Tg отношение прилежащего катета к противолежащему. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла

Инструкция

Способ 1. Использование теоремы Пифагора. Теорема гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Отсюда следует, что любую из сторон прямоугольного треугольника можно вычислить, зная две другие его стороны (рис.2)

Способ 2. Вытекает из того, что медиана, проведенная из к гипотенузе, образует между собой 3 подобных треугольника (рис. 3). На этом рисунке подобными являются треугольники ABC, BCD и ACD.

Пример 6: Использование кругов единиц для поиска координат

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу. Тогда мы возьмем синус и косинус значение опорного угла, и дать им знаки, соответствующие у - и х -значений квадранта. Далее мы найдем косинус и синус заданного угла.

Ситовый угол, треугольник угла и кубический корень

Заметим: ситовый угол нельзя построить с помощью компаса и линейки. Умножение длины стороны куба кубическим корнем из 2 дает боковую длину куба с двойным объемом. С помощью новаторской теории французского математика Эвариста Галуа можно показать, что для всех трех классических задач построение с кругом и линейкой невозможно.

Гипотенузой называется сторона в прямоугольном треугольнике, которая находится напротив угла в 90 градусов. Для того, чтобы рассчитать его длину, достаточно знать длину одного из катетов и величину одного из острых углов треугольника.

Имейте в виду: трехкомпонентный угол и конструкция кубического корня невозможны с компасом и линейкой.

С другой стороны, решение уравнения третьей степени по формуле Кардано может быть представлено делением угла и кубического корня. В дальнейшем мы строим некоторый угол с кругом и линейкой. Однако, после того, как треугольник этого угла и определение кубического корня, завершение конструкции квадрата сита может быть выполнено с помощью компаса и линейки.

Построение решетчатой ​​колоды согласно этому расчету

Алгебраическая формулировка задачи построения приводит к уравнению, структурный анализ которого предоставит дополнительную информацию о построении тройной структуры. Здесь используется взаимно однозначное отношение угла к его косинусу: если известна величина угла, длина косинуса угла может быть однозначно построена на единичной окружности и наоборот.

Инструкция

При известном катете и остром угле прямоугольного треугольника, то размер гипотенузы может быть равен отношению катета к косинусу/синусу этого угла, если данный угол является ему противолежащим/прилежащим:

h = C1(или C2)/sinα;

h = С1(или С2)/cosα.

Пример: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB и прямым углом C. Пусть угол B равен 60 градусам, а угол A 30 градусам Длина катета BC 8 см. Надо найти длину гипотенузы AB. Для этого можно воспользоваться любым из предложенных выше способов:

Это взаимно однозначное задание позволяет перейти от определения угла к определению косинуса угла. В дальнейшем 3 φ обозначает угол, который должен быть разделен. Таким образом, φ - угол, величина которого должна определяться при заданных 3 φ. Начиная с соединений, известных из тригонометрии.

Следует при заданном угле 3 φ. Алгебраическое рассмотрение разрешимости трехмерного уравнения приводит непосредственно к вопросу о возможности построения решений и, следовательно, к вопросу о возможности или невозможности конструктивного тройного угла данного угла.

AB = BC/cos60 = 8 см.

AB = BC/sin30 = 8 см.

Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую напротив прямого угла. Она является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. Рассчитать ее можно по теореме Пифагора или с помощью формул тригонометрических функций.

Величина угла выхода оказывает большое влияние на возможность увязывания третьего угла, так как это, как абсолютный член, решительно определяет тип решений в трехмерном уравнении. Если уравнение триангуляции имеет по крайней мере одно вещественное решение, которое может быть получено рациональными операциями или рисунком квадратных корней для заданного начального угла, это решение является конструктивным.

Брейденбах сформулировал в качестве критерия, что трехсекундность угла может быть истолкована только в рациональном решении уравнения из трех частей. Если такое решение недоступно, проблема трехчастной конструкции непримирима с компасом и линейкой. Кластерный анализ - общий метод сборки небольших групп из большого набора данных. Подобно дискриминантному анализу, кластерный анализ также используется для классификации наблюдений в группах. С другой стороны, дискриминационный анализ требует знания членства в группах в случаях, используемых для получения правила классификации.

Инструкция

Катетами называют стороны прямоугольного треугольника, прилежащие к прямому углу. На рисунке катеты обозначены как AB и BC. Пусть заданы длины обоих катетов. Обозначим их как |AB| и |BC|. Для того, чтобы найти длину гипотенузы |AC|, воспользуемся теоремой Пифагора. Согласно данной теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т.е. в обозначениях нашего рисунка |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Из формулы получаем, что длина гипотенузы AC находится как |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Кластерный анализ является более примитивным методом, поскольку он не делает предположений о количестве групп или членстве в группах. Классификация Кластерный анализ обеспечивает способ обнаружения потенциальных отношений и создания систематической структуры в большом количестве переменных и наблюдений. Иерархический кластерный анализ является основным статистическим методом для поиска относительно однородных кластеров случаев на основе измеренных характеристик. Он начинается с каждого случая как отдельный кластер.

Затем кластеры объединяются последовательно, количество кластеров уменьшается с каждым шагом, пока остается только один кластер. Метод кластеризации использует различия между объектами для формирования кластеров. Иерархический кластерный анализ лучше всего подходит для небольших выборок.

Рассмотрим пример. Пусть заданы длины катетов |AB| = 13, |BC| = 21. По теореме Пифагора получаем, что |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Для того, чтобы получить длину гипотенузы, необходимо извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов, т.е. из числа 610: |AC| = √610. Воспользовавшись таблицей квадратов целых чисел, выясняем, что число 610 не является полным квадратом какого-либо целого числа. Для того, чтобы получить окончательное значение длины гипотенузы, попробуем вынести полный квадрат из под знака корня. Для этого разложим число 610 на множители. 610 = 2 * 5 * 61. По таблице простых чисел смотрим, что 61 – число простое. Поэтому дальнейшее приведение числа √610 невозможно. Получаем окончательный ответ |AC| = √610.
Если бы квадрат гипотенузы был равен, к примеру, 675, тогда √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. В случае, если подобное приведение возможно, выполняйте обратную проверку - возведите результат в квадрат и сравните с исходным значением.

Иерархический кластерный анализ является лишь одним из способов наблюдения за формированием однородных переменных групп. Нет конкретного способа установить количество кластеров для вашего анализа. Возможно, вам нужно посмотреть на дендрограмму, а также на характеристики кластеров, а затем настроить число поэтапно, чтобы получить хорошее кластерное решение.

Когда переменные измеряются в разных масштабах, у вас есть три способа стандартизации переменных. В результате все переменные с примерно равными пропорциями способствуют измерению расстояния, даже если вы можете потерять информацию о дисперсии переменных.

Пусть нам известен один из катетов и прилежащий к нему угол. Для определенности пусть это будут катет |AB| и угол α. Тогда мы можем воспользоваться формулой для тригонометрической функции косинус – косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. в наших обозначениях cos α = |AB| / |AC|. Отсюда получаем длину гипотенузы |AC| = |AB| / cos α.
Если же нам известны катет |BC| и угол α, то воспользуемся формулой для вычисления синуса угла – синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: sin α = |BC| / |AC|. Получаем, что длина гипотенузы находится как |AC| = |BC| / cos α.

Евклидово расстояние: эвклидово расстояние является наиболее распространенным методом измерения. Квадратное эвклидовое расстояние: квадрат евклидова расстояния фокусирует внимание на объектах, которые находятся дальше друг от друга. Расстояние до блока города: как городской квартал, так и евклидово расстояние - это особые случаи метрики Минковского. В то время как евклидово расстояние соответствует длине кратчайшего пути между двумя точками, расстояние по городскому блоку представляет собой сумму расстояний вдоль каждого измерения. Корреляционное расстояние Пирсона Разница между 1 и коэффициентом косинуса двух наблюдений Косинус-коэффициент является косинусом угла между двумя векторами. Расстояние Жакара Разница между 1 и коэффициентом Жакарда для двух наблюдений Для двоичных данных коэффициент Жакара равен отношению величины перекрытия и суммарному количеству двух наблюдений. Ближайший сосед Этот метод предполагает, что расстояние между двумя кластерами соответствует расстоянию между объектами их ближайшего соседства. Наилучший сосед В этом методе расстояние между двумя кластерами соответствует максимальному расстоянию между двумя объектами в разных кластерах. Среднее по группе: с помощью этого метода расстояние между двумя кластерами соответствует среднему расстоянию между всеми парами объектов в разных кластерах. Этот метод обычно рекомендуется, так как он содержит более высокий объем информации. Медиана Этот метод идентичен методу центроида, за исключением того, что он невзвешен. Затем для каждого случая вычисляется квадратичное евклидово расстояние до средних значений кластера. Кластер, который должен быть объединен, - это тот, который увеличивает сумму как минимум. То есть этот метод минимизирует увеличение общей суммы квадратов расстояний внутри кластеров. Этот метод имеет тенденцию создавать меньшие кластеры.

• Это геометрическое расстояние в многомерном пространстве.
• Он подходит только для непрерывных переменных.
• Косинус Расстояние Косинус угла между двумя векторами значений.
• Этот метод рекомендуется при рисовании рисованных кластеров.
• Если рисованные кластеры образуют уникальные «комки», метод подходит.
• Центроид кластера - это средняя точка в многомерном пространстве.
• Он не должен использоваться, если размеры кластеров разительно отличаются.
• Уорд Средние значения для всех переменных вычисляются для каждого кластера.
• Эти расстояния суммируются для всех случаев.

Для наглядности рассмотрим пример. Пусть дана длина катета |AB| = 15. И угол α = 60°. Получаем |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30.
Рассмотрим, как можно проверить свой результат с помощью теоремы Пифагора. Для этого нам необходимо посчитать длину второго катета |BC|. Воспользовавшись формулой для тангенса угла tg α = |BC| / |AC|, получаем |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Далее применяем теорему Пифагора, получаем 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Проверка выполнена.

Функция синуса определяется из концепции синуса, учитывая, что угол всегда должен быть выражен в радианах. Мы можем наблюдать несколько характеристик синусоидальной функции.

• Ваш домен содержит все реальные.
• В этом случае говорят, что функция периодична, периода 2π.

Мы можем наблюдать несколько характеристик косинусной функции. Таким образом, это периодический период 2π. . Ограничение не устраняет общности формулы, потому что мы всегда можем уменьшить углы второго, третьего и четвертого квадрантов до первого. Упражнение. - Рассчитайте синус 15º без помощи калькулятора.

Рассчитав гипотенузу, выполняйте проверку - удовлетворяет ли полученное значение теореме Пифагора.

Источники:

• Таблица простых чисел от 1 до 10000

Катетами называют две короткие стороны прямоугольного треугольника, составляющие ту его вершину, величина которой равна 90°. Третью сторону в таком треугольнике называют гипотенузой. Все эти стороны и углы треугольника связаны между собой определенными соотношениями, которые позволяют вычислить длину катета, если известны несколько других параметров.

Косинус суммы двух углов

Косинус разности двух углов

Упражнение. В сегодняшней статье мы рассмотрим очень специфическое подмножество: тригонометрические функции. Чтобы наслаждаться всем, что предлагает математика, мы должны импортировать его. В следующей статье мы увидим другие стили импорта, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Но с этой простой инструкцией вы уже имеете доступ ко всему пространству имен математического модуля, заполненному десятками функций, среди которых те, с которыми мы будем иметь дело сегодня.

Инструкция

Используйте теорему Пифагора для вычисления длины катета (A), если известна длина двух других сторон (B и C) прямоугольного треугольника. Эта теорема утверждает, что сумма возведенных в квадрат длин катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого вытекает, что длина каждого из катетов равна квадратному корню из разности квадратов длин гипотенузы и второго катета: A=√(C²-B²).

В принципе, нам нужно будет вычислить синус, косинус и тангенс угла, а также его обратные функции. Кроме того, мы хотели бы иметь возможность работать как в радианах, так и в градусах, чтобы мы могли также использовать соответствующие функции преобразования.

Вы должны иметь в виду, что эти функции ожидают, что аргумент будет предоставлен в радианах, а не в градусах. С этой целью вам будет интересно узнать, что у вас есть следующая константа. Так что мы можем использовать это выражение вместо числового значения.

Нет никакой прямой функции для косеканта, секущей и котангенса, так как это необязательно, так как они просто обратные синусоидальному, косинусу и касательной соответственно. Как и раньше, возвращаемый угол также находится в радианах. Другая полезная функция математики позволяет нам узнать значение гипотенузы правого треугольника с учетом его ног, что позволяет нам вычислить квадратный корень из суммы квадратов из них.

Воспользуйтесь определением прямой тригонометрической функции «синус» для острого угла , если известна величина угла (α), лежащего напротив вычисляемого катета, и длина гипотенузы (C). Это определение утверждает, что синус этого известного угла равен отношению длины искомого катета к длине гипотенузы. Это значит, что длина искомого катета равна произведению длины гипотенузы на синус известного угла: A=C∗sin(α). Для этих же известных величин можно использовать и определение функции косеканс и рассчитать нужную длину, разделив длину гипотенузы на косеканс известного угла A=C/cosec(α).

Задействуйте определение прямой тригонометрической функции косинус, если кроме длины гипотенузы (C) известна и величина острого угла (β), прилегающего к искомому катету. Косинус этого угла определяется как соотношение длин искомого катета и гипотенузы, а из этого можно сделать вывод, что длина катета равна произведению длины гипотенузы на косинус известного угла: A=C∗cos(β). Можно воспользоваться определением функции секанс и вычислить нужное значение , разделив длину гипотенузы на секанс известного угла A=C/sec(β).

Выведите нужную формулу из аналогичного определения для производной тригонометрической функции тангенс, если кроме величины острого угла (α), лежащего напротив искомого катета (A), известна длина второго катета (B). Тангенсом противолежащего искомому катету угла называют отношение длины этого катета к длине второго катета. Значит, искомая величина будет равна произведению длины известного катета на тангенс известного угла: A=B∗tg(α). Из этих же известных величин можно вывести и другую формулу, если воспользоваться определением функции котангенс. В этом случае для вычисления длины катета надо будет найти соотношение длины известного катета к котангенсу известного угла: A=B/ctg(α).

Видео по теме

Слово «катет» пришло в русский язык из греческого. В точном переводе оно означает отвес, то есть перпендикуляр к поверхности земли. В математике катетами называются стороны, образующие прямой угол прямоугольного треугольника. Противолежащая этому углу сторона называется гипотенузой. Термин «катет» применяется также в архитектуре и технологии сварочных работ.

Начертите прямоугольный треугольник АСВ. Обозначьте его катеты как а и b, а гипотенузу - как с. Все стороны и углы прямоугольного треугольника связаны между собой определенными отношениями. Отношение катета, противолежащего одному из острых углов, к гипотенузе называется синусом данного угла. В данном треугольнике sinCAB=a/c. Косинус - это отношение к гипотенузе прилежащего катета, то есть cosCAB=b/c. Обратные отношения называются секансом и косекансом.

Секанс данного угла получается при делении гипотенузы на прилежащий катет, то есть secCAB=c/b. Получается величина, обратная косинусу, то есть выразить ее можно по формуле secCAB=1/cosSAB.
Косеканс равен частному от деления гипотенузы на противолежащий катет и это величина, обратная синусу. Она может быть рассчитана по формуле cosecCAB=1/sinCAB

Оба катета связаны между собой тангенсом и котангенсом. В данном случае тангенсом будет отношение стороны a к стороне b, то есть противолежащего катета к прилежащему. Это отношение может быть выражено формулой tgCAB=a/b. Соответственно, обратным отношением будет котангенс: ctgCAB=b/a.

Соотношение между размерами гипотенузы и обоих катетов определил еще древнегреческий математик Пифагор. Теоремой, названной его именем, люди пользуются до сих пор. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть с2=a2+b2. Соответственно, каждый катет будет равняться квадратному корню из разности квадратов гипотенузы и другого катета. Эту формулу можно записать как b=√(с2-а2).

Длину катета можно выразить и через известные вам соотношения. Согласно теоремам синусов и косинусов, катет равен произведению гипотенузы на одну из этих функций. Можно его выразить и через тангенс или котангенс. Катет а можно найти, например, по формуле a = b*tan CAB. Точно таким же образом, в зависимости от заданных тангенса или котангенса, определяется и второй катет.

В архитектуре также используется термин «катет». Он применяется по отношению к ионической капители и обозначает отвес через середину ее задка. То есть и в этом случае этим термином обозначается перпендикуляр к заданной линии.

В технологии сварочных работ есть понятие «катет углового шва». Как и в других случаях, это самое короткое расстояние. Здесь речь идет о промежутке между одной из свариваемых деталей до границы шва, находящегося на поверхности другой детали.

Видео по теме

Источники:

• что такое катет и гипотенуза

Видео по теме

Обратите внимание

При расчете сторон прямоугольного треугольника может сыграть знание его признаков:
1) Если катет прямого угла лежит напротив угла в 30 градусов, то он равен половине гипотенузы;
2) Гипотенуза всегда длиннее любого из катетов;
3) Если вокруг прямоугольного треугольника описана окружность, то ее центр должен лежать в середине гипотенузы.

Где были рассмотрены задачи на решение прямоугольного треугольника, я пообещал изложить приём запоминания определений синуса и косинуса. Используя его, вы всегда быстро вспомните – какой катет относится к гипотенузе (прилежащий или противолежащий). Решил в «долгий ящик не откладывать», необходимый материал ниже, прошу ознакомиться 😉

Дело в том, что я не раз наблюдал, как учащиеся 10-11 классов с трудом вспоминают данные определения. Они прекрасно помнят, что катет относится к гипотенузе, а вот какой из них - забывают и путают. Цена ошибки, как вы знаете на экзамене – это потерянный бал.

Информация, которую я представлю непосредственно к математике не имеет никакого отношения. Она связана с образным мышлением , и с приёмами словесно-логической связи. Именно так, я сам, раз и на всегда запомнил данные определения. Если вы их всё же забудете, то при помощи представленных приёмов всегда легко вспомните.

Напомню определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Итак, какие ассоциации у вас вызывает слово косинус?

Наверное, у каждого свои 😉 Запоминайте связку:

Таким образом, у вас сразу в памяти возникнет выражение –

«… отношение ПРИЛЕЖАЩЕГО катета к гипотенузе ».

Проблема с определением косинуса решена.

Если нужно вспомнить определение синуса в прямоугольном треугольнике, то вспомнив определение косинуса, вы без труда установите, что синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Ведь катетов всего два, если прилежащий катет «занят» косинусом, то синусу остаётся только противолежащий.

Как быть с тангенсом и котангенсом? Путаница та же. Учащиеся знают, что это отношение катетов, но проблема вспомнить какой к которому относится – то ли противолежащий к прилежащему, то ли наоборот.

Определения:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему:

Как запомнить? Есть два способа. Один так же использует словесно-логическую связь, другой – математический.

СПОСОБ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Есть такое определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

*Запомнив формулу, вы всегда сможете определить, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Аналогично. Котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу:

Итак! Запомнив указанные формулы вы всегда сможете определить, что:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к противолежащему.

СПОСОБ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКИЙ

О тангенсе. Запомните связку:

То есть если потребуется вспомнить определение тангенса, при помощи данной логической связи, вы без труда вспомните, что это

«… отношение противолежащего катета к прилежащему»

Если речь зайдёт о котангенсе, то вспомнив определение тангенса вы без труда озвучите определение котангенса –

«… отношение прилежащего катета к противолежащему»

Есть интересный приём по запоминанию тангенса и котангенса на сайте " Математический тандем " , посмотрите.

СПОСОБ УНИВЕРСАЛЬНЫЙ

Можно просто зазубрить. Но как показывает практика, благодаря словесно-логическим связкам человек запоминает информацию надолго, и не только математическую.

Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называют синусом острого угла прямоугольного треугольника.

\sin \alpha = \frac{a}{c}

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к гипотенузе называют косинусом острого угла прямоугольного треугольника.

\cos \alpha = \frac{b}{c}

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение противолежащего катета к близлежащему катету называют тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

tg \alpha = \frac{a}{b}

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Отношение близлежащего катета к противолежащему катету называют котангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

ctg \alpha = \frac{b}{a}

Синус произвольного угла

Ордината точки на единичной окружности , которой соответствует угол \alpha называют синусом произвольного угла поворота \alpha .

\sin \alpha=y

Косинус произвольного угла

Абсцисса точки на единичной окружности, которой соответствует угол \alpha называют косинусом произвольного угла поворота \alpha .

\cos \alpha=x

Тангенс произвольного угла

Отношение синуса произвольного угла поворота \alpha к его косинусу называют тангенсом произвольного угла поворота \alpha .

tg \alpha = y_{A}

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

Котангенс произвольного угла

Отношение косинуса произвольного угла поворота \alpha к его синусу называют котангенсом произвольного угла поворота \alpha .

ctg \alpha =x_{A}

ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

Пример нахождения произвольного угла

Если \alpha — некоторый угол AOM , где M — точка единичной окружности, то

\sin \alpha=y_{M} , \cos \alpha=x_{M} , tg \alpha=\frac{y_{M}}{x_{M}} , ctg \alpha=\frac{x_{M}}{y_{M}} .

Например, если \angle AOM = -\frac{\pi}{4} , то: ордината точки M равна -\frac{\sqrt{2}}{2} , абсцисса равна \frac{\sqrt{2}}{2} и потому

\sin \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} ;

\cos \left (\frac{\pi}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} ;

tg ;

ctg \left (-\frac{\pi}{4} \right)=-1 .

Таблица значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Значения основных часто встречающихся углов приведены в таблице:

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза - это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \(AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \(AB \) и \(BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \(BC \) , то катет \(AB \) – это прилежащий катет, а катет \(BC \) - противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \sin \beta =\dfrac{BC}{AC} \]

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

\[ \cos \beta =\dfrac{AB}{AC} \]

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

\[ tg\beta =\dfrac{BC}{AB} \]

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

\[ ctg\beta =\dfrac{AB}{BC} \]

Эти определения необходимо запомнить ! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе . А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

Косинус→касаться→прикоснуться→прилежащий;

Котангенс→касаться→прикоснуться→прилежащий.

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \(\beta \) . По определению, из треугольника \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3} \) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \(\beta \) и из треугольника \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac{AH}{AI}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \(ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .

\(\begin{array}{l}\sin \ \alpha =\dfrac{4}{5}=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac{3}{5}=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac{4}{3}\\ctg\ \alpha =\dfrac{3}{4}=0,75\end{array} \)

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \(\beta \) .

Ответы: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac{4}{3} \) .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \(1 \) . Такая окружность называется единичной . Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \(x \) (в нашем примере, это радиус \(AB \) ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \(x \) и координата по оси \(y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \(ACG \) . Он прямоугольный, так как \(CG \) является перпендикуляром к оси \(x \) .

Чему равен \(\cos \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Всё верно \(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC} \) . Кроме того, нам ведь известно, что \(AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \(AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

\(\cos \ \alpha =\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{AG}{1}=AG \) .

А чему равен \(\sin \ \alpha \) из треугольника \(ACG \) ? Ну конечно, \(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC} \) ! Подставим значение радиуса \(AC \) в эту формулу и получим:

\(\sin \alpha =\dfrac{CG}{AC}=\dfrac{CG}{1}=CG \)

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \(C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \(\cos \ \alpha \) и \(\sin \alpha \) - это просто числа? Какой координате соответствует \(\cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \(x \) ! А какой координате соответствует \(\sin \alpha \) ? Всё верно, координате \(y \) ! Таким образом, точка \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \) .

А чему тогда равны \(tg \alpha \) и \(ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \(tg \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\dfrac{x}{y} \) .

А что, если угол будет больше ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Что же изменилось в данном примере? Давай разбираться. Для этого опять обратимся к прямоугольному треугольнику. Рассмотрим прямоугольный треугольник \({{A}_{1}}{{C}_{1}}G \) : угол (как прилежащий к углу \(\beta \) ). Чему равно значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для угла \({{C}_{1}}{{A}_{1}}G=180{}^\circ -\beta \ \) ? Всё верно, придерживаемся соответствующих определений тригонометрических функций:

\(\begin{array}{l}\sin \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{C}_{1}}G}{1}={{C}_{1}}G=y;\\\cos \angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\dfrac{{{A}_{1}}G}{1}={{A}_{1}}G=x;\\tg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{C}_{1}}G}{{{A}_{1}}G}=\dfrac{y}{x};\\ctg\angle {{C}_{1}}{{A}_{1}}G=\dfrac{{{A}_{1}}G}{{{C}_{1}}G}=\dfrac{x}{y}\end{array} \)

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \(y \) ; значение косинуса угла – координате \(x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \(x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы , а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \(360{}^\circ \) или \(2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \(390{}^\circ \) или на \(-1140{}^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \(390{}^\circ =360{}^\circ +30{}^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \(30{}^\circ \) или \(\dfrac{\pi }{6} \) .

Во втором случае, \(-1140{}^\circ =-360{}^\circ \cdot 3-60{}^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \(-60{}^\circ \) или \(-\dfrac{\pi }{3} \) .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \(360{}^\circ \cdot m \) или \(2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \(\beta =-60{}^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \(-420{}^\circ ,-780{}^\circ ,\ 300{}^\circ ,660{}^\circ \) и т.д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \(\beta +360{}^\circ \cdot m \) или \(\beta +2\pi \cdot m \) (где \(m \) – любое целое число)

\(\begin{array}{l}-420{}^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780{}^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300{}^\circ =-60+360\cdot 1;\\660{}^\circ =-60+360\cdot 2.\end{array} \)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\(\begin{array}{l}\sin \ 90{}^\circ =?\\\cos \ 90{}^\circ =?\\\text{tg}\ 90{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 90{}^\circ =?\\\sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =?\\\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =?\\\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =?\\\sin \ 270{}^\circ =?\\\cos \ 270{}^\circ =?\\\text{tg}\ 270{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 270{}^\circ =?\\\sin \ 360{}^\circ =?\\\cos \ 360{}^\circ =?\\\text{tg}\ 360{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 360{}^\circ =?\\\sin \ 450{}^\circ =?\\\cos \ 450{}^\circ =?\\\text{tg}\ 450{}^\circ =?\\\text{ctg}\ 450{}^\circ =?\end{array} \)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

\(\begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg\alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \)

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \(90{}^\circ =\dfrac{\pi }{2} \) соответствует точка с координатами \(\left(0;1 \right) \) , следовательно:

\(\sin 90{}^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90{}^\circ =x=0 \) ;

\(\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 90{}^\circ \) - не существует;

\(\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{x}{y}=\dfrac{0}{1}=0 \) .

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \(180{}^\circ ,\ 270{}^\circ ,\ 360{}^\circ ,\ 450{}^\circ (=360{}^\circ +90{}^\circ)\ \) соответствуют точки с координатами \(\left(-1;0 \right),\text{ }\left(0;-1 \right),\text{ }\left(1;0 \right),\text{ }\left(0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\(\displaystyle \sin \ 180{}^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180{}^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text{tg}\ 180{}^\circ =\text{tg}\ \pi =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 180{}^\circ =\text{ctg}\ \pi =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ \pi \) - не существует

\(\sin \ 270{}^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 270{}^\circ =\dfrac{-1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 270{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 270{}^\circ =\dfrac{0}{-1}=0 \)

\(\sin \ 360{}^\circ =0 \)

\(\cos \ 360{}^\circ =1 \)

\(\text{tg}\ 360{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \)

\(\text{ctg}\ 360{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{ctg}\ 2\pi \) - не существует

\(\sin \ 450{}^\circ =\sin \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\sin \ 90{}^\circ =1 \)

\(\cos \ 450{}^\circ =\cos \ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\cos \ 90{}^\circ =0 \)

\(\text{tg}\ 450{}^\circ =\text{tg}\ \left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{tg}\ 90{}^\circ =\dfrac{1}{0}\Rightarrow \text{tg}\ 450{}^\circ \) - не существует

\(\text{ctg}\ 450{}^\circ =\text{ctg}\left(360{}^\circ +90{}^\circ \right)=\text{ctg}\ 90{}^\circ =\dfrac{0}{1}=0 \) .

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

\(\left. \begin{array}{l}\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac{y}{x};\\ctg \alpha =\dfrac{x}{y}.\end{array} \right\}\ \text{Надо запомнить или уметь выводить!!!} \)

А вот значения тригонометрических функций углов в и \(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4} \) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла (\(30{}^\circ =\dfrac{\pi }{6},\ 45{}^\circ =\dfrac{\pi }{4},\ 60{}^\circ =\dfrac{\pi }{3} \) ), а также значение тангенса угла в \(30{}^\circ \) . Зная эти \(4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком -значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

\(\begin{array}{l}\sin 30{}^\circ =\cos \ 60{}^\circ =\dfrac{1}{2}\ \ \\\sin 45{}^\circ =\cos \ 45{}^\circ =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin 60{}^\circ =\cos \ 30{}^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \end{array} \)

\(\text{tg}\ 30{}^\circ \ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \) , зная это можно восстановить значения для \(\text{tg}\ 45{}^\circ , \text{tg}\ 60{}^\circ \) . Числитель «\(1 \) » будет соответствовать \(\text{tg}\ 45{}^\circ \ \) , а знаменатель «\(\sqrt{\text{3}} \) » соответствует \(\text{tg}\ 60{}^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \(4 \) значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \(K({{x}_{0}};{{y}_{0}})=K(3;2) \) - центр окружности. Радиус окружности равен \(1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \(P \) , полученной поворотом точки \(O \) на \(\delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \(x \) точки \(P \) соответствует длина отрезка \(TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \(UK \) соответствует координате \(x \) центра окружности, то есть равна \(3 \) . Длину отрезка \(KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\(\cos \ \delta =\dfrac{KQ}{KP}=\dfrac{KQ}{r}\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .

Тогда имеем, что для точки \(P \) координата \(x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .

По той же логике находим значение координаты y для точки \(P \) . Таким образом,

\(y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta \end{array} \) , где

\({{x}_{0}},{{y}_{0}} \) - координаты центра окружности,

\(r \) - радиус окружности,

\(\delta \) - угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\(\begin{array}{l}x={{x}_{0}}+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y={{y}_{0}}+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end{array} \)

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.