Rasyonel ve irrasyonel üslü kuvvetlere örnekler. Sayı kuvveti: tanımlar, gösterim, örnekler

Rasyonel üslü kuvvet

Khasyanova T.G.,

matematik öğretmeni

Sunulan materyal, “Rasyonel üslü üs” konusunu incelerken matematik öğretmenleri için faydalı olacaktır.

Sunulan materyalin amacı: “Matematik” disiplininin çalışma programının “Rasyonel Üslü Derece” konulu bir ders yürütme deneyimimi ortaya çıkarmak.

Dersi yürütme metodolojisi, türüne karşılık gelir - yeni bilgilerin incelenmesi ve başlangıçta pekiştirilmesine yönelik bir ders. Temel bilgi ve beceriler daha önce kazanılan deneyimlere dayalı olarak güncellendi; yeni bilgilerin birincil ezberlenmesi, birleştirilmesi ve uygulanması. Yeni materyalin pekiştirilmesi ve uygulanması, değişen karmaşıklıkta test ettiğim problemlerin çözülmesi şeklinde gerçekleşti ve konuya hakim olma konusunda olumlu bir sonuç verdi.

Dersin başında öğrenciler için şu hedefleri belirledim: eğitici, gelişimsel, eğitici. Ders sırasında çeşitli aktivite yöntemleri kullandım: ön, bireysel, çift, bağımsız, test. Görevler farklılaştırıldı ve dersin her aşamasında bilgi edinme derecesinin belirlenmesini mümkün kıldı. Görevlerin hacmi ve karmaşıklığı öğrencilerin yaş özelliklerine karşılık gelir. Deneyimlerime göre, sınıfta çözülen sorunlara benzer şekilde ödevler, edinilen bilgi ve becerileri güvenilir bir şekilde pekiştirmenize olanak tanır. Dersin sonunda yansıtma yapıldı ve öğrencilerin bireysel çalışmaları değerlendirildi.

Hedeflere ulaşıldı. Öğrenciler rasyonel üslü derece kavramı ve özelliklerini incelediler ve pratik problemleri çözerken bu özellikleri kullanmayı öğrendiler. Bağımsız çalışmalarda notlar bir sonraki derste açıklanır.

Matematik öğretiminde kullandığım metodolojinin matematik öğretmenlerinin de kullanabileceğine inanıyorum.

Ders konusu: Rasyonel üslü kuvvet

Dersin amacı:

Öğrencilerin bir bilgi ve beceri kompleksine hakim olma düzeyinin belirlenmesi ve buna dayanarak eğitim sürecini iyileştirmek için belirli çözümlerin uygulanması.

Ders hedefleri:

Eğitici:öğrenciler arasında temel kavramlar, kurallar, rasyonel bir göstergeyle dereceleri belirleyen yasalar, bilgiyi standart koşullarda, değiştirilmiş ve standart dışı koşullarda bağımsız olarak uygulama yeteneği hakkında yeni bilgi oluşturmak;

gelişmekte: mantıklı düşünün ve yaratıcı yeteneklerin farkına varın;

yükselterek: Matematiğe ilgi geliştirin, kelime dağarcığınızı yeni terimlerle doldurun ve etrafınızdaki dünya hakkında ek bilgi edinin. Sabır, azim ve zorlukların üstesinden gelme yeteneğini geliştirin.

Organizasyon anı

Referans bilgilerinin güncellenmesi

Üsler aynı tabanlarla çarpıldığında üsler toplanır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

2. Dereceleri aynı tabanlara göre bölerken derecelerin üsleri çıkarılır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

3. Dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır ancak taban aynı kalır:

Örneğin,

4. Ürünün derecesi, faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

Örneğin,

5. Bölümün derecesi, bölenin ve bölenin derecelerinin bölümüne eşittir:

Örneğin,

Çözümlü alıştırmalar

İfadenin anlamını bulun:

Çözüm:

Bu durumda, tüm derecelerin farklı tabanları olduğundan, doğal üslü bir derecenin hiçbir özelliği açıkça uygulanamaz. Bazı kuvvetleri farklı bir biçimde yazalım:

(Çarpının derecesi, faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir);

(aynı tabanlarla kuvvetler çarpıldığında üsler toplanır, ancak taban aynı kalır; bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken üsler çarpılır, ancak taban aynı kalır).

Sonra şunu elde ederiz:

Bu örnekte, doğal üslü bir derecenin ilk dört özelliği kullanılmıştır.

Aritmetik karekök
karesi eşit olan negatif olmayan bir sayıdırA,
. Şu tarihte:
- ifade
tanımlanmadı çünkü karesi negatif bir sayıya eşit olan hiçbir gerçek sayı yokturA.

Matematiksel dikte(8-10 dk.)

Seçenek

II. Seçenek

1.İfadenin değerini bulun

A)

B)

1.İfadenin değerini bulun

A)

B)

2.Hesapla

A)

B)

İÇİNDE)

2.Hesapla

A)

B)

V)

Kendi kendine test(yaka panosunda):

Yanıt Matrisi:

№ seçenek/görev

Sorun 1

Sorun 2

Seçenek 1

a) 2

2)

a) 0,5

B)

V)

Seçenek 2

a) 1,5

B)

A)

B)

c) 4

II.Yeni bilginin oluşumu

İfadenin ne anlama geldiğini, nerede olduğunu düşünelim. - pozitif sayı– kesirli sayı ve m-tamsayı, n-doğal (n›1)

Tanım: a›0'ın rasyonel üslü kuvvetiR = , M-tüm, N-doğal ( N›1) numara aranır.

Bu yüzden:

Örneğin:

Notlar:

1. Herhangi bir pozitif a ve herhangi bir rasyonel r sayısı için olumlu.

2. Ne zaman
bir sayının rasyonel kuvvetiAbelirlenmedi.

Gibi ifadeler
mantıklı değil.

3.Eğer kesirli pozitif bir sayı
.

Eğer kesirli negatif sayı o zaman -mantıklı değil.

Örneğin: - mantıklı değil.

Rasyonel üssü olan bir derecenin özelliklerini ele alalım.

a >0, b>0 olsun; r, s - herhangi bir rasyonel sayı. O halde herhangi bir rasyonel üssü olan bir derece aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Konsolidasyon. Yeni beceri ve yeteneklerin oluşumu.

Görev kartları küçük gruplar halinde test şeklinde çalışır.

A sayısının tamsayı üslerinden rasyonel üslere geçiş kendini göstermektedir. Aşağıda rasyonel üslü bir derece tanımlayacağız ve bunu tamsayı üslü bir derecenin tüm özellikleri korunacak şekilde yapacağız. Bu gereklidir çünkü tamsayılar rasyonel sayıların bir parçasıdır.

Rasyonel sayılar kümesinin tamsayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her kesrin pozitif veya negatif sıradan kesir olarak temsil edilebildiği bilinmektedir. Bir önceki paragrafta dereceyi tamsayı üslü olarak tanımlamıştık, dolayısıyla rasyonel üslü derece tanımını tamamlamak için sayının derecesine anlam vermemiz gerekiyor. A kesirli gösterge ile a/n, Nerede M bir tamsayıdır ve N- doğal. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve derecenin n'inci kökünü nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, verilenlerin verilmesi koşuluyla kabul etmek mantıklıdır. M, N Ve A ifade anlamlıdır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: eğer veri verilirse M, N Ve A ifade anlamlıysa sayının kuvveti A kesirli gösterge ile a/n kök denir N derecesi A bir dereceye kadar M.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey ne olduğunu açıklamak M, N Ve A ifade anlamlıdır. Uygulanan kısıtlamalara bağlı olarak M, N Ve Aİki ana yaklaşım vardır.

1. En kolay yol, kısıtlama getirmektir A, kabul ettikten a≥0 pozitif için M Ve a>0 negatif için M(ne zamandan beri m≤0 derece 0 m tanımlanmadı). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Pozitif bir sayının kuvveti A kesirli gösterge ile a/n , Nerede M- bütün ve N– kök adı verilen doğal bir sayı N sayının -incisi A bir dereceye kadar M yani .

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üslü sıfırın kuvveti a/n , Nerede M pozitif bir tam sayıdır ve N– doğal sayı, şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü bir derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif değerler için. A ve bazıları M Ve N ifade anlamlıdır ancak koşulu getirerek bu durumları göz ardı ettik a≥0. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

2. Kesirli üs ile dereceyi belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım a/n kökün çift ve tek üslerinin ayrı ayrı dikkate alınmasından oluşur. Bu yaklaşım ek bir koşulu gerektirir: Sayının gücü Aüssü indirgenebilir bir sıradan kesir olan sayının bir kuvveti olarak kabul edilir A göstergesi karşılık gelen indirgenemez kesirdir (bu koşulun önemi aşağıda açıklanacaktır). Yani eğer a/n indirgenemez bir kesirdir, o zaman herhangi bir doğal sayı için k derecesi ilk olarak ile değiştirilir.

Çift için N ve olumlu M ifade negatif olmayan herhangi bir durum için anlamlıdır A(Negatif bir sayının çift kökünün hiçbir anlamı yoktur), negatif için M sayı A yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde sıfıra bölünme olacaktır). Ve garip için N ve olumlu M sayı A herhangi biri olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek bir kök tanımlanır) ve negatif için M sayı A sıfırdan farklı olmalıdır (böylece sıfıra bölünme olmaz).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

İzin vermek a/n– indirgenemez kesir, M- bütün ve N– doğal sayı. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. Sayının gücü A indirgenemez kesirli bir üs ile a/n- bu şunun için

o herhangi bir gerçek sayı A, tamamen olumlu M ve garip doğal N, Örneğin, ;

o sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı A, negatif tamsayı M ve tuhaf N, Örneğin, ;

o negatif olmayan herhangi bir sayı A, tamamen olumlu M ve hatta N, Örneğin, ;

herhangi bir olumlu A, negatif tamsayı M ve hatta N, Örneğin, ;

o diğer durumlarda, kesirli göstergeli derece belirlenmez, örneğin dereceler tanımlanmaz .a girdiye herhangi bir anlam yüklemiyoruz; pozitif kesirli üsler için sıfır sayısının kuvvetini tanımlıyoruz. a/n Nasıl negatif kesirli üsler için sıfır sayısının kuvveti belirlenmez.

Bu noktayı sonuç olarak kesirli bir üssün ondalık kesir veya tam sayı olarak yazılabildiğine dikkat çekelim; . Bu tür ifadelerin değerlerini hesaplamak için, üssü sıradan bir kesir biçiminde yazmanız ve ardından üssün tanımını kesirli bir üsle kullanmanız gerekir. Yukarıdaki örnekler için elimizde Ve

“Rasyonel üslü üs” video dersi, bu konuyla ilgili bir ders vermek için görsel eğitim materyali içerir. Video dersi, rasyonel üslü derece kavramı, bu derecelerin özellikleri ve pratik sorunları çözmek için eğitim materyalinin kullanımını açıklayan örnekler hakkında bilgi içerir. Bu video dersinin amacı eğitim materyalini açık ve net bir şekilde sunmak, öğrenciler tarafından geliştirilmesini ve ezberlenmesini kolaylaştırmak ve öğrenilen kavramları kullanarak problem çözme yeteneğini geliştirmektir.

Video dersinin temel avantajları, dönüşümleri ve hesaplamaları görsel olarak gerçekleştirme yeteneği, öğrenme verimliliğini artırmak için animasyon efektlerini kullanma yeteneğidir. Ses eşliğinde, doğru matematiksel konuşmanın geliştirilmesine yardımcı olur ve aynı zamanda öğretmenin açıklamasının yerine geçmesini mümkün kılarak ona bireysel çalışma yapma özgürlüğü tanır.

Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Yeni bir konunun çalışmasını daha önce çalışılan materyalle ilişkilendirirken, n √a'nın doğal n ve pozitif a için 1/n olarak gösterildiğinin hatırlanması önerilir. Bu n-kök temsili ekranda görüntülenir. Daha sonra, a'nın pozitif bir sayı ve m/n'nin bir kesir olduğu m/n ifadesinin ne anlama geldiğini düşünmeyi öneriyoruz. a m/n = n √a m şeklinde rasyonel üslü bir derecenin tanımı çerçevede vurgulanarak verilmiştir. N'nin bir doğal sayı olabileceği ve m'nin bir tam sayı olabileceği belirtilmektedir.

Derecenin rasyonel üslü tanımı yapıldıktan sonra anlamı örneklerle ortaya çıkar: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Ayrıca, ondalık sayıyla temsil edilen bir kuvvetin, kök olarak temsil edilecek bir kesire dönüştürüldüğü bir örneği de gösterir: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 ve negatif kuvvete sahip bir örnek: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Derecenin tabanının sıfır olduğu özel durumun özelliği ayrıca belirtilir. Bu derecenin yalnızca pozitif kesirli üs ile anlamlı olduğu belirtilmektedir. Bu durumda değeri sıfırdır: 0 m/n =0.

Rasyonel üslü bir derecenin bir başka özelliği de, kesirli üslü bir derecenin kesirli üslü olarak değerlendirilemeyeceğidir. Yanlış derece gösterimi örnekleri verilmiştir: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Bir sonraki video dersinde rasyonel üslü bir derecenin özelliklerini tartışacağız. Tamsayı üslü bir derecenin özelliklerinin, rasyonel üslü bir derece için de geçerli olacağı belirtiliyor. Bu durumda da geçerli olan özelliklerin listesinin hatırlanması önerilmektedir:

1. Üsleri aynı tabanlarla çarparken üslerin toplamı şu şekilde olur: a p a q =a p+q.
2. Aynı tabanlara sahip derecelerin bölümü, belirli bir tabana ve üsler arasındaki farka göre bir dereceye indirgenir: a p:a q =a p-q.
3. Dereceyi belirli bir kuvvete yükseltirsek, belirli bir tabana ve üslerin çarpımına sahip bir derece elde ederiz: (a p) q =a pq.

Tüm bu özellikler rasyonel üsleri p, q ve pozitif tabanı a>0 olan kuvvetler için geçerlidir. Ayrıca parantezlerin açılması sırasındaki derece dönüşümleri de aynı kalır:

1. (ab) p =a p b p - rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltildiğinde, iki sayının çarpımı, her biri belirli bir kuvvete yükseltilen sayıların çarpımına indirgenir.
2. (a/b) p =a p /b p - bir kesri rasyonel bir üsle bir kuvvete yükseltmek, payı ve paydası belirli bir kuvvete yükseltilmiş bir kesre indirgenir.

Video eğitimi, rasyonel bir üsle kuvvetlerin dikkate alınan özelliklerini kullanan örnekleri çözmeyi tartışıyor. İlk örnek sizden x değişkenlerini kesirli kuvvette içeren bir ifadenin değerini bulmanızı ister: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). İfadenin karmaşıklığına rağmen kuvvetlerin özelliklerini kullanarak oldukça basit bir şekilde çözülebilir. Problemin çözümü, rasyonel üssü olan bir kuvvetin bir kuvvete yükseltilmesi ve aynı tabana sahip kuvvetlerin çarpılması kuralını kullanan ifadenin basitleştirilmesiyle başlar. Verilen x=8 değerini basitleştirilmiş x 1/3 +48 ifadesine yerleştirdikten sonra - 50 değerini elde etmek kolaydır.

İkinci örnekte pay ve paydası rasyonel üslü kuvvetler içeren bir kesri azaltmanız gerekiyor. Derecenin özelliklerini kullanarak, farktan x 1/3 faktörünü çıkarırız, bu daha sonra pay ve paydada azaltılır ve kareler farkı formülünü kullanarak pay çarpanlara ayrılır, bu da aynı değerde daha fazla azalma sağlar. pay ve paydadaki faktörler. Bu tür dönüşümlerin sonucu kısa kesir x 1/4 +3'tür.

Öğretmenin yeni bir ders konusunu açıklaması yerine “Rasyonel Üslü Üs” video dersi kullanılabilir. Bu kılavuz aynı zamanda öğrencinin bağımsız olarak çalışabilmesi için yeterince eksiksiz bilgi içerir. Materyal aynı zamanda uzaktan eğitim için de yararlı olabilir.

Bu yazıda ne olduğunu anlayacağız bir sayının kuvveti. Burada bir sayının kuvvetinin tanımlarını vereceğiz ve doğal üsle başlayıp irrasyonel üsle biten tüm olası üsleri ayrıntılı olarak ele alacağız. Materyalde, ortaya çıkan tüm incelikleri kapsayan birçok derece örneği bulacaksınız.

Sayfada gezinme.

Doğal üslü kuvvet, sayının karesi, sayının küpü

İle başlayalım. İleriye baktığımızda, doğal üssü n olan bir a sayısının kuvvetinin tanımının a olarak adlandıracağımız a için verildiğini varsayalım. derece esası, ve n diyeceğiz üs. Ayrıca, doğal üslü bir derecenin bir çarpım yoluyla belirlendiğini de not ediyoruz; bu nedenle, aşağıdaki materyali anlamak için sayıları çarpma konusunda bilgi sahibi olmanız gerekir.

Tanım.

Doğal üssü n olan bir sayının kuvveti değeri, her biri a'ya eşit olan n faktörün çarpımına eşit olan, yani n formunun bir ifadesidir.
Özellikle üssü 1 olan bir a sayısının kuvveti a sayısının kendisidir, yani a 1 =a'dır.

Derece okuma kurallarından hemen bahsetmeye değer. a n gösterimini okumanın evrensel yolu şudur: “a üzeri n”. Bazı durumlarda şu seçenekler de kabul edilebilir: "a'nın n'inci kuvveti" ve "a'nın n'inci kuvveti". Örneğin, 8 12'nin kuvvetini ele alalım, bu "sekiz üssü on iki" veya "sekiz üssü on ikinci" veya "sekizin on ikinci kuvveti".

Bir sayının ikinci kuvvetinin yanı sıra bir sayının üçüncü kuvvetinin de kendi isimleri vardır. Bir sayının ikinci kuvvetine denir sayının karesini almakörneğin 7 2, "yedi kare" veya "yedi sayısının karesi" olarak okunur. Bir sayının üçüncü kuvvetine denir küplü sayılarörneğin 5 3 “beşin küpü” olarak okunabilir veya “5 sayısının küpü” diyebilirsiniz.

getirme zamanı geldi doğal üslü derece örnekleri. Derece 5 7 ile başlayalım, burada 5 derecenin tabanı, 7 ise üssü. Bir örnek daha verelim: 4,32 taban, 9 doğal sayısı ise (4,32) 9 üssüdür.

Son örnekte 4.32'nin üssünün parantez içinde yazıldığını lütfen unutmayın: Tutarsızlıkları önlemek için, doğal sayılardan farklı olan tüm kuvvet tabanlarını parantez içine alacağız. Örnek olarak aşağıdaki dereceleri doğal üslerle birlikte veriyoruz tabanları doğal sayı olmadığı için parantez içinde yazılırlar. Tam bir açıklık sağlamak için, bu noktada (−2)3 ve −23 formundaki kayıtların içerdiği farkı göstereceğiz. (−2) 3 ifadesi −2'nin doğal üssü 3 olan bir kuvvetidir ve −2 3 ifadesi (−(2 3) olarak da yazılabilir) 2 3 kuvvetinin değeri olan sayıya karşılık gelir. .

a^n biçiminde bir n üssüne sahip bir a sayısının kuvveti için bir gösterim olduğuna dikkat edin. Ayrıca n çok değerli bir doğal sayı ise üs parantez içine alınır. Örneğin, 4^9, 4 9'un kuvvetinin başka bir gösterimidir. Ve burada “^” sembolünü kullanarak derece yazmanın birkaç örneği daha var: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Aşağıda öncelikle a n formunun derece gösterimini kullanacağız.

Doğal üslü bir kuvvete yükseltmenin ters problemlerinden biri, kuvvetinin bilinen bir değerinden ve bilinen bir üssünden kuvvetin tabanını bulma problemidir. Bu görev şuna yol açar.

Rasyonel sayılar kümesinin tamsayılardan ve kesirlerden oluştuğu ve her kesrin pozitif veya negatif sıradan kesir olarak temsil edilebildiği bilinmektedir. Bir önceki paragrafta tamsayı üslü bir derece tanımlamıştık, bu nedenle rasyonel üslü bir derecenin tanımını tamamlamak için a sayısının kuvvetine m/n kesirli üslü anlam vermemiz gerekiyor; m bir tamsayı, n ise bir doğal sayıdır. Hadi bunu yapalım.

Formun kesirli üssü olan bir dereceyi ele alalım. Güç-güç özelliğinin geçerli kalması için eşitliğin sağlanması gerekir . Ortaya çıkan eşitliği ve nasıl belirlediğimizi dikkate alırsak, m, n ve a verildiğinde ifadenin anlamlı olması koşuluyla bunu kabul etmek mantıklıdır.

Tamsayı üslü bir derecenin tüm özelliklerinin geçerli olup olmadığını kontrol etmek kolaydır (bu, rasyonel üslü bir derecenin bölüm özelliklerinde yapılmıştır).

Yukarıdaki mantık aşağıdakileri yapmamızı sağlar çözüm: m, n ve a ifadesi anlamlıysa, o zaman a'nın m/n kesirli üssüne kuvveti, a'nın m üssünün n'inci kökü olarak adlandırılır.

Bu ifade bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına yaklaştırıyor. Geriye kalan tek şey m, n ve a ifadesinin hangi noktada anlamlı olduğunu açıklamaktır. M, n ve a'ya getirilen kısıtlamalara bağlı olarak iki ana yaklaşım vardır.

En kolay yol, pozitif m için a≥0 ve negatif m için a>0 alarak a'ya bir kısıtlama getirmektir (çünkü m≤0 için m'nin 0 derecesi tanımlanmamıştır). Daha sonra kesirli üslü bir derecenin aşağıdaki tanımını elde ederiz.

Tanım.

Kesirli üssü m/n olan pozitif bir a sayısının kuvveti m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı olduğu ifadesine, a sayısının m üssünün n'inci kökü denir.

Sıfırın kesirli kuvveti de göstergenin pozitif olması gerektiği yönündeki tek uyarıyla belirlenir.

Tanım.

Kesirli pozitif üssü m/n ile sıfırın kuvveti m pozitif bir tam sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere şu şekilde tanımlanır: .
Derece belirlenmediğinde yani sıfır sayısının kesirli negatif üslü derecesinin bir anlamı kalmaz.

Kesirli üslü derecenin bu tanımında bir uyarı bulunduğunu belirtmek gerekir: bazı negatif a ve bazı m ve n için ifade anlamlıdır ve a≥0 koşulunu getirerek bu durumları göz ardı ettik. Örneğin, girişler anlamlıdır veya , ve yukarıda verilen tanım bizi formun kesirli üssüne sahip kuvvetlerin olduğunu söylemeye zorluyor tabanın negatif olmaması gerektiği için mantıklı değil.

Kesirli m/n üssüyle bir derece belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım, kökün çift ve tek üslerini ayrı ayrı dikkate almaktır. Bu yaklaşım ek bir koşul gerektirir: Üssü 0 olan a sayısının kuvveti, üssü karşılık gelen indirgenemez kesir olan a sayısının kuvveti olarak kabul edilir (bu koşulun önemini aşağıda açıklayacağız) ). Yani, eğer m/n indirgenemez bir kesir ise, o zaman herhangi bir k doğal sayısı için derece ilk önce ile değiştirilir.

Çift n ve pozitif m için, ifade negatif olmayan herhangi bir a için anlamlıdır (negatif bir sayının çift kökü anlamlı değildir); negatif m için a sayısı yine de sıfırdan farklı olmalıdır (aksi takdirde bölme olacaktır). sıfır). Tek n ve pozitif m için a sayısı herhangi bir sayı olabilir (herhangi bir gerçek sayı için tek derecenin kökü tanımlanır) ve negatif m için a sayısı sıfır olmamalıdır (böylece sayıya bölünme olmaz) sıfır).

Yukarıdaki mantık bizi kesirli üslü bir derecenin tanımına götürür.

Tanım.

m/n indirgenemez bir kesir, m bir tam sayı ve n bir doğal sayı olsun. İndirgenebilir herhangi bir kesir için derece, ile değiştirilir. İndirgenemez kesirli üssü m/n olan bir sayının kuvveti



İndirgenebilir kesirli üssü olan bir derecenin neden ilk önce indirgenemez üssü olan bir dereceyle değiştirildiğini açıklayalım. Dereceyi basitçe olarak tanımlasaydık ve m/n kesirinin indirgenemezliği konusunda bir çekince koymasaydık aşağıdakine benzer durumlarla karşı karşıya kalırdık: 6/10 = 3/5 olduğuna göre eşitliğin sağlanması gerekir. , Ancak , A .