Tri definície spojitosti funkcie v bode. Ako skúmať spojitosť funkcie? Spojitosť funkcie v bode a na intervale

Definícia. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v bode x0 a nejakom jeho okolí. Zavolá sa funkcia y = f(x). spojitá v bode x0, Ak:

1. existuje
2. túto hranicu rovná hodnote funkcie v bode x0:

Pri definovaní limity bolo zdôraznené, že f(x) nesmie byť definované v bode x0 a ak je v tomto bode definované, tak hodnota f(x0) sa nijako nepodieľa na určení limity. Pri určovaní spojitosti je zásadné, že existuje f(x0) a táto hodnota sa musí rovnať lim f(x).

Definícia. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v bode x0 a nejakom jeho okolí. Funkcia f(x) sa nazýva spojitá v bode x0, ak pre všetky ε>0 existuje kladné číslo δ také, že pre všetky x v δ-okolí bodu x0 (t.j. |x-x0|
Tu sa berie do úvahy, že hodnota limitu sa musí rovnať f(x0), preto v porovnaní s definíciou limitu odpadá podmienka prerazenia δ-okolia 0.
Uveďme ešte jednu (ekvivalentnú predchádzajúcej) definíciu z hľadiska prírastkov. Označme Δх = x - x0, túto hodnotu budeme nazývať prírastok argumentu. Keďže x->x0, potom Δx->0, teda Δx - b.m. (nekonečne malé) množstvo. Označme Δу = f(x)-f(x0), túto hodnotu budeme nazývať prírastok funkcie, keďže |Δу| by malo byť (pre dostatočne malé |Δх|) menšie ako ľubovoľné číslo ε>0, potom Δу- je tiež b.m. hodnotu teda

Definícia. Nech je funkcia y = f(x) definovaná v bode x0 a nejakom jeho okolí. Zavolá sa funkcia f(x). spojitá v bode x0, ak nekonečne malý prírastok v argumente zodpovedá nekonečne malému prírastku vo funkcii.

Definícia. Funkcia f(x), ktorá nie je spojitá v bode x0, nazývaný diskontinuálny v tomto bode.

Definícia. Funkcia f(x) sa nazýva spojitá na množine X, ak je spojitá v každom bode tejto množiny.

Veta o spojitosti súčtu, súčinu, kvocientu

Veta o prechode do limity pod znamienkom spojitej funkcie

Veta o kontinuite superpozície spojité funkcie

Nech je funkcia f(x) definovaná na intervale a nech je na tomto intervale monotónna. Potom f(x) môže mať na tomto segmente iba body nespojitosti prvého druhu.

Veta o strednej hodnote. Ak je funkcia f(x) spojitá na segmente a v dvoch bodoch a a b (a je menšie ako b) nadobúda nerovnaké hodnoty A = f(a) ≠ B = f(b), potom pre ľubovoľné číslo C medzi A a B je bod c ∈, v ktorom sa hodnota funkcie rovná C: f(c) = C.

Veta o ohraničenosti spojitej funkcie na intervale. Ak je funkcia f(x) spojitá na intervale, potom je na tomto intervale ohraničená.

Veta o dosahovaní minimálnych a maximálnych hodnôt. Ak je funkcia f(x) spojitá na intervale, potom na tomto intervale dosiahne svoju dolnú a hornú hranicu.

Veta o kontinuite inverzná funkcia. Nech je funkcia y=f(x) spojitá a striktne rastúca (klesajúca) na intervale [a,b]. Potom na segmente existuje inverzná funkcia x = g(y), tiež monotónne rastúca (klesajúca) na a spojitá.

Štúdium funkcie kontinuity v bode sa vykonáva podľa už zavedenej rutinnej schémy, ktorá pozostáva z kontroly tri podmienky kontinuita:

Príklad 1

Preskúmajte spojitosť funkcie. Určte povahu diskontinuít funkcií, ak existujú. Vykonajte výkres.

Riešenie:

1) Jediný bod v rozsahu je, kde funkcia nie je definovaná.

Jednostranné limity sú konečné a rovnaké.

V tomto bode teda funkcia trpí odstrániteľnou diskontinuitou.

Ako vyzerá graf tejto funkcie?

Chcel by som to zjednodušiť a zdá sa, že sa získa obyčajná parabola. ALE pôvodná funkcia nie je definovaná v bode , preto sa vyžaduje nasledujúca klauzula:

Urobme výkres:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, v ktorom trpí odstrániteľnou diskontinuitou.

Funkciu možno ďalej definovať dobre alebo nie tak dobre, ale podľa podmienky to nie je potrebné.

Hovoríte, že toto je pritiahnutý príklad? Vôbec nie. V praxi sa to stalo desiatky krát. Takmer všetky úlohy stránky pochádzajú zo skutočnej nezávislej práce a testov.

Poďme sa zbaviť našich obľúbených modulov:

Príklad 2

Funkcia Preskúmať pre kontinuitu. Určte povahu diskontinuít funkcií, ak existujú. Vykonajte výkres.

Riešenie: Študenti sa z nejakého dôvodu boja a nemajú radi funkcie s modulom, hoci na nich nie je nič zložité. Takýchto vecí sme sa už v lekcii trochu dotkli. Geometrické transformácie grafov. Keďže modul nie je záporný, rozširuje sa takto: , kde „alfa“ je nejaký výraz. IN v tomto prípade a naša funkcia by mala byť napísaná po častiach:

Ale zlomky oboch kusov musia byť znížené o . Zníženie, ako v predchádzajúcom príklade, neprebehne bez následkov. Pôvodná funkcia nie je v bode definovaná, pretože menovateľ je nulový. Preto by mal systém dodatočne špecifikovať podmienku a sprísniť prvú nerovnosť:

Teraz o VEĽMI UŽITOČNÝ príjem riešenia: pred finalizáciou úlohy na návrhu je výhodné urobiť výkres (bez ohľadu na to, či to vyžadujú podmienky alebo nie). Po prvé to pomôže okamžite vidieť body kontinuity a body diskontinuity a po druhé vás to 100% ochráni pred chybami pri hľadaní jednostranných limitov.

Urobme kresbu. V súlade s našimi výpočtami je vľavo od bodu potrebné nakresliť fragment paraboly ( Modrá farba), a vpravo je kúsok paraboly (červený), pričom funkcia nie je definovaná v samotnom bode:

Ak máte pochybnosti, zoberte niekoľko hodnôt x a zapojte ich do funkcie (pamätajte na to, že modul zničí možné znamienko mínus) a skontrolujte graf.

Analyticky preskúmame funkciu spojitosti:

1) Funkcia nie je v bode definovaná, takže môžeme hneď povedať, že v ňom nie je spojitá.

2) Stanovme povahu diskontinuity, aby sme to urobili, vypočítame jednostranné limity:

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode . Všimnite si, že nezáleží na tom, či je funkcia v bode prerušenia definovaná alebo nie.

Teraz už len ostáva preniesť kresbu z predlohy (bola urobená akoby pomocou výskumu ;-)) a dokončiť úlohu:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodu, v ktorom trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom.

Niekedy vyžadujú dodatočnú indikáciu skoku diskontinuity. Vypočítava sa jednoducho - od pravej limity treba odpočítať ľavú limitu: , teda v bode zlomu naša funkcia poskočila o 2 jednotky dole (ako nám hovorí znamienko mínus).

Príklad 3

Funkcia Preskúmať pre kontinuitu. Určte povahu diskontinuít funkcií, ak existujú. Urobte si kresbu.

Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie, približná vzorka riešenia na konci hodiny.

Prejdime k najobľúbenejšej a najrozšírenejšej verzii úlohy, keď sa funkcia skladá z troch častí:

Príklad 4

Preskúmajte spojitosť funkcie a nakreslite graf funkcie

.

Riešenie: Je zrejmé, že všetky tri časti funkcie sú spojité na zodpovedajúcich intervaloch, takže zostáva skontrolovať iba dva body „spojnice“ medzi dielikmi. Najprv urobme návrh výkresu, ktorý som dostatočne podrobne komentoval v prvej časti článku. Jediná vec je, že musíme starostlivo sledovať naše singulárne body: kvôli nerovnosti patrí hodnota do priamky ( zelená bodka), a vzhľadom na nerovnosť patrí hodnota do paraboly (červená bodka):


V zásade je všetko jasné =) Zostáva len formalizovať rozhodnutie. Pre každý z dvoch „spojovacích“ bodov štandardne kontrolujeme 3 podmienky kontinuity:

ja)

1)

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode .

Vypočítajme skok diskontinuity ako rozdiel medzi pravou a ľavou hranicou:
, to znamená, že sa graf trhol o jednu jednotku nahor.

II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

- jednostranné limity sú konečné a rovnaké, čo znamená, že existuje všeobecná limita.

3)

V záverečnej fáze prenesieme kresbu do konečnej verzie, po ktorej vložíme posledný akord:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi, okrem bodu, v ktorom trpí nespojitosťou prvého druhu so skokom.

Príklad 5

Preskúmajte spojitosť funkcie a zostrojte jej graf .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, krátke riešenie a približnú ukážku úlohy na konci hodiny.

Niekto môže nadobudnúť dojem, že v jednom bode musí byť funkcia spojitá a v inom musí existovať diskontinuita. V praxi to tak nie je vždy. Pokúste sa nezanedbávať zostávajúce príklady - bude tu niekoľko zaujímavých a dôležitých funkcií:

Príklad 6

Daná funkcia . Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Zostavte graf.

Riešenie: a znova okamžite vykonajte kreslenie na koncepte:

Zvláštnosť tohto rozvrhu je to kedy po častiach je daná rovnicou osi x. Táto oblasť je nakreslená tu zelená a v zošite je obyčajne zvýraznený tučným písmom jednoduchou ceruzkou. A, samozrejme, nezabudnite na naše barany: hodnota patrí do tangentnej vetvy (červená bodka) a hodnota patrí do priamky.

Z výkresu je všetko jasné - funkcia je spojitá pozdĺž celej číselnej línie, zostáva len formalizovať riešenie, ktoré sa do plnej automatizácie dostane doslova po 3-4 podobných príkladoch:

ja) Skúmame bod kontinuity

2) Vypočítajme jednostranné limity:

, čo znamená, že existuje všeobecný limit.

Stala sa tu malá vtipná vec. Faktom je, že som vytvoril veľa materiálov o limitoch funkcie, a niekoľkokrát som chcel, ale niekoľkokrát som na jeden zabudol jednoduchá otázka. A tak som sa s neuveriteľným úsilím prinútil nestratiť myšlienku =) S najväčšou pravdepodobnosťou niektorí čitatelia „atrapy“ pochybujú: prečo rovná sa limitu konštanty? Limita konštanty sa rovná samotnej konštante. V tomto prípade sa hranica nuly rovná samotnej nule (limit pre ľavákov).

3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície spojitosti funkcie v bode.

II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode.

2) Nájdite jednostranné limity:

A tu, v pravej hranici, sa hranica jednoty rovná jednote samotnej.

- existuje všeobecný limit.

3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.

Funkcia je teda spojitá v bode podľa definície spojitosti funkcie v bode.

Ako obvykle, po výskume prenášame náš výkres do konečnej verzie.

Odpoveď: funkcia je v bodoch spojitá.

Upozorňujeme, že za podmienky, že sme sa nič nepýtali na štúdium celej funkcie pre spojitosť, a považuje sa to za dobrú matematickú formu na formulovanie presné a jasné odpoveď na položenú otázku. Mimochodom, ak podmienky nevyžadujú, aby ste vytvorili graf, potom máte plné právo ho nezostaviť (hoci vás k tomu môže neskôr učiteľ prinútiť).

Malý matematický „prekrúcač jazyka“, aby ste to vyriešili sami:

Príklad 7

Daná funkcia .

Preskúmajte funkciu spojitosti v bodoch. Klasifikujte body prerušenia, ak existujú. Vykonajte výkres.

Pokúste sa správne „vysloviť“ všetky „slová“ =) A nakreslite graf presnejšie, presnosť, nebude to všade zbytočné;-)

Ako si pamätáte, odporučil som okamžite dokončiť kresbu ako návrh, ale z času na čas narazíte na príklady, kde nemôžete okamžite zistiť, ako graf vyzerá. Preto je v mnohých prípadoch výhodné najskôr nájsť jednostranné limity a až potom na základe štúdie vetvy znázorniť. V dvoch záverečné príklady Okrem toho si osvojíme techniku ​​výpočtu niektorých jednostranných limitov:

Príklad 8

Preskúmajte spojitosť funkcie a zostrojte jej schematický graf.

Riešenie: zlé body sú zrejmé: (zmenšuje menovateľa exponentu na nulu) a (zmenšuje menovateľa celého zlomku na nulu). Nie je jasné, ako vyzerá graf tejto funkcie, čo znamená, že je lepšie najprv urobiť prieskum:

ja) Skúmame bod kontinuity

2) Nájdite jednostranné limity:

dávaj pozor na typická metóda na výpočet jednostrannej limity: namiesto „x“ dosadíme . V menovateli nie je žiadny zločin: „sčítanie“ „mínus nula“ nehrá žiadnu úlohu a výsledok je „štyri“. Ale v čitateli sa odohráva malý thriller: najprv zabijeme -1 a 1 v menovateli ukazovateľa, výsledkom čoho je . Jednotka delená podľa , sa rovná „mínus nekonečnu“, preto: . A nakoniec „dva“ v nekonečne veľký negatívny stupeň rovná nule: . Alebo ešte konkrétnejšie: .

Vypočítajme pravú hranicu:

A tu - namiesto „X“ nahradíme . V menovateli „aditívum“ opäť nehrá rolu: . V čitateli sa vykonávajú akcie podobné predchádzajúcemu limitu: ničíme opačné čísla a rozdeľte jeden podľa :

Pravá limita je nekonečná, čo znamená, že funkcia trpí nespojitosťou 2. druhu v bode .

II) Skúmame bod kontinuity

1) Funkcia nie je v tomto bode definovaná.

2) Vypočítajme ľavostrannú hranicu:

Metóda je rovnaká: do funkcie dosadíme „X“. V čitateli nie je nič zaujímavé - ukáže sa ako konečné kladné číslo. A v menovateli otvoríme zátvorky, odstránime „trojky“ a rozhodujúcu úlohu„aditívne“ hry.

Výsledkom je, že konečné kladné číslo vydelené nekonečne malé kladné číslo, dáva „plus nekonečno“: .

Pravá hranica je ako dvojča, s jedinou výnimkou, že sa objavuje v menovateli nekonečne malé záporné číslo:

Jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 2. druhu v bode .

Máme teda dva body zlomu a samozrejme tri vetvy grafu. Pre každú pobočku je vhodné vykonať bodová konštrukcia, t.j. zoberte niekoľko hodnôt „x“ a nahraďte ich do . Všimnite si, že podmienka umožňuje konštrukciu schematického výkresu a takéto uvoľnenie je prirodzené pre vlastnoručný. Vytváram grafy pomocou programu, takže nemám také problémy, tu je pomerne presný obrázok:

Priame sú vertikálne asymptoty pre graf tejto funkcie.

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodov, v ktorých trpí nespojitosťami 2. druhu.

Viac jednoduchá funkcia pre nezávislé riešenie:

Príklad 9

Preskúmajte spojitosť funkcie a vytvorte schematický nákres.

Približný vzorový roztok na konci, ktorý sa nepozorovane prikradol.

Do skorého videnia!

Riešenia a odpovede:

Príklad 3:Riešenie : transformovať funkciu: . Berúc do úvahy pravidlo zverejnenia modulu a skutočnosť, že , prepíšeme funkciu po častiach:


Pozrime sa na funkciu pre spojitosť.

1) Funkcia nie je v bode definovaná .

Jednostranné limity sú konečné a rôzne, čo znamená, že funkcia trpí diskontinuitou 1. druhu so skokom v bode . Urobme výkres:

Odpoveď: funkcia je spojitá na celej číselnej osi okrem bodky , v ktorom trpí diskontinuitou prvého druhu so skokom. Skoková medzera: (o dve jednotky vyššie).

Príklad 5:Riešenie : každý z tri časti funkcia je spojitá na svojom intervale.
ja)
1)

2) Vypočítajme jednostranné limity:

, čo znamená, že existuje všeobecný limit.
3) - limita funkcie v bode sa rovná hodnote tejto funkcie v danom bode.
Takže funkcia súvislý v bode definovaním spojitosti funkcie v bode.
II) Skúmame bod kontinuity

1) - funkcia je definovaná v danom bode. funkcia trpí diskontinuitou 2. druhu v bode

Ako nájsť doménu funkcie?

Príklady riešení

Ak niekde niečo chýba, znamená to, že niekde niečo je

Pokračujeme v štúdiu časti „Funkcie a grafy“ a ďalšou stanicou na našej ceste je Funkčná doména. Aktívna diskusia tento koncept začala na prvej hodine o funkčných grafoch kde som recenzoval elementárne funkcie a najmä ich definičné oblasti. Preto odporúčam figurínom, aby začali základmi témy, keďže sa nebudem znova venovať niektorým základným bodom.

Predpokladá sa, že čitateľ pozná oblasti definície hlavných funkcií: lineárne, kvadratické, kubická funkcia, polynómy, exponent, logaritmus, sínus, kosínus. Sú definované na . Pre tangens, arcsínus, tak nech, odpustím =) Vzácnejšie grafy sa hneď nezapamätajú.

Rozsah definície sa zdá byť jednoduchý a vynára sa logická otázka: o čom bude článok? Zapnuté túto lekciu Budem uvažovať o bežných problémoch hľadania domény definície funkcie. Navyše budeme opakovať nerovnosti s jednou premennou, ktorých riešiteľské schopnosti sa budú vyžadovať pri iných úlohách vyššia matematika. Materiál je mimochodom celý školský materiál, takže bude užitočný nielen pre študentov, ale aj pre študentov. Informácie, samozrejme, nepredstierajú, že sú encyklopedické, ale tu nie sú pritiahnuté „mŕtve“ príklady, ale pečené gaštany, ktoré sú prevzaté zo skutočných praktických prác.

Začnime rýchlym ponorom do témy. Stručne k tomu hlavnému: hovoríme o funkcii jednej premennej. Jeho doménou definície je veľa významov "x", pre ktoré existujú významy „hráčov“. Uvažujme podmienený príklad:

Oblasť definície tejto funkcie je zjednotením intervalov:
(pre tých, ktorí zabudli: - ikona zjednotenia). Inými slovami, ak vezmete akúkoľvek hodnotu „x“ z intervalu , alebo z , alebo z , potom pre každé takéto „x“ bude existovať hodnota „y“.

Zhruba povedané, tam, kde je doména definície, existuje graf funkcie. Ale polovičný interval a bod „tse“ nie sú zahrnuté v oblasti definície, takže tam nie je žiadny graf.

Áno, mimochodom, ak niečo nie je jasné z terminológie a/alebo obsahu prvých odsekov, je lepšie vrátiť sa k článku Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií.

Definícia
Funkcia f (X) volal spojitá v bode x 0 okolí tohto bodu a ak limita ako x smeruje k x 0 rovná funkčnej hodnote v x 0 :
.

Pomocou Cauchyho a Heineho definícií limity funkcie môžeme dať rozšírené definície spojitosti funkcie v bode .

Koncept kontinuity môžeme formulovať v z hľadiska prírastkov. Za týmto účelom zavedieme novú premennú, ktorá sa nazýva prírastok premennej x v bode. Potom je funkcia spojitá v bode ak
.
Predstavme si novú funkciu:
.
Volajú ju prírastok funkcie v bode . Potom je funkcia spojitá v bode ak
.

Definícia kontinuity vpravo (vľavo)
Funkcia f (X) volal súvislá vpravo (vľavo) v bode x 0 , ak je definovaná na nejakom pravostrannom (ľavostrannom) okolí tohto bodu a ak pravá (ľavá) hranica v bode x 0 rovná funkčnej hodnote v x 0 :
.

Veta o ohraničenosti spojitej funkcie
Nech funkcia f (X) je spojitá v bode x 0 . Potom je tu štvrť U (x0), na ktorom je funkcia obmedzená.

Veta o zachovaní znamienka spojitej funkcie
Nech je funkcia v bode spojitá. A nech má v tomto bode kladnú (zápornú) hodnotu:
.
Potom je tu okolie bodu, kde má funkcia kladnú (zápornú) hodnotu:
o .

Aritmetické vlastnosti spojité funkcie
Nech funkcie a sú spojité v bode .
Potom funkcie , a sú v bode spojité .
Ak , potom je funkcia v bode spojitá .

Vlastnosť kontinuity zľava doprava
Funkcia je spojitá v bode práve vtedy, ak je spojitá sprava a zľava.

Dôkazy vlastností sú uvedené na stránke „Vlastnosti funkcií spojitých v bode“.

Spojitosť komplexnej funkcie

Veta o kontinuite komplexná funkcia
Nech je funkcia v bode spojitá. A nech je funkcia v bode spojitá.
Potom je komplexná funkcia v bode spojitá.

Limita komplexnej funkcie

Veta o limite spojitej funkcie funkcie
Nech existuje limita funkcie v , a rovná sa:
.
Tu je bod t 0 môže byť konečná alebo nekonečne vzdialená: .
A nech je funkcia v bode spojitá.
Potom existuje limita komplexnej funkcie a rovná sa:
.

Veta o limite komplexnej funkcie
Nech má funkcia limit a mapuje punktované okolie bodu na punktované okolie bodu. Nech je funkcia definovaná na tomto okolí a má naň limit.
Tu - konečný alebo nekonečný vzdialené body: . Okolie a im zodpovedajúce limity môžu byť obojstranné alebo jednostranné.
Potom existuje limita komplexnej funkcie a rovná sa:
.

Body zlomu

Určenie bodu zlomu
Nech je funkcia definovaná na nejakom punktovanom okolí bodu. Bod sa volá bod zlomu funkcie, ak je splnená jedna z dvoch podmienok:
1) nie je definované v ;
2) je definovaný v , ale nie je v tomto bode.

Určenie bodu nespojitosti 1. druhu
Bod sa volá bod diskontinuity prvého druhu, ak je bod zlomu a vľavo a vpravo sú konečné jednostranné limity:
.

Definícia funkčného skoku
Funkcia skoku Δ v jednom bode je rozdiel medzi limitmi vpravo a vľavo
.

Určenie bodu zlomu
Bod sa volá odnímateľný bod zlomu, ak existuje limit
,
ale funkcia v bode buď nie je definovaná, alebo sa nerovná limitnej hodnote: .

Bod odstrániteľnej diskontinuity je teda bodom diskontinuity 1. druhu, v ktorom skok funkcie rovná nule.

Určenie bodu nespojitosti 2. druhu
Bod sa volá bod diskontinuity druhého druhu, ak nejde o bod nespojitosti 1. druhu. To znamená, že ak neexistuje aspoň jedna jednostranná limita, alebo ak sa aspoň jedna jednostranná limita v bode rovná nekonečnu.

Vlastnosti funkcií spojitých na intervale

Definícia funkcie spojitej na intervale
Funkcia sa nazýva spojitá na intervale (at), ak je spojitá vo všetkých bodoch otvoreného intervalu (at) a v bodoch a a b.

Prvá Weierstrassova veta o ohraničenosti funkcie spojitej na intervale
Ak je funkcia spojitá na intervale, potom je na tomto intervale ohraničená.

Určenie dosiahnuteľnosti maxima (minima)
Funkcia dosiahne svoje maximum (minimum) na množine, ak existuje argument pre ktorú
pre všetkých .

Určenie dosiahnuteľnosti hornej (spodnej) tváre
Funkcia dosiahne svoju hornú (dolnú) hranicu množiny, ak existuje argument pre ktorú
.

Druhá Weierstrassova veta o maxime a minime spojitej funkcie
Funkcia spojitá na segmente na ňom dosiahne svoje horné a horné limity. spodné okraje alebo, čo je to isté, dosiahne svoje maximum a minimum v intervale.

Bolzanova-Cauchyho veta o strednej hodnote
Nech je funkcia spojitá na segmente. A nech je C ľubovoľné číslo, ktorý sa nachádza medzi funkčnými hodnotami na koncoch segmentu: a . Potom je tu bod, pre ktorý
.

Dôsledok 1
Nech je funkcia spojitá na segmente. A nechajte funkčné hodnoty na koncoch segmentu rôzne znamenia: alebo . Potom existuje bod, v ktorom sa hodnota funkcie rovná nule:
.

Dôsledok 2
Nech je funkcia spojitá na segmente. Nechaj to tak . Potom funkcia prevezme interval všetkých hodnôt a iba tieto hodnoty:
o .

Inverzné funkcie

Definícia inverznej funkcie
Nech má funkcia doménu definície X a množinu hodnôt Y. A nech má vlastnosť:
pre všetkých .
Potom pre akýkoľvek prvok z množiny Y možno priradiť iba jeden prvok z množiny X, pre ktorý . Táto korešpondencia definuje funkciu tzv inverzná funkcia do . Inverzná funkcia je označená takto:
.

Z definície vyplýva, že
;
pre všetkých ;
pre všetkých .

Lema o vzájomnej monotónnosti priamych a inverzných funkcií
Ak je funkcia striktne rastúca (klesajúca), potom existuje inverzná funkcia, ktorá je tiež striktne rastúca (klesajúca).

Vlastnosť symetrie grafov priamych a inverzných funkcií
Grafy priamych a inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku.

Veta o existencii a spojitosti inverznej funkcie na intervale
Nech je funkcia nepretržitá a prísne rastúca (klesajúca) na segmente. Potom je inverzná funkcia definovaná a spojitá na segmente, ktorý striktne rastie (klesá).

Pre zvyšujúcu sa funkciu. Na zníženie - .

Veta o existencii a spojitosti inverznej funkcie na intervale
Nech je funkcia spojitá a prísne rastúca (klesajúca) na otvorenom konečnom alebo nekonečnom intervale. Potom je inverzná funkcia definovaná a spojitá na intervale, ktorý striktne rastie (klesá).

Pre zvyšujúcu sa funkciu.
Na zníženie: .

Podobným spôsobom môžeme sformulovať vetu o existencii a spojitosti inverznej funkcie na polovičnom intervale.

Vlastnosti a spojitosť elementárnych funkcií

Elementárne funkcie a ich inverzné vlastnosti sú vo svojej oblasti definície spojité. Nižšie uvádzame formulácie zodpovedajúcich teorémov a poskytujeme odkazy na ich dôkazy.

Exponenciálna funkcia

Exponenciálna funkcia f (x) = sekera, so základňou a > 0 je hranica postupnosti
,
kde existuje ľubovoľná postupnosť racionálne čísla, inklinujúci k x:
.

Veta. Vlastnosti exponenciálna funkcia
Exponenciálna funkcia má nasledujúce vlastnosti:
(str. 0) definované, pre , pre všetkých ;
(str. 1) za ≠ 1 má veľa významov;
(str. 2) striktne sa zvyšuje pri , striktne klesá pri , je konštantná pri ;
(str. 3) ;
(str. 3*) ;
(str. 4) ;
(str. 5) ;
(str. 6) ;
(str. 7) ;
(str. 8) nepretržité pre všetkých;
(str. 9) v ;
o .

Logaritmus

Logaritmická funkcia, alebo logaritmus, y = log sekera, so základňou a je inverzia exponenciálnej funkcie so základom a.

Veta. Vlastnosti logaritmu
Logaritmická funkcia so základom a, y = prihlásiť sa x, má nasledujúce vlastnosti:
(L.1) definované a spojité, pre a , pre kladné hodnoty argument;
(L.2) má veľa významov;
(L.3) prísne zvyšuje ako , prísne znižuje ako ;
(L.4) v ;
v ;
(L.5) ;
(L.6) v ;
(L.7) v ;
(L.8) v ;
(L.9) o .

Exponent a prirodzený logaritmus

V definíciách exponenciálnej funkcie a logaritmu sa objavuje konštanta, ktorá sa nazýva základ mocniny alebo základ logaritmu. V matematickej analýze je to v drvivej väčšine prípadov viac jednoduché výpočty, ak použijete číslo e ako základ:
.
Exponenciálna funkcia so základom e sa nazýva exponent: a logaritmus so základom e sa nazýva prirodzený logaritmus: .

Vlastnosti exponentu a prirodzeného logaritmu sú uvedené na stránkach
"Exponent, e na mocninu x",
"Prirodzený logaritmus, funkcia ln x"

Funkcia napájania

Funkcia napájania s exponentom p je funkcia f (x) = x p, ktorej hodnota v bode x sa rovná hodnote exponenciálnej funkcie so základňou x v bode p.
Okrem toho f (0) = 0 p = 0 pre p > 0 .

Tu zvážime vlastnosti mocninnej funkcie y = x p pre nezáporné hodnoty argumentu. Pre racionality, pre nepárne m, je mocninná funkcia definovaná aj pre záporné x. V tomto prípade je možné jeho vlastnosti získať pomocou párneho alebo nepárneho.
Tieto prípady sú podrobne rozobraté a znázornené na stránke „Funkcia napájania, jej vlastnosti a grafy“.

Veta. Vlastnosti funkcie napájania (x ≥ 0)
Mocninná funkcia y = x p s exponentom p má tieto vlastnosti:
(C.1) definované a nepretržité na súbore
o ,
v ".

Goniometrické funkcie

Veta o spojitosti goniometrických funkcií
Goniometrické funkcie: sínus ( hriech x), kosínus ( cos x), dotyčnica ( tg x) a kotangens ( ctg x

Veta o spojitosti inverzných goniometrických funkcií
Inverzné goniometrické funkcie: arcsínus ( arcsin x), oblúkový kosínus ( arccos x), arkustangens ( arctan x) a oblúková tangens ( arcctg x), sú vo svojich oblastiach definície spojité.

Referencie:
O.I. Bešov. Prednášky o matematickej analýze. Časť 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Dobre matematická analýza. Zväzok 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.

Spojité funkcie tvoria hlavnú triedu funkcií, s ktorými pracuje matematická analýza. Predstavu spojitej funkcie možno získať tak, že jej graf je spojitý, t.j. dá sa kresliť bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera.

Spojitá funkcia matematicky vyjadruje jednu vlastnosť, s ktorou sa v praxi často stretávame, a to, že malý prírastok v nezávisle premennej zodpovedá malému prírastku v závisle premennej (funkcii). Skvelé príklady môže slúžiť nepretržitá funkcia rôzne zákony pohyby telies \(s=f(t)\), vyjadrujúce závislosť dráhy \(s\), ktorou teleso prejde od času \(t\) . Čas a priestor sú spojité, pričom ten či onen zákon pohybu telesa \(s=f(t)\) medzi nimi vytvára určité súvislé spojenie, vyznačujúce sa tým, že malý prírastok času zodpovedá malému prírastku dráhy.

Človek dospel k abstrakcii kontinuity pozorovaním tzv kontinua- pevné, kvapalné alebo plynné, ako sú kovy, voda, vzduch. V skutočnosti, ako je dnes dobre známe, každý fyzické prostredie je zhluk veľké číslo pohybujúce sa častice oddelené od seba. Tieto častice a vzdialenosti medzi nimi sú však také malé v porovnaní s objemami médií, s ktorými sa musíme makroskopicky vysporiadať. fyzikálnych javov, že mnohé takéto javy možno celkom dobre študovať, ak predpokladáme približne hmotnosť skúmaného média bez akýchkoľvek medzier, súvisle rozmiestnenú v priestore, ktorý zaberá. Mnoho ľudí vychádza z tohto predpokladu. fyzické disciplíny, napríklad hydrodynamika, aerodynamika, teória pružnosti. Matematická koncepcia v týchto disciplínach, ako aj v mnohých iných, prirodzene zohráva veľkú úlohu kontinuita.

Uvažujme nejakú funkciu \(y=f(x)\) a dobre definovanú hodnotu nezávislej premennej \(x_0\) . Ak naša funkcia odráža nejaké nepretržitý proces, potom hodnoty \(x\), ktoré sa málo líšia od \(x_0\), by mali zodpovedať hodnotám funkcie \(f(x)\), ktoré sa málo líšia od hodnoty \(f(x_0) )\) v bode \(x_0\) . Ak je teda prírastok \(x-x_0\) nezávislej premennej malý, potom musí byť malý aj zodpovedajúci prírastok \(f(x)-f(x_0)\) funkcie. Inými slovami, ak prírastok nezávislej premennej \(x-x_0\) smeruje k nule, potom prírastok \(f(x)-f(x_0)\) funkcie musí mať sklon k nule, čo možno napísať takto:

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

Tento vzťah je matematickou definíciou spojitosti funkcie v bode \(x_0\) .

Funkcia \(f(x)\) sa nazýva spojitá v bode \(x_0\), ak je splnená rovnosť (1).

Dajme inú definíciu:

Hovorí sa, že funkcia je nepretržitá pre všetky hodnoty, ktoré patria tento segment, ak je spojitá v každom bode \(x_0\) tohto segmentu, t.j. v každom takomto bode je splnená rovnosť (1).

Teda, aby vstúpil matematická definícia vlastnosť funkcie, ktorá spočíva v tom, že jej grafom je spojitá (v bežnom chápaní tohto pojmu) krivka, bolo potrebné najprv určiť lokálnu, lokálnu vlastnosť spojitosti (spojitosť v bode \(x_0\) ), a potom na tomto základe určiť spojitosť funkcie v celom segmente.

Vyššie uvedená definícia, ktorú prvýkrát naznačil na začiatku minulého storočia Cauchy, je všeobecne akceptovaná v modernej matematickej analýze. Kontrola mnohých konkrétne príklady ukázali, že táto definícia dobre zodpovedá našej súčasnej praktickej predstave spojitej funkcie, napríklad myšlienke spojitého grafu.

Príklady spojitých funkcií zahŕňajú dobre známe školská matematika elementárne funkcie \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \( \arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . Všetky uvedené funkcie sú spojité v intervaloch zmien \(x\), kde sú definované.

Ak spojité funkcie sčítame, odčítame, násobíme a delíme (s menovateľom, ktorý sa nerovná nule), výsledkom je opäť spojitá funkcia. Pri delení sa však kontinuita zvyčajne preruší pre tie hodnoty \(x_0\), pri ktorých funkcia v menovateli klesne na nulu. Výsledok delenia potom predstavuje funkciu nespojitú v bode \(x_0\).

Funkcia \(y=\frac(1)(x)\) môže slúžiť ako príklad nespojitej funkcie v bode \(y=0\). Množstvo ďalších príkladov diskontinuálne funkcie uveďte grafy znázornené na obr. 1.

Odporúčame vám, aby ste si tieto grafy dôkladne prezreli. Všimnite si, že diskontinuity funkcií sú rôzne: niekedy, keď sa \(x\) blíži k bodu \(x_0\), kde funkcia podlieha diskontinuite, limit \(f(x)\) existuje, ale je odlišný od \(f (x_0)\) a niekedy, ako na obr. 1c, táto hranica jednoducho neexistuje. Stáva sa tiež, že keď sa \(x\) blíži k \(x_0\) na jednej strane \(f(x)-f(x_0)\to0\) , a ak sa \(x\to x_0\) blíži z na druhej strane, potom \(f(x)-f(x_0)\) už nemá tendenciu k nule. V tomto prípade máme samozrejme diskontinuitu funkcie, aj keď o nej môžeme povedať, že v tomto bode je „súvislá na jednej strane“. Všetky tieto prípady je možné sledovať v daných grafoch.

Definícia spojitosti funkcie

1. Funkcia \(y=f(x)\) je spojitá v bode \(x=a\), ak sa limity vľavo a vpravo rovnajú a rovnajú sa hodnote funkcie v tomto bode, t.j.

\(\lim_(x\do a-0)f(x)=\lim_(x\do a+0)f(x)=f(a).\)

2. Funkcia \(y=f(x)\) je spojitá v bode \(x=a\), ak je v tomto bode definovaná a ak nekonečne malý prírastok v argumente zodpovedá nekonečne malému prírastku vo funkcii, t.j. \(\lim_(\Delta x\to 0)\Delta y=0\) blízko bodu \(a\) .

Súčet, rozdiel a súčin konečného počtu spojitých funkcií je spojitá funkcia.

Funkcia súvislá na intervale \(\) nadobúda akúkoľvek strednú hodnotu medzi jej najmenšou \(m\) a najväčšou \(M\) hodnotou, tj \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) pre všetky \(x\in\) . Z toho vyplýva, že ak na hraničných bodoch segmentu \(\) má funkcia rôzne znamienka, potom vo vnútri segmentu existuje aspoň jedna hodnota \(x=c\), pri ktorej funkcia zaniká. Táto vlastnosť spojitosti funkcií umožňuje nájsť približne korene polynómov.

Body zlomu funkcií

Zavolajú sa hodnoty argumentu, ktoré nespĺňajú podmienky kontinuity body zlomu funkcií. V tomto prípade sa rozlišujú dva typy bodov diskontinuity funkcií.

Ak pre \(x\to a\) vľavo funkcia má konečný limit\(k_1\) , a pre \(x\to a\) vpravo má funkcia konečnú limitu \(k_2\) a \(k_1\ne k_2\) , potom hovoria, že funkcia pre \(x =a\) má prasknutie prvého druhu. Rozdiel \(|k_1-k_2|\) určuje skok funkcie v bode \(x=a\) . Hodnota funkcie v \(x=a\) sa môže rovnať ľubovoľnému číslu \(k_3\) .

Ak je hodnota funkcie v \(x=a\) rovná \(k_1\) , potom sa hovorí, že funkcia zostáva spojitá; ak \(k_2\) , potom hovoria, že funkcia je práve spojitá.

Ak \(k_1=k_2\ne k_3\) hovoria, že funkcia má v bode \(a\) opraviteľná medzera.

Ak pre \(x\to a\) vpravo alebo vľavo limita funkcie neexistuje alebo sa rovná nekonečnu, to znamená \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), potom hovoria, že pre \ (x=a\) funkcia má nespojitosť druhého druhu.

Príklad 1. Nájdite množinu hodnôt \(x\), pre ktoré je funkcia \(y=x^3-2x\) spojitá.

Riešenie. Poďme nájsť prírastok funkcie

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)

Pre ľubovoľné hodnoty premennej \(x\) je prírastok \(\Delta y\to0\), pokiaľ nie je \(\Delta x\to0\), preto je funkcia spojitá pre všetky skutočné hodnoty premenná \(x\) .

Príklad 2. Dokážte spojitosť funkcie \(y=\frac(1)(x-1)\) v bode \(x=3\) .

Riešenie. Aby sme to dokázali, nájdime prírastok funkcie \(y\), keď sa hodnota argumentu presunie z \(x=3\) do \(x=3+\Delta x\)

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

Nájdite hranicu prírastku funkcie v \(\Delta x\to0\)

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

Pretože limit prírastku funkcie v \(\Delta x\to0\) je rovný nule, potom je funkcia v \(x\to3\) spojitá.

Príklad 3. Určte povahu diskontinuity funkcií a zostrojte grafy:

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\začiatok(prípady)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (if)~x=2;\end(cases)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ meno operátora(arctg)\frac(1)(x).\)

Riešenie.

a) Keď \(x=1\) funkcia nie je definovaná, nájdeme v tomto bode jednostranné limity:

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

V dôsledku toho má funkcia v bode \(x=1\) diskontinuitu druhého druhu.

b) Pre \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). Keď \(x>0\) je limit rovný \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). V dôsledku toho má funkcia \(y\) v bode \(x=1\) diskontinuitu prvého druhu a skok funkcie sa rovná \(|k_1-k_2|=|-1-1|= 2\).

c) Funkcia je definovaná v celom rozsahu číselná os, neelementárne, pretože v bode \(x=2\) analytické vyjadrenie zmeny funkcií. Pozrime sa na spojitosť funkcie v bode \(x=2\) :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

Je zrejmé, že v bode \(x=2\) má funkcia odstrániteľnú diskontinuitu.

d) Nájdite ľavú a pravú hranicu funkcie v bode \(x=0\):

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

Takže v bode \(x=0\) má funkcia nespojitosť druhého druhu vpravo a spojitosť vľavo.

e) Nájdite jednostranné limity funkcie v bode \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\meno operátora(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\meno operátora(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

Takže v bode \(x=0\) na oboch stranách funkcie \(y=\názov operátora(arctg)\frac(1)(x)\) konské dostihy

Určenie spojitosti funkcie v bode
Funkcia f (X) volal spojitá v bode x 0 susedstvo U (x0) tento bod a ak limita ako x smeruje k x 0 existuje a rovná sa hodnote funkcie v x 0 :
.

To znamená, že x 0 - Toto koncový bod. Hodnota funkcie v ňom môže byť iba konečné číslo.

Definícia kontinuity vpravo (vľavo)
Funkcia f (X) volal súvislá vpravo (vľavo) v bode x 0 , ak je definovaná na nejakom pravostrannom (ľavostrannom) okolí tohto bodu a ak pravá (ľavá) hranica v bode x 0 rovná funkčnej hodnote v x 0 :
.

Príklady

Príklad 1

Pomocou Heineho a Cauchyho definícií dokážte, že funkcia je spojitá pre všetky x.

Nech existuje ľubovoľné číslo. Dokážme to danú funkciu je v bode spojitá. Funkcia je definovaná pre všetky x. Preto je definovaný v bode a v ktoromkoľvek jeho susedstve.

Používame Heineho definíciu

Využime . Nech existuje ľubovoľná postupnosť konvergujúca k: . Aplikovaním vlastnosti limity súčinu postupností máme:
.
Pretože existuje ľubovoľná postupnosť konvergujúca k , potom
.
Kontinuita bola preukázaná.

Používame Cauchyho definíciu

Využime .
Pozrime sa na prípad. Máme právo zvážiť funkciu v akomkoľvek okolí bodu. Preto to budeme predpokladať
(A1.1) .

Aplikujme vzorec:
.
Berúc do úvahy (A1.1), robíme nasledujúci odhad:

;
(A1.2) .

Aplikovaním (A1.2) odhadujeme absolútna hodnota rozdiely:
;
(A1.3) .
.
Podľa vlastností nerovníc ak (A1.3) je splnené, ak a ak , tak .

.

Teraz sa pozrime na pointu. V tomto prípade
.
.

.
To znamená, že funkcia je v bode spojitá.

Podobným spôsobom je možné dokázať, že funkcia , kde n - prirodzené číslo, nepretržite po celú dobu reálna os.

Príklad 2

Pomocou dokázať, že funkcia je spojitá pre všetkých.

Daná funkcia je definovaná v . Dokážme, že je v bode spojitá.

Pozrime sa na prípad.
Máme právo zvážiť funkciu v akomkoľvek okolí bodu. Preto to budeme predpokladať
(A2.1) .

Aplikujme vzorec:
(A2.2) .
Dajme tomu. Potom
.

Berúc do úvahy (A2.1), robíme nasledujúci odhad:


.
takže,
.

Aplikovaním tejto nerovnosti a použitím (A2.2) odhadneme rozdiel:

.
takže,
(A2.3) .

Zadajte kladné čísla a spájať ich so vzťahmi:
.
Podľa vlastností nerovníc ak (A2.3) je splnené, ak a ak , tak .

To znamená, že pre každé pozitívum vždy existuje . Potom pre všetky x vyhovujúce nerovnosti je automaticky splnená nasledujúca nerovnosť:
.
To znamená, že funkcia je v bode spojitá.

Teraz sa pozrime na pointu. Musíme ukázať, že daná funkcia je v tomto bode vpravo spojitá. V tomto prípade
.
Zadajte kladné čísla a:
.

To ukazuje, že pre každé pozitívum vždy existuje . Potom pre všetky x také, že platí nasledujúca nerovnosť:
.
Znamená to, že . To znamená, že funkcia je súvislá vpravo v bode.

Podobným spôsobom sa dá dokázať, že funkcia , kde n je prirodzené číslo, je spojitá pre .

Referencie:
O.I. Bešov. Prednášky o matematickej analýze. Časť 1. Moskva, 2004.
L.D. Kudrjavcev. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolského. Kurz matematickej analýzy. Zväzok 1. Moskva, 1983.