Pay ve bölünen ise paydadır.
Kesir yazmak için önce payı yazın, sonra sayının altına yatay bir çizgi çizin ve paydayı çizginin altına yazın. Pay ve paydayı ayıran yatay çizgiye kesir çizgisi denir. Bazen eğik "/" veya "∕" şeklinde gösterilir. Bu durumda pay satırın soluna, payda ise sağına yazılır. Yani örneğin “üçte iki” kesri 2/3 olarak yazılacaktır. Açıklık sağlamak için, pay genellikle satırın üstüne, payda ise alta yazılır, yani 2/3 yerine şunu bulabilirsiniz: ⅔.
Kesirlerin çarpımını hesaplamak için önce payını bir ile çarpmanız gerekir. kesirler payda farklıdır. Sonucu yeninin payına yazın kesirler. Bundan sonra paydaları çarpın. Yeni alana toplam değeri girin kesirler. Örneğin 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Bir kesri diğerine bölmek için önce birincinin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız gerekir. Aynısını ikinci kesir (bölen) için de yapın. Veya, tüm eylemleri gerçekleştirmeden önce, sizin için daha uygunsa, önce böleni "çevirin": payda payın yerinde olmalıdır. Daha sonra bölenin paydasını bölenin yeni paydasıyla çarpın ve payları çarpın. Örneğin, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Kaynaklar:
- Temel kesir problemleri
Kesirli sayılar, bir miktarın tam değerini farklı şekillerde ifade etmenize olanak tanır. Tam sayılarla yapabildiğiniz matematik işlemlerinin aynısını kesirlerle de yapabilirsiniz: çıkarma, toplama, çarpma ve bölme. Karar vermeyi öğrenmek kesirler, onların bazı özelliklerini hatırlamamız gerekiyor. Bunlar türüne bağlıdır kesirler, bir tamsayı kısmının varlığı, ortak bir payda. Bazı aritmetik işlemler, yürütme sonrasında sonucun kesirli kısmının azaltılmasını gerektirir.
İhtiyacın olacak
- - hesap makinesi
Talimatlar
Rakamlara yakından bakın. Kesirler arasında ondalık sayılar ve düzensiz olanlar varsa, bazen önce ondalık sayılarla işlem yapmak ve sonra bunları düzensiz forma dönüştürmek daha uygundur. Çevirebilir misin? kesirler Bu formda başlangıçta payda virgülden sonraki değer yazılıyor ve paydaya 10 yazılıyor. Gerekirse yukarıdaki ve alttaki sayıları bir bölene bölerek kesri azaltın. Tamsayı kısmı izole edilen kesirler, paydayla çarpılıp payın sonuca eklenmesiyle yanlış forma dönüştürülmelidir. Bu değer yeni pay olacak kesirler. Başlangıçta yanlış olan parçanın tamamını seçmek için kesirler payını paydaya bölmeniz gerekir. Sonucun tamamını yazın kesirler. Ve bölümün geri kalanı yeni pay, payda olacak kesirler değişmez. Tamsayı kısmı olan kesirler için, önce tamsayı, sonra kesirli kısım için ayrı ayrı işlem yapmak mümkündür. Örneğin, 1 2/3 ve 2 ¾'ün toplamı hesaplanabilir:
- Kesirleri yanlış forma dönüştürme:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terimlerin ayrı ayrı tamsayı ve kesirli kısımlarının toplamı:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Bunları “:” ayırıcısını kullanarak yeniden yazın ve normal bölme işlemine devam edin.
Nihai sonucu elde etmek için, pay ve paydayı bu durumda mümkün olan en büyük tam sayıya bölerek elde edilen kesri azaltın. Bu durumda satırın üstünde ve altında tam sayılar bulunmalıdır.
lütfen aklınızda bulundurun
Paydaları farklı olan kesirlerle aritmetik işlem yapmayın. Öyle bir sayı seçin ki, her kesrin payını ve paydasını onunla çarptığınızda her iki kesrin paydaları eşit olur.
Faydalı tavsiyeler
Kesirli sayılar yazarken bölünen kısım çizginin üstüne yazılır. Bu miktar kesrin payı olarak belirlenir. Kesrin böleni veya paydası çizginin altına yazılır. Örneğin bir buçuk kilogram pirincin kesri şu şekilde yazılacaktır: 1 ½ kg pirinç. Bir kesrin paydası 10 ise bu kesre ondalık sayı denir. Bu durumda pay (temettü) tüm kısmın sağına virgülle ayrılarak yazılır: 1,5 kg pirinç. Hesaplama kolaylığı için böyle bir kesir her zaman yanlış biçimde yazılabilir: 1 2/10 kg patates. Basitleştirmek için pay ve payda değerlerini bir tamsayıya bölerek azaltabilirsiniz. Bu örnekte 2'ye bölebilirsiniz. Sonuç 1 1/5 kg patates olacaktır. Aritmetik işlem yapacağınız sayıların aynı formda sunulduğundan emin olun.
Kesirli eylemler.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.
Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.
Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.
Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.
Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Size hatırlatmama izin verin: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.
Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması.
Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:
Kısaca genel anlamda:
Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:
Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.
Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.
Başka bir örnek:
Durum benzer. Burada 16'dan 48'i elde ediyoruz. Basit bir şekilde 3'le çarpıyoruz. Bu çok açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:
Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:
Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!
Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:
Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.
Bu arada, 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...
Örneği kendiniz tamamlayın. Bir tür logaritma değil... 29/16 çıkması lazım.
Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.
Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet...
Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:
Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (bu güzel olurdu!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:
Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki payda x(x+1)'i elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Alacağınız şey bu:
Dikkat etmek! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...
Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:
Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!
Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca ilgilenir, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda ise birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.
Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)
Hesaplamak:
Cevaplar (karışıklık içinde):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Dersimizde “kesirli eylemler”in sıradan kesirli eylemler anlamına geleceğini kabul edelim. Ortak kesir, pay, kesir çizgisi ve payda gibi niteliklere sahip bir kesirdir. Bu, sıradan bir kesiri, paydanın 10'un katına indirgenmesiyle sıradan bir kesirden elde edilen bir ondalık sayıdan ayırır. Ondalık sayı, tüm kısmı kesirden ayıran bir virgülle yazılır. Okul matematik dersinin ilk yarısında işlenen bu konunun temellerini unutmuş öğrenciler için en büyük zorluğu yaratan işlemler olduğundan, sıradan kesirlerle yapılan işlemlerden bahsedeceğiz. Aynı zamanda, yüksek matematikteki ifadeleri dönüştürürken, esas olarak sıradan kesirlerle yapılan işlemler kullanılır. Kesir kısaltmaları tek başına buna değer! Ondalık kesirler herhangi bir özel zorluğa neden olmaz. Öyleyse devam edin!
Eğer iki kesir eşitse denir.
Örneğin, o zamandan beri
Kesirler ve (o zamandan beri) ve (o zamandan beri) de eşittir.
Açıkçası, hem kesirler hem de eşittir. Bu, belirli bir kesirin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılırsa veya bölünürse, verilen kesire eşit bir kesir elde edileceği anlamına gelir: .
Bu özelliğe kesrin temel özelliği denir.
Bir kesrin temel özelliği, kesrin pay ve paydasının işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Bir kesrin pay ve paydası -1 ile çarpılırsa elde edilir. Bu, pay ve paydanın işaretleri aynı anda değiştirilirse kesrin değerinin değişmeyeceği anlamına gelir. Yalnızca payın veya yalnızca paydanın işaretini değiştirirseniz kesrin işareti değişir:
Kesirlerin Azaltılması
Bir kesirin temel özelliğini kullanarak, belirli bir kesri, kendisine eşit olan ancak pay ve paydası daha küçük olan başka bir kesirle değiştirebilirsiniz. Bu ikameye kesir indirgemesi denir.
Örneğin bir kesir verilsin. 36 ve 48 sayılarının en büyük ortak böleni 12'dir.
.
Genel olarak, pay ve payda karşılıklı asal sayılar değilse, bir kesri azaltmak her zaman mümkündür. Pay ve payda aralarında asal sayı ise bu kesre indirgenemez denir.
Yani bir kesri azaltmak, kesrin payını ve paydasını ortak bir faktöre bölmek anlamına gelir. Yukarıdakilerin tümü değişken içeren kesirli ifadeler için de geçerlidir.
Örnek 1. Bir kesri azaltın
Çözüm. Payı çarpanlara ayırmak için önce tek terimliyi sunalım - 5 xy toplam olarak - 2 xy - 3xy, alıyoruz
Paydayı çarpanlara ayırmak için kareler farkı formülünü kullanırız:
Sonuç olarak
.
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
İki kesirli olsun ve . Farklı paydaları vardır: 5 ve 7. Kesirlerin temel özelliğini kullanarak, bu kesirleri kendilerine eşit olan diğer kesirlerle değiştirebilirsiniz ve böylece ortaya çıkan kesirler aynı paydalara sahip olur. Kesrin pay ve paydasını 7 ile çarparsak, şunu elde ederiz:
Kesrin pay ve paydasını 5 ile çarparsak, şunu elde ederiz:
Böylece kesirler ortak bir paydaya indirgenir:
.
Ancak sorunun tek çözümü bu değil: Örneğin bu kesirler ortak paydası olan 70'e de indirgenebilir:
,
ve genel olarak hem 5'e hem de 7'ye bölünebilen herhangi bir paydaya.
Başka bir örneği ele alalım: Kesirleri ortak bir paydaya getirelim. Önceki örnekte olduğu gibi tartışarak şunu elde ederiz:
,
.
Ancak bu durumda kesirleri, bu kesirlerin paydalarının çarpımından daha küçük bir ortak paydaya indirgemek mümkündür. 24 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını bulalım: LCM(24, 30) = 120.
120:4 = 5 olduğundan paydası 120 olan bir kesir yazmak için hem payı hem de paydayı 5 ile çarpmanız gerekir, bu sayıya ek faktör denir. Araç 
.
Daha sonra 120:30=4 elde ederiz. Kesrin payını ve paydasını ek olarak 4 faktörüyle çarparsak, şunu elde ederiz: 
.
Böylece bu kesirler ortak bir paydaya indirgenir.
Bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katı, mümkün olan en küçük ortak paydadır.
Değişkenler içeren kesirli ifadeler için ortak payda, her kesrin paydasına bölünen bir polinomdur.
Örnek 2. Kesirlerin ortak paydasını bulun ve.
Çözüm. Bu kesirlerin ortak paydası bir polinomdur, çünkü her ikisine de bölünebilir. Ancak bu polinom, bu kesirlerin ortak paydası olabilecek tek polinom değildir. Aynı zamanda bir polinom da olabilir 
ve polinom 
ve polinom 
vesaire. Genellikle öyle bir ortak payda alırlar ki, diğer ortak paydalar seçilen paya kalansız olarak bölünür. Bu paydaya en küçük ortak payda denir.
Örneğimizde en küçük ortak payda dır. Kabul edilmiş:
;
.
Kesirleri en küçük ortak paydalarına indirgeyebildik. Bu, ilk kesirin pay ve paydasının ile, ikinci kesrin pay ve paydasının ise ile çarpılmasıyla gerçekleşti. Polinomlara sırasıyla birinci ve ikinci kesirler için ek faktörler denir.
Kesirleri toplama ve çıkarma
Kesirlerin eklenmesi şu şekilde tanımlanır:
.
Örneğin,
.
Eğer B = D, O
.
Bu, paydası aynı olan kesirleri toplamak için payları toplayıp paydayı aynı bırakmanız yeterli olduğu anlamına gelir. Örneğin,
.
Farklı paydalara sahip kesirler eklerseniz, genellikle kesirleri en küçük ortak paydaya indirirsiniz ve ardından payları eklersiniz. Örneğin,
.
Şimdi değişkenlerle kesirli ifadeler ekleme örneğine bakalım.
Örnek 3.İfadeyi bir kesre dönüştürün
.
Çözüm. En küçük ortak paydayı bulalım. Bunu yapmak için öncelikle paydaları çarpanlara ayırıyoruz.
Bu makale hakkındadır ortak kesirler. Burada bir bütünün kesri kavramını tanıtacağız, bu da bizi ortak bir kesrin tanımına götürecektir. Daha sonra sıradan kesirler için kabul edilen gösterim üzerinde duracağız ve kesir örnekleri vereceğiz, diyelim ki bir kesrin payı ve paydası hakkında. Bundan sonra doğru ve yanlış kesirlerin, pozitif ve negatif kesirlerin tanımlarını vereceğiz ve ayrıca kesirli sayıların koordinat ışınındaki konumunu ele alacağız. Sonuç olarak ana işlemleri kesirlerle listeliyoruz.
Sayfada gezinme.
Bütünün payları
İlk önce tanıtıyoruz paylaşma kavramı.
Tamamen aynı (yani eşit) birkaç parçadan oluşan bir nesnemiz olduğunu varsayalım. Netlik sağlamak için, örneğin birkaç eşit parçaya bölünmüş bir elmayı veya birkaç eşit dilimden oluşan bir portakalı hayal edebilirsiniz. Bir cismin bütününü oluşturan bu eşit parçaların her birine ne ad verilir? bütünün parçaları ya da sadece hisseler.
Paylaşımların farklı olduğunu unutmayın. Bunu açıklayalım. İki elmamız olsun. İlk elmayı iki eşit parçaya, ikincisini ise 6 eşit parçaya bölün. Birinci elmanın payının ikinci elmanın payından farklı olacağı açıktır.
Nesnenin tamamını oluşturan paylaşımların sayısına bağlı olarak bu paylaşımların kendi isimleri vardır. Hadi halledelim vuruş isimleri. Bir cisim iki parçadan oluşuyorsa bunlardan herhangi birine bütünün ikinci payı denir; eğer bir nesne üç parçadan oluşuyorsa, bunlardan herhangi birine üçüncü parça denir vb.
Bir saniyelik paylaşımın özel bir adı vardır - yarım. Üçte biri denir üçüncü ve çeyrek kısım - çeyrek.
Kısaltmak adına aşağıdakiler tanıtıldı: sembolleri yenmek. İkinci bir pay veya 1/2, üçüncü bir pay veya 1/3 olarak belirlenir; dörtte bir pay - beğen veya 1/4 vb. Yatay çubuklu gösterimin daha sık kullanıldığını unutmayın. Konuyu pekiştirmek için bir örnek daha verelim: Madde bütünün yüz altmış yedinci parçasını ifade ediyor.
Paylaşım kavramı doğal olarak nesnelerden miktarlara kadar uzanır. Örneğin uzunluk ölçülerinden biri metredir. Bir metreden daha kısa uzunlukları ölçmek için bir metrenin kesirleri kullanılabilir. Yani örneğin yarım metreyi veya metrenin onda birini veya binde birini kullanabilirsiniz. Diğer miktarların payları da benzer şekilde uygulanır.
Ortak kesirler, kesirlerin tanımı ve örnekleri
Kullandığımız hisse sayısını açıklamak için ortak kesirler. Adi kesirlerin tanımına yaklaşmamızı sağlayacak bir örnek verelim.
Portakalın 12 parçadan oluşmasına izin verin. Bu durumda her pay bir tam portakalın on ikide birini temsil eder, yani. İki atım olarak, üç atım olarak ve bu şekilde 12 atım olarak belirtiyoruz. Verilen girdilerin her birine sıradan kesir denir.
Şimdi bir genel bilgi verelim ortak kesirlerin tanımı.
Sıradan kesirlerin sesli tanımı şunu vermemizi sağlar: ortak kesir örnekleri: 5/10, , 21/1, 9/4, . Ve işte kayıtlar 
sıradan kesirlerin belirtilen tanımına uymazlar, yani sıradan kesirler değildirler.
Pay ve payda
Kolaylık sağlamak için sıradan kesirler ayırt edilir pay ve payda.
Tanım.
Pay ortak kesir (m/n) bir m doğal sayısıdır.
Tanım.
Payda ortak kesir (m/n) bir doğal sayıdır n.
Yani pay, kesir çizgisinin üstünde (eğik çizginin solunda) ve payda, kesir çizgisinin altında (eğik çizginin sağında) bulunur. Örneğin 17/29 ortak kesirini ele alalım, bu kesrin payı 17, paydası ise 29 sayısıdır.
Sıradan bir kesirin pay ve paydasında yer alan anlamı tartışmaya devam ediyor. Bir kesrin paydası bir nesnenin kaç parçadan oluştuğunu gösterir ve pay da bu tür payların sayısını gösterir. Örneğin 12/5 kesirinin paydası 5, bir nesnenin beş paydan oluştuğunu, payı 12 ise bu tür 12 payın alındığı anlamına gelir.
Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı
Ortak bir kesrin paydası bire eşit olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğunu yani bir bütünü temsil ettiğini düşünebiliriz. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. Dolayısıyla m/1 formundaki sıradan bir kesir, m doğal sayısı anlamına gelir. m/1=m eşitliğinin geçerliliğini bu şekilde kanıtladık.
Son eşitliği şu şekilde yeniden yazalım: m=m/1. Bu eşitlik herhangi bir m doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmemizi sağlar. Örneğin 4 sayısı 4/1 kesridir ve 103.498 sayısı 103.498/1 kesrine eşittir.
Bu yüzden, herhangi bir m doğal sayısı, m/1 olarak paydası 1 olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve m/1 formundaki herhangi bir sıradan kesir, bir m doğal sayısı ile değiştirilebilir..
Bölme işareti olarak kesir çubuğu
Orijinal nesneyi n pay şeklinde temsil etmek, n eşit parçaya bölmekten başka bir şey değildir. Bir öğe n hisseye bölündükten sonra, onu n kişiye eşit olarak bölebiliriz - her biri bir pay alacaktır.
Başlangıçta her biri n parçaya bölünmüş m adet özdeş nesnemiz varsa, o zaman bu m nesneyi n kişi arasında eşit olarak bölebilir ve her kişiye m nesnenin her birinden bir pay verebiliriz. Bu durumda, her kişi m adet 1/n hisseye sahip olacaktır ve m adet 1/n hisse, m/n ortak kesirini verecektir. Böylece, m/n ortak kesri, m öğenin n kişi arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabilir.
Sıradan kesirler ile bölme arasında açık bir bağlantıyı bu şekilde elde ettik (doğal sayıları bölmenin genel fikrine bakın). Bu bağlantı şu şekilde ifade edilir: kesir çizgisi bir bölme işareti olarak anlaşılabilir, yani m/n=m:n.
Sıradan bir kesir kullanarak, tam bölme işlemi yapılamayan iki doğal sayının bölünmesinin sonucunu yazabilirsiniz. Örneğin 5 elmayı 8 kişiye bölmenin sonucu 5/8 olarak yazılabilir, yani herkes bir elmanın sekizde beşini alacaktır: 5:8 = 5/8.
Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması
Oldukça doğal bir eylem kesirleri karşılaştırmaÇünkü bir portakalın 1/12'sinin 5/12'sinden farklı olduğu ve bir elmanın 1/6'sının bu elmanın diğer 1/6'sıyla aynı olduğu açıktır.
İki sıradan kesirin karşılaştırılması sonucunda şu sonuçlardan biri elde edilir: Kesirler ya eşittir ya da eşit değildir. İlk durumda elimizde eşit ortak kesirler ve ikincisinde – eşit olmayan sıradan kesirler. Eşit ve eşit olmayan sıradan kesirlerin tanımını verelim.
Tanım.
eşit a·d=b·c eşitliği doğruysa.
Tanım.
İki ortak kesir a/b ve c/d eşit değil a·d=b·c eşitliği sağlanmıyorsa.
İşte eşit kesirlerin bazı örnekleri. Örneğin, 1·4=2·2 olduğundan ortak kesir 1/2, 2/4 kesrine eşittir (gerekirse, doğal sayılarla çarpma kurallarına ve örneklerine bakın). Netlik sağlamak için, iki özdeş elmayı hayal edebilirsiniz, birincisi ikiye bölünmüş, ikincisi ise 4 parçaya bölünmüştür. Bir elmanın dörtte ikisinin 1/2 paya eşit olduğu açıktır. Eşit ortak kesirlerin diğer örnekleri 4/7 ve 36/63 kesirleri ve 81/50 ve 1.620/1.000 kesir çiftidir.
Ancak 4/13 ve 5/14 sıradan kesirleri eşit değildir, çünkü 4·14=56 ve 13·5=65, yani 4·14≠13·5. Eşit olmayan ortak kesirlerin diğer örnekleri 17/7 ve 6/4 kesirleridir.
İki ortak kesiri karşılaştırırken eşit olmadıkları ortaya çıkarsa, bu ortak kesirlerden hangisinin olduğunu bulmanız gerekebilir. az farklı ve hangisi - Daha. Bunu bulmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralı kullanılır; bunun özü, karşılaştırılan kesirleri ortak bir paydaya getirmek ve ardından payları karşılaştırmaktır. Bu konuyla ilgili ayrıntılı bilgi kesirlerin karşılaştırılması makalesinde toplanmıştır: kurallar, örnekler, çözümler.
Kesirli sayılar
Her kesir bir gösterimdir kesirli sayı. Yani, kesir, kesirli bir sayının sadece "kabuğudur", görünümüdür ve tüm anlamsal yük kesirli sayıda bulunur. Bununla birlikte, kısalık ve kolaylık sağlamak için kesir ve kesirli sayı kavramları birleştirilir ve basitçe kesir olarak adlandırılır. Burada iyi bilinen bir sözü başka kelimelerle ifade etmek yerinde olacaktır: Kesir diyoruz - kesirli bir sayıyı kastediyoruz, kesirli bir sayı diyoruz - bir kesiri kastediyoruz.
Koordinat ışınındaki kesirler
Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayıların kendine özgü bir yeri vardır, yani kesirler ile koordinat ışınının noktaları arasında bire bir yazışma vardır.
Koordinat ışınında m/n oranına karşılık gelen noktaya ulaşmak için, koordinatların orijininden pozitif yönde, uzunluğu bir birim parçanın 1/n kesri kadar olan m parça ayırmanız gerekir. Bu tür bölümler, bir birim parçayı n eşit parçaya bölerek elde edilebilir; bu her zaman bir pergel ve bir cetvel kullanılarak yapılabilir.
Örneğin koordinat ışınında 14/10 kesrine karşılık gelen M noktasını gösterelim. Uçları O noktasında ve ona en yakın nokta olan küçük çizgi ile işaretlenmiş bir doğru parçasının uzunluğu, bir birim parçanın 1/10'udur. 14/10 koordinatına sahip nokta, başlangıç noktasından bu tür 14 parça uzaklıkta kaldırılır.
Eşit kesirler aynı kesirli sayıya karşılık gelir, yani eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarıdır. Örneğin, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatları, tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınındaki bir noktaya karşılık gelir (bir birim parçanın yarısı kadar bir mesafede bulunur) orijinden pozitif yönde).
Yatay ve sağa yönlendirilmiş bir koordinat ışınında, koordinatı daha büyük olan nokta, koordinatı daha küçük olan noktanın sağında bulunur. Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alır.
Doğru ve yanlış kesirler, tanımlar, örnekler
Sıradan kesirler arasında şunlar vardır: doğru ve yanlış kesirler. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.
Doğru ve yanlış sıradan kesirleri tanımlayalım.
Tanım.
Uygun kesir payı paydasından küçük olan sıradan bir kesirdir; yani m Tanım.
Uygunsuz kesir payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu sıradan bir kesirdir; yani m≥n ise sıradan kesir uygunsuzdur. İşte bazı doğru kesir örnekleri: 1/4, , 32,765/909,003. Aslında, yazılı sıradan kesirlerin her birinde pay, paydadan küçüktür (gerekirse, doğal sayıları karşılaştıran makaleye bakın), dolayısıyla tanım gereği doğrudurlar. İşte uygunsuz kesirlerin örnekleri: 9/9, 23/4, . Nitekim yazılı adi kesirlerden birincisinin payı paydaya eşittir, geri kalan kesirlerde ise pay paydadan büyüktür. Kesirlerin bir ile karşılaştırılmasına dayanan doğru ve yanlış kesirlerin tanımları da vardır. Tanım. doğru birden küçükse. Tanım. Sıradan bir kesir denir yanlış 1'e eşit veya 1'den büyükse. Yani 7/11 ortak kesri doğrudur, çünkü 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 ve 27/27=1. Paydası paydadan büyük veya paydaya eşit olan sıradan kesirlerin böyle bir adı nasıl hak ettiğini düşünelim - "uygunsuz". Örneğin 9/9 bileşik kesirini ele alalım. Bu kesir, dokuz parçadan oluşan bir cismin dokuz parçasının alınması anlamına gelir. Yani mevcut dokuz parçadan bütün bir nesneyi oluşturabiliriz. Yani bileşik kesir 9/9 esasen nesnenin tamamını verir, yani 9/9 = 1. Genel olarak, payı paydaya eşit olan uygunsuz kesirler bir tam nesneyi belirtir ve böyle bir kesir, doğal sayı 1 ile değiştirilebilir. Şimdi 7/3 ve 12/4 bileşik kesirlerini düşünün. Bu yedi üçüncü parçadan iki tam nesne oluşturabileceğimiz oldukça açıktır (bir tam nesne 3 parçadan oluşur, o zaman iki tam nesneyi birleştirmek için 3 + 3 = 6 parçaya ihtiyacımız olacaktır) ve yine de üçte bir parça olacaktır. kısmı kaldı. Yani, bileşik kesir olan 7/3, aslında 2 nesne ve ayrıca böyle bir nesnenin 1/3'ü anlamına gelir. Ve on iki çeyrek parçadan üç tam nesne (her biri dört parçalı üç nesne) yapabiliriz. Yani 12/4 kesri aslında 3 tam nesne anlamına gelir. Ele alınan örnekler bizi şu sonuca götürüyor: uygunsuz kesirler, pay paydaya eşit olarak bölündüğünde doğal sayılarla (örneğin, 9/9=1 ve 12/4=3) veya toplamla değiştirilebilir. Payın paydaya tam olarak bölünemediği durumlarda bir doğal sayının ve bir uygun kesrin kullanılması (örneğin, 7/3=2+1/3). Belki de uygunsuz kesirlere "düzensiz" adını kazandıran şey tam olarak budur. Özellikle ilgi çekici olan, uygun olmayan bir kesrin bir doğal sayı ile bir uygun kesirin (7/3=2+1/3) toplamı olarak temsil edilmesidir. Bu işleme, bütün parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak denir ve ayrı ve daha dikkatli bir şekilde ele alınmayı hak eder. Uygunsuz kesirler ile karışık sayılar arasında çok yakın bir ilişki olduğunu da belirtmekte fayda var. Her ortak kesir, pozitif bir kesirli sayıya karşılık gelir (pozitif ve negatif sayılar hakkındaki makaleye bakın). Yani sıradan kesirler pozitif kesirler. Örneğin 1/5, 56/18, 35/144 sıradan kesirler pozitif kesirlerdir. Bir kesrin pozitifliğini vurgulamanız gerektiğinde önüne bir artı işareti yerleştirilir, örneğin +3/4, +72/34. Sıradan bir kesrin önüne eksi işareti koyarsanız, bu giriş negatif bir kesirli sayıya karşılık gelecektir. Bu durumda konuşabiliriz negatif kesirler. Negatif kesirlerin bazı örnekleri şunlardır: −6/10, −65/13, −1/18. Pozitif ve negatif kesirler m/n ve −m/n zıt sayılardır. Örneğin 5/7 ve −5/7 kesirleri zıt kesirlerdir. Pozitif kesirler, genel olarak pozitif sayılar gibi, bir eklemeyi, geliri, herhangi bir değerdeki yukarı doğru değişimi vb. ifade eder. Negatif kesirler gidere, borca veya herhangi bir miktardaki azalmaya karşılık gelir. Örneğin, negatif kesir −3/4, değeri 3/4'e eşit olan bir borç olarak yorumlanabilir. Yatay ve sağa doğru negatif kesirler orijinin solunda bulunur. Koordinatları pozitif kesir m/n ve negatif kesir -m/n olan koordinat çizgisinin noktaları, orijinden aynı uzaklıkta, ancak O noktasının zıt taraflarında bulunur. Burada 0/n formundaki kesirlerden bahsetmeye değer. Bu kesirler sıfır sayısına eşittir yani 0/n=0. Pozitif kesirler, negatif kesirler ve 0/n kesirler birleşerek rasyonel sayılar oluşturur. Yukarıda sıradan kesirlerle ilgili bir eylemi - kesirleri karşılaştırarak - tartışmıştık. Dört aritmetik fonksiyon daha tanımlandı kesirlerle işlemler– Kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Her birine bakalım. Kesirli işlemlerin genel özü, doğal sayılarla karşılık gelen işlemlerin özüne benzer. Bir benzetme yapalım. Kesirlerin Çarpılması kesirden kesir bulma eylemi olarak düşünülebilir. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Diyelim ki bir elmanın 1/6'sı var ve 2/3'ünü almamız gerekiyor. İhtiyacımız olan kısım 1/6 ve 2/3 kesirlerinin çarpılması sonucudur. İki sıradan kesirin çarpılmasının sonucu, sıradan bir kesirdir (özel bir durumda bu, bir doğal sayıya eşittir). Daha sonra Kesirlerde Çarpma - Kurallar, Örnekler ve Çözümler makalesindeki bilgileri incelemenizi öneririz. Referanslar. Bu bölüm sıradan kesirlerle yapılan işlemleri kapsamaktadır. Karışık sayılarla matematiksel bir işlem yapılması gerekiyorsa, karışık kesri olağanüstü bir kesire dönüştürmek, gerekli işlemleri yapmak ve gerekirse nihai sonucu tekrar karışık sayı şeklinde sunmak yeterlidir. . Bu işlem aşağıda anlatılacaktır. Matematiksel işlem. Bir kesirin azaltılması \frac(m)(n) kesrini azaltmak için pay ve paydasının en büyük ortak bölenini bulmanız gerekir: gcd(m,n) ve sonra kesrin payını ve paydasını bu sayıya bölmeniz gerekir. Eğer OBE(m,n)=1 ise kesir indirgenemez. Örnek: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4) Genellikle, en büyük ortak böleni hemen bulmak zor bir iş gibi görünür ve pratikte, pay ve paydadan bariz ortak faktörler adım adım izole edilerek bir kesir birkaç aşamada azaltılır. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9) Matematiksel işlem. Kesirleri ortak paydaya indirgemek İki kesir \frac(a)(b) ve \frac(c)(d)'yi ortak bir paydaya getirmek için ihtiyacınız olan: Böylece orijinal kesirleri aynı paydalara sahip (M sayısına eşit olacak) kesirlere dönüştürüyoruz. Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri LCM(6,9) = 18'e sahiptir. O halde: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Böylece elde edilen kesirlerin ortak bir paydası vardır. Uygulamada, paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmak her zaman basit bir iş değildir. Bu nedenle orijinal kesirlerin paydalarının çarpımına eşit bir sayı ortak payda olarak seçilir. Örneğin, \frac(5)(6) ve \frac(4)(9) kesirleri N=6\cdot9 ortak paydasına indirgenir: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54) Matematiksel işlem. Kesirlerin karşılaştırılması İki sıradan kesri karşılaştırmak için ihtiyacınız olan: Kesirleri karşılaştırırken birkaç özel durum vardır: Dikkat! Kural 1, ortak paydası pozitif bir sayı olan tüm kesirler için geçerlidir. Kural 2 ve 3 pozitif kesirlere (hem payı hem de paydası sıfırdan büyük olanlar) uygulanır. Matematiksel işlem. Kesirleri toplama ve çıkarma İki kesir eklemek için ihtiyacınız olan: Örnek: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63) Bir kesirden diğerini çıkarmak için şunlara ihtiyacınız vardır: Örnek: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3) Orijinal kesirlerin başlangıçta ortak bir paydası varsa, 1. adım (ortak bir paydaya indirgeme) atlanır. Matematiksel işlem. Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi Karışık bir fraksiyonu bileşik bir fraksiyona dönüştürmek için, karışık fraksiyonun tüm kısmını kesir kısmıyla toplamanız yeterlidir. Böyle bir toplamın sonucu, payı, karışık fraksiyonun payı ile fraksiyonun paydası tarafından tüm parçanın çarpımının toplamına eşit olan uygunsuz bir kesir olacaktır ve payda aynı kalacaktır. Örneğin, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+) 6)(11)=\frac(28)(11) Uygun olmayan bir kesiri tam sayıya dönüştürmek için: Örneğin, \frac(23)(4) kesri. 23:4=5.75'e bölündüğünde yani tamamı 5 olduğundan kalan 23-5*4=3 olur. Daha sonra karışık sayı yazılacaktır: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4) Matematiksel işlem. Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme Ondalık kesri ortak kesire dönüştürmek için yapmanız gerekenler: Örnek 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 ondalık basamak vardır, dolayısıyla payda 10 4 =10000 olur, tamsayı kısmı 0 olduğundan pay, başında sıfır olmadan ondalık noktadan sonraki sayıyı içerir) Örnek 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (payda virgülden sonraki sayıyı tamamen sıfırlarla yazarız: “0109” ve ondan önce orijinal sayının “31” kısmını ekleriz”) Ondalık kesrin tamamı sıfırdan farklıysa, karışık kesire dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, sanki tüm kısım sıfıra eşitmiş gibi (1 ve 2 noktaları) sayıyı sıradan bir kesire dönüştürüyoruz ve tüm kısmı kesirin önüne yeniden yazıyoruz - bu, karışık sayının tam kısmı olacak . Örnek: 3,014=3\frac(14)(100) Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için payı paydaya bölmeniz yeterlidir. Bazen sonsuz bir ondalık sayı elde edersiniz. Bu durumda istenilen ondalık basamağa yuvarlamak gerekir. Örnekler: \frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\approx0,6667 Matematiksel işlem. Kesirlerde Çarpma ve Bölme İki sıradan kesri çarpmak için kesirlerin pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. \frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18) Bir ortak kesri diğerine bölmek için, ilk kesri ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir ( karşılıklı kesir- pay ve paydanın yer değiştirdiği kesir. \frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63) Kesirlerden biri doğal sayı ise yukarıdaki çarpma ve bölme kuralları geçerliliğini korur. Sadece bir tam sayının paydası bire eşit olan aynı kesir olduğunu dikkate almanız gerekir. Örneğin: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7Pozitif ve negatif kesirler
Kesirlerle işlemler
Bir kesirin azaltılması
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
Kesirlerin karşılaştırılması
Örneğin, \frac(9)(14) Kesirleri toplama ve çıkarma
Karışık bir sayıyı bileşik bir kesire dönüştürmek veya tam tersi
Ondalık Sayıyı Kesire Dönüştürme
Kesirlerde Çarpma ve Bölme
