Matematikçi Yakov Perelman: bilime katkı. Ünlü Rus matematikçi Grigory Perelman

AKIL OYUNU

Yakın zamana kadar matematik “rahiplerine” ne şöhret ne de zenginlik vaat ediyordu. Onlara Nobel Ödülü bile verilmedi. Böyle bir adaylık yok. Sonuçta çok popüler bir efsaneye göre Nobel'in karısı bir zamanlar onu bir matematikçiyle aldatmıştı. Ve misilleme olarak zengin adam tüm sahtekar kardeşlerini saygısından ve para ödülünden mahrum etti.

2000 yılında durum değişti. Özel Matematik Enstitüsü Clay Matematik Enstitüsü en zor problemlerden yedisini seçti. Ve kararları karşılığında her birine birer milyon dolar ödeyeceğine söz verdi. Matematikçilere saygıyla baktılar. 2001 yılında ana karakteri bir matematikçi olan “Güzel Bir Zihin” filmi bile yayınlandı.

Artık yalnızca medeniyetten uzak insanlar bunun farkında değil: vaat edilen milyonlardan biri - ilki - çoktan ödüllendirildi. Ödül, St. Petersburg'da ikamet eden Rus vatandaşı Grigory Perelman'a, çabalarıyla bir teorem haline gelen Poincaré varsayımını çözdüğü için verildi. 44 yaşındaki sakallı adam tüm dünyanın burnunu sildi. Ve şimdi de onu -dünyayı- belirsizlik içinde tutmaya devam ediyor. Çünkü matematikçinin dürüstçe hak ettiği milyon doları alıp almayacağı veya reddedip reddedmeyeceği bilinmiyor. Pek çok ülkedeki ilerici kamuoyu doğal olarak endişeli. En azından tüm kıtalardaki gazeteler finansal ve matematiksel entrikayı anlatıyor.

Ve bu büyüleyici faaliyetlerin (falcılık ve başkalarının parasını bölme) arka planında Perelman'ın başarısının anlamı bir şekilde kaybolmuştu. Clay Enstitüsü Başkanı Jim Carlson elbette bir keresinde ödül fonunun amacının cevap aramak olmadığını, matematik biliminin prestijini artırma ve gençlerin ilgisini çekme girişimi olduğunu belirtmişti. Ama yine de ne anlamı var?

POINCARE HİPOTEZİ - NEDİR?

Rus dehasının çözdüğü bilmece, matematiğin topoloji adı verilen bir dalının temellerine değiniyor. Topolojisine genellikle "kauçuk levha geometrisi" adı verilir. Şeklin gerilmesi, bükülmesi veya bükülmesi durumunda korunan geometrik şekillerin özellikleriyle ilgilenir. Yani yırtılmadan, kesilmeden, yapıştırılmadan deforme olur.

Topoloji matematiksel fizik açısından önemlidir çünkü uzayın özelliklerini anlamamızı sağlar. Veya bu mekanın şekline dışarıdan bakmadan değerlendirin. Örneğin, Evrenimize.

Poincaré varsayımını açıklarken şöyle başlıyorlar: İki boyutlu bir küre hayal edin; lastik bir disk alın ve onu topun üzerine çekin. Böylece diskin çevresi tek bir noktada toplanır. Benzer şekilde örneğin bir spor sırt çantasını kordonla bağlayabilirsiniz. Sonuç bir küredir: bizim için üç boyutludur, ancak matematik açısından yalnızca iki boyutludur.

Daha sonra aynı diski bir çörek üzerine çekmeyi teklif ediyorlar. İşe yarayacak gibi görünüyor. Ancak diskin kenarları artık bir noktaya çekilemeyecek bir daire şeklinde birleşecek - çörek kesilecek.

Başka bir Rus matematikçi Vladimir Uspensky'nin popüler kitabında yazdığı gibi, "iki boyutlu kürelerden farklı olarak, üç boyutlu kürelere doğrudan gözlemimizle erişilemez ve Vasily İvanoviç'in hayal etmesi ne kadar zorsa bizim için de onları hayal etmek o kadar zordur" ünlü şakadaki kare trinomial.

Yani Poincaré hipotezine göre, yüzeyi varsayımsal bir "hiperkord" tarafından bir noktaya çekilebilen tek üç boyutlu şey üç boyutlu bir küredir.

Jules Henri Poincaré bunu 1904'te önerdi. Artık Perelman, Fransız topologun haklı olduğunu anlayan herkesi ikna etti. Ve hipotezini teoreme dönüştürdü.

Kanıt, Evrenimizin nasıl bir şekle sahip olduğunu anlamaya yardımcı oluyor. Ve bunun aynı üç boyutlu küre olduğunu çok makul bir şekilde varsaymamıza izin veriyor. Ancak eğer Evren bir noktaya kadar daraltılabilen tek “figür” ise, o zaman muhtemelen bir noktadan itibaren uzatılabilir. Bu, Evrenin bir noktadan kaynaklandığını öne süren Büyük Patlama teorisinin dolaylı bir doğrulamasıdır.

Perelman'ın Poincaré ile birlikte evrenin ilahi başlangıcının destekçileri olan sözde yaratılışçıları üzdüğü ortaya çıktı. Ve materyalist fizikçilerin değirmenine su döktüler.

VE BU ZAMANDA

Dahi henüz bir milyon dolardan vazgeçmedi

Matematikçi inatla gazetecilerle iletişim kurmayı reddediyor. Bizimkine göre - kesinlikle: sesini bile yükseltmiyor. Batılılar - kapalı bir kapıdan sözler atarlar. Mesela beni rahat bırak. Dahi sadece Clay Enstitüsü'nün başkanı Jim Carlson ile iletişim kuruyor gibi görünüyor.

Grigory Perelman'ın milyon doları öğrenildikten hemen sonra Carlson, "Dahi neye karar verdi?" sorusunu yanıtladı. şu cevabı verdi: "Zamanı gelince bana haber verecek." Yani Gregory ile temas halinde olduğunu ima etti.

Geçtiğimiz gün Cumhurbaşkanımızdan yeni bir mesaj aldık. Kendisi İngiliz The Telegraph gazetesi tarafından kamuoyuna şöyle bildirildi: “Kararını bir noktada bana bildireceğini söyledi. Ancak bunun en azından yaklaşık olarak ne zaman olacağını söylemedi. Yarın da bunun doğru olacağını düşünmüyorum."

Başkana göre dahi kuru ama kibar bir şekilde konuştu. Kısa sürdü. Perelman'ı savunan Carlson şunları kaydetti: "Bir kişinin bir milyon dolardan vazgeçme olasılığını şaka yollu bir şekilde düşünmesi bile her gün mümkün değil."

BU ARADA

Yoksa neden bir milyon dolar versinler ki?

1. Cook'un sorunu

Bir problemin çözümünün doğruluğunu kontrol etmenin, çözümü elde etmekten daha uzun zaman alıp alamayacağını belirlemek gerekir. Bu mantıksal görev, kriptografi - veri şifreleme - uzmanları için önemlidir.

2. Riemann hipotezi

2, 3, 5, 7 gibi yalnızca kendilerine bölünebilen asal sayılar vardır. Toplamda kaç tane olduğu bilinmiyor. Riemann bunun belirlenebileceğine ve dağılımlarının bir modelinin bulunabileceğine inanıyordu. Bunu kim bulursa aynı zamanda kriptografi hizmetleri de sağlayacak.

3. Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Problem, üç bilinmeyenin üstleri olan denklemlerin çözülmesini içerir. Karmaşıklığa bakılmaksızın bunları nasıl çözeceğinizi bulmanız gerekir.

4. Hodge varsayımı

Yirminci yüzyılda matematikçiler karmaşık nesnelerin şeklini incelemek için bir yöntem keşfettiler. Buradaki fikir, nesnenin kendisi yerine birbirine yapıştırılan ve benzerliğini oluşturan basit "tuğlalar" kullanmaktır. Bunun her zaman caiz olduğunu kanıtlamak gerekir.

5. Navier - Stokes denklemleri

Onları uçakta hatırlamaya değer. Denklemler onu havada tutan hava akımlarını tanımlar. Artık denklemler yaklaşık formüller kullanılarak yaklaşık olarak çözülmektedir. Kesin olanları bulmamız ve üç boyutlu uzayda denklemlerin her zaman doğru olan bir çözümünün olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

6. Yang - Mills denklemleri

Fizik dünyasında bir hipotez vardır: Eğer bir temel parçacığın kütlesi varsa, o zaman onun bir alt sınırı vardır. Ama hangisi olduğu belli değil. Ona ulaşmamız lazım. Bu belki de en zor görevdir. Bunu çözmek için, doğadaki tüm kuvvetleri ve etkileşimleri birleştiren bir "her şeyin teorisi" - denklemler oluşturmak gerekir. Bunu yapabilen herkes muhtemelen Nobel Ödülü alacaktır.

Saf matematiğin son büyük başarısı, St. Petersburg'da yaşayan Grigory Perelman'ın 2002-2003'te 1904'te ifade ettiği Poincaré varsayımının kanıtı olarak kabul edilir: "Sınırsız her bağlantılı, basit bağlantılı, kompakt üç boyutlu manifold, S3 küresine homeomorfiktir.”

Bu cümlede, genel anlamlarının matematikçi olmayanlar için açık olması için açıklamaya çalışacağım birkaç terim var (okuyucunun liseden mezun olduğunu ve okul matematiğinin bir kısmını hala hatırladığını varsayıyorum).

Topolojinin merkezi olan homeomorfizm kavramıyla başlayalım. Genel olarak topoloji genellikle "kauçuk geometrisi" olarak tanımlanır; yani, geometrik görüntülerin, kırılma ve yapıştırma olmadan düzgün deformasyonlar sırasında değişmeyen özelliklerinin bilimi veya daha kesin olarak, eğer bire bir oluşturmak mümkünse. -İki nesne arasında bir ve karşılıklı olarak sürekli yazışma.

Ana fikri, klasik bir kupa ve çörek örneğini kullanarak açıklamak en kolay olanıdır. Birincisi sürekli deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir.

Bu şekiller, bir kupanın bir çörek ile homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (bir torus adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (kenarlı üç boyutlu manifoldlar) için doğrudur.

Hipotezin formülasyonunda görünen geri kalan terimlerin yorumunu verelim.

Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri arasında ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir simitin (çörek) iç kısmı yer alır. Kapalı bir katı simit düşünürsek, yani sınır noktalarını (topusun yüzeyi) eklersek, o zaman kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca formdadır yarım top.
Bağlı. Buradaki bağlantı kavramı en basit olanıdır. Bir manifold tek parçadan oluşuyorsa bağlantılıdır veya aynı şekilde herhangi iki noktası, sınırlarının dışına taşmayan sürekli bir çizgiyle birbirine bağlanabilir.
Basitçe bağlanın. Basit bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla bir noktaya düzgün bir şekilde çekilebilir) . Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.
Kompakt. Homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse bir manifold kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

Boyut Bir manifoldun sayısı, üzerinde "yaşayan" noktanın serbestlik derecesinin sayısıdır. Her noktanın karşılık gelen boyutta bir disk şeklinde bir komşuluğu vardır; yani tek boyutlu bir durumda bir çizgi aralığı, iki boyutlu bir düzlem üzerinde bir daire, üç boyutlu bir top vb. Topoloji açısından bakıldığında, kenarı olmayan yalnızca iki tek boyutlu bağlantılı manifold vardır: bir çizgi ve daire. Bunlardan yalnızca daire kompakttır.

Manifold olmayan bir uzayın örneği, örneğin bir çift kesişen çizgidir - sonuçta, iki çizginin kesişme noktasında herhangi bir mahalle haç şeklindedir, böyle bir mahalleye sahip değildir. kendisi basitçe bir aralıktır (ve diğer tüm noktaların bu tür komşulukları vardır). Bu gibi durumlarda matematikçiler, tek bir özel noktası olan özel bir çeşitlilikle karşı karşıya olduğumuzu söylüyorlar.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. Yalnızca düşünürsek odaklı Sınırsız manifoldlar varsa, topolojik açıdan bakıldığında sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür manifoldların her biri, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamacın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

Şekil 0, 1, 2 ve 3 cinsinin yüzeylerini göstermektedir. Küreyi bu listedeki tüm yüzeyler arasında öne çıkaran nedir? Basitçe bağlantılı olduğu ortaya çıkıyor: Bir küre üzerinde herhangi bir kapalı eğri bir noktaya kadar daraltılabilir, ancak herhangi bir başka yüzeyde her zaman yüzey boyunca bir noktaya kadar daraltılamayan bir eğri gösterilebilir.

Sınırsız üç boyutlu kompakt manifoldların, iki boyutlu durumdaki kadar basit olmasa da oldukça karmaşık bir yapıya sahip olmasına rağmen, bir anlamda sınıflandırılabilmesi, yani belirli bir listede düzenlenebilmesi ilginçtir. Ancak yukarıdaki listede yer alan 2D küre gibi 3D küre S 3 bu listede de öne çıkıyor. S 3 üzerindeki herhangi bir eğrinin bir noktaya kadar büzüldüğü gerçeği, iki boyutlu durumda olduğu kadar basit bir şekilde kanıtlanmıştır. Ancak bunun tersi olan ifade, yani bu özelliğin özellikle küre için benzersiz olduğu, yani diğer herhangi bir üç boyutlu manifoldda büzülmeyen eğrilerin bulunduğu ifadesi çok zordur ve tam olarak bahsettiğimiz Poincaré varsayımının içeriğini oluşturur. .

Çeşitliliğin kendi başına yaşayabileceğini, herhangi bir yere yuvalanmadan bağımsız bir nesne olarak düşünülebileceğini anlamak önemlidir. (Sıradan bir kürenin yüzeyinde, üçüncü boyutun varlığından habersiz iki boyutlu yaratıklar olarak yaşadığınızı hayal edin.) Neyse ki, yukarıdaki listede yer alan iki boyutlu yüzeylerin tümü sıradan R3 uzayına yerleştirilebilir, bu da onları daha kolay hale getirir. görselleştirmek. Üç boyutlu S3 küresi için (ve genel olarak sınırı olmayan herhangi bir kompakt üç boyutlu manifold için) durum artık geçerli değildir, dolayısıyla onun yapısını anlamak için biraz çaba gerekir.

Görünen o ki, üç boyutlu S3 küresinin topolojik yapısını açıklamanın en basit yolu tek noktalı sıkıştırma kullanmaktır. Yani, üç boyutlu küre (S3), sıradan üç boyutlu (sınırsız) uzayın (R3) tek noktalı kompaktifikasyonudur.

Öncelikle bu yapıyı basit örneklerle açıklayalım. Sıradan bir sonsuz düz çizgiyi (uzayın tek boyutlu bir benzeri) alalım ve ona "sonsuz derecede uzak" bir nokta ekleyelim; sağa veya sola doğru düz bir çizgi boyunca hareket ettiğimizde sonunda bu noktaya ulaşacağımızı varsayalım. Topolojik açıdan bakıldığında, sonsuz bir çizgi ile sınırlı bir açık çizgi parçası (uç noktaları olmayan) arasında hiçbir fark yoktur. Böyle bir parça, bir yay şeklinde sürekli olarak bükülebilir, uçları yakınlaştırabilir ve bağlantı noktasındaki eksik noktayı yapıştırabilir. Açıkçası bir daire elde edeceğiz - kürenin tek boyutlu bir benzeri.

Aynı şekilde, sonsuz bir düzlem alıp, orijinal düzlemin herhangi bir yönde geçen tüm düz çizgilerinin yöneldiği sonsuzda bir nokta eklersem, o zaman iki boyutlu (sıradan) bir S 2 küresi elde ederiz. Bu prosedür, kuzey kutbu N hariç, kürenin her P noktasına P düzlemi üzerinde belirli bir nokta atayan stereografik bir projeksiyon kullanılarak gözlemlenebilir."

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir noktanın eklenmesi, düzlemi bir küreye dönüştürür.

Prensip olarak, tam olarak aynı yapı üç boyutlu bir küre ve üç boyutlu uzaya uygulanabilir, yalnızca uygulanması için dördüncü boyuta girmek gerekir ve bunu bir çizimde tasvir etmek o kadar kolay değildir. Bu nedenle kendimi R3 uzayının tek noktalı kompaktifikasyonunun sözlü açıklamasıyla sınırlayacağım.

Fiziksel uzayımıza (Newton'u takip ederek, üç koordinat x, y, z ile sınırsız bir Öklid uzayı olarak kabul ediyoruz), herhangi bir yönde düz bir çizgide hareket ederken "sonsuzda" bir noktanın eklendiğini hayal edin. oraya vardığınız yön (yani her uzamsal çizgi bir daireye kapanır). Daha sonra tanımı gereği S3 küresi olan kompakt üç boyutlu bir manifold elde ederiz.

S3 küresinin basit bir şekilde bağlantılı olduğunu anlamak kolaydır. Aslında bu küre üzerindeki herhangi bir kapalı eğri, eklenen noktadan geçmeyecek şekilde hafifçe kaydırılabilir. Daha sonra, sıradan uzay R3'te, homojenlikler yoluyla, yani her üç yönde sürekli sıkıştırma yoluyla bir noktaya kolayca büzülen bir eğri elde ederiz.

S3 çeşidinin nasıl yapılandırıldığını anlamak için onun iki katı toriye bölünmesini düşünmek çok öğreticidir. Katı simidi R3 alanından çıkarırsak, o zaman çok net olmayan bir şey kalacaktır. Ve eğer uzay bir küre şeklinde sıkıştırılırsa, o zaman bu tamamlayıcı da katı bir torusa dönüşür. Yani, S3 küresi, ortak bir sınırı olan bir simit olan iki katı tori'ye bölünmüştür.

İşte bunu nasıl anlayabileceğiniz. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir çörek şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi - bu çörekin dönme ekseni - çizelim. Eksen boyunca rastgele bir düzlem çiziyoruz; bu, şekilde yeşil renkle gösterilen iki daire boyunca katı torusumuzu kesecek ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünecek. Bunlar, daha cesurca vurgulanan merkezi ekseni içerir, çünkü S3 küresinde düz çizgi bir daireye yaklaşır. Bu iki boyutlu resim bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu bir resim elde edilir. Döndürülmüş dairelerden oluşan eksiksiz bir set, katı bir torusa homeomorfik olan ancak sıra dışı görünen üç boyutlu bir gövdeyi dolduracaktır.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, sıradan bir katı torus oluşturan paraleller - daireler rolünü oynayacak.

3-küreyi karşılaştıracak bir şeye sahip olmak için, kompakt 3-manifoldun başka bir örneğini, yani üç boyutlu simidi vereceğim. Üç boyutlu bir simit aşağıdaki gibi oluşturulabilir. Başlangıç malzemesi olarak sıradan bir üç boyutlu küpü alalım:

Üç çift kenarı vardır: sol ve sağ, üst ve alt, ön ve arka. Her paralel yüz çiftinde, küpün kenarı boyunca aktarılarak birbirinden elde edilen noktaları çiftler halinde belirleriz. Yani, örneğin A ve A"'nın aynı nokta olduğunu ve B ile B"'nin de bir nokta olduğunu ancak A noktasından farklı olduğunu (tamamen soyut olarak, fiziksel deformasyonlar kullanmadan) varsayacağız. Tüm iç noktalar Küpü her zamanki gibi ele alacağız. Küpün kendisi kenarı olan bir manifolddur, ancak yapıştırma işlemi tamamlandıktan sonra kenar kendi üzerine kapanır ve kaybolur. Aslında, küpteki A ve A" noktalarının komşuları (sol ve sağ gölgeli yüzlerde bulunurlar), yüzleri birbirine yapıştırdıktan sonra bir mahalle görevi gören bütün bir top halinde birleşen topların yarısıdır. üç boyutlu simidin karşılık gelen noktası.

Fiziksel alanla ilgili günlük fikirlere dayalı 3 torusun yapısını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dik yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, bu yönlerden herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. oldukça uzun ama sınırlı bir süre sonra başlangıç noktasına döneceğiz, ancak ters yönden. Bu aynı zamanda "uzayın sıkıştırılmasıdır", ancak daha önce küre oluşturmak için kullanılan tek nokta değil, daha karmaşık bir yöntemdir.

Üç boyutlu bir simit üzerinde daraltılamayan yollar vardır; örneğin, şekildeki AA" segmentidir (bir torus üzerinde kapalı bir yolu temsil eder). Daraltılamaz, çünkü herhangi bir sürekli deformasyon için A ve A" noktalarının yüzleri boyunca hareket etmesi ve birbirlerine tam olarak zıt olmaları gerekir ( aksi takdirde eğri açılacaktır).

Yani basit bağlantılı ve basit bağlantılı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman basit bağlantılı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

İspatın ilk fikri, "Ricci akışı" olarak adlandırılan yöntemi kullanmaktır: basit bir şekilde bağlanmış kompakt 3-manifoldu alırız, ona isteğe bağlı bir geometri veririz (yani, mesafeler ve açılarla birlikte bazı metrikler ekleriz) ve sonra Ricci akışı boyunca evrimini düşünün. Bu fikri 1981 yılında ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimin çeşitliliğimizi bir alana dönüştüreceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı - üç boyutlu durumda, Ricci akışı bir manifoldu bozabilir, yani onu manifold olmayan bir hale getirebilir (yukarıdaki kesişen çizgiler örneğinde olduğu gibi tekil noktalara sahip bir şey) . Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aygıtını kullanarak, tekil noktalar yakınındaki Ricci akışına, evrim sırasında manifoldun topolojisi değişmeyecek, hiçbir tekil nokta ortaya çıkmayacak şekilde düzeltmeler getirmeyi başardı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamamız gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki değişikliklere atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi, düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını tanımlamakla sınırlayacağım.

Öklid düzleminde düzgün kapalı bir eğri hayal edelim, bunun üzerinde bir yön seçelim ve her noktada birim uzunlukta bir teğet vektör düşünelim. Daha sonra, seçilen yönde eğrinin etrafında dönerken, bu vektör eğrilik adı verilen bir açısal hızla dönecektir. Eğrinin daha dik kavisli olduğu yerlerde eğrilik (mutlak değerde) daha büyük olacak, daha düzgün olduğu yerlerde eğrilik daha az olacaktır.

Hız vektörü, eğrimize göre iki parçaya bölünen düzlemin iç kısmına doğru dönüyorsa eğriliği pozitif, dışa doğru dönüyorsa negatif kabul edeceğiz. Bu kural eğrinin geçildiği yönden bağımsızdır. Dönüşün yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (eğer radyan cinsinden ölçülürse).

Şimdi teğet vektörleri unutalım ve tam tersine, eğrinin her noktasına, kendisine dik, belirli bir noktadaki eğriliğe eşit uzunlukta ve eğrilik pozitifse içe doğru, negatifse dışa doğru yönlendirilmiş bir vektör ekleyelim. ve ardından her noktanın, uzunluğuyla orantılı hızla karşılık gelen vektörün yönünde hareket etmesini sağlayın. İşte bir örnek:

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin bu tür bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonuçta bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Poincaré varsayımının Ricci akışını kullanan tek boyutlu analoğunun bir kanıtıdır (ancak bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, yalnızca kanıt yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sonuç olarak, Perelman'ın akıl yürütmesinin yalnızca Poincaré varsayımını değil aynı zamanda genel olarak tüm kompakt üç boyutlu manifoldların yapısını belirli bir anlamda tanımlayan çok daha genel Thurston geometrileştirme varsayımını da kanıtladığını belirtelim. Ancak bu konu bu temel makalenin kapsamı dışındadır.

Yer sıkıntısı nedeniyle, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim; bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeler olmadan uzaya gömülemeyen bir yüzey.

Fotoğraf: N. Chetverikova Saf matematiğin son büyük başarısı, St. Petersburg'da yaşayan Grigory Perelman'ın 2002-2003'te 1904'te belirttiği Poincaré varsayımının kanıtı olarak adlandırılır ve şunu belirtir: “her bağlantılı, basit bağlantılı, kompakt üç boyutlu manifold sınırsız, S3 küresine homeomorfiktir.”

Ana fikri, klasik bir kupa ve çörek örneğini kullanarak açıklamak en kolay olanıdır. Birincisi, sürekli bir deformasyonla ikinciye dönüştürülebilir: Bu şekiller, kupanın simit ile homeomorfik olduğunu açıkça göstermektedir ve bu gerçek, hem yüzeyleri (simit adı verilen iki boyutlu manifoldlar) hem de dolu cisimler (üç boyutlu manifoldlar) için geçerlidir. -bir kenarı olan boyutlu manifoldlar).

Hipotezin formülasyonunda görünen geri kalan terimlerin yorumunu verelim.

1. Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri arasında ilk olarak, R3 ile gösterilen tüm üç boyutlu uzayın yanı sıra R3'teki herhangi bir açık nokta kümesi, örneğin katı bir simitin (çörek) iç kısmı yer alır. Kapalı bir tam simidi ele alırsak, yani sınır noktalarını (topusun yüzeyi) eklersek, o zaman kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca formdadır yarım top.

2. Bağlı. Buradaki bağlantı kavramı en basit olanıdır. Bir manifold, tek parçadan oluşuyorsa veya aynı şekilde, herhangi iki noktası, sınırlarının ötesine geçmeyen sürekli bir çizgi ile bağlanabiliyorsa bağlantılıdır.

3. Basitçe bağlanın. Basit bağlantılılık kavramı daha karmaşıktır. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla bir noktaya düzgün bir şekilde çekilebilir) . Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.

4. Kompakt. Eğer homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse, çeşitlilik kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) sınırları olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

İki boyutlu kompakt manifoldlar iyi bilinmektedir. Yalnızca düşünürsek yönlendirilebilir 1 Sınırsız manifoldlar varsa, topolojik açıdan bakıldığında sonsuz da olsa basit bir liste oluştururlar: vb. Bu tür manifoldların her biri, sayısı yüzeyin cinsi olarak adlandırılan birkaç tutamacın yapıştırılmasıyla bir küreden elde edilir.

1 Yer sıkıntısı nedeniyle, yönlendirilemeyen manifoldlardan bahsetmeyeceğim; bunun bir örneği ünlü Klein şişesidir - kendi kendine kesişmeler olmadan uzaya gömülemeyen bir yüzey.

Böylece, tek noktası olmayan bir küre, topolojik olarak bir düzlemle aynıdır ve bir noktanın eklenmesi, düzlemi bir küreye dönüştürür.

İşte bunu nasıl anlayabileceğiniz. Simidi her zamanki gibi yuvarlak bir çörek şeklinde R 3'e yerleştirelim ve dikey bir çizgi - bu çörekin dönme ekseni - çizelim. Eksen boyunca rastgele bir düzlem çiziyoruz; bu, şekilde yeşil renkle gösterilen iki daire boyunca katı torusumuzu kesecek ve düzlemin ek kısmı sürekli bir kırmızı daire ailesine bölünecek. Bunlar, daha cesurca vurgulanan merkezi ekseni içerir, çünkü S3 küresinde düz çizgi bir daireye yaklaşır. Bu iki boyutlu resim bir eksen etrafında döndürülerek üç boyutlu bir resim elde edilir. Döndürülmüş dairelerden oluşan eksiksiz bir set, katı bir torusa homeomorfik olan ve yalnızca sıra dışı görünen üç boyutlu bir gövdeyi dolduracaktır.

Aslında, merkezi eksen, içinde eksenel bir daire olacak ve geri kalanı, sıradan bir katı torus oluşturan paraleller - daireler rolünü oynayacak.

Fiziksel alanla ilgili günlük fikirlere dayalı 3 torusun yapısını hissetmek için, karşılıklı olarak üç dik yön seçmeniz gerekir: ileri, sol ve yukarı - ve bilim kurgu hikayelerinde olduğu gibi, bu yönlerden herhangi birinde hareket ederken zihinsel olarak düşünün. oldukça uzun ama sonlu bir süre sonra başlangıç noktasına döneceğiz, ancak ters yönden. Bu aynı zamanda "uzayın sıkıştırılmasıdır", ancak daha önce küreyi oluşturmak için kullanılan tek nokta değil, daha karmaşıktır.

Yani basit bağlantılı ve basit bağlantılı olmayan kompakt 3-manifoldların olduğunu görüyoruz. Perelman basit bağlantılı bir manifoldun tam olarak bir olduğunu kanıtladı.

İspatın ilk fikri "Ricci akışı" olarak adlandırılan yöntemi kullanmaktır: basit bağlantılı kompakt 3-manifoldu alırız, ona isteğe bağlı bir geometri veririz (yani mesafeler ve açılarla birlikte bazı metrikler ekleriz) ve sonra şunu düşünürüz: Ricci akışı boyunca evrimi. Bu fikri 1981 yılında ortaya atan Richard Hamilton, bu evrimin çeşitliliğimizi bir alana dönüştüreceğini umuyordu. Bunun doğru olmadığı ortaya çıktı; üç boyutlu durumda, Ricci akışı bir manifoldu bozabilir, yani onu manifold olmayan bir hale getirebilir (yukarıdaki kesişen çizgiler örneğinde olduğu gibi tekil noktalara sahip bir şey). Perelman, inanılmaz teknik zorlukların üstesinden gelerek, kısmi diferansiyel denklemlerin ağır aygıtını kullanarak, tekil noktalar yakınındaki Ricci akışına, evrim sırasında manifoldun topolojisi değişmeyecek, hiçbir tekil nokta ortaya çıkmayacak şekilde düzeltmeler getirmeyi başardı ve sonunda yuvarlak bir küreye dönüşür. Ama sonunda bu Ricci akışının ne olduğunu açıklamamız gerekiyor. Hamilton ve Perelman tarafından kullanılan akışlar, soyut bir manifold üzerindeki içsel metrikteki değişikliklere atıfta bulunur ve bunu açıklamak oldukça zordur, bu nedenle kendimi, düzleme gömülü tek boyutlu manifoldlar üzerindeki "dış" Ricci akışını tanımlamakla sınırlayacağım.

Hız vektörü, eğrimize göre iki parçaya bölünen düzlemin iç kısmına doğru dönüyorsa eğriliği pozitif, dışa doğru dönüyorsa negatif kabul edeceğiz. Bu anlaşma eğrinin geçildiği yöne bağlı değildir. Dönüşün yön değiştirdiği bükülme noktalarında eğrilik 0 olacaktır. Örneğin, yarıçapı 1 olan bir dairenin sabit pozitif eğriliği 1'dir (eğer radyan cinsinden ölçülürse).

Düzlemdeki herhangi bir kapalı eğrinin bu tür bir evrim sırasında benzer şekilde davrandığı, yani sonunda bir daireye dönüştüğü ortaya çıktı. Bu, Poincaré varsayımının Ricci akışını kullanan tek boyutlu analoğunun bir kanıtıdır (ancak bu durumda ifadenin kendisi zaten açıktır, yalnızca kanıt yöntemi 3. boyutta ne olduğunu göstermektedir).

Sergey Düzhin,
Fizik ve Matematik Doktoru bilimler,
kıdemli araştırmacı
St.Petersburg şubesi
Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü

En büyük matematikçilerden biri olan Henri Poincaré (1854-1912), 1904 yılında ünlü üç boyutlu küre fikrini formüle etti ve 65 sayfalık bir kitabın sonuna yerleştirilen küçük bir kenar notu şeklinde Tamamen farklı bir konuya ayrılan makale, oldukça tuhaf bir hipotezin birkaç satırını şu sözlerle karalamıştı: “Eh, bu soru bizi çok ileri götürebilir”...

Oxford Üniversitesi'nden Marcus Du Sautoy buna inanıyor Poincaré teoremi- "Bu matematik ve fiziğin temel problemi , anlama çabası hangi şekil Belki Evren , ona yaklaşmak çok zor.

Grigory Perelman haftada bir, İleri Araştırma Enstitüsü'ndeki bir seminere katılmak için Princeton'a gidiyordu. Seminerde Harvard Üniversitesi matematikçilerinden biri Perelman'ın sorusunu yanıtlıyor: “Geometrizasyon hipotezi olarak adlandırılan William Thurston'un (1946-2012, matematikçi, “Üç boyutlu geometri ve topoloji” alanında çalışan) teorisi, her şeyi açıklıyor. olası üç boyutlu yüzeyler ve Poincaré varsayımıyla karşılaştırıldığında bir adım ileridir. William Thurston'un hipotezini kanıtlarsanız Poincaré varsayımı size tüm kapılarını açacaktır ve dahası çözümü modern bilimin tüm topolojik manzarasını değiştirecek ».

Mart 2003'te Amerika'nın önde gelen altı üniversitesi Perelman'ı çalışmalarını açıklayan bir dizi konferans vermeye davet etti. Nisan 2003'te Perelman bilimsel bir tur yaptı. Dersleri olağanüstü bir bilimsel olay haline geldi. John Ball (Uluslararası Matematik Birliği başkanı), Andrew Wiles (matematikçi, eliptik eğrilerin aritmetiği alanında çalışıyor, 1994'te Fermat teoremini kanıtladı), John Nash (oyun teorisi ve diferansiyel geometri alanında çalışan matematikçi) geliyor Princeton'da onu dinle.

Grigory Perelman milenyumun yedi probleminden birini çözmeyi başardı Ve matematiksel olarak tanımlayın sözde evrenin formülü , Poincaré varsayımını kanıtlayın. En parlak beyinler 100 yıldan fazla bir süredir bu hipotezle mücadele ediyor ve bunun kanıtı için dünya matematik topluluğu (Clay Matematik Enstitüsü) 1 milyon dolar vaat etti. Sunumu 8 Haziran 2010'da gerçekleşti. Grigory Perelman ortaya çıkmadı. buna ve dünya matematik camiasının "Ağzı açıldı."

2006 yılında matematikçi, Poincaré varsayımını çözdüğü için en yüksek matematik ödülü olan Fields Madalyası'na layık görüldü. John Ball, onu ödülü kabul etmeye ikna etmek için bizzat St. Petersburg'u ziyaret etti. Şu sözlerle kabul etmeyi reddetti: “ Toplumun çalışmalarımı ciddi bir şekilde değerlendirebilmesi pek mümkün değil».

“Fields Madalyası (ve madalyası) her 4 yılda bir, her uluslararası matematik kongresinde matematiğin gelişimine önemli katkılarda bulunan genç bilim insanlarına (40 yaş altı) verilmektedir. Madalyanın yanı sıra, madalyayı kazananlara 15 bin Kanada doları (13 bin dolar) da verilecek.”

Orijinal formülasyonunda Poincaré varsayımı şu şekildedir: "Sınırsız her basit bağlantılı kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir." İÇİNDE ortak bir dile çeviri Bu, herhangi bir üç boyutlu nesnenin, örneğin camın, yalnızca deformasyonla topa dönüşebileceği, yani kesilmesine veya birbirine yapıştırılmasına gerek kalmayacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle Poincaré şunu varsaydı: uzay üç boyutlu değildir ancak çok daha fazla sayıda boyut içerir ve Perelman 100 yıl sonra matematiksel olarak kanıtladı .

Grigory Perelman'ın Poincaré'nin maddenin başka bir hale, forma dönüşmesine ilişkin teoremini açıklaması, Anastasia Novykh'in “Sensei IV” adlı kitabında sunduğu bilgilerle benzerlik göstermektedir: “Aslında bizim için sonsuz olan bu Evrenin tamamı, milyarlarca kez yer kaplar. en ince tıbbi iğnelerin ucundan daha küçüktür". Ve ayrıca maddi Evreni, Gözlemci tarafından altıncının üzerindeki kontrol boyutlarından (7'den 72'ye kadar dahil) getirilen dönüşümler yoluyla kontrol etme yeteneği (rapor "" konusu "Ezoosmik kafes").

Grigory Perelman, yaşamındaki çilecilik ve kendisine ve başkalarına yüklenen etik taleplerin ciddiyeti ile ayırt ediliyordu. Ona bakınca insan onun adil olduğu hissine kapılıyor bedensel olarak yaşıyor genel olarak diğer tüm çağdaşlarla uzay , A Ruhsal olarak başka bir şekilde , nerede bile 1 milyon dolar için gitmiyorlar en "masum" vicdanla uzlaşmak . Peki bu nasıl bir alan ve göz ucuyla bakmak bile mümkün mü?..

Olağanüstü hipotezin önemi yaklaşık bir asır önce matematikçi tarafından ortaya atılmıştır. Poincaré, üç boyutlu yapılarla ilgilidir ve modern araştırmanın önemli bir unsurudur. evrenin temelleri . Clay Enstitüsü uzmanlarına göre bu bilmece, gelecekteki matematiğin gelişimi için temel olarak önemli olan yedi bilmeceden biridir.

Madalyaları ve ödülleri reddeden Perelman şunu soruyor: “Bunlara neden ihtiyacım var? Bunların bana hiçbir faydası yok. Herkes, eğer kanıt doğruysa, başka bir tanıma gerekmediğini anlıyor. Şüphelenene kadar, ya matematik camiasının bir bütün olarak düşük ahlaki seviyesi nedeniyle dağıldığını yüksek sesle dile getirmek ya da hiçbir şey söylememek ve kendime sığır muamelesi yapılmasına izin vermek arasında seçim yapmak zorundaydım. Artık şüpheden öteye geçtiğim için sığır olarak kalamam ve sessiz kalmaya devam edemem, bu yüzden sadece gidebilirim.”

Modern matematikle uğraşmak için, onu parçalayan, yönünü şaşırtan, değerlerin yerini alan en ufak bir katkının bulunmadığı, tamamen saf bir zihne sahip olmanız gerekir ve bu ödülü kabul etmek, zayıflık göstermek anlamına gelir. İdeal bilim adamı yalnızca bilimle uğraşır, başka hiçbir şeyi (güç ve sermaye) umursamaz, saf bir zihne sahip olmalıdır ve Perelman için bu ideale uygun yaşamaktan daha büyük bir önem yoktur. Milyonlarca fikrin tamamı matematik için faydalı mı ve gerçek bir bilim insanının böyle bir teşvike ihtiyacı var mı? Peki bu dünya taarruzunda sermayenin her şeyi satın alma ve boyunduruk altına alma arzusu değil mi? Veya satabilirsiniz senin saflığın bir milyon için mi? Para ne kadar olursa olsun eşdeğerdir Ruhun gerçeği ? Sonuçta, paranın hiçbir ilgisi olmaması gereken sorunların önsel bir değerlendirmesiyle karşı karşıyayız, değil mi?! Loto milyon gibi bir şey kazanmak ya da tüm bunlardan bahse girmek, bilimsel olanın parçalanmasına göz yummak anlamına gelir ve bir bütün olarak insan topluluğu (yaratıcı bir toplum inşa etmenin yolunu anlatan rapora ve AllatRa kitabının son 50 sayfasına bakın). Ve iş adamlarının bilime vermeye hazır oldukları para (enerji), eğer kullanılması gerekiyorsa, aşağılamadan, doğru şekilde kullanılmalı falan. Gerçek Hizmet Ruhu , neresinden bakarsanız bakın, parasal açıdan paha biçilemez: “ Karşılaştırıldığında bir milyon nedir? , saflıkla veya büyüklükle onlar küreler (küresel Evrenin ve Manevi dünyanın boyutları hakkında, “AllatRa” kitabına bakın) ve rapor et ) , hangisinde nüfuz edemiyor insan bile hayal gücü (zihin) ?! Zaman açısından bir milyon yıldızlı gökyüzü nedir ki?!

Hipotezin formülasyonunda yer alan geri kalan terimlerin yorumunu verelim:

- Topoloji- (Yunanca topos'tan - yer ve logolar - öğretim) - şekillerin topolojik özelliklerini inceleyen bir matematik dalı, yani. kırılmadan ve yapıştırılmadan (daha doğrusu birebir ve sürekli haritalamalarla) üretilen herhangi bir deformasyon altında değişmeyen özellikler. Şekillerin topolojik özelliklerine örnek olarak boyut, belirli bir alanı sınırlayan eğrilerin sayısı vb. gösterilebilir. Dolayısıyla bir daire, bir elips ve bir karenin dış hatları aynı topolojik özelliklere sahiptir çünkü bu çizgiler yukarıda anlatıldığı şekilde birbirine dönüştürülebilir; aynı zamanda halka ve daire farklı topolojik özelliklere sahiptir: daire bir konturla, halka ise iki konturla sınırlıdır.

- Homeomorfizm(Yunanca ομοιο - benzer, μορφη - form) - bu yazışma ile tanımlanan karşılıklı ters haritaların her ikisinin de sürekli olduğu iki topolojik uzay arasındaki bire bir yazışma. Bu eşlemelere homeomorfik veya topolojik eşlemelerin yanı sıra homeomorfizmler de denir ve uzayların aynı topolojik tipe ait olduğu söylenir ve homeomorfik veya topolojik olarak eşdeğer olarak adlandırılır.

- Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen üç boyutlu uzayın tamamını ve ayrıca R3'teki herhangi bir açık nokta kümesini, örneğin katı bir torusun (çörek) iç kısmını içerir. Kapalı, katı bir torusu düşünürsek; sınır noktalarını (torusun yüzeyi) ekleyin, sonra kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca yarım top şeklindedir.

- Tam simit (tam simit)- iki boyutlu bir disk ile D 2 * S 1 dairesinin çarpımına homeomorfik olan geometrik bir cisim. Gayri resmi olarak, katı bir simit bir çörektir, simit ise yalnızca yüzeyidir (bir tekerleğin içi boş odası).

- Basitçe bağlantı. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla düzgün bir şekilde bir noktaya çekilebilir). Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.

- Kompakt. Homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse bir manifold kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) bir kenarı olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

İlnaz Başarov

Edebiyat:

Uluslararası Sosyal Hareket "ALLATRA"nın uluslararası bilim adamlarından oluşan bir grup tarafından hazırlanan "PRIMODIUM ALLATRA FİZİĞİ" raporu, ed. Anastasia Novykh, 2015;

Yenileri. A. “AllatRa”, K.: AllatRa, 2013.

Poincaré teoremi “Evren” için matematiksel bir formüldür. Grigori Perelman. Bölüm 1 (“Bilimde Gerçek Adam” serisinden)

Oxford Üniversitesi'nden Marcus Du Sautoy, Poincaré'nin teoreminin "şu olduğuna inanıyor: matematik ve fiziğin temel problemi, anlama çabası hangi şekil Belki Evren, ona yaklaşmak çok zor.

Grigory Perelman haftada bir, İleri Araştırma Enstitüsü'ndeki bir seminere katılmak için Princeton'a gidiyordu. Seminerde Harvard Üniversitesi matematikçilerinden biri Perelman'ın sorusunu yanıtlıyor: “Geometrizasyon hipotezi olarak adlandırılan William Thurston'un (1946-2012, matematikçi, “Üç boyutlu geometri ve topoloji” alanında çalışan) teorisi, her şeyi açıklıyor. olası üç boyutlu yüzeyler ve Poincaré varsayımıyla karşılaştırıldığında bir adım ileridir. William Thurston'un hipotezini kanıtlarsanız Poincaré varsayımı size tüm kapılarını açacaktır ve dahası çözümü modern bilimin tüm topolojik manzarasını değiştirecek».

Grigory Perelman milenyumun yedi probleminden birini çözmeyi başardı Ve matematiksel olarak tanımlayın sözde evrenin formülü, Poincaré varsayımını kanıtlayın. En parlak beyinler 100 yıldan fazla bir süredir bu hipotezle mücadele ediyor ve bunun kanıtı için dünya matematik topluluğu (Clay Matematik Enstitüsü) 1 milyon dolar vaat etti. Sunumu 8 Haziran 2010'da gerçekleşti. Grigory Perelman ortaya çıkmadı. buna ve dünya matematik camiasının "Ağzı açıldı."

2006 yılında matematikçi, Poincaré varsayımını çözdüğü için en yüksek matematik ödülü olan Fields Madalyası'na layık görüldü. John Ball, onu ödülü kabul etmeye ikna etmek için bizzat St. Petersburg'u ziyaret etti. "Toplumun benim çalışmalarımı ciddi bir şekilde değerlendirebilmesi pek mümkün değil" sözleriyle kabul etmeyi reddetti.

Orijinal formülasyonunda Poincaré varsayımı şu şekildedir: "Sınırsız her basit bağlantılı kompakt üç boyutlu manifold, üç boyutlu bir küreye homeomorfiktir." Ortak dile çevrildiğinde bu, herhangi bir üç boyutlu nesnenin, örneğin camın, yalnızca deformasyonla topa dönüşebileceği, yani kesilmesine veya birbirine yapıştırılmasına gerek kalmayacağı anlamına gelir. Başka bir deyişle Poincaré şunu varsaydı: uzay üç boyutlu değildir ancak çok daha fazla sayıda boyut içerir ve Perelman 100 yıl sonra matematiksel olarak kanıtladı.

Grigory Perelman'ın Poincaré'nin maddenin başka bir hale, forma dönüşmesine ilişkin teoremini açıklaması, Anastasia Novykh'in “Sensei IV” adlı kitabında sunduğu bilgilerle benzerlik göstermektedir: “Aslında bizim için sonsuz olan bu Evrenin tamamı, milyarlarca kez yer kaplar. en ince tıbbi iğnelerin ucundan daha küçüktür". Ve ayrıca, Gözlemci tarafından altıncının üzerindeki kontrol boyutlarından (7'den 72'ye kadar) getirilen dönüşümler yoluyla maddi Evreni kontrol etme yeteneği ("PRIMODIUM ALLATRA FİZİĞİ" konusu "Ezoosmik kafes" raporu).

Grigory Perelman, yaşamındaki çilecilik ve kendisine ve başkalarına yüklenen etik taleplerin ciddiyeti ile ayırt ediliyordu. Ona bakınca insan onun adil olduğu hissine kapılıyor bedensel olarak yaşıyor genel olarak diğer tüm çağdaşlarla uzay, A Ruhsal olarak başka bir şekilde, nerede bile 1 milyon dolar için gitmiyorlar en "masum" vicdanla uzlaşmak. Peki bu nasıl bir alan ve göz ucuyla bakmak bile mümkün mü?..

Yaklaşık bir asır önce matematikçi Poincaré tarafından ortaya atılan hipotezin olağanüstü önemi üç boyutlu yapılarla ilgilidir ve modern araştırmaların önemli bir unsurudur. evrenin temelleri. Clay Enstitüsü uzmanlarına göre bu bilmece, gelecekteki matematiğin gelişimi için temel olarak önemli olan yedi bilmeceden biridir.

Modern matematikle uğraşmak için, onu parçalayan, yönünü şaşırtan, değerlerin yerini alan en ufak bir katkının bulunmadığı, tamamen saf bir zihne sahip olmanız gerekir ve bu ödülü kabul etmek, zayıflık göstermek anlamına gelir. İdeal bir bilim adamı yalnızca bilimle uğraşır, başka hiçbir şeyi (güç ve sermaye) umursamaz, saf bir zihne sahip olmalıdır ve Perelman için bu ideale uygun yaşamaktan daha büyük bir önem yoktur. Milyonlarca fikrin tamamı matematik için faydalı mı ve gerçek bir bilim insanının böyle bir teşvike ihtiyacı var mı? Peki bu dünya taarruzunda sermayenin her şeyi satın alma ve boyunduruk altına alma arzusu değil mi? Veya satabilirsiniz senin saflığın bir milyon için mi? Para ne kadar olursa olsun eşdeğerdir Ruhun gerçeği? Sonuçta, paranın hiçbir ilgisi olmaması gereken sorunların önsel bir değerlendirmesiyle karşı karşıyayız, değil mi?! Loto milyon gibi bir şey kazanmak ya da tüm bunlardan bahse girmek, bilimsel olanın parçalanmasına göz yummak anlamına gelir ve bir bütün olarak insan topluluğu(“ALLATRA'NIN PRIMODIUM FİZİĞİ” raporuna ve yaratıcı bir toplum oluşturmanın yolu hakkında “AllatRa” kitabının son 50 sayfasına bakın). Ve iş adamlarının bilime vermeye hazır oldukları para (enerji), eğer kullanılması gerekiyorsa, aşağılamadan, doğru şekilde kullanılmalı falan. Gerçek Hizmet Ruhu, neresinden bakarsanız bakın, parasal açıdan paha biçilemez: “ Karşılaştırıldığında bir milyon nedir?, saflıkla veya büyüklükle bu küreler (küresel Evrenin ve Manevi dünyanın boyutları hakkında, kitaba bakınız)"AllatRa" ve rapor et"PRIMODIUM ALLATRA FİZİĞİ"), burada nüfuz edemiyor insan bile hayal gücü (zihin)?! Zaman açısından bir milyon yıldızlı gökyüzü nedir ki?!

Hipotezin formülasyonunda yer alan geri kalan terimlerin yorumunu verelim:

Topoloji - (Yunanca topos - yer ve logolardan - öğretim) - şekillerin topolojik özelliklerini inceleyen bir matematik dalı, yani. kırılmadan ve yapıştırılmadan (daha doğrusu birebir ve sürekli haritalamalarla) üretilen herhangi bir deformasyon altında değişmeyen özellikler. Şekillerin topolojik özelliklerine örnek olarak boyut, belirli bir alanı çevreleyen eğrilerin sayısı vb. gösterilebilir. Dolayısıyla bir daire, bir elips ve bir karenin dış hatları aynı topolojik özelliklere sahiptir çünkü bu çizgiler yukarıda anlatıldığı şekilde birbirine dönüştürülebilir; aynı zamanda halka ve daire farklı topolojik özelliklere sahiptir: daire bir konturla ve halka iki konturla sınırlıdır.

Homeomorfizm (Yunanca ομοιο - benzer, μορφη - form), bu yazışma ile tanımlanan karşılıklı ters haritaların her ikisinin de sürekli olduğu iki topolojik uzay arasındaki bire bir yazışmadır. Bu eşlemelere homeomorfik veya topolojik eşlemelerin yanı sıra homeomorfizmler de denir ve uzayların aynı topolojik tipe ait olduğu söylenir ve homeomorfik veya topolojik olarak eşdeğer olarak adlandırılır.

Kenarsız üç boyutlu manifold. Bu, her noktasının üç boyutlu top şeklinde bir komşuluğu olan geometrik bir nesnedir. 3-manifold örnekleri, ilk olarak, R3 ile gösterilen üç boyutlu uzayın tamamını ve ayrıca R3'teki herhangi bir açık nokta kümesini, örneğin katı bir torusun (çörek) iç kısmını içerir. Kapalı, katı bir torusu düşünürsek; sınır noktalarını (torusun yüzeyi) ekleyin, sonra kenarı olan bir manifold elde ederiz - kenar noktalarının top şeklinde mahalleleri yoktur, yalnızca yarım top şeklindedir.

Katı simit (katı simit), iki boyutlu bir disk ile D2 * S1 dairesinin çarpımına homeomorfik olan geometrik bir cisimdir. Gayri resmi olarak, katı bir simit bir çörektir, simit ise yalnızca yüzeyidir (bir tekerleğin içi boş odası).

Basitçe bağlanın. Bu, tamamen belirli bir manifoldun içinde yer alan herhangi bir sürekli kapalı eğrinin, bu manifolddan ayrılmadan bir noktaya kadar düzgün bir şekilde daraltılabileceği anlamına gelir. Örneğin, R3'teki sıradan iki boyutlu bir küre basit bir şekilde bağlanır (bir elmanın yüzeyine herhangi bir şekilde yerleştirilen bir lastik bant, lastik bandı elmadan koparmadan düzgün bir deformasyonla düzgün bir şekilde bir noktaya çekilebilir). Öte yandan daire ve simit basit bir şekilde bağlantılı değildir.

Kompakt. Homeomorfik görüntülerinden herhangi biri sınırlı boyutlara sahipse bir manifold kompakttır. Örneğin, bir doğru üzerindeki açık bir aralık (bir doğru parçasının uçları hariç tüm noktaları), sürekli olarak sonsuz bir doğruya genişletilebildiği için kompakt değildir. Ancak kapalı bir parça (uçları olan) bir kenarı olan kompakt bir manifolddur: herhangi bir sürekli deformasyon için uçlar bazı belirli noktalara gider ve tüm parçanın bu noktaları birleştiren sınırlı bir eğriye girmesi gerekir.

Devam edecek...

İlnaz Başarov

Edebiyat:

– Uluslararası Sosyal Hareket “ALLATRA”ya bağlı uluslararası bir bilim insanları grubunun hazırladığı “PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS” raporu, ed. Anastasia Novykh, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

- Yenileri. A. "AllatRa", K .: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

- Yenileri. A., “Sensei-IV”, K.: LOTOS, 2013, 632 s. http://schambala.com.ua/book/s...

– Sergey Duzhin, Fizik ve Matematik Doktoru. Bilimler, Rusya Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü'nün St. Petersburg şubesinde kıdemli araştırmacı