Farklı paydalara sahip denklemlerin çözümü. Çevrimiçi denklemler

Kesirli denklemler zor değildir ve çok ilginçtir. Kesirli denklem türlerine ve bunların nasıl çözüleceğine bakalım.

Payda x olan kesirli denklemler nasıl çözülür?

Bilinmeyenlerin payda olduğu kesirli bir denklem verilirse, çözüm ek koşullar gerektirmez ve gereksiz güçlükler olmadan çözülür. Böyle bir denklemin genel formu x/a + b = c'dir; burada x bilinmeyen, a, b ve c ise sıradan sayılardır.

X'i bulun: x/5 + 10 = 70.

Denklemi çözmek için kesirlerden kurtulmanız gerekir. Denklemdeki her terimi 5 ile çarpın: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x ve 5 sadeleştirilir, 10 ve 70 5 ile çarpılır ve şunu elde ederiz: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

X'i bulun: x/5 + x/10 = 90.

Bu örnek, ilkinin biraz daha karmaşık bir versiyonudur. Burada iki olası çözüm var.

Seçenek 1: Denklemin tüm terimlerini daha büyük bir paydayla yani 10 ile çarparak kesirlerden kurtuluruz: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
Seçenek 2: Denklemin sol tarafını ekleyin. x/5 + x/10 = 90. Ortak payda 10. 10'u 5'e bölüp x ile çarparsak 2x elde ederiz. 10'u 10'a bölüp x ile çarparsak x: 2x+x/10 = 90 elde ederiz. Dolayısıyla 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

X'lerin eşit işaretinin zıt taraflarında olduğu kesirli denklemlerle sıklıkla karşılaşırız. Bu gibi durumlarda X'li tüm kesirleri bir tarafa, sayıları da diğer tarafa taşımak gerekir.

X'i bulun: 3x/5 = 130 – 2x/5.
2x/5'i ters işaretle sağa doğru hareket ettirin: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
5x/5'i azaltırsak x = 130 elde ederiz.

Paydada x olan kesirli bir denklem nasıl çözülür?

Bu tür kesirli denklemler ek koşulların yazılmasını gerektirir. Bu koşulların belirtilmesi doğru kararın zorunlu ve ayrılmaz bir parçasıdır. Bunları eklemeyerek riske girersiniz çünkü cevap (doğru olsa bile) sayılmayabilir.

X'in paydada olduğu kesirli denklemlerin genel formu şöyledir: a/x + b = c, burada x bilinmeyendir, a, b, c sıradan sayılardır. Lütfen x'in herhangi bir sayı olmayabileceğini unutmayın. Örneğin x, 0'a bölünemediği için sıfıra eşit olamaz. Bu tam olarak belirtmemiz gereken ek koşuldur. Buna izin verilen değerler aralığı denir ve OA olarak kısaltılır.

x'i bulun: 15/x + 18 = 21.

Hemen x: x ≠ 0 için ODZ'yi yazıyoruz. Artık ODZ belirtildiğine göre, denklemi standart şemaya göre kesirlerden kurtularak çözüyoruz. Denklemin tüm terimlerini x ile çarpın. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Çoğu zaman paydanın yalnızca x'i değil aynı zamanda onunla toplama veya çıkarma gibi başka işlemleri de içerdiği denklemler vardır.

x: 15/(x-3) + 18 = 21'i bulun.

Paydanın sıfıra eşit olamayacağını zaten biliyoruz, bu da x-3 ≠ 0 anlamına gelir. -3'ü sağa kaydırıp "-" işaretini "+" olarak değiştiririz ve x ≠ 3 sonucunu elde ederiz. ODZ, belirtildi.

Denklemi çözüyoruz, her şeyi x-3 ile çarpıyoruz: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

X'leri sağa, sayıları sola hareket ettirin: 24 = 3x => x = 8.

Bu denklemi basitleştirmek için en düşük ortak payda kullanılır. Bu yöntem, belirli bir denklemi denklemin her iki tarafında bir rasyonel ifadeyle yazamadığınız (ve çapraz çarpma yöntemini kullanamadığınız) durumlarda kullanılır. Bu yöntem, size 3 veya daha fazla kesirli rasyonel bir denklem verildiğinde kullanılır (iki kesir olması durumunda çapraz çarpımı kullanmak daha iyidir).

Kesirlerin en küçük ortak paydasını (veya en küçük ortak katını) bulun. NOZ, her paydaya eşit olarak bölünebilen en küçük sayıdır.

Bazen NPD bariz bir sayıdır. Örneğin x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 denklemi verilirse 3, 2 ve 6 sayılarının en küçük ortak katının 6 olduğu açıktır.
BOH açık değilse, en büyük paydanın katlarını yazın ve bunların arasından diğer paydaların katı olacak olanı bulun. Çoğunlukla NOD basitçe iki paydanın çarpılmasıyla bulunabilir. Örneğin denklem x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 olarak verilirse NOS = 8*9 = 72 olur.
Bir veya daha fazla payda bir değişken içeriyorsa süreç biraz daha karmaşık hale gelir (ancak imkansız değildir). Bu durumda NOC, her paydaya bölünen bir ifadedir (bir değişken içerir). Örneğin, 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) denkleminde, çünkü bu ifade her paydaya bölünür: 3x(x-1)/(x) -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Her kesrin payını ve paydasını, NOC'yi her kesrin karşılık gelen paydasına bölmenin sonucuna eşit bir sayı ile çarpın.

Örneğimizde, 2x/6 elde etmek için x/3'ü 2/2 ile çarpın ve 3/6 elde etmek için 1/2'yi 3/3 ile çarpın (3x +1/6 kesrinin çarpılmasına gerek yoktur çünkü payda 6'dır).
Değişken paydada olduğunda da benzer şekilde ilerleyin. İkinci örneğimizde, NOZ = 3x(x-1), dolayısıyla 5(3x)/(3x)(x-1) elde etmek için 5/(x-1)'i (3x)/(3x) ile çarpın; 1/x 3(x-1)/3(x-1) ile çarpıldığında 3(x-1)/3x(x-1) elde edilir; 2/(3x) (x-1)/(x-1) ile çarpıldığında 2(x-1)/3x(x-1) elde edilir.

x'i bulun. Artık kesirleri ortak bir paydaya indirdiğinize göre paydadan kurtulabilirsiniz. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafını ortak paydayla çarpın. Daha sonra ortaya çıkan denklemi çözün, yani "x" i bulun. Bunu yapmak için değişkeni denklemin bir tarafında izole edin.

Örneğimizde: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Aynı paydaya sahip 2 kesir toplayabilirsiniz, dolayısıyla denklemi şu şekilde yazın: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Denklemin her iki tarafını da 6 ile çarpın ve paydalardan kurtulun: 2x+3 = 3x +1. Çözün ve x = 2 elde edin.
İkinci örneğimizde (paydasında bir değişken varken), denklem şöyle görünür (ortak bir paydaya indirildikten sonra): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Denklemin her iki tarafını N3 ile çarparak paydadan kurtulursunuz ve şunu elde edersiniz: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) veya 15x = 3x - 3 + 2x -2 veya 15x = x - 5 Çözün ve şunu elde edin: x = -5/14.

Kesirli Denklem ÇözmeÖrneklere bakalım. Örnekler basit ve açıklayıcıdır. Onların yardımıyla en anlaşılır şekilde anlayabileceksiniz.
Örneğin basit x/b + c = d denklemini çözmeniz gerekir.

Bu tür bir denkleme doğrusal denir çünkü Payda yalnızca sayıları içerir.

Çözüm, denklemin her iki tarafının b ile çarpılmasıyla gerçekleştirilir, ardından denklem x = b*(d – c) formunu alır, yani. kesrin sol tarafındaki paydası birbirini götürür.

Örneğin, kesirli bir denklemin nasıl çözüleceği:
x/5+4=9
Her iki tarafı da 5 ile çarparız. Şunu elde ederiz:
x+20=45
x=45-20=25

Bilinmeyenlerin paydada olduğu başka bir örnek:

Bu tür denklemlere kesirli-rasyonel veya basitçe kesirli denir.

Kesirli bir denklemi kesirlerden kurtularak çözeriz, bundan sonra bu denklem çoğu zaman olağan şekilde çözülen doğrusal veya ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Aşağıdaki noktaları dikkate almanız yeterlidir:

paydayı 0'a getiren değişkenin değeri kök olamaz;
Bir denklemi =0 ifadesine bölemez veya çarpamazsınız.

İzin verilen değerler bölgesi (ADV) kavramının yürürlüğe girdiği yer burasıdır - bunlar, denklemin anlamlı olduğu denklemin köklerinin değerleridir.

Bu nedenle denklemi çözerken kökleri bulmak ve ardından ODZ'ye uygunluklarını kontrol etmek gerekir. ODZ'mize uymayan kökler yanıtın dışında bırakılır.

Örneğin, kesirli bir denklemi çözmeniz gerekir:

Yukarıdaki kurala göre x = 0 olamaz, yani. Bu durumda ODZ: x – sıfırdan farklı herhangi bir değer.

Denklemin tüm terimlerini x ile çarparak paydadan kurtuluruz

Ve olağan denklemi çözüyoruz

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Cevap: x = 1/3

Daha karmaşık bir denklemi çözelim:

ODZ burada da mevcuttur: x -2.

Bu denklemi çözerken her şeyi bir tarafa taşıyıp kesirleri ortak paydaya getirmeyeceğiz. Hemen denklemin her iki tarafını da tüm paydaları aynı anda iptal edecek bir ifadeyle çarpacağız.

Paydaları azaltmak için sol tarafı x+2 ile, sağ tarafı ise 2 ile çarpmanız gerekir. Bu, denklemin her iki tarafının da 2(x+2) ile çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Bu, yukarıda tartıştığımız kesirlerin en yaygın çarpımıdır.

Aynı denklemi biraz farklı yazalım

Sol taraf (x+2), sağ taraf ise 2 azaltılır. İndirgemenin ardından olağan doğrusal denklemi elde ederiz:

x = 4 – 2 = 2, bu bizim ODZ'mize karşılık gelir

Cevap: x = 2.

Kesirli Denklem Çözme göründüğü kadar zor değil. Bu yazımızda bunu örneklerle gösterdik. Eğer herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız kesirli denklemler nasıl çözülür, ardından yorumlarda aboneliğinizi iptal edin.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. 5. sınıfta matematik öğrencileri pek çok yeni konu üzerinde çalışıyorlar; bunlardan biri kesirli denklemler olacak. Çoğu kişi için bu, ebeveynlerin çocuklarının anlamasına yardımcı olması gereken oldukça karmaşık bir konudur ve eğer ebeveynler matematiği unutmuşlarsa, denklem çözen çevrimiçi programları her zaman kullanabilirler. Yani bir örnek kullanarak kesirli denklem çözme algoritmasını hızlı bir şekilde anlayabilir ve çocuğunuza yardımcı olabilirsiniz.

Aşağıda, netlik sağlamak için, aşağıdaki formdaki basit bir kesirli doğrusal denklemi çözeceğiz:

\[\frac(x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Bu tür bir denklemi çözmek için NOS'u belirlemek ve denklemin sol ve sağ taraflarını bununla çarpmak gerekir:

\[\frac (x-2)(3) - \frac(3x)(2)=5\]

Bu bize basit bir doğrusal denklem verir çünkü her kesirli terimin ortak paydası ve paydası birbirini götürür:

Bilinmeyenli terimleri sola taşıyalım:

Sol ve sağ tarafları -7'ye bölelim:

Elde edilen sonuçtan, bu kesirli denklemi çözmenin nihai sonucu olacak parçanın tamamını seçebiliriz:

Kesirli denklemleri çevrimiçi olarak nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz. Hala sorularınız varsa, bunları http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.

Denklem, değeri bulunması gereken bir harfi içeren bir eşitliktir.

Denklemlerde bilinmeyen genellikle küçük harfle gösterilir. En sık “x” [ix] ve “y” [y] harfleri kullanılır.

Denklemin kökü- denklemden doğru sayısal eşitliğin elde edildiği harfin değeridir.

Denklemi çöz- tüm köklerini bulmak veya kök olmadığından emin olmak anlamına gelir.

Denklemi çözdükten sonra her zaman cevaptan sonra bir çek yazarız.

Ebeveynler için bilgiler

Değerli velilerimiz, ilkokul ve 5.sınıf döneminde çocukların “Negatif Sayılar” konusunu BİLMEDİKLERİNE dikkatinizi çekeriz.

Bu nedenle denklemleri yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve bölme özelliklerini kullanarak çözmeleri gerekir. 5. sınıf için denklem çözme yöntemleri aşağıda verilmiştir.

Denklemlerin çözümünü, sayı ve harfleri denklemin bir kısmından diğerine işaret değiştirerek aktararak açıklamaya çalışmayın.

“Aritmetik Kanunları” dersinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme ile ilgili kavramları tazeleyebilirsiniz.

Toplama ve çıkarma denklemlerini çözme

Bilinmeyen nasıl bulunur
terim

Bilinmeyen nasıl bulunur
eksi

Bilinmeyen nasıl bulunur
çıkarma

Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir.

Bilinmeyen eksiği bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.

Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Sınav

x - 14 = 2
x = 14 + 2
x = 16
Sınav

16 − 2 = 14
14 = 14

5 - x = 3
x = 5 − 3
x = 2
Sınav

Çarpma ve bölme denklemlerini çözme

Bilinmeyen nasıl bulunur
faktör

Bilinmeyen nasıl bulunur
temettü

Bilinmeyen nasıl bulunur
bölücü

Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Bilinmeyen böleni bulmak için bölümü bölenle çarpmanız gerekir.

Bilinmeyen bir böleni bulmak için, böleni bölüme bölmeniz gerekir.

y 4 = 12
y=12:4
y=3
Sınav

y: 7 = 2
y = 2 7
y=14
Sınav

8:y=4
y=8:4
y=2
Sınav

Denklem, işareti bulunması gereken bir harf içeren bir eşitliktir. Bir denklemin çözümü, denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren harf değerleri kümesidir:

Çözmek için bunu hatırlayın denklem eşitliğin bir kısmına bilinmeyenli terimleri, diğer tarafına sayısal terimleri aktarıp benzerlerini getirip aşağıdaki eşitliği elde etmeniz gerekir:

Son eşitlikten bilinmeyeni şu kurala göre belirliyoruz: "faktörlerden biri, bölümün ikinci faktöre bölünmesine eşittir."

A ve b rasyonel sayıları aynı veya farklı işaretlere sahip olabileceğinden, bilinmeyenin işareti rasyonel sayıları bölme kurallarıyla belirlenir.

Doğrusal denklemleri çözme prosedürü

Doğrusal denklem, parantezlerin açılması ve ikinci adım işlemlerinin (çarpma ve bölme) gerçekleştirilmesiyle basitleştirilmelidir.

Bilinmeyenleri eşit işaretin bir tarafına, sayıları da eşit işaretin diğer tarafına taşıyarak verilenle aynı eşitliği elde edin,

Formun eşitliğini elde ederek benzerlerini eşittir işaretinin soluna ve sağına getirin balta = B.

Denklemin kökünü hesaplayın (bilinmeyeni bulun) X eşitlikten X = B : A),

Bilinmeyeni verilen denklemde yerine koyarak kontrol edin.

Sayısal eşitlikte bir özdeşlik elde edersek denklem doğru şekilde çözülür.

Denklem çözmenin özel durumları

Eğer denklem 0'a eşit bir çarpım verildiğinde bunu çözmek için çarpma özelliğini kullanırız: "faktörlerden biri veya her ikisi de sıfıra eşitse çarpım sıfıra eşittir."

27 (X - 3) = 0
27, 0'a eşit değildir, bunun anlamı X - 3 = 0

İkinci örnekte denklemin iki çözümü vardır, çünkü
bu ikinci dereceden bir denklem:

Denklemin katsayıları sıradan kesirlerse, öncelikle paydalardan kurtulmanız gerekir. Bunu yapmak için:

Ortak paydayı bulun;

Denklemin her terimi için ek faktörleri belirleyin;

Kesirlerin ve tam sayıların paylarını ek faktörlerle çarpın ve denklemin tüm terimlerini paydalar olmadan yazın (ortak payda atılabilir);

Bilinmeyen terimleri denklemin bir tarafına, sayısal terimleri de eşit işaretten diğer tarafa taşıyarak eşdeğer bir eşitlik elde edin;

Benzer üyeleri getirin;

Denklemlerin temel özellikleri

Denklemin herhangi bir yerine benzer terimler ekleyebilir veya parantez açabilirsiniz.

Denklemin herhangi bir terimi, işaretinin tersi yönde değiştirilerek denklemin bir kısmından diğerine aktarılabilir.

Denklemin her iki tarafı da 0 hariç aynı sayıyla çarpılabilir (bölünebilir).

Yukarıdaki örnekte denklemi çözmek için tüm özellikleri kullanıldı.

Kesirde bilinmeyen içeren bir denklem nasıl çözülür?

Bazen doğrusal denklemler şu şekli alır: bilinmiyor bir veya daha fazla kesrin payında görünür. Aşağıdaki denklemdeki gibi.

Bu gibi durumlarda bu tür denklemler iki şekilde çözülebilir.

çözüm yöntemim
Bir denklemi orantıya indirgemek

Oran yöntemini kullanarak denklemleri çözerken aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:

tüm kesirleri ortak bir paydaya getirin ve bunları cebirsel kesirler olarak ekleyin (sol ve sağ tarafta yalnızca bir kesir kalmalıdır);

Ortaya çıkan denklemi orantı kuralını kullanarak çözün.

O halde denklemimize geri dönelim. Sol tarafta zaten yalnızca bir kesirimiz var, bu nedenle onda herhangi bir dönüşüme gerek yok.

Denklemin sağ tarafıyla çalışacağız. Denklemin sağ tarafını sadeleştirelim ki geriye tek bir kesir kalsın. Bunu yapmak için cebirsel kesirli bir sayıyı toplama kurallarını hatırlayın.

Şimdi orantı kuralını kullanıyoruz ve denklemi sonuna kadar çözüyoruz.

II çözüm yöntemi
Kesirler olmadan doğrusal bir denkleme indirgeme

Yukarıdaki denkleme tekrar bakalım ve farklı bir şekilde çözelim.

Denklemde iki kesir olduğunu görüyoruz "

Kesirli denklemler nasıl çözülür? Kesirli denklemlerin üstel çözümü.