplikovať teóriu pravdepodobnosti na štúdium spoločenských javov, na takzvané „morálne“ alebo „morálne“ vedy. Objavilo sa množstvo prác o otázkach súdneho konania, histórie, politiky, dokonca aj teológie, v ktorých sa využíval aparát teórie pravdepodobnosti. Všetky tieto pseudovedecké štúdie sa vyznačujú mimoriadne zjednodušeným, mechanickým prístupom k témam, ktoré sa v nich zvažujú. spoločenských javov. Úvaha je založená na nejakom svojvoľnom dané pravdepodobnosti(napríklad pri posudzovaní otázok súdneho konania sa sklon každého človeka hovoriť pravdu alebo klamať posudzuje určitou konštantnou pravdepodobnosťou, rovnakou pre všetkých ľudí) a ďalej verejný problém možno vyriešiť ako jednoduchý aritmetický problém.

Prirodzene, všetky takéto pokusy boli odsúdené na neúspech a nemohli zohrať pozitívnu úlohu v rozvoji vedy. Naopak, ich nepriamym výsledkom bolo, že okolo dvadsiatky? tridsiatych rokov ročníky XIX storočí v západná Európa rozšírené nadšenie pre teóriu pravdepodobnosti vystriedalo sklamanie a skepticizmus. Na teóriu pravdepodobnosti sa začali pozerať ako na pochybnú, druhotriednu vedu, druh matematickej zábavy, sotva hodnú seriózneho štúdia.

Je pozoruhodné, že práve v tomto období vznikla v Rusku slávna petrohradská matematická škola, prostredníctvom ktorej diel bola teória pravdepodobnosti postavená na solídnu logickú a matematický základ a je vyrobený spoľahlivo, presne a efektívna metóda vedomosti. Od vzniku tejto školy je vývoj teórie pravdepodobnosti už úzko spojený s prácou Rusov a v budúcnosti? Sovietski vedci.

Medzi vedcami Petrohradu matematická škola mali by sme menovať V. Ja Bunyakovského (1804?1889)? autor prvého kurzu teórie pravdepodobnosti v ruštine, tvorca modernej ruskej terminológie z teórie pravdepodobnosti, autor pôvodného výskumu v oblasti štatistiky a demografie.

Žiakom V. Ja Bunyakovského bol veľký ruský matematik P. L. Čebyšev (1821?1894), ktorý ďalej rozšíril a zovšeobecnil zákon veľkých čísel. Okrem toho P. L. Čebyšev zaviedol do teórie pravdepodobnosti veľmi silnú a plodnú metódu momentov.

Žiakom P. L. Čebyševa bol A. A. Markov (1856?1922), ktorý výrazne rozšíril rozsah aplikácie zákona veľkých čísel a centrálnej limitnej vety a rozšíril ich nielen na nezávislé, ale aj na závislé experimenty. Najdôležitejšou zásluhou A. A. Markova bolo, že položil základy úplne nového odvetvia teórie pravdepodobnosti? teórie náhodných alebo „stochastických“ procesov. Rozvoj tejto teórie tvorí hlavný obsah najnovšej, modernej teórie pravdepodobnosti.

A. M. Ljapunov (1857–1918) bol tiež žiakom P. L. Čebyševa, s ktorého menom sa spája prvý dôkaz centrálnej limitnej vety pre extrémne všeobecné podmienky. Aby dokázal svoju vetu, A. M. Lyapunov vyvinul špeciálna metóda charakteristické funkcie, široko používaný v modernej teórii pravdepodobnosti.

Charakteristickou črtou práce petrohradskej matematickej školy bola výnimočná jasnosť formulácie úloh, úplná matematická prísnosť používaných metód a zároveň úzke spojenie teórie s okamžité požiadavky praktík. Prostredníctvom prác vedcov petrohradskej matematickej školy bola teória pravdepodobnosti vytiahnutá z okraja vedy a zaradená ako plnohodnotný člen do radu exaktných matematické vedy. Boli prísne definované podmienky pre aplikáciu jej metód a boli privedené aj samotné metódy vysoký stupeň dokonalosť.

Sovietska škola teórie pravdepodobnosti, ktorá zdedila tradície petrohradskej matematickej školy, sa radí do svetovej vedy popredné miesto. Uveďme len niektorých z najväčších sovietskych vedcov, ktorých diela hrali rozhodujúcu úlohu vo vývoji modernej teórie pravdepodobnosti a jej praktických aplikácií.

S. N. Bernstein vyvinul prvú úplnú axiomatiku teórie pravdepodobnosti a výrazne rozšíril aj rozsah aplikácie limitných viet.

A. Ya Khinchin (1894?1959) je známy výskumom v oblasti ďalšieho zovšeobecňovania a posilňovania zákona veľkých čísel, ale hlavne výskumom v oblasti stacionárnych náhodných procesov.

Množstvo dôležitých hlavné práce v rôznych oblastiach teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky patrí A. N. Kolmogorovovi. Dal to najdokonalejšie axiomatická konštrukcia teória pravdepodobnosti, ktorá ju spája s jednou z najdôležitejších častí moderná matematika? metrická teória funkcií. Zvláštny význam Diela A. N. Kolmogorova sú z oblasti teórie náhodné funkcie (stochastické procesy), ktoré v súčasnosti tvoria základ všetkých výskumov v tejto oblasti. Práce A. N. Kolmogorova súvisiace s hodnotením výkonu tvorili základ úplne nového vedecký smer v teórii streľby, ktorá potom prerástla do širšej vedy o efektivite bojových operácií.

V. I. Romanovsky a N. V. Smirnov sú známi svojou prácou v oblasti matematickej štatistiky, E. E. Slutsky? v teórii náhodných procesov, B.V.Gnedenko? v oblasti teórie radenie, E. B. Dynkin? v oblasti Markovových náhodných procesov, V. S. Pugačeva? v oblasti náhodných procesov aplikovaných na problémy automatického riadenia.

rozvoj zahraničná teória pravdepodobnosti v súčasnosti tiež postupuje zrýchleným tempom vzhľadom na naliehavé požiadavky praxe. Rovnako ako u nás je prioritná pozornosť venovaná otázkam súvisiacim s náhodnými procesmi. Významné diela v tejto oblasti patria N. Wienerovi, V. Fellerovi, D. Doobovi. Dôležité diela o teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistiky patria R. Fischerovi, D. Neumannovi a G. Kramerovi.

Teória pravdepodobnosti, podobne ako iné odvetvia matematiky, sa vyvinula z potrieb praxe a abstraktne odráža vzorce v hromadných náhodných udalostiach. Tieto vzory hrajú veľmi dôležitú úlohu v rôznych oblastiach prírodných vied, medicíny, techniky, ekonómie a vojenských záležitostí. Mnohé odvetvia teórie pravdepodobnosti boli vyvinuté kvôli potrebám praxe.

Udalosti, ktoré sa dejú v skutočnosti alebo v našej predstave, môžeme rozdeliť do 3 skupín. Toto sú určité udalosti, ktoré sa určite stanú, nie možné udalosti a náhodné udalosti. Teória pravdepodobnosti študuje náhodné udalosti, t.j. udalosti, ktoré sa môžu, ale nemusia stať. Tento článok bude prezentovaný v v skratke vzorce teórie pravdepodobnosti a príklady riešenia úloh z teórie pravdepodobnosti, ktoré budú súčasťou úlohy 4 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (profilová úroveň).

Prečo potrebujeme teóriu pravdepodobnosti?

Historicky potreba študovať tieto problémy vznikla v 17. storočí v súvislosti s rozvojom a profesionalizáciou hazardných hier a vznikom kasín. To bolo skutočný fenomén, ktorá si vyžiadala vlastné štúdium a výskum.

Hranie kariet, kociek a rulety vytváralo situácie, v ktorých bola ktorákoľvek z konečné číslo rovnako možné udalosti. Bolo potrebné poskytnúť číselné odhady možnosti výskytu konkrétnej udalosti.

V 20. storočí sa ukázalo, že táto zdanlivo ľahkomyseľná veda hrá dôležitú úlohu pri pochopení základných procesov prebiehajúcich v mikrokozme. Bol vytvorený moderná teória pravdepodobnosti.

Základné pojmy teórie pravdepodobnosti

Predmetom štúdia teórie pravdepodobnosti sú udalosti a ich pravdepodobnosti. Ak je udalosť zložitá, možno ju rozdeliť na jednoduché komponenty, ktorých pravdepodobnosti sa dajú ľahko nájsť.

Súčet udalostí A a B sa nazýva udalosť C, ktorá spočíva v tom, že buď udalosť A, alebo udalosť B, alebo udalosti A a B nastali súčasne.

Súčin udalostí A a B je udalosť C, čo znamená, že nastala udalosť A aj udalosť B.

Udalosti A a B sa nazývajú nekompatibilné, ak sa nemôžu vyskytnúť súčasne.

Udalosť A sa nazýva nemožná, ak sa nemôže stať. Takáto udalosť je označená symbolom.

Udalosť A sa nazýva istá, ak sa určite stane. Takáto udalosť je označená symbolom.

Nech je každá udalosť A spojená s číslom P(A). Toto číslo P(A) sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A, ak sú s touto korešpondenciou splnené nasledujúce podmienky.

Dôležitým špeciálnym prípadom je situácia, keď sú rovnako pravdepodobné elementárne výsledky, a ľubovoľné z týchto výsledkov tvoria udalosti A. V tomto prípade možno pravdepodobnosť zadať pomocou vzorca. Takto zavedená pravdepodobnosť je tzv klasická pravdepodobnosť. Dá sa dokázať, že v tomto prípade sú splnené vlastnosti 1-4.

Problémy teórie pravdepodobnosti, ktoré sa objavujú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky, súvisia najmä s klasickou pravdepodobnosťou. Takéto úlohy môžu byť veľmi jednoduché. Obzvlášť jednoduché sú problémy v teórii pravdepodobnosti v demo možnosti. Je ľahké vypočítať počet priaznivých výsledkov, počet všetkých výsledkov je zapísaný priamo v podmienke.

Odpoveď dostaneme pomocou vzorca.

Príklad úlohy z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti

Na stole je 20 koláčov - 5 s kapustou, 7 s jablkami a 8 s ryžou. Marina si chce vziať koláč. Aká je pravdepodobnosť, že si dá ryžový koláč?

Riešenie.

Existuje 20 rovnako pravdepodobných základných výsledkov, to znamená, že Marina môže vziať ktorýkoľvek z 20 koláčov. Musíme však odhadnúť pravdepodobnosť, že si Marina vezme ryžový koláč, teda kde A je výber ryžového koláča. To znamená, že počet priaznivých výsledkov (výber koláčov s ryžou) je len 8. Potom sa pravdepodobnosť určí podľa vzorca:

Nezávislé, opačné a svojvoľné udalosti

Avšak v otvorená nádoba začali pribúdať ďalšie úlohy ťažké úlohy. Preto upriamme pozornosť čitateľa na ďalšie problémy študované v teórii pravdepodobnosti.

Udalosti A a B sa považujú za nezávislé, ak pravdepodobnosť každej z nich nezávisí od toho, či nastane druhá udalosť.

Udalosť B je taká, že udalosť A sa nestala, t.j. udalosť B je opačná k udalosti A. Pravdepodobnosť opačnej udalosti sa rovná jednej mínus pravdepodobnosť priamej udalosti, t.j. .

Pravdepodobné vety o sčítaní a násobení, vzorce

Pre ľubovoľné udalosti A a B sa pravdepodobnosť súčtu týchto udalostí rovná súčtu ich pravdepodobností bez pravdepodobnosti ich spoločné podujatie, t.j. .

Pre nezávislé udalosti A a B sa pravdepodobnosť výskytu týchto udalostí rovná súčinu ich pravdepodobností, t.j. v tomto prípade .

Posledné 2 tvrdenia sa nazývajú vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.

Počítanie výsledkov nie je vždy také jednoduché. V niektorých prípadoch je potrebné použiť kombinatoriku. Najdôležitejšie je spočítať počet udalostí, ktoré spĺňajú určité podmienky. Niekedy sa tieto druhy výpočtov môžu stať nezávislými úlohami.

Koľkými spôsobmi môže byť 6 študentov usadených v 6 voľné miesta? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom, ako môže druhý študent zaujať miesto. Pre tretieho žiaka ostali 4 voľné miesta, pre štvrtého 3, pre piateho 2 a jediné zostávajúce miesto obsadí šiestak. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt, ktorý je označený symbolom 6! a znie „šesť faktoriál“.

IN všeobecný prípad Odpoveď na túto otázku dáva vzorec pre počet permutácií n prvkov v našom prípade.

Pozrime sa teraz na ďalší prípad s našimi študentmi. Koľkými spôsobmi môžu byť 2 študenti usadení na 6 prázdnych miestach? Prvý študent obsadí ktorékoľvek zo 6 miest. Každá z týchto možností zodpovedá 5 spôsobom, ako môže druhý študent zaujať miesto. Ak chcete nájsť počet všetkých možností, musíte nájsť produkt.

Vo všeobecnosti je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet umiestnení n prvkov na k prvkom

V našom prípade.

A posledný prípad z tejto série. Koľkými spôsobmi môžete vybrať 3 študentov zo 6? Prvý študent môže byť vybraný 6 spôsobmi, druhý - 5 spôsobmi, tretí - štyrmi spôsobmi. Ale medzi týmito možnosťami sa rovnakí traja študenti objavia 6-krát. Ak chcete zistiť počet všetkých možností, musíte vypočítať hodnotu: . Vo všeobecnosti je odpoveď na túto otázku daná vzorcom pre počet kombinácií prvkov podľa prvku:

V našom prípade.

Príklady riešenia úloh z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na určenie pravdepodobnosti

Úloha 1. Zo zborníka upravil. Jaščenko.

Na tanieri je 30 koláčov: 3 s mäsom, 18 s kapustou a 9 s čerešňami. Sasha si náhodne vyberie jeden koláč. Nájdite pravdepodobnosť, že skončí s čerešňou.

.

Odpoveď: 0,3.

Úloha 2. Zo zbierky upravil. Jaščenko.

V každej dávke 1000 žiaroviek je v priemere 20 chybných. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybratá žiarovka z dávky bude fungovať.

Riešenie: Počet funkčných žiaroviek je 1000-20=980. Potom pravdepodobnosť, že náhodne vybratá žiarovka z dávky bude fungovať:

Odpoveď: 0,98.

Pravdepodobnosť, že študent U počas testu z matematiky správne vyrieši viac ako 9 úloh, je 0,67. Pravdepodobnosť, že U. správne vyrieši viac ako 8 úloh, je 0,73. Nájdite pravdepodobnosť, že U správne vyrieši práve 9 úloh.

Ak si predstavíme číselnú os a označíme na nej body 8 a 9, tak uvidíme, že podmienka „U. správne vyrieši práve 9 úloh“ je súčasťou podmienky „U. správne vyrieši viac ako 8 úloh“, ale nevzťahuje sa na podmienku „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov.“

Avšak podmienka „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov“ je obsiahnutá v podmienke „U. správne vyrieši viac ako 8 problémov.“ Ak teda označíme udalosti: „U. vyrieši presne 9 úloh" - cez A, "U. správne vyrieši viac ako 8 problémov“ - cez B, „U. správne vyrieši viac ako 9 problémov“ cez C. Toto riešenie bude vyzerať takto:

Odpoveď: 0,06.

Na skúške z geometrie študent odpovedá na jednu otázku zo zoznamu skúšobné otázky. Pravdepodobnosť, že ide o trigonometrickú otázku, je 0,2. Je pravdepodobné, že toto je otázka k téme “ Vonkajšie rohy“, sa rovná 0,15. Neexistujú žiadne otázky, ktoré by sa súčasne týkali týchto dvoch tém. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane na skúške otázku na jednu z týchto dvoch tém.

Zamyslime sa nad tým, aké akcie máme. Sú nám dané dve nezlučiteľné udalosti. To znamená, že buď sa otázka bude týkať témy „Trigonometria“ alebo témy „Vonkajšie uhly“. Podľa pravdepodobnostnej vety pravdepodobnosť nezlučiteľné udalosti sa rovná súčtu pravdepodobností každej udalosti, musíme nájsť súčet pravdepodobností týchto udalostí, to znamená:

Odpoveď: 0,35.

Miestnosť je osvetlená lampášom s tromi lampami. Pravdepodobnosť vyhorenia jednej lampy za rok je 0,29. Nájdite pravdepodobnosť, že počas roka nevyhorí aspoň jedna lampa.

Uvažujme o možných udalostiach. Máme tri žiarovky, z ktorých každá môže a nemusí vyhorieť nezávisle od akejkoľvek inej žiarovky. Sú to nezávislé udalosti.

Potom uvedieme možnosti pre takéto udalosti. Používajme nasledujúce označenia: - žiarovka svieti, - žiarovka je vypálená. A hneď vedľa vypočítame pravdepodobnosť udalosti. Napríklad pravdepodobnosť udalosti, pri ktorej nastali tri nezávislé udalosti „žiarovka je vypálená“, „žiarovka svieti“, „žiarovka svieti“: , kde pravdepodobnosť udalosti „žiarovka svieti“ sa vypočíta ako pravdepodobnosť udalosti opačnej k udalosti „žiarovka nesvieti“, a to: .

Mnohí, keď čelia konceptu „teórie pravdepodobnosti“, dostanú strach, mysliac si, že je to niečo ohromujúce, veľmi komplikované. Ale v skutočnosti nie je všetko také tragické. Dnes sa pozrieme na základný koncept teórie pravdepodobnosti a naučíme sa riešiť problémy na konkrétnych príkladoch.

Veda

Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Zaznamenáva vzory a množstvá. Vedci sa o túto problematiku prvýkrát začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je stanovená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že tento súbor okolností nebol vytvorený náhodou, ale za konkrétnym účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí a nijako neovplyvňuje, čo sa deje.

Diania

Dozvedeli sme sa, že základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nebrali sme do úvahy klasifikáciu. Všetky sú rozdelené do nasledujúcich kategórií:

• Spoľahlivý.
• nemožné.
• Náhodný.

Bez ohľadu na to, o aký druh udalostí ide, či sú pozorované alebo vytvorené počas zážitku, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Pozývame vás, aby ste sa zoznámili s každým typom samostatne.

Spoľahlivé podujatie

Toto je okolnosť, pre ktorú bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika. zahŕňa toto dôležitý koncept, Ako spoľahlivá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:

• Pracujeme a dostávame kompenzáciu vo forme mzdy.
• Dobre sme zvládli skúšky, zvládli súťaž, za to dostávame odmenu v podobe prijatia na vzdelávacia inštitúcia.
• Peniaze sme investovali do banky a v prípade potreby ich vrátime.

Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme všetko dokončili potrebné podmienky, potom sa určite dočkáme očakávaného výsledku.

Nemožné udalosti

Teraz uvažujeme o prvkoch teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť k vysvetleniu ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Na začiatok si stanovme najviac dôležité pravidlo- pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.

Od tejto formulácie sa pri riešení problémov nemožno odchýliť. Pre objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:

• Voda zamrzla pri teplote plus desať (to je nemožné).
• Nedostatok elektriny nijako neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).

Nemá cenu uvádzať viac príkladov, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Počas experimentu za žiadnych okolností nikdy nenastane nemožná udalosť.

Náhodné udalosti

Štúdium prvkov teórie pravdepodobnosti, Osobitná pozornosť stojí za to venovať pozornosť tento druh diania. Toto sú tie, ktoré študuje túto vedu. V dôsledku zážitku sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho môže byť test vykonaný neobmedzený počet krát. Živé príklady môže slúžiť:

• Hod mincou je zážitok alebo skúška, pristávanie hláv je udalosť.
• Vytiahnuť loptičku naslepo z tašky je skúška, dostať červenú loptičku je udalosť atď.

Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu vedomostí získaných o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje len posledný typ zo všetkých prezentovaných.

zákonov

Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá skúma možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existovať nasledujúce zákony teória pravdepodobnosti:

• Konvergencia postupností náhodných premenných.
• Zákon veľkých čísel.

Pri výpočte možnosti niečoho zložitého môžete použiť komplex jednoduché udalostiľahšie dosiahnuť výsledky a rýchly spôsob. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou určitých teorémov. Odporúčame vám, aby ste sa najskôr oboznámili s prvým zákonom.

Konvergencia postupností náhodných premenných

Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:

• Postupnosť náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti.
• Takmer nemožné.
• Priemerná štvorcová konvergencia.
• Konvergencia distribúcie.

Takže hneď na začiatku je veľmi ťažké pochopiť podstatu. Tu sú definície, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Sekvencia je tzv konvergentné v pravdepodobnosti, ak je splnená ďalšia podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, Nad nulou a je blízko k jednote.

Prejdime k ďalšiemu pohľadu, takmer určite. Hovorí sa, že postupnosť konverguje takmer určite k náhodnej premennej, kde n smeruje k nekonečnu a P smeruje k hodnote blízkej jednotke.

Ďalší typ je priemerná štvorcová konvergencia. Pri použití SC konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.

Zostáva posledný typ, pozrime sa naň v krátkosti, aby sme mohli prejsť priamo k riešeniu problémov. Konvergencia v distribúcii má iný názov - „slabá“ a neskôr vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.

Náš sľub určite dodržíme: slabá konvergencia sa od všetkých vyššie uvedených líši tým, že náhodná premenná nie je definovaná pri pravdepodobnostný priestor. Je to možné, pretože podmienka sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.

Zákon veľkých čísel

Teorémy teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:

• Čebyševova nerovnosť.
• Čebyševova veta.
• Zovšeobecnená Čebyševova veta.
• Markovova veta.

Ak vezmeme do úvahy všetky tieto vety, potom táto otázka môže vydržať niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Odporúčame vám to urobiť hneď teraz. Ešte predtým sa však pozrime na axiómy teórie pravdepodobnosti, ktoré budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.

Axiómy

S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi názorný a nezabudnuteľný príklad: sneh padal pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.

Druhá je nasledovná: spoľahlivá udalosť sa vyskytuje s pravdepodobnosťou rovný jednej. Teraz si ukážeme, ako to napísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.

Po tretie: Náhodná udalosť môže a nemusí sa stať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Ako bližšia hodnota na jednu, tým väčšie sú šance; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Poďme si to zapísať matematický jazyk: 0<Р(С)<1.

Zoberme si poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Napíšeme to v matematickom jazyku: P(A+B)=P(A)+P(B).

Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré nie je ťažké si zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.

Lístok do lotérie

Najprv sa pozrime na najjednoduchší príklad – lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať z nich má po sto rubľov, päťdesiat má cenu dvadsať rubľov a sto má cenu päť. Problémy pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnosti šťastia. Teraz spoločne analyzujeme riešenie vyššie uvedenej úlohy.

Ak použijeme písmeno A na označenie výhry päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A sa bude rovnať 0,001. Ako sme sa k tomu dostali? Stačí vydeliť počet „šťastných“ tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).

B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť bude 0,01. Teraz sme konali na rovnakom princípe ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)

C - výhry sú dvadsať rubľov. Nájdeme pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.

O zvyšné vstupenky nemáme záujem, keďže ich výherný fond je nižší ako je uvedený v podmienke. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu danej udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich akciách. Zostáva len sčítať potrebné údaje a dostaneme odpoveď 0,061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku úlohy.

Balíček kariet

Problémy v teórii pravdepodobnosti môžu byť zložitejšie, zoberme si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez zamiešania kôpky, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.

Najprv nájdime pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, zaujíma nás, či to bolo eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.

Ďalším krokom je zistenie pravdepodobnosti súčasného výskytu, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti vynásobíme podmienenou pravdepodobnosťou druhej, ktorú vypočítame za predpokladu, že prvá došlo k udalosti, to znamená, že sme vytiahli eso s prvou kartou.

Aby bolo všetko jasné, dajme označenie takému prvku ako udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočíta sa takto: P(B/A).

Pokračujme v riešení nášho problému: P(A * B) = P(A) * P(B/A) alebo P(A * B) = P(B) * P(A/B). Pravdepodobnosť sa rovná (4/36) * ((3/35)/(4/36). Počítame zaokrúhlením na najbližšiu stotinu. Máme: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Pravdepodobnosť, že vytiahneme dve esá za sebou, je deväť stotín Hodnota je veľmi malá, čo znamená, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.

Zabudnuté číslo

Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších variantov úloh, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých z nich ste už videli v tomto článku Skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže bol hovor veľmi dôležitý, začal postupne všetko vytáčať. . Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie problému je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.

Skôr ako sa pozriete na riešenie, skúste ho vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, teda celkovo desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.

Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite napísal správnu, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor zmeškaný a druhý je na cieli. Vypočítajme pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9 a výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až pri treťom sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: 9/10 vynásobené 8/9 a 1/8, výsledkom čoho je 1/10. Iné možnosti nás podľa podmienok úlohy nezaujímajú, takže musíme len sčítať získané výsledky, nakoniec máme 3/10. Odpoveď: pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.

Kartičky s číslami

Pred vami je deväť kariet, na každej je napísané číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli vložené do krabice a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že

• objaví sa párne číslo;
• dvojciferný.

Predtým, ako prejdeme k riešeniu, stanovme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo bude párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možných možností, teda m=9. Potom je pravdepodobnosť 0,44 alebo 4/9.

Uvažujme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôžu existovať žiadne úspešné výsledky, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojciferné číslo, je tiež nulová.

Mama umyla rám

Na konci dlhých letných prázdnin je čas pomaly sa vrátiť k vyššej matematike a slávnostne otvoriť prázdny súbor Verdov a začať vytvárať novú sekciu - . Uznávam, prvé riadky nie sú ľahké, ale prvý krok je polovica cesty, preto každému navrhujem pozorne si preštudovať úvodný článok, po ktorom bude zvládnutie témy 2x jednoduchšie! Vôbec nepreháňam. …V predvečer ďalšieho 1. septembra si pamätám prvú triedu a základku…. Písmená tvoria slabiky, slabiky slová, slová krátke vety - Mama umývala rám. Ovládanie turverových a matematických štatistík je také jednoduché ako naučiť sa čítať! Na to však potrebujete poznať kľúčové pojmy, pojmy a označenia, ako aj niektoré špecifické pravidlá, ktoré sú predmetom tejto lekcie.

Najprv však prijmite moje blahoželanie k začiatku (pokračovanie, ukončenie, známkujte podľa potreby) školského roka a prijmite darček. Najlepší darček je kniha a pre samostatnú prácu odporúčam nasledujúcu literatúru:

1) Gmurman V.E. Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika

Legendárna učebnica, ktorá prešla viac ako desiatimi dotlačami. Vyznačuje sa zrozumiteľnosťou a mimoriadne jednoduchou prezentáciou učiva a prvé kapitoly sú, myslím, úplne prístupné už pre žiakov 6. – 7. ročníka.

2) Gmurman V.E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike

Kniha riešení od toho istého Vladimíra Efimoviča s podrobnými príkladmi a problémami.

NUTNE stiahnite si obe knihy z internetu alebo získajte ich papierové originály! Fungovať bude aj verzia zo 60. a 70. rokov, ktorá je ešte lepšia pre figuríny. Hoci fráza „teória pravdepodobnosti pre figuríny“ znie dosť smiešne, pretože takmer všetko je obmedzené na základné aritmetické operácie. Miestami však preskakujú deriváty A integrály, ale to je len miestami.

Budem sa snažiť dosiahnuť rovnakú prehľadnosť prezentácie, ale musím upozorniť, že môj kurz je zameraný na riešenie problémov a teoretické výpočty sú obmedzené na minimum. Preto, ak potrebujete podrobnú teóriu, dôkazy viet (vety-vety!), pozrite si učebnicu. No kto chce naučiť sa riešiť problémy v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike v čo najkratšom čase, nasleduj ma!

Na začiatok to stačí =)

Pri čítaní článkov je vhodné oboznámiť sa (aspoň stručne) s doplnkovými úlohami uvažovaných typov. Na stránke Hotové riešenia pre vyššiu matematiku Zverejnia sa príslušné pdf s príkladmi riešení. Poskytne sa aj významná pomoc IDZ 18.1 Ryabushko(jednoduchšie) a vyriešený IDZ podľa Chudesenkovej zbierky(ťažšie).

1) Suma dve udalosti a udalosť sa nazýva, že sa stane alebo udalosť alebo udalosť alebo obe udalosti súčasne. V prípade, že udalosti nezlučiteľné, posledná možnosť zmizne, to znamená, že sa môže vyskytnúť alebo udalosť alebo udalosť .

Pravidlo platí aj pre väčší počet termínov, napríklad podujatie je to, čo sa stane aspoň jeden z udalostí , A ak sú udalosti nezlučiteľné – potom jedna vec a len jedna vec udalosť z tejto sumy: alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť, alebo udalosť .

Príkladov je dosť:

Objavia sa udalosti (pri hode kockou sa 5 bodov neobjaví). alebo 1, alebo 2, alebo 3, alebo 4, alebo 6 bodov.

Udalosť (spadne nikdy viac dva body) je, že sa objaví 1 alebo 2bodov.

Udalosť (bude párny počet bodov). alebo 2 alebo 4 alebo 6 bodov.

Udalosť spočíva v tom, že sa z balíčka vytiahne červená karta (srdce). alebo tamburína) a udalosť – že sa „obrázok“ vytiahne (jack alebo pani alebo kráľ alebo eso).

O niečo zaujímavejší je prípad spoločných podujatí:

Udalosť spočíva v tom, že sa z palubovky vyžrebuje palica alebo sedem alebo sedem klubov Podľa definície uvedenej vyššie, aspoň niečo- alebo akýkoľvek klub alebo ľubovoľná sedmička alebo ich „priesečník“ - sedem klubov. Je ľahké vypočítať, že táto udalosť zodpovedá 12 základným výsledkom (9 klubových kariet + 3 zostávajúce sedmičky).

Akcia je, že zajtra o 12.00 príde ALESPOŇ JEDNO zo zhrňujúcich spoločných podujatí, menovite:

– alebo bude len dážď / iba búrka / iba slnko;
– alebo nastane len nejaká dvojica udalostí (dážď + búrka / dážď + slnko / búrka + slnko);
– alebo sa všetky tri udalosti zobrazia súčasne.

To znamená, že udalosť zahŕňa 7 možných výsledkov.

Druhý pilier algebry udalostí:

2) Práca dve udalosti a nazývame udalosť, ktorá spočíva v spoločnom výskyte týchto udalostí, inými slovami, násobenie znamená, že za určitých okolností dôjde A udalosť, A udalosť . Podobné tvrdenie platí pre väčší počet udalostí, napríklad dielo znamená, že za určitých podmienok sa tak stane A udalosť, A udalosť, A udalosť,…, A udalosť .

Zvážte test, v ktorom sa hádžu dve mince a nasledujúce udalosti:

– na 1. minci sa objavia hlavy;
– 1. minca pristane hlavy;
– na 2. minci sa objavia hlavy;
– 2. minca pristane hlavy.

potom:
A na 2.) sa objavia hlavy;
– udalosť je taká, že na oboch minciach (1 A na 2.) to budú hlavy;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy A 2. minca sú chvosty;
– udalosť je taká, že 1. minca pristane hlavy A na 2. minci je orol.

Je ľahké vidieť, že udalosti nezlučiteľné (lebo napr. nemôžu byť súčasne 2 hlavy a 2 chvosty) a forme celá skupina (keďže sa berie do úvahy Všetky možné výsledky hádzania dvoch mincí). Zhrňme si tieto udalosti: . Ako interpretovať tento záznam? Veľmi jednoduché - násobenie znamená logické spojenie A a dodatok - ALEBO. Suma je teda ľahko čitateľná zrozumiteľnou ľudskou rečou: „objavia sa dve hlavy alebo dve hlavy alebo 1. minca pristane hlavy A na 2. chvostoch alebo 1. minca pristane hlavy A na druhej minci je orol"

Toto bol príklad, keď v jednom teste ide o niekoľko predmetov, v tomto prípade o dve mince. Ďalšou bežnou schémou v praktických problémoch je opätovné testovanie , kedy sa napríklad 3x za sebou hodí tá istá kocka. Ako demonštráciu zvážte nasledujúce udalosti:

– v 1. hode získate 4 body;
– v 2. hode získate 5 bodov;
– v 3. hode získate 6 bodov.

Potom udalosť je, že v 1. hode získate 4 body A v 2. hode získate 5 bodov A v 3. hode získate 6 bodov. Je zrejmé, že v prípade kocky bude podstatne viac kombinácií (výsledkov), ako keby sme si hádzali mincou.

...chápem, že možno rozoberané príklady nie sú veľmi zaujímavé, ale to sú veci, s ktorými sa v problémoch často stretávame a niet pred nimi úniku. Okrem mince, kocky a balíčka kariet na vás čakajú urny s rôznofarebnými loptičkami, niekoľko anonymných ľudí strieľajúcich do terča a neúnavný pracant, ktorý neustále omieľa nejaké detaily =)

Pravdepodobnosť udalosti

Pravdepodobnosť udalosti je ústredným pojmom teórie pravdepodobnosti. ...Zabíjajúca logická vec, ale niekde sme začať museli =) Existuje niekoľko prístupov k jej definícii:

;
Geometrická definícia pravdepodobnosti ;
Štatistická definícia pravdepodobnosti .

V tomto článku sa zameriam na klasickú definíciu pravdepodobnosti, ktorá je najviac využívaná vo vzdelávacích úlohách.

Označenia. Pravdepodobnosť určitej udalosti je označená veľkým latinským písmenom a samotná udalosť je uvedená v zátvorkách, čo funguje ako druh argumentu. Napríklad:

Malé písmeno sa tiež bežne používa na označenie pravdepodobnosti. Najmä môžete opustiť ťažkopádne označenia udalostí a ich pravdepodobnosti v prospech nasledujúceho štýlu:

– pravdepodobnosť, že pri hode mincou budú hlavy;
– pravdepodobnosť, že hod kockou bude mať za následok 5 bodov;
– pravdepodobnosť, že z balíčka bude vytiahnutá karta klubovej farby.

Táto možnosť je populárna pri riešení praktických problémov, pretože vám umožňuje výrazne znížiť zaznamenávanie riešenia. Ako v prvom prípade, aj tu je vhodné použiť „hovoriace“ dolné/horné indexy.

Všetci už dlho hádali čísla, ktoré som práve napísal vyššie, a teraz zistíme, ako dopadli:

Klasická definícia pravdepodobnosti:

Pravdepodobnosť udalosti vyskytujúcej sa v určitom teste sa nazýva pomer, kde:

– celkový počet všetkých rovnako možné, elementárne výsledky tohto testu, ktoré tvoria celá skupina podujatí;

- množstvo elementárne výsledky, priaznivý udalosť.

Pri hádzaní mince môžu vypadnúť buď hlavy alebo chvosty - tieto udalosti sa tvoria celá skupina, teda celkový počet výsledkov; zároveň každý z nich elementárne A rovnako možné. Udalosť je uprednostňovaná výsledkom (hlavy). Podľa klasickej definície pravdepodobnosti: .

Podobne ako výsledok hodu kockou sa môžu objaviť elementárne rovnako možné výsledky, ktoré vytvoria kompletnú skupinu a udalosť je uprednostňovaná jediným výsledkom (hodením päťkou). Preto: TOTO SA NEAKCEPTUUJE (hoci nie je zakázané odhadovať percentá v hlave).

Je zvykom používať zlomky jednotky a, samozrejme, pravdepodobnosť sa môže meniť v rámci . Navyše, ak , potom udalosť je nemožné, Ak - spoľahlivý, a ak , potom hovoríme o náhodný udalosť.

! Ak pri riešení akéhokoľvek problému získate inú hodnotu pravdepodobnosti, hľadajte chybu!

V klasickom prístupe k určovaniu pravdepodobnosti sa extrémne hodnoty (nula a jedna) získavajú presne rovnakým uvažovaním. Nechajte náhodne vyžrebovať 1 loptičku z určitej urny obsahujúcej 10 červených loptičiek. Zvážte nasledujúce udalosti:

v jedinom pokuse nenastane udalosť s nízkou pravdepodobnosťou.

To je dôvod, prečo nezískate jackpot v lotérii, ak je pravdepodobnosť tejto udalosti povedzme 0,00000001. Áno, áno, ste to vy – s jediným lístkom v konkrétnom obehu. Väčší počet lístkov a väčší počet výkresov vám však veľmi nepomôže. ...Keď o tom hovorím ostatným, takmer vždy počujem odpoveď: "ale niekto vyhral." Dobre, potom urobme nasledujúci experiment: kúpte si dnes alebo zajtra tiket na akúkoľvek lotériu (neodkladajte!). A ak vyhráte... no, aspoň viac ako 10 kilorublov, určite sa prihláste - vysvetlím, prečo sa tak stalo. Za percentá, samozrejme =) =)

Netreba však smútiť, pretože platí opačný princíp: ak je pravdepodobnosť nejakej udalosti veľmi blízka jednej, potom v jedinom pokuse bude takmer isté stane sa. Pred zoskokom sa preto netreba báť, naopak, usmievaj sa! Aby totiž oba padáky zlyhali, musia nastať úplne nemysliteľné a fantastické okolnosti.

Aj keď je to všetko lyrika, pretože v závislosti od obsahu udalosti sa prvý princíp môže ukázať ako veselý a druhý - smutný; alebo dokonca obe paralelné.

Snáď to nateraz v triede stačí Klasické pravdepodobnostné problémy zo vzorca vyťažíme maximum. V poslednej časti tohto článku zvážime jednu dôležitú vetu:

Súčet pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria ucelenú skupinu, sa rovná jednej. Zhruba povedané, ak udalosti tvoria kompletnú skupinu, potom so 100% pravdepodobnosťou dôjde k jednej z nich. V najjednoduchšom prípade je kompletná skupina vytvorená opačnými udalosťami, napríklad:

– v dôsledku hodu mincou sa objavia hlavy;
– výsledkom hodu mincou budú hlavy.

Podľa vety:

Je úplne jasné, že tieto udalosti sú rovnako možné a ich pravdepodobnosti sú rovnaké .

Kvôli rovnosti pravdepodobností sa často nazývajú rovnako možné udalosti rovnako pravdepodobné . A tu je jazykolam na určenie stupňa opitosti =)

Príklad s kockou: udalosti sú teda opačné .

Uvažovaná veta je vhodná v tom, že vám umožňuje rýchlo nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Takže ak je známa pravdepodobnosť, že padne päťka, je ľahké vypočítať pravdepodobnosť, že nepadne:

Je to oveľa jednoduchšie ako sčítanie pravdepodobností piatich základných výsledkov. Mimochodom, pre elementárne výsledky platí aj táto veta:
. Napríklad, ak je pravdepodobnosť, že strelec zasiahne cieľ, potom je pravdepodobnosť, že netrafí.

! V teórii pravdepodobnosti je nežiaduce používať písmená na akékoľvek iné účely.

Na počesť Dňa vedomostí nebudem zadávať domáce úlohy =), ale je veľmi dôležité, aby ste vedeli odpovedať na nasledujúce otázky:

– Aké typy udalostí existujú?
– Čo je náhoda a rovnaká možnosť udalosti?
– Ako rozumiete pojmom kompatibilita/nekompatibilita udalostí?
– Čo je úplná skupina udalostí, protichodných udalostí?
– Čo znamená sčítanie a násobenie udalostí?
– Čo je podstatou klasickej definície pravdepodobnosti?
– Prečo je užitočná veta o sčítaní pravdepodobností udalostí, ktoré tvoria úplnú skupinu?

Nie, nemusíte nič napchávať, toto sú len základy teórie pravdepodobnosti – akýsi základ, ktorý sa vám rýchlo zmestí do hlavy. A aby sa to stalo čo najskôr, navrhujem, aby ste sa oboznámili s lekciami

Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte žmolky, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátoru, kde nájdete najužitočnejšie zdroje pre

Čo je pravdepodobnosť?

Keď som sa prvýkrát stretol s týmto pojmom, nerozumel by som, čo to je. Preto sa pokúsim jasne vysvetliť.

Pravdepodobnosť je šanca, že sa stane udalosť, ktorú chceme.

Napríklad ste sa rozhodli ísť do domu priateľa, pamätáte si vchod a dokonca aj poschodie, na ktorom žije. Ale zabudol som číslo a polohu bytu. A teraz stojíte na schodisku a pred vami sú dvere na výber.

Aká je šanca (pravdepodobnosť), že ak zazvoníte na prvý zvonček, odpovie za vás váš priateľ? Sú tam len byty a kamarát býva len za jedným z nich. S rovnakou šancou si môžeme vybrať akékoľvek dvere.

Ale aká je táto šanca?

Dvere, tie správne dvere. Pravdepodobnosť uhádnutia zvonením na prvé dvere: . To znamená, že jeden z troch prípadov uhádnete presne.

Chceme vedieť, keď sme už raz zavolali, ako často uhádneme dvere? Pozrime sa na všetky možnosti:

1. Volal si 1 dvere
2. Volal si 2 dvere
3. Volal si 3 dvere

Teraz sa pozrime na všetky možnosti, kde by mohol byť priateľ:

A. vzadu 1 dvere
b. vzadu 2 dvere
V. vzadu 3 dvere

Porovnajme všetky možnosti vo forme tabuľky. Značka začiarknutia označuje možnosti, keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením priateľa, krížik - ak sa nezhoduje.

Ako všetko vidíte Možno možnosti polohu vášho priateľa a váš výber, na ktoré dvere zazvoniť.

A priaznivé výsledky všetkých . To znamená, že raz uhádnete tak, že raz zazvoníte pri dverách, t.j. .

Toto je pravdepodobnosť - pomer priaznivého výsledku (keď sa vaša voľba zhoduje s umiestnením vášho priateľa) k počtu možných udalostí.

Definícia je vzorec. Pravdepodobnosť sa zvyčajne označuje p, preto:

Nie je veľmi vhodné písať takýto vzorec, preto budeme brať za - počet priaznivých výsledkov a za - celkový počet výsledkov.

Pravdepodobnosť je možné zapísať ako percento, aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť výsledný výsledok:

Slovo „výsledky“ vás pravdepodobne zaujalo. Keďže matematici nazývajú rôzne akcie (v našom prípade je takouto akciou zvonček) experimenty, výsledok takýchto experimentov sa zvyčajne nazýva výsledok.

No, existujú priaznivé a nepriaznivé výsledky.

Vráťme sa k nášmu príkladu. Povedzme, že sme zazvonili na jedny dvere, no otvoril nám cudzinec. Nehádali sme správne. Aká je pravdepodobnosť, že ak zazvoníme na jedny zo zostávajúcich dverí, otvorí nám ich priateľ?

Ak si to myslel, tak toto je omyl. Poďme na to.

Ostali nám dvoje dvere. Takže máme možné kroky:

1) Zavolajte 1 dvere
2) Zavolajte 2 dvere

Priateľ napriek tomu všetkému určite stojí za jedným z nich (napokon nebol za tým, ktorého sme volali):

a) Priateľ pre 1 dvere
b) Priateľ pre 2 dvere

Znovu nakreslíme tabuľku:

Ako vidíte, existujú iba možnosti, z ktorých sú priaznivé. To znamená, že pravdepodobnosť je rovnaká.

Prečo nie?

Situácia, ktorú sme zvážili, je príklad závislých udalostí. Prvou udalosťou je prvý zvonček, druhou udalosťou je druhý zvonček.

A nazývajú sa závislými, pretože ovplyvňujú nasledujúce akcie. Ak by totiž po prvom zazvonení na zvonček odpovedal kamarát, aká by bola pravdepodobnosť, že je za jedným z ostatných dvoch? Správny, .

Ale ak existujú závislé udalosti, potom musia byť tiež nezávislý? Presne tak, stávajú sa.

Učebnicovým príkladom je hod mincou.

1. Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že dostaneme napríklad hlavy? Je to tak – pretože sú tu všetky možnosti (buď hlavy alebo chvosty, pravdepodobnosť dopadnutia mince na jej okraj zanedbáme), ale nám to len vyhovuje.
2. Ale prišlo to na hlavu. Dobre, hodíme to znova. Aká je pravdepodobnosť, že dostane hlavu teraz? Nič sa nezmenilo, všetko je po starom. Koľko možností? Dva. S koľkými sme spokojní? Jeden.

A nech to príde na hlavu aspoň tisíckrát za sebou. Pravdepodobnosť získania hláv naraz bude rovnaká. Vždy existujú možnosti, a to priaznivé.

Je ľahké rozlíšiť závislé udalosti od nezávislých:

1. Ak sa experiment uskutoční raz (raz hodia mincou, raz zazvonia na zvonček atď.), udalosti sú vždy nezávislé.
2. Ak sa experiment vykonáva niekoľkokrát (raz sa hodí minca, niekoľkokrát zazvoní zvonček), prvá udalosť je vždy nezávislá. A potom, ak sa zmení počet priaznivých alebo počet všetkých výsledkov, potom sú udalosti závislé, a ak nie, sú nezávislé.

Poďme si trochu precvičiť určovanie pravdepodobnosti.

Príklad 1

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy dvakrát za sebou?

Riešenie:

Zvážte všetky možné možnosti:

1. Orol-orol
2. Hlavy-chvosty
3. Chvosty-Hlavy
4. Chvosty-chvosty

Ako vidíte, existujú iba možnosti. Z nich sme spokojní len my. Teda pravdepodobnosť:

Ak vás podmienka jednoducho požiada o nájdenie pravdepodobnosti, odpoveď musí byť uvedená vo forme desatinného zlomku. Ak by bolo určené, že odpoveď by mala byť uvedená v percentách, potom by sme vynásobili.

odpoveď:

Príklad 2

V bonboniére sú všetky čokolády zabalené v rovnakom obale. Avšak zo sladkostí - s orechmi, s koňakom, s višňami, s karamelom a s nugátom.

Aká je pravdepodobnosť, že si vezmete jeden cukrík a dostanete cukrík s orechmi? Uveďte svoju odpoveď v percentách.

Riešenie:

Koľko je možných výsledkov? .

To znamená, že ak si vezmete jeden cukrík, bude to jeden z tých, ktoré sú k dispozícii v krabici.

Koľko priaznivých výsledkov?

Pretože krabička obsahuje samé čokoládky s orieškami.

odpoveď:

Príklad 3

V krabici s balónikmi. z ktorých sú biele a čierne.

1. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?
2. Do krabice sme pridali viac čiernych guličiek. Aká je teraz pravdepodobnosť vytiahnutia bielej gule?

Riešenie:

a) V krabici sú iba loptičky. Z nich sú biele.

Pravdepodobnosť je:

b) Teraz je v krabici viac loptičiek. A rovnako veľa bielych zostalo - .

odpoveď:

Celková pravdepodobnosť

Povedzme, že v krabici sú červené a zelené gule. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule? Zelená guľa? Červená alebo zelená guľa?

Pravdepodobnosť nakreslenia červenej gule

Zelená guľa:

Červená alebo zelená guľa:

Ako vidíte, súčet všetkých možných udalostí sa rovná (). Pochopenie tohto bodu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.

Príklad 4.

V krabičke sú fixky: zelená, červená, modrá, žltá, čierna.

Aká je pravdepodobnosť, že nakreslíte NIE červenú značku?

Riešenie:

Spočítajme číslo priaznivé výsledky.

NIE červená značka, to znamená zelená, modrá, žltá alebo čierna.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Už viete, čo sú nezávislé udalosti.

Čo ak potrebujete nájsť pravdepodobnosť, že sa vyskytnú dve (alebo viac) nezávislých udalostí za sebou?

Povedzme, že chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že ak si raz hodíme mincou, uvidíme hlavy dvakrát?

Už sme zvážili - .

Čo ak si raz hodíme mincou? Aká je pravdepodobnosť, že uvidíte orla dvakrát za sebou?

Celkom možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Hlavy-hlavy-chvosty
3. Hlavy-chvosty-hlavy
4. Hlavy-chvosty-chvosty
5. Chvosty-hlavy-hlavy
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Neviem ako vy, ale ja som sa pri zostavovaní tohto zoznamu niekoľkokrát pomýlil. Wow! A jediná možnosť (prvá) nám vyhovuje.

Za 5 hodov si môžete sami vytvoriť zoznam možných výsledkov. Ale matematici nie sú takí pracovití ako ty.

Preto si najprv všimli a potom dokázali, že pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí zakaždým klesá o pravdepodobnosť jednej udalosti.

Inými slovami,

Pozrime sa na príklad tej istej nešťastnej mince.

Pravdepodobnosť, že dostanete hlavu vo výzve? . Teraz si raz hodíme mincou.

Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy v rade?

Toto pravidlo nefunguje iba vtedy, ak sme požiadaní, aby sme zistili pravdepodobnosť, že sa rovnaká udalosť stane niekoľkokrát za sebou.

Ak by sme chceli nájsť sekvenciu TAILS-HEADS-TAILS pre po sebe idúce hody, urobili by sme to isté.

Pravdepodobnosť získania chvostov je , hlavy - .

Pravdepodobnosť získania sekvencie TAILS-HEADS-HEADS-TAILS-TAILS:

Môžete to skontrolovať sami vytvorením tabuľky.

Pravidlo pre sčítanie pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí.

Tak prestaň! Nová definícia.

Poďme na to. Vezmime našu opotrebovanú mincu a hodme si ju raz.
Možné možnosti:

1. Orol-orol-orol
2. Hlavy-hlavy-chvosty
3. Hlavy-chvosty-hlavy
4. Hlavy-chvosty-chvosty
5. Chvosty-hlavy-hlavy
6. Chvosty-hlavy-chvosty
7. Chvosty-chvosty-hlavy
8. Chvosty-chvosty-chvosty

Nekompatibilné udalosti sú teda určitým, daným sledom udalostí. - sú to nezlučiteľné udalosti.

Ak chceme určiť, aká je pravdepodobnosť dvoch (alebo viacerých) nezlučiteľných udalostí, tak sčítame pravdepodobnosti týchto udalostí.

Musíte pochopiť, že hlavy alebo chvosty sú dve nezávislé udalosti.

Ak chceme určiť pravdepodobnosť výskytu postupnosti (alebo akejkoľvek inej), potom použijeme pravidlo násobenia pravdepodobností.
Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri prvom hode a chvosty pri druhom a treťom hode?

Ale ak chceme vedieť, aká je pravdepodobnosť získania jednej z viacerých sekvencií, napríklad keď hlavy prídu presne raz, t.j. možnosti a potom musíme sčítať pravdepodobnosti týchto postupností.

Celkové možnosti nám vyhovujú.

To isté môžeme získať sčítaním pravdepodobnosti výskytu každej postupnosti:

Pravdepodobnosti teda pridávame, keď chceme určiť pravdepodobnosť určitých, nekonzistentných, sledov udalostí.

Existuje skvelé pravidlo, ktoré vám pomôže vyhnúť sa zmätku, kedy násobiť a kedy sčítať:

Vráťme sa k príkladu, keď sme si raz hodili mincou a chceli sme vedieť, aká je pravdepodobnosť, že raz uvidíme hlavy.
Čo sa stane?

Malo by vypadnúť:
(hlavy A chvosty A chvosty) ALEBO (chvosty A hlavy A chvosty) ALEBO (chvosty A chvosty A hlavy).
Takto to dopadá:

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 5.

V krabičke sú ceruzky. červená, zelená, oranžová a žltá a čierna. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej alebo zelenej ceruzky?

Riešenie:

Príklad 6.

Ak je kocka hodená dvakrát, aká je pravdepodobnosť, že získate celkovo 8?

Riešenie.

Ako môžeme získať body?

(a) alebo (a) alebo (a) alebo (a) alebo (a).

Pravdepodobnosť získania jednej (akejkoľvek) tváre je .

Vypočítame pravdepodobnosť:

Školenie.

Myslím, že teraz chápete, kedy potrebujete vypočítať pravdepodobnosti, kedy ich pridať a kedy vynásobiť. Nieje to? Poďme si trochu zacvičiť.

Úlohy:

Zoberme si balíček kariet obsahujúci karty vrátane pikov, sŕdc, 13 palíc a 13 diamantov. Od po Eso každej farby.

1. Aká je pravdepodobnosť ťahania palíc za sebou (prvú vytiahnutú kartu vložíme späť do balíčka a zamiešame)?
2. Aká je pravdepodobnosť ťahania čiernej karty (piky alebo palice)?
3. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia obrázka (jack, dáma, kráľ alebo eso)?
4. Aká je pravdepodobnosť vytiahnutia dvoch obrázkov za sebou (odstránime prvú vytiahnutú kartu z balíčka)?
5. Aká je pravdepodobnosť, že ak vezmete dve karty, nazbierate kombináciu - (jack, dáma alebo kráľ) a eso Na poradí, v akom sú karty ťahané, nezáleží?

Odpovede:

Ak ste boli schopní vyriešiť všetky problémy sami, potom ste skvelí! Teraz rozlúsknete problémy teórie pravdepodobnosti v jednotnej štátnej skúške ako orechy!

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Pozrime sa na príklad. Povedzme, že hodíme kockou. Čo je to za kosť, vieš? Toto je to, čo nazývajú kocka s číslami na jej stranách. Koľko tvárí, toľko čísel: od do koľko? Predtým.

Hodíme teda kockou a chceme, aby vyšla resp. A chápeme to.

V teórii pravdepodobnosti hovoria, čo sa stalo priaznivá udalosť(nezamieňať s prosperujúcim).

Ak by sa to stalo, udalosť by bola tiež priaznivá. Celkovo sa môžu stať iba dve priaznivé udalosti.

Koľko je nevýhodných? Keďže existujú celkom možné udalosti, znamená to, že nepriaznivé sú udalosti (to znamená, ak vypadne alebo vypadne).

Definícia:

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí. To znamená, že pravdepodobnosť ukazuje, aký podiel všetkých možných udalostí je priaznivý.

Pravdepodobnosť označujú latinským písmenom (zrejme z anglického slova pravdepodobnosť - pravdepodobnosť).

Je zvykom merať pravdepodobnosť v percentách (pozri témy a). Na to je potrebné vynásobiť hodnotu pravdepodobnosti. V príklade s kockami pravdepodobnosť.

A v percentách: .

Príklady (rozhodnite sa sami):

1. Aká je pravdepodobnosť, že dostanete hlavy pri hode mincou? Aká je pravdepodobnosť pristátia hláv?
2. Aká je pravdepodobnosť dosiahnutia párneho čísla pri hode kockou? A ktorý je zvláštny?
3. V krabičke jednoduchých, modrých a červených ceruziek. Náhodne nakreslíme jednu ceruzku. Aká je pravdepodobnosť získania jednoduchého?

Riešenia:

1. Koľko možností je? Hlavy a chvosty - len dve. Koľko z nich je priaznivých? Len jeden je orol. Takže pravdepodobnosť

   Rovnako je to aj s chvostíkmi: .

2. Celkové možnosti: (koľko strán má kocka, toľko rôznych možností). Priaznivé: (všetky sú to párne čísla:).
   Pravdepodobnosť. Samozrejme, rovnaké je to aj s nepárnymi číslami.
3. Celkom: . Priaznivý: . Pravdepodobnosť: .

Celková pravdepodobnosť

Všetky ceruzky v krabičke sú zelené. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia červenej ceruzky? Neexistujú žiadne šance: pravdepodobnosť (napokon, priaznivé udalosti -).

Takáto udalosť sa nazýva nemožná.

Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky? Existuje presne rovnaký počet priaznivých udalostí ako celkový počet udalostí (všetky udalosti sú priaznivé). Pravdepodobnosť sa teda rovná alebo.

Takáto udalosť sa nazýva spoľahlivá.

Ak škatuľka obsahuje zelené a červené ceruzky, aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej? Ešte raz. Všimnime si toto: pravdepodobnosť vytiahnutia zelenej je rovnaká a červená je rovnaká.

Celkovo sú tieto pravdepodobnosti úplne rovnaké. teda súčet pravdepodobností všetkých možných udalostí sa rovná alebo.

Príklad:

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť, že nenakreslíte zelenú?

Riešenie:

Pamätáme si, že všetky pravdepodobnosti sa sčítavajú. A pravdepodobnosť získania zelenej je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť nevykreslenia zelenej je rovnaká.

Zapamätajte si tento trik: Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Nezávislé udalosti a pravidlo násobenia

Raz si hodíte mincou a chcete, aby padla v oboch prípadoch. Aká je pravdepodobnosť tohto?

Poďme prejsť všetkými možnými možnosťami a určiť, koľko ich je:

Hlavy-Hlavy, Chvosty-Hlavy, Hlavy-Chvosty, Chvosty-Chvosty. Čo ešte?

Celkové možnosti. Z nich nám vyhovuje len jeden: Eagle-Eagle. Celkovo je pravdepodobnosť rovnaká.

Dobre. Teraz si raz hodíme mincou. Spočítajte si to sami. Stalo? (odpoveď).

Možno ste si všimli, že s pridaním každého ďalšieho hodu sa pravdepodobnosť znižuje o polovicu. Všeobecné pravidlo je tzv pravidlo násobenia:

Pravdepodobnosť nezávislých udalostí sa mení.

Čo sú nezávislé udalosti? Všetko je logické: toto sú tie, ktoré na sebe nezávisia. Napríklad, keď hodíme mincou niekoľkokrát, zakaždým sa uskutoční nový hod, ktorého výsledok nezávisí od všetkých predchádzajúcich hodov. Rovnako ľahko môžeme hodiť dve rôzne mince súčasne.

Ďalšie príklady:

1. Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že ju dostanete v oboch prípadoch?
2. Minca sa hodí raz. Aká je pravdepodobnosť, že sa to prvýkrát objaví v hlavách a potom dvakrát?
3. Hráč hodí dvoma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet čísel na nich bude rovnaký?

Odpovede:

1. Udalosti sú nezávislé, čo znamená, že pravidlo násobenia funguje: .
2. Pravdepodobnosť hláv je rovnaká. Pravdepodobnosť chvostov je rovnaká. Násobiť:
3. 12 možno získať len vtedy, ak sa hodia dve -ki: .

Nekompatibilné udalosti a pravidlo sčítania

Udalosti, ktoré sa navzájom dopĺňajú až do plnej pravdepodobnosti, sa nazývajú nekompatibilné. Ako už názov napovedá, nemôžu nastať súčasne. Napríklad, ak hodíme mincou, môže prísť buď hlavou, alebo chvostom.

Príklad.

V škatuľke ceruziek sú medzi nimi modré, červené, zelené, hladké, žlté a ostatné sú oranžové. Aká je pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej?

Riešenie .

Pravdepodobnosť nakreslenia zelenej ceruzky je rovnaká. Červená - .

Priaznivé udalosti vo všetkých: zelená + červená. To znamená, že pravdepodobnosť nakreslenia zelenej alebo červenej je rovnaká.

Rovnaká pravdepodobnosť môže byť vyjadrená v tomto tvare: .

Toto je pravidlo pridávania: pravdepodobnosti nezlučiteľných udalostí sa sčítavajú.

Problémy zmiešaného typu

Príklad.

Minca sa hodí dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že výsledky hodov budú iné?

Riešenie .

To znamená, že ak sú prvým výsledkom hlavy, druhým musia byť chvosty a naopak. Ukazuje sa, že existujú dva páry nezávislých udalostí a tieto páry sú navzájom nekompatibilné. Ako sa nenechať zmiasť, kde sa má množiť a kde pridávať.

Pre takéto situácie platí jednoduché pravidlo. Pokúste sa opísať, čo sa stane, pomocou spojok „A“ alebo „ALEBO“. Napríklad v tomto prípade:

Mali by prísť (hlavy a chvosty) alebo (chvosty a hlavy).

Tam, kde je spojka „a“, dôjde k násobeniu a tam, kde je „alebo“, dôjde k sčítaniu:

Vyskúšajte sami:

1. Aká je pravdepodobnosť, že ak sa minca hodí dvakrát, padne v oboch prípadoch na rovnakú stranu?
2. Kocky sa hádžu dvakrát. Aká je pravdepodobnosť získania celkového počtu bodov?

Riešenia:

Ďalší príklad:

Hoď si raz mincou. Aká je pravdepodobnosť, že sa aspoň raz objavia hlavy?

Riešenie:

TEÓRIA PRAVDEPODOBNOSTI. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Pravdepodobnosť je pomer počtu priaznivých udalostí k počtu všetkých možných udalostí.

Nezávislé udalosti

Dve udalosti sú nezávislé, ak výskyt jednej nemení pravdepodobnosť výskytu druhej.

Celková pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť všetkých možných udalostí sa rovná ().

Pravdepodobnosť, že udalosť nenastane, sa rovná mínus pravdepodobnosti, že udalosť nastane.

Pravidlo pre násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí

Pravdepodobnosť určitej postupnosti nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností každej udalosti

Nekompatibilné udalosti

Nekompatibilné udalosti sú tie, ktoré sa v dôsledku experimentu nemôžu vyskytnúť súčasne. Množstvo nekompatibilných udalostí tvorí ucelenú skupinu udalostí.

Pravdepodobnosť nekompatibilných udalostí sa sčítava.

Po opísaní toho, čo by sa malo stať pomocou spojok „AND“ alebo „ALEBO“, namiesto „AND“ vložíme znak násobenia a namiesto „ALEBO“ vložíme znak sčítania.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 499 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!