N'inci dereceden denklem sistemi nasıl çözülür? Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

Doğrusal diferansiyel sistemler denklemler.

Diferansiyel denklem sistemine denir doğrusal, bilinmeyen fonksiyonlara ve türevlerine göre doğrusal ise. sistem N-1. dereceden doğrusal denklemler şu şekilde yazılmıştır:

Sistem katsayıları sabittir.

Bu sistemi matris formunda yazmak uygundur: ,

bir argümana bağlı olarak bilinmeyen fonksiyonların sütun vektörü nerede.

Bu fonksiyonların türevlerinin sütun vektörü.

Serbest üyelerin sütun vektörü.

Katsayı matrisi.

Teorem 1: Eğer tüm matris katsayıları A belirli bir aralıkta süreklidir ve daha sonra her m'nin belirli bir komşuluğundadır. TS&E koşulları karşılanmıştır. Sonuç olarak, bu tür her noktadan tek bir integral eğri geçer.

Aslında bu durumda sistemin sağ tarafları argümanlar kümesine göre süreklidir ve kapalı aralıktaki süreklilik nedeniyle (A matrisinin katsayılarına eşit) göre kısmi türevleri sınırlıdır.

SLD'leri çözme yöntemleri

1. Bir diferansiyel denklem sistemi, bilinmeyenleri ortadan kaldırarak tek bir denkleme indirgenebilir.

Örnek: Denklem sistemini çözün: (1)

Çözüm: hariç tutmak z bu denklemlerden. Elimizdeki ilk denklemden. İkinci denklemde yerine koyarsak, basitleştirmeden sonra şunu elde ederiz: .

Bu denklem sistemi (1) ikinci dereceden tek bir denkleme indirgenir. Bu denklemden bulduktan sonra sen, bulunmalı z, eşitliği kullanarak.

2. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak bir denklem sistemini çözerken, genellikle daha yüksek dereceden bir denklem elde edilir, bu nedenle birçok durumda sistemi bularak çözmek daha uygundur. entegre kombinasyonlar.

Devamı 27b

Örnek: Sistemi çöz

Çözüm:

Bu sistemi Euler yöntemini kullanarak çözelim. Özelliği bulmak için determinantı yazalım.

denklem: , (sistem homojen olduğundan önemsiz olmayan bir çözüme sahip olması için bu determinantın sıfıra eşit olması gerekir). Karakteristik bir denklem elde ediyoruz ve köklerini buluyoruz:

Genel çözüm şudur: ;

- özvektör.

Çözümünü yazıyoruz: ;

- özvektör.

Çözümünü yazıyoruz: ;

Genel çözümü elde ederiz: .

Kontrol edelim:

hadi : bulalım ve onu bu sistemin ilk denklemine koyalım, yani. .

Şunu elde ederiz:

- gerçek eşitlik.

Doğrusal fark. n'inci dereceden denklemler. N'inci mertebeden homojen olmayan bir doğrusal denklemin genel çözümüne ilişkin teorem.

N'inci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklem şu şekilde bir denklemdir: (1)

Bu denklemin bir katsayısı varsa, ona bölerek denkleme ulaşırız: (2) .

Genellikle türden denklemler (2). Diyelim ki ur-i'de (2) tüm olasılıklar ve ayrıca f(x) belirli aralıklarla sürekli (a,b). Daha sonra TS&E'ye göre denklem (2) başlangıç ​​koşullarını karşılayan benzersiz bir çözüme sahiptir: , , …, for . Burada - aralıktaki herhangi bir nokta (a,b), ve hepsi - verilen herhangi bir sayı. Denklem (2) TC&E'yi karşılıyor , bu nedenle yok özel çözümler.

Def.: özel noktalar =0 olan noktalardır.

Doğrusal bir denklemin özellikleri:

1. Bağımsız değişkendeki herhangi bir değişiklik için doğrusal bir denklem aynı kalır.
2. İstenilen fonksiyonun herhangi bir doğrusal değişimi için doğrusal bir denklem aynı kalır.

Def: denklemde ise (2) koymak f(x)=0, sonra formun bir denklemini elde ederiz: (3) , buna denir homojen denklem homojen olmayan denkleme göre (2).

Doğrusal diferansiyel operatörünü tanıtalım: (4). Bu operatörü kullanarak denklemi kısa biçimde yeniden yazabilirsiniz. (2) Ve (3): L(y)=f(x), L(y)=0. Operatör (4) aşağıdaki basit özelliklere sahiptir:

Bu iki özellikten bir sonuç çıkarılabilir: .

İşlev y=y(x) homojen olmayan denklemin bir çözümüdür (2), Eğer L(y(x))=f(x), Daha sonra f(x) denklemin çözümü denir. Yani denklemin çözümü (3) fonksiyon denir y(x), Eğer L(y(x))=0 dikkate alınan aralıklarla.

Dikkate almak homojen olmayan doğrusal denklem: , L(y)=f(x).

Bir şekilde belirli bir çözüm bulduğumuzu varsayalım.

Yeni bir bilinmeyen fonksiyon tanıtalım z formüle göre: , belirli bir çözüm nerede.

Bunu denklemde yerine koyalım: , parantezleri açalım ve şunu elde edelim.

Ortaya çıkan denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

Orijinal denklemin özel bir çözümü olduğundan, o zaman .

Böylece homojen bir denklem elde ettik. z. Bu homojen denklemin genel çözümü doğrusal bir kombinasyondur: burada fonksiyonlar homojen denklemin temel çözüm sistemini oluşturur. Değiştirme z yerine koyma formülünden şunu elde ederiz: (*) fonksiyon için sen– orijinal denklemin bilinmeyen fonksiyonu. Orijinal denklemin tüm çözümleri (*) içinde yer alacaktır.

Böylece homojen olmayan doğrunun genel çözümü elde edilir. Denklem, homojen bir doğrusal denklemin genel çözümünün ve homojen olmayan bir denklemin bazı özel çözümlerinin toplamı olarak temsil edilir.

(diğer tarafta devam)

30. Diferansiyel çözümünün varlık teoremi ve tekliği. denklemler

Teorem: Denklemin sağ tarafı dikdörtgen içinde sürekli ise ve sınırlıdır ve aynı zamanda Lipschitz koşulunu da karşılamaktadır: , N=sabit, o zaman başlangıç ​​koşullarını karşılayan ve segment üzerinde tanımlanan benzersiz bir çözüm vardır , Nerede .

Kanıt:

Metrik uzayın tamamını düşünün İLE, noktalarının tümü aralıkta tanımlanan y(x) olası sürekli fonksiyonlardır grafikleri dikdörtgenin içinde yer alır ve mesafe eşitlikle belirlenir: . Bu uzay sıklıkla matematiksel analizde kullanılır ve denir. düzgün yakınsama uzayı, çünkü bu uzayın metriğindeki yakınsaklık düzgündür.

Diferansiyeli değiştirelim. verilen başlangıç ​​koşullarıyla eşdeğer bir integral denkleme denklem: ve operatörü düşünün bir(y), bu denklemin sağ tarafına eşit: . Bu operatör her sürekli fonksiyona atama yapar

Lipschitz eşitsizliğini kullanarak mesafeyi yazabiliriz. Şimdi aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olacağı birini seçelim: .

O halde öyle bir seçim yapmalısınız ki. Böylece bunu gösterdik.

Büzülme eşlemeleri ilkesine göre, tek bir nokta veya aynı anlama gelen tek bir fonksiyon vardır; verilen başlangıç ​​koşullarını karşılayan bir diferansiyel denklemin çözümü.

Doğrudan entegrasyonla çözülen denklemler

Aşağıdaki diferansiyel denklemi göz önünde bulundurun:
.
N kere integral alıyoruz.
;
;
ve benzeri. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz:
.
Doğrudan çözülebilen diferansiyel denklemlere bakın entegrasyon > > >

Bağımlı değişken y'yi açıkça içermeyen denklemler

Değiştirme denklemin sırasının bir azalmasına yol açar. İşte .
Açıkça bir fonksiyon içermeyen yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakın > > >

Açıkça bağımsız değişken x'i içermeyen denklemler

.
'nin bir fonksiyonu olduğunu düşünüyoruz.
.
Daha sonra
Benzer şekilde diğer türevler için de. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.

Açık bir değişken içermeyen daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakın > > >

Y, y′, y′′, ...'ye göre homojen denklemler
,
Bu denklemi çözmek için yerine koyma işlemini yaparız
.
'nin bir fonksiyonu nerede?
Daha sonra

Benzer şekilde türevleri vb. dönüştürüyoruz. Sonuç olarak denklemin sırası bir azaltılır.

Bir fonksiyona ve onun türevlerine göre homojen olan yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakınız > > > Yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler:
(1) ,
bağımsız değişkenin fonksiyonları nerede.
(2) ,
Bu denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü olsun. O halde denklem (1)'in genel çözümü şu şekildedir:
keyfi sabitler nerede. Fonksiyonların kendisi temel bir çözüm sistemi oluşturur. Temel çözüm sistemi

Bir fonksiyona ve onun türevlerine göre homojen olan yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere bakınız > > > n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklemin n tane doğrusal bağımsız çözümü vardır.:
.
n'inci dereceden doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklem
,
Bu denklemin belirli (herhangi) bir çözümü olsun. O halde genel çözüm şu şekildedir:

homojen denklemin (1) genel çözümü nerede?

Sabit katsayılı ve bunlara indirgenebilen doğrusal diferansiyel denklemler

Sabit katsayılı doğrusal homojen denklemler
(3) .
Bunlar formun denklemleridir:
(2) .

İşte gerçek sayılar. Bu denkleme genel bir çözüm bulmak için, temel bir çözüm sistemi oluşturan n adet doğrusal bağımsız çözüm bulmamız gerekir. Daha sonra genel çözüm formül (2) ile belirlenir: Formda bir çözüm arıyoruz.:
(4) .

Aldık karakteristik denklem Bu denklem varsa
.

çeşitli kökler , o zaman temel çözüm sistemi şu şekildedir:
,
Varsa

karmaşık kök o zaman ayrıca karmaşık bir eşlenik kök de vardır.

Bu iki kök, karmaşık çözümler yerine temel sisteme dahil ettiğimiz ve çözümlerine karşılık gelir.Çoklu kökler
.

çokluklar doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir: .

Çoklu karmaşık kökler
,
çokluklar ve bunların karmaşık eşlenik değerleri doğrusal olarak bağımsız çözümlere karşılık gelir: 1 Özel homojen olmayan kısmı olan doğrusal homojen olmayan denklemler 2 Formun bir denklemini düşünün

s derece polinomları nerede ve s;
,
- kalıcı.
;
;
Öncelikle homojen denklemin (3) genel bir çözümünü arıyoruz. Karakteristik denklem (4) ise 1 Özel homojen olmayan kısmı olan doğrusal homojen olmayan denklemler 2 .

kök içermiyor sonra şu formda belirli bir çözüm ararız: Nerede
.

s - s'nin en büyüğü
.

Karakteristik denklem (4) ise

bir kökü var

1) çokluk varsa, o zaman şu biçimde belirli bir çözüm ararız:.
Bundan sonra genel çözüme ulaşıyoruz:
.
Sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan denklemler
,
Burada üç olası çözüm var. - 1 Bernoulli yöntemi

2) Öncelikle homojen denklemin sıfırdan farklı bir çözümünü buluyoruz.
Daha sonra oyuncu değişikliğini yapıyoruz
,
karakteristik denklemin (4) köklerinden biri nerede. Sonuç olarak, sabit mertebe katsayılarına sahip doğrusal homojen olmayan bir denklem elde ederiz.

3) Bu ikameyi tutarlı bir şekilde uygulayarak orijinal denklemi birinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliriz..
Lagrange sabitlerinin değişimi yöntemi
(2) .
Bu yöntemde öncelikle homojen denklemi (3) çözüyoruz. Onun çözümü şuna benziyor:
,
Ayrıca sabitlerin x değişkeninin fonksiyonları olduğunu varsayıyoruz.

O halde orijinal denklemin çözümü şu şekildedir:

bilinmeyen işlevler nerede. Orijinal denklemi yerine koyarak ve bazı kısıtlamalar getirerek fonksiyon türlerini bulabileceğimiz denklemler elde ederiz.
.
Euler denklemi
.
Yerine koyma yoluyla sabit katsayılı doğrusal bir denkleme indirgenir:

Ancak Euler denklemini çözmek için böyle bir ikame yapılmasına gerek yoktur. Formdaki homojen denklemin çözümünü hemen arayabilirsiniz.
Sonuç olarak, değişken yerine yerine koymanız gereken sabit katsayılı bir denklemle aynı kuralları elde ederiz.
Kullanılan literatür:

V.V. Stepanov, Diferansiyel denklemler dersi, "LKI", 2015.NN.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Diferansiyel denklemler

(3)

-inci sipariş.

Denklem en yüksek türeve göre çözülebilirse (1) formuna sahiptir. N'inci dereceden bir denklem aynı zamanda n adet birinci dereceden denklem sistemi olarak da temsil edilebilir.

N'inci dereceden bir denklem için, sistemin varlığı ve tekliği teoreminin koşulları (1)~(2)~(3)'ten beri sağlanmaktadır. Sipariş azaltmanın en basit durumları. Denklem gerekli fonksiyonu ve mertebeye kadar türevini içermiyor k

-1 dahil
yani Bu durumda sipariş azaltılabilir..

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.
.

P

(5)

Örnek.

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.
.

Bilinmeyen değişken içermeyen denklem

(6)

Bu durumda emir, ikame yoluyla birer birer düşürülebilir. N Denklemin sol tarafı .
bazı diferansiyel ifadelerin türevidir (
-1)'inci sıra

. Eğer- dolayısıyla son denklemin bir çözümü mevcuttur. Denklemin (6) birinci integralini elde ettik ve denklemin çözülme derecesini bir azalttık.
Yorum. Bazen (6)'nın sol tarafı, yalnızca (n-1)'inci mertebeden bir diferansiyel denklemin türevi haline gelir. bu nedenle burada gereksiz çözümler ortaya çıkabilir (geri alma

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.

sıfıra) ya da çözümü kaybedebiliriz

(7)

süreksiz fonksiyon. Denklem .

göre homojen
homojenlik koşullarından belirlenir.

Bu denklemin sırası aşağıdaki şekilde değiştirilerek bir azaltılabilir: .

Bu ilişkileri (7)'de yerine koyarsak ve fonksiyonun homojenliğini hesaba katarsak F , sonunda şunu elde ederiz: .

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.
.

İkinci dereceden diferansiyel denklemler,

sıranın azaltılmasına olanak tanır.

Oyuncu değişikliği
.

Denklem (8) en yüksek türeve göre çözülebiliyorsa Denk.
değişken üzerinde iki kez entegre X.

Bir parametre ekleyebilir ve denklemi (8) parametrik gösterimiyle değiştirebilirsiniz:
. Diferansiyeller için ilişkinin kullanılması:
, şunu elde ederiz: ve

II .
(9)

Parametrik gösterimi kullanalım:

III.
. (10)

Aşağıdakileri değiştirerek siparişi azaltabilirsiniz:
.

Denklem (10) en yüksek türeve göre çözülebilirse
, ardından sağ ve sol kenarları şununla çarpın:
. Şunu elde ederiz: Bu, ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:
.

Denklem (10) parametrik gösterimi ile değiştirilebilir: . Diferansiyelin özelliklerini kullanalım:.

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.
.

Doğrusal diferansiyel denklemlerNN.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Tanım. Doğrusal diferansiyel denklemler N -inci sıra formun denklemleri denir:
. (1)

Eğer olasılıklar için sürekli
, o zaman formun herhangi bir başlangıç ​​değerinin yakınında:, burada aralığa aitse, bu başlangıç ​​değerlerinin yakınında koşullar sağlanır varlık ve teklik teoremleri. Denklemin (1) doğrusallığı ve homojenliği herhangi bir dönüşüm altında korunur
, Nerede keyfi bir ntimes türevlenebilir fonksiyondur. Dahası
. Bilinmeyen fonksiyon doğrusal ve homojen olarak dönüştürüldüğünde doğrusallık ve homojenlik korunur.

Doğrusal bir diferansiyel operatör tanıtalım: o zaman (1) şu şekilde yazılabilir:
. Wronski'nin determinantı
şöyle görünecek:

, Nerede - denklemin (1) doğrusal bağımsız çözümleri.

Teorem 1. Doğrusal bağımsız fonksiyonlar ise
sürekli olan doğrusal homojen bir denklemin (1) bir çözümüdür
katsayılar
, sonra Wronski determinantı
segmentin hiçbir noktasında kaybolmaz
.

Teorem 2. Sürekli doğrusal homojen denklemin (1) genel çözümü
katsayılar
çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu olacak yani
(2), nerede
segmentten doğrusal olarak bağımsız
özel çözümler (1).

(Doğrusal diferansiyel denklem sistemi durumuna benzer şekilde kanıtlanmıştır)

Sonuçlar.(1)'in doğrusal bağımsız çözümlerinin maksimum sayısı, sırasına eşittir.

Denklemin (1) önemsiz olmayan özel bir çözümünü bilmek -
, bir değişiklik yapabilirsiniz
ve doğrusallığını ve heterojenliğini korurken denklemin sırasını düşürün. Genellikle bu ikame ikiye ayrılır. Bu doğrusal olarak homojen bir gösterim olduğundan, (1)'in doğrusallığını ve homojenliğini korur, bu da (1)'in forma indirgenmesi gerektiği anlamına gelir. Karar
yürürlükte
çözüme karşılık gelir
ve bu nedenle
. Bir değiştirme yaptıktan
, sırayla bir denklem elde ederiz
.

Lemma. (3)

Qi ve Pi'nin ortak bir temel çözüm sistemine sahip sürekli fonksiyonlar olduğu (3) ve (4) formundaki iki denklem çakışır, yani. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

Lemmaya dayanarak, y 1 y 2 …y n temel çözüm sisteminin doğrusal homojen denklemi (3) tamamen belirlediği sonucuna varabiliriz.

Temel çözüm sistemi y 1 y 2 …y n olan denklemin (3) biçimini bulalım. Herhangi bir çözüm sen(X) denklem (3) temel çözüm sistemine doğrusal olarak bağlıdır, bu da W=0 anlamına gelir. Wronski determinantını W son sütuna genişletelim.

Denklem (5), belirli bir temel çözüm sistemine sahip istenen doğrusal diferansiyel denklemdir. (5)'i W'ye bölebiliriz çünkü sıfıra eşit değildir x.

(*)

Daha sonra:

Determinantın türevi kuralına göre determinantın türevi, i=1,2...n determinantlarının toplamına eşittir ve her birinin i'inci satırı, i-'nin türevine eşittir. orijinal determinantın inci satırı. Bu toplamda, sonuncusu dışındaki tüm determinantlar sıfıra eşittir (iki özdeş doğruya sahip oldukları için), sonuncusu ise (*)'a eşittir. Böylece şunu elde ederiz:
(6)

(7)

Tanım. , Daha sonra: Formüller (6) ve (7) denir

Ostrogradsky-Liouville formülleri.

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin integralini almak için (7)'yi kullanırız. Ve denklem (8)'in y 1 çözümlerinden birini bize bildirin.

(9)

(7)’ye göre herhangi bir çözüm (8) aşağıdaki ilişkiyi sağlamalıdır:

İntegral faktör yöntemini kullanalım.

Doğrusal homojen denklemler

sabit katsayılar.

Doğrusal homojen bir denklemde tüm katsayılar sabitse,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

bu durumda özel çözümler (1) şu biçimde tanımlanabilir: y=e kx, burada k bir sabittir.

Tanım. (3) - a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

karakteristik denklem.

1Çözümün türü (1), karakteristik denklemin (3) kökleriyle belirlenir. ). Tüm kökler gerçek ve farklıdır

, Daha sonra: .

2). Tüm katsayılar gerçekse, kökler karmaşık eşlenik olabilir

k 1 =+ik 2 =-i

Teoreme göre: Eğer gerçek katsayılı bir operatörün karmaşık eşlenik çözümleri varsa, o zaman bunların gerçek ve sanal kısımları da çözümdür. Daha sonra:

yenisiyle değiştirme. Bu denklemi ifade edersek, y çözümü k-katlı integrallenebilir fonksiyonla belirlenebilir.

Çözümü formda sunalım
, o zaman karakteristik denklem şu şekildedir:

, iki çözüm elde ederiz:

o zaman gerekli fonksiyon şudur:

3). Birden fazla kök var: Sipariş azaltmanın en basit durumları. Ben çoklukla  Ben . Bu durumda farklı çözümlerin sayısı
daha küçük olacaktır, bu nedenle eksik doğrusal bağımsız çözümleri farklı bir biçimde aramanız gerekir. Örneğin:

Kanıt:

Diyelim ki k i =0, eğer onu (3)'ün yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

- özel çözümler (3).

k i 0 olsun, yerine koyma işlemini yapalım
(6)

(6)'yı (1)'de değiştirerek, z'ye göre sabit katsayılı (7) n'inci dereceden doğrusal homojen bir denklem elde ederiz.

Kökler (3), karakteristik denklemin (7) köklerinden k terimiyle farklılık gösterir.

(8)

Eğer k=k i ise bu k, denklem (7)'nin p=0 kökü ile çözümüne karşılık gelir, yani. z= formunun çözümlerine karşılık gelir
y= denklem (1)'in çözümüdür. Ve genel çözüm şuna benzer:

ki için çözüm



Euler denklemi.

Tanım. Formun denklemi:

a i sabit katsayılardır, buna denir Euler denklemi.

Euler denklemi x=e t yerine konularak sabit katsayılı doğrusal homojen bir denkleme indirgenir.

Çözümleri y=xk formunda arayabilirsiniz, sonra şu forma sahip olurlar:

Doğrusal homojen olmayan denklemler.

Eğer 0 (x)0 ise denklem (1)'i bu katsayıya bölersek şunu elde ederiz:

.

Eğer i ve f b üzerinde sürekli ise, o zaman (2)'nin karşılık gelen başlangıç ​​koşullarını sağlayan tek bir çözümü vardır. (2)'nin en yüksek türevlerini açıkça ifade edersek, sağ tarafı varlık ve teklik teoremini karşılayan bir denklem elde ederiz. L operatörü doğrusal olduğundan, (2) için aşağıdakilerin geçerli olduğu anlamına gelir:

1).
- çözüm (2), eğer - homojen olmayan denklemin (2) çözümü ve - karşılık gelen homojen denklemin çözümü.

2). Eğer - çözümler
, O
denklemin çözümü
.

Özellik 2 süperpozisyon ilkesidir, şu durumlarda geçerlidir:
, eğer seri
- yakınlaşır ve kabul eder M-Birden fazla terimden terime farklılaşma.

3) Operatör denklemi verilsin
, burada L katsayıları olan bir operatördür , Tüm - gerçek. U ve V fonksiyonları da gerçektir. O halde, eğer bu denklemin bir çözümü varsa
O zaman aynı denklemin çözümü hem sanal hem de gerçek kısımlar olacaktır:
Ve
. Üstelik her biri çözüme karşılık geliyor.

Teorem. Homojen olmayan denklemin genel çözümüN- hakkında
segmentte [A, B] tüm katsayıların sağlanması koşuluyla
ve sağ taraf
- sürekli fonksiyonlar, homojen bir sisteme karşılık gelen genel çözümün toplamı olarak temsil edilebilir
ve homojen olmayan duruma özel bir çözüm -
.

Onlar. çözüm
.

Homojen olmayan bir sistemin belirli çözümlerini açıkça seçmek mümkün değilse, o zaman yöntemi kullanabilirsiniz. sabit varyasyonları . Şu formda bir çözüm arayacağız:

(3)

Nerede
homojen bir sistemin çözümleri,
- bilinmeyen işlevler.

Toplam bilinmeyen işlevler
- N. Orijinal denklemi (2) karşılamaları gerekir.

Y(x) ifadesini denklem (2)'de yerine koyarsak, yalnızca bir bilinmeyen fonksiyonu belirlemek için koşullar elde ederiz. Kalan (n-1)-kuyu fonksiyonlarını belirlemek için bir (n-1)-ama ek koşul gereklidir; bunlar keyfi olarak seçilebilir. Bunları (2) - y(x) çözümü aynı formda olacak şekilde seçelim.
sabitlerdi.

,

Çünkü
sabitler gibi davranın, o zaman
, yani
.

O. denklem (1)'e ek olarak (n-1)-but koşulunu elde ederiz. Türevlerin ifadesini denklem (1)'de değiştirirsek ve elde edilen tüm koşulları ve y i'nin karşılık gelen homojen sistemin çözümü olduğu gerçeğini hesaba katarsak, o zaman son koşulu elde ederiz.
.

Gelelim sisteme:

(3)

Sistem (3)'ün determinantı (W)'dir Vronsky'nin determinantı, ve çünkü i homojen bir sistemin çözümleriyim, o zaman W0 açık.

Örnek. Homojen olmayan denklem

karşılık gelen homojen denklem

Formda bir çözüm arıyoruzsen= e kx . Karakteristik denklemSipariş azaltmanın en basit durumları. 2 +1=0, yaniSipariş azaltmanın en basit durumları. 1,2 =  Ben

sen= e ix = çünkü X + Ben günah Xgenel çözüm şudur

Sabit değişim yöntemini kullanalım:

Koşullar
:

, yazmaya eşdeğerdir:

Buradan:

N-inci sıra

Teorem. Eğer y 0- homojen bir denklemin çözümü L[y]=0, y 1- karşılık gelen homojen olmayan denklemin çözümü L[y] = f(x), o zaman toplam y 0 + y 1 bu homojen olmayan denklemin çözümüdür.

Homojen olmayan denklemin genel çözümünün yapısı aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Eğer e- denklemin özel çözümü L[y] = f(x) sürekli katsayılarla, - karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü L[y] = 0, daha sonra bu homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:

Yorum. Doğrusal homojen olmayan bir denklemin genel çözümünü yazmak için, bu denkleme özel bir çözüm ve karşılık gelen homojen denklemin genel bir çözümünü bulmak gerekir.

Doğrusal homojen olmayan denklemler N

Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-inci dereceden sabit katsayılı

Nerede 1, bir 2, …, BİR- gerçek sayılar. Karşılık gelen homojen denklemi yazalım

Homojen olmayan denklemin genel çözümü aşağıdaki formülle belirlenir:

Homojen bir denklemin genel çözümü y 0özel bir çözüm bulabiliriz e aşağıdaki basit durumlarda belirsiz katsayılar yöntemiyle bulunabilir:

Genel durumda, keyfi sabitlerin değiştirilmesi yöntemi kullanılır.

Keyfi sabitlerin varyasyon yöntemi

Doğrusal homojen olmayan denklemi düşünün N-değişken katsayılı sıra

Bu denkleme özel bir çözüm bulmak zor çıkıyorsa ancak karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü biliniyorsa, homojen olmayan denklemin genel çözümü bulunabilir. keyfi sabitlerin değişimi yöntemi.

Karşılık gelen homojen denklem olsun

genel bir çözümü var

Formdaki homojen olmayan denklem için genel bir çözüm arayacağız.

Nerede y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x) genel çözümüne dahil edilen homojen bir denklemin doğrusal olarak bağımsız çözümleridir ve C1(x), C2(x), …, Cn(x)- bilinmeyen işlevler. Bu fonksiyonları bulmak için onları bazı koşullara tabi tutalım.

Türevini bulalım

İkinci parantez içindeki toplamın sıfıra eşit olmasını istiyoruz, yani

İkinci türevi bulalım

ve bunu talep edeceğiz

Benzer bir işlemi sürdürerek şunu elde ederiz:

Bu durumda ikinci parantez içindeki toplamın sıfırlanması istenemez çünkü fonksiyonlar C1(x), C2(x), …, Cn(x) zaten tabi n-1 koşullar, ancak yine de orijinal homojen olmayan denklemi karşılamanız gerekiyor.