Aşağıdaki denklemleri göz önünde bulundurun:

1. 2*x + 3*y = 15;

2.x2 + y2 = 4;

4. 5*x3 + y2 = 8.

Yukarıda sunulan denklemlerin her biri iki değişkenli bir denklemdir. Koordinatları denklemi doğru sayısal eşitliğe dönüştüren koordinat düzlemindeki noktalar kümesine denir. iki bilinmeyenli bir denklemin grafiği.

İki Değişkenli Bir Denklemin Grafiğinin Çizilmesi

İki değişkenli denklemlerin grafikleri çok çeşitlidir. Örneğin, 2*x + 3*y = 15 denklemi için grafik düz bir çizgi olacaktır, x 2 + y 2 = 4 denklemi için grafik yarıçapı 2 olan bir daire olacaktır, y* denkleminin grafiği x = 1 bir hiperbol vb. olacaktır.

İki değişkenli tam denklemlerin de derece kavramı vardır. Bu derece, tek değişkenli bir denklemin tamamıyla aynı şekilde belirlenir. Bunu yapmak için denklemi, sol tarafı standart formun bir polinomu ve sağ tarafı sıfır olan bir forma getirin. Bu eşdeğer dönüşümler yoluyla yapılır.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

İki değişkenli iki denklemden oluşacak denklem sistemlerini nasıl çözeceğimizi bulalım. Bu tür sistemleri çözmek için grafiksel bir yöntem düşünelim.

Örnek 1. Denklem sistemini çözün:

(x2 + y2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Birinci ve ikinci denklemlerin grafiklerini aynı koordinat sisteminde oluşturalım. İlk denklemin grafiği, merkezi orijinde ve yarıçapı 5 olan bir daire olacaktır. İkinci denklemin grafiği, dalları aşağıya doğru uzanan bir parabol olacaktır.

Grafiklerdeki tüm noktaların her biri kendi denklemini karşılayacaktır. Hem birinci hem de ikinci denklemi sağlayacak noktaları bulmamız gerekiyor. Açıkçası bu iki grafiğin kesiştiği noktalar bunlar olacak.

Çizimimizi kullanarak bu noktaların kesiştiği koordinatların yaklaşık değerlerini buluyoruz. Aşağıdaki sonuçları alıyoruz:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Bu, denklem sistemimizin dört çözümü olduğu anlamına gelir.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Bu değerleri sistemimizin denklemlerinde yerine koyarsak birinci ve üçüncü çözümlerin yaklaşık, ikinci ve dördüncü çözümlerin ise kesin olduğunu görebiliriz. Grafiksel yöntem genellikle köklerin sayısını ve bunların yaklaşık sınırlarını tahmin etmek için kullanılır. Çözümler genellikle kesin olmaktan ziyade yaklaşıktır.

Giriş seviyesi

Fonksiyon grafiklerini kullanarak denklemleri, eşitsizlikleri ve sistemleri çözme. Görsel Kılavuz (2019)

Tamamen cebirsel olarak hesaplamaya alışkın olduğumuz birçok görev çok daha kolay ve daha hızlı çözülebilir; fonksiyon grafiklerinin kullanılması bu konuda bize yardımcı olacaktır. “Nasıl yani?” diyorsun. bir şey çiz ve ne çizmeli? İnanın bazen daha rahat ve daha kolaydır. Başlayalım mı? Denklemlerle başlayalım!

Denklemlerin grafik çözümü

Doğrusal denklemlerin grafiksel çözümü

Bildiğiniz gibi, doğrusal bir denklemin grafiği düz bir çizgidir, dolayısıyla bu tipin adı da buradan gelir. Doğrusal denklemlerin cebirsel olarak çözülmesi oldukça kolaydır - tüm bilinmeyenleri denklemin bir tarafına, bildiğimiz her şeyi diğer tarafına aktarıyoruz ve işte! Kökünü bulduk. Şimdi size nasıl yapılacağını göstereceğim grafiksel olarak.

Yani denkleminiz var:

Nasıl çözülür?
Seçenek 1 ve en yaygın olanı bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri ise diğer tarafa taşımaktır, şunu elde ederiz:

Şimdi inşa edelim. Ne aldın?

Sizce denklemimizin kökü nedir? Doğru, grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Bizim cevabımız

Grafik çözümün tüm bilgeliği budur. Kolayca kontrol edebileceğiniz gibi denklemimizin kökü bir sayıdır!

Yukarıda söylediğim gibi bu, cebirsel çözüme yakın en yaygın seçenektir, ancak bunu başka bir şekilde çözebilirsiniz. Alternatif bir çözüm düşünmek için denklemimize dönelim:

Bu sefer hiçbir şeyi yan yana taşımayacağız, ancak grafikler artık mevcut olduğundan doğrudan oluşturacağız:

İnşa mı edildi? Görelim!

Bu sefer çözüm ne? Bu doğru. Aynı şey grafiklerin kesişme noktasının koordinatı:

Ve yine cevabımız şu:

Gördüğünüz gibi doğrusal denklemlerde her şey son derece basittir. Daha karmaşık bir şeye bakmanın zamanı geldi... Örneğin, İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin grafik çözümü

Şimdi ikinci dereceden denklemi çözmeye başlayalım. Diyelim ki bu denklemin köklerini bulmanız gerekiyor:

Tabii ki, şimdi diskriminant yoluyla veya Vieta teoremine göre saymaya başlayabilirsiniz, ancak birçok kişi sinirden dolayı çarpma veya kare alma sırasında hata yapar, özellikle de örnek büyük sayılarla ise ve bildiğiniz gibi siz kazandınız Sınavda hesap makinem yok... Bu nedenle biraz rahatlayıp bu denklemi çözerken çizim yapmaya çalışalım.

Bu denklemin çözümleri grafiksel olarak çeşitli şekillerde bulunabilir. Farklı seçeneklere bakalım ve hangisini en çok beğendiğinizi seçebilirsiniz.

Yöntem 1. Doğrudan

Bu denklemi kullanarak basitçe bir parabol oluşturuyoruz:

Bunu hızlı bir şekilde yapmak için size küçük bir ipucu vereceğim: Parabolün tepe noktasını belirleyerek inşaata başlamak uygundur. Aşağıdaki formüller bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirlemeye yardımcı olacaktır:

“Durun!” diyeceksiniz. Formülü diskriminant bulma formülüne çok benziyor” evet öyle ve bu, köklerini bulmak için “doğrudan” bir parabol oluşturmanın büyük bir dezavantajı. Ancak, sonuna kadar sayalım ve sonra size bunu nasıl çok (çok!) daha kolay yapabileceğinizi göstereceğim!

Saydın mı? Parabolün tepe noktası için hangi koordinatları aldınız? Hadi birlikte çözelim:

Tamamen aynı cevap mı? Tebrikler! Ve şimdi tepe noktasının koordinatlarını zaten biliyoruz, ancak bir parabol oluşturmak için daha fazla noktaya ihtiyacımız var. Sizce minimum kaç puana ihtiyacımız var? Sağ, .

Bir parabolün tepe noktasına göre simetrik olduğunu biliyorsunuz, örneğin:

Buna göre parabolün sol veya sağ dalında iki noktaya daha ihtiyacımız var ve gelecekte bu noktaları simetrik olarak karşı tarafa yansıtacağız:

Parabolümüze dönelim. Bizim durumumuzda nokta. İki puana daha ihtiyacımız var, pozitif puanları mı alalım, negatif puanları mı? Sizin için en uygun noktalar hangileri? Olumlu olanlarla çalışmak benim için daha uygun, bu yüzden ve'de hesaplayacağım.

Artık üç noktamız var, son iki noktayı tepe noktasına göre yansıtarak parabolümüzü kolayca oluşturabiliriz:

Sizce denklemin çözümü nedir? Bu doğru, hangi noktalar, yani ve. Çünkü.

Ve eğer bunu söylersek, bunun da eşit olması gerektiği anlamına gelir veya.

Sadece? Denklemi karmaşık grafiksel bir şekilde çözmeyi bitirdik, yoksa daha fazlası olacak!

Elbette cevabımızı cebirsel olarak kontrol edebilirsiniz - kökleri Vieta teoremini veya Diskriminant'ı kullanarak hesaplayabilirsiniz. Ne aldın? Aynısı? Anlıyorsun! Şimdi çok basit bir grafik çözümüne bakalım, gerçekten beğeneceğinize eminim!

Yöntem 2. Çeşitli işlevlere ayrılmıştır

Aynı denklemimizi alalım: , ancak biraz farklı yazacağız:

Bunu şu şekilde yazabilir miyiz? Dönüşüm eşdeğer olduğundan bunu yapabiliriz. Daha ileriye bakalım.

İki fonksiyonu ayrı ayrı oluşturalım:

1. - grafik, formülleri kullanarak tepe noktasını tanımlamadan ve diğer noktaları belirlemek için bir tablo çizmeden bile kolayca oluşturabileceğiniz basit bir paraboldür.
2. - grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

İnşa mı edildi? Aldıklarımla karşılaştıralım:

Sizce bu durumda denklemin kökleri nelerdir? Sağ! İki grafiğin kesişmesiyle elde edilen koordinatlar ve yani:

Buna göre bu denklemin çözümü:

Sen ne diyorsun? Katılıyorum, bu çözüm yöntemi öncekinden çok daha kolay ve hatta ayrımcı aracılığıyla kökleri aramaktan daha kolay! Eğer öyleyse, bu yöntemi kullanarak aşağıdaki denklemi çözmeyi deneyin:

Ne aldın? Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Grafikler cevapların şöyle olduğunu gösteriyor:

Başarabildin mi? Tebrikler! Şimdi denklemlere biraz daha karmaşık bakalım, yani karışık denklemleri, yani farklı türde fonksiyonlar içeren denklemleri çözelim.

Karışık denklemlerin grafiksel çözümü

Şimdi aşağıdakileri çözmeye çalışalım:

Elbette, ODZ'yi hesaba katmayı unutmadan her şeyi ortak bir paydaya getirebilir, ortaya çıkan denklemin köklerini bulabilirsiniz, ancak yine önceki tüm durumlarda yaptığımız gibi bunu grafiksel olarak çözmeye çalışacağız.

Bu sefer aşağıdaki 2 grafiği oluşturalım:

1. - grafik bir hiperboldür
2. - Grafik, hesap makinesine bile başvurmadan kafanızdaki değerleri tahmin ederek kolayca oluşturabileceğiniz düz bir çizgidir.

Anladın mı? Şimdi inşaata başlayın.

İşte elde ettiklerim:

Bu resme bakarak bana denklemimizin köklerinin neler olduğunu söyleyin?

Bu doğru ve. İşte onay:

Köklerimizi denklemin içine yerleştirmeyi deneyin. İşe yaradı mı?

Bu doğru! Katılıyorum, bu tür denklemleri grafiksel olarak çözmek bir zevk!

Denklemi grafiksel olarak kendiniz çözmeye çalışın:

Size bir ipucu vereceğim: Denklemin bir kısmını sağ tarafa taşıyın, böylece oluşturulabilecek en basit fonksiyonlar her iki tarafta da olur. İpucunu aldın mı? Harekete geçin!

Şimdi ne elde ettiğinizi görelim:

Sırasıyla:

1. - kübik parabol.
2. - sıradan düz çizgi.

Peki, hadi inşa edelim:

Uzun zaman önce yazdığınız gibi, bu denklemin kökü - .

Bu kadar çok örnek üzerinde çalıştıktan sonra eminim ki denklemleri grafiksel olarak çözmenin ne kadar kolay ve hızlı olduğunu fark etmişsinizdir. Sistemleri bu şekilde nasıl çözeceğimizi bulmanın zamanı geldi.

Sistemlerin grafik çözümü

Sistemlerin grafiksel olarak çözülmesi, denklemlerin grafiksel olarak çözülmesinden esasen farklı değildir. Ayrıca iki grafik oluşturacağız ve bunların kesişim noktaları bu sistemin kökleri olacak. Bir grafik bir denklemdir, ikinci grafik başka bir denklemdir. Her şey son derece basit!

En basit şeyle başlayalım - doğrusal denklem sistemlerini çözerek.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme

Diyelim ki aşağıdaki sisteme sahibiz:

İlk önce, onu, solda bağlantılı olan her şey ve sağda bağlantılı olan her şey olacak şekilde dönüştürelim. Başka bir deyişle, bu denklemleri her zamanki formumuzda bir fonksiyon olarak yazalım:

Şimdi sadece iki düz çizgi oluşturuyoruz. Bizim durumumuzda çözüm nedir? Sağ! Bunların kesiştiği nokta! Ve burada çok ama çok dikkatli olmalısın! Bir düşünün, neden? Size bir ipucu vereyim: Bir sistemle karşı karşıyayız: Sistemde her ikisi de var ve... İpucunu anladınız mı?

Bu doğru! Bir sistemi çözerken sadece denklem çözerken değil, her iki koordinata da bakmalıyız! Bir diğer önemli nokta ise bunları doğru yazmak ve anlamın nerede olduğu ile anlamın nerede olduğunu karıştırmamak! Bunu yazdın mı? Şimdi her şeyi sırayla karşılaştıralım:

Ve cevaplar: ve. Bir kontrol yapın - bulunan kökleri sisteme yerleştirin ve bunu grafiksel olarak doğru çözüp çözmediğimizden emin olun?

Doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme

Peki ya tek bir düz çizgi yerine ikinci dereceden bir denklemimiz varsa? Sorun değil! Düz bir çizgi yerine sadece bir parabol oluşturuyorsunuz! Bana inanmıyor musun? Aşağıdaki sistemi çözmeyi deneyin:

Bir sonraki adımımız nedir? Doğru, grafik oluşturmamızı kolaylaştıracak şekilde yazın:

Artık her şey küçük meselelerden ibaret; hızlı bir şekilde oluşturun ve işte çözümünüz! Biz inşa ediyoruz:

Grafikler aynı mı çıktı? Şimdi sistemin çözümlerini şekilde işaretleyin ve belirlenen cevapları doğru bir şekilde yazın!

Her şeyi yaptın mı? Notlarımla karşılaştırın:

Her şey yolunda mı? Tebrikler! Zaten bu tür görevleri deli gibi başarıyorsunuz! Öyleyse size daha karmaşık bir sistem verelim:

Ne yapıyoruz? Sağ! Sistemi, inşa edilmesi uygun olacak şekilde yazıyoruz:

Sistem çok karmaşık göründüğü için size küçük bir ipucu vereceğim! Grafikler oluştururken onları "daha fazla" oluşturun ve en önemlisi kesişme noktalarının sayısına şaşırmayın.

Öyleyse gidelim! Nefes aldın mı? Şimdi inşa etmeye başlayın!

Peki nasıl? Güzel? Kaç tane kesişim noktası elde ettiniz? Üç tane var! Grafiklerimizi karşılaştıralım:

Ayrıca? Şimdi sistemimizin tüm çözümlerini dikkatlice yazın:

Şimdi sisteme tekrar bakın:

Bunu sadece 15 dakikada çözdüğünüzü hayal edebiliyor musunuz? Katılıyorum, matematik hala basit, özellikle bir ifadeye baktığınızda hata yapmaktan korkmuyorsunuz, sadece onu alın ve çözün! Harikasın!

Eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Doğrusal eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Son örnekten sonra her şeyi yapabilirsiniz! Şimdi nefes verin; önceki bölümlerle karşılaştırıldığında bu çok ama çok kolay olacak!

Her zamanki gibi doğrusal eşitsizliğin grafiksel çözümüyle başlayacağız. Örneğin, bu:

Öncelikle en basit dönüşümleri gerçekleştirelim - tam karelerin parantezlerini açalım ve benzer terimleri sunalım:

Eşitsizlik katı değildir, bu nedenle aralığa dahil edilmez ve çözüm, daha fazla, daha fazla vb. olduğundan sağdaki tüm noktalar olacaktır:

Cevap:

İşte bu! Kolayca? İki değişkenli basit bir eşitsizliği çözelim:

Koordinat sisteminde bir fonksiyon çizelim.

Böyle bir program aldınız mı? Şimdi burada hangi eşitsizliğin olduğuna dikkatlice bakalım. Az? Bu, düz çizgimizin solundaki her şeyin üzerini boyayacağımız anlamına gelir. Ya daha fazlası olsaydı? Doğru, o zaman düz çizgimizin sağındaki her şeyin üzerini boyardık. Çok basit.

Bu eşitsizliğin tüm çözümleri turuncu renkle gölgelenmiştir. İşte bu, iki değişkenli eşitsizlik çözüldü. Bu, taralı alandaki herhangi bir noktanın koordinatlarının çözüm olduğu anlamına gelir.

İkinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi ikinci dereceden eşitsizliklerin grafiksel olarak nasıl çözüleceğini anlayacağız.

Ancak işe başlamadan önce ikinci dereceden fonksiyonla ilgili bazı materyalleri gözden geçirelim.

Ayrımcı neyden sorumludur? Grafiğin eksene göre konumu için bu doğru (bunu hatırlamıyorsanız ikinci dereceden fonksiyonlarla ilgili teoriyi mutlaka okuyun).

Her durumda, işte size küçük bir hatırlatma:

Artık hafızamızdaki tüm materyali yenilediğimize göre, işe koyulalım; eşitsizliği grafiksel olarak çözelim.

Bunu çözmek için iki seçeneğin olduğunu hemen söyleyeceğim.

Seçenek 1

Parabolümüzü fonksiyon olarak yazıyoruz:

Formülleri kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını belirleriz (ikinci dereceden denklemleri çözerken olduğu gibi):

Saydın mı? Ne aldın?

Şimdi iki farklı noktayı daha alalım ve onlar için hesaplayalım:

Parabolün bir dalını oluşturmaya başlayalım:

Noktalarımızı simetrik olarak parabolün başka bir dalına yansıtıyoruz:

Şimdi eşitsizliğimize dönelim.

Sırasıyla sıfırdan küçük olmasına ihtiyacımız var:

Eşitsizliğimizde işaret kesinlikle küçük olduğundan, uç noktaları - "delinme" - hariç tutuyoruz.

Cevap:

Uzun yol, değil mi? Şimdi size aynı eşitsizlik örneğini kullanarak grafiksel çözümün daha basit bir versiyonunu göstereceğim:

Seçenek 2

Eşitsizliğimize dönüyoruz ve ihtiyacımız olan aralıkları işaretliyoruz:

Katılıyorum, çok daha hızlı.

Şimdi cevabı yazalım:

Cebirsel kısmı basitleştiren başka bir çözümü ele alalım, ancak asıl önemli olan kafanızın karışmamasıdır.

Sol ve sağ tarafları şu şekilde çarpın:

Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği istediğiniz şekilde kendiniz çözmeye çalışın: .

Başarabildin mi?

Grafiğimin nasıl ortaya çıktığına bakın:

Cevap: .

Karışık eşitsizliklerin grafiksel çözümü

Şimdi daha karmaşık eşitsizliklere geçelim!

Bunu nasıl buldun:

Tüyler ürpertici, değil mi? Dürüst olmak gerekirse, bunu cebirsel olarak nasıl çözeceğime dair hiçbir fikrim yok... Ama bu gerekli değil. Grafiksel olarak bu konuda karmaşık bir şey yok! Gözler korkuyor ama eller yapıyor!

Başlayacağımız ilk şey iki grafik oluşturmaktır:

Her biri için bir tablo yazmayacağım - eminim bunu kendi başınıza mükemmel bir şekilde yapabilirsiniz (vay be, çözülecek o kadar çok örnek var ki!).

Boyadın mı? Şimdi iki grafik oluşturun.

Çizimlerimizi karşılaştıralım mı?

Senin için de aynı şey geçerli mi? Harika! Şimdi kesişim noktalarını düzenleyelim ve teoride hangi grafiğin daha büyük olması gerektiğini belirlemek için renk kullanalım. Bakın sonunda ne oldu:

Şimdi seçtiğimiz grafiğin grafikten nerede daha yüksek olduğuna bakalım. Bir kalem alıp bu alanı boyamaktan çekinmeyin! Karmaşık eşitsizliğimize çözüm olacak!

Eksen boyunca hangi aralıklarda daha yüksekte bulunuyoruz? Sağ, . Cevap bu!

Artık her denklemi, her sistemi ve hatta her türlü eşitsizliği halledebilirsiniz!

ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Fonksiyon grafiklerini kullanarak denklemleri çözmek için algoritma:

1. Bunu şu şekilde ifade edelim
2. Fonksiyon tipini tanımlayalım
3. Ortaya çıkan fonksiyonların grafiklerini oluşturalım
4. Grafiklerin kesişim noktalarını bulalım
5. Cevabı doğru yazalım (ODZ ve eşitsizlik işaretlerini dikkate alarak)
6. Cevabı kontrol edelim (kökleri denklemin veya sistemin yerine koyalım)

Fonksiyon grafikleri oluşturma hakkında daha fazla bilgi için “” konusuna bakın.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin amaçları ve hedefleri:

• denklem sistemlerini grafiksel yöntemle çözme becerilerini geliştirmeye yönelik çalışmalara devam etmek;
• iki doğrusal denklem sisteminin çözüm sayısı hakkında araştırma yapmak ve sonuçlar çıkarmak;
• Oyun yoluyla konuya olan ilgiyi geliştirin.

DERSİN İLERLEMESİ

1. Organizasyon anı (Planlama toplantısı)– 2 dakika

- Tünaydın! Geleneksel planlama toplantımıza başlıyoruz. Bugün bizi ziyaret eden herkesi laboratuvarımızda ağırlamaktan mutluluk duyuyoruz (misafirleri temsil ediyorum). Laboratuvarımızın adı: “İLGİ VE ZEVKLE ÇALIŞIN”(slayt 2 gösteriliyor). İsim, çalışmalarımızda bir slogan görevi görüyor. “İlgiyle ve keyifle yaratın, karar verin, öğrenin, başarın" Değerli misafirlerimiz, sizlere laboratuvarımızın başkanlarını tanıtıyorum (slayt 3).
Laboratuvarımız bilimsel çalışmaların incelenmesi, araştırma, inceleme ve yaratıcı projelerin oluşturulmasına yönelik çalışmalar yapmaktadır.
Bugünkü tartışmamızın konusu: “Doğrusal denklem sistemlerinin grafiksel çözümü.” (Dersin konusunu yazmanızı öneririm)

Günün programı:(slayt 4)

1. Planlama toplantısı
2. Genişletilmiş akademik konsey:

• Konuyla ilgili konuşmalar
• Çalışma izni

3. Uzmanlık
4. Araştırma ve keşif
5. Yaratıcı proje
6. Rapor
7. Planlama

2. Soru sorma ve sözlü çalışma (Genişletilmiş Akademik Konsey)– 10 dakika

– Bugün sadece bölüm başkanlarının değil, ekibimizin tüm üyelerinin katıldığı genişletilmiş bir akademik konsey düzenliyoruz. Laboratuvar, “Doğrusal denklem sistemlerinin grafiksel çözümü” konusu üzerinde çalışmaya yeni başladı. Bu konuda en yüksek başarıları elde etmeye çalışmalıyız. Laboratuvarımız bu konudaki araştırmalarının kalitesiyle tanınmalıdır. Kıdemli bir araştırmacı olarak herkese iyi şanslar diliyorum!

Araştırma sonuçları laboratuvar sorumlusuna rapor edilecektir.

Denklem sistemlerinin çözümüne ilişkin bir raporun zemini... (Öğrenciyi tahtaya çağırırım). Göreve bir görev veriyorum (kart 1).

Ve laboratuvar asistanı... (soyadını veriyorum) size modüllü bir fonksiyonun grafiğinin nasıl çizileceğini hatırlatacak. Sana 2. kartı veriyorum.

Kart 1(slayt 7'deki görevin çözümü)

Denklem sistemini çözün:

Kart 2(slayt 9'daki görevin çözümü)

Fonksiyonun grafiğini çizin: y = | 1,5x – 3 |

Personel rapora hazırlanırken ben de sizin araştırmayı tamamlamaya ne kadar hazır olduğunuzu kontrol edeceğim. Her birinizin çalışma izni alması gerekiyor. (Cevapları not defterine yazarak sözlü saymaya başlıyoruz)

Çalışma izni(slayt 5 ve 6'daki görevler)

1) Ekspres en başından sonuna kadar X:

3x + y = 4 (y = 4 – 3x)
5x – y = 2 (y = 5x – 2)
1/2y – x = 7 (y = 2x + 14)
2x + 1/3y – 1 = 0 (y = – 6x + 3)

2) Denklemi çözün:

5x + 2 = 0 (x = – 2/5)
4x – 3 = 0 (x = 3/4)
2 – 3x = 0 (x = 2/3)
1/3x + 4 = 0 (x = – 12)

3) Bir denklem sistemi verildiğinde:

Bu denklem sisteminin çözümü (– 1; 1) veya (1; – 1) sayı çiftlerinden hangisidir?

Cevap: (1; – 1)

Sözlü hesaplamanın her bir parçasından hemen sonra, öğrenciler not defterlerini değiştirirler (aynı bölümde yanlarında oturan bir öğrenciyle), doğru cevaplar slaytlarda görünür; Müfettiş artı veya eksi verir. Çalışmanın sonunda bölüm başkanları sonuçları özet tablosuna girer (aşağıya bakın); Her örnek için 1 puan verilmektedir (9 puan almak mümkündür).
5 veya daha fazla puan alan kişilere çalışma izni veriliyor. Geri kalanı şartlı kabul alıyor, yani. Bölüm başkanının gözetiminde çalışması gerekecektir.

Tablo (patron tarafından doldurulur)

(Tablolar ders başlamadan önce düzenlenir)

Başvuruyu aldıktan sonra öğrencilerin cevaplarını tahtada dinliyoruz. Cevap için öğrenci, cevap eksiksizse 9 puan (kabul için maksimum sayı), cevap eksikse 4 puan alır. Puanlar “giriş” sütununa girilir.
Tahtadaki çözüm doğruysa 7 ve 9 numaralı slaytların gösterilmesine gerek yoktur. Çözüm doğruysa ancak açıkça uygulanmadıysa veya çözüm yanlışsa slaytlar açıklamalarla birlikte gösterilmelidir.
Öğrencinin 1. karttaki cevabından sonra her zaman 8. slaydı gösteririm. Bu slaytta varılan sonuçlar ders için önemlidir.

Sistemleri grafiksel olarak çözmek için algoritma:

• Sistemin her denkleminde y'yi x cinsinden ifade edin.
• Sistemin her denkleminin grafiğini çizin.
• Grafiklerin kesişim noktalarının koordinatlarını bulun.
• Bir kontrol yapın (Öğrencilerin dikkatini grafik yönteminin genellikle yaklaşık bir çözüm verdiğine çekiyorum, ancak grafiklerin kesişimi tam koordinatlara sahip bir noktaya çarpıyorsa kontrol edip kesin bir cevap alabilirsiniz).
• Cevabı yazın.

3. Alıştırmalar (Sınav)– 5 dakika

Dün bazı çalışanların çalışmalarında ciddi hatalar yapıldı. Bugün grafik çözümleri konusunda zaten daha yetkinsiniz. Önerilen çözümlerin incelemesini yapmaya davetlisiniz; Çözümlerdeki hataları bulun. Slayt 10 gösterilmektedir.
Müdürlüklerde çalışmalar sürüyor. (Hatalı ödevlerin fotokopileri her masaya verilir; her bölümde çalışanlar hataları bulup vurgulamalı veya düzeltmelidir; fotokopiler kıdemli araştırmacıya yani öğretmene teslim edilmelidir). Patron hatayı bulup düzeltenlere 2 puan ekler. Daha sonra yapılan hataları tartışıyoruz ve bunları 10. slaytta gösteriyoruz.

Hata 1

Denklem sistemini çözün:

Cevap: Çözüm yok.

Öğrenciler çizgiler kesişene kadar devam etmeli ve şu cevabı almalıdır: (– 2; 1).

Hata 2.

Denklem sistemini çözün:

Cevap: (1; 4).

Öğrenciler ilk denklemin dönüşümündeki hatayı bulmalı ve bitmiş çizimde düzeltmelidir. Başka bir cevap alın: (2; 5).

4. Yeni materyalin açıklanması (Araştırma ve keşif)– 12 dakika

Öğrencilere üç sistemi grafiksel olarak çözmelerini öneririm. Her öğrenci bağımsız olarak bir defterde çözer. Yalnızca şartlı izne sahip olanlar danışabilir.

Çözüm

Grafik çizmeden düz çizgilerin çakışacağı açıktır.

Slayt 11 sistem çözümünü göstermektedir; Öğrencilerin 3. örnekteki cevabı yazarken zorluk yaşamaları bekleniyor. Bölümlerde çalıştıktan sonra çözümü kontrol ediyoruz (patron doğru olana 2 puan ekliyor). Şimdi iki doğrusal denklem sisteminin kaç çözümü olabileceğini tartışmanın zamanı geldi.
Öğrenciler kendi başlarına sonuçlar çıkarmalı ve bunları bir düzlem üzerindeki çizgilerin göreceli konumlarının durumlarını listeleyerek açıklamalıdır (slayt 12).

5. Yaratıcı proje (Alıştırmalar)– 12 dakika

Görev departmana verilir. Patron, her laboratuvar asistanına yeteneklerine göre performansının bir kısmını verir.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak çözün:

Parantezleri açtıktan sonra öğrenciler sistemi almalıdır:

Parantez açıldıktan sonra ilk denklem şu şekilde görünür: y = 2/3x + 4.

6. Rapor (görevin tamamlandığının kontrol edilmesi)– 2 dakika

Yaratıcı bir projeyi tamamladıktan sonra öğrenciler not defterlerini teslim ederler. 13. slaytta ne olması gerektiğini gösteriyorum. Patronlar masayı teslim ediyor. Son sütun öğretmen tarafından doldurulur ve işaretlenir (notlar bir sonraki derste öğrencilere iletilebilir). Projede ilk sistemin çözümü üç puanla, ikinci sistemin çözümü ise dört puanla değerlendiriliyor.

7. Planlama (özetleme ve ödev)– 2 dakika

Çalışmamızı özetleyelim. İyi bir iş çıkardık. Yarınki planlama toplantısında sonuçlar hakkında özellikle konuşacağız. Tabii ki, istisnasız tüm laboratuvar asistanları denklem sistemlerini çözmenin grafiksel yönteminde uzmanlaştı ve bir sistemin kaç çözümü olabileceğini öğrendi. Yarın her birinizin kişisel bir projesi olacak. Ek hazırlık için: paragraf 36; 647-649(2); Sistemleri çözmek için analitik yöntemleri tekrarlayın. 649(2) ve analitik olarak çözün.

Çalışmalarımız gün boyunca laboratuvarın müdürü Nouman Nou Manovich tarafından denetlendi. Onun zemini var. (Son slayt gösteriliyor).

Yaklaşık not ölçeği

Bu derste iki değişkenli iki denklem sisteminin çözümüne bakacağız. İlk olarak, iki doğrusal denklem sisteminin grafiksel çözümüne ve bunların grafik setinin özelliklerine bakalım. Daha sonra grafik yöntemini kullanarak birkaç sistemi çözeceğiz.

Konu: Denklem sistemleri

Ders: Bir denklem sistemini çözmek için grafiksel yöntem

Sistemi düşünün

Sistemin hem birinci hem de ikinci denkleminin çözümü olan sayı çiftine ne ad verilir? bir denklem sistemini çözme.

Bir denklem sistemini çözmek, onun tüm çözümlerini bulmak veya hiçbir çözümün olmadığını tespit etmek anlamına gelir. Temel denklemlerin grafiklerine baktık, sistemleri dikkate almaya geçelim.

Örnek 1. Sistemi çözün

Çözüm:

Bunlar doğrusal denklemlerdir, her birinin grafiği düz bir çizgidir. Birinci denklemin grafiği (0; 1) ve (-1; 0) noktalarından geçer. İkinci denklemin grafiği (0; -1) ve (-1; 0) noktalarından geçer. Doğrular (-1; 0) noktasında kesişiyor, bu denklem sisteminin çözümüdür ( Pirinç. 1).

Sistemin çözümü bir sayı çiftidir. Bu sayı çiftini her denklemde yerine koyarak doğru eşitliği elde ederiz.

Lineer sisteme benzersiz bir çözüm elde ettik.

Doğrusal bir sistemi çözerken aşağıdaki durumların mümkün olduğunu hatırlayın:

sistemin benzersiz bir çözümü var - çizgiler kesişiyor,

sistemin çözümü yok - çizgiler paralel,

sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır - düz çizgiler çakışır.

p(x; y) ve q(x; y), x ve y'nin doğrusal ifadeleri olduğunda sistemin özel bir durumunu düşündük.

Örnek 2. Bir denklem sistemini çözün

Çözüm:

Birinci denklemin grafiği düz bir çizgi, ikinci denklemin grafiği ise bir dairedir. İlk grafiği noktalara göre oluşturalım (Şekil 2).

Çemberin merkezi O(0; 0) noktasındadır ve yarıçapı 1'dir.

Grafikler A(0; 1) noktasında ve B(-1; 0) noktasında kesişir.

Örnek 3. Sistemi grafiksel olarak çözün

Çözüm: İlk denklemin grafiğini oluşturalım; merkezi t.O(0; 0) ve yarıçapı 2 olan bir dairedir. İkinci denklemin grafiği bir paraboldür. Orijine göre 2 birim yukarı kaydırılır, yani. tepe noktası (0; 2) noktasıdır (Şekil 3).

Grafiklerin tek bir ortak noktası vardır; yani A(0; 2). Sistemin çözümüdür. Doğru olup olmadığını kontrol etmek için denklemin içine birkaç sayı koyalım.

Örnek 4. Sistemi çözün

Çözüm: İlk denklemin grafiğini oluşturalım - bu, merkezi t.O(0; 0) ve yarıçapı 1 olan bir dairedir (Şekil 4).

Fonksiyonu çizelim. Bu kesikli bir çizgidir (Şekil 5).

Şimdi onu oy ekseni boyunca 1 aşağı kaydıralım. Bu fonksiyonun grafiği olacak

Her iki grafiği de aynı koordinat sistemine yerleştirelim (Şekil 6).

Üç kesişim noktası elde ederiz - A noktası(1; 0), B noktası(-1; 0), C(0; -1) noktası.

Sistemleri çözmek için grafiksel yönteme baktık. Her denklemin grafiğini çizip kesişme noktalarının koordinatlarını bulabilirseniz bu yöntem oldukça yeterlidir.

Ancak çoğu zaman grafiksel yöntem, sistemin yalnızca yaklaşık bir çözümünü bulmayı veya çözüm sayısıyla ilgili soruyu yanıtlamayı mümkün kılar. Bu nedenle, daha doğru olan başka yöntemlere ihtiyaç vardır ve bunları sonraki derslerde ele alacağız.

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Ders Kitabı. Genel eğitim için Kurumlar.- 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: hasta.

2. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta.

3. Makarychev N. Cebir. 9. sınıf: eğitici. genel eğitim öğrencileri için. kurumlar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Cebir. 9. sınıf. 16. baskı. - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. baskı, silindi. - M.: 2010. - 224 s.: hasta.

6. Cebir. 9. sınıf. 2 bölüm halinde Bölüm 2. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ve diğerleri; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. baskı, rev. - M.: 2010.-223 s.: hasta.

1. College.ru'nun matematik bölümü ().

2. İnternet projesi “Görevler” ().

3. Eğitim portalı “Birleşik Devlet Sınavını ÇÖZECEĞİM” ().

1. Mordkovich A.G. ve diğerleri Cebir 9. sınıf: Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina, vb. - 4. baskı. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: hasta. 105, 107, 114, 115.