Denklem sistemi örnekleri. Toplama yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

Bu makaledeki materyal denklem sistemleriyle ilk tanışma amaçlıdır. Burada bir denklem sisteminin tanımını ve çözümlerini tanıtacağız ve ayrıca en yaygın denklem sistemi türlerini ele alacağız. Her zamanki gibi açıklayıcı örnekler vereceğiz.

Sayfada gezinme.

Denklem sistemi nedir?

Denklem sisteminin tanımına yavaş yavaş yaklaşacağız. İlk olarak, iki noktayı belirterek bunu vermenin uygun olduğunu söyleyelim: birincisi, kaydın türü ve ikincisi, bu kaydın içerdiği anlam. Şimdi sırasıyla bunlara bakalım ve ardından akıl yürütmeyi denklem sistemlerinin tanımına genelleyelim.

Önümüzde birkaç tane olsun. Örneğin iki denklemi ele alalım: 2 x+y=−3 ve x=5. Bunları alt alta yazalım ve solda küme paranteziyle birleştirelim:

Bir sütun halinde düzenlenmiş ve solda küme ayracı ile birleştirilmiş çeşitli denklemlerden oluşan bu tür kayıtlar, denklem sistemlerinin kayıtlarıdır.

Bu tür girişler ne anlama geliyor? Her denklemin çözümü olan sistem denklemlerinin tüm bu tür çözümlerinin kümesini tanımlarlar.

Başka bir deyişle anlatmaktan zarar gelmez. İlk denklemin bazı çözümlerinin sistemin diğer tüm denklemlerinin çözümü olduğunu varsayalım. Yani sistem kaydı sadece onları ifade ediyor.

Artık bir denklem sisteminin tanımını yeterince kabul etmeye hazırız.

Tanım.

Denklem sistemleri Sol tarafta küme ayracı ile birleştirilen ve aynı zamanda sistemin her denkleminin çözümü olan denklemlerin tüm çözümlerinin kümesini gösteren, birbirinin altında yer alan denklemlerden oluşan çağrı kayıtları.

Ders kitabında da benzer bir tanım verilmiştir, ancak orada genel durum için değil, iki değişkenli iki rasyonel denklem için verilmiştir.

Ana türler

Sonsuz sayıda farklı denklemin olduğu açıktır. Doğal olarak bunları kullanarak derlenen sonsuz sayıda denklem sistemi de vardır. Bu nedenle, denklem sistemlerini incelemenin ve onlarla çalışmanın kolaylığı için, bunları benzer özelliklere göre gruplara ayırmak ve ardından bireysel türdeki denklem sistemlerini dikkate almak mantıklıdır.

İlk bölüm, sisteme dahil edilen denklemlerin sayısıyla kendini gösterir. İki denklem varsa, iki denklemli bir sistemimiz olduğunu söyleyebiliriz, üç varsa o zaman üç denklemli bir sistemimiz var vb. Tek denklemli bir sistemden bahsetmenin hiçbir anlamı olmadığı açıktır, çünkü bu durumda özünde sistemle değil denklemin kendisiyle ilgileniyoruz.

Bir sonraki bölüm, sistemin denklemlerinin yazılmasında yer alan değişkenlerin sayısına dayanmaktadır. Bir değişken varsa, o zaman bir değişkenli (aynı zamanda bir bilinmeyenli) bir denklem sistemiyle, iki varsa, o zaman iki değişkenli (iki bilinmeyenli) vb. bir denklem sistemiyle uğraşıyoruz. Örneğin, iki değişken x ve y olan bir denklem sistemidir.

Bu, kayıtta yer alan tüm farklı değişkenlerin sayısını ifade eder. Hepsinin aynı anda her denklemin kaydına dahil edilmesi gerekmez; en az bir denklemde bulunmaları yeterlidir. Örneğin, üç değişkenli x, y ve z içeren bir denklem sistemidir. İlk denklemde x değişkeni açıkça mevcut, y ve z örtülü (bu değişkenlerin sıfıra sahip olduğunu varsayabiliriz), ikinci denklemde ise x ve z var, ancak y değişkeni açıkça sunulmuyor. Başka bir deyişle, ilk denklem şu şekilde görülebilir: , ve ikincisi – x+0·y−3·z=0 olarak.

Denklem sistemlerinin farklılık gösterdiği üçüncü nokta denklemlerin türüdür.

Okulda denklem sistemlerinin incelenmesi şu şekilde başlar: iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemi. Yani bu tür sistemler iki doğrusal denklem oluşturur. İşte birkaç örnek: Ve . Denklem sistemleriyle çalışmanın temellerini öğrenirler.

Daha karmaşık problemleri çözerken, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sistemiyle de karşılaşabilirsiniz.

9. sınıfta ayrıca, iki değişkenli iki denklem sistemlerine, çoğunlukla ikinci derecenin tüm denklemleri, daha az sıklıkla - daha yüksek dereceler olmak üzere doğrusal olmayan denklemler eklenir. Bu sistemlere doğrusal olmayan denklem sistemleri adı verilir; gerekirse denklemlerin ve bilinmeyenlerin sayısı belirtilir. Bu tür doğrusal olmayan denklem sistemlerinin örneklerini gösterelim: Ve .

Ve ayrıca sistemlerde örneğin . Hangi denklemlerin olduğu belirtilmeden genellikle basit denklem sistemleri olarak adlandırılırlar. Burada çoğu zaman bir denklem sistemi hakkında basitçe "denklem sistemi" dediklerini ve açıklamaların yalnızca gerekirse eklendiğini belirtmekte fayda var.

Lisede materyal incelenirken irrasyonel, trigonometrik, logaritmik ve üstel denklemler sistemlere nüfuz eder: , , .

Üniversitenin birinci sınıf müfredatına daha da derinlemesine bakarsak, asıl vurgu, doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin (SLAE'ler), yani sol taraflarında birinci dereceden polinomlar içeren denklemlerin incelenmesi ve çözümü üzerinedir. ve sağ taraflarda belirli sayılar bulunur. Ancak orada, okuldan farklı olarak, artık iki değişkenli iki doğrusal denklem değil, keyfi sayıda değişkenli, çoğu zaman denklem sayısıyla çakışmayan rastgele sayıda denklem alıyorlar.

Bir denklem sisteminin çözümü nedir?

“Denklem sisteminin çözümü” terimi doğrudan denklem sistemlerini ifade eder. Okulda iki değişkenli bir denklem sistemini çözmenin tanımı verilmektedir. :

Tanım.

İki değişkenli bir denklem sistemini çözme sistemin her denklemini doğruya çeviren, diğer bir deyişle sistemin her denkleminin çözümü olan bu değişkenlerin değer çiftine denir.

Örneğin, x=5, y=2 değişken değerleri çifti ((5, 2) olarak yazılabilir), tanım gereği bir denklem sisteminin çözümüdür, çünkü sistemin denklemleri x= olduğunda 5, y=2 yerine konulursa sırasıyla 5+2=7 ve 5−2=3 doğru sayısal eşitliklere dönüşür. Ancak x=3, y=0 değer çifti bu sistem için bir çözüm değildir, çünkü bu değerleri denklemlerde yerine koyarken bunlardan ilki yanlış 3+0=7 eşitliğine dönüşecektir.

Benzer tanımlar tek değişkenli sistemler için olduğu gibi üç, dört vb. değişkenli sistemler için de formüle edilebilir. değişkenler.

Tanım.

Tek değişkenli denklem sistemini çözme sistemin tüm denklemlerinin kökü olan, yani tüm denklemleri doğru sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenin bir değeri olacaktır.

Bir örnek verelim. t şeklinde tek değişkenli bir denklem sistemi düşünün . Hem (−2) 2 =4 hem de 5·(−2+2)=0 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan, −2 sayısı bunun çözümüdür. Ve t=1 sistemin bir çözümü değildir, çünkü bu değerin yerine koymak iki yanlış eşitlik verecektir: 1 2 =4 ve 5·(1+2)=0.

Tanım.

Üçlü, dörtlü vb. bir sistemi çözme. değişkenlerüç, dört vb. denir. değişkenlerin değerleri sırasıyla sistemin tüm denklemlerini gerçek eşitliklere dönüştürür.

Yani tanım gereği x=1, y=2, z=0 değişkenlerinin değerlerinin üçlüsü sistemin bir çözümüdür 2·1=2, 5·2=10 ve 1+2+0=3 gerçek sayısal eşitlikler olduğundan. Ve (1, 0, 5) bu sistemin çözümü değildir, çünkü değişkenlerin bu değerleri sistem denklemlerinde yerine konulduğunda ikincisi hatalı 5·0=10 eşitliğine dönüşür ve üçüncüsü de 1+0+5=3.

Denklem sistemlerinin hiçbir çözümü olmayabileceğini, sonlu sayıda çözümü olabileceğini, örneğin bir, iki, ... veya sonsuz sayıda çözümü olabileceğini unutmayın. Konuyu derinlemesine incelediğinizde bunu göreceksiniz.

Bir denklem sisteminin tanımlarını ve çözümlerini dikkate alarak, bir denklem sisteminin çözümünün, tüm denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimi olduğu sonucuna varabiliriz.

Sonuç olarak, ilgili birkaç tanımı burada bulabilirsiniz:

Tanım.

ortak olmayanÇözümü yoksa sistem çağrılır eklem yeri.

Tanım.

Denklem sisteminin adı belirsiz sonsuz sayıda çözümü varsa ve kesin Sonlu sayıda çözümü varsa veya hiç yoksa.

Bu terimler, örneğin bir ders kitabında tanıtılmaktadır, ancak okulda oldukça nadiren kullanılırlar; yüksek öğretim kurumlarında daha sık duyulurlar.

Referanslar.

1. Cebir: ders kitabı 7. sınıf için genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Cebir: 9. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2009. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkoviç A.G. Cebir. 9. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkoviç A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 11. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı (profil düzeyi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. baskı, silindi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Yüksek cebir dersi.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitik geometri: Ders Kitabı: Üniversiteler için. – 5. baskı. – M.: Bilim. Fizmatlit, 1999. – 224 s. – (Yüksek matematik ve matematiksel fizik dersi). – ISBN 5-02-015234 – X (Sayı 3)

Bu derste bir doğrusal denklem sistemini çözme yöntemlerine bakacağız. Yüksek matematik dersinde, doğrusal denklem sistemlerinin hem ayrı görevler biçiminde, örneğin "Cramer formüllerini kullanarak sistemi çözün" hem de diğer problemleri çözme sırasında çözülmesi gerekir. Doğrusal denklem sistemleri yüksek matematiğin neredeyse tüm dallarında ele alınmalıdır.

İlk önce küçük bir teori. Bu durumda matematiksel “doğrusal” kelimesi ne anlama geliyor? Bu, sistemin denklemlerinin Tüm dahil edilen değişkenler birinci derecede: gibi süslü şeyler olmadan sadece matematik olimpiyatlarına katılanların memnun olduğu vb.

Yüksek matematikte değişkenleri belirtmek için yalnızca çocukluktan aşina olduğumuz harfler kullanılmaz.
Oldukça popüler bir seçenek, indeksli değişkenlerdir: .
Veya Latin alfabesinin küçük ve büyük baş harfleri:
Yunan harflerini bulmak o kadar da nadir değildir: – birçok kişi tarafından “alfa, beta, gama” olarak bilinir. Ve ayrıca örneğin “mu” harfinin yer aldığı endekslerden oluşan bir set:

Bir veya daha fazla harf grubunun kullanımı, yüksek matematiğin bir doğrusal denklem sistemiyle karşı karşıya olduğumuz bölümüne bağlıdır. Dolayısıyla, örneğin integralleri ve diferansiyel denklemleri çözerken karşılaşılan doğrusal denklem sistemlerinde, notasyonu kullanmak gelenekseldir.

Ancak değişkenler nasıl belirlenirse belirlensin, bir doğrusal denklem sistemini çözmenin ilkeleri, yöntemleri ve yöntemleri değişmez. Bu nedenle, eğer . Ve ne kadar komik görünse de, bu gösterimlere sahip bir doğrusal denklem sistemi de çözülebilir.

Makalenin oldukça uzun olacağına dair bir his var, bu yüzden küçük bir içindekiler tablosu. Yani, sıralı “bilgilendirme” şu şekilde olacaktır:

– Bir doğrusal denklem sistemini ikame yöntemini (“okul yöntemi”) kullanarak çözme;
– Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi;
– Sistemin Cramer formüllerini kullanarak çözümü;
– Ters matris kullanarak sistemi çözme;
– Gauss yöntemini kullanarak sistemi çözme.

Herkes okul matematik derslerinden doğrusal denklem sistemlerine aşinadır. Temel olarak tekrarla başlıyoruz.

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu yönteme “okul yöntemi” ya da bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi de denilebilir. Mecazi anlamda "tamamlanmamış bir Gauss yöntemi" olarak da adlandırılabilir.

Örnek 1

Burada bize iki bilinmeyenli iki denklem sistemi veriliyor. Serbest terimlerin (5 ve 7 sayıları) denklemin sol tarafında bulunduğunu unutmayın. Genel olarak konuşursak, nerede oldukları önemli değil, solda veya sağda, sadece yüksek matematik problemlerinde genellikle bu şekilde konumlandırılırlar. Ve böyle bir kayıt gerekirse karışıklığa yol açmamalı, sistem her zaman "her zamanki gibi" yazılabilir: . Bir terimi bir bölümden diğerine taşırken işaretinin değişmesi gerektiğini unutmayın.

Bir doğrusal denklem sistemini çözmek ne anlama gelir? Bir denklem sistemini çözmek, çözümlerinin çoğunu bulmak anlamına gelir. Bir sistemin çözümü, içinde yer alan tüm değişkenlerin değerlerinin bir kümesidir, bu da sistemin HER denklemini doğru bir eşitliğe dönüştürür. Ayrıca sistem şu şekilde olabilir: ortak olmayan (çözümleri yok).Utanmayın, bu genel bir tanım =) Her c-we denklemini sağlayan sadece bir “x” değeri ve bir “y” değerimiz olacak.

Sistemi çözmek için sınıfta aşina olabileceğiniz grafiksel bir yöntem var. Bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Orada bahsetmiştim geometrik anlamda iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Ama artık cebirin, sayıların-sayıların, eylem-eylemlerin çağı geldi.

Haydi karar verelim: ifade ettiğimiz ilk denklemden:
Ortaya çıkan ifadeyi ikinci denklemde değiştiririz:

Parantezleri açıyoruz, benzer terimleri ekliyoruz ve değeri buluyoruz:

Sonra ne için dans ettiğimizi hatırlıyoruz:
Değerini zaten biliyoruz, geriye kalan tek şey bulmak:

Cevap:

HERHANGİ bir denklem sistemi HERHANGİ bir şekilde çözüldükten sonra, kontrol etmenizi şiddetle tavsiye ederim. (sözlü olarak, taslak üzerinde veya hesap makinesinde). Neyse ki bu kolay ve hızlı bir şekilde yapılır.

1) Bulunan cevabı ilk denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

2) Bulunan cevabı ikinci denklemde değiştirin:

– doğru eşitlik elde edilir.

Ya da daha basit bir ifadeyle “her şey bir araya geldi”

Dikkate alınan çözüm yöntemi, ilk denklemden ifade edilmesi mümkün olan tek çözüm değildir.
Bunun tersini de yapabilirsiniz; ikinci denklemden bir şeyi ifade edebilir ve onu ilk denklemde değiştirebilirsiniz. Bu arada, dört yöntemden en dezavantajlı olanının ikinci denklemden ifade etmek olduğunu unutmayın:

Sonuç kesirler, ama neden? Daha rasyonel bir çözüm var.

Ancak bazı durumlarda kesirler olmadan hala yapamazsınız. Bu bağlamda ifadeyi NASIL yazdığıma dikkatinizi çekmek isterim. Böyle değil: ve hiçbir durumda böyle değil: .

Yüksek matematikte kesirli sayılarla ilgileniyorsanız, tüm hesaplamaları sıradan uygunsuz kesirlerle yapmaya çalışın.

Kesinlikle ve değil ya da!

Virgül yalnızca bazen kullanılabilir, özellikle de bir sorunun nihai yanıtıysa ve bu numarayla başka bir işlem yapılmasına gerek yoksa.

Pek çok okuyucu muhtemelen "düzeltme dersi için neden bu kadar ayrıntılı bir açıklama, her şey açık" diye düşünmüştür. Öyle bir şey yok, çok basit bir okul örneği gibi görünüyor, ama ÇOK önemli pek çok sonuç var! İşte bir tane daha:

Herhangi bir görevi en akılcı şekilde tamamlamaya çalışmalısınız.. Sadece zamandan ve sinirlerden tasarruf sağladığı ve aynı zamanda hata yapma olasılığını azalttığı için.

Daha yüksek bir matematik probleminde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemiyle karşılaşırsanız, o zaman her zaman yerine koyma yöntemini kullanabilirsiniz (sistemin başka bir yöntemle çözülmesi gerektiği belirtilmediği sürece) Tek bir öğretmen düşünmeyecektir. enayi olduğunu ve "okul yöntemini" kullandığın için notunu düşüreceğini "
Ayrıca bazı durumlarda daha fazla sayıda değişkenle ikame yönteminin kullanılması da tavsiye edilebilir.

Örnek 2

Üç bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulduğumuzda, belirsiz katsayılar yöntemi denilen yöntemi kullanırken sıklıkla benzer bir denklem sistemi ortaya çıkar. Söz konusu sistem tarafımdan oradan alınmıştır.

İntegrali bulurken amaç hızlı Cramer formüllerini, ters matris yöntemini vb. kullanmak yerine katsayıların değerlerini bulun. Dolayısıyla bu durumda ikame yöntemi uygundur.

Herhangi bir denklem sistemi verildiğinde, her şeyden önce onu HEMEN basitleştirmenin mümkün olup olmadığını bulmak arzu edilir. Sistemin denklemlerini incelediğimizde sistemin ikinci denkleminin 2'ye bölünebileceğini görüyoruz ve şunu yapıyoruz:

Referans: matematiksel işaret “bundan şunu çıkar” anlamına gelir ve sıklıkla problem çözmede kullanılır.

Şimdi denklemleri inceleyelim; bazı değişkenleri diğerleri cinsinden ifade etmemiz gerekiyor. Hangi denklemi seçmeliyim? Muhtemelen bu amaç için en kolay yolun sistemin ilk denklemini almak olduğunu zaten tahmin etmişsinizdir:

Burada hangi değişken ifade edilirse edilsin, aynı kolaylıkla veya ifade edilebilir.

Daha sonra, ifadesini sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerinde yerine koyarız:

Parantezleri açıyoruz ve benzer terimleri sunuyoruz:

Üçüncü denklemi 2'ye bölün:

İkinci denklemden üçüncü denklemi ifade edip yerine koyuyoruz:

Bulduğumuz üçüncü denklemden hemen hemen her şey hazır:
İkinci denklemden:
İlk denklemden:

Kontrol edin: Değişkenlerin bulunan değerlerini sistemdeki her denklemin sol tarafına değiştirin:

1)
2)
3)

Denklemlerin karşılık gelen sağ tarafları elde edilir, böylece çözüm doğru bulunur.

Örnek 3

4 bilinmeyenli doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir).

Sistem denklemlerinin terim terim toplanması (çıkarılması) yoluyla sistemin çözülmesi

Doğrusal denklem sistemlerini çözerken, “okul yöntemini” değil, sistemin denklemlerini dönem dönem toplama (çıkarma) yöntemini kullanmaya çalışmalısınız. Neden? Bu, zamandan tasarruf sağlar ve hesaplamaları basitleştirir, ancak artık her şey daha net hale gelecektir.

Örnek 4

Bir doğrusal denklem sistemini çözün:

İlk örnekteki sistemin aynısını aldım.
Denklem sistemini analiz ettiğimizde, değişkenin katsayılarının büyüklük bakımından aynı ve işaret bakımından zıt (-1 ve 1) olduğunu fark ederiz. Böyle bir durumda denklemler terim terim eklenebilir:

Kırmızıyla daire içine alınmış eylemler ZİHİNSEL olarak gerçekleştirilir.
Gördüğünüz gibi terim terim toplama işlemi sonucunda değişkeni kaybettik. Aslında olan da bu yöntemin özü değişkenlerden birinden kurtulmaktır.

Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.

Değiştirme yöntemi

Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta iki basamaklı sayı probleminin bir denklem sistemi olan matematiksel bir modele yol açtığı durumlarda kullanmıştık. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).

İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.

1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.

4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülüne yazın. Eğer o zaman
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.

Cevap: (2; 1);

Cebirsel toplama yöntemi

Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.

Örnek 2. Denklem sistemini çözme

Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım:
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:

Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor

Eğer x = 2 ise

Böylece sisteme iki çözüm bulduk:

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi

8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bu yöntemin özü aynıdır ancak teknik açıdan aşağıdaki örneklerde tartışacağımız bazı özellikler vardır.

Örnek 3. Denklem sistemini çözme

Yeni bir değişken tanıtalım. O halde sistemin ilk denklemi daha basit bir biçimde yeniden yazılabilir: Bu denklemi t değişkenine göre çözelim:

Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla t değişkenli rasyonel bir denklemin kökleridir. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlaştırmayı" başardık:

x = 2 y; y - 2x.

Sırada ne var? Ve sonra elde edilen iki basit denklemin her biri, henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde sırasıyla ele alınmalıdır. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:

Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:

Burada özellikle her şey hazır olduğuna göre yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini yazalım. Aldık

x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:

Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık

Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

İki yeni değişkeni tanıtalım:

O zaman şunu dikkate alalım

Bu, verilen sistemi çok daha basit bir biçimde yeniden yazmanıza olanak tanır, ancak yeni a ve b değişkenlerine göre:

a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:

X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:

Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik konuşmayla bitirelim. Çeşitli denklemleri çözme konusunda zaten biraz deneyim kazandınız: doğrusal, ikinci dereceden, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için denklik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.

Tanım.

X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sistemi, çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer olarak adlandırılır.

Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani grafiksel çözüm yöntemi hakkında bildiklerinizi tekrarlayalım.

Denklem sistemlerini grafiksel olarak çözme yöntemi, belirli bir sisteme dahil olan ve aynı koordinat düzleminde bulunan belirli denklemlerin her biri için ve bunların noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yerlerde bir grafik oluşturmayı içerir. grafikler. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).

Grafiksel bir denklem sisteminin ya tek bir doğru çözüme ya da sonsuz sayıda çözüme sahip olmasının ya da hiç çözümünün bulunmamasının yaygın bir durum olduğu unutulmamalıdır.

Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Dolayısıyla, bir denklem sisteminin, sistemin denklemlerinin grafikleri olan doğrular kesişmesi durumunda benzersiz bir çözümü olabilir. Eğer bu çizgiler paralelse, böyle bir denklem sisteminin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.

Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:

Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:

Denklemleri çözme

1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.

Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.

2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.

Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.

3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.

Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.

Peki sonuç olarak ne elde ederiz?

Doğrunun daireyi kesmesi durumunda elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.

Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.

1. Sistemin yerine koyma yöntemini kullanarak çözülmesi.
2. Sistem denklemlerini terim terim toplayarak (çıkararak) sistemi çözmek.

Denklem sistemini çözmek için ikame yöntemiyle basit bir algoritma izlemeniz gerekir:
1. Ekspres. Herhangi bir denklemden bir değişkeni ifade ederiz.
2. Değiştir. Ortaya çıkan değeri, ifade edilen değişken yerine başka bir denklemde değiştiririz.
3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

karar vermek terim dönem toplama (çıkarma) yöntemiyle sistemşunları yapmanız gerekir:
1. Katsayılarını aynı yapacağımız bir değişken seçin.
2. Denklemleri topluyor veya çıkarıyoruz, sonuçta tek değişkenli bir denklem elde ediliyor.
3. Ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün. Sisteme çözüm buluyoruz.

Sistemin çözümü fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarıdır.

Örnekleri kullanarak sistemlerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alalım.

Örnek #1:

Yerine koyma yöntemiyle çözelim

2x+5y=1 (1 denklem)
x-10y=3 (2. denklem)

1. Ekspres
İkinci denklemde katsayısı 1 olan bir x değişkeninin olduğu görülmektedir, bu da x değişkenini ikinci denklemden ifade etmenin en kolay olduğu anlamına gelir.
x=3+10y

2.İfade ettikten sonra ilk denklemde x değişkeni yerine 3+10y yazıyoruz.
2(3+10y)+5y=1

3. Ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün.
2(3+10y)+5y=1 (parantezleri açın)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Denklem sisteminin çözümü grafiklerin kesişim noktalarıdır, dolayısıyla x ve y'yi bulmamız gerekiyor çünkü kesişim noktası x ve y'den oluşuyor. x'i bulalım, ifade ettiğimiz ilk noktada y'yi değiştirelim.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

X değişkenini yazdığımız ilk yere, y değişkenini ikinci sıraya yazmak gelenekseldir.
Cevap: (1; -0,2)

Örnek #2:

Terim terim toplama (çıkarma) yöntemini kullanarak çözelim.

3x-2y=1 (1 denklem)
2x-3y=-10 (2. denklem)

1. Bir değişken seçiyoruz, diyelim ki x'i seçiyoruz. İlk denklemde x değişkeninin katsayısı 3, ikincisinde - 2'dir. Katsayıları aynı yapmamız gerekiyor, bunun için denklemleri çarpma veya herhangi bir sayıya bölme hakkımız var. İlk denklemi 2, ikincisini 3 ile çarpıyoruz ve toplam 6 katsayısını elde ediyoruz.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. X değişkeninden kurtulmak için ikinciyi birinci denklemden çıkarın. Doğrusal denklemi çözün.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. x'i bulun. Bulunan y'yi denklemlerden herhangi birinin yerine koyarız, diyelim ki ilk denklemin içine.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesişme noktası x=4,6 olacaktır; y=6.4
Cevap: (4.6; 6.4)

Sınavlara ücretsiz hazırlanmak ister misiniz? Çevrimiçi öğretmen ücretsiz. Şaka yok.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Denklem sistemleri. Değiştirme yöntemi, toplama yöntemi, yeni bir değişken ekleme yöntemi"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
Atanasyan L.S.'nin ders kitapları için simülatör Ders kitapları için simülatör Pogorelova A.V.

Eşitsizlik sistemlerini çözme yöntemleri

Değiştirme yöntemi

Karar verirken nasıl ilerlemelisiniz?
1. Değişkenlerden birini diğerine göre ifade ediniz. Denklemlerde en sık kullanılan değişkenler x ve y'dir. Denklemlerden birinde bir değişkeni diğerine göre ifade ediyoruz. İpucu: Çözmeye başlamadan önce her iki denkleme de dikkatlice bakın ve değişkeni ifade etmenin daha kolay olduğu denklemi seçin.
2. Ortaya çıkan ifadeyi, ifade edilen değişken yerine ikinci denklemde değiştirin.
3. Bulduğumuz denklemi çözün.
4. Ortaya çıkan çözümü ikinci denklemde yerine koyun. Birkaç çözüm varsa, birkaç çözümü kaybetmemek için bunları sırayla değiştirmeniz gerekir.
5. Sonuç olarak, cevap olarak yazılması gereken bir çift $(x;y)$ sayısını alacaksınız.

Örnek.
İki değişkenli bir sistemi ikame yöntemini kullanarak çözün: $\begin(cases)x+y=5, \\xy=6\end(cases)$.

Çözüm.
Denklemlerimize daha yakından bakalım. Açıkçası, ilk denklemde y'yi x cinsinden ifade etmek çok daha basittir.
$\begin(cases)y=5-x, \\xy=6\end(case)$.
İlk ifadeyi ikinci denklemde $\begin(cases)y=5-x, \\x(5-2x)=6\end(cases)$ yerine koyalım.
İkinci denklemi ayrı ayrı çözelim:
$x(5-x)=6$.
$-x^2+5x-6=0$.
$x^2-5x+6=0$.
$(x-2)(x-3)=0$.
İkinci denklem $x_1=2$ ve $x_2=3$ için iki çözüm elde ettik.
İkinci denklemde sırayla yerine koyarız.
$x=2$ ise $y=3$ olur. $x=3$ ise $y=2$ olur.
Cevap iki çift sayı olacaktır.
Cevap: $(2;3)$ ve $(3;2)$.

Cebirsel toplama yöntemi

Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)2x+xy-1=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.

Çözüm.
İlk denklemi 2 ile çarpalım.
$\begin(cases)4x+2xy-2=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Birinci denklemden ikinciyi çıkaralım.
$4x+2xy-2-4y-2xy-6=4x-4y-8$.
Gördüğünüz gibi ortaya çıkan denklemin formu orijinalinden çok daha basittir. Artık yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
$\begin(cases)4x-4y-8=0, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
Ortaya çıkan denklemde x'i y cinsinden ifade edelim.
$\begin(cases)4x=4y+8, \\4y+2xy+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2(y+2)y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\4y+2y^2+4y+6=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\2y^2+8y+6=0\end(case)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\y^2+4y+3=0\end(cases)$.
$\begin(cases)x=y+2, \\(y+3)(y+1)=0\end(cases)$.
$y=-1$ ve $y=-3$ elde ettik.
Bu değerleri sırasıyla ilk denklemde yerine koyalım. İki çift sayı elde ederiz: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.
Cevap: $(1;-1)$ ve $(-1;-3)$.

Yeni bir değişken ekleme yöntemi

Örnek.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(x)(y)+\frac(2y)(x)=3, \\2x^2-y^2=1\end(cases)$.

Çözüm.
$t=\frac(x)(y)$ yerine geçeni tanıtalım.
İlk denklemi yeni bir değişkenle yeniden yazalım: $t+\frac(2)(t)=3$.
Ortaya çıkan denklemi çözelim:
$\frac(t^2-3t+2)(t)=0$.
$\frac((t-2)(t-1))(t)=0$.
$t=2$ veya $t=1$ elde ederiz. $t=\frac(x)(y)$ ters değişimini tanıtalım.
Şunu elde ettik: $x=2y$ ve $x=y$.

İfadelerin her biri için orijinal sistemin ayrı ayrı çözülmesi gerekir:
$\begin(cases)x=2y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2x^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\8y^2-y^2=1\end(case)$.   
$\begin(cases)x=y, \\2y^2-y^2=1\end(case)$.
$\begin(case)x=2y, \\7y^2=1\end(case)$.      
$\begin(case)x=2y, \\y^2=1\end(case)$.
$\begin(cases)x=2y, \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.     

Örnek.
$\begin(case)x=y, \\y=±1\end(case)$.

Çözüm.
$\begin(cases)x=±\frac(2)(\sqrt(7)), \\y=±\frac(1)(\sqrt(7))\end(cases)$.    
$\begin(case)x=±1, \\y=±1\end(case)$.
Dört çift çözüm aldık.
Cevap: $(\frac(2)(\sqrt(7));\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(-\frac(2)(\sqrt(7));-\frac(1)(\sqrt(7)))$; $(1;1)$; $(-1;-1)$.
Sistemi çözün: $\begin(cases)\frac(2)(x-3y)+\frac(3)(2x+y)=2, \\\frac(8)(x-3y)-\frac( 9 )(2x+y)=1\end(durum)$.
Değiştirmeyi tanıtalım: $z=\frac(2)(x-3y)$ ve $t=\frac(3)(2x+y)$.
Orijinal denklemleri yeni değişkenlerle yeniden yazalım:
$\begin(case)z+t=2, \\4z-3t=1\end(case)$.
Cebirsel toplama yöntemini kullanalım:
$\begin(case)3z+3t=6, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(case)3z+3t+4z-3t=6+1, \\4z-3t=1\end(case)$.
$\begin(cases)7z=7, \\4z-3t=1\end(cases)$.
$\begin(cases)z=1, \\-3t=1-4\end(case)$.
$\begin(case)z=1, \\t=1\end(case)$.
Ters ikameyi tanıtalım:
$\begin(cases)\frac(2)(x-3y)=1, \\\frac(3)(2x+y)=1\end(cases)$.
$\begin(case)x-3y=2, \\2x+y=3\end(case)$.
Değiştirme yöntemini kullanalım:

$\begin(case)x=2+3y, \\4+6y+y=3\end(case)$.