4. Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu

Dağıtım fonksiyonu kullanılarak sürekli bir rastgele değişken belirtilebilir F(X) . Bu atama yöntemi tek yöntem değildir. Sürekli bir rastgele değişken, dağıtım yoğunluğu veya olasılık yoğunluğu (bazen diferansiyel fonksiyon olarak da adlandırılır) adı verilen başka bir fonksiyon kullanılarak da belirtilebilir.

Tanım4.1: Sürekli rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu X işlevi çağır F (X) - dağılım fonksiyonunun birinci türevi F(X) :

F ( X ) = F "( X ) .

Bu tanımdan, dağıtım fonksiyonunun, dağıtım yoğunluğunun ters türevi olduğu sonucu çıkar. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını tanımlamak için dağılım yoğunluğunun uygulanamayacağına dikkat edin.

Sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı

Dağılım yoğunluğunu bilerek sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa ait bir değer alma olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Teorem: Sürekli bir rastgele değişken X'in aralığa ait değerleri alma olasılığı (A, B), aşağıdaki aralıkta alınan dağıtım yoğunluğunun belirli bir integraline eşittir:AileB :

Kanıt: Oranı kullanıyoruz

P(A ≤ XB) = F(B) – F(A).

Newton-Leibniz formülüne göre,

Böylece,

.

Çünkü P(A ≤ X B)= P(A X B) , sonunda elde ederiz

.

Geometrik olarak elde edilen sonuç şu şekilde yorumlanabilir: sürekli bir rastgele değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (A, B), eksen tarafından sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanına eşitÖküz, dağıtım eğrisiF(X) ve düzX = AVeX = B.

Yorum:Özellikle eğer F(X) – fonksiyon çifttir ve aralığın uçları orijine göre simetriktir, bu durumda

.

Örnek. Rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğu verilir X

Test sonucunda olasılığı bulun X(0,5, 1) aralığına ait değerleri alacaktır.

Çözüm: Gerekli olasılık

.

Bilinen bir dağıtım yoğunluğundan dağıtım fonksiyonunu bulma

Dağıtım yoğunluğunu bilmek F(X) dağıtım fonksiyonunu bulabiliriz F(X) formüle göre

.

Gerçekten mi, F(X) = P(X X) = P(-∞ X X) .

Buradan,

.

Böylece, Dağıtım yoğunluğunu bilerek dağıtım fonksiyonunu bulabilirsiniz. Elbette bilinen bir dağıtım fonksiyonundan dağıtım yoğunluğu bulunabilir. yani:

F(X) = F"(X).

Örnek. Verilen dağıtım yoğunluğu için dağıtım fonksiyonunu bulun:

Çözüm: Formülü kullanalım

Eğer X ≤ A, O F(X) = 0 , buradan, F(X) = 0 . Eğer o zaman f(x) = 1/(b-a),

buradan,

.

Eğer X > B, O

.

Yani gerekli dağıtım fonksiyonu

Yorum: Düzgün dağılmış bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu elde ettik (bakınız tekdüze dağılım).

Dağıtım yoğunluğunun özellikleri

Özellik 1: Dağıtım yoğunluğu negatif olmayan bir fonksiyondur:

F ( X ) ≥ 0 .

Özellik 2:-∞ ila ∞ aralığındaki dağılım yoğunluğunun uygunsuz integrali birliğe eşittir:

.

Yorum: Dağılım yoğunluğu grafiği denir dağıtım eğrisi.

Yorum: Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğuna dağılım yasası da denir.

Örnek. Rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu aşağıdaki forma sahiptir:

Sabit bir parametre bulun A.

Çözüm: Dağıtım yoğunluğunun koşulu sağlaması gerekir, dolayısıyla eşitliğin sağlanmasını isteyeceğiz.

.

Buradan
.

.

Belirsiz integrali bulalım:

Uygunsuz integrali hesaplayalım:

.

Böylece gerekli parametre

Dağıtım yoğunluğunun olası anlamı F(X) İzin vermek X– sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu F(X) = F"(X) . Dağıtım yoğunluğunun tanımı gereği,

, veya F(XFarkF(X) +∆x) - X olasılığını belirler (X, Xaralığa ait bir değer alacaktır+∆х) (X, Xaralığa ait bir değer alacaktır. Böylece sürekli bir rastgele değişkenin aralığına ait bir değer alacağı olasılık oranının sınırı , bu aralığın uzunluğuna kadar (∆x→0 ) noktadaki dağılım yoğunluğunun değerine eşittir.

X F(X) Yani fonksiyon ) noktadaki dağılım yoğunluğunun değerine eşittir her nokta için olasılık yoğunluk dağılımını belirler

Çünkü F"(X) = F(X) . Diferansiyel hesaptan, bir fonksiyonun artışının yaklaşık olarak fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğu bilinmektedir; Ve = ∆ X dx F(X+∆ X) - F(X) ≈ F(X)∆ X.

, O Bu eşitliğin olasılıksal anlamı şudur:X, X+∆ Xrastgele bir değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (.

) yaklaşık olarak x noktasındaki olasılık yoğunluğu ile ∆x aralığının uzunluğunun çarpımına eşittir.: Geometrik olarak bu sonuç şu şekilde yorumlanabilir:X, X+∆ Xrastgele bir değişkenin aralığa ait bir değer alma olasılığı (F(X).

) yaklaşık olarak tabanı ∆х ve yüksekliği olan bir dikdörtgenin alanına eşittir

5. Ayrık rastgele değişkenlerin tipik dağılımları

5.1. Bernoulli dağılımı Tanım5.1: X Rastgele değişken 1 , iki değer alarak 0 Ve olasılıklarla (“başarı”) P ve (“başarısızlık”) Q , isminde:

, Bernoullievskaya Nerede=0,1.

k

5.2. Binom dağılımı Üretilsin her birinde olay olan bağımsız denemeler A görünebilir veya görünmeyebilir. Tüm denemelerde bir olayın meydana gelme olasılığı sabit ve eşittir olasılıklarla (“başarı”)(dolayısıyla gerçekleşmeme olasılığı ve (“başarısızlık”) = 1 - olasılıklarla (“başarı”)).

Rastgele değişkeni düşünün X– olayın gerçekleşme sayısı A bu testlerde. Rastgele değişken X değerleri alır 0,1,2,… Üretilsin Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanan olasılıklarla: , Nerede Nerede = 0,1,2,… Üretilsin.

Tanım5.2: Binom Bernoulli formülüne göre belirlenen olasılık dağılımı denir.

Örnek. Hedefe üç atış yapılır ve her atışta isabet olasılığı 0,8'dir. Rastgele bir değişken göz önüne alındığında X– hedefteki isabet sayısı. Dağıtım serisini bulun.

Çözüm: Rastgele değişken X değerleri alır 0,1,2,3 Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanan olasılıklarla, burada Üretilsin = 3, olasılıklarla (“başarı”) = 0,8 (vuruş olasılığı), ve (“başarısızlık”) = 1 - 0,8 = = 0,2 (eksik olma olasılığı).

Böylece dağıtım serisi aşağıdaki forma sahiptir:

Büyük değerler için Bernoulli formülünü kullanın Üretilsin bu nedenle karşılık gelen olasılıkları hesaplamak oldukça zordur, bir olayın meydana gelme olasılığını tam olarak yaklaşık olarak bulmanızı sağlayan yerel Laplace teoremini kullanın. Nerede her defasında Üretilsin Test sayısı yeterince büyükse testler.

Yerel Laplace teoremi: Eğer olasılık olasılıklarla (“başarı”) bir olayın meydana gelmesi A
olay A içinde görünecek Üretilsin tam olarak testler Nerede kez, yaklaşık olarak eşittir (ne kadar doğru olursa, o kadar fazla olur) Üretilsin) fonksiyon değeri
, Nerede
, .

Not1:İşlev değerlerini içeren tablolar
, Ek 1'de verilmiştir ve
. İşlev standart normal dağılımın yoğunluğudur (bkz. normal dağılım).

Örnek: Olayın gerçekleşme olasılığını bulun A tam olarak gelecek 80 her defasında 400 Her denemede bu olayın meydana gelme olasılığı eşitse denemeler 0,2.

Çözüm: Koşullara göre Üretilsin = 400, Nerede = 80, olasılıklarla (“başarı”) = 0,2 , ve (“başarısızlık”) = 0,8 . Görev verilerinin belirlediği değeri hesaplayalım X:
. Ek 1'deki tablodan şunu buluyoruz:
. O zaman gerekli olasılık şöyle olacaktır:

Bir olayın olasılığını hesaplamanız gerekiyorsa A içinde görünecek Üretilsin daha az değil testler Nerede 1 bir kez ve artık yok Nerede 2 kez Laplace'ın integral teoremini kullanmanız gerekir:

Laplace'ın integral teoremi: Eğer olasılık olasılıklarla (“başarı”) bir olayın meydana gelmesi A her denemede sabit ve sıfır ve birden farklı ise olasılık olay A içinde görünecek Üretilsin gelen testler Nerede 1 ile Nerede 2 kez, yaklaşık olarak belirli bir integrale eşit

, Bernoullievskaya
Ve
.

Başka bir deyişle bir olayın gerçekleşme olasılığı A içinde görünecek Üretilsin gelen testler Nerede 1 ile Nerede 2 kez, yaklaşık olarak eşit

Bernoullievskaya
, Ve .

Not2:İşlev
Laplace işlevi denir (bkz. normal dağılım). İşlev değerlerini içeren tablolar , Ek 2'de verilmiştir ve
.

Örnek: arasında olma olasılığını bulun 400 Parçanın kalite kontrol muayenesini geçmeme olasılığı şuna eşitse, rastgele seçilen parçalar 70 ila 100 parça arasında test edilmemiş olarak çıkacaktır. 0,2.

Çözüm: Koşullara göre Üretilsin = 400, olasılıklarla (“başarı”) = 0,2 , ve (“başarısızlık”) = 0,8, Nerede 1 = 70, Nerede 2 = 100 . İntegralin alt ve üst limitlerini hesaplayalım:

;
.

Böylece elimizde:

Ek 2'deki tablodan şunu görüyoruz:
Ve
. O halde gerekli olasılık:

Not3: Bir dizi bağımsız denemede (n büyük, p küçük olduğunda), bir olayın tam olarak k kez meydana gelme olasılığını hesaplamak için Poisson formülü kullanılır (bkz. Poisson dağılımı).

5.3. Poisson dağılımı

Tanım5.3: Ayrık bir rastgele değişken denir Poisson, dağıtım yasası aşağıdaki forma sahipse:

, Bernoullievskaya
. Diferansiyel hesaptan, bir fonksiyonun artışının yaklaşık olarak fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğu bilinmektedir;
(sabit değer).

Poisson rastgele değişkenlerine örnekler:

Belirli bir süre boyunca otomatik istasyona yapılan çağrıların sayısı T.

Belirli bir süre boyunca bazı radyoaktif maddelerin bozunma parçacıklarının sayısı T.

Belirli bir süre içinde atölyeye gelen TV sayısı T büyük bir şehirde .

Büyük bir şehirde bir kavşağın durma çizgisine varacak araba sayısı .

Not1: Bu olasılıkların hesaplanmasına yönelik özel tablolar Ek 3'te verilmiştir.

Not2: Bir dizi bağımsız testte (ne zaman Üretilsin Harika, olasılıklarla (“başarı”) bir olayın tam olarak gerçekleşme olasılığını hesaplamak yeterli değildir) Nerede Poisson formülünü kullanarak çarpım:
, Nerede
, yani olayların ortalama gerçekleşme sayısı sabit kalır.

Not3: Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişken varsa, o zaman mutlaka üstel yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken de vardır ve bunun tersi de geçerlidir (bkz. Üstel dağılım).

Örnek. Tesis üsse gönderildi 5000 kaliteli ürünler. Ürünün taşıma sırasında hasar görme olasılığı eşittir 0,0002 . Üsse tam olarak üç kullanılamaz ürünün gelme olasılığını bulun.

Çözüm: Koşullara göre Üretilsin = 5000, olasılıklarla (“başarı”) = 0,0002, Nerede = 3. bulacağız λ: λ = n.p.= 5000·0,0002 = 1.

Poisson formülüne göre istenen olasılık şuna eşittir:

, rastgele değişken nerede X– kullanılamayan ürün sayısı.

5.4. Geometrik dağılım

Her birinde olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız testler yapılmasına izin verin. A eşit olasılıklarla (“başarı”)(0 p

ve (“başarısızlık”) = 1 - olasılıklarla (“başarı”). Etkinlik ortaya çıktığı anda zorluklar sona erer A. Yani eğer bir olay A ortaya çıktı Nerede-th test, ardından önceki testte Nerede – 1 testlerde görünmedi.

ile belirtelim X ayrık rastgele değişken - olayın ilk ortaya çıkmasından önce yapılması gereken denemelerin sayısı A. Açıkçası, olası değerler X doğal sayılar x 1 = 1, x 2 = 2, ...

Önce izin ver Nerede-1 test olayı A gelmedi ama Nerede-inci test ortaya çıktı. Bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre bu “karmaşık olayın” olasılığı, P (X = Nerede) = ve (“başarısızlık”) Nerede -1 olasılıklarla (“başarı”).

Tanım5.4: Ayrık bir rastgele değişkenin sahip olduğu geometrik dağılım, eğer dağıtım kanunu aşağıdaki şekle sahipse:

P ( X = Nerede ) = ve (“başarısızlık”) Nerede -1 olasılıklarla (“başarı”) , Nerede
.

Not1:İnanmak Nerede = 1,2,… , ilk terimle geometrik bir ilerleme elde ederiz olasılıklarla (“başarı”) ve payda ve (“başarısızlık”) (0ve (“başarısızlık”). Bu nedenle dağılıma geometrik denir.

Not2: Sıra
yakınsar ve toplamı bire eşittir. Aslında serinin toplamı eşittir
.

Örnek. Silah ilk vuruş yapılana kadar hedefe ateş edilir. Hedefi vurma olasılığı olasılıklarla (“başarı”) = 0,6 . Üçüncü atışta isabet olma olasılığını bulun.

Çözüm: Koşullara göre olasılıklarla (“başarı”) = 0,6, ve (“başarısızlık”) = 1 – 0,6 = 0,4, Nerede = 3. Gerekli olasılık:

P (X = 3) = 0,4 2 ·0,6 = 0,096.

5.5. Hipergeometrik dağılım

Aşağıdaki problemi ele alalım. Partiyi dışarı çıkaralım N mevcut ürünler M standart (MN). Partiden rastgele alındı Üretilsinürünler (her ürün aynı olasılıkla ekstrakte edilebilir) ve seçilen ürün, bir sonraki ürün seçilmeden partiye iade edilmez (bu nedenle Bernoulli formülü burada geçerli değildir).

ile belirtelim X rastgele değişken - sayı M arasında standart ürünler Üretilsin seçildi. Daha sonra olası değerler X 0, 1, 2,… olacak dk ; Bunları etiketleyelim ve... İle Bağımsız değişkenin değerleri (Fonds) butonunu kullanın ( bölüm ...

Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri. Sürekli bir rastgele değişken X'in f(x) dağılım fonksiyonu tarafından belirtilmesine izin verin

Sürekli bir rastgele değişken X'in dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilmesine izin verin f(x). Rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin segmente ait olduğunu varsayalım [ a,b].

Tanım. Matematiksel beklenti olası değerleri segmente ait olan sürekli bir rastgele değişken X'e belirli integral denir

Rastgele bir değişkenin olası değerleri tüm sayısal eksende dikkate alınırsa, matematiksel beklenti aşağıdaki formülle bulunur:

Bu durumda elbette uygunsuz integralin yakınsak olduğu varsayılır.

Tanım. Varyans Sürekli bir rastgele değişkenin sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansına benzetilerek, varyansı pratik olarak hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

Tanım. Standart sapma varyansın karekökü denir.

Tanım. Moda Ayrık bir rastgele değişkenin M 0'ına onun en olası değeri denir. Sürekli bir rastgele değişken için mod, dağılım yoğunluğunun maksimum olduğu rastgele değişkenin değeridir.

Ayrık bir rastgele değişken için dağılım poligonu veya sürekli bir rastgele değişken için dağılım eğrisi iki veya daha fazla maksimuma sahipse, bu tür bir dağılıma dağılım denir. iki modlu veya çok modlu. Bir dağılımın minimumu var ama maksimumu yok ise buna denir. antimodal.

Tanım. Medyan Bir X rasgele değişkeninin M D'si, rasgele değişkenin daha büyük veya daha küçük bir değerinin elde edilmesinin eşit olasılığa sahip olduğu değerdir.

Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir. Dağılım tek modlu ise mod ve medyanın matematiksel beklentiyle örtüştüğünü unutmayın.

Tanım. Başlangıç ​​anı emir Nerede rastgele değişken X, X değerinin matematiksel beklentisidir k.

Ayrık bir rastgele değişken için: .

.

Birinci mertebenin başlangıç ​​anı matematiksel beklentiye eşittir.

Tanım. Merkezi an emir Nerede rastgele değişken X, değerin matematiksel beklentisidir

Ayrık bir rastgele değişken için: .

Sürekli bir rastgele değişken için: .

Birinci dereceden merkezi moment her zaman sıfırdır ve ikinci dereceden merkezi moment dağılıma eşittir. Üçüncü dereceden merkezi moment, dağılımın asimetrisini karakterize eder.

Tanım. Üçüncü dereceden merkezi momentin standart sapmanın üçüncü kuvvetine oranına denir. asimetri katsayısı.

Tanım. Dağılımın doruğunu ve düzlüğünü karakterize etmek için, adı verilen bir miktar aşırı.

Dikkate alınan büyüklüklere ek olarak mutlak momentler de kullanılır:

Mutlak başlangıç ​​anı: . Mutlak merkez nokta: . Birinci mertebenin mutlak merkezi momentine denir aritmetik ortalama sapma.

Örnek. Yukarıda tartışılan örnek için, X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini ve varyansını belirleyin.

Örnek. Bir torbada 6 beyaz ve 4 siyah top vardır. İçinden bir top art arda beş kez çıkarılır ve her seferinde çıkarılan top geri getirilerek toplar karıştırılır. Çıkarılan beyaz topların sayısını X rastgele değişkeni olarak alarak, bu değer için bir dağılım kanunu çizin, matematiksel beklentisini ve dağılımını belirleyin.

Çünkü her deneydeki toplar geri döndürülür ve karıştırılır, daha sonra testler bağımsız olarak değerlendirilebilir (önceki deneyin sonucu, başka bir deneyde bir olayın meydana gelme veya gelmeme olasılığını etkilemez).

Böylece her deneyde beyaz topun ortaya çıkma olasılığı sabit ve eşittir.

Yani arka arkaya yapılan beş deneme sonucunda beyaz top hiç görünmeyebileceği gibi bir, iki, üç, dört, beş kez de ortaya çıkabilir. Bir dağıtım yasası hazırlamak için bu olayların her birinin olasılığını bulmanız gerekir.

1) Beyaz top hiç görünmedi:

2) Beyaz top bir kez ortaya çıktı:

3) Beyaz top iki kez görünecektir: .

“Rastgele değişkenler” konusundaki problem çözme örnekleri.

Görev 1 . Piyango için 100 bilet basıldı. 50 USD değerinde bir kazanç elde edildi. ve her biri 10 USD tutarında on galibiyet. X değerinin dağıtım yasasını bulun - olası kazançların maliyeti.

Çözüm. X için olası değerler: x 1 = 0; X 2 = 10 ve x 3 = 50. 89 adet “boş” bilet olduğuna göre p 1 = 0,89, 10$ kazanma olasılığı. (10 bilet) – p 2 = 0,10 ve 50 USD kazanmak için -P 3 = 0,01. Böylece:

Kontrolü kolay: .

Görev 2. Alıcının ürün reklamını önceden okumuş olma olasılığı 0,6'dır (p = 0,6). Reklamın kalitesinin seçici kontrolü, reklamı önceden inceleyen ilk kişiden önce alıcılara anket yapılarak gerçekleştirilir. Ankete katılan alıcıların sayısına göre bir dağıtım serisi hazırlayın.

Çözüm. Problemin koşullarına göre p=0,6. Gönderen: q=1 -p = 0,4. Bu değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: ve bir dağıtım serisi oluşturun:

Görev 3. Bir bilgisayar bağımsız olarak çalışan üç öğeden oluşur: sistem birimi, monitör ve klavye. Gerilimdeki tek bir keskin artışla, her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bernoulli dağılımına dayanarak, ağdaki bir güç dalgalanması sırasında arızalanan elemanların sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. düşünelim Bernoulli dağılımı(veya binom): olasılıkÜretilsin testlerde A olayı tam olarak görünecek Nerede bir kere: , veya:

İÇİNDE Göreve geri dönelim.

X için olası değerler (arıza sayısı):

x 0 =0 – öğelerin hiçbiri başarısız oldu;

x 1 =1 – bir elemanın arızası;

x 2 =2 – iki elemanın arızası;

x 3 =3 – tüm elemanların arızası.

Koşullu olarak p = 0,1 olduğundan, q = 1 – p = 0,9 olur. Bernoulli formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

, ,

, .

Kontrol: .

Bu nedenle gerekli dağıtım kanunu:

Sorun 4. 5000 mermi üretildi. Kartuşlardan birinin arızalı olma olasılığı . Tüm partide tam olarak 3 adet hatalı fişek olma olasılığı nedir?

Çözüm. Uygulanabilir Poisson dağılımı: Bu dağılım çok büyük olasılıkları belirlemek için kullanılır.

Her birinde A olayının olasılığı çok küçük olan test sayısı (toplu testler), A olayı k kez meydana gelecektir: , Nerede .

Burada n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Bulduğumuzda istenilen olasılık: .

Sorun 5. Vuruş olasılığı p olan ilk vuruşa kadar ateş ederken = 0,6 atış yaparken üçüncü atışta isabet olma olasılığını bulmanız gerekir.

Çözüm. Geometrik bir dağılım uygulayalım: Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı p olan (ve gerçekleşmeme q = 1 – p) olan bağımsız denemeler yapılsın. Test, A olayı meydana gelir gelmez sona erer.

Bu koşullar altında, A olayının k. denemede meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir: . Burada p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Dolayısıyla .

Sorun 6. Bir X rastgele değişkeninin dağılım yasası verilsin:

Matematiksel beklentiyi bulun.

Çözüm. .

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamının bir rastgele değişkenin ortalama değeri olduğuna dikkat edin.

Sorun 7. Rastgele değişken X'in varyansını aşağıdaki dağıtım yasasıyla bulun:

Çözüm. Burada .

X'in kare değeri için dağıtım yasası 2 :

Gerekli varyans: .

Dağılım, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının (dağılımının) ölçüsünü karakterize eder.

Sorun 8. Dağılım tarafından rastgele bir değişken verilsin:

Sayısal özelliklerini bulun.

Çözüm: m, m 2 ,

M 2 , M.

X rastgele değişkeni hakkında şunu söyleyebiliriz: matematiksel beklentisi 6,4 m ve varyansı 13,04 m'dir. 2 veya – matematiksel beklentisi m sapmayla 6,4 m'dir. İkinci formülasyon açıkça daha açıktır.

Görev 9. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:
.

Test sonucunda X değerinin aralıkta yer alan değeri alma olasılığını bulun .

Çözüm. X'in belirli bir aralıktan değer alma olasılığı, bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşittir; . Bizim durumumuzda ve dolayısıyla

.

Görev 10. Ayrık rastgele değişken X Dağıtım kanunu tarafından verilen:

Dağıtım fonksiyonunu bulun F(x ) ve grafiğini çizin.

Çözüm. Dağıtım fonksiyonundan beri,

İçin , O

;

;

;

;

İlgili grafik:

Sorun 11. Sürekli rastgele değişken X diferansiyel dağılım fonksiyonu tarafından verilir: .

İsabet olasılığını bulun Aralık başına X

Çözüm. Bunun üstel dağılım yasasının özel bir durumu olduğunu unutmayın.

Formülü kullanalım: .

Görev 12. Dağılım yasasıyla belirtilen ayrık bir rastgele değişken X'in sayısal özelliklerini bulun:

9. Sürekli rastgele değişken, sayısal özellikleri

Sürekli bir rastgele değişken iki fonksiyon kullanılarak belirtilebilir. Rastgele değişken X'in integral olasılık dağılım fonksiyonu eşitlikle tanımlanan bir fonksiyon denir
.

İntegral fonksiyonu hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenleri belirlemek için genel bir yol sağlar. Sürekli bir rastgele değişken durumunda. Tüm olaylar: bu aralıktaki integral fonksiyonunun artışına eşit aynı olasılığa sahiptir, yani. Örneğin, örnek 26'da belirtilen ayrık rastgele değişken için elimizde:

Dolayısıyla, söz konusu fonksiyonun integral fonksiyonunun grafiği, iki ışının ve Ox eksenine paralel üç parçanın birleşimidir.

Örnek 27. Sürekli rastgele değişken X, integral olasılık dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir

.

İntegral fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun ve test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında bir değer alma olasılığını bulun.

Çözüm. Aralıkta
grafik y = 0 düz çizgisidir. 0'dan 2'ye kadar olan aralıkta denklemle verilen bir parabol vardır.
. Aralıkta
Grafik y = 1 düz çizgisidir.

Test sonucunda rastgele değişken X'in (0,5;1,5) aralığında değer alma olasılığı formül kullanılarak bulunur.

Böylece, .

İntegral olasılık dağılım fonksiyonunun özellikleri:

Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasasını başka bir fonksiyon kullanarak tanımlamak uygundur: olasılık yoğunluk fonksiyonu
.

Rastgele değişken X tarafından varsayılan değerin aralık dahilinde olma olasılığı
, eşitlikle belirlenir
.

Fonksiyonun grafiği denir dağıtım eğrisi. Geometrik olarak, rastgele bir X değişkeninin aralığa düşme olasılığı, dağılım eğrisi, Ox ekseni ve düz çizgilerle sınırlanan karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
.

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri:

9.1. Sürekli rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Beklenti Sürekli bir rastgele değişken X'in (ortalama değeri) eşitlikle belirlenir
.

M(X) şu şekilde gösterilir: A. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, ayrık bir rastgele değişkeninkine benzer özelliklere sahiptir:

Varyans ayrık rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir, yani. . Sürekli bir rastgele değişken için varyans aşağıdaki formülle verilir:
.

Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Son özelliğin sürekli bir rastgele değişkenin varyansını bulmak için kullanılması çok uygundur.

Standart sapma kavramı da benzer şekilde tanıtılmıştır. Süreklinin standart sapması Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir, yani
.

Örnek 28. Sürekli bir rastgele değişken X, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile belirtilir
(10;12) aralığında, bu aralığın dışında fonksiyonun değeri 0'dır. Bul 1) parametrenin değeri A, 2) matematiksel beklenti M(X), varyans
, standart sapma, 3) integral fonksiyonu
integral ve diferansiyel fonksiyonların grafiklerini oluşturabilir.

1). Parametreyi bulmak için A formülü kullan
. Alacağız. Böylece,
.

2). Matematiksel beklentiyi bulmak için şu formülü kullanırız:
.

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı bulacağız:
yani .

Bunu elde ettiğimiz formülü kullanarak standart sapmayı bulalım:
.

3). İntegral fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu aracılığıyla aşağıdaki şekilde ifade edilir:
. Buradan,
en
, = 0
sen = 1'de
.

Bu fonksiyonların grafikleri Şekil 2'de gösterilmektedir. 4. ve Şek. 5.

Şekil 4 Şekil 5.

9.2. Sürekli bir rastgele değişkenin düzgün olasılık dağılımı

Sürekli rastgele değişken X'in olasılık dağılımı eşit olarak olasılık yoğunluğu bu aralıkta sabitse ve bu aralığın dışında sıfıra eşitse, yani aralıkta; . Bu durumda bunu göstermek kolaydır.
.

Aralık ise
aralığın içinde yer alıyorsa, o zaman
.

Örnek 29. Anlık bir sinyal olayı saat bir ile saat beş arasında gerçekleşmelidir. Sinyal bekleme süresi bir X rastgele değişkenidir. Sinyalin öğleden sonra saat iki ile üç arasında algılanma olasılığını bulun.

Çözüm. X rastgele değişkeni düzgün bir dağılıma sahiptir ve formülü kullanarak sinyalin öğleden sonra saat 2 ile 3 arasında olma olasılığının şuna eşit olduğunu buluruz:
.

Eğitim ve diğer literatürde sıklıkla literatürde şu şekilde ifade edilir:
.

9.3. Sürekli bir rastgele değişkenin normal olasılık dağılımı

Sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı, eğer olasılık dağılım yasası olasılık yoğunluğu ile belirleniyorsa normal olarak adlandırılır.
. Bu miktarlar için A– matematiksel beklenti,
- standart sapma.

Teorem. Normal dağılmış sürekli bir rastgele değişkenin belirli bir aralığa düşme olasılığı
formülle belirlenir
, Nerede
- Laplace fonksiyonu.

Bu teoremin bir sonucu üç sigma kuralıdır; Normal dağılım gösteren, sürekli bir rasgele değişken olan X'in değerlerini aralıkta alması hemen hemen kesindir.
. Bu kural formülden türetilebilir
formüle edilmiş teoremin özel bir durumudur.

Örnek 30. TV'nin çalışma ömrü, normal dağıtım yasasına tabi olan, garanti süresi 15 yıl ve standart sapması 3 yıl olan rastgele bir X değişkenidir. Televizyonun 10 yıldan 20 yıla kadar dayanma olasılığını bulun.

Çözüm. Problemin koşullarına göre matematiksel beklenti A= 15, standart sapma.

Haydi bulalım . Yani TV'nin 10 ila 20 yıl arasında çalışma olasılığı 0,9'dan fazladır.

9.4 Chebyshev eşitsizliği

Gerçekleşir Chebyshev'in lemması. Rastgele bir değişken X yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa ve matematiksel bir beklentiye sahipse, o zaman herhangi bir pozitif için V
.

Zıt olayların olasılıklarının toplamı olarak şunu elde ederiz:
.

Chebyshev'in teoremi. Rastgele değişken X'in sonlu varyansı varsa
ve matematiksel beklenti M(X), o zaman herhangi bir pozitif için eşitsizlik doğrudur
.

Buradan şu sonuç çıkıyor
.

Örnek 31. Bir parça parça üretildi. Parçaların ortalama uzunluğu 100 cm, standart sapması 0,4 cm'dir. Rastgele alınan bir parçanın uzunluğunun en az 99 cm olma olasılığını aşağıdan tahmin edin. ve 101 cm'den fazla olmamalıdır.

Çözüm. Varyans. Matematiksel beklenti 100'dür. Dolayısıyla söz konusu olayın olasılığının altından tahmin yapmak
Chebyshev eşitsizliğini uygulayalım;
, Daha sonra
.

10. Matematiksel istatistiğin unsurları

İstatistiksel toplam Bir dizi homojen nesne veya olguyu adlandırın. Sayı N Bu kümenin elemanlarına koleksiyonun hacmi denir. Gözlemlenen değerler X özelliğine denir seçenekler. Seçenekler artan sırayla düzenlenirse, o zaman şunu elde ederiz: ayrık varyasyon serisi. Gruplandırma durumunda aralıklara göre seçenek şu şekilde ortaya çıkar: aralık varyasyon serisi. Altında frekans karakteristik değerler, belirli bir değişkene sahip popülasyonun üye sayısını anlar.

İstatistiksel bir popülasyonun sıklığının hacmine oranına denir bağıl frekans imza:
.

Bir varyasyon serisinin varyantları ile bunların frekansları arasındaki ilişkiye denir. numunenin istatistiksel dağılımı. İstatistiksel dağılımın grafiksel bir temsili şu şekilde olabilir: çokgen sıklık

Örnek 32. 25 birinci sınıf öğrencisiyle anket yapılarak yaşlarına ilişkin aşağıdaki veriler elde edildi:
. Öğrencilerin yaşlarına göre istatistiksel dağılımını derleyin, varyasyon aralığını bulun, bir frekans poligonu oluşturun ve bir dizi göreceli frekans dağılımını derleyin.

Çözüm. Anketten elde edilen verileri kullanarak örneklemin istatistiksel dağılımını oluşturacağız.

Varyasyon örneğinin aralığı 23 – 17 = 6'dır. Bir frekans poligonu oluşturmak için koordinatları olan noktalar oluşturun
ve bunları seri olarak bağlayın.

Bağıl frekans dağılım serisi şu şekildedir:

10.1.Varyasyon serisinin sayısal özellikleri

Örnek X özelliğinin bir dizi frekans dağılımıyla verilsin:

Tüm frekansların toplamı eşittir P.

Numunenin aritmetik ortalaması miktarı adlandırın
.

Varyans veya bir X karakteristiğinin değerlerinin aritmetik ortalamasına göre dağılım ölçüsüne değer denir
. Standart sapma varyansın kareköküdür, yani. .

Yüzde olarak ifade edilen standart sapmanın numunenin aritmetik ortalamasına oranına denir. varyasyon katsayısı:
.

Ampirik bağıl frekans dağılım fonksiyonu her değer için bir olayın göreceli sıklığını belirleyen bir işlevi çağırın
yani
, Nerede - seçenek sayısı, daha küçük ) noktadaki dağılım yoğunluğunun değerine eşittir, A N– numune boyutu.

Örnek 33.Örnek 32'nin koşulları altında sayısal özellikleri bulun
.

Çözüm. Formülü kullanarak numunenin aritmetik ortalamasını bulalım, sonra .

X özelliğinin varyansı şu formülle bulunur: , yani. Numunenin standart sapması
. Değişim katsayısı
.

10.2. Göreceli frekansa göre olasılık tahmini. Güven aralığı

Gerçekleştirilmesine izin ver N Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı sabit ve eşit olan bağımsız denemeler R. Bu durumda, bağıl frekansın, her denemede A olayının mutlak değerde meydana gelme olasılığından farklı olma olasılığı, Laplace integral fonksiyonunun değerinin yaklaşık olarak iki katından fazla değildir:
.

Aralık tahminiİstatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsayan aralığın sonu olan iki sayı ile belirlenen böyle bir tahmini çağırın.

Güven aralığıbelirli bir güven olasılığı ile bir aralıktır istatistiksel popülasyonun tahmini parametresini kapsar. Bilinmeyen miktarı değiştirdiğimiz formüle bakıldığında R yaklaşık değerine örnek verilerden elde ettiğimizde şunu elde ederiz:
. Bu formül göreceli sıklığa göre olasılığı tahmin etmek için kullanılır. Sayılar
, iki değer alarak
sırasıyla alt ve üst olarak adlandırılır güven sınırları, - belirli bir güven olasılığı için maksimum hata
.

Örnek 34. Fabrika atölyesi ampul üretiyor. 625 lamba kontrol edilirken 40 tanesinin arızalı olduğu tespit edildi. Fabrika atölyesinde üretilen kusurlu ampullerin yüzdesinin hangi sınırlar içinde olduğunu 0,95 güven olasılığıyla bulun.

Çözüm. Görevin koşullarına göre. Formülü kullanıyoruz
. Ekteki Tablo 2'yi kullanarak Laplace integral fonksiyonunun değerinin 0,475'e eşit olduğu argümanın değerini buluyoruz. bunu anladık
. Böylece, . Dolayısıyla atölyeden kaynaklanan kusurların payının yüksek olduğunu, yani %6,2 ile %6,6 arasında değiştiğini 0,95 olasılıkla söyleyebiliriz.

10.3. İstatistikte Parametre Tahmini

İncelenen tüm popülasyonun (genel popülasyon) niceliksel özelliği X'in normal bir dağılıma sahip olmasına izin verin.

Standart sapma biliniyorsa matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A

, Nerede N– numune büyüklüğü, - örnek aritmetik ortalama, T Laplace integral fonksiyonunun argümanıdır, burada
. Bu durumda sayı
tahmin doğruluğu denir.

Standart sapma bilinmiyorsa, örnek verilerden Öğrenci dağılımına sahip bir rastgele değişken oluşturmak mümkündür. N– Yalnızca bir parametreyle belirlenen 1 serbestlik derecesi N ve bilinmeyenlere bağlı değildir A Ve . Küçük örnekler için bile Öğrenci t dağılımı
oldukça tatmin edici derecelendirmeler veriyor. Daha sonra matematiksel beklentiyi kapsayan güven aralığı A Bu özelliğin belirli bir güven olasılığı ile koşulundan bulunur

burada S düzeltilmiş ortalama karedir, - Verilerden bulunan öğrenci katsayısı
ekteki tablo 3'ten.

Bu özelliğin standart sapmasını bir güven olasılığıyla kapsayan güven aralığı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: ve , burada
değerler tablosundan bulundu ve (“başarısızlık”) verilere göre.

10.4. Rastgele değişkenler arasındaki bağımlılıkları incelemek için istatistiksel yöntemler

Y'nin X'e korelasyon bağımlılığı, koşullu ortalamanın fonksiyonel bağımlılığıdır itibaren X. Denklem
Y'nin X üzerindeki regresyon denklemini temsil eder ve
- X'in Y üzerindeki regresyon denklemi.

Korelasyon bağımlılığı doğrusal veya eğrisel olabilir. Doğrusal korelasyon bağımlılığı durumunda, düz regresyon çizgisinin denklemi şu şekildedir:
eğim nerede A X üzerindeki Y regresyonunun düz çizgisi, X üzerindeki Y örnek regresyon katsayısı olarak adlandırılır ve şöyle gösterilir:
.

Küçük numuneler için veriler gruplandırılmaz, parametreler
normal denklem sisteminden en küçük kareler yöntemi kullanılarak bulunur:

, Nerede N– birbiriyle ilişkili büyüklük çiftlerinin değerlerinin gözlem sayısı.

Örnek doğrusal korelasyon katsayısı Y ve X arasındaki yakın ilişkiyi gösterir. Korelasyon katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak bulunur
, Ve
yani:

X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemi şu şekildedir:

.

X ve Y özelliklerine ilişkin çok sayıda gözlemle, aynı değere sahip iki girişli bir korelasyon tablosu derlenir ) noktadaki dağılım yoğunluğunun değerine eşittir gözlemlendi kez, aynı anlam en gözlemlendi kez, aynı çift
gözlemlendi bir kere.

Örnek 35. X ve Y işaretlerinin gözlem tablosu verilmiştir.

X üzerindeki Y düz regresyon çizgisinin örnek denklemini bulun.

Çözüm. İncelenen özellikler arasındaki ilişki, Y'nin X: üzerinde düz bir çizgi regresyonunun denklemi ile ifade edilebilir. Denklemin katsayılarını hesaplamak için bir hesaplama tablosu oluşturacağız:

Bilindiği üzere rastgele değişken duruma göre belirli değerleri alabilen değişken miktara denir. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z), değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (kesikli) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık rastgele değişken sıfır olmayan belirli olasılıklara sahip yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesini alan rastgele bir değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini bunlara karşılık gelen olasılıklarla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım kanunu aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1 . Dağıtım kanunu tablo tarafından verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) kullanarak dağılım fonksiyonu F(x) , her bir x değeri için X rastgele değişkeninin x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirler, yani F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak belirtilebilir – dağıtım çokgeni (çokgen) (bkz. sorun 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birkaç rakamı bilmek yeterlidir. Bu, bir rastgele değişkenin “ortalama değeri” anlamına gelen bir sayı olabileceği gibi, bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı da olabilir.

Bu tür sayılara rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir. :

• Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri Matematiksel beklenti ayrık bir rastgele değişkenin (ortalama değeri).
  M(X)=Σ x ben p ben
• Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ Dağılım ayrık rastgele değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2)− 2
  . X – M(X) farkı, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması olarak adlandırılır.
• Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ Standart sapma (standart sapma).

σ(X)=√D(X)

“Ayrık rastgele değişkenin dağılım yasası” konulu problem çözme örnekleri

Görev 1.

Çözüm. 1000 piyango bileti düzenlendi: 5'i 500 ruble, 10'u 100 ruble, 20'si 50 ruble, 50'si 10 ruble kazanacak. Rastgele değişken X - bilet başına kazançların olasılık dağılımı yasasını belirleyin.

Problemin koşullarına göre X rastgele değişkeninin şu değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.

Kazanılmayan bilet sayısı 1000 – (5+10+20+50) = 915, bu durumda P(X=0) = 915/1000 = 0,915 olur.

Benzer şekilde diğer tüm olasılıkları da buluruz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı tablo halinde sunalım:

X değerinin matematiksel beklentisini bulalım: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Görev 3.

Çözüm. 1. Ayrık rastgele değişken X = (bir deneydeki başarısız öğelerin sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 = 0 (cihaz öğelerinin hiçbiri başarısız olmadı), x 2 = 1 (bir öğe başarısız oldu), x 3 = 2 ( iki öğe başarısız oldu) ve x 4 =3 (üç öğe başarısız oldu).

Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arıza olasılıkları eşittir, dolayısıyla uygulanabilir Bernoulli'nin formülü . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P3(1) = C31 p1q3-1 = 3*0,1*0,92 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Kontrol edin: ∑p ben = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dolayısıyla, X'in istenen binom dağılım yasası şu şekildedir:

X i'nin olası değerlerini apsis ekseni boyunca ve karşılık gelen p i olasılıklarını ordinat ekseni boyunca çizeriz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları düz çizgi parçalarıyla birleştirerek istenilen dağıtım poligonunu elde ederiz.

3. F(x) = Р(Х dağılım fonksiyonunu bulalım.

F(x) fonksiyonunun grafiği

4. Binom dağılımı X için:
- matematiksel beklenti M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- varyans D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.