Tersi hangi matrisler için mevcuttur? Ters matrisi bulma: üç algoritma ve örnekler

Bu konu öğrenciler arasında en nefret edilen konulardan biridir. Daha da kötüsü, muhtemelen elemeler.

İşin püf noktası, ters eleman kavramının (ve şu anda sadece matrislerden bahsetmiyorum) bizi çarpma işlemine göndermesidir. Okul müfredatında bile çarpma işlemi karmaşık bir işlem olarak kabul edilir ve matris çarpımı genellikle ayrı bir konudur ve buna bütün bir paragraf ve video dersim ayrılmıştır.

Bugün matris hesaplamalarının detaylarına girmeyeceğiz. Şimdi şunu hatırlayalım: Matrislerin nasıl belirlendiğini, nasıl çarpıldığını ve bundan ne çıkacağını.

İnceleme: Matris Çarpımı

Öncelikle notasyon konusunda anlaşalım. $\left[ m\times n \right]$ boyutunda bir $A$ matrisi, tam olarak $m$ satırları ve $n$ sütunları olan bir sayı tablosudur:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrix) \right])_(n)\]

Yanlışlıkla satır ve sütunların karıştırılmasını önlemek için (inanın bana, bir sınavda bazı satırları bırakın, bir ile ikiyi bile karıştırabilirsiniz), resme bakmanız yeterli:

Neler oluyor? Standart koordinat sistemi $OXY$'ı sol üst köşeye yerleştirirseniz ve eksenleri tüm matrisi kaplayacak şekilde yönlendirirseniz, bu matrisin her hücresi benzersiz bir şekilde $\left(x;y \right)$ koordinatlarıyla ilişkilendirilebilir. - bu satır numarası ve sütun numarası olacaktır.

Koordinat sistemi neden sol üst köşeye yerleştirildi? Evet, çünkü oradan herhangi bir metni okumaya başlıyoruz. Hatırlamak çok kolaydır.

$x$ ekseni neden sağa değil de aşağıya doğru yönlendiriliyor? Yine basit: standart bir koordinat sistemi alın ($x$ ekseni sağa gider, $y$ ekseni yukarı çıkar) ve onu matrisi kaplayacak şekilde döndürün. Bu saat yönünde 90 derecelik bir dönüştür - sonucu resimde görüyoruz.

Genel olarak matris elemanlarının indekslerinin nasıl belirleneceğini bulduk. Şimdi çarpma işlemine bakalım.

Tanım. $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ matrisleri, ilkindeki sütun sayısı ikincideki satır sayısıyla çakıştığında, tutarlı denir.

Tam olarak bu sırayla. Kafanız karışabilir ve $A$ ve $B$ matrislerinin $\left(A;B \right)$ sıralı bir çift oluşturduğu söylenebilir: eğer bunlar bu sırada tutarlıysa, o zaman $B'nin olması hiç de gerekli değildir. $ ve $A$ bunlar. $\left(B;A \right)$ çifti de tutarlıdır.

Yalnızca eşleşen matrisler çarpılabilir.

Tanım. Eşleşen $A=\left[ m\times n \right]$ ve $B=\left[ n\times k \right]$ matrislerinin çarpımı yeni $C=\left[ m\times k \right matrisidir ]$ , öğeleri $((c)_(ij))$ aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Başka bir deyişle: $C=A\cdot B$ matrisinin $((c)_(ij))$ öğesini elde etmek için, ilk matrisin $i$-satırını, yani $j$'ı almanız gerekir. ikinci matrisin -'inci sütununu bulun ve ardından bu satır ve sütundaki öğeleri çiftler halinde çarpın. Sonuçları toplayın.

Evet, bu çok sert bir tanım. Bundan hemen birkaç gerçek çıkıyor:

1. Genel anlamda matris çarpımı değişmeli değildir: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Ancak çarpma ilişkiseldir: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Ve hatta dağıtıcı olarak: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Ve bir kez daha dağıtımsal olarak: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Çarpma işleminin değişmezliği nedeniyle, çarpmanın dağılımının sol ve sağ toplam faktörü için ayrı ayrı tanımlanması gerekiyordu.

$A\cdot B=B\cdot A$ olduğu ortaya çıkarsa, bu tür matrislere değişmeli matrisler denir.

Orada bir şeyle çarpılan tüm matrisler arasında özel olanlar var - herhangi bir $A$ matrisiyle çarpıldığında tekrar $A$ verenler:

Tanım. $A\cdot E=A$ veya $E\cdot A=A$ ise, $E$ matrisine özdeşlik adı verilir. $A$ kare matris durumunda şunu yazabiliriz:

Birim matrisi, matris denklemlerini çözerken sık sık misafir edilir. Ve genel olarak matris dünyasına sık sık misafir oluyoruz :)

Ve bu $E$ yüzünden birisi bundan sonra yazılacak tüm saçmalıkları ortaya attı.

Ters matris nedir

Matris çarpımı çok emek yoğun bir işlem olduğundan (bir grup satırı ve sütunu çarpmanız gerekir), ters matris kavramının da pek de önemsiz olmadığı ortaya çıkar. Ve biraz açıklama gerektiriyor.

Anahtar Tanımı

Artık gerçeği öğrenmenin zamanı geldi.

Tanım. Bir $B$ matrisine $A$ matrisinin tersi denir, eğer

Ters matris $((A)^(-1))$ ile gösterilir (dereceyle karıştırılmamalıdır!), dolayısıyla tanım aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Görünüşe göre her şey son derece basit ve açık. Ancak bu tanımı analiz ederken hemen birkaç soru ortaya çıkıyor:

1. Ters matris her zaman var mıdır? Ve her zaman değilse, o zaman nasıl belirlenir: ne zaman var ve ne zaman yok?
2. Peki böyle bir matrisin tam olarak var olduğunu kim söyledi? Peki ya $A$ başlangıç ​​matrisi için bir sürü tersler varsa?
3. Bütün bu “geri dönüşler” neye benziyor? Peki bunları tam olarak nasıl saymalıyız?

Hesaplama algoritmalarına gelince, bundan biraz sonra bahsedeceğiz. Ancak geri kalan soruları hemen cevaplayacağız. Bunları ayrı ifadeler-lemmalar şeklinde formüle edelim.

Temel özellikler

$A$ matrisinin, $((A)^(-1))$'ın var olabilmesi için prensip olarak nasıl görünmesi gerektiği ile başlayalım. Şimdi bu matrislerin her ikisinin de kare ve aynı boyutta olduğundan emin olacağız: $\left[ n\times n \right]$.

Lemma 1. $A$ matrisi ve bunun tersi $((A)^(-1))$ verildiğinde. O zaman bu matrislerin her ikisi de karedir ve aynı $n$ mertebesindedir.

Kanıt. Çok basit. $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$ matrisi olsun. $A\cdot ((A)^(-1))=E$ çarpımı tanım gereği mevcut olduğundan, $A$ ve $((A)^(-1))$ matrisleri gösterilen sırayla tutarlıdır:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( hizala)\]

Bu, matris çarpım algoritmasının doğrudan bir sonucudur: $n$ ve $a$ katsayıları “geçişlidir” ve eşit olmalıdır.

Aynı zamanda ters çarpma da tanımlanır: $((A)^(-1))\cdot A=E$, dolayısıyla $((A)^(-1))$ ve $A$ matrisleri şu şekildedir: ayrıca belirtilen sırada tutarlı:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( hizala)\]

Dolayısıyla, genelliği kaybetmeden $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ olduğunu varsayabiliriz. Bununla birlikte, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ tanımına göre, bu nedenle matrislerin boyutları kesinlikle çakışmaktadır:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Böylece, üç matrisin de - $A$, $((A)^(-1))$ ve $E$ - $\left[ n\times n \right]$ boyutunda kare matrisler olduğu ortaya çıktı. Lemma kanıtlanmıştır.

Bu zaten iyi. Yalnızca kare matrislerin tersinin alınabildiğini görüyoruz. Şimdi ters matrisin daima aynı olduğundan emin olalım.

Lema 2. $A$ matrisi ve bunun tersi $((A)^(-1))$ verildiğinde. O zaman bu ters matris tektir.

Kanıt. Çelişkiden gidelim: $A$ matrisinin en az iki tersi olsun - $B$ ve $C$. O halde tanıma göre aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(hizala)\]

Lemma 1'den dört matrisin tamamının - $A$, $B$, $C$ ve $E$ - aynı düzende kareler olduğu sonucuna varıyoruz: $\left[ n\times n \right]$. Bu nedenle ürün şu şekilde tanımlanır:

Matris çarpımı ilişkisel olduğundan (ancak değişmeli değil!), şunu yazabiliriz:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(hizala)\]

Mümkün olan tek seçeneğe sahibiz: Ters matrisin iki kopyası eşittir. Lemma kanıtlanmıştır.

Yukarıdaki argümanlar, tüm $b\ne 0$ gerçek sayıları için ters elemanın benzersizliğinin kanıtını neredeyse kelimesi kelimesine tekrarlıyor. Tek önemli ekleme matrislerin boyutunun dikkate alınmasıdır.

Ancak her kare matrisin tersinir olup olmadığı konusunda hala hiçbir şey bilmiyoruz. Burada determinant yardımımıza koşuyor; bu, tüm kare matrisler için temel bir özelliktir.

Lema 3. $A$ matrisi verildi. Ters matrisi $((A)^(-1))$ mevcutsa, orijinal matrisin determinantı sıfırdan farklıdır:

\[\sol| A\right|\ne 0\]

Kanıt. $A$ ve $((A)^(-1))$'nin $\left[ n\times n \right]$ boyutunda kare matrisler olduğunu zaten biliyoruz. Dolayısıyla her biri için determinantı hesaplayabiliriz: $\left| A\right|$ ve $\left| ((A)^(-1)) \right|$. Ancak bir çarpımın determinantı, determinantların çarpımına eşittir:

\[\sol| A\cdot B \sağ|=\sol| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \sağ|\]

Ancak tanıma göre, $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ve $E$'ın determinantı her zaman 1'e eşittir, yani

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \sol| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\sağ|; \\ & \sol| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(hizala)\]

İki sayının çarpımı ancak bu sayıların her biri sıfırdan farklıysa bire eşittir:

\[\sol| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

Yani $\left| olduğu ortaya çıktı A \right|\ne 0$. Lemma kanıtlanmıştır.

Aslında bu gereklilik oldukça mantıklıdır. Şimdi ters matrisi bulmaya yönelik algoritmayı analiz edeceğiz - ve neden sıfır determinantlı bir ters matrisin prensipte var olamayacağı tamamen açıklığa kavuşacak.

Ama önce bir “yardımcı” tanım formüle edelim:

Tanım. Tekil bir matris, determinantı sıfır olan $\left[ n\times n \right]$ boyutunda bir kare matristir.

Böylece her tersinir matrisin tekil olmadığını iddia edebiliriz.

Bir matrisin tersi nasıl bulunur

Şimdi ters matrisleri bulmak için evrensel bir algoritmayı ele alacağız. Genel olarak genel kabul görmüş iki algoritma vardır ve bugün ikincisini de ele alacağız.

Şimdi tartışılacak olan $\left[ 2\times 2 \right]$ ve - kısmen - $\left[ 3\times 3 \right]$ boyutundaki matrisler için çok etkilidir. Ancak $\left[ 4\times 4 \right]$ boyutundan başlayarak onu kullanmamak daha iyidir. Neden - şimdi her şeyi kendin anlayacaksın.

Cebirsel eklemeler

Hazır ol. Şimdi acı olacak. Hayır, endişelenmeyin: etekli, dantelli çoraplı güzel bir hemşire yanınıza gelip kalçanızdan enjeksiyon yapmayacak. Her şey çok daha sıradan: cebirsel eklemeler ve Majesteleri “Birlik Matrisi” size geliyor.

Ana şeyle başlayalım. $A=\left[ n\times n \right]$ boyutunda, elemanları $((a)_(ij))$ olarak adlandırılan bir kare matris olsun. O halde bu tür elemanların her biri için cebirsel bir tümleyen tanımlayabiliriz:

Tanım. $((A)_(ij))$ öğesinin $((a)_(ij))$ öğesinin cebirsel tamamlayıcısı, $A=\left[ matrisinin $i$th satırında ve $j$th sütununda yer alır. n \times n \right]$ formun bir yapısıdır

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Burada $M_(ij)^(*)$, aynı $i$th satırı ve $j$th sütunu silinerek orijinal $A$'dan elde edilen matrisin determinantıdır.

Tekrar. $\left(i;j \right)$ koordinatlarına sahip bir matris öğesinin cebirsel tamamlayıcısı $((A)_(ij))$ olarak gösterilir ve şemaya göre hesaplanır:

1. Öncelikle orijinal matristen $i$-satırını ve $j$-th sütununu sileriz. Yeni bir kare matris elde ediyoruz ve onun determinantını $M_(ij)^(*)$ olarak gösteriyoruz.
2. Daha sonra bu determinantı $((\left(-1 \right))^(i+j))$ ile çarpıyoruz - ilk başta bu ifade akıllara durgunluk verici görünebilir, ancak özünde sadece önündeki işareti buluyoruz $M_(ij)^(*) $.
3. Belirli bir sayıyı sayarız ve alırız. Onlar. cebirsel toplama tam olarak bir sayıdır, yeni bir matris vb. değil.

$M_(ij)^(*)$ matrisinin kendisi, $((a)_(ij))$ öğesine ek bir küçük olarak adlandırılır. Ve bu anlamda, cebirsel tümleyenin yukarıdaki tanımı daha karmaşık bir tanımın özel bir durumudur - determinantla ilgili derste buna baktık.

Önemli not. Aslında “yetişkin” matematiğinde cebirsel toplamalar şu şekilde tanımlanır:

1. Bir kare matriste $k$ satır ve $k$ sütun alıyoruz. Bunların kesişme noktasında $\left[ k\times k \right]$ büyüklüğünde bir matris elde ederiz - bunun determinantına $k$ mertebesinden küçük denir ve $((M)_(k))$ ile gösterilir.
2. Daha sonra bu "seçilen" $k$ satırların ve $k$ sütunların üzerini çizeriz. Bir kez daha bir kare matris elde edersiniz - bunun determinantına ek küçük denir ve $M_(k)^(*)$ ile gösterilir.
3. $M_(k)^(*)$ ile $((\left(-1 \right))^(t))$ ile çarpın; burada $t$, seçilen tüm sayıların toplamıdır (şimdi dikkat edin!) satırlar ve sütunlar. Bu cebirsel ekleme olacak.

Üçüncü adıma bakın: Aslında toplam 2 bin $ terimi var! Başka bir şey de $k=1$ için yalnızca 2 terim alacağız - bunlar aynı $i+j$ olacak - bizim için kullandığımız $((a)_(ij))$ öğesinin "koordinatları" cebirsel bir tamamlayıcı arıyorum.

Yani bugün biraz basitleştirilmiş bir tanım kullanıyoruz. Ancak daha sonra göreceğimiz gibi, fazlasıyla yeterli olacaktır. Şu şey çok daha önemli:

Tanım. $S$ ile $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisinin müttefik matrisi $\left[ n\times n \right]$ boyutunda yeni bir matristir ve $A$'dan elde edilir. $(( a)_(ij))$ yerine cebirsel eklemeler yaparak $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrix) \right]\]

Bu tanımın farkına varıldığı anda ortaya çıkan ilk düşünce “ne kadar sayılması gerekecek!” Rahat olun: saymanız gerekecek ama o kadar da değil :)

Peki bunların hepsi çok güzel ama neden gerekli? Ama neden?

Ana teorem

Biraz geriye gidelim. Unutmayın, Lemma 3'te ters çevrilebilir $A$ matrisinin her zaman tekil olmadığı (yani determinantının sıfırdan farklı olduğu: $\left| A \right|\ne 0$) belirtilmişti.

Yani bunun tersi de doğrudur: Eğer $A$ matrisi tekil değilse, o zaman her zaman tersinirdir. Hatta $((A)^(-1))$ için bir arama şeması bile var. Buna bir bak:

Ters matris teoremi. $A=\left[ n\times n \right]$ kare matrisi verilsin ve onun determinantı sıfırdan farklı olsun: $\left| A \right|\ne 0$. O zaman $((A)^(-1))$ ters matrisi bulunur ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Ve şimdi - her şey aynı, ancak okunaklı bir el yazısıyla. Ters matrisi bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Belirleyiciyi hesaplayın $\left| Bir \right|$ ve sıfır olmadığından emin olun.
2. $S$ birleşim matrisini oluşturun; 100500 cebirsel eklemeyi $((A)_(ij))$ sayın ve bunları $((a)_(ij))$ yerine yerleştirin.
3. Bu matrisin transpozesini yapın $S$ ve sonra bunu bir sayıyla çarpın $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Hepsi bu! Ters matris $((A)^(-1))$ bulundu. Örneklere bakalım:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Çözüm. Tersinirliği kontrol edelim. Determinantını hesaplayalım:

\[\sol| A\sağ|=\sol| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant sıfırdan farklıdır. Bu, matrisin tersinir olduğu anlamına gelir. Birleşim matrisi oluşturalım:

Cebirsel toplamaları hesaplayalım:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \sağ|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \sağ|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \sağ|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Lütfen dikkat: belirleyiciler |2|, |5|, |1| ve |3| modüllerin değil, $\left[ 1\times 1 \right]$ boyutundaki matrislerin determinantlarıdır. Onlar. Determinantlarda negatif sayılar varsa “eksi”yi kaldırmaya gerek yoktur.

Toplamda, birleşim matrisimiz şuna benzer:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (dizi)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]\]

İşte hepsi bu. Sorun çözüldü.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Çözüm. Determinantını tekrar hesaplıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sıfırdan farklıdır; matris tersinirdir. Ama şimdi bu gerçekten zor olacak: 9'a kadar (dokuz, orospu çocuğu!) cebirsel toplama saymamız gerekiyor. Ve bunların her biri $\left[ 2\times 2 \right]$ determinantını içerecektir. Uçtu:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matris)\]

Kısaca birleşim matrisi şöyle görünecektir:

Bu nedenle ters matris şöyle olacaktır:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\end(dizi) \sağ]\]

İşte bu. İşte cevap.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

Gördüğünüz gibi her örneğin sonunda bir kontrol gerçekleştirdik. Bu bağlamda önemli bir not:

Kontrol etmek için tembel olmayın. Orijinal matrisi bulunan ters matrisle çarpın - $E$ elde etmelisiniz.

Bu kontrolü gerçekleştirmek, örneğin bir matris denklemini çözerken daha sonraki hesaplamalarda hata aramaktan çok daha kolay ve hızlıdır.

Alternatif yol

Söylediğim gibi, ters matris teoremi $\left[ 2\times 2 \right]$ ve $\left[ 3\times 3 \right]$ boyutları için harika çalışıyor (ikinci durumda, o kadar da "harika" değil " ), ancak daha büyük matrisler için üzüntü başlar.

Ancak endişelenmeyin: $\left[ 10\times 10 \right]$ matrisi için bile tersini rahatlıkla bulabileceğiniz alternatif bir algoritma var. Ancak çoğu zaman olduğu gibi, bu algoritmayı dikkate almak için biraz teorik altyapıya ihtiyacımız var.

Temel dönüşümler

Tüm olası matris dönüşümleri arasında birkaç özel dönüşüm vardır - bunlara temel denir. Bu tür tam olarak üç dönüşüm var:

1. Çarpma. $i$'inci satırı (sütun) alıp herhangi bir sayıyla çarpabilirsiniz $k\ne 0$;
2. Ek. $i$-inci satıra (sütun) herhangi bir $j$-inci satırın (sütun) herhangi bir sayıyla çarpımını ekleyin $k\ne 0$ (elbette $k=0$ yapabilirsiniz, ancak sonuç nedir? nokta? Hiçbir şey değişmeyecek mi?)
3. Yeniden düzenleme. $i$th ve $j$th satırlarını (sütunlarını) alın ve yer değiştirin.

Bu dönüşümlere neden temel deniyor (büyük matrisler için o kadar da basit görünmüyorlar) ve neden bunlardan sadece üçü var - bu sorular bugünkü dersin kapsamı dışındadır. Bu nedenle ayrıntılara girmeyeceğiz.

Başka bir şey daha önemli: Bütün bu saptırmaları ek matris üzerinde yapmamız gerekiyor. Evet evet: doğru duydunuz. Şimdi bir tanım daha olacak - bugünkü dersteki son tanım.

ek matris

Elbette okulda denklem sistemlerini toplama yöntemini kullanarak çözdünüz. İşte, bir satırdan bir tane daha çıkarın, bir satırı bir sayıyla çarpın - hepsi bu.

Yani: şimdi her şey aynı olacak, ancak "yetişkinlere uygun" bir şekilde. Hazır mısın?

Tanım. $A=\left[ n\times n \right]$ matrisi ve aynı boyutta $n$ boyutunda bir $E$ birim matrisi verilsin. Daha sonra ek matris $\left[ A\left| Tamam. \right]$, $\left[ n\times 2n \right]$ boyutunda yeni bir matristir ve şuna benzer:

\[\sol[ A\sol| Tamam. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(array) \right]\]

Kısacası, $A$ matrisini alıyoruz, sağda ona gerekli boyuttaki $E$ kimlik matrisini atadık, güzellik için bunları dikey bir çubukla ayırıyoruz - işte burada ek var :).

Şaka ne? İşte şu:

Teorem. $A$ matrisinin tersi alınabilir olsun. $\left[ A\left| ek matrisini düşünün Tamam. \right]$. Kullanıyorsanız temel dize dönüşümleri$\left[ E\left| biçimine getirin Parlak. \right]$, yani $A$'dan sağdaki $E$ matrisini elde etmek için satırları çarparak, çıkararak ve yeniden düzenleyerek, solda elde edilen $B$ matrisi $A$'ın tersi olur:

\[\sol[ A\sol| Tamam. \sağ]\to \sol[ E\left| Parlak. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Bu kadar basit! Kısacası, ters matrisi bulma algoritması şöyle görünür:

1. Eş matrisi yazın $\left[ A\left| Tamam. \sağ]$;
2. $A$ yerine $E$ görünene kadar temel dize dönüşümlerini gerçekleştirin;
3. Tabii ki, solda da bir şey görünecek - belirli bir $B$ matrisi. Bu tam tersi olacak;
4. KÂR!:)

Elbette bunu söylemek yapmaktan çok daha kolaydır. Şimdi birkaç örneğe bakalım: $\left[ 3\times 3 \right]$ ve $\left[ 4\times 4 \right]$ boyutları için.

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Çözüm. Ek matrisi oluşturuyoruz:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(dizi) \sağ]\]

Orijinal matrisin son sütunu birlerle dolu olduğundan, ilk satırı diğerlerinden çıkarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

İlk satır dışında başka birim yok. Ancak ona dokunmuyoruz, aksi takdirde yeni kaldırılan birimler üçüncü sütunda "çoğalmaya" başlayacak.

Ancak ikinci satırı sonuncusundan iki kez çıkarabiliriz - sol alt köşede bir tane elde ederiz:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Artık son satırı birinciden ve ikinciden iki kez çıkarabiliriz - bu şekilde ilk sütunu "sıfırlarız":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \ \sola[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

İkinci satırı -1 ile çarpın, ardından ilkinden 6 kez çıkarın ve sonuncuya 1 kez ekleyin:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matris)\to \\ & \to \sola[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Geriye kalan tek şey 1. ve 3. satırları değiştirmek:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(array) \right]\]

Hazır! Sağda gerekli ters matris var.

Cevap. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Görev. Ters matrisi bulun:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrix) \sağ]\]

Çözüm. Ek parçayı tekrar oluşturuyoruz:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Biraz ağlayalım, artık ne kadar saymamız gerektiğine üzülelim... ve saymaya başlayalım. Öncelikle, 2. ve 3. satırlardan 1. satırı çıkararak ilk sütunu "sıfırlayalım":

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(dizi) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

2-4. satırlarda çok fazla “eksiler” görüyoruz. Üç satırın tamamını -1 ile çarpın ve ardından 3. satırı diğerlerinden çıkararak üçüncü sütunu yakın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sol| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \sol| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrix)\to \\ & \to \sola[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (array) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Şimdi orijinal matrisin son sütununu "kızartma" zamanı: 4. satırı diğerlerinden çıkarın:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Son atış: 2. satırı 1. ve 3. satırlardan çıkararak ikinci sütunu “yakın”:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( dizi) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Ve yine birim matris solda yani tersi sağda :)

Cevap. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrix) \right]$

n'inci dereceden bir kare matris olsun

Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir.

Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:

Ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için.

Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem

Bir matrisin ters matris olabilmesi için dejenere olmaması gerekli ve yeterlidir.

A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan Sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.

Ters matrisi bulmak için algoritma

1. Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek için A matrisini tabloya yazın ve E matrisini sağ tarafa (denklemlerin sağ tarafları yerine) atayın.
2. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini birim sütunlardan oluşan bir matrise azaltın; bu durumda E matrisini eş zamanlı olarak dönüştürmek gerekir.
3. Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini), orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisini elde edecek şekilde yeniden düzenleyin.
4. Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda bulunan ters matris A -1'i yazın.

A matrisi için ters A -1 matrisini bulun

Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atarız. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir.

Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.

Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır.

Cevap:

Matris denklemlerini çözme

Matris denklemleri şöyle görünebilir:

AX = B, HA = B, AXB = C,

burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir.

Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.

Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.

Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.

Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.

AX = B denklemini çözün, eğer

Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1)

Ekonomik analizde matris yöntemi

Diğerlerinin yanı sıra onlar da kullanılır matris yöntemleri. Bu yöntemler doğrusal ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olayların analiz edilmesi amacıyla kullanılmaktadır. Çoğu zaman bu yöntemler, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı bir değerlendirmesini yapmak gerektiğinde kullanılır.

Matris analiz yöntemlerinin uygulanması sürecinde birkaç aşama ayırt edilebilir.

İlk aşamada bir ekonomik göstergeler sistemi oluşturuluyor ve buna dayanarak, sistem numaralarının ayrı satırlarda gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derleniyor (i = 1,2,....,n) ve dikey sütunlarda - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m).

İkinci aşamada Her dikey sütun için mevcut gösterge değerlerinden en büyüğü tanımlanır ve bu değer bir olarak alınır.

Daha sonra bu sütuna yansıyan tüm tutarlar en büyük değere bölünerek standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur.

Üçüncü aşamada Matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, her matris göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri uzman görüşüne göre belirlenir.

Sonuncusunda, dördüncü aşama bulunan derecelendirme değerleri RJ artış veya azalış sırasına göre gruplandırılmıştır.

Ana hatlarıyla belirtilen matris yöntemleri, örneğin çeşitli yatırım projelerinin karşılaştırmalı analizinde ve kuruluşların faaliyetlerinin diğer ekonomik göstergelerinin değerlendirilmesinde kullanılmalıdır.

Ters matrisi bulma.

Bu yazıda ters matris kavramını, özelliklerini ve bulma yöntemlerini anlayacağız. Belirli bir matris için ters bir matris oluşturmanın gerekli olduğu örnekleri çözme üzerinde ayrıntılı olarak duralım.

Sayfada gezinme.

Ters matris - tanım.

Cebirsel tümleyenlerden bir matris kullanarak ters matrisi bulma.

Ters bir matrisin özellikleri.

Gauss-Jordan yöntemini kullanarak ters matrisin bulunması.

Karşılık gelen doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözerek ters matrisin elemanlarını bulma.

Ters matris - tanım.

Ters matris kavramı yalnızca determinantı sıfır olmayan kare matrisler, yani tekil olmayan kare matrisler için tanıtılmıştır.

Tanım.

Matrisbir matrisin tersi denir Eşitlikler doğruysa determinantı sıfırdan farklı olan , Nerede e– birim sıra matrisi N Açık N.

Cebirsel tümleyenlerden bir matris kullanarak ters matrisi bulma.

Belirli bir matrisin ters matrisi nasıl bulunur?

İlk önce kavramlara ihtiyacımız var. aktarılmış matris, matris küçük ve bir matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı.

Tanım.

Küçükkth emir matrisler A emir M Açık N sıra matrisinin determinantıdır k Açık k matris elemanlarından elde edilen A seçilen yerde bulunur kçizgiler ve k sütunlar. ( k en küçük sayıyı geçmez M veya N).

Küçük (n-1)inci hariç tüm satırların öğelerinden oluşan düzen i-th ve hariç tüm sütunlar j., kare matris A emir N Açık N olarak belirtelim.

Başka bir deyişle minör bir kare matristen elde edilir A emir N Açık N elemanların üstünü çizerek i-thçizgiler ve j. kolon.

Mesela minör yazalım 2. matristen elde edilen sıra ikinci, üçüncü satırlarının ve birinci, üçüncü sütunlarının öğelerini seçme . Ayrıca matristen elde edilen minörü de göstereceğiz. ikinci satırın ve üçüncü sütunun üzerini çizerek . Bu küçüklerin yapımını örnekleyelim: ve .

Tanım.

Cebirsel tamamlayıcı kare matrisin elemanına küçük denir (n-1)inci matristen elde edilen sıra A, içindeki unsurların üzerini çiziyorum i-thçizgiler ve j. sütun ile çarpılır.

Bir elemanın cebirsel tümleyeni ile gösterilir. Böylece, .

Örneğin, matris için Bir elemanın cebirsel tamamlayıcısı .

İkinci olarak, determinantın bu bölümde tartıştığımız iki özelliğine ihtiyacımız olacak. bir matrisin determinantının hesaplanması:

Belirleyicinin bu özelliklerine dayanarak, tanım bir matrisi bir sayıyla çarpma işlemleri ve ters matris kavramı doğrudur: burada elemanları cebirsel tamamlayıcılar olan yer değiştiren bir matristir.

Matris aslında matrisin tersidir A eşitlikler sağlandığından . Hadi gösterelim

Hadi oluşturalım ters matrisi bulmak için algoritma eşitliği kullanmak .

Bir örnek kullanarak ters matrisi bulma algoritmasına bakalım.

Örnek.

Bir matris verildiğinde . Ters matrisi bulun.

Çözüm.

Matrisin determinantını hesaplayalım A, onu üçüncü sütunun öğelerine ayrıştırıyoruz:

Determinant sıfırdan farklı olduğundan matris A geri dönüşümlü.

Cebirsel eklemelerden oluşan bir matris bulalım:

Bu yüzden

Cebirsel toplamalardan matrisi transpoze edelim:

Şimdi ters matrisi şu şekilde buluyoruz: :

Sonucu kontrol edelim:

Eşitlikler sağlanır, bu nedenle ters matris doğru bulunur.

Ters bir matrisin özellikleri.

Ters matris kavramı, eşitlik , matrisler üzerindeki işlemlerin tanımları ve bir matrisin determinantının özellikleri, aşağıdakileri doğrulamayı mümkün kılar ters matrisin özellikleri:

Karşılık gelen doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözerek ters matrisin elemanlarını bulma.

Bir kare matrisin ters matrisini bulmanın başka bir yolunu düşünelim A emir N Açık N.

Bu yöntem çözüme dayalıdır. N doğrusal homojen olmayan cebirsel denklem sistemleri N bilinmiyor. Bu denklem sistemlerindeki bilinmeyen değişkenler ters matrisin elemanlarıdır.

Fikir çok basit. Ters matrisi şu şekilde gösterelim: X yani, . Ters matrisin tanımı gereği, o zaman

Karşılık gelen elemanları sütunlarla eşitleyerek şunu elde ederiz: N doğrusal denklem sistemleri

Bunları herhangi bir şekilde çözüyoruz ve bulunan değerlerden ters bir matris oluşturuyoruz.

Bu yönteme bir örnekle bakalım.

Örnek.

Bir matris verildiğinde . Ters matrisi bulun.

Çözüm.

Kabul edelim . Eşitlik bize üç doğrusal homojen olmayan cebirsel denklem sistemi verir:

Gerekiyorsa bu sistemlerin çözümünü anlatmayacağız; bölüme bakınız; Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme.

İlk denklem sisteminden, ikincisinden - , üçüncüsünden - elimizde. Bu nedenle gerekli ters matris şu şekildedir: . Sonucun doğru olduğundan emin olmak için kontrol etmenizi öneririz.

Özetleyelim.

Ters matris kavramına, özelliklerine ve onu bulmanın üç yöntemine baktık.

Ters matris yöntemini kullanan çözüm örnekleri

Görev 1. SLAE'yi ters matris yöntemini kullanarak çözün. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

Formun başlangıcı

Formun sonu

Çözüm. Matrisi şu şekilde yazalım: Vektör B: B T = (1,2,3,4) (1,1)'in ana determinantı Minör): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minör (2,1 için): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minör (3 ,1 için): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 (4,1) için küçük): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Minörün determinantı ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transpoze matris Cebirsel toplamalar ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7) 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4,3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Ters matris Sonuç vektörü X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

ayrıca bakınız Ters matris yöntemini kullanan SLAE'lerin çözümleriçevrimiçi. Bunu yapmak için verilerinizi girin ve ayrıntılı yorumlar içeren bir çözüm alın.

Görev 2. Denklem sistemini matris formunda yazın ve ters matrisi kullanarak çözün. Ortaya çıkan çözümü kontrol edin. Çözüm:xml:xls

Örnek 2. Denklem sistemini matris formunda yazın ve ters matrisi kullanarak çözün. Çözüm:xml:xls

Örnek. Üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemi verilmiştir. Gerekli: 1) kullanarak çözümünü bulun Cramer formülleri; 2) Sistemi matris formunda yazın ve matris hesabını kullanarak çözün. Metodik öneriler. Cramer yöntemiyle çözdükten sonra "Kaynak veriler için ters matris yöntemiyle çözme" düğmesini bulun. Uygun çözümü alacaksınız. Böylece verileri tekrar doldurmanıza gerek kalmayacaktır. Çözüm. Bilinmeyenler için katsayılar matrisini A ile gösterelim; X - bilinmeyenlerin matris sütunu; B - serbest üyelerin matris sütunu:

Vektör B: B T =(4,-3,-3) Bu gösterimler dikkate alındığında, bu denklem sistemi aşağıdaki matris formunu alır: A*X = B. A matrisi tekil değilse (determinantı sıfırdan farklıysa) , bu durumda ters bir A -1 matrisi vardır. Denklemin her iki tarafını A -1 ile çarparsak şunu elde ederiz: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. Bir doğrusal denklem sisteminin çözümünün matris gösterimi. Denklem sistemine bir çözüm bulmak için ters matris A -1'i hesaplamak gerekir. A matrisinin determinantı sıfırdan farklı ise sistemin bir çözümü olacaktır. Ana belirleyiciyi bulalım. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Yani determinant 14 ≠ 0, yani biz çözüme devam. Bunu yapmak için cebirsel toplamalar yoluyla ters matrisi buluyoruz. Tekil olmayan bir A matrisimiz olsun:

Cebirsel tamamlayıcıları hesaplıyoruz.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Sınav. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doktor:xml:xls Cevap: -1,1,2.

Ters matrisi bulma- genellikle iki yöntemle çözülen bir sorun:

• determinantların bulunmasını ve matrislerin yerlerinin değiştirilmesini gerektiren cebirsel toplama yöntemi;
• Matrislerin temel dönüşümlerinin (satırların eklenmesi, satırların aynı sayıyla çarpılması vb.) gerçekleştirilmesini gerektiren, bilinmeyenleri ortadan kaldırmaya yönelik Gauss yöntemi.

Özellikle meraklı olanlar için başka yöntemler de var, örneğin doğrusal dönüşüm yöntemi. Bu dersimizde bahsedilen üç yöntemi ve bu yöntemleri kullanarak ters matrisi bulmak için kullanılan algoritmaları analiz edeceğiz.

Ters matris A böyle bir matris denir

A
. (1)

Ters matris Belirli bir kare matris için bulunması gereken A böyle bir matris denir

matrisleri olan çarpım A sağda birim matrisi var, yani.
. (1)

Bir birim matrisi, tüm köşegen elemanların bire eşit olduğu köşegen bir matristir.

Teorem.Tekil olmayan (dejenere olmayan, tekil olmayan) her kare matris için bir ters matris bulunabilir ve yalnızca bir tane bulunabilir. Özel (dejenere, tekil) bir kare matris için ters matris mevcut değildir.

Kare matris denir özel değil(veya dejenere olmayan, tekil olmayan), eğer determinantı sıfır değilse ve özel(veya dejenere, tekil) eğer determinantı sıfır ise.

Bir matrisin tersi yalnızca kare matris için bulunabilir. Doğal olarak ters matris de kare olacak ve verilen matrisle aynı mertebede olacaktır. Ters matrisi bulunabilen bir matrise tersinir matris denir.

İçin ters matris Bir sayının tersiyle ilgili bir benzetme vardır. Her sayı için A sıfıra eşit değil, böyle bir sayı var B bu iş A Ve B bire eşittir: ab= 1 . Sayı B bir sayının tersi denir B. Örneğin 7 sayısının karşılığı 1/7'dir, çünkü 7*1/7=1'dir.

Cebirsel toplama yöntemini kullanarak ters matrisi bulma (müttefik matris)

Tekil olmayan bir kare matris için A tersi matristir

matrisin determinantı nerede A, a matris ile müttefik bir matristir A.

Kare matrisle müttefik A elemanları, A matrisine göre transpoze edilmiş matrisin determinantının karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları olan aynı dereceden bir matristir. Dolayısıyla, eğer

O

Ve

Cebirsel toplama yöntemini kullanarak ters matrisi bulma algoritması

1. Bu matrisin determinantını bulun A. Determinant sıfıra eşitse, matris tekil olduğundan ve tersi mevcut olmadığından ters matrisin bulunması durur.

2. Şuna göre transpoze edilmiş matrisi bulun: A.

3. Birleşim matrisinin elemanlarını, 2. adımda bulunan maritzin cebirsel tamamlayıcıları olarak hesaplayın.

4. Formül (2)'yi uygulayın: matris determinantının tersini çarpın A 4. adımda bulunan birleşim matrisine.

5. Bu matrisi çarparak 4. adımda elde edilen sonucu kontrol edin. A ters matrise. Bu matrislerin çarpımı birim matrise eşitse ters matris doğru bulunmuştur. Aksi takdirde çözüm sürecini yeniden başlatın.

Örnek 1. Matris için

ters matrisi bulun.

Çözüm. Ters matrisi bulmak için matrisin determinantını bulmanız gerekir. A. Üçgen kuralına göre şunu buluruz:

Bu nedenle matris A– tekil olmayan (dejenere olmayan, tekil olmayan) ve bunun tersi de var.

Bu matrisin müttefiki bir matris bulalım A.

Matrise göre transpoze edilmiş matrisi bulalım A:

Müttefik matrisin elemanlarını matrise göre transpoze edilmiş matrisin cebirsel tamamlayıcıları olarak hesaplıyoruz A:

Bu nedenle, matris ile müttefik olan matris A, formu var

Yorum. Elemanların hesaplanma ve matrisin yer değiştirme sırası farklı olabilir. Önce matrisin cebirsel tamamlayıcılarını hesaplayabilirsiniz. A ve sonra cebirsel tümleyen matrisinin devriğini değiştirin. Sonuç, birleşim matrisinin aynı elemanları olmalıdır.

Formül (2)'yi uygulayarak matrisin tersini buluruz. A:

Gaussian bilinmeyen eleme yöntemini kullanarak ters matrisi bulma

Gauss yok etme yöntemini kullanarak bir matrisin tersini bulmanın ilk adımı, matrise atama yapmaktır. A Aynı sıradaki kimlik matrisi, bunları dikey bir çubukla ayırır. İkili bir matris elde edeceğiz. Bu matrisin her iki tarafını da ile çarpalım, sonra şunu elde ederiz:

,

Gaussian bilinmeyen eleme yöntemini kullanarak ters matrisi bulmaya yönelik algoritma

1. Matrise A aynı dereceden bir kimlik matrisi atayın.

2. Ortaya çıkan ikili matrisi dönüştürün, böylece sol tarafta bir birim matris elde edersiniz, ardından sağ tarafta birim matris yerine otomatik olarak ters bir matris elde edersiniz. Matris A sol taraftaki elemanter matris dönüşümleri ile birim matrise dönüştürülür.

2. Matris dönüşümü sürecinde ise A kimlik matrisinde herhangi bir satırda veya herhangi bir sütunda yalnızca sıfırlar olacaktır, o zaman matrisin determinantı sıfıra eşit olur ve sonuç olarak matris A tekil olacaktır ve ters matrisi yoktur. Bu durumda ters matrisin daha fazla belirlenmesi durur.

Örnek 2. Matris için

ters matrisi bulun.

ve bunu sol tarafta bir birim matris elde edecek şekilde dönüştüreceğiz. Dönüşüme başlıyoruz.

Sol ve sağ matrisin ilk satırını (-3) ile çarpıp ikinci satıra ekleyin, ardından ilk satırı (-4) ile çarpıp üçüncü satıra ekleyin, sonra şunu elde ederiz:

.

Sonraki dönüşümlerde kesirli sayıların kalmamasını sağlamak için öncelikle ikili matrisin sol tarafındaki ikinci satırda bir birim oluşturalım. Bunu yapmak için ikinci satırı 2 ile çarpın ve üçüncü satırı bundan çıkarın, sonra şunu elde ederiz:

.

İlk satırı ikinciyle toplayalım, sonra ikinci satırı (-9) ile çarpıp üçüncü satırla toplayalım. Sonra alırız

.

Üçüncü satırı 8'e bölün, ardından

.

Üçüncü satırı 2 ile çarpın ve ikinci satıra ekleyin. Görünüşe göre:

.

İkinci ve üçüncü satırları yer değiştirelim ve sonunda şunu elde edelim:

.

Sol tarafta birim matrisimiz olduğunu görüyoruz, dolayısıyla sağ tarafta da ters matrisimiz var. Böylece:

.

Orijinal matrisi bulunan ters matrisle çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edebilirsiniz:

Sonuç ters bir matris olmalıdır.

Örnek 3. Matris için

ters matrisi bulun.

Çözüm. İkili bir matrisin derlenmesi

ve onu dönüştüreceğiz.

İlk satırı 3 ile, ikinciyi 2 ile çarpıp ikinciden çıkarıyoruz, sonra ilk satırı 5 ile, üçüncü satırı 2 ile çarpıp üçüncü satırdan çıkarıyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:

.

İlk satırı 2 ile çarpıp ikinciye ekleriz, sonra ikinciyi üçüncü satırdan çıkarırız, sonra şunu elde ederiz:

.

Sol taraftaki üçüncü satırda tüm elemanların sıfıra eşit olduğunu görüyoruz. Bu nedenle matris tekildir ve ters matrisi yoktur. Ters maritz'i bulmayı bırakıyoruz.