Teknolojide ve çevremizdeki dünyada sıklıkla uğraşmak zorunda kalıyoruz periyodik belirli aralıklarla tekrarlanan işlemler. Bu tür işlemlere denir salınımlı. Salınımlar fiziksel bir nicelikte zaman içinde belirli bir yasaya göre meydana gelen değişikliklerdir. Çeşitli fiziksel yapıdaki salınım olayları genel yasalara tabidir. Örneğin bir elektrik devresindeki akım salınımları ile matematiksel bir sarkacın salınımları aynı denklemlerle açıklanabilir. Salınım modellerinin ortaklığı, çeşitli nitelikteki salınım süreçlerini tek bir bakış açısıyla değerlendirmemize olanak tanır.
Mekanik titreşimler tam olarak eşit zaman aralıklarında tekrarlanan vücut hareketleridir. Basit salınım sistemlerine örnek olarak yay üzerindeki ağırlık veya matematiksel sarkaç verilebilir. Sistemde var olmak harmonik titreşimler kararlı bir denge konumuna, yani sistem üzerinde geri çağırıcı bir kuvvetin etki etmeye başlayacağı bir konuma sahip olması gerekir.
Diğer fiziksel nitelikteki salınımlı süreçler gibi mekanik titreşimler de özgür Ve zoraki. Serbest titreşimler Sistem dengeden çıktıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında gerçekleştirilir. Bir yayın üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır. Periyodik olarak değişen dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir. zoraki.
Salınım sürecinin en basit türü, sinüs veya kosinüs kanununa göre meydana gelen salınımlardır. harmonik titreşimler. Döngüsel frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirebilen fiziksel sistemleri tanımlayan bir denklem ω 0 şu şekilde ayarlanır:
Önceki denklemin çözümü Harmonik titreşimler için hareket denklemişuna benziyor:
Nerede: X– Vücudun denge konumundan yer değiştirmesi, A– salınımların genliği, yani denge konumundan maksimum yer değiştirme, ω – döngüsel veya dairesel titreşim frekansı ( ω = 2Π /T), T- zaman. Kosinüs işaretinin altındaki miktar: φ = ωt + φ 0 denir faz harmonik süreç. Salınım aşamasının anlamı: Salınımın zamanın belirli bir anında olduğu aşamadır. Şu tarihte: T= 0 bunu anlıyoruz φ = φ 0 yani φ 0 çağrı başlangıç aşaması(yani salınımın başladığı aşama).
Bir vücut hareketinin tekrarlandığı minimum zaman aralığına denir salınım periyodu T. Salınım sayısı ise N ve onların zamanı T ise periyot şu şekilde bulunur:
Salınım periyodunun tersi olan fiziksel miktara denir titreşim frekansı:
Salınım frekansı ν 1 saniyede kaç salınım meydana geldiğini gösterir. Frekans birimi Hertz'dir (Hz). Salınım frekansı döngüsel frekansla ilgilidir ω ve salınım periyodu T oranlar:
Harmonik mekanik titreşimler için hızın zamana bağlılığı aşağıdaki formülle ifade edilir:
Harmonik mekanik titreşimler için maksimum hız değeri:
Maksimum mutlak hız değerleri υ m = ωA vücudun denge pozisyonlarından geçtiği anlarda elde edilir ( X= 0). Hızlanma benzer şekilde belirlenir A = A Harmonik titreşimler sırasında bir cismin x'i. Harmonik mekanik titreşimler için ivmenin zamana bağlılığı:
Mekanik harmonik titreşimler için maksimum hızlanma değeri:
Önceki ifadedeki eksi işareti ivmenin olduğu anlamına gelir. A(T) her zaman yer değiştirmenin zıt işaretine sahiptir X(T) ve bu nedenle gövdeyi başlangıç pozisyonuna döndürür ( X= 0), yani Vücudun harmonik titreşimler yapmasına neden olur.
Lütfen şunu unutmayın:
- salınım sisteminin fiziksel özellikleri yalnızca salınımların doğal frekansını belirler ω 0 veya nokta T.
- Genlik gibi salınım sürecinin parametreleri A = X m ve başlangıç aşaması φ 0, zamanın ilk anında sistemin dengeden çıkma şekline göre belirlenir, yani. başlangıç koşulları.
- Salınımlı harekette bir cisim, periyoda eşit bir sürede 4 genliğe eşit bir yol kat eder. Bu durumda vücut başlangıç noktasına döner yani vücudun hareketi sıfıra eşit olacaktır. Sonuç olarak cisim, genliğe eşit bir yolu, periyodun dörtte birine eşit bir sürede kat edecektir.
Titreşim denkleminde sinüsü ne zaman değiştireceğinizi ve kosinüsü ne zaman kullanacağınızı belirlemek için aşağıdaki faktörlere dikkat etmeniz gerekir:
- En kolay yol, problem tanımında salınımların sinüzoidal veya kosinüs olarak adlandırılmasıdır.
- Eğer cismin denge konumundan itildiği söylenirse, başlangıç fazı sıfıra eşit olan bir sinüs alırız.
- Vücudun saptırıldığı ve serbest bırakıldığı söylenirse - başlangıç fazı sıfıra eşit olan bir kosinüs.
- Vücut denge konumundan sapmış bir durumdan itilirse, başlangıç fazı sıfıra eşit değildir ve hem sinüs hem de kosinüs alınabilir.
Matematik sarkaç
Matematiksel sarkaç ince, uzun ve uzamayan bir ipe asılan, kütlesi cismin kütlesine kıyasla ihmal edilebilecek kadar küçük olan küçük cisme denir. Yalnızca küçük salınımlar durumunda matematiksel bir sarkaç harmoniği oluşur osilatör yani harmonik (sin veya cos kanununa göre) salınımlar gerçekleştirebilen bir sistem. Pratikte bu yaklaşım 5–10° mertebesindeki açılar için geçerlidir. Bir sarkacın büyük genliklerdeki salınımları harmonik değildir.
Matematiksel bir sarkacın salınımlarının döngüsel frekansı aşağıdaki formülle hesaplanır:
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu:
Ortaya çıkan formüle Huygens formülü denir ve sağlanır, sarkacın askı noktası hareketsiz olduğunda. Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodunun salınımların genliğine bağlı olmadığını hatırlamak önemlidir. Sarkacın bu özelliğine denir eş zamanlılık. Mekanik harmonik salınımlar gerçekleştiren diğer herhangi bir sistem için, matematiksel bir sarkaç için aşağıdaki ilişkiler sağlanır:
- Denge konumundan en uç noktaya (veya geriye) kadar olan yol, periyodun dörtte birinde tamamlanır.
- En uç noktadan genliğin yarısına (veya tam tersi) kadar olan yol, periyodun altıda birinde kaplanır.
- Denge konumundan genliğin yarısına (ya da tam tersi) kadar olan yol, periyodun on ikide birinde kat edilir.
Yaylı sarkaç
Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra sistemin iç kuvvetlerinin etkisi altında serbest titreşimler meydana gelir. Harmonik kanuna göre serbest titreşimlerin oluşabilmesi için, cismi denge konumuna döndürmeye çalışan kuvvetin, cismin denge konumundan yaptığı yer değiştirmeyle orantılı ve yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilmesi gerekir. Esneklik bu özelliğe sahiptir.
Böylece, bir miktar kütle yükü M, sertleştirme yayına bağlı kİkinci ucu sabit bir şekilde sabitlenen sürtünme olmadan serbest harmonik salınımlar gerçekleştirebilen bir sistem oluşturur. Yay üzerindeki yüke denir bahar sarkaç.
Bir yay sarkacının döngüsel salınım frekansı aşağıdaki formülle hesaplanır:
Yay sarkacının salınım periyodu:
Küçük genliklerde, bir yay sarkacının salınım periyodu genliğe bağlı değildir (matematiksel bir sarkaçta olduğu gibi). Yaylı yük sistemi yatay olarak yerleştirildiğinde, yüke uygulanan yer çekimi kuvveti destek tepki kuvveti ile telafi edilir. Yük bir yay üzerinde asılıysa, yerçekimi kuvveti yükün hareket çizgisi boyunca yönlendirilir. Denge konumunda yay bir miktar gerilir. X 0 eşittir:
Ve bu yeni denge konumu etrafında salınımlar meydana gelir. Doğal frekans için yukarıdaki ifadeler ω 0 ve salınım periyodu T bu durumda da geçerlidir. Böylece, bir yay üzerindeki yükün salınım periyodu için elde edilen formül, salınımın yönüne, desteğin hareketine veya harici sabit kuvvetlerin etkisine bakılmaksızın her durumda geçerli kalır.
Serbest mekanik titreşimler sırasında kinetik ve potansiyel enerjiler periyodik olarak değişir. Vücudun denge konumundan maksimum sapması durumunda hızı ve dolayısıyla kinetik enerjisi kaybolur. Bu konumda salınım yapan cismin potansiyel enerjisi maksimum değerine ulaşır. Yay üzerindeki bir yük için potansiyel enerji, yayın elastik deformasyonunun enerjisidir. Matematiksel bir sarkaç için bu, Dünya'nın çekim alanındaki enerjidir.
Hareket halindeki bir cisim denge konumundan geçtiğinde hızı maksimumdur. Vücut atalet nedeniyle denge konumunu aşar. Şu anda maksimum kinetik ve minimum potansiyel enerjiye sahiptir (kural olarak denge konumundaki potansiyel enerjinin sıfır olduğu varsayılır). Potansiyel enerjinin azalması nedeniyle kinetik enerjide bir artış meydana gelir. Daha fazla hareketle, kinetik enerjideki azalmaya bağlı olarak potansiyel enerji artmaya başlar ve bu böyle devam eder.
Böylece, harmonik salınımlar sırasında, kinetik enerjinin potansiyel enerjiye ve bunun tersi de periyodik olarak dönüşümü meydana gelir. Salınım sisteminde sürtünme yoksa, serbest salınımlar sırasında toplam mekanik enerji değişmeden kalır. Bu durumda mekanik harmonik titreşimler sırasında kinetik enerjinin maksimum değeri aşağıdaki formülle verilir:
Bir yay sarkacının mekanik harmonik salınımları sırasında potansiyel enerjinin maksimum değeri:
Mekanik salınım sürecinin enerji özellikleri arasındaki ilişki (toplam mekanik enerji, kinetik ve potansiyel enerjilerin maksimum değerlerinin yanı sıra, zaman içinde isteğe bağlı bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamına eşittir):
Mekanik dalgalar
Katı, sıvı veya gaz halindeki bir ortamda parçacıkların titreşimleri herhangi bir yerde uyarılırsa, ortamdaki atom ve moleküllerin etkileşimi nedeniyle titreşimler bir noktadan diğerine sonlu bir hızla iletilmeye başlar. Titreşimlerin bir ortamda yayılma sürecine denir. dalga.
Mekanik dalgalar farklı tiplerde gelir. Bir dalga yayıldığında ortamın parçacıkları yayılma yönüne dik yönde yer değiştirirse, böyle bir dalga denir. enine. Ortam parçacıklarının yer değiştirmesi dalganın yayılma yönünde meydana gelirse, böyle bir dalga denir. boyuna.
Hem enine hem de boyuna dalgalarda dalga yayılımı yönünde madde aktarımı yoktur. Yayılma sürecinde ortamın parçacıkları yalnızca denge konumları etrafında salınır. Ancak dalgalar titreşim enerjisini ortamın bir noktasından diğerine aktarır.
Mekanik dalgaların karakteristik bir özelliği, maddi ortamlarda (katı, sıvı veya gaz) yayılmalarıdır. Boşlukta yayılabilen mekanik olmayan dalgalar da vardır (örneğin ışık, yani elektromanyetik dalgalar boşlukta yayılabilir).
- Boyuna mekanik dalgalar herhangi bir ortamda (katı, sıvı ve gaz) yayılabilir.
- Enine dalgalar Olumsuz sıvı veya gaz halindeki ortamlarda bulunabilir.
Basit harmonik veya sinüs dalgaları pratikte büyük ilgi görmektedir. Genlik ile karakterize edilirler A parçacıkların titreşimleri, frekans ν ve dalga boyu λ . Sinüzoidal dalgalar homojen ortamda belirli bir sabit hızla yayılır υ .
Dalgaboyu λ aynı fazda salınan iki komşu nokta arasındaki mesafeye denir. Dalga boyuna eşit mesafe λ dalga periyoda eşit bir sürede hareket eder T Bu nedenle dalga boyu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Nerede: υ – dalga yayılma hızı. Bir dalga bir ortamdan diğerine geçtiğinde dalga boyu ve yayılma hızı değişir. Yalnızca dalganın frekansı ve periyodu değişmeden kalır.
Bir dalganın iki noktasının salınım fazlarındaki fark, aralarındaki mesafe ben formülle hesaplanır:
Elektrik devresi
Elektrik devrelerinde olduğu gibi yay veya sarkaç üzerindeki yük gibi mekanik sistemlerde de serbest titreşimler meydana gelebilir. Serbest salınım yapabilen en basit elektrik sistemi bir seridir. LC devresi. Sönümleme olmadığında elektrik devresindeki serbest salınımlar harmoniktir. Elektrik devresindeki dalgalanmalar sırasında enerji özellikleri ve ilişkileri:
Elektrik salınım devresindeki harmonik salınımların periyodu formülle belirlenir:
Bir elektrik salınım devresindeki salınımların döngüsel frekansı:
Elektrik devresindeki salınımlar sırasında yükün kapasitöre bağımlılığı kanunla açıklanmaktadır:
Elektrik devresindeki salınımlar sırasında indüktörden geçen elektrik akımının zamana bağlılığı:
Elektrik devresindeki dalgalanmalar sırasında kapasitördeki voltajın zamana bağlılığı:
Bir elektrik devresindeki harmonik salınımlar için maksimum akım değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Elektrik devresindeki harmonik salınımlar sırasında kapasitördeki maksimum voltaj değeri:
Tüm gerçek devreler elektriksel direnç içerir R. Böyle bir devredeki serbest salınım süreci artık harmonik kanuna uymamaktadır. Her salınım periyodu sırasında devrede depolanan elektromanyetik enerjinin bir kısmı direnç tarafından salınan ısıya dönüştürülür ve salınımlar sönümlenir.
AC. Trafo
Dünya elektriğinin büyük bir kısmı şu anda sinüzoidal voltaj üreten alternatif akım jeneratörleri tarafından üretiliyor. Elektrik enerjisinin en basit ve ekonomik iletimini, dağıtımını ve kullanımını sağlarlar.
Mekanik enerjiyi alternatif akım enerjisine dönüştürmek için tasarlanmış cihaza denir alternatör. Değişken voltaj ile karakterize edilir sen(T) (indüklenen emk) terminallerinde. Alternatif akım jeneratörünün çalışması elektromanyetik indüksiyon olgusuna dayanmaktadır.
alternatif akım harmonik kanuna göre zamanla değişen elektrik akımına denir. Miktarlar sen 0 , BEN 0 = sen 0 /R denir genlik gerilim ve akım değerleri. Gerilim değerleri sen(T) ve mevcut güç BEN(T), zamana bağlı olarak çağrılır ani.
Alternatif akım karakterize edilir geçerli akım ve voltaj değerleri. Alternatif akımın etkin (etkili) değeri, bir devreden geçen, belirli bir alternatif akımla birim zaman başına aynı miktarda ısıyı açığa çıkaran doğru akımın gücüdür. Klima için etkin akım değeri aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Benzer şekilde girebilirsiniz gerilim için akım (etkin) değer, aşağıdaki formülle hesaplanır:
Bu nedenle, doğru akım gücü ifadeleri, eğer içlerindeki akım ve voltajın etkin değerlerini kullanırsak, alternatif akım için geçerli kalır:
Gerilim veya alternatif akımdan bahsederken (aksi belirtilmediği sürece) etkin değeri kast ettiğimizi lütfen unutmayın. Yani 220V ev elektrik şebekesindeki etkin voltajdır.
AC devresindeki kapasitör
Kesin olarak konuşursak, bir kapasitör akımı iletmez (yük taşıyıcılarının içinden akmaması anlamında). Bu nedenle, eğer bir kapasitör bir DC devresine bağlanırsa, devrenin herhangi bir noktasındaki herhangi bir zamanda akım sıfırdır. Alternatif akım devresine bağlandığında, EMF'deki sürekli değişiklik nedeniyle kapasitör yeniden şarj edilir. Üzerinden hala akım akmıyor ancak devrede akım var. Bu nedenle geleneksel olarak bir kapasitörün alternatif akım ilettiği söylenir. Bu durumda, alternatif akım devresindeki kapasitör direnci kavramı (veya kapasitans
Kapasitansın AC akımının frekansına bağlı olduğunu unutmayın. Alıştığımız R direncinden temel olarak farklıdır. Bu nedenle, R direncinde ısı açığa çıkar (bu nedenle genellikle aktif olarak adlandırılır), ancak kapasitif reaktansta ısı açığa çıkmaz. Aktif direnç, akım akışı sırasında yük taşıyıcılarının etkileşimi ile ilişkilidir ve kapasitif direnç, kapasitörün yeniden şarj edilmesi işlemleriyle ilişkilidir.
AC devresindeki indüktör
Bobinde alternatif akım aktığında, kendi kendine indüksiyon olgusu ve dolayısıyla EMF meydana gelir. Bu nedenle bobindeki gerilim ve akım faz dışıdır (akım sıfır olduğunda gerilim maksimum değerindedir ve bunun tersi de geçerlidir). Bu uyumsuzluk nedeniyle bobinde açığa çıkan ortalama termal güç sıfırdır. Bu durumda alternatif akım devresindeki bobin direnci kavramı (veya endüktif reaktans). Bu direnç şu şekilde verilir:
Endüktif reaktansın AC akımının frekansına bağlı olduğunu unutmayın. Kapasitif reaktans gibi, R direncinden farklıdır. Kapasitif reaktans gibi, endüktif reaktans da ısı üretmez. Endüktif reaktans, bobindeki kendi kendine indüksiyon olgusu ile ilişkilidir.
Transformatörler
Teknolojide geniş uygulama alanı bulan alternatif akım cihazları arasında önemli bir yer işgal etmektedir. transformatörler. Alternatif akım gerilimini artırmak veya azaltmak için kullanılan transformatörlerin çalışma prensibi elektromanyetik indüksiyon olgusuna dayanmaktadır. En basit transformatör, üzerine iki sargının sarıldığı kapalı şekilli bir çekirdekten oluşur: öncelik Ve ikincil. Birincil sargı, bir miktar gerilime sahip bir alternatif akım kaynağına bağlanır. sen 1 ve ikincil sargı voltajın göründüğü yüke bağlanır sen 2. Ayrıca, birincil sargıdaki sarım sayısı eşitse N 1 ve ikincilde N 2 ise aşağıdaki ilişki geçerlidir:
Dönüşüm oranı formülle hesaplanır:
Transformatör ideal ise aşağıdaki ilişki geçerlidir (giriş ve çıkış güçleri eşittir):
İdeal olmayan bir transformatörde verimlilik kavramı tanıtılır:
Elektromanyetik dalgalar
Elektromanyetik dalgalar uzayda ve zamanda yayılan bir elektromanyetik alandır. Elektromanyetik dalgalar eninedir - elektriksel yoğunluk ve manyetik indüksiyon vektörleri birbirine diktir ve dalganın yayılma yönüne dik bir düzlemde uzanır. Elektromanyetik dalgalar madde içinde sonlu bir hızla yayılır ve bu, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
Nerede: ε Ve μ – maddenin dielektrik ve manyetik geçirgenliği, ε 0 ve μ 0 – elektrik ve manyetik sabitler: ε 0 = 8,85419 10 –12 F/m, μ 0 = 1,25664·10 –6 H/m. Elektromanyetik dalgaların boşluktaki hızı (burada ε = μ = 1) sabit ve eşittir İle= 3∙10 8 m/s, aşağıdaki formül kullanılarak da hesaplanabilir:
Elektromanyetik dalgaların boşlukta yayılma hızı temel fiziksel sabitlerden biridir. Bir elektromanyetik dalga herhangi bir ortamda yayılıyorsa yayılma hızı da aşağıdaki ilişkiyle ifade edilir:
Nerede: N– Bir maddenin kırılma indisi, ışığın bir ortamdaki hızının vakumdakinden kaç kat daha az olduğunu gösteren fiziksel bir niceliktir. Kırılma indisi, önceki formüllerden de görülebileceği gibi aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:
- Elektromanyetik dalgalar enerji taşır. Dalgalar yayıldığında elektromanyetik enerji akışı ortaya çıkar.
- Elektromanyetik dalgalar yalnızca hızlı hareket eden yükler tarafından uyarılabilir. Yük taşıyıcılarının sabit hızla hareket ettiği doğru akım devreleri elektromanyetik dalga kaynağı değildir. Ancak alternatif akımın aktığı devreler, yani. yük taşıyıcılarının hareketlerinin yönünü sürekli değiştirdiği devreler; ivmeyle hareket ediyorlar - bunlar bir elektromanyetik dalga kaynağıdır. Modern radyo mühendisliğinde, hızlı alternatif akımların uyarıldığı çeşitli tasarımlardaki antenler kullanılarak elektromanyetik dalgalar yayılır.
Bir eksen etrafında dönen bir cismin somut bir örneği olarak sarkaçların hareketini düşünün.
Fiziksel bir sarkaç, ağırlığının etkisi altında etrafında salınım hareketleri gerçekleştirdiği yatay bir dönme eksenine sahip sert bir gövdedir (Şekil 119).
Sarkacın konumu tamamen denge konumundan sapma açısı ile belirlenir ve bu nedenle sarkacın hareket yasasını belirlemek için bu açının zamana bağımlılığını bulmak yeterlidir.
Formun denklemi:
sarkacın hareket denklemi (yasası) denir. Başlangıç koşullarına, yani açıya ve açısal hıza bağlıdır.
Fiziksel bir Sarkaç'ın sınırlayıcı durumu, (daha önce belirtildiği gibi - Bölüm 2, § 3) etrafında sert, ağırlıksız bir çubukla döndüğü yatay eksene bağlı maddi bir noktayı temsil eden matematiksel bir sarkaçtır (Şekil 120). Maddi bir noktanın dönme ekseninden uzaklığına matematiksel sarkacın uzunluğu denir.
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri
Çizimde gösterildiği gibi, xy düzlemi C gövdesinin ağırlık merkezinden geçecek ve sarkacın salınım düzlemi ile çakışacak şekilde bir koordinat eksenleri sistemi seçelim (Şekil 119). Çizim düzlemine dik olan ekseni kendimize doğru yönlendirelim. Daha sonra, önceki paragrafın sonuçlarına dayanarak, fiziksel sarkacın hareket denklemini şu şekilde yazıyoruz:
burada içinden sarkacın dönme eksenine göre atalet momentini belirtir ve
Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:
Sarkaç üzerine etki eden aktif kuvvet ağırlığıdır ve ağırlık eksenine göre momenti şöyle olacaktır:
sarkacın dönme ekseninden C kütle merkezine olan mesafe nerede?
Sonuç olarak, fiziksel bir sarkacın aşağıdaki hareket denklemine ulaşıyoruz:
Matematiksel sarkaç fiziksel sarkacın özel bir hali olduğundan yukarıda yazılan diferansiyel denklem matematiksel sarkaç için de geçerlidir. Matematiksel bir sarkacın uzunluğu ve ağırlığı eşitse dönme eksenine göre eylemsizlik momenti eşittir
Matematiksel sarkacın ağırlık merkezinin eksenden uzaklığı eşit olduğundan, matematiksel sarkacın son diferansiyel hareket denklemi şu şekilde yazılabilir:
Fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu
(16.8) ve (16.9) denklemlerini karşılaştırarak, fiziksel ve matematiksel sarkaçların parametrelerinin ilişkiyle ilişkili olması durumunda şu sonuca varabiliriz:
o zaman fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket yasaları aynıdır (aynı başlangıç koşulları altında).
Son ilişki, bir matematiksel sarkacın, karşılık gelen fiziksel sarkaçla aynı şekilde hareket etmesi için sahip olması gereken uzunluğu gösterir. Bu uzunluğa fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu denir. Bu kavramın anlamı, fiziksel bir sarkacın hareketinin incelenmesinin, basit bir mekanik devre olan matematiksel bir sarkacın hareketinin incelenmesi ile değiştirilebilmesidir.
Sarkacın hareket denkleminin ilk integrali
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların hareket denklemleri aynı formdadır, bu nedenle hareketlerinin denklemi şu şekilde olacaktır:
Bu denklemde dikkate alınan tek kuvvet potansiyel kuvvet alanına ait yer çekimi kuvveti olduğundan mekanik enerjinin korunumu kanunu geçerlidir.
İkincisi basit bir yöntemle elde edilebilir, yani denklem (16.10)'u o zamana kadar çarparız.
Bu denklemin integralini alırsak,
Başlangıç koşullarından Cu entegrasyon sabitini belirleyerek şunu buluruz:
Aldığımız bağıl denklemin son denklemini çözüyoruz
Bu ilişki diferansiyel denklemin (16.10) birinci integralini temsil eder.
Fiziksel ve matematiksel sarkaçların destek reaksiyonlarının belirlenmesi
Hareket denklemlerinin ilk integrali sarkacın destek reaksiyonlarını belirlememizi sağlar. Bir önceki paragrafta belirtildiği gibi destek reaksiyonları denklemlerden (16.5) belirlenir. Fiziksel bir sarkaç durumunda, aktif kuvvetin koordinat eksenleri boyunca bileşenleri ve eksenlere göre momentleri şöyle olacaktır:
Kütle merkezinin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Daha sonra desteklerin reaksiyonlarını belirleyen denklemler şu şekli alır:
Problemin durumuna göre gövdenin merkezkaç atalet momentleri ve mesnetler arası mesafelerin bilinmesi gerekmektedir. Açısal ivme b ve açısal hız с, (16.9) ve (16.4) denklemlerinden şu şekilde belirlenir:
Böylece denklemler (16.12), fiziksel bir sarkacın destek reaksiyonlarının bileşenlerini tamamen belirler.
Matematiksel bir sarkacı dikkate alırsak denklemler (16.12) daha da basitleştirilir. Nitekim matematiksel bir sarkacın maddi noktası düzlemde bulunduğundan, ayrıca bir nokta sabit olduğundan, denklemler (16.12) şu formdaki denklemlere dönüşür:
Denklem (16.9) kullanılarak denklemlerden (16.13), destek reaksiyonunun iplik I boyunca yönlendirildiği anlaşılmaktadır (Şekil 120). İkincisi bariz bir sonuçtur. Sonuç olarak, eşitliğin bileşenlerini (16.13) ipliğin yönüne yansıtarak, formun desteğinin tepkisini belirlemek için bir denklem buluyoruz (Şekil 120):
Buradaki değeri yerine koyarsak ve şunu yazdığımızı dikkate alırsak:
Son ilişki matematiksel bir sarkacın dinamik tepkisini belirler. Statik reaksiyonunun olacağını unutmayın.
Bir sarkacın hareketinin doğasının nitel çalışması
Bir sarkacın hareket denkleminin ilk integrali, hareketinin doğası hakkında niteliksel bir çalışma yapmamızı sağlar. Yani bu integrali (16.11) şu şekilde yazıyoruz:
Hareket sırasında radikal ifadenin ya olumlu olması ya da bazı noktalarda kaybolması gerekiyor. Başlangıç koşullarının şöyle olduğunu varsayalım:
Bu durumda radikal ifade hiçbir yerde kaybolmaz. Sonuç olarak, hareket ederken, sarkaç açının tüm değerlerinden geçecek ve sarkaçtan gelen açısal hız, ilk açısal hızın yönü ile belirlenen aynı işarete sahip olacak veya açı ya tüm açıları artıracaktır. zaman veya her zaman azalır, yani sarkaç bir tarafta dönecektir.
Hareket yönleri ifadedeki (16.11) şu veya bu işarete karşılık gelecektir. Böyle bir hareketin gerçekleştirilmesi için gerekli bir koşul, başlangıçtaki açısal hızın varlığıdır, çünkü (16.14) eşitsizliğinden, herhangi bir başlangıç sapma açısında değilse sarkacın böyle bir hareketini elde etmenin imkansız olduğu açıktır.
Şimdi başlangıç koşulları şöyle olsun
Bu durumda radikal ifadenin sıfır olduğu iki açı değeri vardır. Eşitlik tarafından tanımlanan açılara karşılık gelmelerine izin verin
Üstelik 0 ile 0 arasında bir yerde olacaktır. Dahası, açıktır ki, ne zaman
radikal ifadesi (16.11) pozitif olacak ve keyfi olarak çok az aşılması durumunda negatif olacaktır.
Sonuç olarak, sarkaç hareket ettiğinde açısı şu aralıkta değişir:
Sarkacın açısal hızı sıfıra gittiğinde açı değeri azalmaya başlar. Bu durumda açısal hızın işareti veya (16.11) ifadesindeki radikalin önündeki işaret değişecektir. Sarkacın açısal hızı tekrar sıfıra ulaştığında ve açı tekrar bu değere doğru artmaya başladığında
Böylece sarkaç salınım hareketleri yapacaktır
Sarkaç salınımlarının genliği
Bir sarkaç salındığında dikeyden maksimum sapma miktarına salınımın genliği denir. Eşitlikten belirlenene eşittir
Son formülden de anlaşılacağı gibi, salınımın genliği sarkacın ana özelliklerine veya azaltılmış uzunluğuna ilişkin ilk verilere bağlıdır.
Özel durumda, sarkaç denge konumundan saptırıldığında ve başlangıç hızı olmaksızın serbest bırakıldığında, bu durumda eşit olacaktır, dolayısıyla genlik azaltılmış uzunluğa bağlı değildir.
Bir sarkacın hareket denkleminin son hali
Sarkacın başlangıç hızı sıfır olsun, o zaman hareket denkleminin ilk integrali şöyle olacaktır:
Bu denklemin integralini alırsak, şunu buluruz:
Zamanı sarkacın konumundan itibaren sayacağız, o zaman karşılık gelir
İntegrali aşağıdaki formülü kullanarak dönüştürelim:
Sonra şunu elde ederiz:
Ortaya çıkan integrale birinci türden eliptik integral denir. Sonlu sayıda temel fonksiyon kullanılarak ifade edilemez.
Eliptik integralin (16.15) üst sınırına göre ters çevrilmesi sarkacın hareket denklemini temsil eder:
Bu iyi çalışılmış Jacobi eliptik fonksiyonu olacaktır.
Sarkaç salınımı periyodu
Sarkacın bir tam salınımı için geçen süreye salınım periyodu denir. Bunu T olarak gösterelim. Sarkacın bir konumdan diğerine hareket süresi, o andan itibaren hareket süresiyle aynı olduğundan, T aşağıdaki formülle belirlenecektir:
Değişkenleri koyarak değişiklik yapalım
0 ile değiştirildiğinde 0 ile arasında değişecektir. Sonraki,
ve bu nedenle
Son integrale birinci türden tam bir eliptik integral denir (değerleri özel tablolarda verilmiştir).
İntegral birlik eğiliminde olduğunda ve .
Bir sarkacın küçük salınımları için yaklaşık formüller
Sarkaç salınımlarının küçük bir genliğe sahip olması durumunda (pratik olarak 20°'yi geçmemelidir),
Daha sonra sarkacın diferansiyel hareket denklemi şu şekli alır:
Tanım
Matematik sarkaç- bu, tüm kütlesi sarkacın kütle merkezi olan bir noktada yoğunlaşan fiziksel bir sarkacın özel bir durumu olan salınımlı bir sistemdir.
Genellikle matematiksel bir sarkaç, uzun, ağırlıksız ve uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran bir top olarak temsil edilir. Bu, yerçekiminin etkisi altında harmonik salınımlar gerçekleştiren idealleştirilmiş bir sistemdir. Matematiksel sarkaca iyi bir yaklaşım, ince uzun bir iplik üzerinde salınan devasa küçük bir toptur.
Galileo, uzun bir zincir üzerindeki avizenin salınımını inceleyerek matematiksel sarkacın özelliklerini inceleyen ilk kişiydi. Matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun genliğe bağlı olmadığını buldu. Sarkaç fırlatılırken farklı küçük açılarda saptırılırsa, salınımları aynı periyotta ancak farklı genliklerde meydana gelecektir. Bu özelliğe izokronizm denir.
Matematiksel sarkacın hareket denklemi
Matematiksel bir sarkaç, harmonik osilatörün klasik bir örneğidir. Diferansiyel denklemle tanımlanan harmonik salınımları gerçekleştirir:
\[\ddot(\varphi )+(\omega )^2_0\varphi =0\ \left(1\right),\]
burada $\varphi $ ipliğin (askı) denge konumundan sapma açısıdır.
Denklemin (1) çözümü $\varphi (t):$ fonksiyonudur
\[\varphi (t)=(\varphi )_0(\cos \left((\omega )_0t+\alpha \right)\left(2\right),\ )\]
burada $\alpha $ salınımların başlangıç aşamasıdır; $(\varphi )_0$ - salınımların genliği; $(\omega )_0$ - döngüsel frekans.
Harmonik bir osilatörün salınımları periyodik hareketin önemli bir örneğidir. Osilatör, klasik ve kuantum mekaniğinin birçok probleminde model görevi görür.
Matematiksel bir sarkacın döngüsel frekansı ve salınım periyodu
Matematiksel bir sarkacın döngüsel frekansı yalnızca süspansiyonunun uzunluğuna bağlıdır:
\[\ (\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(3\right).\]
Bu durumda matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ($T$) şuna eşittir:
İfade (4), matematiksel bir sarkacın periyodunun yalnızca askının uzunluğuna (askı noktasından yükün ağırlık merkezine olan mesafeye) ve yerçekimi ivmesine bağlı olduğunu göstermektedir.
Matematiksel bir sarkacın enerji denklemi
Bir serbestlik derecesine sahip mekanik sistemlerin salınımlarını değerlendirirken, genellikle başlangıç noktası olarak Newton'un hareket denklemlerini değil, enerji denklemini alırlar. Oluşturulması daha kolay olduğundan ve zaman içinde birinci dereceden bir denklem olduğundan. Sistemde sürtünme olmadığını varsayalım. Serbest salınımlar (küçük salınımlar) gerçekleştiren matematiksel bir sarkacın enerjinin korunumu yasasını şu şekilde yazıyoruz:
burada $E_k$ sarkacın kinetik enerjisidir; $E_p$ sarkacın potansiyel enerjisidir; $v$ sarkacın hızıdır; $x$, sarkaç ağırlığının $l$ yarıçaplı dairesel bir yay boyunca denge konumundan doğrusal yer değiştirmesidir; açı - yer değiştirme ise $x$ ile şu şekilde ilişkilidir:
\[\varphi =\frac(x)(l)\left(6\right).\]
Matematiksel bir sarkacın potansiyel enerjisinin maksimum değeri:
Maksimum kinetik enerji değeri:
burada $h_m$ sarkacın maksimum yüksekliğidir; $x_m$ sarkacın denge konumundan maksimum sapması; $v_m=(\omega )_0x_m$ - maksimum hız.
Çözümlü problem örnekleri
Örnek 1
Egzersiz yapmak. Denge konumundan geçerken hareket hızı $v$ ise, matematiksel bir sarkacın topunun maksimum kaldırma yüksekliği nedir?
Çözüm. Bir çizim yapalım.
Denge konumunda (0 noktası) topun potansiyel enerjisi sıfır olsun. Bu noktada topun hızı problemin koşullarına göre maksimum ve $v$'a eşittir. Topun denge konumunun üzerine maksimum yükseliş noktasında (A noktası), topun hızı sıfırdır, potansiyel enerji maksimumdur. Topun dikkate alınan iki konumu için enerjinin korunumu yasasını yazalım:
\[\frac(mv^2)(2)=mgh\ \left(1,1\right).\]
Denklem (1.1)'den gerekli yüksekliği buluyoruz:
Cevap.$h=\frac(v^2)(2g)$
Örnek 2
Egzersiz yapmak. Uzunluğu $l=1\ m$ olan bir matematiksel sarkacın $T=2\ s$'ye eşit bir periyotta salınması durumunda yer çekimi ivmesi nedir? Matematiksel bir sarkacın salınımlarının küçük olduğunu düşünün.\textit()
Çözüm. Sorunu çözmenin temeli olarak küçük salınımların periyodunu hesaplamak için formülü alıyoruz:
Buradan ivmeyi ifade edelim:
Yerçekimine bağlı ivmeyi hesaplayalım:
Cevap.$g=9,87\ \frac(m)(s^2)$
Matematiksel sarkaç nedir?
Önceki derslerden, sarkacın kural olarak yerçekimi etkileşiminin etkisi altında salınan bir cisim anlamına geldiğini zaten bilmelisiniz. Yani fizikte bu kavramın genel olarak yerçekiminin etkisi altında sabit bir nokta veya eksen etrafında meydana gelen salınım hareketleri gerçekleştiren katı bir cisim olarak kabul edildiğini söyleyebiliriz.
Matematiksel sarkacın çalışma prensibi
Şimdi matematiksel bir sarkacın çalışma prensibine bakalım ve ne olduğunu bulalım.
Matematiksel bir sarkacın çalışma prensibi, maddi bir nokta denge konumundan küçük bir a açısı kadar, yani sina=a koşulunun karşılanacağı bir açı kadar saptığında, o zaman F = -mgsina = - kuvvetinin oluşmasına dayanır. mga vücuda etki edecektir.
F kuvvetinin negatif bir üssü olduğunu görüyoruz ve bundan eksi işaretinin bize bu kuvvetin yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirildiğini söylediği sonucu çıkıyor. Ve F kuvveti yer değiştirme S ile orantılı olduğundan, böyle bir kuvvetin etkisi altında maddi noktanın harmonik salınımlar yapacağı sonucu çıkar.
Bir sarkacın özellikleri
Başka bir sarkacı ele alırsak salınım periyodu birçok faktöre bağlıdır. Bu faktörler şunları içerir:
Öncelikle vücut büyüklüğü ve şekli;
İkincisi, askı noktası ile ağırlık merkezi arasında bulunan mesafe;
Üçüncüsü, vücut ağırlığının belirli bir noktaya göre dağılımı.
Sarkaçların bu çeşitli durumları nedeniyle asılı bir cismin periyodunu belirlemek oldukça zordur.
Ve eğer matematiksel bir sarkaç alırsak, o zaman bilinen fiziksel yasalar kullanılarak kanıtlanabilecek tüm özelliklere sahiptir ve periyodu bir formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir.
Bu tür mekanik sistemler üzerinde birçok farklı gözlem gerçekleştiren fizikçiler, aşağıdaki gibi kalıpları belirlemeyi başardılar:
Öncelikle sarkacın periyodu yükün kütlesine bağlı değildir. Yani, sarkacın aynı uzunluğunda, ondan farklı kütlelere sahip ağırlıkları asarsak, kütleleri oldukça çarpıcı farklılıklara sahip olsa bile, salınımlarının periyodu yine aynı olacaktır.
İkincisi, sistemi başlatırken sarkacı küçük ama farklı açılarla saptırırsak salınımları aynı periyoda sahip olacak ancak genlikleri farklı olacaktır. Denge merkezinden küçük sapmalarla formlarındaki titreşimler neredeyse harmonik bir karaktere sahip olacaktır. Yani böyle bir sarkacın periyodunun salınımların genliğine bağlı olmadığını söyleyebiliriz. Yunancadan tercüme edilen bu mekanik sistemin bu özelliğine izokronizm denir; burada "izos" eşit, "chronos" ise zaman anlamına gelir.
Sarkaç salınımlarının pratik kullanımı
Fizikçiler, gökbilimciler, araştırmacılar ve diğer bilim adamları tarafından çeşitli çalışmalar için matematiksel bir sarkaç kullanılır. Böyle bir sarkaç yardımıyla mineral ararlar. Matematiksel bir sarkacın ivmesini gözlemleyerek ve salınımlarının sayısını sayarak, Dünyamızın bağırsaklarında kömür ve cevher yatakları bulunabilir.
Ünlü Fransız gökbilimci ve doğa bilimci K. Flammarion, matematiksel bir sarkacın yardımıyla Tunguska göktaşının ortaya çıkması ve yeni bir gezegenin keşfi de dahil olmak üzere birçok önemli keşif yapabildiğini iddia etti.
Günümüzde birçok medyum ve okültist, kayıp insanları aramak ve kehanet tahminlerinde bulunmak için böyle bir mekanik sistemi kullanıyor.
