Mutlak ve bağıl ölçüm hatası fiziği. Mutlak hata

Diyelim ki bir dizi çalıştırıyoruz N aynı miktarın ölçümleri X. Rastgele hatalar nedeniyle bireysel değerler X 1 ,X 2 ,X 3, X n aynı değildir ve aritmetik ortalama, ölçülen tüm değerlerin aritmetik toplamının ölçüm sayısına bölünmesine eşit olarak istenen değerin en iyi değeri olarak seçilir:

. (S.1)

burada å toplamın işaretidir, Ben- ölçüm numarası, N- ölçüm sayısı.

Yani - gerçeğe en yakın değer. Kimse gerçek anlamını bilmiyor. Yalnızca D aralığını hesaplayabilirsiniz X yakın , gerçek değerin bir dereceye kadar olasılıkla bulunabileceği yer R. Bu aralığa denir güven aralığı. Gerçek değerin buna düşme olasılığı denir güven olasılığı veya güvenilirlik katsayısı(çünkü güven olasılığı bilgisi, elde edilen sonucun güvenilirlik derecesini değerlendirmeye izin verir). Güven aralığı hesaplanırken gerekli güvenilirlik derecesi önceden belirtilir. Pratik ihtiyaçlara göre belirlenir (örneğin, uçak motoru parçalarına tekne motoruna göre daha sıkı gereksinimler uygulanır). Açıkçası, daha fazla güvenirlik elde etmek için ölçümlerin sayısında ve bunların kapsamlılığında bir artış gereklidir.

Bireysel ölçümlerdeki rastgele hataların olasılık yasalarına tabi olması nedeniyle, matematiksel istatistik yöntemleri ve olasılık teorisi, aritmetik ortalama değerin ortalama kare hatasının kökünü hesaplamayı mümkün kılar. Dx sl. Kanıtsız hesaplama formülünü yazalım Dx cl az sayıda ölçüm için ( N < 30).

Formüle Öğrenci formülü denir:

, (A.2)

Nerede T n, p - Öğrenci katsayısı, ölçüm sayısına bağlı olarak N ve güven olasılığı R.

Öğrenci katsayısı, pratik ihtiyaçlara (yukarıda belirtildiği gibi) dayanarak önceden belirlenen değerlerle aşağıdaki tablodan bulunur. N Ve R.

Laboratuvar çalışmasının sonuçlarını işlerken 3-5 ölçüm yapmak ve güven olasılığını 0,68'e eşitlemek yeterlidir.

Ancak birden fazla ölçümle aynı değerlerin elde edildiği görülür. X. Örneğin telin çapını 5 kez ölçtük ve 5 kez aynı değeri aldık. Yani bu kesinlikle hatanın olmadığı anlamına gelmez. Bu yalnızca her ölçümün rastgele hatasının daha küçük olduğu anlamına gelir kesinlik cihaz d olarak da adlandırılır enstrüman odası,veya enstrümantal, hata. D cihazının enstrümantal hatası, pasaportunda belirtilen veya cihazın kendisinde belirtilen cihazın doğruluk sınıfına göre belirlenir. Bazen de cihazın bölünme fiyatına (cihazın bölünme fiyatı en küçük bölümünün değeri kadardır) veya bölünme fiyatının yarısına (cihazın bölünme fiyatının yarısı yaklaşık olarak belirlenebiliyorsa) eşit alınır. göz).

Çünkü değerlerin her biri X i hatası d ile elde edildi, ardından tam güven aralığı Dx, veya mutlak ölçüm hatası aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

. (S.3)

Formül (A.3)'teki miktarlardan biri diğerinden en az 3 kat daha büyükse, daha küçük olanın ihmal edildiğine dikkat edin.

Mutlak hata tek başına alınan ölçümlerin kalitesini yansıtmaz. Örneğin, yalnızca mutlak hatanın 0,002 m² olduğu bilgisine dayanarak bu ölçümün ne kadar iyi yapıldığına karar verilemez. Alınan ölçümlerin kalitesi hakkında bir fikir verilmektedir. bağıl hata e, mutlak hatanın ölçülen değerin ortalama değerine oranına eşittir. Bağıl hata, mutlak hatanın ölçülen değere göre ne kadar olduğunu gösterir. Kural olarak göreceli hata yüzde olarak ifade edilir:

Bir örneğe bakalım. Topun çapının alet hatası d = 0,01 mm olan bir mikrometre kullanılarak ölçülmesine izin verin. Üç ölçüm sonucunda aşağıdaki çap değerleri elde edildi:

D 1 = 2,42 mm, D 2 = 2,44mm, D 3 = 2,48 mm.

Formül (A.1) kullanılarak bilya çapının aritmetik ortalama değeri belirlenir

Daha sonra, Öğrenci katsayıları tablosunu kullanarak, üç ölçümle 0,68'lik bir güven düzeyi için şunu bulurlar: T n, p = 1,3. Daha sonra formül (A.2) kullanılarak rastgele ölçüm hatası hesaplanır. gg sl

Ortaya çıkan rastgele hata, mutlak ölçüm hatasını bulurken aletsel hatanın yalnızca iki katı kadar büyük olduğundan gg(A.3)'e göre, hem rastgele hata hem de alet hatası dikkate alınmalıdır;

mm » ±0,03 mm.

Sonucun doğruluğu ölçüm cihazının doğruluğunu aşamadığından, bu durumda 0,01 mm olan hata milimetrenin yüzde birine yuvarlandı.

Yani telin çapı

mm.

Bu giriş, bilya çapının gerçek değerinin %68 olasılıkla (2,42 ¸ 2,48) mm aralığında olduğunu göstermektedir.

(A.4)'e göre elde edilen değerin bağıl hatası e:

%.

Bu başlıkta hatalar üzerine kısa bir kopya kağıdı gibi bir şeyler yazacağım. Tekrar ediyorum, bu metin hiçbir şekilde resmi değildir ve ona atıf yapılması kabul edilemez. Bu metinde olabilecek hata veya yanlışlıkların düzeltilmesinden dolayı minnettar olurum.

Hata nedir?

() formundaki bir deneyin sonucunu kaydetmek, çok sayıda aynı deney yaparsak, elde edilen sonuçların% 70'inde aralıkta olacağı ve% 30'unda olmayacağı anlamına gelir.

Veya, ki bu da aynı şeydir, eğer deneyi tekrarlarsak, o zaman yeni sonuç, güven olasılığına eşit bir olasılıkla güven aralığına girecektir.

Hata ve sonuç nasıl yuvarlanır?

Hata yuvarlanır ilk anlamlı basamağa, eğer biri değilse. Eğer bir ise - o zaman ikiye kadar. Aynı zamanda önemli rakam Sonucun baştaki sıfırlar dışında herhangi bir rakamı çağrılır.

Yuvarlak veya veya ama hiçbir koşulda veya 2 anlamlı rakam olduğundan - ikisinden sonra 2 ve 0.

Yukarıya yuvarla veya

Yukarıya yuvarla veya veya

Sonucun son anlamlı basamağı hatanın son anlamlı basamağıyla eşleşecek şekilde sonucu yuvarlarız.

Örnekler doğru giriş:

mm

Buradaki hatayı 2 anlamlı rakamda tutalım çünkü hatadaki ilk anlamlı rakam birdir.

mm

Örnekler yanlış giriş:

Aa. Burada sonuç olarak ekstra işaret. mm doğru olacaktır.

mm. Burada ekstra işaret hem hata olarak hem de sonuç olarak. mm doğru olacaktır.

Çalışmalarımda bana verilen değeri sadece bir sayı olarak kullanıyorum. Örneğin, bir ağırlık kütlesi. Hata payı nedir?

Hata açıkça belirtilmemişse son rakamdan bir tane alabilirsiniz. Yani m = 1,35 g yazılırsa hatanın 0,01 g alınması gerekir.

Birkaç nicelikten oluşan bir fonksiyon vardır. Bu niceliklerin her birinin kendi hatası vardır. Fonksiyonun hatasını bulmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

Sembol, f'nin x'e göre kısmi türevi anlamına gelir. Kısmi türevler hakkında daha fazlasını okuyun.

Diyelim ki aynı miktarı ölçtünüz X birkaç (n) kez. Bir takım değerler aldık. . Dağılım hatasını hesaplamanız, alet hatasını hesaplamanız ve bunları toplamanız gerekir.

Nokta nokta.

1. Yayılma hatasını hesaplıyoruz

Tüm değerler çakışırsa yayılma olmaz. Aksi takdirde hesaplanması gereken bir dağılım hatası vardır. Başlangıç ​​olarak, ortalamanın ortalama karekök hatası hesaplanır:

Burada genel ortalama anlamına gelir.
Dağılım hatası, ortalamanın karekök ortalama hatasının, seçtiğiniz güven olasılığına ve ölçüm sayısına bağlı olan Öğrenci katsayısı ile çarpılmasıyla elde edilir. N:

Aşağıdaki tablodan Öğrenci katsayılarını alıyoruz. Güven olasılığı keyfi olarak oluşturulur, ölçüm sayısı N biz de biliyoruz.

2. Ortalamanın alet hatasını dikkate alıyoruz

Farklı noktalardaki hatalar farklıysa, formüle göre

Doğal olarak herkesin güven olasılığı aynı olmalıdır.

3. Ortalamayı spreadle ekleyin

Hatalar her zaman karelerin kökü olarak toplanır:

Bu durumda hesaplanan güven olasılıklarının örtüştüğünden emin olmanız gerekir.

Bir grafikten ortalamanın alet hatası nasıl belirlenir? Yani eşleştirilmiş nokta yöntemini veya en küçük kareler yöntemini kullanarak ortalama direncin yayılmasındaki hatayı bulacağız. Ortalama direncin cihaz hatası nasıl bulunur?

Hem en küçük kareler yöntemi hem de eşleştirilmiş nokta yöntemi bu soruya kesin bir cevap verebilir. Svetozarov'daki en küçük kareler forumu için ("Temel Bilgiler...", en küçük kareler yöntemiyle ilgili bölüm) var ve eşleştirilmiş noktalar için akla gelen ilk şey (dedikleri gibi alında) araçsal değerleri hesaplamaktır. her açısal katsayının hatası. Peki, tüm noktalarda daha fazla...

Acı çekmek istemiyorsanız laboratuvar kitaplarında bunu yapmanın basit bir yolu vardır. tahminler açısal katsayıdaki cihaz hatası, yani aşağıdaki MNC'den (örneğin, "Elektrikli ölçüm cihazları...." laboratuvar kitabının Metodolojik tavsiyelerin son sayfasındaki çalışma 1'den önce).

Çizilen düz çizgiden hatalı bir noktanın Y ekseni boyunca maksimum sapması nerede ve payda, grafiğimizin Y ekseni boyunca alanının genişliğidir.

Doğruluk sınıfı direnç dergisinde yazılıdır: 0.05/4*10^-6? Bundan alet hatası nasıl bulunur?

Bu, cihazın maksimum bağıl hatasının (yüzde olarak) şu şekilde olduğu anlamına gelir:
, Nerede
- şarjör direncinin en yüksek değeri ve - dahil edilen direncin nominal değeri.
Çok düşük dirençlerde çalışırken ikinci terimin önemli olduğunu görmek kolaydır.

Daha fazla ayrıntı her zaman cihaz pasaportunda bulunabilir. Pasaportu internette cihazın markasını Google'a yazarak bulabilirsiniz.

Hatalarla ilgili literatür

Bu konuyla ilgili daha fazla bilgiyi birinci sınıf öğrencileri için önerilen kitapta bulabilirsiniz:
V.V. Svetozarov "Ölçüm sonuçlarının temel işlenmesi"

Ek (birinci sınıf öğrencileri için ek) literatür olarak şunları önerebiliriz:
V.V. Svetozarov "Ölçüm sonuçlarının istatistiksel işlenmesinin temelleri"

Ve nihayet her şeyi anlamak isteyenler kesinlikle buraya bakmalı:
J. Taylor. "Hata Teorisine Giriş"

Bu harika kitapları bulup sitenizde yayınladığınız için teşekkür ederiz.

Kesin doğa bilimleri ölçümlere dayanır. Ölçüldüğünde büyüklüklerin değerleri, ölçülen miktarın, değeri birim olarak alınan başka bir miktardan kaç kat daha büyük veya daha az olduğunu gösteren sayılar şeklinde ifade edilir. Ölçümler sonucunda elde edilen çeşitli büyüklüklerin sayısal değerleri birbirine bağlı olabilir. Bu miktarlar arasındaki ilişki, bazı miktarların sayısal değerlerinin diğerlerinin sayısal değerlerinden nasıl bulunabileceğini gösteren formüller şeklinde ifade edilir.

Ölçümler sırasında kaçınılmaz olarak hatalar meydana gelir. Ölçümlerden elde edilen sonuçların işlenmesinde kullanılan yöntemlere hakim olmak gerekir. Bu, bir dizi ölçümden gerçeğe en yakın sonuçları nasıl elde edeceğinizi, tutarsızlıkları ve hataları zamanında nasıl fark edeceğinizi, ölçümleri akıllıca nasıl organize edeceğinizi ve elde edilen değerlerin doğruluğunu doğru bir şekilde nasıl değerlendireceğinizi öğrenmenize olanak sağlayacaktır.

Ölçüm, belirli bir miktarın birim olarak alınan başka bir homojen miktarla karşılaştırılmasından oluşuyorsa, bu durumda ölçüme doğrudan denir.

Doğrudan (doğrudan) ölçümler- bunlar, ölçülen büyüklüğün sayısal değerini, bir ölçüyle (standart) doğrudan karşılaştırma yoluyla veya ölçülen büyüklüğün birimlerinde kalibre edilmiş cihazların yardımıyla elde ettiğimiz ölçümlerdir.

Ancak böyle bir karşılaştırma her zaman doğrudan yapılmaz. Çoğu durumda bizi ilgilendiren şey nicelik değil, belirli ilişkiler ve kalıplarla onunla ilişkilendirilen diğer niceliklerdir. Bu durumda, gerekli miktarı ölçmek için, önce değeri istenen miktarın değerini hesaplama yoluyla belirleyen birkaç başka miktarın ölçülmesi gerekir. Bu ölçüme dolaylı denir.

Dolaylı ölçümler niceliksel bir bağımlılıkla belirlenen miktarla ilişkili bir veya daha fazla büyüklüğün doğrudan ölçülmesinden ve bu verilerden belirlenen miktarın hesaplanmasından oluşur.

Ölçümler her zaman, bir değeri kendisiyle ilişkili diğer bir değerle uyumlu hale getiren ve duyularımızın yardımıyla niceliksel değerlendirmeye açık olan ölçüm araçlarını içerir. Örneğin, akımın gücü dereceli bir ölçekte okun sapma açısıyla eşleştirilir. Bu durumda ölçüm sürecinin iki ana koşulunun karşılanması gerekir: sonucun belirsizliği ve tekrarlanabilirliği. bu iki koşul her zaman yalnızca yaklaşık olarak karşılanır. Bu yüzden Ölçüm süreci, istenen değerin bulunmasının yanı sıra, ölçüm yanlışlığının değerlendirilmesini de içerir..

Modern bir mühendis, gerekli güvenilirliği dikkate alarak ölçüm sonuçlarındaki hatayı değerlendirebilmelidir. Bu nedenle ölçüm sonuçlarının işlenmesine çok dikkat edilir. Hataları hesaplamanın temel yöntemlerine aşinalık, laboratuvar atölyesinin ana görevlerinden biridir.

Hatalar neden ortaya çıkıyor?

Ölçüm hatalarının oluşmasının birçok nedeni vardır. Bunlardan bazılarını listeleyelim.

· Cihazın ölçüm nesnesi ile etkileşimi sırasında meydana gelen süreçler, kaçınılmaz olarak ölçülen değeri değiştirir. Örneğin bir parçanın boyutlarının kumpas kullanılarak ölçülmesi parçanın sıkıştırılmasına yani boyutlarının değişmesine neden olur. Bazen cihazın ölçülen değer üzerindeki etkisi nispeten küçük hale getirilebilir, ancak bazen karşılaştırılabilir veya hatta ölçülen değerin kendisini aşar.

· Herhangi bir cihazın, tasarım kusurlarından dolayı, ölçülen değeri kesin olarak belirleme konusunda sınırlı yetenekleri vardır. Örneğin, bir ampermetrenin ibre bloğundaki çeşitli parçalar arasındaki sürtünme, akımda küçük ama sonlu miktardaki bir değişikliğin ibrenin sapma açısında bir değişikliğe neden olmayacağı gerçeğine yol açar.

· Cihaz ile ölçüm nesnesi arasındaki tüm etkileşim süreçlerinde, parametreleri değişebilen ve çoğu zaman öngörülemeyen bir şekilde dış ortam her zaman söz konusudur. Bu, ölçüm koşullarının ve dolayısıyla ölçüm sonucunun tekrarlanabilirliğini sınırlar.

· Alet okumalarını görsel olarak alırken, göz ölçerimizin sınırlı yeteneklerinden dolayı alet okumalarının okunmasında belirsizlikler olabilir.

· Çoğu nicelik, istenen niceliğin aletlerle doğrudan ölçülen diğer niceliklerle ilişkisi hakkındaki bilgimize dayanarak dolaylı olarak belirlenir. Açıkçası, dolaylı ölçümün hatası, tüm doğrudan ölçümlerin hatalarına bağlıdır. Ayrıca ölçülen nesne hakkındaki bilgimizin sınırlı olması, nicelikler arasındaki ilişkilerin matematiksel açıklamasının basitleştirilmesi ve ölçüm sürecinde etkisi önemsiz kabul edilen niceliklerin etkisinin göz ardı edilmesi dolaylı ölçüm hatalarına katkıda bulunur.

Hata sınıflandırması

Hata değeri Belirli bir miktarın ölçümleri genellikle aşağıdakilerle karakterize edilir:

1. Mutlak hata - deneysel olarak bulunan (ölçülen) ile belirli bir miktarın gerçek değeri arasındaki fark

. (1)

Mutlak hata, X'in belirli bir değerini ölçerken ne kadar yanıldığımızı gösterir.

2. Mutlak hatanın ölçülen değer X'in gerçek değerine oranına eşit olan bağıl hata

Göreceli hata, X'in gerçek değerinin ne kadarı kadar yanıldığımızı gösterir.

Kalite Bazı miktarların ölçümlerinin sonuçları göreceli bir hatayla karakterize edilir. Değer yüzde olarak ifade edilebilir.

Formül (1) ve (2)'den, mutlak ve bağıl ölçüm hatalarını bulmak için, ilgilendiğimiz miktarın yalnızca ölçülen değerini değil aynı zamanda gerçek değerini de bilmemiz gerektiği sonucu çıkar. Ancak gerçek değer biliniyorsa ölçüm yapılmasına gerek yoktur. Ölçümlerin amacı her zaman belirli bir miktarın bilinmeyen değerini bulmak ve gerçek değerini olmasa bile en azından ondan çok az farklı olan bir değeri bulmaktır. Bu nedenle hataların büyüklüğünü belirleyen formül (1) ve (2) pratikte uygun değildir. Pratik ölçümlerde hatalar hesaplanmaz, bunun yerine tahmin edilir. Değerlendirmelerde deneysel koşullar, metodolojinin doğruluğu, cihazların kalitesi ve bir dizi başka faktör dikkate alınır. Görevimiz: Deneysel bir metodolojinin nasıl oluşturulacağını öğrenmek ve ölçülen büyüklüklerin gerçek değerlere yeterince yakın değerlerini bulmak ve ölçüm hatalarını makul bir şekilde değerlendirmek için deneyimlerden elde edilen verileri doğru şekilde kullanmak.

Ölçüm hatalarından bahsetmişken öncelikle şunu belirtmeliyiz. büyük hatalar (kaçırılanlar) deneycinin dikkatsizliği veya ekipman arızası nedeniyle ortaya çıkan. Ciddi hatalardan kaçınılmalıdır. Bunların meydana geldiği tespit edilirse ilgili ölçümler atılmalıdır.

Brüt hatalarla ilişkili olmayan deneysel hatalar rastgele ve sistematik olarak ikiye ayrılır.

İlerastgele hatalar. Aynı ölçümleri birçok kez tekrarladığınızda, sonuçların çoğunlukla birbirine tam olarak eşit olmadığını, ancak ortalama bir düzeyde "dans ettiğini" fark edebilirsiniz (Şekil 1). Büyüklüğü ve işareti deneyden deneye değişen hatalara rastgele denir. Rastgele hatalar, duyuların kusurlu olması, rastgele dış faktörler vb. nedeniyle deneyci tarafından istemsiz olarak ortaya çıkar. Her bir ölçümün hatası temelde tahmin edilemezse, o zaman ölçülen miktarın değerini rastgele değiştirirler. Bu hatalar yalnızca istenen miktarın birden fazla ölçümünün istatistiksel olarak işlenmesi yoluyla değerlendirilebilir.

Sistematik hatalar cihaz hatalarıyla (yanlış ölçek, eşit olmayan şekilde esneyen yay, eşit olmayan mikrometre vida adımı, eşit olmayan denge kolları vb.) ve deneyin kendisiyle ilişkili olabilir. Deney sırasında büyüklüklerini (ve işaretlerini!) korurlar. Sistematik hatalar sonucunda rastgele hatalar nedeniyle dağılan deney sonuçları, gerçek değer etrafında değil, belirli bir yanlı değer etrafında dalgalanmaktadır (Şekil 2). İstenilen miktarın her ölçümünün hatası, cihazın özellikleri bilinerek önceden tahmin edilebilir.

Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanması

Sistematik hatalar. Sistematik hatalar doğal olarak ölçülen miktarın değerlerini değiştirir. Aletlerin ölçümlerinde ortaya çıkan hatalar, aletlerin tasarım özellikleriyle ilişkiliyse en kolay şekilde değerlendirilir. Bu hatalar cihazların pasaportlarında belirtilmiştir. Bazı cihazların hataları, veri sayfasına bakılmadan değerlendirilebilir. Birçok elektrikli ölçüm cihazının doğruluk sınıfı doğrudan terazi üzerinde gösterilir.

Cihaz doğruluk sınıfı- bu, cihazın mutlak hatasının, bu cihaz kullanılarak belirlenebilen, ölçülen büyüklüğün maksimum değerine oranıdır (bu, bu cihazın, ölçek derecesinin yüzdesi olarak ifade edilen sistematik bağıl hatasıdır).

.

Daha sonra böyle bir cihazın mutlak hatası şu ilişkiyle belirlenir:

.

Elektrikli ölçüm cihazları için 8 doğruluk sınıfı getirilmiştir: 0,05; 0,1; 0,5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 4.

Ölçülen değer nominal değere ne kadar yakınsa ölçüm sonucu o kadar doğru olacaktır. Belirli bir cihazın sağlayabileceği maksimum doğruluk (yani en küçük bağıl hata), doğruluk sınıfına eşittir. Çok ölçekli aletler kullanılırken bu durum dikkate alınmalıdır. Ölçek, ölçülen değer, ölçek dahilinde kalarak nominal değere mümkün olduğunca yakın olacak şekilde seçilmelidir.

Cihazın doğruluk sınıfı belirtilmemişse aşağıdaki kurallara uyulmalıdır:

· Verniyeli aletlerin mutlak hatası verniyenin doğruluğuna eşittir.

· Ok aralığı sabit olan aletlerin mutlak hatası bölme değerine eşittir.

· Dijital cihazların mutlak hatası minimum bir rakama eşittir.

· Diğer tüm aletler için mutlak hatanın bölme değerinin yarısına eşit olduğu varsayılır.

Rastgele hatalar. Bu hatalar doğası gereği istatistikseldir ve olasılık teorisiyle tanımlanır. Çok fazla sayıda ölçümle, her bir ölçümde şu veya bu sonucun elde edilme olasılığının Gauss normal dağılımı kullanılarak belirlenebileceği tespit edilmiştir. Az sayıda ölçümle, bir veya başka bir ölçüm sonucu elde etme olasılığının matematiksel açıklamasına Öğrenci dağılımı denir (bununla ilgili daha fazla bilgiyi "Fiziksel büyüklüklerin ölçüm hataları" kılavuzunda okuyabilirsiniz).

Ölçülen miktarın gerçek değeri nasıl değerlendirilir?

Belirli bir değeri ölçerken N sonuç aldığımızı varsayalım: . Bir dizi ölçümün aritmetik ortalaması, ölçülen miktarın gerçek değerine çoğu bireysel ölçümden daha yakındır. Belirli bir değerin ölçülmesi sonucunu elde etmek için aşağıdaki algoritma kullanılır.

1). Hesaplanmış aritmetik ortalama N doğrudan ölçüm serisi:

2). Hesaplanmış her ölçümün mutlak rastgele hatası N doğrudan ölçümün aritmetik ortalaması ile bu ölçüm arasındaki farktır:

.

3). Hesaplanmış ortalama kare mutlak hata:

.

4). Hesaplanmış mutlak rastgele hata. Az sayıda ölçümle mutlak rastgele hata, ortalama kare hata ve Öğrenci katsayısı adı verilen belirli bir katsayı aracılığıyla hesaplanabilir:

,

Öğrenci katsayısı, ölçüm sayısına N ve güvenilirlik katsayısına bağlıdır (Tablo 1, Öğrenci katsayısının, sabit bir güvenilirlik katsayısı değerindeki ölçüm sayısına bağımlılığını göstermektedir).

Güvenilirlik faktörüölçülen değerin gerçek değerinin güven aralığına girme olasılığıdır.

Güven aralığı ölçülen büyüklüğün gerçek değerinin belirli bir olasılıkla düştüğü sayısal aralıktır.

Dolayısıyla Öğrenci katsayısı, belirli sayıda ölçüm için sonucun belirtilen güvenilirliğini sağlamak amacıyla ortalama kare hatanın çarpılması gereken sayıdır.

Belirli sayıda ölçüm için gereken güvenilirlik ne kadar yüksek olursa, Öğrenci katsayısı da o kadar büyük olur. Öte yandan, ölçüm sayısı ne kadar fazla olursa, belirli bir güvenirlik için Öğrenci katsayısı o kadar düşük olur. Atölyemizdeki laboratuvar çalışmasında güvenilirliğin verildiğini ve 0,9'a eşit olduğunu varsayacağız. Farklı ölçüm sayıları için bu güvenirliğe ilişkin Öğrenci katsayılarının sayısal değerleri Tablo 1'de verilmiştir.

Tablo 1

5). Hesaplanmış toplam mutlak hata. Herhangi bir ölçümde hem rastgele hem de sistematik hatalar vardır. Toplam (toplam) mutlak ölçüm hatasını hesaplamak kolay bir iş değildir, çünkü bu hatalar farklı niteliktedir.

Mühendislik ölçümleri için sistematik ve rastgele mutlak hataların toplanması mantıklıdır.

.

Hesaplamaların basitliği için, eğer hatalar aynı büyüklük sırasına sahipse, toplam mutlak hatayı, mutlak rastgele ve mutlak sistematik (araçsal) hataların toplamı olarak tahmin etmek ve eğer aynı büyüklükte ise hatalardan birini ihmal etmek gelenekseldir. diğerinden bir kat daha fazla (10 kat) daha az.

6). Hata ve sonuç yuvarlanır. Ölçüm sonucu, değeri toplam mutlak hatayla belirlenen bir değerler aralığı olarak sunulduğundan, sonucun ve hatanın doğru yuvarlanması önemlidir.

Yuvarlama mutlak hatayla başlar!!! Hata değerinde kalan anlamlı rakam sayısı genel olarak güvenirlik katsayısına ve ölçüm sayısına bağlıdır. Bununla birlikte, hatanın kesin değerinin önemli olduğu çok hassas ölçümler için bile (örneğin astronomik) ikiden fazla anlamlı rakam bırakmayın. Hatanın tanımının kendi hatası olduğundan daha fazla sayıda sayının bir anlamı yoktur. Uygulamamız nispeten küçük bir güvenilirlik katsayısına ve az sayıda ölçüme sahiptir. Bu nedenle, yuvarlama sırasında (fazlalık ile) toplam mutlak hata tek bir anlamlı rakama bırakılır.

Mutlak hatanın anlamlı rakamının rakamı, sonuç değerindeki ilk şüpheli rakamın rakamını belirler. Sonuç olarak, sonucun değeri, rakamı hatanın anlamlı rakamının rakamıyla çakışan anlamlı rakama (düzeltilerek) yuvarlanmalıdır. Formüle edilen kural bazı sayıların sıfır olduğu durumlarda da uygulanmalıdır.

Vücut ağırlığı ölçülürken elde edilen sonuç ise 0,900 sayısının sonuna sıfır yazılması gerekir. Kayıt, sonraki önemli rakamlar hakkında hiçbir şeyin bilinmediği anlamına gelirken, ölçümler bunların sıfır olduğunu gösteriyordu.

7). Hesaplanmış bağıl hata.

Göreceli hatayı yuvarlarken iki anlamlı rakam bırakmak yeterlidir.

R Belirli bir fiziksel niceliğin bir dizi ölçümünün sonucu, gerçek değerin bu aralığa düşme olasılığını gösteren bir değer aralığı biçiminde sunulur, yani sonuç şu şekilde yazılmalıdır:

Burada, ilk anlamlı basamağa yuvarlanmış toplam mutlak hata ve halihazırda yuvarlanmış hata dikkate alınarak yuvarlanmış, ölçülen değerin ortalama değeridir. Bir ölçüm sonucunu kaydederken değerin ölçü birimini belirtmelisiniz.

Birkaç örneğe bakalım:

1. Bir parçanın uzunluğunu ölçerken şu sonucu elde ettiğimizi varsayalım: cm ve cm Bir parçanın uzunluğunu ölçmenin sonucu nasıl doğru şekilde yazılır? İlk olarak, mutlak hatayı fazlalıkla yuvarlıyoruz, bir anlamlı basamak bırakıyoruz, bkz. Yüzlerce basamakta hatanın önemli basamağı. Daha sonra düzeltme ile ortalama değeri en yakın yüzde birliğe, yani rakamı hatanın anlamlı rakamının rakamına denk gelen anlamlı rakama yuvarlarız. bkz. Göreli hatayı hesaplama

.

santimetre; ; .

2. İletken direncini hesaplarken aşağıdaki sonucu elde ettiğimizi varsayalım: Ve . İlk olarak, mutlak hatayı yuvarlayarak anlamlı bir rakam bırakıyoruz. Daha sonra ortalamayı en yakın tam sayıya yuvarlıyoruz. Göreceli hatayı hesaplayın

.

Ölçüm sonucunu şu şekilde yazıyoruz:

; ; .

3. Yükün kütlesini hesaplarken aşağıdaki sonucu aldığımızı varsayalım: kg ve kg. İlk olarak, mutlak hatayı yuvarlayarak anlamlı bir rakam bırakıyoruz kilogram. Daha sonra ortalamayı en yakın onluğa yuvarlarız. kilogram. Göreceli hatayı hesaplayın

.

.

Hata teorisine ilişkin sorular ve görevler

1. Fiziksel bir miktarı ölçmek ne anlama gelir? Örnekler verin.

2. Ölçüm hataları neden oluşur?

3. Mutlak hata nedir?

4. Göreceli hata nedir?

5. Hangi hata ölçümün kalitesini karakterize eder? Örnekler verin.

6. Güven aralığı nedir?

7. “Sistematik hata” kavramını tanımlayınız.

8. Sistematik hataların sebepleri nelerdir?

9. Bir ölçüm cihazının doğruluk sınıfı nedir?

10. Çeşitli fiziksel cihazların mutlak hataları nasıl belirlenir?

11. Hangi hatalara rastgele denir ve nasıl ortaya çıkarlar?

12. Ortalama karesel hatanın hesaplanmasına yönelik prosedürü açıklayın.

13. Doğrudan ölçümlerin mutlak rastgele hatasını hesaplama prosedürünü açıklayın.

14. “Güvenilirlik faktörü” nedir?

15. Öğrenci katsayısı hangi parametrelere ve nasıl bağlıdır?

16. Doğrudan ölçümlerin toplam mutlak hatası nasıl hesaplanır?

17. Dolaylı ölçümlerin bağıl ve mutlak hatalarını belirlemek için formüller yazın.

18. Sonucun hatalı bir şekilde yuvarlanmasına ilişkin kuralları formüle edin.

19. Bölme değeri 0,5 cm olan bir şerit metre kullanarak duvarın uzunluğunu ölçerken bağıl hatayı bulun. Ölçülen değer 4,66 m idi.

20. Dikdörtgenin A ve B kenarlarının uzunluğunu ölçerken sırasıyla ΔA ve ΔB mutlak hataları yapıldı. Bu ölçümlerin sonuçlarından alanı belirlerken elde edilen mutlak hatayı ΔS hesaplamak için bir formül yazın.

21. Küp kenar uzunluğu L'nin ölçümünde ΔL hatası vardı. Bu ölçümlerin sonuçlarına göre bir küpün hacminin bağıl hatasını belirleyen bir formül yazın.

22. Durağan halden eşit hızla hareket eden bir cisim. İvmeyi hesaplamak için cismin kat ettiği yolu S ve hareket süresini t ölçtük. Bu doğrudan ölçümlerin mutlak hataları sırasıyla ΔS ve Δt idi. Bu verilerden bağıl ivme hatasını hesaplamak için bir formül türetin.

23. Ölçüm verilerine göre ısıtma cihazının gücü hesaplanırken Pav = 2361.7893735 W ve ΔР = 35.4822 W değerleri elde edildi. Sonucu, gerektiği şekilde yuvarlayarak bir güven aralığı olarak kaydedin.

24. Ölçüm verilerine göre direnç değeri hesaplanırken şu değerler elde edildi: Rav = 123,7893735 Ohm, ΔR = 0,348 Ohm. Sonucu, gerektiği şekilde yuvarlayarak bir güven aralığı olarak kaydedin.

25. Ölçüm verilerine göre sürtünme katsayısı hesaplanırken μav = 0,7823735 ve Δμ = 0,03348 değerleri elde edildi. Sonucu, gerektiği şekilde yuvarlayarak bir güven aralığı olarak kaydedin.

26. Doğruluk sınıfı 1,5 ve ölçek derecesi 50 A olan bir cihaz kullanılarak 16,6 A'lık bir akım belirlendi. Bu ölçümün mutlak aletsel ve göreceli hatalarını bulun.

27. Sarkacın salınım periyodunun 5 ölçümünden oluşan bir seride aşağıdaki değerler elde edildi: 2,12 s, 2,10 s, 2,11 s, 2,14 s, 2,13 s. Bu verilerden periyodu belirlerken mutlak rastgele hatayı bulun.

28. Belirli bir yükseklikten yük düşürme deneyi 6 kez tekrarlandı. Bu durumda yük düşme süresinin şu değerleri elde edildi: 38,0 s, 37,6 s, 37,9 s, 37,4 s, 37,5 s, 37,7 s. Düşme zamanının belirlenmesindeki bağıl hatayı bulun.

Bölme değeri, işaretçinin bir bölüm sapmasına neden olan ölçülen bir değerdir. Bölme değeri, cihazın ölçüm üst sınırının ölçek bölme sayısına oranı olarak belirlenir.

1. Giriş

Kimyagerlerin, fizikçilerin ve diğer doğa bilimleri mesleklerinin temsilcilerinin çalışmaları genellikle çeşitli miktarlarda niceliksel ölçümlerin yapılmasını içerir. Bu durumda, elde edilen değerlerin güvenilirliğinin analiz edilmesi, doğrudan ölçüm sonuçlarının işlenmesi ve doğrudan ölçülen özelliklerin değerlerini kullanan hesaplama hatalarının değerlendirilmesi sorunu ortaya çıkar (ikinci işleme sonuçların işlenmesi de denir). dolaylıölçümler). Bir takım nesnel nedenlerden dolayı, Moskova Devlet Üniversitesi Kimya Fakültesi mezunlarının hataları hesaplama konusundaki bilgisi, elde edilen verilerin doğru işlenmesi için her zaman yeterli değildir. Bu nedenlerden biri fakülte müfredatında ölçüm sonuçlarının istatistiksel olarak işlenmesine ilişkin bir dersin bulunmamasıdır.

Bu noktada hataların hesaplanması konusu elbette detaylı bir şekilde incelenmiştir. Hataların hesaplanmasıyla ilgili bilgi bulabileceğiniz çok sayıda metodolojik gelişme, ders kitabı vb. vardır. Ne yazık ki, bu çalışmaların çoğu ek ve her zaman gerekli olmayan bilgilerle aşırı yüklenmiştir. Özellikle öğrenci atölye çalışmalarının çoğu, örneklerin karşılaştırılması, yakınsamanın değerlendirilmesi vb. eylemleri gerektirmez. Bu nedenle, en sık kullanılan hesaplamalar için algoritmaların ana hatlarını çizen kısa bir geliştirme oluşturmak uygun görünmektedir; bu gelişmenin amacı da budur. adanmıştır.

2. Bu çalışmada benimsenen notasyon

Ölçülen değer, - Ölçülen değerin ortalama değeri, - Ölçülen değerin ortalama değerinin mutlak hatası, - Ölçülen değerin ortalama değerinin bağıl hatası.

3. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanması

Yani, bunların gerçekleştirildiğini varsayalım. N Aynı koşullar altında aynı miktarın ölçülmesi. Bu durumda alınan ölçümlerde bu değerin ortalama değerini hesaplayabilirsiniz:

(1)

Hata nasıl hesaplanır? Aşağıdaki formüle göre:

(2)

Bu formül Öğrenci katsayısını kullanır. Farklı güven olasılıklarındaki değerleri ve değerleri verilmiştir.

3.1. Doğrudan ölçüm hatalarını hesaplamaya bir örnek:

Görev.

Metal çubuğun uzunluğu ölçüldü. 10 ölçüm yapıldı ve şu değerler elde edildi: 10 mm, 11 mm, 12 mm, 13 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm, 10 mm, 10 mm, 11 mm. Ölçülen değerin ortalama değerini (çubuğun uzunluğunu) ve hatasını bulmak gerekir.

Çözüm.

Formül (1)'i kullanarak şunu buluruz:

mm

Şimdi, formül (2)'yi kullanarak, ortalama değerin mutlak hatasını güven olasılığı ve serbestlik derecesi sayısıyla buluyoruz (değeri = 2,262'den alıyoruz):

Sonucu yazalım:

10,8±0,7 0,95 mm

4. Dolaylı ölçüm hatalarının hesaplanması

Deney sırasında miktarların ölçüldüğünü varsayalım. ve daha sonra C Elde edilen değerler kullanılarak değer aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: .

Bu durumda, doğrudan ölçülen büyüklüklerin hataları, paragraf 3'te açıklandığı gibi hesaplanır.

Bir miktarın ortalama değerinin hesaplanması, bağımsız değişkenlerin ortalama değerleri kullanılarak bağımlılığa göre gerçekleştirilir.

,(3)

Hata değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

burada argüman sayısı, fonksiyonun argümanlara göre kısmi türevi, argümanın ortalama değerinin mutlak hatasıdır.

Mutlak hata, doğrudan ölçümlerde olduğu gibi formül kullanılarak hesaplanır.

Görev.

4.1. Doğrudan ölçüm hatalarının hesaplanmasına bir örnek:

5 doğrudan ölçüm yapıldı ve gerçekleştirildi. Değer için şu değerler elde edildi: 50, 51, 52, 50, 47; miktar için şu değerler elde edilmiştir: 500, 510, 476, 354, 520. Formülle belirlenen miktarın değerinin hesaplanması ve elde edilen değerin hatasını bulmak gerekir. 3.1 Aritmetik ortalama hatası.

Ölçümlerdeki büyük hataların ortadan kaldırıldığını ve sistematik hataların, cihazların ve tüm kurulumun dikkatli bir şekilde ayarlanmasıyla en aza indirildiğini ve belirleyici olmadığını varsayarsak, o zaman ölçüm sonuçları esas olarak yalnızca değişken miktarlardaki rastgele hataları içerecektir. Bu nedenle, aynı büyüklüğün birden fazla tekrarlanan ölçümü yapılırsa, ölçülen büyüklüğün en olası değeri aritmetik ortalama değeridir:

Ortalama mutlak hata bireysel ölçümlerin mutlak hata modüllerinin aritmetik ortalaması denir:

Son eşitsizlik genellikle nihai ölçüm sonucu olarak şu şekilde yazılır:

burada mutlak hata a cf bir veya iki anlamlı rakamın doğruluğu ile hesaplanmalıdır (yuvarlatılmalıdır). Mutlak hata, sayının hangi işaretinin yanlışlıklar içerdiğini gösterir, dolayısıyla ifadede Çarşamba Tüm doğru numaraları ve şüpheli bir numarayı bırakıyorlar. Yani ölçülen değerin ortalama değeri ve ortalama hatası aynı rakamın rakamına kadar hesaplanmalıdır. Örneğin: G = (9,78 ± 0,24) m/s2.

Göreceli hata. Mutlak hata, ölçülen değerin en olası değerlerinin aralığını belirler, ancak yapılan ölçümlerin doğruluk derecesini karakterize etmez. Örneğin, birkaç metrelik bir doğrulukla ölçülen yerleşim alanları arasındaki mesafe çok doğru ölçümler olarak sınıflandırılabilirken, bir telin çapının 1 mm'lik bir doğrulukla ölçülmesi çoğu durumda çok yaklaşık bir ölçüm olacaktır.

Alınan ölçümlerin doğruluk derecesi göreceli hata ile karakterize edilir.

Ortalama bağıl hata veya basitçe bağıl ölçüm hatası, ortalama mutlak ölçüm hatasının ölçülen büyüklüğün ortalama değerine oranıdır:

Göreceli hata boyutsuz bir miktardır ve genellikle yüzde olarak ifade edilir.

3.2 Yöntem hatası veya cihaz hatası.Ölçülen değerin aritmetik ortalama değeri gerçeğe yaklaştıkça, ne kadar çok ölçüm yapılırsa, mutlak ölçüm hatası da sayının artmasıyla birlikte ölçüm yöntemi ve kullanılan aletlerin teknik özelliklerine göre belirlenen bir değere yönelir.

Yöntem hatası veya cihaz hatası, cihazın doğruluk sınıfını veya cihazın teknik pasaportundaki, cihazın doğruluk sınıfını veya mutlak veya göreceli ölçüm hatasını gösteren diğer verileri bilerek, tek seferlik bir ölçümden hesaplanabilir.

Doğruluk sınıfı cihaz, cihazın nominal bağıl hatasını, yani ölçülen değer belirli bir cihaz için sınır değere eşit olduğunda bağıl ölçüm hatasını yüzde olarak ifade eder

Cihazın mutlak hatası ölçülen büyüklüğün değerine bağlı değildir.

Cihazın göreceli hatası (tanım gereği):

(10)

buradan, ölçülen büyüklüğün değeri belirli bir cihazın ölçüm sınırına ne kadar yakınsa, göreceli cihaz hatasının o kadar küçük olduğu görülebilir. Bu nedenle ölçülen değer, cihazın tasarlandığı değerin %60-90'ı olacak şekilde cihazların seçilmesi önerilir. Çok aralıklı enstrümanlarla çalışırken okumanın ölçeğin ikinci yarısında yapılmasını da sağlamaya çalışmalısınız.

Doğruluk ve hata sınıfları teknik özelliklere göre belirlenmeyen basit aletlerle (cetvel, beher vb.) çalışırken, doğrudan ölçümlerin mutlak hatası bu aletin bölme değerinin yarısına eşit olarak alınır. (Bölme değeri, cihaz okumaları bir bölme olduğunda ölçülen miktarın değeridir).

Dolaylı ölçümlerde cihaz hatası yaklaşık hesaplama kuralları kullanılarak hesaplanabilir. Dolaylı ölçümlerdeki hatanın hesaplanması iki koşula (varsayımlara) dayanmaktadır:

1. Mutlak ölçüm hataları, ölçülen değerlerle karşılaştırıldığında her zaman çok küçüktür. Bu nedenle, mutlak hatalar (teorik olarak), ölçülen büyüklüklerin sonsuz küçük artışları olarak düşünülebilir ve bunların yerini karşılık gelen diferansiyeller alabilir.

2. Dolaylı olarak belirlenen bir fiziksel nicelik, doğrudan ölçülen bir veya daha fazla niceliğin fonksiyonu ise, o zaman fonksiyonun sonsuz küçük artışlardan kaynaklanan mutlak hatası da sonsuz küçük bir niceliktir.

Bu varsayımlar altında, mutlak ve bağıl hatalar, çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı teorisinden iyi bilinen ifadeler kullanılarak hesaplanabilir:

	(11)
	(12)

Doğrudan ölçümlerdeki mutlak hataların artı veya eksi işareti olabilir, ancak hangisi olduğu bilinmemektedir. Bu nedenle, hataları belirlerken, bireysel büyüklüklerin doğrudan ölçümlerindeki hataların aynı işarete sahip olduğu, yani mutlak hatanın maksimum değere sahip olduğu en olumsuz durum dikkate alınır. Bu nedenle, fonksiyonun artışlarını hesaplarken f(x 1,x 2,…,x n) formül (11) ve (12)'ye göre kısmi artışların mutlak değerde eklenmesi gerekir. Böylece, yaklaşımı kullanarak Dх ben ≈ dx i, ve sonsuz küçük artışlar için (11) ve (12) ifadeleri Evet yazılabilir:

	(13)
	(14)

Burada: A - dolaylı olarak ölçülen, yani bir hesaplama formülüyle belirlenen fiziksel miktar, Evet- ölçümünün mutlak hatası, x 1, x 2,...x n; Dх 1, Dx 2,..., Dх n,- sırasıyla doğrudan ölçümlerin fiziksel büyüklükleri ve bunların mutlak hataları.

Böylece: a) dolaylı ölçüm yönteminin mutlak hatası, ölçüm fonksiyonunun kısmi türevlerinin çarpımlarının mutlak değerlerinin ve doğrudan ölçümlerin karşılık gelen mutlak hatalarının toplamına eşittir; b) Dolaylı ölçüm yönteminin bağıl hatası, hesaplama formülüyle belirlenen ölçüm fonksiyonunun doğal logaritmasından diferansiyel modüllerin toplamına eşittir.

İfadeler (13) ve (14), bir kerelik ölçüme dayalı olarak mutlak ve göreceli hataları hesaplamanıza olanak tanır. Bu formülleri kullanarak hesaplamaları azaltmak için hatalardan birini (mutlak veya göreceli) hesaplamanın ve diğerini aralarındaki basit ilişkiyi kullanarak hesaplamanın yeterli olduğunu unutmayın:

Uygulamada, formül (13) daha sık kullanılır, çünkü hesaplama formülünün logaritması alınırken, çeşitli miktarların ürünleri karşılık gelen toplamlara dönüştürülür ve güç ve üstel fonksiyonlar, farklılaşma sürecini büyük ölçüde basitleştiren ürünlere dönüştürülür. .

Dolaylı ölçüm yönteminin hatasını hesaplamaya ilişkin pratik rehberlik için aşağıdaki kuralı kullanabilirsiniz:

Dolaylı ölçüm yönteminin göreceli hatasını hesaplamak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Doğrudan ölçümlerin mutlak hatalarını (aletsel veya ortalama) belirleyin.

2. Hesaplama (çalışma) formülünün logaritması.

3. Doğrudan ölçümlerin değerlerini bağımsız değişkenler olarak alarak elde edilen ifadenin toplam diferansiyelini bulun.

4. İçlerindeki değişken diferansiyelleri karşılık gelen doğrudan ölçüm hatalarıyla değiştirerek, tüm kısmi diferansiyelleri mutlak değerde toplayın.

Örneğin silindirik bir gövdenin yoğunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

(16)

Nerede m, D, h -Ölçülen miktarlar.

Hataları hesaplamak için bir formül elde edelim.

1. Kullanılan ekipmana bağlı olarak silindirin kütlesini, çapını ve yüksekliğini ölçerken mutlak hataları belirleriz (∆m, ∆D, ∆h sırasıyla).

2. (16) ifadesinin logaritmasını yapalım:

3. Farklılaştırın:

4. Bağımsız değişkenlerin diferansiyelini mutlak hatalarla değiştirerek ve kısmi artış modüllerini toplayarak şunu elde ederiz:

5. Sayısal değerlerin kullanılması m, D, h, D, m, h, sayıyoruz E.

6. Mutlak hatayı hesaplayın

Nerede R formül (16) kullanılarak hesaplanır.

İçi boş bir silindir veya iç çapı olan bir tüp durumunda bunu kendiniz görmenizi öneririz. 1 ve dış çap 2

Birden fazla ölçümün aynı koşullar altında yapılamadığı veya çok zaman aldığı durumlarda, ölçüm yönteminin (doğrudan veya dolaylı) hatasının hesaplanmasına başvurmak gerekir.

Ölçüm hatasını belirlemek temel bir görevse, ölçümler genellikle tekrar tekrar yapılır ve hem aritmetik ortalama hatası hem de yöntem hatası (cihaz hatası) hesaplanır. Nihai sonuç bunların en büyüğünü gösterir.

Hesaplamaların doğruluğu hakkında

Sonuçtaki hata sadece ölçüm yanlışlıkları ile değil aynı zamanda hesaplama yanlışlıkları ile de belirlenir. Hesaplamalar, hataları ölçüm sonucundaki hatadan daha küçük bir büyüklük sırası olacak şekilde yapılmalıdır. Bunu yapmak için yaklaşık sayılarla matematiksel işlemlerin kurallarını hatırlayın.

Ölçüm sonuçları yaklaşık rakamlardır. Yaklaşık bir sayı olarak tüm sayıların doğru olması gerekir. Yaklaşık bir sayının son doğru rakamı, hatanın rakamın bir birimini aşmadığı bir rakam olarak kabul edilir. 1'den 9'a kadar olan tüm rakamlar ve sayının ortasında veya sonunda yer alan 0'a anlamlı denir. 2330 sayısının 4 anlamlı basamağı vardır, ancak 6,1×10 2 sayısının yalnızca iki, 0,0503 sayısının ise üç rakamı vardır, çünkü 5'in solundaki sıfırlar önemsizdir. 2,39 rakamının yazılması ikinci virgülden sonra tüm virgüllerin doğru olduğu, 1,2800 rakamının yazılması ise üçüncü ve dördüncü virgülün de doğru olduğu anlamına gelir. 1,90 sayısının üç anlamlı rakamı var ve bu, ölçüm yaparken sadece birimleri değil aynı zamanda onda biri ve yüzde birleri de hesaba kattığımız anlamına geliyor ve 1,9 sayısının yalnızca iki anlamlı rakamı var ve bu da tam, onda biri ve kesinliği hesaba kattığımız anlamına geliyor sayısı 10 kat daha azdır.

Sayıları yuvarlama kuralları

Yuvarlama sırasında yalnızca doğru işaretler korunur, geri kalanı atılır.

1. Yuvarlama, atılan rakamlardan ilkinin 5'ten küçük olması durumunda rakamların atılmasıyla gerçekleştirilir.

2. Atılan rakamlardan ilki 5'ten büyükse son rakam bir artırılır. Atılacak ilk rakam 5 olduğunda ve ardından sıfırdan farklı bir veya daha fazla rakam geldiğinde son rakam da artırılır.

Örneğin, 35,856'nın farklı yuvarlamaları şöyle olacaktır: 35,9; 36.

3. Atılan rakam 5 ise ve arkasında anlamlı rakam yoksa, en yakın çift sayıya yuvarlama yapılır, yani kalan son rakam çift ise değişmeden kalır, tek ise bir artırılır. .

Örneğin 0,435, 0,44'e yuvarlanır; 0,365'i 0,36'ya yuvarlıyoruz.