Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Ders hedefleri:
- öğrencilere bilinmeyen geometri aksiyomları hakkında bir fikir verin, zaten bildikleri aksiyomları tekrarlayın;
- paralel doğrular aksiyomunu tanıtmak;
- aksiyom ve teoremlerden sonuç kavramını tanıtmak;
- problem çözerken paralel doğrular aksiyomunun ve sonuçlarının nasıl kullanıldığını göstermek;
- Büyük Rus matematikçi N.I.
Teçhizat: bilgisayar, projektör.
DERSİN İLERLEMESİ
1. Önceki ödevleri kontrol etmek
2. Öğrencilerin zaten bildiği planimetri aksiyomlarının tekrarı
Öğretmen:Öklid'in ünlü eseri “Elementler”de (M.Ö. III. Yüzyıl), o dönemde bilinen temel geometrik bilgiler sistematize edilmiştir. Asıl mesele, “İlkeler” de geometrinin inşasına yönelik aksiyomatik bir yaklaşımın geliştirilmiş olmasıdır; bu, ilk önce kanıt gerektirmeyen temel hükümlerin (aksiyomlar) formüle edilmesi ve daha sonra bunlara dayanarak diğerlerinin formüle edilmesinden oluşur. ifadeler (teoremler) akıl yürütme yoluyla kanıtlanır. Öklid'in öne sürdüğü aksiyomlardan bazıları halen geometri derslerinde kullanılmaktadır.
“Aksiyom” kelimesinin kendisi de Yunanca “değerli, layık” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelmektedir. Geometri dersimizde benimsenen planimetri aksiyomlarının tam listesi ders kitabının sonundaki ekler kısmında 344-348. sayfalarda verilmiştir. Bu aksiyomları evde kendiniz değerlendireceksiniz.
Bu aksiyomlardan bazılarını zaten ele aldık. Bu aksiyomları hatırlayın ve formüle edin.
Öğrenciler:
1) Aynı doğru üzerinde olmayan en az üç nokta vardır.
2) Düz bir çizgi herhangi iki noktadan geçer ve yalnızca bir noktadan geçer.
3) Düz bir çizgi üzerindeki üç noktadan yalnızca biri diğer ikisinin arasında yer alır.
4) Bir doğrunun her O noktası onu iki parçaya (iki ışına) böler, böylece aynı ışının herhangi iki noktası O noktasının aynı tarafında bulunur ve farklı ışınların herhangi iki noktası O noktasının karşıt taraflarında yer alır.
5) Her a doğrusu, düzlemi iki parçaya (iki yarım düzlem) böler; öyle ki, aynı yarım düzlemin herhangi iki noktası, a çizgisinin aynı tarafında yer alır ve farklı yarım düzlemlerin herhangi iki noktası karşıt taraflarda yer alır. a hattının.
6) Üst üste binme sırasında iki bölümün uçları birleştirilirse, bölümlerin kendileri birleştirilir.
7) Herhangi bir ışın üzerinde, başlangıcından itibaren, verilene eşit bir parçayı ve dahası yalnızca bir parçayı bırakabilirsiniz.
8) Herhangi bir ışından belirli bir yarım düzleme, belirli bir gelişmemiş açıya eşit, üstelik yalnızca bir açıya eşit bir açı çizmek mümkündür.
Öğretmen: Düzlemde hangi doğrulara paralel denir?
Öğrenciler: Bir düzlemdeki iki doğru kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır.
Öğretmen: Doğruların paralellik işaretlerini formüle edin.
Öğrenciler:
1) İki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde, uzanma açıları eşitse, o zaman düz çizgiler paraleldir.
2) İki doğru bir çaprazla kesiştiğinde karşılık gelen açılar eşitse çizgiler paraleldir.
3) İki düz çizgi bir çapraz çizgiyle kesiştiğinde tek taraflı açıların toplamı 180˚ ise düz çizgiler paraleldir.
3. Yeni konu. Paralel çizgiler aksiyomu
Öğretmen: Sorunu çözelim: "A doğrusu üzerinde olmayan bir M noktasından a doğrusuna paralel bir doğru çizelim."
Sorunun çözümüne yönelik plan tüm sınıf tarafından tartışılır. Öğrencilerden biri çözümü (defterlerine yazmadan) tahtaya yazar.
Öğretmen:Şu soru ortaya çıkıyor: M noktasından a çizgisine paralel başka bir çizgi çizmek mümkün mü?
Bu sorunun uzun bir geçmişi var. Öklid'in Elemanları beşinci önermeyi içerir: “Ve eğer iki düz çizgiye düşen düz bir çizgi, bir tarafta iki dik açıdan daha küçük iç açılar oluşturuyorsa, o zaman bu düz çizgilerin uzantıları, açıların daha küçük olduğu tarafta süresiz olarak buluşacaktır. iki dik açıdan daha.” MS 5. yüzyılda Proclus Öklid'in varsayımını daha basit ve daha net bir şekilde yeniden formüle etti: "Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan yalnızca bir çizgi geçer." Bu paralel doğruların aksiyomudur. Buradan, yukarıda ele alınan problemin benzersiz bir çözümü olduğu açıktır.
Pek çok matematikçi, formülasyonu bir teoremi anımsattığı için beşinci postülayı kanıtlamaya çalıştı. Tüm bu girişimler her seferinde başarısızlıkla sonuçlandı. Ve sadece 19. yüzyılda. sonunda Öklid'in beşinci önermesinin kanıtlanamayacağı açıklığa kavuşturuldu; bu önermenin kendisinin bir aksiyom olduğu ortaya çıktı.
Büyük Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1792-1856) bu sorunun çözümünde büyük rol oynadı.
4. N.I. Lobachevsky hakkında bir sunum izleyin.
5. Öğrenilenlerin pekiştirilmesi. Sorun çözme
∆ABC veriliyor. C köşesinden AB kenarına paralel kaç doğru çizilebilir?
Çözüm.
Paralel doğrular aksiyomuna göre çizilebilecek tek bir doğru vardır.
P doğrusu üzerinde olmayan bir noktadan geçen dört düz çizgi çiziliyor. Bu doğrulardan kaç tanesi p doğrusuyla kesişiyor? Olası tüm durumları göz önünde bulundurun.
Çözüm.
3 düz 4 düz
Cevap: 3 veya 4 düz.
Paralel doğrular aksiyomunun sonuçları.
Doğrudan aksiyomlardan veya teoremlerden türetilen ifadelere sonuç denir. Paralel doğrular aksiyomunun sonuçlarını ele alalım.
Sonuç 1˚. Bir doğru iki paralel doğrudan birini keserse diğerini de keser.
Sonuç 2˚. Eğer iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. (Öğrencilerden bunu kendilerinin kanıtlamaları istenir).
Çizim aynı.
Verilen: bir || b, c || B
Kanıtlamak: bir || İle
Kanıt o (“çelişkili” yöntem):
a ve c doğruları paralel olmasın. Daha sonra bir M noktasında kesişirler. B düz çizgisine paralel iki farklı düz çizgi (a ve c) M noktasından geçer. Bu paralel aksiyomla çelişiyor. Bu, varsayımımızın doğru olmadığı anlamına gelir. Ama şu bir gerçek ki || İle. Vesaire.
Paralel doğrular aksiyomunun ikinci sonucu, aslında bir düzlem üzerindeki doğruların paralelliğinin bir başka işaretidir.
Sorun çözme: 217 (sözlü), 218 (sözlü), 198, 200, 213.
№ 217 (ağızdan)
A ve b doğruları c doğrusuna paraleldir. A doğrusuyla kesişen herhangi bir doğrunun b doğrusuyla da kesiştiğini kanıtlayın.
Çözüm.
Eğer bir || b ve b || c, ardından a || s (sonuç 2˚).
Rastgele bir doğru d ∩ a ise d ∩ b (Sonuç 1˚) olur.
№ 218 (ağızdan)
A ve b doğruları kesişiyor. A doğrusuyla kesişen ve b doğrusuna paralel olan bir doğru çizilebilir mi? Cevabınızı gerekçelendirin.
Çözüm.
a doğrusu üzerinde A b noktasını alalım. A noktasından b çizgisine paralel yalnızca bir doğru vardır (paralel aksiyom). Oluşturulan doğru, a doğrusuyla kesişecektir, çünkü onunla ortak bir A noktası vardır.
a ve b doğruları p doğrusuna diktir, c doğrusu a doğrusuyla kesişir. C doğrusu b doğrusuyla kesişiyor mu?
Verilen:ар, br, с ∩ а
Bulmak: c, b doğrusuyla kesişiyor mu?
Çözüm: ap ve bp ise a || b (teorem).
Eğer c ∩ a ve a || b, sonra c ∩ b (Sonuç 1˚).
Cevap: c ∩ b.
Ders kitabındaki resimde AD || p ve PQ || M.Ö. p doğrusunun AB, AE, AC, BC, PQ doğrularıyla kesiştiğini kanıtlayın.
Ders kitabı resminde CE = ED, BE = EF ve KE = AD bulunmaktadır. KE || olduğunu kanıtlayın Güneş.
6. Özetleme
1) Öklid'in temel değeri nedir?
2) Aksiyom ne denir?
3) Hangi aksiyomları biliyoruz?
4) Hangi Rus bilim adamı Öklid dışı geometrinin tutarlı bir teorisini geliştirdi?
5) Kelimenin matematiksel anlamında sonuç olarak adlandırılan şey nedir?
6) Bugün hangi sonuçları öğrendik?
7. Ödev:
§2, paragraf 27, 28, geometri aksiyomlarına ilişkin ek s. 344-348, sorular 7-11 s. 68, No. 199, 214.
Sayı 199: p doğrusu ABC üçgeninin AB kenarına paraleldir. BC ve AC doğrularının r doğrusuyla kesiştiğini kanıtlayın.
Sayı 214: ABC üçgeninin AD açıortayının ortasından geçen ve AD'ye dik olan bir doğru AC kenarını M noktasında kesiyor. MD¦AB olduğunu kanıtlayın.
Edebiyat:
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri, 7-9: Eğitim kurumları için ders kitabı. − M.: Eğitim, 2003.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I. 7, 8, 9. sınıflarda geometri eğitimi: Ders kitabı için metodolojik öneriler. Öğretmenler için kitap. − M.: Eğitim, 2003.
- Dorofeeva A.V. Matematik derslerinde tarihin sayfaları: Öğretmenler için bir kitap. − M.: Eğitim, 2007.
- Vikipedi.
“Paralel çizgiler aksiyomu” video dersi, önemli bir geometri aksiyomunun - geometrik problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılan paralel çizgiler aksiyomu, özellikleri, bu aksiyomun sonuçları - ayrıntılı bir şekilde ele alınmasını içerir. Bu video dersinin amacı aksiyomu ve sonuçlarını ezberlemeyi kolaylaştırmak, özellikleri ve problem çözmede uygulanması hakkında fikir oluşturmaktır.
Materyali video dersi şeklinde sunmak öğretmen için yeni fırsatlar açar. Standart bir eğitim materyali bloğunun öğrencilere teslimi otomatiktir. Aynı zamanda, tahta üzerinde gerçekleştirilen yapıları gerçeğe yaklaştıran görsel temsil ve animasyon efektleriyle zenginleştirildiği için malzemenin sunum kalitesi de artıyor. Tarihsel bilgiler çizim ve fotoğraflarla sunularak çalışılan konuya ilgi uyandırılır. Video aynı zamanda öğretmene öğretim sırasında bireysel çalışmayı derinleştirme konusunda da zaman tanır.
Öncelikle bu videoda konunun adı gösteriliyor. Bir aksiyomun dikkate alınması, modelinin oluşturulmasıyla başlar. Ekranda bir a çizgisi ve onun dışında uzanan bir M noktası gösteriliyor. Daha sonra, verilen bir M noktasından bu çizgiye paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğu ifadesinin kanıtını açıklayacağız. M noktasında a doğrusuna dik olarak bir c doğrusu, sonra c doğrusuna dik olarak b doğrusu çizilir. Üçüncüye dik iki doğrunun paralelliğiyle ilgili ifadeye dayanarak, b çizgisinin orijinal a çizgisine paralel olduğunu görüyoruz. Bunu dikkate alarak M noktasında buna paralel bir düz çizgi çizildiğini belirtiyoruz. Ancak yine de M'den başka bir paralel çizgi çizmenin mümkün olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Ekran, b düz çizgisinin M noktasındaki herhangi bir dönüşünün, a düz çizgisiyle kesişecek bir düz çizginin oluşturulmasına yol açacağını gösterir. Ancak başka bir düz çizgi çizmenin imkansızlığını kanıtlamak mümkün müdür?
Buna paralel başka bir çizgi çizmenin imkansızlığını kanıtlama sorununun uzun bir geçmişi var. Öğrencilere konunun tarihine kısa bir gezi sunulur. Öklid'in "Elementler" adlı eserinde bu ifadenin beşinci aksiyom şeklinde verildiği dikkat çekmektedir. Bilim adamlarının bu ifadeyi kanıtlama girişimleri başarısız oldu. Yüzyıllardır matematikçiler bu problemle ilgileniyorlar. Ancak ancak geçen yüzyılda bu ifadenin Öklid geometrisinde kanıtlanamaz olduğu nihayet kanıtlandı. Bu bir aksiyomdur. Öğrenciler matematik bilimine önemli katkılarda bulunan ünlü matematikçilerden biri olan Nikolai Ivanovich Lobachevsky ile tanıştırılır. Sorunun nihai çözümünde önemli rol oynayan oydu. Dolayısıyla bu derste ele alınan ifade, diğer aksiyomlarla birlikte bilimin temelinde yatan bir aksiyomdur.
Daha sonra, bu aksiyomun sonuçlarını düşünmeyi öneriyoruz. Bunun için “sonuç” kavramının açıklığa kavuşturulması gerekmektedir. Ekran, doğrudan teoremlerden veya aksiyomlardan türetilen ifadeler olarak sonuçların tanımını görüntüler. Bu tanımı öğrencilere not defterlerine yazmaları önerilebilir. Sonuç kavramı, 18. video dersi "İkizkenar üçgenin özellikleri"nde daha önce tartışılan bir örnek kullanılarak gösterilmiştir. Ekranda ikizkenar üçgenin özelliklerine ilişkin bir teorem görüntülenir. Bu teoremin kanıtlanmasından sonra bundan daha az önemli sonuçların dikkate alınmadığı hatırlanmalıdır. Yani, eğer ana teorem bir ikizkenar üçgenin açıortayının bir kenarortay ve bir yükseklik olduğunu belirtiyorsa, bu durumda, bir ikizkenar üçgenin yüksekliğinin bir açıortay ve kenarortay olduğunu ve ayrıca bir üçgenin ortancasını belirten sonuçlar da benzer bir içeriğe sahipti. İkizkenar üçgen hem açı hem de yüksekliktir.
Sonuç kavramını açıklığa kavuşturduktan sonra, bu paralel çizgiler aksiyomundan kaynaklanan sonuçları doğrudan ele alıyoruz. Ekranda aksiyomun ilk sonucunun metni görüntülenir; bu metin, bir çizginin paralel çizgilerden biriyle kesişmesinin, onun ikinci paralel çizgiyle kesişmesi anlamına geldiğini belirtir. Sonuç metninin altındaki şekil bir düz çizgi b'yi ve paralel bir düz çizgi a'yı göstermektedir. İkinci doğru, c doğrusu ile a doğrusuna ait olan M noktasında kesişiyor. C doğrusu aynı zamanda b doğrusuyla da kesişecektir ifadesinin ispatı verilmiştir. Kanıt, paralel doğrular aksiyomu kullanılarak çelişki yoluyla yapılır. C çizgisinin b ile kesişmediğini varsayarsak, bu, bu noktadan belirtilen çizgiye paralel başka bir çizgi çizebileceğimiz anlamına gelir. Ancak paralel çizgiler aksiyomu göz önüne alındığında bu imkansızdır. Bu nedenle c aynı zamanda b doğrusuyla da kesişir. Soruşturma kanıtlandı.
Daha sonra bu aksiyomun ikinci sonucunu ele alacağız. Ekranda, iki çizginin üçüncüye paralel olması durumunda bunların birbirine paralel olduğunu iddia edebileceğimizi belirten bir sonucun metni görüntülenir. Bu ifadeyi gösteren şekilde a, b, c düz çizgileri çizilmiştir. Bu durumda, her iki çizgiye paralel olan c çizgisi mavi renkle vurgulanır. Bu ifadenin kanıtlanması önerilmektedir. İspat sırasında c doğrusuna paralel a ve b doğrularının birbirine paralel olmadığı varsayılır. Bu onların bir kesişme noktasına sahip oldukları anlamına gelir. Bu, M noktasından geçen her iki doğrunun da buna paralel olduğu anlamına gelir; bu da paralel doğrular aksiyomuyla çelişir. Bu sonuç doğrudur.
“Paralel Doğrular Aksiyomu” video dersi, öğretmenin öğrencilere aksiyomun özelliklerini, sonuçlarının kanıtını açıklamasını kolaylaştırabilir ve öğrencilerin normal bir derste materyali ezberlemesini kolaylaştırabilir. Ayrıca bu video materyali uzaktan eğitim için kullanılabilir ve kendi kendine çalışma için tavsiye edilir.
7. sınıf öğrencisi "G" MBOU "OK "Lyceum No. 3" Gavrilov Dmitry tarafından tamamlandı
Aksiyom
Yunanca “değerli, layık” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelir. Anında ikna edici olması nedeniyle mantıksal kanıt olmaksızın kabul edilen bir konum, teorinin gerçek başlangıç noktasıdır. (Sovyet ansiklopedik sözlüğü)
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Paralel çizgiler aksiyomu 7. sınıf "G" MBOU "OK "Lyceum No. 3" öğrencisi tarafından tamamlandı Gavrilov Dmitry 2015-2016 akademik yılı (öğretmen Konareva T.N.)
Bilinen tanımlar ve gerçekler. Cümleyi tamamla. 1. Doğru x'e, a ve b doğrularına göre enine denir, eğer... 2. İki düz çizgi kesiştiğinde, bir çapraz oluşur... gelişmemiş açılar. 3. AB ve CD doğruları B D doğrusu ile kesişiyorsa, BD doğrusuna... denir... 4. B ve D noktaları AC kesenine göre farklı yarım düzlemlerde yer alıyorsa, BAC ve DCA açılarına... denir. 5. B ve D noktaları AC kesenine göre aynı yarım düzlemde bulunuyorsa, BAC ve DCA açılarına denir... 6. Bir çiftin iç açıları eşitse diğer çiftin iç açıları denir. eşittir... D C A C B D A B
Görev kontrol ediliyor. 1. ...eğer onları iki noktada kesiyorsa 2,8 3. ... sekant 4. ... çapraz yatıyor 5. ... tek taraflı 6. ... eşit
Eşleşme a) a b m 1) a | | b, iç çapraz açılar eşit olduğundan b) 2) a | | b, karşılık gelen açılar eşit olduğundan c) a b 3) a | | b, tek taraflı iç açıların toplamı 180° 50° 130° 45° 45° m a b m a 150° 150° olduğundan
Geometri aksiyomları hakkında
Aksiyom Yunanca'da "değerli, değerli" anlamına gelen "axios" kelimesinden gelir. Anında ikna edici olması nedeniyle mantıksal kanıt olmaksızın kabul edilen bir konum, teorinin gerçek başlangıç konumudur. Sovyet ansiklopedik sözlüğü
Bir düz çizgi herhangi iki noktadan geçer ve bir düzlem üzerinde yer alan herhangi iki noktadan yalnızca bir tane düz çizgi çizilebilir?
Herhangi bir ışın üzerinde, başlangıcından itibaren, verilene eşit bir bölüm bırakılabilir ve dahası, ışının başlangıcından itibaren belirli bir uzunlukta kaç bölüm bırakılabilir?
Belirli bir yöndeki herhangi bir ışından, belirli bir gelişmemiş açıya eşit bir açı çizmek mümkündür ve belirli bir ışından belirli bir yarı düzleme, belirli bir açıya eşit kaç açı çizilebilir?
aksiyomlar teoremler mantıksal akıl yürütme ünlü makale “Principia” Öklid geometrisi Geometrinin mantıksal yapısı
Paralel çizgiler aksiyomu
M a M noktasından a c b a ┴ c b ┴ c a II c çizgisine paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayalım.
M noktasından a çizgisine paralel başka bir çizgi çizmek mümkün müdür? a M in 1 Bunu kanıtlamak mümkün mü?
Antik çağlardan beri pek çok matematikçi bu ifadeyi kanıtlamaya çalışmıştır ve Öklid'in Elementler kitabında bu ifadeye beşinci postülat adı verilmektedir. Öklid'in beşinci varsayımını kanıtlama girişimleri başarısız oldu ve ancak 19. yüzyılda, belirli bir noktadan belirli bir çizgiye paralel geçen bir çizginin benzersizliği hakkındaki ifadenin Öklid'in geri kalan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağı nihayet açıklığa kavuşturuldu. , ancak kendisi bir aksiyomdur. Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski bu sorunun çözümünde büyük rol oynadı.
Öklid'in beşinci varsayımı 1792-1856 Nikolai İvanoviç
"Belirli bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir doğru geçer." "Belirli bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel bir doğru çizilebilir." Bu ifadelerden hangisi bir aksiyomdur? Yukarıdaki ifadeler nasıl farklıdır?
Belirli bir doğrunun üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru geçer. Aksiyomlardan veya teoremlerden türetilen ifadelere sonuç denir. Sonuç 1. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse, diğerini de keser. a II b , c b ⇒ c a Paralellik aksiyomu ve sonuçları. a A Sonuç 2. Eğer iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. a II c, b II c a II b a b c c b
Bilginin pekiştirilmesi. Test Doğru ifadeleri “+” işaretiyle, hatalı ifadeleri “-” işaretiyle işaretleyin. Seçenek 1 1. Aksiyom, geometrik şekillerin özellikleri hakkında kanıt gerektiren matematiksel bir ifadedir. 2. Herhangi iki noktadan geçen bir doğru vardır. 3. Herhangi bir ışın üzerinde, başlangıçtan itibaren, verilene eşit ve istediğiniz sayıda parça çizebilirsiniz. 4. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan, verilen doğruya paralel olan sadece bir doğru geçer. 5. Eğer iki doğru üçüncüye paralelse birbirlerine paraleldirler. Seçenek 2 1. Aksiyom, geometrik şekillerin özellikleri hakkında kanıt olmadan kabul edilen matematiksel bir ifadedir. 2. Düz bir çizgi herhangi iki noktadan ve yalnızca bir noktadan geçer. 3. Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan sadece o doğruya paralel iki doğru geçmektedir. 4. Bir doğru iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa, diğer doğruya diktir. 5. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse diğerini de keser.
Test cevapları Seçenek 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” Seçenek 2 “+” “+” “-” “-” “+”
“Geometri macerayla doludur çünkü her problemin arkasında bir düşünce serüveni yatar. Bir problemi çözmek, bir macera yaşamak anlamına geliyor.” (V.Proizvolov)
Geometrik şekillerin özelliklerini inceleyerek bir takım teoremleri kanıtladık. Bunu yaparken kural olarak daha önce kanıtlanmış teoremlere dayandık. Geometrinin ilk teoremlerinin dayandığı deliller nelerdir? Bu sorunun cevabı şudur: Geometrik şekillerin özelliklerine ilişkin bazı ifadeler başlangıç noktası olarak kabul edilir, diğer teoremler bunlara dayanarak kanıtlanır ve genel olarak tüm geometri inşa edilir. Bu tür başlangıç konumlarına denir aksiyomlar.
Bazı aksiyomlar ilk bölümde formüle edilmişti (her ne kadar orada aksiyom olarak adlandırılmamış olsalar da). Örneğin, bu bir aksiyomdur
Özellikle vurgulanmasa da diğer birçok aksiyom aslında akıl yürütmemizde kullanıldı. Böylece, bir segmenti diğerinin üzerine yerleştirerek iki segmenti karşılaştırdık. Böyle bir örtüşmenin olasılığı aşağıdaki aksiyomdan kaynaklanmaktadır:
İki açının karşılaştırılması benzer bir aksiyoma dayanmaktadır:
Bütün bu aksiyomlar açıkça ortadadır ve şüphe götürmez. “Aksiyom” kelimesinin kendisi de Yunanca “değerli, layık” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelmektedir. Ders kitabının sonunda geometri dersimizde benimsenen planimetri aksiyomlarının tam bir listesini sunuyoruz.
İlk konumlar - aksiyomlar - ilk kez formüle edildiğinde ve daha sonra diğer ifadeler mantıksal akıl yürütme yoluyla temellerine göre kanıtlandığında, geometrinin inşasına yönelik bu yaklaşım, eski zamanlarda ortaya çıkmış ve eski Yunanlıların ünlü "İlkeler" eserinde ana hatlarıyla belirtilmiştir. bilim adamı Öklid. Öklid'in aksiyomlarından bazıları (bazılarına varsayımlar) ve artık geometri derslerinde kullanılmaktadır ve “İlkeler”de sunulan geometrinin kendisine denir. Öklid geometrisi. Bir sonraki paragrafta geometrinin en ünlü aksiyomlarından biriyle tanışacağız.
Paralel çizgiler aksiyomu
Rastgele bir düz çizgi a ve onun üzerinde yer almayan bir M noktası düşünün (Şekil 110, a). M noktasından a çizgisine paralel bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için, M noktasından geçen iki düz çizgi çizin: ilk olarak a düz çizgisine dik olan c düz çizgisi ve ardından c düz çizgisine dik olan b düz çizgisi (Şekil 110, (b). A ve b düz çizgileri birbirine dik olduğundan c düz çizgisi paraleldir.
Pirinç. 110
Yani M noktasından a doğrusuna paralel bir b doğrusu geçiyor. Şu soru ortaya çıkıyor: M noktasından a düz çizgisine paralel başka bir çizgi çizmek mümkün mü?
Bize öyle geliyor ki, b düz çizgisi M noktası etrafında çok küçük bir açıyla bile "döndürülürse", o zaman a düz çizgisiyle kesişecektir (Şekil 110.6'da b" doğrusu). Başka bir deyişle, bize öyle geliyor ki M noktasından geçen (b'den farklı), a doğrusuna paralel başka bir düz çizgi çizmek imkansızdır. Bu ifadeyi kanıtlamak mümkün mü?
Bu sorunun uzun bir geçmişi var. Öklid'in "Elementler"i bir postüla (Euclid'in beşinci postülası) içerir; bundan, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilene paralel yalnızca bir düz çizginin çizilebileceği sonucu çıkar. Pek çok matematikçi, eski çağlardan başlayarak, Öklid'in beşinci önermesini kanıtlamaya, yani onu diğer aksiyomlardan çıkarmaya çalışmıştır. Ancak bu girişimler her seferinde başarısızlıkla sonuçlandı. Ve ancak geçen yüzyılda, belirli bir noktadan belirli bir çizgiye paralel geçen bir çizginin benzersizliği hakkındaki ifadenin Öklid'in geri kalan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağı, ancak kendisinin bir aksiyom olduğu nihayet açıklığa kavuşturuldu.
Büyük Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1792-1856) bu zor sorunun çözümünde büyük rol oynadı.
Başka bir başlangıç noktası olarak şunu kabul ediyoruz: paralel çizgiler aksiyomu.
Doğrudan aksiyom veya teoremlerden türetilen ifadelere denir. sonuçlar. Örneğin, 1 ve 2 numaralı ifadeler (bkz. s. 35), ikizkenar üçgenin açıortayına ilişkin teoremin sonuçlarıdır.
Paralel doğrular aksiyomunun bazı sonuçlarını ele alalım.
Aslında, a ve b düz çizgilerinin paralel olmasına ve c düz çizgisinin a düz çizgisiyle M noktasında kesişmesine izin verin (Şekil 111, a). c doğrusunun b doğrusuyla da kesiştiğini ispatlayalım. Eğer c çizgisi b çizgisiyle kesişmeseydi, o zaman b çizgisine paralel iki çizgi (a ve c çizgileri) M noktasından geçerdi (Şekil 111, b). Ancak bu, paralel doğrular aksiyomuyla çelişir ve dolayısıyla c doğrusu b doğrusuyla kesişir.
Pirinç. 111
Aslında, a ve b düz çizgilerinin c düz çizgisine paralel olmasına izin verin (Şekil 112, a). Bir || olduğunu kanıtlayalım. B. A ve b çizgilerinin paralel olmadığını, yani bir M noktasında kesiştiklerini varsayalım (Şekil 112.6). Daha sonra M noktasından c doğrusuna paralel iki doğru geçmektedir (a ve b doğruları).
Pirinç. 112
Ancak bu paralel doğrular aksiyomuyla çelişir. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, yani a ve b doğruları paraleldir.
İki paralel doğru ve bir enine çizginin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler
Her teoremin iki kısmı vardır: durum Ve çözüm. Teoremin koşulu verilendir, sonuç ise kanıtlanması gerekendir.
Örneğin, iki düz çizginin paralelliği için kriteri ifade eden bir teoremi ele alalım: eğer iki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde, yatay açılar eşitse, o zaman düz çizgiler paraleldir.
Bu teoremde koşul, ifadenin ilk kısmıdır: "iki doğru çapraz olarak kesiştiğinde, yatış açıları eşittir" (bu verilmiştir) ve sonuç ise ikinci kısımdır: "doğrular paraleldir" (bunun için gereklidir) kanıtlanması gerekir).
Bu teoremin tersi, koşulun teoremin sonucu olduğu ve sonucun teoremin koşulu olduğu bir teoremdir. Paragraf 25'teki üç teoremin tersi olan teoremleri kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin MN sekantıyla kesişmesine izin verin. Çapraz açıların, örneğin 1 ve 2'nin eşit olduğunu kanıtlayalım (Şekil 113).
Pirinç. 113
1 ve 2 açılarının eşit olmadığını varsayalım. MN ışınından 2 açısına eşit bir PMN açısı çıkaralım, böylece ∠PMN ve ∠2 MR ve b doğrularının MN sekantıyla kesiştiği noktada çapraz açılar olur. Yapı itibarıyla bu çapraz açılar eşittir, dolayısıyla MR || B. M noktasından b düz çizgisine paralel iki düz çizginin (a ve MR düz çizgileri) olduğunu bulduk. Ancak bu paralel doğrular aksiyomuyla çelişir. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu ve ∠1 = ∠2 olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.
Yorum
Bu teoremi ispatlarken, adı verilen bir akıl yürütme yöntemini kullandık. çelişki yoluyla kanıt yoluyla.
A ve b paralel çizgileri bir enine MN ile kesiştiğinde, 1 ve 2 yatma açılarının eşit olmadığını, yani kanıtlanması gerekenin tam tersini varsaydık. Bu varsayıma dayanarak akıl yürütme yoluyla paralel doğrular aksiyomuyla çelişkiye ulaştık. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu ve dolayısıyla ∠1 = ∠2 olduğu anlamına gelir.
Bu akıl yürütme şekli matematikte sıklıkla kullanılır. Bunu daha önce örneğin paragraf 12'de üçte bire dik iki doğrunun kesişmediğini ispatlarken kullanmıştık. Paralel doğrular aksiyomundan 1 0 ve 2 0 sonuçlarını kanıtlamak için paragraf 28'de aynı yöntemi kullandık.
Sonuçlar
Aslında, bir || b, c ⊥ a, yani ∠1 = 90° (Şekil 114). C doğrusu a doğrusuyla kesişiyor, yani b doğrusu da aynı şekilde kesişiyor. Paralel a ve b çizgileri bir enine c ile kesiştiğinde eşit çapraz açılar oluşur: ∠1=∠2. ∠1 = 90° olduğuna göre ∠2 = 90°, yani c ⊥ b, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Pirinç. 114
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin bir c keseniyle kesişmesine izin verin. Karşılık gelen açıların, örneğin 1 ve 2'nin eşit olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 102). || b ise çapraz açılar 1 ve 3 eşittir.
2 ve 3 numaralı açılar dikey olarak eşittir. ∠1 = ∠3 ve ∠2 = ∠3 eşitliklerinden ∠1 = ∠2 sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.
Teorem
Kanıt
A ve b paralel çizgilerinin bir c keseniyle kesişmesine izin verin (bkz. Şekil 102). Örneğin ∠1 + ∠4 = 180° olduğunu kanıtlayalım. || b ise karşılık gelen 1 ve 2 açıları eşittir. 2 ve 4 numaralı açılar bitişiktir, yani ∠2 + ∠4 = 180°. ∠1 = ∠2 ve ∠2 + ∠4 = 180° eşitliklerinden ∠1 + ∠4 = 180° sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı.
Yorum
Belirli bir teorem kanıtlanırsa, bunun tersi ifade takip etmez. Üstelik bunun tersi her zaman doğru değildir. Basit bir örnek verelim. Açıların dikey olması durumunda eşit olduklarını biliyoruz. Bunun tersi olan "eğer açılar eşitse dikeydirler" ifadesi elbette yanlıştır.
Kenarları sırasıyla paralel veya dik olan açılar
Kenarları paralel olan açılarla ilgili teoremi ispatlayalım.
Teorem
Kanıt
∠AOB ve ∠A 1 O 1 B 1 verilen açılar olsun ve OA || Ç 1 A 1 , OB || Yaklaşık 1'de 1. AOB açısı geliştirilirse, A 1 O 1 B 1 açısı da geliştirilir (nedenini açıklayın), yani bu açılar eşittir. ∠AOB gelişmemiş bir açı olsun. AOB ve A 1 O 1 B 1 açılarının olası konumu Şekil 115, a ve b'de gösterilmektedir. O 1 B 1 düz çizgisi O 1 A 1 çizgisiyle kesişir ve bu nedenle ona paralel olan OA çizgisiyle bir M noktasında kesişir. OB ve O 1 B 1 paralel çizgileri OM sekantıyla kesişir, dolayısıyla aşağıdakilerden biri O 1 B 1 ve OA düz çizgilerinin kesişiminde oluşan açılar (Şekil 115'teki açı 1), AOB açısına (çapraz açılar gibi) eşittir. OA ve O 1 A 1 paralel çizgileri O 1 M sekantıyla kesişir, bu nedenle ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Şekil 115, a) veya ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Şek. 115, b). ∠1 = ∠AOB eşitliğinden ve son iki eşitlikten ya ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (bkz. Şekil 115, a) ya da ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° çıkar. (bkz. Şekil 115, b). Teorem kanıtlandı.
Pirinç. 115
Şimdi kenarları birbirine dik olan açılarla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Teorem
Kanıt
∠AOB ve ∠A 1 O 1 B 1'e açılar verilsin, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . AOB açısı ters veya düzse, A 1 O 1 B 1 açısı ters veya düzdür (nedenini açıklayın), yani bu açılar eşittir. ∠AOB olsun< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
İki durum mümkündür (Şekil 116).
1 0. ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0. ∠AOB > 90° (bkz. Şekil 116, b). OS ışınını AOS açısı AOB açısına komşu olacak şekilde çizelim. AOC açısı dardır ve kenarları A 1 O 1 B 1 açısının kenarlarına uygun şekilde diktir. Bu nedenle, ya ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ya da ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . İlk durumda, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, ikinci durumda, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Teorem kanıtlandı.
Görevler
196. Verilen bir ABC üçgeni. C köşesinden AB kenarına paralel kaç doğru çizilebilir?
197. p doğrusu üzerinde olmayan bir noktadan geçen dört düz çizgi çiziliyor. Bu doğrulardan kaç tanesi p doğrusuyla kesişiyor? Olası tüm durumları göz önünde bulundurun.
198. a ve b doğruları p doğrusuna diktir, c doğrusu a doğrusuyla kesişir. C doğrusu b doğrusuyla kesişiyor mu?
199. p doğrusu ABC üçgeninin AB kenarına paraleldir. BC ve AC doğrularının r doğrusuyla kesiştiğini kanıtlayın.
200. Şekil 117'de MS || p ve PQ || Güneş. p doğrusunun AB, AE, AC, BC ve PQ doğrularıyla kesiştiğini kanıtlayın.
Pirinç. 117
201. İki paralel çizgi bir çapraz çizgiyle kesiştiğinde çapraz açıların toplamı 210°'ye eşittir. Bu açıları bulun.
202. Şekil 118'de a, b ve c doğruları d doğrusu ile kesişmektedir, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. a, b ve c doğrularından hangileri paraleldir?
Pirinç. 118
203. Aşağıdaki durumlarda, iki paralel a ve b çizgisi bir c çapraz çizgisiyle kesiştiğinde oluşan tüm açıları bulun:
a) açılardan biri 150°'dir;
b) Açılardan biri diğerinden 70° büyüktür.
204. AB doğru parçasının uçları a ve b paralel çizgileri üzerinde yer alır. Bu doğru parçasının O ortasından geçen düz çizgi a ve b doğrularını C ve D noktalarında keser. CO = OD olduğunu kanıtlayın.
205. Şekil 119'daki verileri kullanarak ∠1'i bulun.
Pirinç. 119
206. ∠ABC = 70° ve ABCD = 110°. AB ve CD'yi yönlendirebilir mi:
a) paralel;
b) kesişiyor mu?
207. Problem 206'daki soruları ∠ABC = 65° ve ∠BCD = 105° ise cevaplayın.
208. İki paralel doğru bir çaprazla kesiştiğinde tek taraflı iki açı arasındaki fark 50°'dir. Bu açıları bulun.
209. Şekil 120'de || b, c || d, ∠4 = 45°. 1, 2 ve 3 açılarını bulun.
Pirinç. 120
210. A ve B bloklarının üzerine atılan bir ipliğin uçlarında iki P 1 ve P 2 gövdesi asılıdır (Şekil 121). Üçüncü cisim P3, C noktasında aynı ipe asılır ve P1 ve P2 cisimlerini dengeler. (Bu durumda, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 olduğunu kanıtlayın.
Pirinç. 121
211. İki paralel çizgi bir çapraz çizgiyle kesişiyor. Aşağıdakileri kanıtlayın: a) Zıt açıların açıortayları paraleldir; b) Tek taraflı açıların açıortayları diktir.
212. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 yüksekliklerini içeren düz çizgiler H noktasında kesişiyor, B açısı geniş, ∠C = 20°. ABB açısını bulun.
Sorunlara cevaplar
196. Tek bir düz çizgi.
197. Üç veya dört.
201. 105°, 105°.
203. b) Dört açı 55°, diğer dört açı ise 125°'dir.
206. a) Evet; B: Evet.
207.a) Hayır; B: Evet.
208. 115° ve 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Talimat. CP 3 kirişinin devamını düşünün.
§ 1 Paralel çizgiler aksiyomu
Hangi ifadelere aksiyom denildiğini öğrenelim, aksiyom örnekleri verelim, paralel doğrular aksiyomunu formüle edelim ve bunun bazı sonuçlarını ele alalım.
Geometrik şekilleri ve özelliklerini incelerken, çeşitli ifadeleri - teoremleri kanıtlama ihtiyacı ortaya çıkar. Bunları ispatlarken genellikle daha önce kanıtlanmış teoremlere dayanırlar. Şu soru ortaya çıkıyor: İlk teoremlerin kanıtları neye dayanıyor? Geometride bazı başlangıç varsayımları kabul edilir ve bunlara dayanarak aşağıdaki teoremler kanıtlanır. Bu tür başlangıç hükümlerine aksiyomlar denir. Aksiyom kanıt olmadan kabul edilir. Aksiyom kelimesi Yunanca “değerli, değerli” anlamına gelen “axios” kelimesinden gelir.
Bazı aksiyomlara zaten aşinayız. Örneğin bir aksiyom şu ifadedir: Herhangi iki noktadan düz bir çizgi geçer ve yalnızca bir tane.
İki doğru parçasını ve iki açıyı karşılaştırırken, bir parçayı diğerinin üzerine, açıyı da diğer açının üzerine bindirdik. Böyle bir dayatmanın olasılığı aşağıdaki aksiyomlardan kaynaklanmaktadır:
· herhangi bir ışın üzerinde, başlangıcından itibaren, verilen parçaya eşit ve yalnızca bir parça çizebilirsiniz;
· belirli bir yöndeki herhangi bir ışından, belirli bir gelişmemiş açıya eşit bir açıyı, üstelik yalnızca bir açıyı erteleyebilirsiniz.
Geometri eski bir bilimdir. Neredeyse iki bin yıl boyunca geometri, eski Yunan bilim adamı Öklid'in ünlü “Elementler” eserine göre incelendi. Öklid önce başlangıç noktalarını - varsayımları formüle etti ve ardından bunlara dayanarak mantıksal akıl yürütme yoluyla diğer ifadeleri kanıtladı. Principia'da sunulan geometriye Öklid geometrisi denir. Bilim adamının el yazmalarında, beşinci postüla adı verilen ve etrafındaki tartışmaların çok uzun süre alevlendiği bir ifade var. Pek çok matematikçi Öklid'in beşinci önermesini kanıtlamaya çalıştı; Bunu diğer aksiyomlardan çıkarıyorsunuz, ancak her seferinde ispatlar eksik kalıyor veya çıkmaza giriyor. Ancak 19. yüzyılda beşinci önermenin Öklid'in geri kalan aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamayacağı ve kendisinin bir aksiyom olduğu nihayet açıklığa kavuşturuldu. Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobaçevski (1792-1856) bu sorunun çözümünde büyük rol oynadı. Yani beşinci postülat paralel doğrular aksiyomudur.
Aksiyom: Belirli bir çizgi üzerinde olmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir doğru geçer.
§ 2 Paralel çizgiler aksiyomunun sonuçları
Doğrudan aksiyomlardan veya teoremlerden türetilen ifadelere sonuç denir. Paralel doğrular aksiyomunun bazı sonuçlarını ele alalım.
Sonuç 1. Bir doğru iki paralel çizgiden birini keserse, diğerini de keser.
Verilen: a ve b doğruları paraleldir, c doğrusu a doğrusuyla A noktasında kesişir.
Kanıtlayın: c doğrusu b doğrusuyla kesişiyor.
Kanıt: Eğer c doğrusu b doğrusuyla kesişmezse, o zaman a ve c iki doğrusu A noktasından b doğrusuna paralel geçerdi. Ancak bu, paralel çizgiler aksiyomuyla çelişir: belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel yalnızca bir çizgi geçer. Bu, c çizgisinin b çizgisiyle kesiştiği anlamına gelir.
Sonuç 2. Eğer iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler.
Verilen: a ve b doğruları c doğrusuna paraleldir. (a||c, b||c)
Kanıt: a doğrusu b doğrusuna paraleldir.
Kanıt: a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. A noktasında kesişiyor. Sonra a ve b iki doğrusu A noktasından c doğrusuna paralel geçiyor. Ancak paralel çizgiler aksiyomuna göre, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen noktaya paralel yalnızca bir düz çizgi geçer. Bu, varsayımımızın yanlış olduğu anlamına gelir, dolayısıyla a ve b doğruları paraleldir.
Kullanılan literatürün listesi:
- Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. genel eğitim için kuruluşlar / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Eğitim, 2013. - 383 s.: hasta.
- Gavrilova N.F. Geometri 7. sınıf ders gelişmeleri. - M.: “VAKO”, 2004, 288 s. - (Okul öğretmenine yardım etmek için).
- Belitskaya O.V. Geometri. 7. sınıf. Bölüm 1. Testler. – Saratov: Lyceum, 2014. – 64 s.
Kullanılan görseller:
