Makale rasyonel ifadelerin dönüşümünden bahsediyor. Rasyonel ifadelerin türlerini, dönüşümlerini, gruplandırılmasını ve ortak çarpanı parantez içine alarak ele alalım. Kesirli rasyonel ifadeleri rasyonel kesirler biçiminde temsil etmeyi öğrenelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Rasyonel ifadelerin tanımı ve örnekleri
Tanım 1Kesir çizgisi bulunan sayı, değişken, parantez, kuvvetlerden oluşan toplama, çıkarma, çarpma, bölme işlemleriyle oluşan ifadelere denir. Rasyonel ifadeler.
Örneğin, elimizde 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x var 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Yani bunlar değişkenli ifadelere bölünmeyen ifadelerdir. Rasyonel ifadelerin incelenmesi, kesirli rasyonel ifadeler olarak adlandırıldığı 8. sınıfta başlar. Paydaki dönüşüm kuralları kullanılarak dönüştürülen kesirlere özellikle dikkat edilir.
Bu, keyfi biçimdeki rasyonel kesirlerin dönüşümüne ilerlememizi sağlar. Böyle bir ifade, rasyonel kesirlerin ve eylem işaretli tamsayı ifadelerinin bulunduğu bir ifade olarak düşünülebilir.
Rasyonel ifadelerin ana dönüşüm türleri
Sayılarla aynı dönüşümleri, gruplamaları, benzerleri getirmek ve diğer işlemleri gerçekleştirmek için rasyonel ifadeler kullanılır. Bu tür ifadelerin amacı sadeleştirmedir.
Örnek 1
3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 rasyonel ifadesini dönüştürün.
Çözüm
Böyle rasyonel bir ifadenin 3 x x y - 1 ile 2 x x y - 1 arasındaki fark olduğu görülebilir. Paydalarının aynı olduğunu görüyoruz. Bu, benzer terimlerin azaltılmasının şu şekilde olacağı anlamına gelir:
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Cevap: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Örnek 2
2 x y 4 (- 4) x 2'yi dönüştürün: (3 x - x) .
Çözüm
Başlangıçta parantez içindeki eylemleri 3 · x − x = 2 · x gerçekleştiriyoruz. Bu ifadeyi 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x biçiminde sunuyoruz. Tek adımlı işlemleri yani toplama ve çıkarma işlemlerini içeren bir ifadeye ulaşıyoruz.
Bölme özelliğini kullanarak parantezlerden kurtuluyoruz. Sonra şunu elde ederiz: 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x.
Sayısal faktörleri x değişkeniyle gruplandırıyoruz, ardından güçlerle işlemler yapabiliyoruz. bunu anladık
2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Cevap: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Örnek 3
x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 biçimindeki bir ifadeyi dönüştürün.
Çözüm
Öncelikle pay ve paydayı dönüştürüyoruz. Daha sonra (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2 formunda bir ifade elde ederiz ve önce parantez içindeki işlemler yapılır. Payda işlemler yapılır ve faktörler gruplandırılır. Daha sonra x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x biçiminde bir ifade elde ederiz. + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .
Paydaki kareler farkı formülünü dönüştürüyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Cevap: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Rasyonel kesir gösterimi
Cebirsel kesirler çoğunlukla çözüldüğünde basitleştirilir. Her rasyonel buna farklı şekillerde getirilir. Rasyonel ifadenin sonuçta rasyonel bir kesir verebilmesi için gerekli tüm işlemleri polinomlarla yapmak gerekir.
Örnek 4
Rasyonel kesir olarak sunun a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Çözüm
Bu ifade 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a olarak temsil edilebilir. Çarpma öncelikle kurallara göre yapılır.
Çarpmayla başlamalıyız, sonra bunu elde ederiz
a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a
Elde edilen sonucu orijinaliyle birlikte sunuyoruz. bunu anladık
a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a
Şimdi çıkarma işlemini yapalım:
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 ve 2 - 9
Bundan sonra orijinal ifadenin 16 a 2 - 9 formunu alacağı açıktır.
Cevap: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .
Örnek 5
x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x'i rasyonel kesir olarak ifade edin.
Çözüm
Verilen ifade payı x x + 1 + 1, paydası 2 x - 1 1 + x olan bir kesir olarak yazılır. x x + 1 + 1 dönüşümlerini yapmak gerekiyor. Bunu yapmak için bir kesir ve bir sayı eklemeniz gerekir. Şunu elde ederiz: x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Bundan şu sonuç çıkar: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
Ortaya çıkan kesir 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x olarak yazılabilir.
Bölme işleminden sonra formun rasyonel bir kesrine ulaşırız
2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Bunu farklı şekilde çözebilirsiniz.
2 x - 1 1 + x'e bölmek yerine bunun tersi olan 1 + x 2 x - 1 ile çarpıyoruz. Dağıtım özelliğini uygulayalım ve şunu bulalım:
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Cevap: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu makale şuna adanmıştır: rasyonel ifadelerin dönüşümüÇoğunlukla kesirli rasyonel konusu 8. sınıf cebir dersinin temel konularından biridir. İlk olarak, ne tür ifadelere rasyonel denildiğini hatırlıyoruz. Daha sonra, terimleri gruplandırma, ortak faktörleri parantez dışına çıkarma, benzer terimleri getirme vb. gibi rasyonel ifadelerle standart dönüşümler gerçekleştirmeye odaklanacağız. Son olarak kesirli rasyonel ifadeleri rasyonel kesirler olarak temsil etmeyi öğreneceğiz.
Sayfada gezinme.
Rasyonel ifadelerin tanımı ve örnekleri
Rasyonel ifadeler okuldaki cebir derslerinde işlenen ifade türlerinden biridir. Bir tanım verelim.
Tanım.
Sayılardan, değişkenlerden, parantezlerden, tamsayı üslü kuvvetlerden oluşan, aritmetik işaretler +, −, · ve: kullanılarak bağlanan, bölmenin kesir çizgisiyle gösterilebildiği ifadelere denir. rasyonel ifadeler.
Rasyonel ifadelere bazı örnekler: .
Rasyonel ifadeler 7. sınıfta bilinçli olarak çalışılmaya başlanır. Üstelik 7. sınıfta kişi sözde araçlarla çalışmanın temellerini öğreniyor. bütün rasyonel ifadeler yani değişkenli ifadelere bölünmeyi içermeyen rasyonel ifadelerle. Bunu yapmak için, tek terimli ve polinomların yanı sıra onlarla eylem gerçekleştirme ilkeleri de sırayla incelenir. Tüm bu bilgi sonuçta tüm ifadelerin dönüşümlerini gerçekleştirmenize olanak tanır.
8. sınıfta, değişkenli bir ifadeyle bölmeyi içeren rasyonel ifadeler üzerinde çalışmaya devam ederler. kesirli rasyonel ifadeler. Bu durumda sözde özel dikkat gösterilmektedir. rasyonel kesirler(bunlara ayrıca denir cebirsel kesirler), yani payı ve paydası polinom içeren kesirler. Bu sonuçta rasyonel kesirleri dönüştürmeyi mümkün kılar.
Edinilen beceriler, herhangi bir biçimdeki rasyonel ifadeleri dönüştürmeye devam etmenize olanak tanır. Bu, herhangi bir rasyonel ifadenin, aritmetik işlem işaretleriyle birbirine bağlanan rasyonel kesirler ve tamsayı ifadelerinden oluşan bir ifade olarak değerlendirilebileceği gerçeğiyle açıklanmaktadır. Tam ifadelerle ve cebirsel kesirlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz.
Rasyonel ifadelerin ana dönüşüm türleri
Rasyonel ifadelerle terimleri veya faktörleri gruplamak, benzer terimleri getirmek, sayılarla işlem yapmak vb. temel kimlik dönüşümlerinden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Tipik olarak bu dönüşümleri gerçekleştirmenin amacı rasyonel ifadenin basitleştirilmesi.
Örnek.
.
Çözüm.
Bu rasyonel ifadenin iki ifade arasındaki fark olduğu ve bu ifadelerin harf kısmı aynı olduğundan benzer olduğu açıktır. Böylece benzer terimlerin azaltılmasını gerçekleştirebiliriz:
Cevap:
.
Rasyonel ifadelerle ve diğer ifadelerle dönüşümler gerçekleştirirken, kabul edilen eylem gerçekleştirme sırası dahilinde kalmanız gerektiği açıktır.
Örnek.
Rasyonel bir ifade dönüşümü gerçekleştirin.
Çözüm.
Önce parantez içindeki eylemlerin yürütüldüğünü biliyoruz. Bu nedenle öncelikle parantez içindeki ifadeyi dönüştürüyoruz: 3·x−x=2·x.
Artık elde edilen sonucu orijinal rasyonel ifadenin yerine koyabilirsiniz: . Böylece tek aşamalı toplama ve çarpma işlemlerini içeren bir ifadeye geldik.
Bir çarpıma göre bölme özelliğini uygulayarak ifadenin sonundaki parantezlerden kurtulalım: .
Son olarak, sayısal faktörleri ve x-değişken faktörlerini gruplandırabilir, ardından uygun sayı işlemlerini yapabilir ve uygulayabiliriz : .
Bu, rasyonel ifadenin dönüşümünü tamamlar ve sonuç olarak bir tek terimli elde ederiz.
Cevap:
Örnek.
Rasyonel ifadeyi dönüştür 
.
Çözüm.
Öncelikle pay ve paydayı dönüştürüyoruz. Kesirlerin bu dönüşüm sırası, bir kesir çizgisinin esasen bölme için başka bir tanım olması ve orijinal rasyonel ifadenin esasen formun bir bölümü olmasıyla açıklanır. 
ve önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.
Yani payda polinomlarla işlemler yapıyoruz, önce çarpma, sonra çıkarma ve paydada sayısal faktörleri gruplandırıp ürünlerini hesaplıyoruz: 
.
Ortaya çıkan kesrin payını ve paydasını da bir çarpım biçiminde hayal edelim: aniden cebirsel bir kesri azaltmak mümkün olur. Bunu yapmak için payda kullanacağız kareler farkı formülü ve paydada ikisini parantezden çıkarırsak, elimizdeki 
.
Cevap:
.
Dolayısıyla rasyonel ifadelerin dönüşümüyle ilgili ilk tanışmanın tamamlanmış olduğu düşünülebilir. Gelelim tabiri caizse en tatlı kısma.
Rasyonel kesir gösterimi
Çoğu zaman ifadeleri dönüştürmenin nihai amacı görünümlerini basitleştirmektir. Bu açıdan bakıldığında, kesirli bir rasyonel ifadenin dönüştürülebileceği en basit biçim, rasyonel (cebirsel) bir kesirdir ve özel durumda bir polinom, tek terimli veya sayıdır.
Herhangi bir rasyonel ifadeyi rasyonel kesir olarak göstermek mümkün müdür? Cevap evet. Bunun neden böyle olduğunu açıklayalım.
Daha önce de söylediğimiz gibi herhangi bir rasyonel ifade, artı, eksi, çarpma ve bölme işaretleriyle birbirine bağlanan polinomlar ve rasyonel kesirler olarak düşünülebilir. Polinomlarla ilgili tüm işlemler bir polinom veya rasyonel kesir verir. Buna karşılık, herhangi bir polinom, payda 1 ile yazılarak cebirsel bir kesire dönüştürülebilir. Rasyonel kesirlerin eklenmesi, çıkarılması, çarpılması ve bölünmesi yeni bir rasyonel kesirle sonuçlanır. Dolayısıyla polinomlarla ve rasyonel kesirlerle tüm işlemleri rasyonel bir ifadede gerçekleştirdikten sonra rasyonel bir kesir elde ederiz.
Örnek.
İfadeyi rasyonel kesir olarak ifade edin 
.
Çözüm.
Orijinal rasyonel ifade, bir kesir ile formun kesirlerinin çarpımı arasındaki farktır. 
. İşlem sırasına göre önce çarpma, sonra toplama işlemi yapmalıyız.
Cebirsel kesirleri çarpmakla başlıyoruz:
Elde edilen sonucu orijinal rasyonel ifadenin yerine koyarız: .
Farklı paydalara sahip cebirsel kesirlerin çıkarılması işlemine geldik: 
Böylece orijinal rasyonel ifadeyi oluşturan rasyonel kesirlerle işlemler yaptıktan sonra onu rasyonel kesir şeklinde sunduk.
Cevap:
.
Materyali pekiştirmek için çözümü başka bir örnekle analiz edeceğiz.
Örnek.
Rasyonel bir ifadeyi rasyonel kesir olarak ifade edin.
Aşağıda göreceğimiz gibi her temel fonksiyonun, temel fonksiyonlarla ifade edilen bir integrali yoktur. Bu nedenle integralleri temel fonksiyonlarla ifade edilen fonksiyon sınıflarını belirlemek çok önemlidir. Bu sınıfların en basiti rasyonel fonksiyonlar sınıfıdır.
Herhangi bir rasyonel fonksiyon, rasyonel bir kesir, yani iki polinomun oranı olarak temsil edilebilir:
Argümanın genelliğini sınırlamadan polinomların ortak kökleri olmadığını varsayacağız.
Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse kesir doğru, aksi halde bileşik kesir olarak adlandırılır.
Kesir uygunsuzsa, payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralına göre), bu kesri bir polinomun ve bazı uygun kesirlerin toplamı olarak temsil edebilirsiniz:
burada bir polinom var ve a da uygun bir kesir.
Örnek t. Uygun olmayan bir rasyonel kesir verilsin
Payı paydaya bölerek (polinomları bölme kuralını kullanarak), şunu elde ederiz:
Polinomların integralini almak zor olmadığından rasyonel kesirlerin integralini almaktaki asıl zorluk uygun rasyonel kesirlerin integralini almaktır.
Tanım. Formun uygun rasyonel kesirleri
I, II, III ve IV tipi basit kesirler denir.
Tip I, II ve III'ün en basit kesirlerinin integralini almak çok zor değildir, bu nedenle bunların entegrasyonunu herhangi bir ek açıklama yapmadan gerçekleştireceğiz:
Daha karmaşık hesaplamalar, IV. tipteki basit kesirlerin entegrasyonunu gerektirir. Bize bu türden bir integral verilsin:
Dönüşümleri yapalım:
İlk integral ikame ile alınır
İkinci integral - bunu formda yazarak belirtiriz
Varsayıma göre paydanın kökleri karmaşıktır ve bu nedenle daha sonra şu şekilde ilerleyeceğiz:
İntegrali dönüştürelim:
Parçalara göre entegre ederek, elimizde
Bu ifadeyi eşitlik (1) ile değiştirerek şunu elde ederiz:
Sağ tarafta aynı türde bir integral bulunur ancak integralin paydasının üssü bir daha küçüktür; böylece bunu dile getirdik. Aynı yolu takip ederek bilinen integrale ulaşıyoruz.
