Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı

Belediye eğitim kurumu

"22 No'lu Ortaokul"

İkinci dereceden ve daha yüksek dereceli denklemler

Tamamlanmış:

8 "B" sınıfı öğrencileri

Kuznetsov Evgeniy ve Rudi Alexey

Danışman:

Zenina Alevtina Dmitrievna

matematik öğretmeni

giriiş

1.1 Antik Babil'deki Denklemler

1.2 Arap denklemleri

1.3 Hindistan'daki Denklemler

Bölüm 2. İkinci dereceden denklemler teorisi ve yüksek dereceli denklemler

2.1 Temel kavramlar

2.2 x'te çift katsayı için formüller

2.3 Vieta teoremi

2.4 Belirli bir nitelikteki ikinci dereceden denklemler

2.5 Daha yüksek dereceli polinomlar (denklemler) için Vieta teoremi

2.6 İkinci dereceden (biquadratik) indirgenebilen denklemler

2.7 İki ikinci dereceden denklemlerin incelenmesi

2.8 Cordano formülleri

2.9 Üçüncü dereceden simetrik denklemler

2.10 Karşılıklı denklemler

2.11 Horner şeması

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Ek 1

Ek 2

Ek 3

giriiş

Denklemler okul cebir dersinde önde gelen bir yere sahiptir. Çalışmalarına diğer konulardan daha fazla zaman ayrılır. Aslında denklemler yalnızca önemli teorik öneme sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda tamamen pratik amaçlara da hizmet eder. Gerçek dünyadaki mekansal formlar ve niceliksel ilişkilerle ilgili çok sayıda problem, çeşitli denklem türlerinin çözülmesinden kaynaklanmaktadır. Bunları çözmenin yollarını öğrenerek, bilim ve teknolojiden (ulaşım, tarım, sanayi, iletişim vb.) kaynaklanan çeşitli sorulara yanıtlar buluyoruz.

Bu yazıda çeşitli denklemleri çözmek için formüller ve yöntemler göstermek istiyorum. Bu amaçla okul müfredatında yer almayan denklemler verilmektedir. Bunlar esas olarak belirli nitelikteki denklemler ve daha yüksek dereceli denklemlerdir. Bu konuyu genişletmek için bu formüllerin kanıtları verilmiştir.

Makalemizin amaçları:

Denklem çözme becerilerini geliştirin

Denklemleri çözmenin yeni yollarını geliştirin

Bu denklemleri çözmenin bazı yeni yollarını ve formüllerini öğrenin.

Çalışmanın amacı temel cebirdir. Çalışmanın amacı denklemlerdir. Bu konunun seçimi, denklemlerin hem ilkokul müfredatında hem de ortaokul, lise ve kolejlerin sonraki her sınıfında yer alması gerçeğine dayanıyordu. Pek çok geometrik problem, fizik, kimya ve biyolojideki problemler denklemler kullanılarak çözülür. Denklemler yirmi beş yüzyıl önce çözüldü. Hem eğitim sürecinde kullanılmak üzere hem de üniversitelerdeki rekabetçi sınavlar için, en üst düzeydeki olimpiyatlar için bugün hala yaratılıyorlar.

Bölüm 1. İkinci dereceden denklemlerin ve yüksek mertebeden denklemlerin tarihi

1.1 Antik Babil'deki Denklemler

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu. Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci derecedeki denklemleri çözme ihtiyacı, askeri nitelikteki arsaların ve arazi işlerinin bulunmasıyla ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından kaynaklanıyordu. astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte. Daha önce de belirttiğimiz gibi ikinci dereceden denklemler M.Ö. 2000 yıllarında Babilliler tarafından çözülebilmiştir. Modern cebirsel notasyonu kullanarak çivi yazılı metinlerde hem eksik hem de tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz.

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern olanlarla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor.

Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden bir denklemi çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

1.2 Arap denklemleri

Araplar tarafından hem ikinci dereceden hem de yüksek mertebeden denklemlerin çözümü için bazı yöntemler geliştirildi. Böylece ünlü Arap matematikçi El-Khorezmi, "El-Jabar" adlı kitabında çeşitli denklemleri çözmenin birçok yolunu anlattı. Onların tuhaflığı, Al-Khorezmi'nin denklemlerin köklerini (çözümlerini) bulmak için karmaşık radikalleri kullanmasıydı. Miras paylaşımına ilişkin sorularda bu tür denklemlerin çözülmesine ihtiyaç vardı.

1.3 Hindistan'daki Denklemler

İkinci dereceden denklemler Hindistan'da da çözüldü. İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir konik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu:

aх² + bx= c, burada a > 0

Bu denklemde a dışındaki katsayılar negatif olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Hem ikinci dereceden hem de daha yüksek dereceli denklemler, uzak atalarımız tarafından çözüldü. Bu denklemler çok farklı ve uzak ülkelerde çözüldü. Denklemlere duyulan ihtiyaç büyüktü. Denklemler inşaatta, askeri işlerde ve günlük durumlarda kullanıldı.

Bölüm 2. İkinci dereceden denklemler ve yüksek mertebeden denklemler

2.1 Temel kavramlar

İkinci dereceden bir denklem, formun bir denklemidir

a, b, c katsayıları herhangi bir gerçek sayıdır ve a ≠ 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin baş katsayısı 1 ise azaltılmış denklem olarak adlandırılır.

Örnek :

x 2 + 2x + 6 = 0.

İkinci dereceden denklem, baş katsayısı 1'den farklıysa indirgenmemiş denklem olarak adlandırılır.

Örnek :

2x2 + 8x + 3 = 0.

Tam ikinci dereceden denklem, üç terimin de mevcut olduğu ikinci dereceden bir denklemdir, diğer bir deyişle b ve c katsayılarının sıfır olmadığı bir denklemdir.

Örnek :

3x2 + 4x + 2 = 0.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem, en az bir b, c katsayısının sıfıra eşit olduğu ikinci dereceden bir denklemdir.

Dolayısıyla üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:

1) ax² = 0 (çakışan iki kökü vardır x = 0).

2) ax² + bx = 0 (iki kökü vardır x 1 = 0 ve x 2 = -)

Örnek :

x1 = 0, x2 = -5.

Cevap: x 1 =0, x 2 = -5.

Eğer -<0 - уравнение не имеет корней.

Örnek :

Cevap: Denklemin kökleri yoktur.

–> 0 ise x 1,2 = ±

Örnek :

Cevap: x 1,2 =±

İkinci dereceden herhangi bir denklem, diskriminant (b² - 4ac) kullanılarak çözülebilir. Genellikle b² - 4ac ifadesi D harfiyle gösterilir ve ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı (veya ikinci dereceden üç ax² + bx + c teriminin diskriminantı) olarak adlandırılır.

Örnek :

x 2 +14x – 23 = 0

D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256

x 2 =

Cevap: x 1 = 1, x 2 = - 15.

Diskriminant'a bağlı olarak denklemin bir çözümü olabilir veya olmayabilir.

1) Eğer D< 0, то не имеет решения.

2) Eğer D = 0 ise denklemin çakışan iki çözümü vardır x 1,2 =

3) D > 0 ise aşağıdaki formüle göre iki çözüm bulunur:

x 1,2 =

2.2 x'te çift katsayı için formüller

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin

ax² + bx + c = 0 formülüyle bulunur

x 1,2 =

Ancak matematikçiler hesaplamalarını kolaylaştırma fırsatını asla kaçırmayacaklar. Bu formülün, b katsayısının b = 2k olması durumunda, özellikle de b'nin bir çift sayı olması durumunda basitleştirilebileceğini buldular.

Aslında ikinci dereceden ax² + bx + c = 0 denkleminin b katsayısı b = 2k olsun. Formülümüzde b yerine 2k sayısını yazarsak şunu elde ederiz:

Dolayısıyla ikinci dereceden ax² + 2kx + c = 0 denkleminin kökleri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

x 1,2 =

Örnek :

5x2 - 2x + 1 = 0

Bu formülün avantajı, b sayısının karesi değil yarısı olması; bu kareden çıkarılanın 4ac değil, sadece ac olması ve son olarak paydanın 2a değil sadece a içermesidir. .

İkinci dereceden denklem verilirse formülümüz şöyle görünecektir:

Örnek :

x 2 – 4x + 3 = 0

Cevap: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 Vieta teoremi

İkinci dereceden denklemin köklerinin çok ilginç bir özelliği Fransız matematikçi Francois Viète tarafından keşfedildi. Bu özelliğe Vieta teoremi adı verildi:

Böylece x 1 ve x 2 sayıları denklemin kökleri olur:

ax² + bx + c = 0

eşitliği sağlamak gerekli ve yeterlidir

x 1 + x 2 = -b/a ve x 1 x 2 = c/a

Vieta teoremi ikinci dereceden bir denklemin işaretlerini ve mutlak değerini yargılamamızı sağlar

x² + bx + c = 0

1. Eğer b>0, c>0 ise her iki kök de negatiftir.

2. Eğer b<0, c>0 ise her iki kök de pozitiftir.

3. Eğer b>0 ise, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. Eğer b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 Belirli bir nitelikteki ikinci dereceden denklemler

1) ax² + bx + c = 0 denkleminde a + b + c = 0 ise, o zaman

x 1 = 1 ve x 2 = .

Kanıt :

ax² + bx + c = 0 denkleminde kökleri

x 1,2 = (1).

b'yi a + b + c = 0 eşitliğinden temsil edelim

Bu ifadeyi formül (1)'de yerine koyalım:

=

Denklemin iki kökünü ayrı ayrı ele alırsak şunu elde ederiz:

1) x 1 =

2) x 2 =

Şu şekildedir: x 1 = 1 ve x 2 =.

1. Örnek :

2x² - 3x + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, dolayısıyla

2. Örnek :

418x² - 1254x + 836 = 0

Bu örneği bir diskriminant kullanarak çözmek çok zordur, ancak yukarıdaki formülü bilerek kolayca çözülebilir.

a = 418, b = -1254, c = 836.

x 1 = 1 x 2 = 2

2) ax² + bx + c = 0 denkleminde a - b + c = 0 ise:

x 1 =-1 ve x 2 =-.

Kanıt :

ax² + bx + c = 0 denklemini düşünün, şu şekilde olur:

x 1,2 = (2).

b'yi a - b + c = 0 eşitliğinden temsil edelim

b = a + c, formül (2)'de yerine koyun:

=

İki ifade elde ederiz:

1) x 1 =

2) x 2 =

Bu formül öncekine benzer ama aynı zamanda önemlidir çünkü... Bu türün örnekleri yaygındır.

1) Örnek :

2x² + 3x + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, dolayısıyla

2)Örnek :

Cevap: x1 = -1; x2 = -

3) Yöntem “ transferler ”

İkinci dereceden y² + by + ac = 0 ve ax² + bx + c = 0 denklemlerinin kökleri aşağıdaki ilişkilerle ilişkilidir:

x 1 = ve x 2 =

Kanıt :

a) ax² + bx + c = 0 denklemini düşünün

x 1,2 = =

b) y² + by + ac = 0 denklemini düşünün

y 1,2 =

Her iki çözümün diskriminantlarının eşit olduğuna dikkat edin; bu iki denklemin köklerini karşılaştıralım. Birbirlerinden önde gelen bir faktörle ayrılırlar, ilk denklemin kökleri ikincinin köklerinden a kadar küçüktür. Vieta teoremini ve yukarıdaki kuralı kullanarak çeşitli denklemleri çözmek zor değildir.

Örnek :

Keyfi bir ikinci dereceden denklemimiz var

10x² - 11x + 3 = 0

Bu denklemi verilen kurala göre dönüştürelim

y² - 11y + 30 = 0

Vieta teoremi kullanılarak oldukça kolay çözülebilen indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ediyoruz.

y 1 ve y 2, y² - 11y + 30 = 0 denkleminin kökleri olsun

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

Bu denklemlerin köklerinin birbirinden a kadar farklı olduğunu bilerek, o zaman

x 1 = 6/10 = 0,6

x 2 = 5/10 = 0,5

Bazı durumlarda, önce verilen ax² + bx + c = 0 denklemini değil, verilen “transfer” katsayısı a'dan elde edilen azaltılmış y² + + ac = 0'ı çözmek ve sonra bulunanı bölmek uygundur. Orijinal denklemi bulmak için a'ya göre kökler.

2.5 Daha yüksek dereceli polinomlar (denklemler) için Vieta formülü

İkinci dereceden denklemler için Viète tarafından türetilen formüller, daha yüksek dereceli polinomlar için de geçerlidir.

Polinom olsun

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

N farklı kökü var x 1, x 2..., x n.

Bu durumda, formun çarpanlara ayrılması vardır:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Bu eşitliğin her iki tarafını da 0 ≠ 0'a bölelim ve ilk kısımdaki parantezleri açalım. Eşitliği elde ederiz:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Ancak iki polinom ancak ve ancak aynı güçlerin katsayıları eşitse tamamen eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor: eşitlik

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Örneğin üçüncü dereceden polinomlar için

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Kimliklerimiz var

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

İkinci dereceden denklemlerde olduğu gibi, bu formüle Vieta formülü denir. Bu formüllerin sol tarafları bu denklemin x 1, x 2..., x n köklerinden simetrik polinomlardır, sağ tarafları ise polinomun katsayısı ile ifade edilir.

2.6 İkinci dereceden (biquadratik) indirgenebilen denklemler

Dördüncü dereceden denklemler ikinci dereceden denklemlere indirgenir:

balta 4 + bx 2 + c = 0,

biquadratic denir ve a ≠ 0.

Bu denkleme x 2 = y koymak yeterlidir, dolayısıyla,

ay² + by + c = 0

ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin köklerini bulalım

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 köklerini hemen bulmak için y'yi x ile değiştirin ve şunu elde edin:

x² =

x 1,2,3,4 = .

Dördüncü dereceden bir denklemin x 1 varsa, o zaman aynı zamanda bir kökü de vardır x 2 = -x 1,

Eğer x 3 varsa, o zaman x 4 = - x 3. Böyle bir denklemin köklerinin toplamı sıfırdır.

Örnek :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Denklemi iki ikinci dereceden denklemlerin kökleri formülünde yerine koyalım:

x 1,2,3,4 = ,

x 1 = -x 2 ve x 3 = -x 4 olduğunu bildiğimizde:

x 3,4 =

Cevap: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 İki ikinci dereceden denklemlerin incelenmesi

Biquadratic denklemi ele alalım

balta 4 + bx 2 + c = 0,

burada a, b, c gerçek sayılardır ve a > 0. Yardımcı bilinmeyen y = x²'yi dahil ederek, bu denklemin köklerini inceliyoruz ve sonuçları tabloya giriyoruz (bkz. Ek No. 1)

2.8 Cardano formülü

Modern sembolizmi kullanırsak Cardano formülünün türetilmesi şu şekilde görünebilir:

x =

Bu formül genel bir üçüncü derece denklemin köklerini belirler:

balta 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Bu formül çok hantal ve karmaşıktır (birkaç karmaşık radikal içerir). Her zaman geçerli olmayabilir çünkü... doldurulması çok zordur.

2.9 Üçüncü dereceden simetrik denklemler

Üçüncü derecenin simetrik denklemleri formun denklemleridir

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

a ve b'ye a¹0 ile sayılar verilmiştir.

Denklemin nasıl olduğunu gösterelim ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).

Denklemin ( 1 ) denkleme eşdeğerdir

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

Bu, köklerinin denklemin kökleri olacağı anlamına gelir

ax² +(b – a)x + a = 0

ve sayı x = -1

denklem ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + balta + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) Örnek :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

x 1 = 1 olduğu açıktır ve

2x² + 5x + 2 = 0 denkleminin x 2 ve x 3 kökleri,

Bunları diskriminant aracılığıyla bulalım:

x 1,2 =

x2 = -, x3 = -2

2) Örnek :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

x 1 = -1 olduğu açıktır ve

5x² + 26x + 5 = 0 denkleminin x 2 ve x 3 kökleri,

Bunları diskriminant aracılığıyla bulalım:

x 1,2 =

x2 = -5, x3 = -0,2.

2.10 Karşılıklı denklemler

Karşılıklı denklem – cebirsel denklem

a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + an n – 1 x + an n =0,

burada a k = a n – k, burada k = 0, 1, 2…n ve a ≠ 0.

Karşılıklı bir denklemin köklerini bulma sorunu, daha düşük dereceli bir cebirsel denklemin çözümlerini bulma sorununa indirgenir. Karşılıklı denklemler terimi L. Euler tarafından tanıtıldı.

Formun dördüncü derece denklemi:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).

Bu denklemi forma indirgemek

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0 ve y = x + m/x ve y² - 2m = x² + m²/x²,

Denklemin ikinci dereceden indirgendiği yerden

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

Bunu x 2'ye bölmek eşdeğer denklemi verir

3x 2 + 5x – 14 – 5 × veya

Nerede ve

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, dolayısıyla

y 1 = y 2 = -2, dolayısıyla

Ve nereden

Cevap: x 1,2 = x 3,4 = .

Karşılıklı denklemlerin özel bir durumu simetrik denklemlerdir. Daha önce üçüncü dereceden simetrik denklemlerden bahsetmiştik ama dördüncü dereceden simetrik denklemler de var.

Dördüncü dereceden simetrik denklemler.

1) Eğer m = 1 ise, bu birinci türden simetrik bir denklemdir;

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ve yeni yerine koyma ile çözüldü

2) Eğer m = -1 ise bu ikinci türden simetrik bir denklemdir;

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ve yeni yerine koyma ile çözüldü

2.11 Horner şeması

Polinomları bölmek için "açıya göre bölme" kuralı veya Horner şeması kullanılır . Bu amaçla polinomlar azalan derecelerde düzenlenir. X ve bölen D(x)'in baş terimi ile çarpıldığında, bölen P(x)'in baş terimi elde edilmesi koşulundan Q(x) bölümünün baş terimini bulun. Bölümün bulunan terimi önce bölenle çarpılır ve bölünen paydan çıkarılır. Bölümün baştaki terimi, bölenin baştaki terimiyle çarpıldığında fark polinomunun baştaki terimini vermesi koşulundan belirlenir, vb. Farkın derecesi bölenin derecesinden küçük olana kadar işlem devam eder (bkz. Ek No. 2).

R = 0 denklemleri durumunda bu algoritmanın yerini Horner şeması alır.

Örnek :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

Serbest terimin ±1 bölenlerini bulun; ± 2; ± 3; ± 6.

Denklemin sol tarafını f(x) ile gösterelim. Açıkçası, f(1) = 0, x1 = 1. f(x)'i x – 1'e bölün. (bkz. Ek No. 3)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

Son faktörü Q(x) ile gösteriyoruz. Q(x) = 0 denklemini çözüyoruz.

x 2,3 =

Cevap : 1; -2; -3.

Bu bölümde çeşitli denklemlerin çözümü için bazı formüller verdik. Kısmi denklemlerin çözümü için bu formüllerin çoğu. Bu özellikler çok uygundur çünkü denklemleri bu denklem için ayrı bir formül kullanarak çözmek, genel prensibi kullanmaktan çok daha kolaydır. Her yöntem için bir kanıt ve birkaç örnek sunduk.

Çözüm

Birinci bölümde ikinci dereceden denklemlerin ve yüksek mertebeden denklemlerin ortaya çıkış tarihi incelendi. Çeşitli denklemler 25 yüzyıldan daha uzun bir süre önce çözüldü. Hindistan'ın Babil kentinde bu tür denklemleri çözmek için birçok yöntem oluşturuldu. Denklemlere ihtiyaç olmuştur ve olmaya devam edecektir.

İkinci bölümde ikinci dereceden denklemleri ve yüksek dereceli denklemleri çözmenin (köklerini bulmanın) çeşitli yolları sunulmaktadır. Temel olarak bunlar belirli bir nitelikteki denklemleri çözme yöntemleridir, yani bazı ortak özellikler veya türlerle birleştirilen her denklem grubu için yalnızca bu denklem grubu için geçerli olan özel bir kural verilir. Bu yöntem (her denklem için kendi formülünüzü seçmek), bir diskriminant aracılığıyla kökleri bulmaktan çok daha kolaydır.

Bu özette tüm hedeflere ulaşılmış ve ana görevler tamamlanmış, yeni, önceden bilinmeyen formüller kanıtlanmış ve öğrenilmiştir. Özete dahil etmeden önce birçok örnek örnek üzerinde çalıştık, dolayısıyla bazı denklemlerin nasıl çözüleceğine dair zaten bir fikrimiz var. Her çözüm ilerideki çalışmalarda işimize yarayacaktır. Bu makale eski bilgilerin sınıflandırılmasına ve yenilerinin öğrenilmesine yardımcı oldu.

Referanslar

1.Vilenkin N.Ya. “8. sınıf için cebir”, M., 1995.

2. Galitsky M.L. “Cebirde problemlerin toplanması”, M. 2002.

3. Daan-Dalmedico D. “Yollar ve labirentler”, M., 1986.

4.Zvavich L.I. “Cebir 8. sınıf”, M., 2002.

5. Kushnir I.A. “Denklemler”, Kiev 1996.

6. Savin Yu.P. “Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü”, M., 1985.

7. Mordkovich A.G. “Cebir 8. sınıf”, M., 2003.

8. Khudobin A.I. “Cebirde problemlerin toplanması”, M., 1973.

9. Sharygin I.F. “Cebirde seçmeli ders”, M., 1989.

Ek 1

Biquadratic denklemlerin incelenmesi

Ek 2

Bir polinomu köşe kullanarak polinomlara bölme

Ek 3

Horner şeması

 Çeşitli medeniyetlerin temsilcileri: Eski Mısır, Eski Babil, Antik Yunanistan, Eski Hindistan, Eski Çin, Orta Çağ Doğu, Avrupa, ikinci dereceden denklemleri çözme tekniklerinde uzmanlaştı.

İlk defa, Eski Mısırlı matematikçiler ikinci dereceden bir denklemi çözmeyi başardılar. Matematiksel papirüslerden biri aşağıdaki sorunu içeriyor:

"Alanı 12 ve uzunluğu genişliğine eşit olan dikdörtgen şeklindeki bir alanın kenarlarını bulun." Papirüs "Alanın uzunluğu 4" diyor.

Bin yıl geçti ve negatif sayılar cebire girdi. x²= 16 denklemini çözerek iki sayı elde ederiz: 4, –4.

 Elbette Mısır probleminde X = 4'ü alırdık çünkü alanın uzunluğu yalnızca pozitif bir miktar olabilir.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bilinmeyen niceliklerdeki problemleri çözmek için bazı genel teknikleri olduğunu gösteriyor. İkinci dereceden denklemleri çözmek için Babil metinlerinde ortaya konan kural, esas olarak modern kuralla aynıdır, ancak Babillilerin "bu noktaya nasıl geldikleri" bilinmemektedir. Ancak bulunan hemen hemen tüm papirüs ve çivi yazılı metinlerde yalnızca çözümleriyle birlikte sorunlar verilmektedir. Yazarlar sadece ara sıra sayısal hesaplamalarına şu gibi kısa yorumlar eklemişlerdir: "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun!"

Yunan matematikçi Diophantus ikinci dereceden denklemleri oluşturup çözdü. Onun Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturarak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

İkinci dereceden denklemlerin oluşturulmasına ilişkin problemler, 499 yılında Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından derlenen “Aria-bhatiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır.

Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), ax² + bx = c formundaki ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin genel kuralın ana hatlarını çizdi.

​ Eski Hindistan'da zor sorunların çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Bu tür yarışmalarla ilgili eski Hint kitaplarından biri şunu söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar:

Bir sürü hareketli maymun

Doyduğuma göre yemek yiyerek eğlendim.

Meydandaki sekizinci kısım açıklıkta eğleniyordu.

Ve sarmaşıkların üzerindeki on iki kişi... zıplamaya, asılı kalmaya başladı...​

Kaç tane maymun vardı?

Söyle bana, bu pakette mi?

Bhaskara'nın çözümü, ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

 Bize ulaşan en eski Çin matematik metinleri 1. yüzyılın sonlarına kadar uzanıyor. M.Ö. II.Yüzyılda. M.Ö. Dokuz Kitapta Matematik yazıldı. Daha sonra 7. yüzyılda yüzyıllar boyunca üzerinde çalışılan “On Klasik Risale” koleksiyonuna dahil edilmiştir. Dokuz Kitaptaki Matematik, iki sayının toplamının karesi formülünü kullanarak karekökün nasıl bulunacağını açıklıyor.

Yönteme "tian-yuan" (kelimenin tam anlamıyla "cennetsel element") adı verildi - Çinliler bilinmeyen bir miktarı bu şekilde tanımladı.​

Yaygın olarak bilinen sorunların çözümüne yönelik ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Zamanla "el-cebr" kelimesi iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el-Harezmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişmesinde başlangıç ​​​​noktası oldu. El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar altı tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

-kareler eşit kökler yani, ah ² = bх;

-kareler eşit sayı yani, ah ² = s;

-kökler sayıya eşittir yani ax = c;

-kareler ve sayılar köklere eşittir yani, ah ²+ с = bх;

-kareler ve kökler sayıya eşittir yani, ah ² + bх = с;

-kökler ve sayılar karelere eşittir yani bx + c = ax ²;

El-Harizmi'nin eseri, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

Avrupa'da Harizmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı Abaküs Kitabı'nda ortaya konmuştur. Yazar bağımsız olarak problemlerin çözümüne yönelik bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıları ortaya koyan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. “Abaküs Kitabı”ndaki pek çok problem, 16.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında yer alıyordu. ve kısmen 18. yüzyıla ait.

Tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel kural x ² + bх = с, b ve с katsayılarının işaretlerinin tüm olası kombinasyonları için Avrupa'da yalnızca 1544'te M. Stiefel tarafından formüle edildi.

Vieta ikinci dereceden bir denklemin çözümüne ilişkin formülün genel bir türetmesine sahipti, ancak aynı zamanda yalnızca pozitif kökleri de tanıdı. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu ve olumsuz köklerin yanı sıra bunlar da dikkate alınır. İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemi ancak 17. yüzyılda Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde modern şeklini aldı.

​

​

1.1. İkinci dereceden denklemlerin ortaya çıkış tarihinden

Cebir, denklemleri kullanarak çeşitli problemlerin çözülmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. Tipik olarak problemler, istenen ve verilen miktarlar üzerinde gerçekleştirilen bazı eylemlerin sonuçlarını bilerek bir veya daha fazla bilinmeyenin bulunmasını gerektirir. Bu tür problemler, bir veya birkaç denklemden oluşan bir sistemin çözülmesine, belirli miktarlarda cebirsel işlemler kullanılarak gerekli olanların bulunmasına indirgenir. Cebir, nicelikler üzerindeki işlemlerin genel özelliklerini inceler.

Lineer ve ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik bazı cebirsel teknikler 4000 yıl önce Eski Babil'de biliniyordu.

Antik Babil'de ikinci dereceden denklemler

Antik çağda bile sadece birinci değil, aynı zamanda ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, arsa alanlarının bulunması ve askeri nitelikteki kazı çalışmaları ile ilgili sorunların çözülmesi ihtiyacından da kaynaklanmıştır. astronomi ve matematiğin gelişmesinde olduğu gibi. Babilliler ikinci dereceden denklemleri MÖ 2000 civarında çözebildiler. Modern cebirsel gösterimi kullanarak, çivi yazılı metinlerinde eksik olanlara ek olarak, örneğin tam ikinci dereceden denklemlerin bulunduğunu söyleyebiliriz:

Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralı esasen modern kuralla örtüşmektedir, ancak Babillilerin bu kurala nasıl ulaştığı bilinmemektedir. Şu ana kadar bulunan hemen hemen tüm çivi yazılı metinler, nasıl bulunduklarına dair hiçbir ipucu vermeden, yalnızca yemek tarifleri biçiminde ortaya konan çözümlerle ilgili sorunlar sunuyor. Babil'de cebirin yüksek düzeyde gelişmesine rağmen çivi yazısı metinleri negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

Diophantus'un Aritmetiği cebirin sistematik bir sunumunu içermez, ancak açıklamalar eşliğinde ve çeşitli derecelerde denklemler oluşturularak çözülen sistematik bir dizi problem içerir.

Denklemler oluştururken Diophantus, çözümü basitleştirmek için bilinmeyenleri ustaca seçer.

Örneğin burada görevlerinden biri var.

Problem 2. “Toplamlarının 20 ve çarpımlarının 96 olduğunu bilerek iki sayı bulun.”

Diophantus şu sonuca varıyor: Sorunun koşullarından gerekli sayıların eşit olmadığı anlaşılıyor, çünkü eğer eşit olsalardı çarpımları 96'ya değil 100'e eşit olurdu. Dolayısıyla bunlardan biri birden fazla olacaktır. toplamlarının yarısı, yani 10 + x. Diğeri daha azdır, yani 10 - x. Aralarındaki fark 2x. Dolayısıyla denklem:

(10+x)(10-x) =96,

Dolayısıyla x = 2. Gerekli sayılardan biri 12, diğeri 8'dir. Yunan matematiği yalnızca pozitif sayıları bildiğinden Diophantus için x = - 2 çözümü mevcut değildir.

Bu problemi gerekli sayılardan birini bilinmeyen olarak seçerek çözerseniz denklemin çözümüne ulaşabilirsiniz:

Diophantus'un gerekli sayıların yarı farkını bilinmeyen olarak seçerek çözümü basitleştirdiği açıktır; sorunu tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgemeyi başarır.

Hindistan'da İkinci Dereceden Denklemler

İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde zaten bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta (7. yüzyıl), tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kuralın ana hatlarını çizdi:

ax 2 + bx = c, a> 0. (1)

Denklem (1)'de katsayılar negatif de olabilir. Brahmagupta'nın kuralı aslında bizimkiyle aynı.

Hindistan'da zor sorunların çözümüne yönelik halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da cebirsel problemler önererek ve çözerek halka açık toplantılarda ihtişamını gölgede bırakacaktır." Sorunlar genellikle şiirsel biçimde sunuldu.

Bu, 12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisinin problemlerinden biridir. Bhaskarlar.

Bhaskara'nın çözümü, yazarın ikinci dereceden denklemlerin köklerinin iki değerli olduğunu bildiğini gösteriyor.

Problem 3'e karşılık gelen denklem:

Bhaskara kisvesi altında yazıyor:

x 2 - 64x = - 768

ve bu denklemin sol tarafını kareye tamamlamak için her iki tarafa da 32 2 eklenir ve şunu elde edilir:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

El-Harizmi'nin ikinci dereceden denklemleri

El-Harizmi'nin cebirsel incelemesi doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin bir sınıflandırmasını verir. Yazar 6 tür denklem sayıyor ve bunları şu şekilde ifade ediyor:

1) “Kareler köklere eşittir” yani ax 2 = bx.

2) “Kareler sayılara eşittir” yani ax 2 = c.

3) “Kökler sayıya eşittir” yani ax = c.

4) “Kareler ve sayılar köklere eşittir” yani ax 2 + c = bx.

5) “Kareler ve kökler sayıya eşittir” yani ax 2 + bx = c.

6) “Kökler ve sayılar karelere eşittir” yani bx + c == ax 2.

Negatif sayıları kullanmaktan kaçınan Harizmi'ye göre, bu denklemlerin her birinin terimleri çıkarılabilir değil, toplamlardır. Bu durumda pozitif çözümü olmayan denklemler elbette dikkate alınmaz. Yazar, el-cebr ve el-mukabel tekniklerini kullanarak bu denklemlerin çözümüne yönelik yöntemler ortaya koymaktadır. Onun kararı elbette bizimkiyle tamamen örtüşmüyor. Tamamen retorik olduğundan bahsetmiyorum bile, örneğin, birinci türden tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözerken, Al-Khorezmi'nin, 17. yüzyıla kadar tüm matematikçiler gibi, sıfır çözümünü hesaba katmadığı belirtilmelidir. muhtemelen spesifik pratikte görevlerde önemli olmadığı için. İkinci dereceden denklemlerin tamamını çözerken, El-Harizmi, belirli sayısal örnekler ve ardından bunların geometrik kanıtlarını kullanarak bunları çözmenin kurallarını ortaya koyar.

Bir örnek verelim.

Problem 4. “Kare ve 21 sayısı 10 köke eşittir. Kökü bulun” (denklemin kökü x 2 + 21 = 10x anlamına gelir).

Çözüm: Kök sayısını ikiye bölün, 5 elde edersiniz, 5'i kendisiyle çarpın, sonuçtan 21 çıkarın, kalan 4 olur. 4'ten kökü alın, 2 elde edersiniz. 5'ten 2 çıkarın, 3 elde edersiniz, bu aradığınız kök olacak. Veya 2'yi 5'e ekleyin, bu da 7'yi verir, bu da bir köktür.

El-Khorezmi'nin incelemesi, ikinci dereceden denklemlerin sınıflandırılmasını sistematik olarak ortaya koyan ve bunların çözümü için formüller veren, bize ulaşan ilk kitaptır.

12.-17. yüzyıllarda Avrupa'da ikinci dereceden denklemler.

Avrupa'da Harezmi'nin modelini takip eden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formlar ilk olarak 1202 yılında yazılan "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. İtalyan matematikçi Leonard Fibonacci. Yazar bağımsız olarak problem çözme konusunda bazı yeni cebirsel örnekler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıların tanıtılmasına yaklaşan ilk kişi oldu.

Bu kitap cebir bilgisinin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulunmuştur. Bu kitaptaki birçok problem, 14.-17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. Tüm olası işaret ve b, c katsayıları kombinasyonları için tek bir kanonik forma x 2 + bх = с'ye indirgenmiş ikinci dereceden denklemleri çözmenin genel kuralı, Avrupa'da 1544 yılında M. Stiefel tarafından formüle edildi.

İkinci dereceden bir denklemin çözümü için formülün genel formda türetilmesi Vieth'te mevcuttur, ancak Vieth yalnızca pozitif kökleri tanımıştır. İtalyan matematikçiler Tartaglia, Cardano, Bombelli 16. yüzyılın ilkleri arasındaydı. Olumlu olanların yanı sıra olumsuz kökler de dikkate alınır. Sadece 17. yüzyılda. Girard, Descartes, Newton ve diğer bilim adamlarının çalışmaları sayesinde ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemi modern bir şekil alıyor.

Pratik problemlerin çözümüne yönelik cebirsel yöntemlerin kökenleri, antik dünyanın bilimiyle ilişkilidir. Matematik tarihinden bilindiği üzere Mısırlı, Sümerli ve Babilli yazıcı ve hesap makinelerinin (M.Ö. XX-VI yüzyıllar) çözdüğü matematik problemlerinin önemli bir kısmı hesaplama niteliğindeydi. Ancak o zaman bile zaman zaman, bir miktarın arzu edilen değerinin belirli dolaylı koşullarla belirlendiği ve modern bakış açımıza göre bir denklemin veya denklem sisteminin oluşturulmasını gerektiren sorunlar ortaya çıktı. Başlangıçta bu tür problemleri çözmek için aritmetik yöntemler kullanıldı. Daha sonra cebirsel kavramların başlangıcı oluşmaya başladı. Örneğin Babil hesap makineleri, modern sınıflandırma açısından ikinci derece denklemlere indirgenebilecek problemleri çözebildiler. Daha sonra cebirsel bileşenin izole edilmesi ve bağımsız çalışmasının temelini oluşturan kelime problemlerini çözmek için bir yöntem oluşturuldu.

Bu çalışma başka bir dönemde, ilk olarak denklemlerin standart bir forma getirilmesini sağlayan karakteristik eylemleri tanımlayan Arap matematikçiler (MS VI-X yüzyıllar) tarafından gerçekleştirildi: benzer terimleri getirmek, terimleri denklemin bir kısmından diğerine aktarmak. işaret değişikliği. Ve daha sonra, uzun bir araştırma sonucunda modern cebirin dilini, harflerin kullanımını, aritmetik işlemler için sembollerin tanıtılmasını, parantezleri vb. yaratan Rönesans'ın Avrupalı ​​​​matematikçileri tarafından. 16. yüzyılın başında- 17. yüzyıllar. Matematiğin özel bir parçası olan cebir, kendine has konusu, yöntemi ve uygulama alanlarıyla zaten oluşmuştu. Günümüze kadarki gelişimi, yöntemlerin geliştirilmesi, uygulama alanlarının genişletilmesi, kavramların ve bunların matematiğin diğer dallarındaki kavramlarla bağlantılarının açıklığa kavuşturulmasından ibaretti.

Dolayısıyla denklem kavramıyla ilgili materyalin önemi ve genişliği göz önüne alındığında, modern matematik yöntemlerinde incelenmesi, kökeni ve işleyişinin üç ana alanıyla ilişkilidir.

Kovalchuk Kirill

“Yüzyıllar ve ülkeler boyunca ikinci dereceden denklemler” projesi, öğrencileri keşifleri bilimsel ve teknolojik ilerlemenin temeli olan matematik bilimcileriyle tanıştırıyor, tarihi materyale aşinalığa dayalı bir konu olarak matematiğe ilgi geliştiriyor, öğrencilerin ufkunu genişletiyor, bilişsel aktivitelerini teşvik ediyor ve yaratıcılık.

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Borisovka Kirill Kovalchuk köyündeki 17 Nolu Belediye Eğitim Kurumu Ortaokulu 8. sınıf öğrencisinin proje çalışması Danışman G.V.

Yüzyıllar ve ülkeler boyunca ikinci dereceden denklemler

Proje hedefi: Öğrencileri, buluşları bilimsel ve teknolojik ilerlemenin temeli olan matematik bilim adamlarıyla tanıştırmak. Bilim adamlarının çalışmalarının geometri ve fiziğin gelişimi açısından önemini gösterin.????????? Bilimsel keşiflerin yaşamdaki uygulamalarını görsel olarak gösterin. Tarihsel materyale aşinalığa dayalı bir konu olarak matematiğe ilgi geliştirmek. Öğrencilerin ufkunu genişletin, bilişsel aktivitelerini ve yaratıcılıklarını teşvik edin

Sadece birinci dereceden değil, ikinci dereceden denklemleri çözme ihtiyacı, eski zamanlarda astronomi ve matematiğin gelişmesiyle birlikte arsa alanlarının bulunmasıyla ilgili problemleri çözme ihtiyacından kaynaklanmıştır. İkinci dereceden denklemler MÖ 2000 civarında çözülebildi. e. Babilliler. Babil metinlerinde belirtilen bu denklemleri çözme kuralları esasen modern olanlarla aynıdır, ancak bu metinler negatif sayı kavramından ve ikinci dereceden denklemleri çözmek için genel yöntemlerden yoksundur.

. (M.Ö. 365 - 300) - eski Yunan matematikçi, matematik üzerine bize gelen ilk teorik incelemelerin yazarı. Öklid veya Öklid

Öklid Başlangıçları Nil'in denizle birleştiği yerde, Piramitlerin kadim sıcak topraklarında Yunan matematikçi - Bilgili, Bilge Öklid yaşıyordu. Geometri okudu, geometri öğretti. Harika bir eser yazdı. Bu kitabın adı "İlkeler".

Öklid MÖ 3. yüzyıl Öklid ikinci dereceden denklemleri geometrik bir yöntem kullanarak çözdü. İşte antik Yunan risalesindeki problemlerden biri: “Kare şeklinde bir kenarı bilinmeyen bir kenarı olan bir şehir var, her iki tarafın ortasında bir kapı var. Kuzey kapısından 20bu (1bu=1.6m) uzaklıkta bir sütun bulunmaktadır. Güney kapısı 14bu'dan düz yürürseniz, sonra batıya dönüp 1775bu'ya daha giderseniz bir sütun görebilirsiniz. Soru şu: Şehir sınırının hangi tarafında? »

Karenin bilinmeyen tarafını belirlemek için ikinci dereceden x ² +(k+l)x-2kd =0 denklemini elde ederiz. Bu durumda denklem x ² +34x-71000=0 gibi görünür, buradan x=250bu l x d k

Hindistan'daki ikinci dereceden denklemler İkinci dereceden denklemlerle ilgili problemler, Hintli matematikçi ve gökbilimci Aryabhatta tarafından 499 yılında derlenen “Aryabhattiam” astronomi incelemesinde de bulunmaktadır. Başka bir Hintli bilim adamı Brahmagupta, tek bir kanonik forma indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin çözümü için genel bir kural ortaya koydu: ax ² +bx=c , a>0 Eski Hindistan'da, zor problemlerin çözümünde halka açık yarışmalar yaygındı. Eski Hint kitaplarından biri bu tür yarışmalar hakkında şunları söylüyor: "Güneşin parlaklığıyla yıldızları gölgede bırakması gibi, bilgili bir adam da halka açık toplantılarda cebirsel problemler önererek ve çözerek diğerinin ihtişamını gölgede bırakacaktır."

12. yüzyılın ünlü Hintli matematikçisi Bhaskara'nın problemlerinden biri Doyasıya yemek yiyen hareketli maymun sürüsü eğleniyordu. Sekizinci bölümde meydanda açıklıkta eğleniyordum. Ve asmalarda on iki tane... Asılırken zıplamaya başladılar... Söyle bana, bu sürüde kaç tane maymun vardı?

Çözüm. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, sonra D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 = , x 1 = 48, x 2 = 16. Cevap: 16 veya 48 tane maymun vardı. Hadi çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü birkaç kez "yeniden keşfedildi". Bu formülün günümüze ulaşan ilk türetmelerinden biri Hintli matematikçi Brahmagupta'ya aittir. Orta Asyalı bilim adamı el-Harezmi, “Kitab al-jerb wal-mukabala” adlı eserinde bu formülü tam bir kareyi izole etme yöntemiyle elde etti.

El-Khorezmi bu denklemi nasıl çözdü? Şöyle yazdı: “Kural şu: Kök sayısını iki katına çıkarın, x = 2x · 5 bu problemde beş elde edersiniz, 5'i bununla çarpın, eşittir yirmi beş olur, 5 · 5 = 25 bunu otuza ekleyin -dokuz, 25 + 39 altmış dört olur, 64 bundan kökü alırsak sekiz olur, 8 olur ve bu yarıdan kök sayısını çıkarırız yani beş, 8-5 üç kalır - bu ve 3 olur aradığınız karenin kökü." Peki ya ikinci kök? Negatif sayılar bilinmediğinden ikinci kök bulunamadı. x 2 +10 x = 39

Avrupa'da ikinci dereceden denklemler 13-17 yüzyıllar. Avrupa'da Harezmi örnek alınarak modellenen ikinci dereceden denklemlerin çözümüne yönelik formüller, ilk olarak İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci'nin 1202 yılında yazdığı "Abaküs Kitabı"nda ortaya konmuştur. Hem İslam ülkelerinden hem de Antik Yunan'dan matematik etkisini yansıtan bu hacimli eser, hem sunumunun bütünlüğü hem de netliği ile öne çıkıyor. Yazar bağımsız olarak problemlere bazı yeni cebirsel çözümler geliştirdi ve Avrupa'da negatif sayıları ortaya koyan ilk kişi oldu. Kitabı cebirsel bilginin sadece İtalya'da değil, Almanya, Fransa ve diğer Avrupa ülkelerinde de yayılmasına katkıda bulundu. Abaküs Kitabındaki pek çok problem, 16. ve 17. yüzyılların neredeyse tüm Avrupa ders kitaplarında kullanılmıştır. ve kısmen 18.

Francois Viète - 16. yüzyılın en büyük matematikçisi

F. Vieta'dan önce ikinci dereceden bir denklemin çözümü, çok uzun sözlü argümanlar ve açıklamalar şeklinde, oldukça hantal eylemler şeklinde kendi kurallarına göre gerçekleştiriliyordu. Denklemin kendisini bile yazamadılar; bu oldukça uzun ve karmaşık bir sözlü açıklama gerektiriyordu. "Katsayı" terimini icat etti. Gerekli miktarların sesli harflerle, verilerin ise ünsüz harflerle gösterilmesini önerdi. Vieta'nın sembolizmi sayesinde ikinci dereceden denklemi şu şekilde yazabiliriz: ax 2 + bx + c =0. Teorem: Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir. Her ne kadar bu teorem “Vieta Teoremi” olarak anılsa da ondan önce biliniyordu ve onu ancak modern şekline dönüştürdü. Vieta'ya "cebirin babası" deniyor

İnsanlık cehaletten bilgiye doğru uzun bir yol kat etti; yol boyunca eksik ve kusurlu bilgiyi sürekli olarak daha eksiksiz ve mükemmel bilgiyle değiştirdi. Son söz

21. yüzyılın başında yaşayan bizler, antik çağlardan etkileniyoruz. Atalarımızda, modern bakış açısına göre öncelikle onların eksiklerini fark ederiz ve genellikle onlarla karşılaştırıldığında kendimizde eksik olan şeyleri fark etmeyiz.

Onları unutmayalım...

İlginiz için teşekkür ederiz!