"Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları" konulu sunum. Ders “Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları

Dersin metodolojik gerekçesi. Konuyla ilgili bilgilerin sistemleştirilmesini özetlerken geometri dersinde fizik, astronomi, MHC, biyoloji bilgilerini kullanmak: “Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Simetri kavramına giriş ve çeşitleri, düzgün çokyüzlülerin simetri unsurları;

Çevremizdeki dünyadaki simetrinin tezahürlerini incelemek;

Simetrinin insan faaliyetinin çeşitli alanlarında kullanılmasına yönelik beklentiler.

İndirmek:

Önizleme:

Konuyla ilgili bir dersin geliştirilmesi: “Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Dersin metodolojik gerekçesi.

Konuyla ilgili bilgilerin sistemleştirilmesini özetlerken geometri dersinde fizik, astronomi, MHC, biyoloji bilgilerini kullanmak“Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları".

Ders türü: Öğrencilerin bilgi, beceri ve yeteneklerini uygulamaya yönelik ders.

Ders hedefleri:

Eğitim: Düzenli çokyüzlüler ve bunların simetri elemanları hakkındaki bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi, simetrinin uzayda uygulanması.
Eğitici:

Edebi dili kullanarak düşüncelerini mantıksal olarak ifade etme yeteneğini geliştirmek;

Tartışma becerilerinin geliştirilmesi;

Dinleme becerisinin geliştirilmesi ve dinleme sırasında dikkatin dağıtılması;

Açıklayıcı sorular sorma yeteneğini geliştirmek;

Standart dışı durumlarda edinilen bilgilerin geliştirilmesi;

Ana şeyi vurgulama, karşılaştırma, genelleme yeteneğini geliştirin;

Soyut ve görsel-figüratif düşüncenin gelişimi.

Eğitsel: Konuya olan sevgiyi teşvik etmek, bilinçli disiplini teşvik etmek, kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirmek, bir takımdaki bilişsel aktiviteyi geliştirmek ve işbirliği becerilerini geliştirmek, disiplinler arası iletişim. Güzellik duygusunu aşılamak, estetik eğitimi.

Öğrenmenin ilkeleri.

Didaktik:

Eğitimin sistematikliği ve tutarlılığı.
Erişilebilirlik (öğrenci bilgisine güvenme).
Eğitimin bireyselleştirilmesi (öğrencilerin materyali algılamasının psikolojik türleri dikkate alınarak, ödevler için didaktik materyalin farklılaştırılması).
İlmi.
Teori ve pratik arasındaki bağlantı.

Ders ekipmanı (öğretim yardımcıları).

Manyetik tahta.
Çokyüzlülerin modelleri, düzenli çokyüzlülerin modelleri. Masa.
BİT.
Görev kartları.
Öğrenci masasında: ders kitapları, defterler, kalemler ve kurşun kalemler, cetveller. Destekleyici notlar

Ders yapısı:

Organizasyon aşaması.
Ev ödevi kontrol aşaması.
Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.
Dersi özetlemek.
Öğrencilere ödev konusunda bilgi verme aşaması, ödevin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimatlar.

Bu dersteki öğrenme aktivitelerini izleme yöntemleri:

Sözlü ve yazılı.
Ön, grup, bireysel.
Son kontrol.

Dersin ilerleyişi.

Organizasyon aşaması.

Öğretmen ve öğrenciler arasında karşılıklı selamlaşma.

Dersin konusunun raporlanması, ders için çalışma planı, konuyla ilgili bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Bir hedef belirlemek.

Ev ödevi kontrol aşaması. Çokyüzlülerin boş modelleri.
Kapsamlı bilgi testi aşaması.

Karşılıklı doğrulama ile matematik diktesi (yazılı olarak ve kartlar öğretmene teslim edilir). Ek 1.
Ön anket:

Planimetride simetri.
Simetri türleri.
Simetrinin özelliği.
Kendilerine simetrik olan şekiller.

Ders planı.

Hedefler:

Simetri kavramına giriş ve çeşitleri, düzgün çokyüzlülerin simetri unsurları;
Çevremizdeki dünyadaki simetrinin tezahürlerini incelemek;
Simetrinin insan faaliyetinin çeşitli alanlarında kullanılmasına yönelik beklentiler.

Uzayda simetri. Tartışmalı öğretmenin hikayesi.
Doğada simetri. Öğrenci performansı. Öğrenci sorularına cevaplar.
Sanatta simetri: mimari, heykel, resim. Öğrenci performansı. Öğrenci sorularına cevaplar.
Düzenli çokyüzlüler. Hazır modellere dayalı öğrencinin hikayesi.

Sorular öğrencilere önceden verilmektedir.

Sorular ve ödevler.

Genel:

Çokyüzlü kavramı.
Piramit konsepti. Modeller yapın.
Prizma kavramı. Modeller yapın.

Bireysel:

Referans literatürden normal çokyüzlülerle ilgili malzeme seçimi yapın.
Mesajlar hazırlayın: “Uzayda simetri”, “Doğada simetri”, “Sanatta simetri”.
Düzenli çokyüzlülerin modellerini yapın.

Grup:

Simetrinin uzayda, doğada ve sanatta kullanımına örnekler verin.
Antik Yunan bilim adamı Platon hakkında bilgi hazırlayın.

Uzayda simetri.

“Simetri….insanoğlunun yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği açıklamaya ve yaratmaya çalıştığı bir fikirdir.” Bu sözler ünlü matematikçi Hermann Weyl'e aittir.

Planimetride şekillere bir noktaya ve bir düz çizgiye göre baktık. Stereometride bir noktaya, doğruya ve düzleme göre simetri dikkate alınır.

A ve A Noktaları 1 O, AA segmentinin ortası ise, O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik olarak adlandırılır. 1 . O noktasıÇizim.
A ve A Noktaları 1 düz çizgiye göre simetrik denir A (simetri ekseni), eğer düz bir çizgi AA segmentinin ortasından geçiyorsa 1 ve bu segmente dik. Her nokta düz A kendine simetrik kabul edilir.Çizim. Bir yaprak, bir kar tanesi, bir kelebek eksenel simetri örnekleridir. Ek 2.
Her gün her birimiz günde birkaç kez aynada yansımamızı görüyoruz. O kadar yaygın ki şaşırmıyoruz, soru sormuyoruz, keşif yapmıyoruz. Alman filozof Immanuel Kant aynadaki yansıma hakkında şu şekilde konuştu: “Elimin veya kulağımın aynadaki yansımasından daha benzer ne olabilir? Ama yine de aynada gördüğüm el, kalıcı elin yerine konamıyor..."

Bu düzleme göre simetridir.

A ve A Noktaları 1 düzleme göre simetrik olarak adlandırılır(simetri düzlemi), eğer düzlemAA segmentinin ortasından geçer 1 ve bu segmente dik. Uçağın her noktasıkendisine simetrik kabul edilir.Çizim.

Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramlarını tanıtalım.

Bir noktaya (düz çizgi, düzlem), şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) olarak adlandırılır. Bir şeklin bir simetri merkezi (eksen, düzlem) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğu söylenir.

Doğada simetri.

“Bir keresinde kara tahtanın önünde durup üzerine tebeşirle farklı şekiller çizerken birdenbire şu düşünce aklıma geldi: Simetri neden göze hoş geliyor? Simetri nedir? Bu doğuştan gelen bir duygu, diye cevapladım kendi kendime. Neye dayanıyor? Hayatta her şeyde simetri var mı?” - Nikolenka Irtenev, L. Tolstoy'un “Ergenlik”inden sorular sordu.

Simetri neden doğada hüküm sürüyor? Mikroorganizmalardan insanlara kadar yaşayan her şey neden simetriktir?

Doğada simetrinin hakimiyeti, Evrenin her yerine etki eden yerçekimi kuvvetiyle açıklanmaktadır. Yerçekiminin etkisi veya yokluğu, hem Evrende yüzen kozmik cisimlerin hem de suda asılı kalan mikroorganizmaların en yüksek simetri biçimine sahip olmasıyla açıklanır - küresel (şeklin merkezine göre herhangi bir dönüşle çakışır). Bağlı bir halde büyüyen (ağaçlar) veya okyanus tabanında yaşayan (deniz yıldızı) tüm organizmalar; Yerçekimi yönünün belirleyici olduğu organizmalar bir simetri eksenine sahiptir. Suda, havada veya karada hareket edebilen hayvanlar için yerçekimi yönünün yanı sıra hayvanın hareket yönü de önemlidir. Bu tür hayvanların bir simetri düzlemi vardır. Biyologlar bu düzlemi iki taraflı olarak adlandırır ve simetri türüne ayna denir.

Canlı doğadaki simetri örnekleri böcekler, yani dünyanın en güzel yaratıkları - ayna simetrisinin bir örneği olan kelebeklerdir. Ek 2.

Doğadaki kristallerin neredeyse tamamı simetriktir. Ek 3.

Sanatta simetri (mimari, heykel, resim, edebiyat , müzik, dans).

Çevresindeki dünyayı gözlemleyen insan, tarihsel olarak onu çeşitli sanat türlerinde az çok gerçekçi bir şekilde tasvir etmeye çalışmıştır, bu nedenle resim, heykel, mimari, edebiyat, müzik ve dansta simetriyi dikkate almak çok ilginçtir.

Zaten ilkel insanların mağara resimlerinde de resimdeki simetriyi görebiliyoruz. Antik çağda, çizim sanatının önemli bir kısmı, sanatçıların ayna simetrisinin özelliklerini kullandığı ikonlardı. Bugün onlara baktığınızda, azizlerin görüntülerindeki şaşırtıcı simetriden etkileniyorsunuz, ancak bazen ilginç bir şey olsa da - asimetrik görüntülerde, sanatçının dış faktörlerin etkisi altında saptığı bir norm olarak simetriyi hissediyoruz.

Binaların genel planlarında simetri unsurları görülmektedir. Ek 4. Heykel ve resim aynı zamanda estetik sorunları çözmek için simetri kullanımına ilişkin birçok çarpıcı örnek sunmaktadır. Örnekler arasında büyük Michelangelo'nun Giuliano de' Medici'nin mezarı, Kiev'deki Ayasofya Katedrali'nin apsis mozaiği yer alır; burada biri ekmekle, diğeri şarapla birliktelik sağlayan iki İsa figürü tasvir edilir.

Mesih figürünün ayna simetrik bölünmesi, Efkaristiya'nın en önemli iki anını aynı anda tasvir etmeyi mümkün kıldı: Mesih'in kanını simgeleyen şarapla birlik. İsa'nın aynaya bölünmesi, Son Akşam Yemeği ikonografisinin en sevilen tekniklerinden biriydi. Ek 5.

Resim ve mimarinin dışına itilen simetri, yavaş yavaş insanların hayatlarının yeni alanlarını (müzik ve dans) işgal etti. Böylece, 15. yüzyılın müziğinde yeni bir yön keşfedildi - bir süslemenin müzikal benzeri olan taklit polifoni; daha sonra fügler, karmaşık bir modelin ses versiyonları ortaya çıktı. Modern şarkı türünde koronun (şarkı metninin) ekseni boyunca en basit figüratif simetrinin bir örneği olduğuna inanıyorum. Sürekli tekrarlanan figür ve adımların kullanıldığı danslarda da simetriyi buluruz, resme bakarız. Ek 6.

Edebiyat da simetriyi göz ardı etmedi. Dolayısıyla edebiyattaki simetriye bir örnek palindromlar olabilir, bunlar metnin ters ve doğrudan harf dizileri çakışan kısımlarıdır. Örneğin, "Ve gül Azor'un pençesine düştü" (A. Fet), "Elimle nadiren sigara izmaritini tutarım." Palindromların özel bir durumu olarak, Rus dilinde pek çok kelimenin ters çevrildiğini biliyoruz: kok, topot, kazak ve daha birçokları. Bilmeceler - bulmacalar - genellikle bu tür kelimelerin kullanımına dayanır.

Düzenli çokyüzlüler.

Geometride, bir şeklin bir veya daha fazla simetri merkezi (ekseni) olabilir. Dışbükey bir çokyüzlüye, eğer tüm yüzleri eşit düzenli çokyüzlü ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, bu çokyüzlüye düzenli denir. Düzenli çokyüzlünün bir örneği bir küptür.

Yüzleri düzenli altıgen, yedigen ve genel olarak düzgün bir çokyüzlünün olmadığını kanıtlayalım. 6.

Şu tarihte: 6 Her çokgenin açısı 120°'den büyük veya eşittir. Öte yandan, bir çokyüzlünün her köşesinde en az üç düzlem açısı bulunmalıdır. Ama 120

Aynı nedenle, düzgün bir çokyüzlünün her köşesi 3, 4, 5 düzgün üçgenin, 3 karenin veya 3 düzgün beşgenin tepe noktası olabilir. Bu, yalnızca 5 düzenli çokyüzlü olduğu anlamına gelir. Ek 7.

Bir tetrahedron bir tetrahedrondur.
Altı yüzlü bir altıgendir (küp).
Oktahedron bir oktahedrondur.
Icosahedron yirmi kenarlı bir yapıdır.
Dodecahedron bir dodecahedrondur.

Antik çağlardan beri düzenli çokyüzlüler bilim adamlarının, mimarların ve sanatçıların dikkatini çekmiştir.

Antik Yunan bilim adamı Platon, düzenli çokyüzlülerin özelliklerini ayrıntılı olarak anlattı. Bu yüzden onlara Platonik katılar denir. Öklid'in Elementleri'nin 13. Kitabı düzenli çokyüzlülere adanmıştır. Platon, ateş atomlarının dört yüzlü, dünyanın altı yüzlü, havanın oktahedron, suyun ikosahedron ve tüm evrenin on iki yüzlü şeklinde olduğuna inanıyordu.

İspanyol ressam S. Dali'nin "Son Akşam Yemeği" tablosunun kahramanları, devasa bir on iki yüzlünün arka planında oturuyor. Ek 5. Sanatçı A. Duder “Melankoli” gravüründe dodecahedronun perspektif bir görüntüsünü vermiştir. Ek 8.

Rönesans döneminde melankolik mizaç yaratıcılıkla özdeşleştirildi. Dürer'in gravüründe Melankoli, mimari ve geometri nitelikleriyle çevrelenmiştir; bu nedenle matematikçiler bu grafik sanatı şaheserini bir matematikçinin yaratıcı ruhunun kişileşmiş hali olarak ve Melankoli'yi de güzellik dünyasında matematiğin bir temsilcisi olarak görmekten hoşlanırlar. .

Konsolidasyon ve genelleme aşaması.

Çokyüzlülerin modelleri önerilmektedir: 1) bir açıklama verin; 2) bu çokyüzlü - Platonik katı modellerinden birini seçin.

6. Çalışılan konuyla ilgili bilginin test edilmesi aşaması.

Pratik çalışmalar yapın. Grup çalışması. Ek 9.

7. Dersin sonuçlandırılması öğrencilerin kendileri tarafından yapılır.

Peki bugün ne öğrendik? Bugünkü konumuzdan neler hatırlıyorsunuz?

Uzayda simetri.
Doğada simetri.
Sanatta simetri: mimari, heykel, resim.
Düzenli çokyüzlüler.

8. Ders özeti.

Bir derse not verirken öğrenciler pratik çalışma formları verirler.

9. Ödev hakkında bilgi.

1) Çizim: Simetri eksenine (merkez) sahip geometrik şekiller, nesneler, canlılar.

2) Dersten iyi ve mükemmel notlar alan öğrenciler için bireysel yaratıcı görev. Konuyla ilgili bir makale yazın: "Gündelik yaşamda, teknolojide ve fizikte simetri."

10. Referans listesi.

Çocuk Ansiklopedisi, 3. baskı, “Pedagoji”, M., 1973.
L. Tarasov, Bu şaşırtıcı derecede simetrik dünya, “Aydınlanma”, M., 1980.
I. F. Sharygin, L. N. Erganzhieva. Görsel geometri, "MIROS", 1995.
İnternet kaynakları.

Ek 1.

Matematiksel dikte.

Planimetriden ne tür simetrilere aşinasınız?
Simetrinin hangi özelliklerini biliyorsunuz?
Hangi çokgenlerde şunlar bulunur: 1) Simetri merkezi;

Simetri ekseni?

Hangi çokyüzlüler simetriye sahiptir? Liste.

....... yerine eksik kelimeleri doldurunuz.

5. ...... düzenli ...... olan bir çokyüzlüye düzenli denir.

6. Küp, ..... kareye sahip düzenli bir çokyüzlüdür.

7. Bir tetrahedron düzgün bir …… olup, yüzleri …… şeklindedir.

Ek 2.

Doğada simetri.

Ek 3.

Kristaller.

Ek 4.

Sanatta simetri.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin metodolojik gerekçesi.

Konuyla ilgili bilgilerin sistemleştirilmesini özetlerken geometri dersinde fizik, astronomi, MHC, biyoloji bilgilerini kullanmak “Uzayda simetri. Düzenli çokyüzlüler. Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları.”

Ders türü:Öğrencilerin bilgi, beceri ve yeteneklerini uygulamaya yönelik bir ders.

Ders hedefleri:

Eğitici: Düzenli çokyüzlüler ve bunların simetri elemanları hakkındaki bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi, simetrinin uzayda uygulanması.

Eğitici:

Edebi dili kullanarak düşüncelerini mantıksal olarak ifade etme yeteneğini geliştirmek;
Tartışma becerilerinin geliştirilmesi;
Dinleme becerisinin geliştirilmesi ve dinleme sırasında dikkatin dağıtılması;
Açıklayıcı sorular sorma yeteneğini geliştirmek;
Standart dışı durumlarda edinilen bilgilerin geliştirilmesi;
Ana şeyi vurgulama, karşılaştırma, genelleme yeteneğini geliştirin;
Soyut ve görsel-figüratif düşüncenin gelişimi.

Eğitici: Konuya olan sevgiyi teşvik etmek, bilinçli disiplini teşvik etmek, kontrol ve öz kontrol becerilerini geliştirmek, bir takımdaki bilişsel aktiviteyi geliştirmek ve işbirliği becerilerini geliştirmek, disiplinler arası iletişimi geliştirmek. Güzellik duygusunu aşılamak, estetik eğitimi.

Öğrenmenin ilkeleri.

Didaktik:

Eğitimin sistematikliği ve tutarlılığı.
Erişilebilirlik (öğrenci bilgisine güvenme).
Eğitimin bireyselleştirilmesi (öğrencilerin materyali algılamasının psikolojik türleri dikkate alınarak, ödevler için didaktik materyalin farklılaştırılması).
İlmi.
Teori ve pratik arasındaki bağlantı.

Ders ekipmanları(öğrenme araçları).

Manyetik tahta.
Çokyüzlülerin modelleri, düzenli çokyüzlülerin modelleri. Masa.
Görev kartları.
Öğrenci masasında: ders kitapları, defterler, kalemler ve kurşun kalemler, cetveller. Destekleyici notlar

Ders yapısı:

Organizasyon aşaması.
Ev ödevi kontrol aşaması.
Kapsamlı bilgi testi aşaması.
Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi aşaması.
Dersi özetlemek.
Öğrencilere ödev konusunda bilgi verme aşaması, ödevin nasıl tamamlanacağına ilişkin talimatlar.

Bu dersteki öğrenme aktivitelerini izleme yöntemleri:

Sözlü ve yazılı.
Ön, grup, bireysel.
Son kontrol.

Ders ilerlemesi

1. Organizasyon aşaması.

Öğretmen ve öğrenciler arasında karşılıklı selamlaşma.

Dersin konusunun raporlanması, ders için çalışma planı, konuyla ilgili bilgilerin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi.

Bir hedef belirlemek.

2. Ödev kontrol aşaması. Çokyüzlülerin boş modelleri.

3. Kapsamlı bilgi testi aşaması.

Karşılıklı doğrulama ile matematik diktesi (yazılı olarak ve kartlar öğretmene teslim edilir). Ek 1.

Ön anket:

Planimetride simetri.
Simetri türleri.
Simetrinin özelliği.
Kendilerine simetrik olan şekiller.

4. Ders planı.

Simetri kavramına giriş ve çeşitleri, düzgün çokyüzlülerin simetri unsurları;
Çevremizdeki dünyadaki simetrinin tezahürlerini incelemek;
Simetrinin insan faaliyetinin çeşitli alanlarında kullanılmasına yönelik beklentiler.
- Uzayda simetri. Tartışmalı öğretmenin hikayesi.
- Doğada simetri. Öğrenci performansı.
- Öğrenci sorularına cevaplar.
- Sanatta simetri: mimari, heykel, resim. Öğrenci performansı. Öğrenci sorularına cevaplar.

Düzenli çokyüzlüler. Hazır modellere dayalı öğrencinin hikayesi.

Sorular ve ödevler.

Sorular öğrencilere önceden verilmektedir.
Çokyüzlü kavramı.
Piramit konsepti. Modeller yapın.

Prizma kavramı. Modeller yapın.

Bireysel:
Referans literatürden düzenli çokyüzlüler hakkında materyal seçimi yapın.
Mesajlar hazırlayın: “Uzayda simetri”, “Doğada simetri”, “Sanatta simetri”.

Düzenli çokyüzlülerin modellerini yapın.

Grup:
Simetrinin uzayda, doğada ve sanatta kullanımına örnekler verin.

Uzayda simetri.

Antik Yunan bilim adamı Platon hakkında bilgi hazırlayın.

"Simetri...insanoğlunun yüzyıllardır düzeni, güzelliği ve mükemmelliği açıklamaya ve yaratmaya çalıştığı bir fikirdir." Bu sözler ünlü matematikçi Hermann Weyl'e aittir.

Planimetride şekillere bir noktaya ve bir düz çizgiye göre baktık. Stereometride bir noktaya, doğruya ve düzleme göre simetri dikkate alınır. Çizim.

O, AA 1 segmentinin ortası ise, A ve A 1 noktalarına O noktasına (simetri merkezi) göre simetrik denir. O noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir. A A ve A 1 noktalarına Çizgiye göre simetrik denir A(simetri ekseni), eğer çizgi AA 1 segmentinin ortasından geçiyorsa ve bu segmente dik ise. Her nokta düz Çizim. kendine simetrik kabul edilir.

Bir yaprak, bir kar tanesi, bir kelebek eksenel simetri örnekleridir. Ek 2.

Her gün her birimiz günde birkaç kez aynada yansımamızı görüyoruz. O kadar yaygın ki şaşırmıyoruz, soru sormuyoruz, keşif yapmıyoruz. Alman filozof Immanuel Kant aynadaki yansıma hakkında şu şekilde konuştu: “Elimin veya kulağımın aynadaki yansımasından daha benzer ne olabilir? Ama yine de aynada gördüğüm el kalıcı elin yerine konamıyor..."

Düzlem AA 1 segmentinin ortasından geçerse ve bu segmente dikse, A ve A 1 noktalarına düzleme (simetri düzlemi) göre simetrik denir. Düzlemin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir. Çizim.

Bir şeklin merkezi, ekseni ve simetri düzlemi kavramlarını tanıtalım.

Doğada simetri.

Simetri neden doğada hüküm sürüyor? Mikroorganizmalardan insanlara kadar yaşayan her şey neden simetriktir?

Canlı doğadaki simetri örnekleri böcekler, yani dünyanın en güzel yaratıkları - ayna simetrisinin bir örneği olan kelebeklerdir. Ek 2.

Doğadaki kristallerin neredeyse tamamı simetriktir. Ek 3.

Sanatta simetri (mimari, heykel, resim, edebiyat, müzik, dans).

Düzenli çokyüzlüler.

Yüzleri düzgün altıgen, yedigen ve genel olarak 6 olan düzgün bir çokyüzlünün olmadığını kanıtlayalım.

6'da her çokgenin açısı 120'den büyük veya eşittir. Öte yandan çokyüzlünün her köşesinde en az üç düzlem açısı bulunmalıdır. Ama 120

Bir tetrahedron bir tetrahedrondur.
Altı yüzlü bir altıgendir (küp).
Oktahedron bir oktahedrondur.
Icosahedron yirmi kenarlı bir yapıdır.
Dodecahedron bir dodecahedrondur.

Antik çağlardan beri düzenli çokyüzlüler bilim adamlarının, mimarların ve sanatçıların dikkatini çekmiştir.

Konsolidasyon ve genelleme aşaması.

Çokyüzlülerin modelleri sunulmaktadır:

1) bir açıklama verin;

2) bu çokyüzlü - Platonik katı modellerinden birini seçin.

6. Çalışılan konuyla ilgili bilginin test edilmesi aşaması.

Pratik çalışmalar yapın. Grup çalışması. Ek 9.

7. Dersin sonuçlandırılması öğrencilerin kendileri tarafından yapılır.

Peki bugün ne öğrendik? Bugünkü konumuzdan neler hatırlıyorsunuz?

Uzayda simetri.
Doğada simetri.
Sanatta simetri: mimari, heykel, resim.
Düzenli çokyüzlüler.

Ders özeti.

Bir derse not verirken öğrenciler pratik çalışma formları verirler.

9. Ödev hakkında bilgi.

1) El sanatları yapın veya çizin: simetri eksenine (merkez) sahip geometrik şekiller, nesneler, canlılar.

2) Dersten iyi ve mükemmel notlar alan öğrenciler için bireysel yaratıcı görev. Konuyla ilgili bir makale yazın: "Gündelik yaşamda, teknolojide ve fizikte simetri."

3) Sunum “Çevremizdeki Simetri”

10. Referans listesi.

Çocuk Ansiklopedisi, 3. baskı, “Pedagoji”, M., 1973.
L. Tarasov, Bu şaşırtıcı derecede simetrik dünya, “Aydınlanma”, M., 1980.
EĞER. Sharygin, L. N. Erganzhieva. Görsel geometri, “MIROS”, 1995.

İnternet kaynakları.

Düzenli çokyüzlülere olan ilgi, sahip oldukları çok sayıda simetriden kaynaklanmaktadır. Bir çokyüzlünün simetrisi (veya simetri dönüşümü) ile, onun uzaydaki katı bir cisim olarak hareketini (örneğin, belirli bir düz çizgi etrafında dönme, belirli bir düzleme göre yansıma vb.) kastediyoruz; bu, köşeler ve kenarlar kümesinden ayrılır. ve çokyüzlünün yüzleri değişmedi. Başka bir deyişle, bir simetri dönüşümünün etkisi altında, bir tepe noktası, kenar veya yüz ya orijinal konumunu korur ya da başka bir tepe noktasının, başka bir kenarın veya başka bir yüzün başlangıç konumuna aktarılır. Tüm çokyüzlülerde ortak olan bir simetri vardır. Her noktayı olduğu yerde bırakan bir kimlik dönüşümünden bahsediyoruz. Düz bir düzenli p-gonal prizma durumunda daha az önemsiz bir simetri örneğiyle karşılaşırız.

Düzenli çokgenler, düzlem şekillerin simetri boyutunun örneklerini sağlar. Uzamsal figürlerin simetri örnekleri, düzenli prizmalar ve piramitler ile sağlanır: örneğin, taban düzlemine dik ve merkezinden geçen bir eksen etrafında dönüşlerle kendileriyle hizalanırlar.

Simetriyi başta tanımlandığı şekliyle genel anlamda ve özel olarak kristallerin simetrisinden bahsederken anlaşıldığı şekliyle anlayacağız. Bu durumda bir şeklin kendi üzerine yerleştirilmesine simetri dönüşümleri denir.

Teorem. Belirli bir düzgün çokyüzlü P'yi düşünün. A, onun tepe noktası, A uçlu bir kenar ve a kenarlı bir yüz olsun. Diğer benzer A", a", a" elemanları için, P çokyüzlüsünün kendi üzerine bir dayatması vardır, bu da A"yı A'ya, a"yı a'ya, a"yı a'ya dönüştürür.

Kanıt

Çokyüzlüyü çevirerek, A" tepe noktasını A'ya aktarıyoruz. Çokyüzlüyü A etrafında döndürerek, aktarılan a" kenarını a'ya aktarıyoruz. Çokgeni a kenarı etrafında döndürerek, (aktarılan ve döndürülen) a" yüzünü a yüzüyle çakıştıracağız. Yüzler eşit olduğundan, a" yüzü a ile tamamen hizalanmış olacaktır.

Dihedral açılar eşit olduğundan, "a ve a"ya bitişik p ve p yüzleri için yalnızca iki olasılık vardır: 1) p" p ile çakışır; 2) p" p ile çakışmaz ancak p simetrik olacaktır A yüzünün düzlemine göre. Bu durumda bu düzlemdeki yansımayla P"'yi p'ye dönüştüreceğiz.

Böylece, P çokyüzlüsünün tamamını üst üste bindirerek, A" tepe noktasını A ile, a" kenarını a ile, a" kenarı boyunca bitişik a", p" yüzlerini, a" kenarı boyunca bitişik a, p yüzleriyle birleştirdik. kenar a.

Bu durumda çokyüzlünün kendisiyle birleştiğinden emin olalım. A köşesindeki çokyüzlü açının iki yüzü çakışır (a" a ile, p" p ile). P'ye komşu olan y ve y" yüzlerine geçelim. P ile oluşturdukları dihedral açılar eşittir ve a yüzüyle aynı tarafta - aynı tarafta yer alır. Dolayısıyla y" yüzü y ile çakışır. O halde A köşesindeki çokyüzlü açıların çakıştığından emin olalım. A'ya bir kenarla bağlı başka bir tepe noktasına hareket ederek, benzer şekilde bu tepe noktasında çokyüzlü açıların çakıştığını doğrularız. Ve böylece, tüm çokyüzlüyü geçtikten sonra, kendisiyle çakıştığından emin olacağız ki bunu kanıtlamamız gerekiyordu. ?

Kanıtlanmış teorem tarafından belirlenen düzenli çokyüzlülerin özelliği, tabiri caizse akla gelebilecek maksimum simetriye sahip oldukları anlamına gelir. Bir çokyüzlünün kendisiyle birleşimi olan süperpozisyon, kaçınılmaz olarak bazı A" tepe noktasını A ile, bir a" kenarını a ile, a"nın bir yüzünü a ile ve komşu p" yüzünü p ile birleştirir. Örtüşme tamamen bununla tanımlanır, yalnızca birdir. Bu nedenle, mümkün olan maksimum örtüşme sayısı, her bir A, a, a, p koleksiyonunun her birine çevrilebildiği zaman olacaktır. Ve bu normal çokyüzlüler için de geçerlidir. Açıkçası bunun tersi de doğrudur. Çokyüzlü bu kadar maksimum simetriye sahipse, o zaman düzenlidir (a kenarı a ile birleştirildiği için), A tepe noktasındaki a" yüzündeki açı aynı açıyla birleştirilir ve a" ile p arasındaki dihedral açı 4", a ve r arasındaki açıyla birleştirilir - yani tüm kenarlar ve açılar eşittir). Düzenli bir çokyüzlüyü kendisiyle birleştiren örtüşmelerin sayısı 2'ye eşittir; burada m, bir tepe noktasında yakınsayan kenarların sayısıdır ve e, köşelerin sayısıdır; bunlar birinci türden dayatmalardır ve bunlar ikinci türden dayatmalardır. Düzenli bir çokyüzlünün simetri grubunu oluştururlar. Küpün ve oktahedronun simetri grupları dualiteleri nedeniyle çakışmaktadır. Dodekahedron ve ikosahedronun simetri grupları da çakışmaktadır. Tetrahedron grubu, bir tetrahedronun bir küp içine gömülme olasılığından da görülebileceği gibi, küp grubunun bir alt grubudur (Şekil 1.5, a). Simetrinin en ilginç unsurları ayna eksenleridir: dört yüzlü için 4. sıra, küp için 6. sıra, on iki yüzlü için 10. sıra (Şekil 1.5b). Bu eksenlerin nasıl konumlandırıldığını belirleyerek durumun böyle olduğundan emin olun. Küpün simetri eksenleri ve simetri düzlemleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 1,5 v, g.

1 .5 Çokyüzlülerin benzerliği

Bir çokyüzlüyü diğerine götüren bir benzerlik dönüşümü varsa, iki çokyüzlüye benzer denir.

Benzer çokyüzlüler sırasıyla eşit çokyüzlü açılara ve buna bağlı olarak benzer yüzlere sahiptir. Benzer çokyüzlülerin karşılık gelen elemanlarına benzer denir. Benzer çokyüzlülerde dihedral açılar eşit ve eşit aralıklıdır ve benzer kenarlar orantılıdır.

Ayrıca aşağıdaki teoremler doğrudur:

Teorem 1. Tabana paralel bir piramitte bir kesme düzlemi çizerseniz, buna benzer bir piramidi ondan kesecektir.

Teorem 2. Benzer çokyüzlülerin yüzey alanları karelerle, hacimleri ise benzer çokyüzlülerin doğrusal elemanlarının küpleriyle ilişkilidir.

Düzenli çokyüzlü kavramı (dört yüzlü, oktahedron, ikosahedron, küp, dodecahedron).

Tanım. Dışbükey bir çokyüzlüye, tüm yüzleri eşit düzenli çokgenler ise ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir.

Özellikler.

· Düzgün bir çokyüzlünün tüm kenarları birbirine eşittir;

· Ortak kenarlı iki yüzü içeren tüm dihedral açılar eşittir.

Yalnızca beş tür normal çokyüzlü vardır:

· Düzenli tetrahedron dört eşkenar üçgenden oluşur. Köşelerinin her biri üç üçgenin tepe noktasıdır. Bu nedenle her köşedeki düzlem açılarının toplamı eşittir.

· Düzenli oktahedron sekiz eşkenar üçgenden oluşur. Oktahedronun her köşesi dört üçgenin tepe noktasıdır. Bu nedenle her köşedeki düzlem açılarının toplamı eşittir.

· Düzenli ikosahedron yirmi eşkenar üçgenden oluşur. İkosahedronun her köşesi beş üçgenin tepe noktasıdır. Bu nedenle her köşedeki düzlem açılarının toplamı eşittir.

· Küp (altı yüzlü) altı kareden oluşur. Küpün her köşesi üç karenin tepe noktasıdır. Bu nedenle her köşedeki düzlem açılarının toplamı eşittir.

· Düzenli dodekahedron on iki düzgün beşgenden oluşur.

Dodecahedronun her köşesi, üç düzgün beşgenin tepe noktasıdır. O zaman her köşedeki düzlem açılarının toplamı eşittir.

2. Euler teoremi.

Euler teoremi. Herhangi bir dışbükey çokyüzlünün yüz sayısı Г, köşe sayısı В ve kenar sayısı Р için Г+В-Р=2 ilişkisi doğrudur.

Boş N her yüzün kenar sayısıdır ve M– her köşede yakınsayan kenarların sayısı. Her kenar iki yüze ait olduğundan, o zaman N G=2R. Her kenar iki köşe içerir; bu şu anlama gelir: M B=2P. Son iki eşitlikten ve Euler teoreminden bir sistem oluşturuyoruz

Bu sistemi çözersek şunu elde ederiz: , Ve .

Düzgün çokyüzlülerin köşe, kenar ve yüz sayısını bulalım:

Düzenli tetrahedron ( N=3, M=3)

P=6, G=4, V=4.

Düzenli oktahedron ( N=3, M=4)

P=12, G=8, V=6.

Düzenli ikosahedron ( N=3, M=5)

P=30, G=20, V=12.

Küp( N=4, M=3)

P=12, G=6, V=8.

Düzenli oniki yüzlü ( N=5, M=3)

· P=30, G=12, V=20.

Düzenli çokyüzlülerin simetri unsurları.

Düzenli çokyüzlülerin simetrilerinin unsurlarını ele alalım.

Düzenli tetrahedron

Düzenli bir tetrahedronun (Şekil 1) bir simetri merkezi yoktur.

Dört yüzlünün simetri eksenleri (Şekil 2), iki karşıt kenarın orta noktalarından geçer; bu tür üç simetri ekseni vardır.

Pirinç. 2

Dört yüzlünün simetri düzlemlerini ele alalım (Şekil 3). Kenardan geçen α düzlemi AB kenara dik CD, düzenli bir tetrahedronun simetri düzlemi olacaktır ABCD. Bu tür altı simetri düzlemi vardır.

Pirinç. 3

Küp simetrisi

1. Simetri merkezi - küpün merkezi (küpün köşegenlerinin kesişme noktası) (Şekil 4).

2. Simetri düzlemleri: paralel kenarların orta noktalarından geçen üç simetri düzlemi; Karşıt kaburgalardan geçen altı simetri düzlemi (Şekil 5).

Pirinç. 5

3. Simetri eksenleri: Karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen üç simetri ekseni; zıt köşelerden geçen dört simetri ekseni; Karşılıklı kaburgaların ortasından geçen altı simetri ekseni (Şekil 6).

Bölüm 12.1'de, düzgün bir çokyüzlüyü, aynı türdeki tüm elemanların birbirine eşit olduğu bir çokyüzlü olarak tanımladık: yüzler, kenarlar, vb. Ancak düzenli çokyüzlüler, tüm çokyüzlülerin en simetrik olanı olarak tanımlanabilir. Bu şu anlama gelir. Düzenli bir çokyüzlüyü belirli bir A köşesi, ona uygun bir a kenarı ve bu kenara uygun bir yüz ve benzer herhangi bir küme alırsak, o zaman çokyüzlüde böyle bir kendi kendine hizalanma olur,

A köşesini A köşesine, a kenarını a kenarına, a yüzünü a yüzüne götürür.

Hadi kanıtlayalım. Düzgün çokyüzlülerin herhangi iki yüzü eşit olduğundan, birini diğerine dönüştürecek bir hareket vardır. Bu çokyüzlünün tüm dihedral açıları eşit olduğundan, yüzlerin birleştirilmesinin bir sonucu olarak, çokyüzlünün tamamı kendi kendine hizalanacak veya ikinci yüzün düzlemine göre orijinaline simetrik olan bir çokyüzlüye dönüşecektir. İkinci durumda, bu yüzün düzlemine göre simetri, normal çokyüzlünün kendi kendine hizalanma sürecini tamamlayacaktır.

Bunun tersi de doğrudur: Bu özelliğe sahip çokyüzlüler düzenli olacaktır çünkü tüm kenarları, tüm düzlem açıları ve tüm dihedral açıları eşit olacaktır.

Şimdi düzgün çokyüzlülerin simetri elemanlarını ele alalım.

Küpün simetri elemanlarıyla başlayalım.

1. Simetrinin merkezi küpün merkezidir.

2. Simetri düzlemleri (Şekil 12.17): 1) merkezlerindeki kaburgalara dik olan üç simetri düzlemi; 2) Zıt kenarlardan geçen altı simetri düzlemi.

3. Simetri eksenleri: 1) karşıt yüzlerin merkezlerinden geçen 4. dereceden üç simetri ekseni (Şekil 12.18a); 2) zıt kenarların ortasından geçen 2. dereceden altı dönme simetrisi ekseni (Şekil 12.186); 4) küpün dört köşegeni, küpü kendi kendine hizalayan altıncı dereceden ayna dönüşünün eksenleridir (Şekil 12.18c).

Bu, küpün simetrisinin en ilginç ve hemen göze çarpmayan unsurudur. Bir küpün merkezinden köşegenine dik olarak geçen bir düzlemin kesiti düzgün bir altıgeni temsil eder; Küp bir köşegen etrafında 60° açıyla döndürüldüğünde altıgen kendi üzerine yansıtılır, ancak küpün bir bütün olarak yine de altıgen düzleminde yansıtılması gerekir.

Oktahedron küp ile çifttir ve bu nedenle aynı simetri elemanlarına sahiptir; ancak küp için yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen simetri düzlemleri ve eksenler oktahedron için ters yönde geçer: içinden yüzlerin ve köşelerin merkezleri (Şekil 12.19). Yani, 6.nın ayna ekseni

düzen oktahedronun zıt yüzlerinin merkezlerinden geçer.

Düzenli bir tetrahedronun simetri elemanlarına dönelim.

1. Her biri bir kenardan ve karşı kenarın ortasından geçen altı simetri düzlemi (Şekil 12.20a).

2. Karşılarındaki yüzlerin köşelerinden ve merkezlerinden geçen 3. dereceden dört eksen; tetrahedronun yükseklikleri boyunca (Şekil 12.20b).

3. Karşılıklı kaburgaların ortasından geçen, 4. dereceden ayna dönüşünün üç ekseni (Şekil 12.20c).

Tetrahedronun simetri merkezi yoktur.

Bir küpün içine iki normal tetrahedron sığdırabilirsiniz (Şekil 12.16). Küp kendi kendine hizalamalarda, bu tetrahedralar ya kendi kendine hizalanır ya da birbirleriyle eşleştirilir. Tetrahedronların küpün hangi kendi kendine hizalanmalarında kendi kendine hizalandıklarını ve hangilerinde birbirleriyle eşleştiklerini öğrenin.

İlk durumun tetrahedronun tüm kendi kendine hizalanmalarını ürettiğinden emin olun; böylece küp simetri grubu, küp simetri grubunu bir alt grup olarak içerir. (Madde 28.4'e bakınız).

Oniki yüzlü ve ikosahedron'un simetri grupları aynıdır, çünkü bu düzenli çokyüzlüler ikilitir.

birbirlerine. Bir simetri merkezine, simetri düzlemlerine, dönme simetrisi eksenlerine ve ayna dönme simetrisi eksenlerine sahiptirler. Bu simetri elemanlarının sonuncusu bulunması en zor olanıdır. Bunları nasıl inşa edeceğinizi size göstereceğiz.

İkosahedrondaki (ve ayrıca küpteki) ayna dönme simetrisinin eksenleri, bu çokyüzlünün zıt köşelerini birbirine bağlar (Şekil 12.21) ve dodekahedronda (oktahedronda olduğu gibi) bu eksenler, paralel yüzlerinin merkezlerinden geçer. (Şekil 12.22). Düzenli çokyüzlülerin simetri merkezlerinden geçen ve belirtilen eksenlere dik olan düzlemler, normal çokyüzlüler boyunca düzenli çokyüzlülerle kesişir (Şekil 12.23).

Özellikle oniki yüzlü ve ikosahedronu düzenli ongenler boyunca keserler (Şekil 12.23 d,e). Yukarıdan, ikosahedron ve dodekahedron'un altıncı ve onuncu derecelerin eksenlerine göre ayna dönüşleri ile kendi kendine hizalandığı anlaşılmaktadır.

İkosahedron ve dodekahedronun daha basit simetri unsurlarını - simetri düzlemleri ve dönme simetrisi eksenini - kendi başınıza bulun.