Simetri merkezi olan geometrik bir şekil. Tek bir simetri ekseni olmayan şekiller vardır

Simetrinin tanımı;

• Simetrinin tanımı;

• Merkezi simetri;

• Eksenel simetri;

• Düzleme göre simetri;

• Dönme simetrisi;

• Ayna simetrisi;

• Benzerliğin simetrisi;

• Bitki simetrisi;

• Hayvan simetrisi;

• Mimaride simetri;

• İnsan simetrik bir yaratık mıdır?

• Kelime ve sayıların simetrisi;

SİMETRİ

• SİMETRİ- Orantılılık, bir şeyin parçalarının bir noktanın, düz bir çizginin veya düzlemin zıt taraflarındaki düzenindeki aynılık.

• (Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü)

• Yani geometrik bir nesne eğer ona bir şey yapılabilirse simetrik kabul edilir ve sonrasında öyle kalır. değişmedi.

HAKKINDA HAKKINDA HAKKINDA isminde şeklin simetri merkezi.

• Şeklin noktaya göre simetrik olduğu söylenir HAKKINDAşeklin her noktası için o noktaya göre simetrik bir nokta varsa HAKKINDA da bu figüre aittir. Nokta HAKKINDA isminde şeklin simetri merkezi.

daire ve paralelkenar dairenin merkezi ). Takvim tek işlev

Merkezi simetriye sahip şekillere örnekler: daire ve paralelkenar. Bir dairenin simetri merkezi dairenin merkezi ve paralelkenarın simetri merkezi köşegenlerinin kesişme noktası. Herhangi bir düz çizginin merkezi simetrisi de vardır ( Bir doğru üzerindeki herhangi bir nokta onun simetri merkezidir). Takvim tek işlev orijine göre simetriktir.

• Simetri merkezi olmayan bir şekle örnek: keyfi üçgen.

A A A isminde şeklin simetri ekseni.

• Şeklin düz bir çizgiye göre simetrik olduğu söylenir Aşeklin her noktası için düz çizgiye göre simetrik bir nokta varsa A da bu figüre aittir. Dümdüz A isminde şeklin simetri ekseni.

Dönülmemiş bir köşede bir simetri ekseni açıortay bir simetri ekseni üç simetri ekseni iki simetri ekseni ve kare dört simetri ekseni koordinata göre.

Dönülmemiş bir köşede bir simetri ekseni- bulunduğu düz çizgi açıortay. Bir ikizkenar üçgen de vardır bir simetri ekseni ve bir eşkenar üçgen üç simetri ekseni. Kare olmayan bir dikdörtgen ve eşkenar dörtgen iki simetri ekseni ve kare dört simetri ekseni. Çemberde sonsuz sayıda bunlardan var. Eşit bir fonksiyonun grafiği oluşturulduğunda simetriktir koordinata göre.

• Tek bir simetri ekseni olmayan şekiller vardır. Bu tür rakamlar şunları içerir: paralelkenar, dikdörtgen dışında, çeşitkenar üçgen.

Puanlar A Ve A1 A A AA1 Ve dik A sayar kendine simetrik

Puanlar A Ve A1 düzleme göre simetrik olarak adlandırılır A(simetri düzlemi), eğer düzlem A segmentin ortasından geçer AA1 Ve dik bu segmente. Uçağın her noktası A sayar kendine simetrik. İki figür, çift simetrik noktalardan oluşuyorsa, düzleme göre simetrik (veya ayna simetrik göreli) olarak adlandırılır. Bu, bir şeklin her noktası için, ona (göreceli olarak) simetrik bir noktanın başka bir şekilde yer aldığı anlamına gelir.

Vücudun (veya şeklin) sahip olduğu dönme simetrisi, eğer bir açıyı döndürürken 360°/n, burada n bir tam sayıdır tamamen uyumlu

• Vücudun (veya şeklin) sahip olduğu dönme simetrisi, eğer bir açıyı döndürürken 360°/n, burada n bir tam sayıdır, bir AB düz çizgisinin (simetri ekseni) yakınında tamamen uyumlu Orijinal konumuyla.

• Radyal simetri- Bir nesne belirli bir nokta veya çizgi etrafında döndüğünde korunan bir simetri biçimi. Çoğu zaman bu nokta, nesnenin ağırlık merkeziyle, yani kesişiyor sonsuz sayıda simetri ekseni. Benzer nesneler olabilir daire, top, silindir veya koni.

Ayna simetrisi herkesi bağlar

Ayna simetrisi herkesi bağlar bir cisim ve onun düzlem aynadaki yansıması. Bir figürün (veya vücudun) birlikte ayna simetrik bir figür (veya gövde) oluşturması durumunda diğerine ayna simetrik olduğu söylenir. Simetrik olarak aynalanmış figürler, tüm benzerliklerine rağmen birbirlerinden önemli ölçüde farklıdır. İki ayna simetrik düz figür her zaman üst üste yerleştirilebilir. Ancak bunun için bunlardan birinin (veya her ikisinin) ortak düzlemden çıkarılması gerekir.

Benzerliğin simetrisi yuvalama bebek.

• Benzerliğin simetrisiönceki simetrilerin benzersiz analoglarıdır; tek fark, bunların ilişkili olmasıdır. şeklin benzer kısımlarında ve aralarındaki mesafelerde eşzamanlı azalma veya artış. Böyle bir simetrinin en basit örneği yuvalama bebek.

• Bazen şekiller farklı simetri türlerine sahip olabilir. Örneğin, bazı harfler dönme ve ayna simetrisine sahiptir: VE, N, M, HAKKINDA, A.

• Doğası gereği soyut olan birçok başka simetri türü vardır. Örneğin:

• Değişme simetrisi, eğer aynı parçacıklar değiştirilirse hiçbir değişiklik meydana gelmez;

• Gösterge simetrileri bağlı yakınlaştırma değişikliği ile. Cansız doğada simetri öncelikle böyle bir doğal olayda ortaya çıkar. kristaller neredeyse tüm katıların oluştuğu yer. Özelliklerini belirleyen budur. Kristallerin güzelliğinin ve mükemmelliğinin en açık örneği bilinen kar tanesi.

Her yerde simetriyle karşılaşırız: doğada, teknolojide, sanatta, bilimde. Simetri kavramı, insan yaratıcılığının asırlık tarihinin tamamı boyunca uzanır. Simetri ilkeleri önemli bir rol oynar fizik ve matematik, kimya ve biyoloji, teknoloji ve mimari, resim ve heykel, şiir ve müzik. Doğa yasaları da simetri ilkelerine tabidir.

simetri ekseni.

• Birçok çiçeğin ilginç bir özelliği vardır: Her bir taç yaprağı komşusunun konumunu alacak ve çiçek kendisiyle aynı hizada olacak şekilde döndürülebilirler. Bu çiçek var simetri ekseni.

• Helisel simetriÇoğu bitkinin gövdelerindeki yaprakların dizilişinde gözlenir. Gövde boyunca spiral şeklinde dizilen yapraklar her yöne yayılmış gibi görünüyor ve bitki yaşamı için son derece gerekli olan ışıktan birbirlerini engellemiyor.

• İkili simetri Birçok kaktüsün gövdesi gibi bitki organları da mevcuttur. Genellikle botanikte bulunur radyal olarak simetrik olarak düzenlenmiş çiçekler.

bölme çizgisi.

• Hayvanlarda simetri, boyut, şekil ve dış hatların uygunluğunun yanı sıra karşıt taraflarda bulunan vücut parçalarının göreceli düzenlemesi anlamına gelir. bölme çizgisi.

• Başlıca simetri türleri şunlardır: radyal(radyal) - derisi dikenliler, koelenteratlar, denizanası vb. tarafından ele geçirilmiştir; veya iki taraflı(iki taraflı) - her hayvanın (böcek, balık veya kuş) oluştuğunu söyleyebiliriz. iki yarım- sağ ve sol.

• Küresel simetri radyolaryalılarda ve güneş balıklarında görülür. Merkezden çizilen herhangi bir düzlem, hayvanı eşit yarılara böler.

• Bir yapının simetrisi, fonksiyonlarının organizasyonu ile ilişkilidir. Simetri düzleminin (bina ekseni) izdüşümü genellikle ana girişin konumunu ve ana trafik akışlarının başlangıcını belirler.

• Simetrik bir sistemdeki her ayrıntı mevcuttur zorunlu çiftinizin bir dublörü gibi eksenin diğer tarafında yer alır ve bu nedenle ancak bütünün bir parçası olarak değerlendirilebilir.

• Mimarlıkta en yaygın olanı ayna simetrisi. Eski Mısır'ın binaları ve antik Yunanistan tapınakları, Romalıların amfitiyatroları, hamamları, bazilikaları ve zafer kemerleri, Rönesans'ın sarayları ve kiliseleri ile modern mimarinin çok sayıda yapısı ona tabidir.

aksan

• Simetriyi daha iyi yansıtacak şekilde binalar yerleştirildi aksan- özellikle önemli unsurlar (kubbeler, kuleler, çadırlar, ana girişler ve merdivenler, balkonlar ve cumbalı pencereler).

• Mimarinin dekorasyonunu tasarlamak için, elemanlarının simetrik kompozisyonuna dayanan ve çizgi, renk veya kabartma ile ifade edilen, ritmik olarak tekrarlanan bir desen olan bir süsleme kullanılır. Tarihsel olarak, iki kaynağa (doğal formlar ve geometrik şekiller) dayalı olarak çeşitli süsleme türleri gelişmiştir.

• Ancak bir mimar her şeyden önce bir sanatçıdır. Ve bu nedenle en "klasik" stiller bile daha sık kullanıldı asimetri– saf simetriden incelikli sapma veya asimetri- kasıtlı olarak asimetrik yapı.

• Bir kişinin dışarıdan simetrik olarak inşa edildiğinden hiç kimse şüphe duymayacaktır: sol el her zaman sağa karşılık gelir ve her iki el de tamamen aynıdır. Ancak ellerimiz, kulaklarımız, gözlerimiz ve vücudumuzun diğer kısımları arasındaki benzerlikler aynıdır. Bir nesne ile onun aynadaki yansıması arasında.

Sağ onun yarım kaba özellikler erkek cinsiyetinin karakteristik özelliği. Sol yarı

Erkeklerde ve kadınlarda yüz parametrelerinin çok sayıda ölçümü şunu göstermiştir: Sağ onun yarım sola kıyasla daha belirgin enine boyutlara sahiptir, bu da yüze daha fazla görünüm kazandırır. kaba özellikler erkek cinsiyetinin karakteristik özelliği. Sol yarı yüzün daha belirgin uzunlamasına boyutları vardır, bu da onu verir pürüzsüz çizgiler ve kadınlık. Bu gerçek, kadınların sanatçıların önünde yüzlerinin sol tarafıyla, erkeklerin ise sağ tarafıyla poz verme konusundaki baskın isteklerini açıklıyor.

Palindrom

• Palindrom(Gr. Palindromos'tan - geri koşmak), bileşenlerinin simetrisinin baştan sona ve uçtan başa belirtildiği bir nesnedir. Örneğin bir cümle veya metin.

• Belirli bir alfabenin normal okuma yönüne göre (genellikle soldan sağa) okunan bir palindromun düz metnine denir. dik, tersi - gezici tarafından veya tersi(sağdan sola). Bazı sayıların simetrisi de vardır.

Homotetiklik ve benzerlik.Homotetiklik her noktanın olduğu bir dönüşümdür. M (düzlem veya uzay) bir noktaya atanır M", OM'nin üzerinde yatıyor (Şekil 5.16) ve oran OM":OM= λ dışındaki tüm noktalar için aynı HAKKINDA. Sabit nokta HAKKINDA homojenliğin merkezi olarak adlandırılıyor. DavranışÖM": ÖM" durumunda olumlu kabul edilir M" ve M bir tarafına yat HAKKINDA, negatif - zıt taraflarda. Sayı X homotetik katsayısı denir. Şu tarihte: X< 0 homotesine ters denir. Şu tarihte:λ = - 1 homoteliği bir nokta etrafında simetri dönüşümüne dönüşür HAKKINDA. Homothety ile düz bir çizgi düz bir çizgiye gider, düz çizgilerin ve düzlemlerin paralelliği korunur, açılar (doğrusal ve dihedral) korunur, her şekil ona girer benzer (Şekil 5.17).

Bunun tersi de doğrudur. Bir homotetiklik, karşılık gelen noktaları birleştiren çizgilerin bir noktadan - homoteliğin merkezinden - geçtiği bir afin dönüşüm olarak tanımlanabilir. Görüntüleri büyütmek için homojenlik kullanılır (projeksiyon lambası, sinema).

Merkezi ve ayna simetrileri.Simetri (geniş anlamda), şeklinin belirli bir doğruluğunu, hareketlerin ve yansımaların etkisi altındaki değişmezliğini karakterize eden geometrik bir F şeklinin bir özelliğidir. Bir Φ şekli, eğer bu şekli kendi içine alan özdeş olmayan dik dönüşümler varsa, simetriye (simetrik) sahiptir. Φ şeklini kendisiyle birleştiren tüm ortogonal dönüşümlerin kümesi bu şeklin grubudur. Yani, noktalı düz bir şekil (Şekil 5.18) M, dönüşüyor...

aynada kendine bakmak yansıma, düz eksene göre simetrik AB. Burada simetri grubu iki öğeden oluşur; bir nokta M dönüştürüldü M".

Düzlemdeki Φ şekli herhangi bir noktaya göre dönmeyi sağlayacak şekilde ise HAKKINDA n > 2'nin bir tam sayı olduğu 360°/n'lik bir açıya çevirirseniz, bunu kendi içine çevirirseniz, o zaman Ф şekli noktaya göre n'inci dereceden simetriye sahip olur HAKKINDA - simetri merkezi. Bu tür şekillerin bir örneği, merkezine göre sekizinci dereceden simetriye sahip olan, örneğin yıldız şeklindeki (Şekil 5.19) düzenli çokgenlerdir. Buradaki simetri grubu, n'inci dereceden döngüsel grup olarak adlandırılır. Çember sonsuz derecede simetriye sahiptir (herhangi bir açıda dönerek kendisiyle uyumlu olduğundan).

Uzaysal simetrinin en basit türleri merkezi simetridir (inversiyon). Bu durumda noktaya göre HAKKINDA F şekli, karşılıklı olarak dik üç düzlemden, yani bir noktadan art arda yansımaların ardından kendisiyle birleştirilir. HAKKINDA - F simetrik noktalarını birleştiren segmentin ortası. Yani, bir küp için (Şekil 5.20) nokta HAKKINDA simetri merkezidir. Puanlar M ve M" küp

Simetri uyum ve düzen ile ilişkilidir. Ve iyi bir sebepten dolayı. Çünkü simetri nedir sorusunun Antik Yunancadan birebir tercümesi şeklinde bir cevabı var. Ve bunun orantılılık ve değişmezlik anlamına geldiği ortaya çıktı. Ve kesin bir konum tanımından daha düzenli ne olabilir? Ve boyuta tam olarak karşılık gelen bir şeyden daha uyumlu ne denilebilir?

Farklı bilimlerde simetri ne anlama geliyor?

Biyoloji. Simetrinin önemli bir bileşeni, hayvanların ve bitkilerin düzenli olarak düzenlenmiş parçalara sahip olmasıdır. Üstelik bu bilimde kesin bir simetri yoktur. Her zaman bir miktar asimetri vardır. Bütünün parçalarının mutlak bir kesinlikle örtüşmediğini kabul eder.

Fizik. Bir cisimler sistemi ve içindeki değişiklikler denklemler kullanılarak tanımlanır. Tüm çözümü basitleştiren simetrik bileşenler içerirler. Bu, korunan miktarların aranmasıyla gerçekleştirilir.

Matematik. Simetrinin ne olduğunu temel olarak açıklayan şey budur. Üstelik geometride buna daha fazla önem verilmektedir. Burada simetri şekil ve cisimlerde gösterilebilme yeteneğidir. Dar anlamda, sadece bir ayna görüntüsüne iner.

Farklı sözlükler simetriyi nasıl tanımlar?

Hangisine bakarsak bakalım “orantılılık” kelimesi her yerde karşımıza çıkacak. Dahl'da aynılık ve eşitlik gibi bir yorum da görülebilir. Başka bir deyişle simetrik aynı anlama gelir. Aynı zamanda sıkıcı olduğunu da söylüyor; olmayan şey daha ilginç görünüyor.

Simetrinin ne olduğu sorulduğunda, Ozhegov'un sözlüğü zaten parçaların bir noktaya, çizgiye veya düzleme göre konumundaki aynılıktan bahsediyor.

Ushakov’un sözlüğü aynı zamanda orantılılığın yanı sıra bütünün iki parçasının birbiriyle tam yazışmasından da bahsediyor.

Asimetriden ne zaman bahsedeceğiz?

“a” öneki asıl ismin anlamını ortadan kaldırır. Dolayısıyla asimetri, elemanların dizilişinin belirli bir kalıba uymaması anlamına gelir. Bunda hiçbir değişmezlik yoktur.

Bu terim, bir öğenin iki yarısının tamamen aynı olmadığı durumlarda kullanılır. Çoğu zaman hiç de benzer değiller.

Canlı doğada asimetri önemli bir rol oynar. Üstelik hem faydalı hem de zararlı olabilir. Örneğin kalp göğsün sol yarısında yer alır. Bu nedenle sol akciğerin boyutu önemli ölçüde daha küçüktür. Ama bu gerekli.

Merkezi ve eksenel simetri hakkında

Matematikte aşağıdaki türler ayırt edilir:

• merkezi, yani bir noktaya göre yapılmış;
• düz bir çizginin yakınında gözlenen eksenel;
• aynasal, yansımalara dayanır;
• simetri aktarımı.

Eksen ve simetri merkezi nedir? Bu, vücuttaki herhangi bir noktanın başka bir noktayı bulabileceği bir nokta veya çizgidir. Üstelik orijinalden ortaya çıkana kadar olan mesafe eksen veya simetri merkezi tarafından ikiye bölünecek şekilde. Bu noktalar hareket ettikçe aynı yörüngeleri tanımlarlar.

Simetri merkezini bulmanın gerekli olduğu durumlarda aşağıdaki gibi ilerlemeniz gerekir. İki şekil varsa, aynı noktaları bulun ve bunları bir doğru parçasına bağlayın. Daha sonra ikiye bölün. Yalnızca tek bir şekil olduğunda, onun özelliklerinin bilinmesi yardımcı olabilir. Çoğu zaman bu merkez köşegenlerin veya yüksekliklerin kesişme noktasıyla çakışır.

Hangi şekiller simetriktir?

Geometrik şekiller eksenel veya merkezi simetriye sahip olabilir. Ancak bu gerekli bir koşul değildir; buna hiç sahip olmayan birçok nesne vardır. Örneğin, bir paralelkenarın merkezi bir paralel kenarı vardır, ancak eksenel bir paralel kenarı yoktur. Ancak ikizkenar olmayan yamukların ve üçgenlerin hiçbir simetrisi yoktur.

Merkezi simetri dikkate alınırsa buna sahip olan pek çok figür vardır. Bunlar bir doğru parçası, bir daire, bir paralelkenar ve kenarları ikiye bölünebilen tüm düzgün çokgenlerdir.

Bir parçanın (aynı zamanda bir dairenin) simetri merkezi onun merkezidir ve bir paralelkenar için köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Normal çokgenler için bu nokta aynı zamanda şeklin merkezi ile çakışmaktadır.

Bir şekilde katlanabileceği düz bir çizgi çizilebilirse ve iki yarım çakışırsa, bu (düz çizgi) bir simetri ekseni olacaktır. İlginç olan, farklı şekillerin kaç tane simetri eksenine sahip olduğudur.

Örneğin, dar veya geniş bir açının yalnızca bir ekseni vardır, o da onun açıortayıdır.

Ekseni ikizkenar üçgende bulmanız gerekiyorsa, yüksekliği tabanına kadar çizmeniz gerekir. Çizgi simetri ekseni olacaktır. Ve sadece bir tane. Ve eşkenar olanda aynı anda üç tane olacak. Ayrıca üçgen, yüksekliklerin kesişim noktasına göre merkezi simetriye de sahiptir.

Bir dairenin sonsuz sayıda simetri ekseni olabilir. Merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi bu rolü yerine getirebilir.

Bir dikdörtgen ve bir eşkenar dörtgen iki simetri eksenine sahiptir. Birincisinde kenarların ortasından geçerler, ikincisinde ise köşegenlerle çakışırlar.

Kare, önceki iki rakamı birleştirir ve aynı anda 4 simetri eksenine sahiptir. Eşkenar dörtgen ve dikdörtgenle aynıdırlar.

“Simetri noktası” - Mimaride simetri. Düzlem figürlerin simetri örnekleri. Eğer O, AA1 doğru parçasının orta noktası ise, A ve A1 noktalarına O'ya göre simetrik denir. Merkezi simetriye sahip şekillere örnek olarak daire ve paralelkenar verilebilir. C noktasına simetri merkezi denir. Bilim ve teknolojide simetri.

“Geometrik figürlerin yapımı” - Eğitim yönü. Asimilasyonun kontrolü ve düzeltilmesi. Yöntemin dayandığı teorinin incelenmesi. Stereometride katı yapılar yoktur. Stereometrik yapılar. Cebirsel yöntem. Dönüşüm yöntemi (benzerlik, simetri, paralel öteleme vb.). Örneğin: düz; açıortay; orta dik.

“İnsan figürü” - İnsan vücudunun şekli ve hareketleri büyük ölçüde iskelet tarafından belirlenir. Tiyatro performansıyla fuar. Sirkte bir sanatçıya iş çıkacağını mı sanıyorsunuz? İskelet, figürün yapısında çerçeve görevi görmektedir. Ana Gövde (mide, göğüs) Başa, yüze, ellere dikkat edilmedi. A. Mathis. Oranlar. Antik Yunanistan.

“Düz bir çizgiye göre simetri” - Düz bir çizgiye göre simetriye eksenel simetri denir. Düz çizgi a simetri eksenidir. Simetri nispeten düzdür. Bulavin Pavel, 9B sınıfı. Her şeklin kaç simetri ekseni vardır? Bir şeklin bir veya daha fazla simetri ekseni olabilir. Merkezi simetri. İkizkenar yamuk. Dikdörtgen.

“Şekil geometrisinin alanları” - Pisagor Teoremi. Çeşitli figürlerin alanları. Bulmacayı çözün. Alanları eşit olan şekillere eşit alanlı şekiller denir. Alan ölçüm birimleri. Bir üçgenin alanı. Dikdörtgen, üçgen, paralelkenar. Santimetre kare. Eşit alana sahip şekiller. Eşit rakamlar b). Milimetre kare. V). A ve D şekillerinden oluşan şeklin alanı nedir?

“Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti” - , Bu durumda. Çabalarken. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Bir noktada sürekli. Fonksiyon değerine eşittir. Ancak fonksiyonun limitini hesaplarken. Değere eşittir. İfade. Aspirasyon. Ya da şunu söyleyebiliriz: Noktanın oldukça küçük bir mahallesinde. den derlenmiştir. Çözüm. Aralıklarla sürekli. Arada.

UZAYSEL ŞEKİLLERİN SİMETRİSİ

Ünlü Alman matematikçi G. Weyl'e (1885-1955) göre "simetri, insanın yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir."
Güzel simetri görüntüleri sanat eserleriyle sergilenir: mimari, resim, heykel vb.
Planimetri dersinde düzlemdeki şekillerin simetrisi kavramı tartışıldı. Özellikle merkezi ve eksenel simetri kavramları tanımlandı. Uzamsal figürler için simetri kavramı da benzer şekilde tanımlanır.
Önce merkezi simetriye bakalım.
noktaya göre simetrik O aradı simetri merkezi, eğer O, AA doğru parçasının orta noktası ise." O noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan (belirli bir O noktasına göre) bir A noktasıyla ilişkili olduğu uzay dönüşümüne denir. merkezi simetri. O noktasına denir simetri merkezi.
İki rakam Ф ve Ф" olarak adlandırılır merkezi simetrik birini diğerine götüren bir simetri dönüşümü varsa.
F şekline denir merkezi simetrik, eğer merkezi olarak kendisine simetrikse.
Örneğin, bir paralel yüzlü, köşegenlerinin kesişme noktasına göre merkezi olarak simetriktir. Top ve küre merkezleri etrafında merkezi olarak simetriktir.
Düzenli çokyüzlülerden küp, oktahedron, ikosahedron ve dodekahedron merkezi olarak simetriktir. Tetrahedron merkezi olarak simetrik bir şekil değildir.
Merkezi simetrinin bazı özelliklerini ele alalım.
Mülk 1. Eğer O 1, Ç 2 Ф şeklinin simetri merkezleri, ardından O noktası 3, O2'ye göre simetrik O1 aynı zamanda bu şeklin simetri merkezidir.
Kanıt. A uzayda bir nokta olsun, A 2 – O'ya göre simetrik bir nokta 2, bir 1 – A'ya simetrik nokta O 1 ve A 3'e göre 2 – simetrik nokta A 1, O2'ye göre (Şekil 1).

O halde O üçgenleri 2 O 1 A 1 ve O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 ve O 2 O 3 A eşittir. Bu nedenle A ve A 3 O etrafında simetrik 3 . Böylece O'ya göre simetri 3 O'ya göre simetrilerin bir bileşimidir 2, O 1 ve O 2 . Sonuç olarak bu simetri ile F şekli kendine dönüşür. O 3 F şeklinin simetri merkezidir.

Sonuçlar.Herhangi bir şeklin ya simetri merkezi yoktur, ya tek bir simetri merkezi vardır, ya da sonsuz sayıda simetri merkezi vardır.

Gerçekten eğer O 1, Ç 2 Ф şeklinin simetri merkezleri, ardından O noktası 3, O2'ye göre simetrik O1 aynı zamanda bu şeklin simetri merkezidir. Aynı şekilde O noktası 4 simetrik O2, O3'e göre aynı zamanda F şeklinin simetri merkezidir, vb. Dolayısıyla bu durumda F şekli sonsuz sayıda simetri merkezine sahiptir.

Şimdi kavramı ele alalım eksenel simetri.
Uzaydaki A ve A" noktalarına denir düz bir çizgiye göre simetrik A, isminde simetri ekseni eğer düzse A AA" doğru parçasının ortasından geçer ve bu parçaya diktir. Düz bir çizginin her noktası A kendine simetrik kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan bir A noktasıyla (belirli bir çizgiye göre) ilişkili olduğu bir uzay dönüşümü A), isminde eksenel simetri. Dümdüz A bu durumda buna denir simetri ekseni.
İki rakama denir düz bir çizgiye göre simetrik A, eğer bu doğruya ilişkin bir simetri dönüşümü bunlardan birini diğerine dönüştürüyorsa.
Uzaydaki F şekline denir düze göre simetrik A kendisine simetrik ise.
Örneğin dikdörtgen bir paralelyüz, karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen düz bir çizgiye göre simetriktir. Dik dairesel bir silindir kendi ekseni etrafında simetriktir, bir top ve bir küre merkezlerinden geçen herhangi bir düz çizgiye göre simetriktir, vb.
Küpün karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen üç simetri ekseni ve karşıt kenarların merkezlerinden geçen altı simetri ekseni vardır.
Tetrahedron, zıt kenarların orta noktalarından geçen üç simetri eksenine sahiptir.
Oktahedron, zıt köşelerden geçen üç simetri eksenine ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen altı simetri eksenine sahiptir.
İkosahedron ve dodekahedron'un her biri, karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş simetri eksenine sahiptir.
Mülk 3. EğerA 1 , A 2 – F şeklinin simetri eksenleri, ardından düz çizgiA 3, simetrik A 1 akraba A 2 aynı zamanda bu şeklin simetri eksenidir.

İspat Özellik 1'in ispatına benzer.

Mülk 4.Uzayda kesişen iki dik çizgi belirli bir F şeklinin simetri eksenleri ise, o zaman kesişme noktasından geçen ve bu çizgilerin düzlemine dik olan düz çizgi aynı zamanda F şeklinin simetri ekseni olacaktır.
Kanıt. O koordinat eksenlerini göz önünde bulundurun X, Ey sen, Ey z. O eksenine göre simetri X X, sen, z) koordinatları ile F şeklinin noktasına ( x, –y, –z). Benzer şekilde O eksenine göre simetri senФ şeklinin bir noktasını koordinatlarla çevirir ( X, –sen, –z) koordinatları ile Ф şeklinin noktasına (– x, –y, z) . Böylece, bu simetrilerin bileşimi, F şeklinin noktasını koordinatlarla çevirir ( x, y, z) koordinatları ile Ф şeklinin noktasına (– x, –y, z). Bu nedenle O ekseni z F şeklinin simetri eksenidir.

Sonuçlar.Uzaydaki herhangi bir şeklin çift (sıfırdan farklı) sayıda simetri ekseni olamaz.
Aslında bazı simetri eksenlerini sabitleyelim A. Eğer B– simetri ekseni kesişmiyor A veya dik açıyla kesişmiyorsa, o zaman onun için başka bir simetri ekseni vardır B', göre simetrik A. Simetri ekseni ise B haçlar A dik açıdaysa onun için başka bir simetri ekseni vardır B' kesişme noktasından geçen ve çizgi düzlemine dik olan A Ve B. Bu nedenle simetri eksenine ek olarak AÇift veya sonsuz sayıda simetri ekseni mümkündür. Bu nedenle, toplam çift (sıfırdan farklı) sayıda simetri ekseni imkansızdır.
Yukarıda tanımlanan simetri eksenlerine ek olarak şunları da dikkate alıyoruz: simetri ekseni N-inci sıra, N 2 .
Dümdüz A isminde simetri ekseni N-inci sıraşekil Ф, eğer Ф şeklini düz bir çizgi etrafında döndürürken A bir açıyla F şekli kendisiyle birleştirilir.

2. dereceden simetri ekseninin basitçe bir simetri ekseni olduğu açıktır.
Örneğin, doğru şekilde N-bir karbon piramidi, tabanın üst kısmından ve ortasından geçen düz çizgi simetri eksenidir N-inci sipariş.
Düzenli çokyüzlülerin hangi simetri eksenlerine sahip olduğunu bulalım.
Küpün, karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen 4. dereceden üç simetri ekseni, karşıt köşelerden geçen 3. dereceden dört simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen 2. dereceden altı simetri ekseni vardır.
Tetrahedron, zıt kenarların orta noktalarından geçen, ikinci dereceden simetriye sahip üç eksene sahiptir.
İkosahedronun zıt köşelerden geçen altı adet 5. dereceden simetri ekseni vardır; karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen on adet 3. dereceden simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş adet 2. dereceden simetri ekseni.
Dodecahedronun karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen altı adet 5. dereceden simetri ekseni vardır; zıt köşelerden geçen on adet 3. dereceden simetri ekseni ve karşıt kenarların orta noktalarından geçen on beş adet 2. dereceden simetri ekseni.
Konsepti ele alalım ayna simetrisi.
Uzaydaki A ve A" noktalarına denir düzleme göre simetrik veya başka bir deyişle, ayna simetrik, eğer bu düzlem AA" doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve ona dik ise. Düzlemin her noktasının kendine simetrik olduğu kabul edilir.
Her A noktasının kendisine simetrik olan (belirli bir düzleme göre) bir A noktasıyla ilişkili olduğu uzay dönüşümüne denir. ayna simetrisi. Uçak denir simetri düzlemi.
İki rakama denir ayna simetrik bu düzleme göre bir simetri dönüşümü bunlardan birini diğerine dönüştürüyorsa, düzleme göre.
Uzaydaki F şekline denir ayna simetrik, eğer kendine simetrik bir ayna ise.
Örneğin, dikdörtgen bir paralel yüzlü, simetri ekseninden geçen ve karşıt yüz çiftlerinden birine paralel olan bir düzlem etrafında simetrik bir aynadır. Silindir, ekseninden vs. geçen herhangi bir düzleme göre ayna simetriktir.
Düzenli çokyüzlüler arasında küp ve oktahedronun her birinin dokuz simetri düzlemi vardır. Tetrahedronun altı simetri düzlemi vardır. İkosahedron ve dodekahedronun her biri, zıt kenar çiftlerinden geçen on beş simetri düzlemine sahiptir.
Mülk 5. Paralel düzlemlere göre iki ayna simetrisinin bileşimi, bu düzlemlere dik olan ve büyüklük olarak bu düzlemler arasındaki mesafenin iki katına eşit olan bir vektör üzerine paralel ötelemedir.
Sonuçlar. Paralel taşınma iki ayna simetrisinin bileşimi olarak düşünülebilir.
Mülk 6. Düz bir çizgide kesişen düzlemlere ilişkin iki ayna simetrisinin bileşimi, bu düz çizgi etrafında, bu düzlemler arasındaki dihedral açının iki katına eşit bir açıyla yapılan bir dönüştür. Özellikle eksenel simetri, dik düzlemler etrafındaki iki ayna simetrisinin bileşimidir.
Sonuçlar. Döndürme, iki ayna simetrisinin birleşimi olarak düşünülebilir.
Mülk 7. Merkezi simetri, üç ayna simetrisinin bileşimi olarak temsil edilebilir.
Bu özelliği koordinat yöntemini kullanarak kanıtlayalım. A noktası olsun uzayda koordinatlar vardır ( x, y, z). Koordinat düzlemine göre ayna simetrisi karşılık gelen koordinatın işaretini değiştirir. Örneğin O düzlemine göre ayna simetrisi xy noktayı koordinatlarla çevirir ( x, y, z) koordinatları olan bir noktaya ( x, y, –z). Koordinat düzlemlerine göre üç ayna simetrisinin bileşimi, koordinatları olan bir noktayı çevirir ( x, y, z) koordinatları olan bir noktaya (– x, –y, –z), orijinal A noktasına merkezi olarak simetriktir.
F figürünü kendine dönüştüren hareketler kompozisyona göre bir grup oluşturur. Buna denir simetri grubu F rakamları
Küpün simetri grubunun sırasını bulalım.
Küpü kendi içine aktaran herhangi bir hareketin küpün merkezini yerinde bıraktığı, yüzlerin merkezlerini yüzlerin merkezlerine, kenarların orta noktalarını kenarların orta noktalarına, köşeleri de köşelere aktardığı açıktır.
Böylece küpün hareketini belirlemek için yüzün merkezinin nereye gittiğini, bu yüzün kenarının ortasını ve kenarın tepe noktasını belirlemek yeterlidir.
Bir küpün, her birinin köşeleri küpün merkezi, yüzün merkezi, bu yüzün kenarının ortası ve kenarın tepe noktası olan dörtyüzlülere bölünmesini ele alalım. Bu tür 48 tetrahedra vardır. Hareket tamamen belirli bir tetrahedronun hangi tetrahedraya çevrildiğine göre belirlendiğinden, küpün simetri grubunun sırası 48'e eşit olacaktır.
Tetrahedron, oktahedron, ikosahedron ve dodekahedronun simetri gruplarının sıraları da benzer şekilde bulunur.
S birim çemberinin simetri grubunu bulalım 1 . Bu grup O(2) ile gösterilir. Sonsuz bir topolojik gruptur. Birim çemberi modülo bir karmaşık sayılar grubu olarak hayal edelim. Doğal bir epimorfizm vardır p:O(2) --> S 1 O(2) grubunun bir u öğesini S'deki bir u(1) öğesiyle ilişkilendiren 1 . Bu haritalamanın çekirdeği Z grubudur. 2 birim çemberin Ox eksenine göre simetrisi tarafından oluşturulur. Bu nedenle O(2)/Z 2S 1 . Ayrıca, grup yapısını dikkate almazsak, O(2) ile doğrudan S çarpımı arasında bir homeomorfizm vardır. 1 ve Z2.
Benzer şekilde, iki boyutlu S küresinin simetri grubu 2 O(3) ile gösterilir ve bunun için O(3)/O(2) S izomorfizmi vardır. 2 .
N-boyutlu kürelerin simetri grupları topolojinin modern dallarında önemli bir rol oynar: manifoldlar teorisi, fiber uzayları teorisi, vb.
Doğadaki simetrinin en çarpıcı tezahürlerinden biri kristallerdir. Kristallerin özellikleri, geometrik yapılarının özelliklerine, özellikle de kristal kafes içindeki atomların simetrik düzenine göre belirlenir. Kristallerin dış şekilleri iç simetrilerinin bir sonucudur.
Kristallerdeki atomların düzenli, düzenli, simetrik bir düzende düzenlendiğine dair hala belirsiz olan ilk varsayımlar, atom kavramının belirsiz olduğu ve atom kavramının deneysel kanıtının bulunmadığı bir dönemde çeşitli doğa bilimcilerinin çalışmalarında ifade edilmişti. Maddenin atomik yapısı. Kristallerin simetrik dış şekli, ister istemez kristallerin iç yapısının simetrik ve düzenli olması gerektiği fikrini akla getirdi. Kristallerin dış formunun simetri yasaları 19. yüzyılın ortalarında tam olarak oluşturulmuş ve bu yüzyılın sonuna gelindiğinde kristallerdeki atomik yapıların tabi olduğu simetri yasaları açık ve doğru bir şekilde çıkarılmıştır.
Kristallerin yapısına ilişkin matematiksel teorinin kurucusu, seçkin Rus matematikçi ve kristalograf Evgraf Stepanovich Fedorov'dur (1853-1919). Matematik, kimya, jeoloji, mineraloji, petrografi, madencilik - E.S. Fedorov bu alanların her birine önemli katkılarda bulundu. 1890'da, kristal yapılardaki simetri elemanlarının birleşimi, diğer bir deyişle kristallerin içindeki parçacıkların düzeninin simetrisi için olası tüm geometrik yasaları kesin bir şekilde matematiksel olarak türetmiştir. Bu tür yasaların sayısının sınırlı olduğu ortaya çıktı. Fedorov, daha sonra bilim adamının onuruna Fedorov adını alacak olan 230 uzay simetri grubunun bulunduğunu gösterdi. Bu, X ışınlarının keşfinden 10 yıl önce, kristal kafesin varlığını kanıtlamak için kullanılmalarından 27 yıl önce yapılan devasa bir çabaydı. 230 Fedorov grubunun varlığı, modern yapısal kristalografinin en önemli geometrik yasalarından biridir. “Sayısız kristal oluşumunun tüm doğal “kaosunu” tek bir geometrik şema altında toplamayı başaran E.S. Fedorov'un devasa bilimsel başarısı, hala hayranlık uyandırıyor. Akademisyen A.V., “Kristallerin Krallığı” sarsılmaz bir anıt ve klasik Fedorov kristalografisinin nihai zirvesidir” dedi. Shubnikov.

Edebiyat
1. Hadamard J. Temel geometri. Bölüm II. Stereometri. – 3. baskı. – M.: Üçpedgiz, 1958.
2. Weil G. Simetri. – M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Simetri üzerine çalışmalar. – M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Bu sağ, sol dünya. – M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Ayna dünyası. – M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.Ş. Mikro ve makrokozmosta simetri. – M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Matematikte simetri. – M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Temel geometri dersi. Bölüm II. Uzayda geometri. – M.-L.: Devlet Yayınevi. teknik-teorik edebiyat, 1949.
9. Sonin A.Ş. Mükemmelliğin kavranması (simetri, asimetri, asimetri, antisimetri). – M.: Bilgi, 1987.
10. Tarasov L.V. Bu inanılmaz derecede simetrik dünya. – M.: Eğitim, 1982.
11. Simetri desenleri. – M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Doğada simetri. – 2. baskı. –L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Bilim ve sanatta simetri. – M.: Nauka, 1972.