Enotni državni izpit na ravni profila matematike

Delo je sestavljeno iz 19 nalog.
1. del:
8 nalog s kratkimi odgovori osnovne težavnostne stopnje.
2. del:
4 naloge s kratkimi odgovori
7 nalog s podrobnimi odgovori visoke težavnostne stopnje.

Trajanje - 3 ure 55 minut.

Primeri nalog enotnega državnega izpita

Reševanje nalog enotnega državnega izpita iz matematike.

Če želite to rešiti sami:

1 kilovatna ura električne energije stane 1 rubelj 80 kopejk.
Števec električne energije je 1. novembra pokazal 12.625 kilovatnih ur, 1. decembra pa 12.802 kilovatnih ur.
Koliko naj plačam elektrike za november?
Odgovorite v rubljih.

Težava z rešitvijo:

V pravilni trikotni piramidi ABCS z osnovo ABC so znani naslednji robovi: AB = 5 korenov iz 3, SC = 13.
Poiščite kot, ki ga tvorita osnovna ravnina in premica, ki poteka skozi sredino robov AS in BC.

rešitev:

1. Ker je SABC pravilna piramida, je ABC enakostranični trikotnik, ostale ploskve pa so enaki enakokraki trikotniki.
To pomeni, da so vse stranice podnožja enake 5 sqrt(3), vsi stranski robovi pa 13.

2. Naj bo D razpolovišče BC, E razpolovišče AS, SH višina, spuščena iz točke S na vznožje piramide, EP višina, spuščena iz točke E na vznožje piramide.

3. Poiščite AD iz pravokotnega trikotnika CAD s pomočjo Pitagorovega izreka. Izkazalo se je 15/2 = 7,5.

4. Ker je piramida pravilna, je točka H presečišče višin/median/simetral trikotnika ABC in torej deli AD v razmerju 2:1 (AH = 2 AD).

5. Poiščite SH iz pravokotnega trikotnika ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, po Pitagorovem izreku SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Trikotnika AEP in ASH sta pravokotna in imata skupni kot A, torej podobna. Po pogoju je AE = AS/2, kar pomeni AP = AH/2 in EP = SH/2.

7. Ostaja še razmisliti o pravokotnem trikotniku EDP (zanima nas le kot EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Kotni tangens EDP = EP/DP = 6/5,
Kot EDP = arctan (6/5)

odgovor:

V menjalnici 1 grivna stane 3 rublje 70 kopejk.
Dopustniki so zamenjali rublje za grivno in kupili 3 kg paradižnika po ceni 4 grivne za 1 kg.
Koliko rubljev jih je stal ta nakup? Odgovor zaokrožite na celo število.

Maša je poslala SMS-sporočila z novoletnimi voščili svojim 16 prijateljem.
Cena enega SMS sporočila je 1 rubelj 30 kopeck. Pred pošiljanjem sporočila je imela Maša na računu 30 rubljev.
Koliko rubljev bo Maši ostalo po pošiljanju vseh sporočil?

Šola ima šotore za tri osebe.
Kakšno je najmanjše število šotorov, ki jih morate vzeti s seboj na kampiranje z 20 ljudmi?

Vlak Novosibirsk-Krasnoyarsk odpelje ob 15.20 in prispe naslednji dan ob 4.20 (po moskovskem času).
Koliko ur vozi vlak?

Veš kaj?

Med vsemi figurami z enakim obsegom bo imel krog največjo ploščino. Nasprotno pa bo med vsemi oblikami z enako ploščino krog imel najmanjši obseg.

Leonardo da Vinci je izpeljal pravilo, po katerem je kvadrat premera drevesnega debla enak vsoti kvadratov premerov vej, vzetih na skupni fiksni višini. Kasnejše študije so to potrdile le z eno razliko - stopnja v formuli ni nujno enaka 2, ampak je v območju od 1,8 do 2,3. Tradicionalno je veljalo, da je ta vzorec razložen z dejstvom, da ima drevo s takšno zgradbo optimalen mehanizem za oskrbo svojih vej s hranili. Toda leta 2010 je ameriški fizik Christophe Alloy našel enostavnejšo mehansko razlago za pojav: če drevo obravnavamo kot fraktal, potem Leonardov zakon zmanjša verjetnost lomljenja vej pod vplivom vetra.

Laboratorijske študije so pokazale, da so čebele sposobne izbrati optimalno pot. Po lokalizaciji cvetov, postavljenih na različnih mestih, čebela opravi let in se vrne nazaj tako, da se končna pot izkaže za najkrajšo. Tako se te žuželke učinkovito spopadejo s klasičnim »problemom trgovskega potnika« iz računalništva, za reševanje katerega lahko sodobni računalniki, odvisno od števila točk, porabijo več kot en dan.

Če pomnožite svojo starost s 7 in nato pomnožite s 1443, bo rezultat vaša starost, napisana trikrat zapored.

Negativna števila imamo za nekaj naravnega, vendar ni bilo vedno tako. Negativna števila so bila prvič legalizirana na Kitajskem v 3. stoletju, vendar so se uporabljala le v izjemnih primerih, saj so se na splošno štela za nesmiselna. Nekoliko kasneje so se negativna števila začela uporabljati v Indiji za označevanje dolgov, vendar se na zahodu niso uveljavila - slavni Diofant iz Aleksandrije je trdil, da je enačba 4x+20=0 absurdna.

Ameriški matematik George Dantzig je med podiplomskim študentom na univerzi nekega dne zamudil k pouku in enačbe, napisane na tabli, zamenjal za domačo nalogo. Zdelo se mu je težje kot običajno, vendar ga je po nekaj dneh zmogel dokončati. Izkazalo se je, da je rešil dva »nerešljiva« problema v statistiki, s katerima so se ubadali številni znanstveniki.

V ruski matematični literaturi nič ni naravno število, v zahodni literaturi, nasprotno, spada v množico naravnih števil.

Decimalni številski sistem, ki ga uporabljamo, je nastal, ker imamo ljudje 10 prstov. Ljudje niso takoj razvili sposobnosti abstraktnega štetja in izkazalo se je, da je za štetje najbolj priročno uporabljati prste. Majevska civilizacija in neodvisno od njih Čukči so skozi zgodovino uporabljali dvajsetmestni številski sistem, pri čemer niso uporabljali prstov le na rokah, ampak tudi na prstih na nogah. Duodecimalni in šestdesetinski sistem, ki sta bila običajna v starem Sumerju in Babilonu, sta prav tako temeljila na uporabi rok: falange drugih prstov na dlani, katerih število je 12, so bile preštete s palcem.

Neka prijateljica je prosila Einsteina, naj jo pokliče, vendar je opozorila, da si je njeno telefonsko številko zelo težko zapomniti: - 24-361. se spomniš ponovi! Presenečen Einstein je odgovoril: "Seveda se spomnim!" Dva ducata in 19 na kvadrat.

Stephen Hawking je eden vodilnih teoretičnih fizikov in popularizator znanosti. V svoji zgodbi o sebi je Hawking omenil, da je postal profesor matematike, ne da bi bil od srednje šole deležen kakršne koli matematične izobrazbe. Ko je Hawking začel poučevati matematiko na Oxfordu, je učbenik prebral dva tedna pred svojimi učenci.

Največje število, ki ga je mogoče zapisati z rimskimi številkami, ne da bi kršili Shvartsmanova pravila (pravila za pisanje rimskih številk), je 3999 (MMMCMXCIX) - ne morete napisati več kot treh števk zaporedoma.

Obstaja veliko prispodob o tem, kako nekdo povabi drugega, da mu plača za neko storitev na naslednji način: na prvo polje šahovnice bo položil eno zrno riža, na drugo - dve in tako naprej: na vsako naslednje polje. dvakrat toliko kot na prejšnjem. Posledično bo tisti, ki bo tako plačeval, zagotovo bankrotiral. To ni presenetljivo: ocenjuje se, da bo skupna teža riža več kot 460 milijard ton.

V mnogih virih je izjava, da je Einstein v šoli izgubil matematiko ali pa se je na splošno zelo slabo učil pri vseh predmetih. Pravzaprav vse ni bilo tako: Albert je že zgodaj začel kazati nadarjenost za matematiko in jo je poznal daleč preko šolskega kurikuluma.

Enotni državni izpit 2019 iz matematike naloga 18 z rešitvijo

Demo različica Enotnega državnega izpita 2019 iz matematike

Enotni državni izpit iz matematike 2019 v formatu pdf Osnovna raven | Raven profila

Naloge za pripravo na enotni državni izpit iz matematike: osnovna in specializirana raven z odgovori in rešitvami.

| | domov

Enotni državni izpit 2019 iz matematike naloga 18

Enotni državni izpit 2019 v ravni naloge 18 profila matematike z rešitvijo

Enotni državni izpit iz matematike
Poiščite vse pozitivne vrednosti parametra a, za vsako od katerih enačba in x = x

ima edinstveno rešitev.

Naj bo f(x) = a x, g(x) = x.

Funkcija g(x) je zvezna, striktno narašča na celotnem območju definicije in ima lahko poljubno vrednost od minus neskončnosti do plus neskončnosti.< a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

Pri 0

Pri a = 1 je funkcija f(x) identično enaka ena, enačba f(x) = g(x) pa ima tudi enolično rešitev x = 1.
Za > 1:
Odvod funkcije h(x) = (a x - x) je enak
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Izenačimo ga z ničlo:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)

x = -log_a(ln(a)).

Izpeljanka ima eno samo ničlo. Levo od te vrednosti funkcija h(x) pada, desno pa narašča.

Zato bodisi sploh nima ničel bodisi ima dve ničli. In ima en koren le, če sovpada z najdenim ekstremom.
To pomeni, da moramo najti vrednost a, za katero je funkcija

h(x) = a x - x doseže ekstrem in izgine na isti točki. Z drugimi besedami, ko je premica y = x tangenta na graf funkcije a x.
Izenačimo ga z ničlo:

A x = x
Nadomestite a x = x v drugo enačbo:

x ln(a) = 1, od koder je ln(a) = 1/x, a = e (1/x) .
Ponovno nadomestite v drugo enačbo:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e 1 = x

x = e.
In to nadomestimo v prvo enačbo:
a e = e

a = e (1/e)

odgovor:

Enotni državni izpit 2019 v ravni naloge 18 profila matematike z rešitvijo

(0;1](e (1/e) )
Poiščite vse vrednosti parametra a, za katere je funkcija
f(x) = x 2 - |x-a 2 | - 9x

rešitev:

ima vsaj eno največjo točko.

Razširimo modul:<= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
Pri x

za x > a 2: f(x) = x 2 - 10x + a 2.
Odvod leve strani: f"(x) = 2x - 8

Tako levi kot desni del imata lahko le minimum. To pomeni, da ima lahko funkcija f(x) en sam maksimum, če in samo če v točki x=a 2 leva stran narašča (to je 2x-8 > 0), desna stran pa pada (to je 2x -10< 0).

Se pravi, dobimo sistem:
2x-8 > 0
2x-10< 0
x = a 2

kje
4 < a 2 < 5

a ~ (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

odgovor:(-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Enotni državni izpit 2017. Matematika. Naloga 18. Težave s parametrom. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2017. - 128 str.

Ta knjiga je posvečena problemom, podobnim problemu 18 Enotnega državnega izpita iz matematike (problem s parametrom). Obravnavani so različni načini reševanja tovrstnih problemov, veliko pozornosti pa je namenjene tudi grafični ponazoritvi. Knjiga bo uporabna za srednješolce, učitelje matematike in inštruktorje.

Oblika: pdf

Velikost: 1,6 MB

Oglejte si, prenesite:pogon.google

VSEBINA
Uvod 4
§1. Linearne enačbe in sistemi linearnih enačb 5
Naloge za samostojno reševanje 11
§2. Preučevanje kvadratnega trinoma z uporabo diskriminante 12
Naloge za samostojno reševanje 19
§3. Vietov izrek 20
Naloge za samostojno reševanje 26
§4. Lokacija korenin kvadratnega trinoma 28
Naloge za samostojno reševanje 43
§5. Uporaba grafičnih ilustracij
k študiju kvadratnega trinoma 45
Naloge za samostojno reševanje 55
§6. Omejena funkcija. Iskanje obsega vrednosti 56
Naloge za samostojno reševanje 67
§7. Druge lastnosti funkcij 69
Naloge za samostojno reševanje 80
§8. Logične težave s parametrom 82
Naloge za samostojno reševanje 93
Ponazoritve na koordinatni ravnini 95
Naloge za samostojno reševanje 108
Metoda "Okha" 110
Naloge za samostojno reševanje 119
Odgovori 120

Ta knjiga je posvečena problemom, podobnim problemu 18 Enotnega državnega izpita iz matematike (problem s parametrom). Naloga 18 je poleg naloge 19 (naloga, katere rešitev uporablja lastnosti celih števil) najtežja v varianti. Vendar pa knjiga poskuša sistematizirati probleme te vrste glede na različne metode njihovega reševanja.
Več odstavkov je posvečenih na videz priljubljeni temi, kot je preučevanje kvadratnega trinoma. Včasih pa takšne težave zahtevajo drugačne, včasih najbolj nepričakovane pristope k njihovemu reševanju. Eden od teh nestandardnih pristopov je prikazan v primeru 7 odstavka 2.
Pogosto je pri reševanju problema s parametrom potrebno preučiti funkcijo, podano v pogoju. Knjiga oblikuje nekaj izjav o lastnostih funkcij, kot so omejenost, pariteta, kontinuiteta; Nato primeri prikazujejo uporabo teh lastnosti pri reševanju problemov.

V nalogi 18 - predzadnji nalogi ravni profila enotnega državnega izpita iz matematike - je treba dokazati sposobnost reševanja problemov s parametri. V veliki večini primerov je ta naloga sistem dveh enačb s parametrom a, pri čemer je treba najti vrednosti, pri katerih se bo sistem obnašal na določen način - imel dve ali eno ali nobene rešitve.

Analiza tipičnih možnosti za naloge št. 18 Enotnega državnega izpita iz matematike na ravni profila

Prva različica naloge (demo verzija 2018)

Poiščite vse pozitivne vrednosti a, za vsako od katerih ima sistem edinstveno rešitev:

(|x|–5) 2 +(y–4) 2 =4
(x–2) 2 +y 2 =a 2

Algoritem rešitve:

Oglejmo si drugo enačbo in ugotovimo, kakšen je njen graf.
Določimo pogoj za edinstvenost rešitve.
Poiščemo razdaljo med središči in določimo vrednosti parametrov.
Odgovor zapišemo.

rešitev:

1. Prva enačba sta dve krožnici s polmeri 3 in koordinatama središč C 2 (5;4) in C 2 (-5;4). En krog je definiran s to enačbo za x≥0, drugi pa za x<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Druga enačba je krog s polmerom "a" s središčnimi koordinatami: C (-2;0).

3. Edinstvena rešitev pomeni, da se mora en krog dotikati enega od krogov v eni točki. Zato je treba dva sistema reševati v paru.

Seveda v prvem in drugem primeru dobimo par korenin, tj. koordinate tangence na zunanji in notranji način.

Vendar velja omeniti, da nas bodo zanimale le korenine, ki določajo zunanjo tangentnost levega kroga in notranjo tangentnost desnega kroga. Ker sta drugi dve enačbi v nasprotju s pogojem in bosta imeli več kot eno rešitev. Samo poglejte priloženo risbo: