Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen bir çizginin denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki düz çizgi arasındaki açı. İki düz çizginin paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi

1. Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi A(X 1 , sen 1) eğim tarafından belirlenen belirli bir yönde k,

sen - sen 1 = k(X - X 1). (1)

Bu denklem bir noktadan geçen çizgilerden oluşan kalemi tanımlar A(X 1 , sen 1), buna ışın merkezi denir.

2. İki noktadan geçen doğrunun denklemi: A(X 1 , sen 1) ve B(X 2 , sen 2), şu şekilde yazılır:

Verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin açısal katsayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

3. Düz çizgiler arasındaki açı A Ve B ilk düz çizginin döndürülmesi gereken açıdır A bu çizgilerin kesişme noktası etrafında, ikinci çizgiye denk gelene kadar saat yönünün tersine B. Eğimli denklemlerle iki doğru verilmişse

sen = k 1 X + B 1 ,

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.
Yön vektörü düzdür. Normal vektör

Düzlemdeki düz bir çizgi, ilkokuldan aşina olduğunuz en basit geometrik şekillerden biridir ve bugün analitik geometri yöntemlerini kullanarak bununla nasıl başa çıkacağımızı öğreneceğiz. Malzemeye hakim olmak için düz bir çizgi oluşturabilmeniz gerekir; Hangi denklemin düz bir çizgiyi, özellikle koordinatların orijininden geçen düz bir çizgiyi ve koordinat eksenlerine paralel düz çizgileri tanımladığını bilir. Bu bilgiyi kılavuzda bulabilirsiniz Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri Mathan için hazırladım ama doğrusal fonksiyonla ilgili bölüm oldukça başarılı ve detaylı çıktı. Bu nedenle sevgili çaydanlıklar, önce orayı ısıtın. Ayrıca temel bilgilere de sahip olmanız gerekir. vektörler aksi takdirde materyalin anlaşılması eksik kalacaktır.

Bu derste düzlem üzerinde düz bir çizginin denklemini oluşturmanın yollarına bakacağız. Uygulamalı örnekleri (çok basit görünse bile) ihmal etmemenizi öneririm, çünkü onlara yüksek matematiğin diğer bölümleri de dahil olmak üzere gelecekte ihtiyaç duyulacak temel ve önemli gerçekleri ve teknikleri sunacağım.

• Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?
• Nasıl ?
• Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?
• Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

ve başlıyoruz:

Eğimli bir doğrunun denklemi

Düz çizgi denkleminin iyi bilinen "okul" biçimine denir eğimi olan bir doğrunun denklemi. Örneğin, denklemde düz bir çizgi veriliyorsa eğimi: . Bu katsayının geometrik anlamını ve değerinin çizginin konumunu nasıl etkilediğini ele alalım:

Bir geometri dersinde kanıtlanmıştır ki doğrunun eğimi eşittir açının tanjantı pozitif eksen yönü arasındave bu çizgi: ve açı saat yönünün tersine "açılır".

Çizimi karıştırmamak için sadece iki düz çizgiye açı çizdim. “Kırmızı” çizgiyi ve eğimini ele alalım. Yukarıdakilere göre: (“alfa” açısı yeşil bir yay ile gösterilir). Açı katsayısına sahip “mavi” düz çizgi için eşitlik doğrudur (“beta” açısı kahverengi bir yay ile gösterilir). Ve eğer açının tanjantı biliniyorsa, o zaman gerekirse bulunması kolaydır. ve köşenin kendisi ters fonksiyonu kullanarak - arktanjant. Dedikleri gibi, elinizde bir trigonometrik masa veya bir mikro hesap makinesi. Böylece, açısal katsayı, düz çizginin apsis eksenine eğim derecesini karakterize eder.

Aşağıdaki durumlar mümkündür:

1) Eğim negatifse: kabaca konuşursak çizgi yukarıdan aşağıya doğru gider. Örnekler çizimdeki “mavi” ve “ahududu” düz çizgilerdir.

2) Eğim pozitifse: doğru, aşağıdan yukarıya doğru gider. Örnekler - çizimdeki “siyah” ve “kırmızı” düz çizgiler.

3) Eğim sıfır ise, denklem şu şekli alır: ve karşılık gelen düz çizgi eksene paraleldir. Bir örnek “sarı” düz çizgidir.

4) Bir eksene paralel çizgiler ailesi için (çizimde eksenin kendisi dışında örnek yoktur), açısal katsayı mevcut değil (90 derecenin tanjantı tanımlanmamıştır).

Mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar büyükse, düz çizgi grafiği de o kadar dik gider..

Örneğin iki düz çizgiyi düşünün. Dolayısıyla burada düz çizginin eğimi daha diktir. Modülün işareti görmezden gelmenize izin verdiğini hatırlatayım, biz sadece ilgileniyoruz mutlak değerler açısal katsayılar.

Buna karşılık düz bir çizgi, düz çizgilerden daha diktir .

Tersine: mutlak değerde eğim katsayısı ne kadar küçükse, düz çizgi o kadar düz olur.

Düz çizgiler için eşitsizlik doğrudur, dolayısıyla düz çizgi daha düzdür. Kendinize morluklar ve şişlikler vermemek için çocuk kaydırağı.

Bu neden gerekli?

Eziyetinizi uzatın Yukarıdaki gerçekleri bilmek, hatalarınızı, özellikle de grafik oluştururken yaptığınız hataları - çizimin "açıkça yanlış olduğu" ortaya çıkarsa - anında görmenizi sağlar. Bunu yapmanız tavsiye edilir hemenörneğin düz çizginin çok dik olduğu ve aşağıdan yukarıya doğru gittiği, düz çizginin ise çok düz olduğu, eksene yakın bastırıldığı ve yukarıdan aşağıya doğru gittiği açıktı.

Geometrik problemlerde sıklıkla birkaç düz çizgi görünür, bu nedenle bunları bir şekilde belirlemek uygundur.

Tanımlar: düz çizgiler küçük Latin harfleriyle gösterilmiştir: . Popüler bir seçenek, bunları doğal alt simgelerle aynı harfi kullanarak belirlemektir. Örneğin az önce baktığımız beş çizgi şu şekilde gösterilebilir: .

Herhangi bir düz çizgi benzersiz olarak iki nokta tarafından belirlendiğinden, bu noktalarla gösterilebilir: vesaire. Tanım, noktaların çizgiye ait olduğunu açıkça ima eder.

Biraz ısınmanın zamanı geldi:

Açı katsayılı düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Belirli bir doğruya ait bir nokta ve bu doğrunun açısal katsayısı biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Örnek 1

Noktanın verilen doğruya ait olduğu biliniyorsa eğimi olan bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm: Formülü kullanarak düz çizginin denklemini oluşturalım . Bu durumda:

Cevap:

Sınav basitçe yapılır. Öncelikle ortaya çıkan denkleme bakıp eğimimizin yerinde olduğundan emin oluyoruz. İkinci olarak noktanın koordinatlarının bu denklemi sağlaması gerekir. Bunları denklemde yerine koyalım:

Doğru eşitlik elde edilir, bu da noktanın ortaya çıkan denklemi karşıladığı anlamına gelir.

Çözüm: Denklem doğru bulunmuştur.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha zor bir örnek:

Örnek 2

Eksenin pozitif yönüne olan eğim açısının olduğu ve noktanın bu düz çizgiye ait olduğu biliniyorsa, düz bir çizginin denklemini yazın.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız teorik materyali yeniden okuyun. Daha doğrusu, daha pratik, birçok delili atlıyorum.

Son zil çaldı, mezuniyet töreni sona erdi ve ana okulumuzun kapılarının dışında analitik geometrinin kendisi bizi bekliyor. Şakalar bitti... Ya da belki daha yeni başlıyorlar =)

Kalemimizi nostaljik bir şekilde tanıdık olana sallıyoruz ve düz bir çizginin genel denklemiyle tanışıyoruz. Çünkü analitik geometride tam olarak kullanılan şey budur:

Düz bir çizginin genel denklemi şu şekildedir:: , bazı sayılar nerede? Aynı zamanda katsayılar aynı anda Denklem anlamını yitirdiğinden sıfıra eşit değildir.

Takım elbise giyelim ve denklemi eğim katsayısıyla bağlayalım. Öncelikle tüm terimleri sol tarafa taşıyalım:

İlk sıraya “X”li terim konulmalıdır:

Prensip olarak, denklem zaten şu şekle sahiptir, ancak matematik görgü kurallarına göre, ilk terimin katsayısı (bu durumda) pozitif olmalıdır. İşaretlerin değiştirilmesi:

Bu teknik özelliği unutmayın!İlk katsayıyı (çoğunlukla) pozitif yaparız!

Analitik geometride düz bir çizginin denklemi neredeyse her zaman genel biçimde verilir. Gerekirse, açısal katsayılı (ordinat eksenine paralel düz çizgiler hariç) kolayca "okul" formuna indirgenebilir.

Kendimize şunu soralım yeterli Düz bir çizgi çizmeyi biliyor musun? İki nokta. Ancak daha sonra bu çocukluk olayıyla ilgili daha fazla bilgi verilecek ve artık ok kuralına sadık kalınacak. Her düz çizginin çok özel bir eğimi vardır ve buna "adapte edilmesi" kolaydır. vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre o doğrunun yön vektörü denir. Herhangi bir düz çizginin sonsuz sayıda yön vektörüne sahip olduğu açıktır ve bunların hepsi eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü ya da değil - önemli değil).

Yön vektörünü şu şekilde göstereceğim: .

Ancak bir vektör düz bir çizgi oluşturmak için yeterli değildir; vektör serbesttir ve düzlemdeki herhangi bir noktaya bağlı değildir. Bu nedenle doğruya ait bazı noktaların da bilinmesi gerekmektedir.

Bir nokta ve yön vektörü kullanılarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun yön vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Bazen denir çizginin kanonik denklemi .

Ne zaman ne yapmalı koordinatlardan biri sıfıra eşit olduğunu aşağıdaki pratik örneklerde anlayacağız. Bu arada, lütfen unutmayın - ikisi de aynı anda Sıfır vektörü belirli bir yönü belirtmediğinden koordinatlar sıfıra eşit olamaz.

Örnek 3

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Çözüm: Formülü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım. Bu durumda:

Orantı özelliklerini kullanarak kesirlerden kurtuluruz:

Ve denklemi genel şekline getiriyoruz:

Cevap:

Kural olarak, bu tür örneklerde çizim yapmaya gerek yoktur, ancak anlaşılması adına:

Çizimde başlangıç ​​noktasını, orijinal yön vektörünü (düzlemdeki herhangi bir noktadan çizilebilir) ve oluşturulan düz çizgiyi görüyoruz. Bu arada, çoğu durumda açısal katsayılı bir denklem kullanarak düz bir çizgi oluşturmak en uygunudur. Denklemimiz kolayca forma dönüştürülebilir ve herhangi bir sorun yaşamadan düz bir çizgi oluşturmak için başka bir nokta seçilebilir.

Paragrafın başında belirtildiği gibi, düz bir çizginin sonsuz sayıda yön vektörü vardır ve bunların hepsi eşdoğrusaldır. Örneğin, böyle üç vektör çizdim: . Hangi yön vektörünü seçersek seçelim sonuç her zaman aynı düz çizgi denklemi olacaktır.

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Oranın çözümü:

Her iki tarafı da -2'ye bölün ve tanıdık denklemi elde edin:

İlgilenenler vektörleri aynı şekilde test edebilirler veya başka herhangi bir eşdoğrusal vektör.

Şimdi ters problemi çözelim:

Düz bir çizginin genel denklemini kullanarak yön vektörü nasıl bulunur?

Çok basit:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun yön vektörüdür.

Düz çizgilerin yön vektörlerini bulma örnekleri:

İfade, sonsuz sayıdan yalnızca bir yön vektörünü bulmamızı sağlar, ancak daha fazlasına ihtiyacımız yoktur. Bazı durumlarda yön vektörlerinin koordinatlarının azaltılması tavsiye edilse de:

Dolayısıyla denklem, eksene paralel olan bir düz çizgiyi belirtir ve elde edilen yön vektörünün koordinatları uygun şekilde –2'ye bölünür ve yön vektörü olarak tam olarak temel vektör elde edilir. Mantıksal.

Benzer şekilde denklem eksene paralel bir doğruyu belirtir ve vektörün koordinatlarını 5'e bölerek yön vektörü olarak ort vektörünü elde ederiz.

Şimdi yapalım Örnek 3'ün kontrol edilmesi. Örnek yukarıya çıktı, bu yüzden size bir nokta ve yön vektörü kullanarak düz bir çizginin denklemini derlediğimizi hatırlatırım.

İlk önce, düz çizginin denklemini kullanarak onun yön vektörünü yeniden oluşturuyoruz: – her şey yolunda, orijinal vektörü aldık (bazı durumlarda sonuç, orijinal vektöre eşdoğrusal bir vektör olabilir ve bunu genellikle karşılık gelen koordinatların orantılılığıyla fark etmek kolaydır).

ikinci olarak, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Bunları denklemde yerine koyarız:

Doğru eşitlik elde edildi ve bundan çok memnunuz.

Çözüm: Görev doğru bir şekilde tamamlandı.

Örnek 4

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır. Az önce tartışılan algoritmayı kullanarak kontrol etmeniz şiddetle tavsiye edilir. Her zaman (mümkünse) taslağı kontrol etmeye çalışın. %100 önlenebilecek hatalar yapmak aptallıktır.

Yön vektörünün koordinatlarından birinin sıfır olması durumunda çok basit bir şekilde ilerleyin:

Örnek 5

Çözüm: Sağ taraftaki payda sıfır olduğundan formül uygun değildir. Bir çıkış yolu var! Oranın özelliklerini kullanarak formülü formda yeniden yazıyoruz ve geri kalanı derin bir iz boyunca yuvarlanıyor:

Cevap:

Sınav:

1) Düz çizginin yönlendirici vektörünü geri yükleyin:
– ortaya çıkan vektör orijinal yön vektörüne eşdoğrusaldır.

2) Noktanın koordinatlarını denklemde yerine koyun:

Doğru eşitlik elde edildi

Çözüm: görev doğru şekilde tamamlandı

Şu soru ortaya çıkıyor: Her durumda işe yarayacak evrensel bir versiyon varsa neden formülle uğraşasınız ki? İki sebep var. İlk olarak formül kesir şeklindedir çok daha iyi hatırlandı. İkincisi, evrensel formülün dezavantajı şudur: kafanın karışma riski önemli ölçüde artar Koordinatları değiştirirken.

Örnek 6

Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir.

Her yerde bulunan iki noktaya dönelim:

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

İki nokta biliniyorsa, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formül kullanılarak derlenebilir:

Aslında bu bir tür formüldür ve nedeni şudur: Eğer iki nokta biliniyorsa, o zaman vektör, verilen doğrunun yön vektörü olacaktır. sınıfta Aptallar için vektörler En basit problemi düşündük - bir vektörün koordinatlarının iki noktadan nasıl bulunacağı. Bu probleme göre yön vektörünün koordinatları şöyledir:

Not : noktalar "değiştirilebilir" ve formül kullanılabilir . Böyle bir çözüm eşdeğer olacaktır.

Örnek 7

İki noktayı kullanarak düz bir çizginin denklemini yazın .

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Paydaların birleştirilmesi:

Ve desteyi karıştırın:

Artık kesirli sayılardan kurtulmak daha uygun. Bu durumda her iki tarafı da 6 ile çarpmanız gerekir:

Parantezleri açın ve denklemi aklınıza getirin:

Cevap:

Sınav açıktır - başlangıç ​​noktalarının koordinatları ortaya çıkan denklemi karşılamalıdır:

1) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

2) Noktanın koordinatlarını değiştirin:

Gerçek eşitlik.

Çözüm: Doğrunun denklemi doğru yazılmıştır.

Eğer en az bir noktaların denklemi karşılamıyorsa, bir hata arayın.

Düz bir çizgi oluşturmak ve noktaların ona ait olup olmadığını görmek nedeniyle bu durumda grafiksel doğrulamanın zor olduğunu belirtmekte fayda var. o kadar basit değil.

Çözümün birkaç teknik yönüne daha değineceğim. Belki bu problemde ayna formülünü kullanmak daha karlı olur ve aynı noktalarda bir denklem kuralım:

Daha az kesir. İsterseniz çözümü sonuna kadar yürütebilirsiniz, sonuç aynı denklem olmalıdır.

İkinci nokta, son cevaba bakmak ve bunun daha da basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini anlamaktır. Örneğin, denklemi elde ederseniz, onu ikiye azaltmanız önerilir: – denklem aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır. Ancak bu zaten tartışılan bir konu çizgilerin göreceli konumu.

Cevabı aldıktan Örnek 7'de her ihtimale karşı denklemin TÜM katsayılarının 2, 3 veya 7'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol ettim. Bununla birlikte, çoğu zaman bu tür indirgemeler çözüm sırasında yapılır.

Örnek 8

Noktalardan geçen bir doğrunun denklemini yazın .

Bu, hesaplama tekniklerini daha iyi anlamanızı ve uygulamanızı sağlayacak bağımsız bir çözüm örneğidir.

Önceki paragrafa benzer: formülde ise paydalardan biri (yön vektörünün koordinatı) sıfır olur, sonra onu formda yeniden yazarız. Bir kez daha ne kadar garip ve kafası karışmış göründüğüne dikkat edin. Bu sorunu zaten çözdüğümüz için pratik örnekler vermenin pek bir anlamı olduğunu düşünmüyorum (bkz. No. 5, 6).

Doğrudan normal vektör (normal vektör)

Normal olan nedir? Basit bir ifadeyle normal, diktir. Yani bir doğrunun normal vektörü verilen bir doğruya diktir. Açıkçası, herhangi bir düz çizgide bunlardan sonsuz sayıda vardır (aynı zamanda yön vektörleri) ve düz çizginin tüm normal vektörleri eşdoğrusal olacaktır (eş-yönlü olsun ya da olmasın, hiçbir fark yaratmaz).

Onlarla uğraşmak, kılavuz vektörlerle uğraşmaktan çok daha kolay olacaktır:

Dikdörtgen koordinat sisteminde bir doğru genel bir denklemle verilmişse, vektör bu doğrunun normal vektörüdür.

Yön vektörünün koordinatlarının denklemden dikkatli bir şekilde "çıkarılması" gerekiyorsa, normal vektörün koordinatları basitçe "çıkarılabilir".

Normal vektör her zaman doğrunun yön vektörüne diktir. Bu vektörlerin dikliğini aşağıdakileri kullanarak doğrulayalım: nokta çarpım:

Yön vektörüyle aynı denklemlere sahip örnekler vereceğim:

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini oluşturmak mümkün müdür? Bunu iliklerimde hissediyorum, bu mümkün. Normal vektör biliniyorsa, düz çizginin yönü açıkça tanımlanır - bu, 90 derecelik bir açıya sahip "sert bir yapıdır".

Bir nokta ve normal bir vektör verilen düz bir çizginin denklemi nasıl yazılır?

Bir doğruya ait belirli bir nokta ve bu doğrunun normal vektörü biliniyorsa bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle ifade edilir:

Burada her şey kesirler ve diğer sürprizler olmadan yolunda gitti. Bu bizim normal vektörümüz. Onu seviyorum. Ve saygı duyuyorum =)

Örnek 9

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Çözüm: Şu formülü kullanıyoruz:

Doğrunun genel denklemi elde edildi, kontrol edelim:

1) Normal vektörün koordinatlarını denklemden “çıkarın”: – evet, gerçekten de orijinal vektör koşuldan elde edildi (veya eşdoğrusal bir vektör elde edilmelidir).

2) Noktanın denklemi karşılayıp karşılamadığını kontrol edelim:

Gerçek eşitlik.

Denklemin doğru oluşturulduğuna ikna olduktan sonra görevin ikinci, daha kolay kısmını tamamlayacağız. Düz çizginin yönlendirici vektörünü çıkarıyoruz:

Cevap:

Çizimde durum şöyle görünüyor:

Eğitim amacıyla, bağımsız olarak çözmek için benzer bir görev:

Örnek 10

Bir noktası ve normal vektörü verilen bir doğrunun denklemini yazınız. Doğrunun yön vektörünü bulun.

Dersin son bölümü, düzlemdeki bir doğrunun daha az yaygın fakat aynı zamanda önemli denklem türlerine ayrılacaktır.

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.
Parametrik formda bir doğrunun denklemi

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi, sıfırdan farklı sabitlerin olduğu formdadır. Doğru orantılılık gibi bazı denklem türleri bu biçimde temsil edilemez (çünkü serbest terim sıfıra eşittir ve sağ tarafa bir tane almanın yolu yoktur).

Bu mecazi anlamda “teknik” bir denklem türüdür. Yaygın bir görev, bir doğrunun genel denklemini parçalar halinde bir doğrunun denklemi olarak temsil etmektir. Nasıl uygun? Bir çizginin segmentler halinde denklemi, bir çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını hızlı bir şekilde bulmanızı sağlar; bu, bazı yüksek matematik problemlerinde çok önemli olabilir.

Doğrunun eksenle kesişme noktasını bulalım. “Y”yi sıfıra sıfırlarız ve denklem şu şekli alır: İstenilen nokta otomatik olarak elde edilir: .

Eksen ile aynı – Düz çizginin ordinat ekseniyle kesiştiği nokta.

Uzaydaki bir çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen bir çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Bir doğru üzerinde rastgele bir nokta var ben yalnızca ve vektörleri doğrusalsa, yani onlar için koşul sağlanırsa:

.

Yukarıdaki denklemler düz çizginin kanonik denklemleridir.

Sayılar M , N Ve P yön vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleridir. Vektör sıfırdan farklı olduğundan tüm sayılar M , N Ve P aynı anda sıfıra eşit olamaz. Ancak bunlardan bir veya ikisi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki girişe izin verilir:

,

bu, vektörün eksen üzerindeki izdüşümü anlamına gelir oy Ve Oz sıfıra eşittir. Bu nedenle kanonik denklemlerle tanımlanan hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. oy Ve Oz yani uçaklar yOz .

Örnek 1. Uzayda bir düzleme dik bir doğrunun denklemlerini yazın ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Oz .

Çözüm. Bu düzlemin eksenle kesişme noktasını bulalım Oz. Eksen üzerinde bulunan herhangi bir nokta olduğundan Oz, koordinatlara sahiptir, o zaman verilen düzlem denkleminde varsayılırsak x = y = 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 . Dolayısıyla bu düzlemin eksenle kesişme noktası Oz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğundan normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle düz çizginin yönlendirici vektörü normal vektör olabilir verilen uçak.

Şimdi bir noktadan geçen doğrunun gerekli denklemlerini yazalım. A= (0; 0; 2) vektör yönünde:

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki noktayla tanımlanabilir Ve Bu durumda düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra doğrunun kanonik denklemleri şu şekli alır:

.

Yukarıdaki denklemler verilen iki noktadan geçen bir doğruyu belirler.

Örnek 2. Uzayda ve noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Gerekli düz çizgi denklemlerini yukarıda teorik referansta verilen formda yazalım:

.

O zamandan beri istenen düz çizgi eksene diktir oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzaydaki düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi olarak, yani iki doğrusal denklem sistemini sağlayan bir dizi nokta olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzayda bir doğrunun genel denklemleri de denir.

Örnek 3. Genel denklemlerle verilen uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir doğrunun kanonik denklemlerini veya aynı anlama gelen, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemlerini yazmak için, doğru üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Bunlar herhangi iki koordinat düzlemiyle düz bir çizginin kesişme noktaları olabilir, örneğin yOz Ve xOz .

Bir doğru ile bir düzlemin kesişme noktası yOz apsis var X= 0. Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayıldığında X= 0, iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı sen = 2 , z= 6 ile birlikte X= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenilen satır. Daha sonra verilen denklem sisteminde varsayarsak sen= 0, sistemi elde ederiz

Onun kararı X = -2 , z= 0 ile birlikte sen= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen doğrunun denklemlerini yazalım. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

,

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

,

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisi denir.

Bir doğrunun denkleminin parametrik olarak ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda parametrenin rolü zamana göre oynanır.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

Üstelik A ve B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir; A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C = 0, A  0, B  0 – düz çizgi orijinden geçer

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - Ox eksenine paralel düz çizgi

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – Oy eksenine paralel düz çizgi

B = C = 0, A  0 – düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A = C = 0, B  0 – düz çizgi Ox ekseniyle çakışır

Doğrunun denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak farklı şekillerde sunulabilir.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen düz çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulun (3, -1).

A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini oluşturalım: 3x – y + C = 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını elde edilen ifadede yerine koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 – 2 + C = 0, dolayısıyla C = -1.

Toplam: gerekli denklem: 3x – y – 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen doğrunun denklemi şöyle olur:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x = x 1 ise, eğer x 1 = x 2.

Kesir
=k denir eğim doğrudan.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Ax + By + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu şekle indirgenirse:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimi olan bir doğrunun denklemik.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal bir vektörden geçen düz bir çizginin denklemini ele alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin tanımını ve düz çizginin yönlendirici vektörünü girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörüne sahip bir doğrunun denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de C/A = -3 elde ederiz, yani. gerekli denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С 0 ise, o zaman –С'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının Açizginin Ox ekseni ile kesişme noktasının koordinatıdır ve B– düz çizginin Oy ekseniyle kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x – y + 1 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulun.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + By + C = 0 sayıya bölünürse
buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x – 5y – 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bu doğru için çeşitli denklemlerin yazılması gerekmektedir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e böl)

Bir doğrunun normal denklemi:

;

cos = 12/13; sin = -5/13; p = 5.

Örnek. Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya koordinatların kökeninden geçen düz çizgiler gibi bölümler halinde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazın.
Doğrunun denklemi:

, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin şartlarına göre uygun değildir.
Toplam:

Örnek. veya x + y – 4 = 0.

Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazın.
A(-2, -3) noktasından ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

, burada x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Tanım. Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

.

İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir. Teorem. 1 Doğrudan çizgiler Ax + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y = kx + b düz çizgisine dik olan düz bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir. M(x) noktası verilirse 0 , sen 0 ), bu durumda Ах + Ву + С =0 düz çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir çizgiye dik olarak geçen bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tg =
;

Örnek. = /4.

3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Örnek.Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.
AB tarafının denklemini buluyoruz:

;

4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0; Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.
k =
. O zaman y =
.

. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:

dolayısıyla b = 17. Toplam:

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda bir çizginin denklemi.

Uzayda bir nokta verilen bir doğrunun denklemi ve yön vektörü. Rastgele bir çizgi ve bir vektör alalım (m, n, p), verilen doğruya paralel. Vektör doğrudan.

isminde

kılavuz vektör

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M (x, y, z) noktasını alıyoruz.

z M1 Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: - =
.

Ve
M1 , açıktır ki
= Çünkü vektörler

eşdoğrusal ise ilişki doğrudur = + t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: T..

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur:

bir doğrunun parametrik denklemi

.

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir açı katsayıları doğrudan. Çünkü sıfır olmayan bir vektör ise m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Uzayda düz bir çizgi üzerinde iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktasını işaretlersek, bu noktaların koordinatları düz çizgi denklemini karşılamalıdır. yukarıda elde edilen:

.

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör biçimindeki bir düzlem aşağıdaki denklemle belirtilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - yarıçap, düzlemdeki rastgele bir noktanın vektörüdür.

Bu makale düzlemdeki doğrunun denklemi konusuna devam ediyor: Bu tür denklemleri bir doğrunun genel denklemi olarak ele alacağız. Teoremi tanımlayalım ve kanıtını verelim; Bir doğrunun tamamlanmamış bir genel denkleminin ne olduğunu ve genel bir denklemden bir doğrunun diğer denklem türlerine nasıl geçiş yapılacağını bulalım. Teorinin tamamını çizimlerle ve pratik problemlere yönelik çözümlerle güçlendireceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Düzlemde dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y belirtilsin.

Teorem 1

A x + B y + C = 0 biçiminde olan ve A, B, C'nin bazı gerçek sayılar olduğu (A ve B aynı anda sıfıra eşit değildir) birinci dereceden herhangi bir denklem, düzlemde dikdörtgen koordinat sistemi. Buna karşılık, bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizgi, belirli bir A, B, C değerleri kümesi için A x + B y + C = 0 formundaki bir denklemle belirlenir.

Kanıt

Bu teorem iki noktadan oluşuyor; her birini kanıtlayacağız.

1. A x + B y + C = 0 denkleminin düzlemde düz bir çizgiyi tanımladığını kanıtlayalım.

Koordinatları A x + B y + C = 0 denklemine karşılık gelen bir M 0 (x 0 , y 0) noktası olsun. Böylece: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 denklemlerinin sol ve sağ taraflarından A x 0 + B y 0 + C = 0 denkleminin sol ve sağ taraflarını çıkarırsak, A (x) gibi görünen yeni bir denklem elde ederiz. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . A x + B y + C = 0'a eşdeğerdir.

Ortaya çıkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x) vektörlerinin dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur. 0, y - y 0 ). Böylece, M (x, y) noktaları kümesi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde n → = (A, B) vektörünün yönüne dik olan düz bir çizgiyi tanımlar. Bunun böyle olmadığını varsayabiliriz, ancak o zaman n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri dik olmaz ve A (x - eşitliği) x 0 ) + B (y - y 0) = 0 doğru olmaz.

Sonuç olarak, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemi düzlemdeki dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir doğruyu tanımlar ve dolayısıyla A x + B y + C = 0 eşdeğer denklemi aynı çizgi. Teoremin ilk kısmını bu şekilde ispatladık.

1. Bir düzlemdeki dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düz çizginin birinci derece A x + B y + C = 0 denklemiyle belirtilebileceğinin kanıtını sunalım.

Bir düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde bir düz çizgi a tanımlayalım; bu çizginin geçtiği M 0 (x 0 , y 0) noktası ve bu çizginin normal vektörü n → = (A, B) .

Ayrıca bir doğru üzerinde kayan nokta olan bir M(x, y) noktası olsun. Bu durumda, n → = (A, B) ve M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vektörleri birbirine diktir ve skaler çarpımları sıfırdır:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 denklemini yeniden yazalım, C: C = - A x 0 - B y 0 olarak tanımlayalım ve sonuç olarak A x + B y + C = denklemini elde edelim. 0.

Böylece teoremin ikinci kısmını ispatlamış olduk ve teoremin tamamını bir bütün olarak ispatlamış olduk.

Tanım 1

Formun bir denklemi bir x + B y + C = 0 - Bu bir doğrunun genel denklemi Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeOksi.

Kanıtlanmış teoreme dayanarak, düz bir çizginin ve onun sabit bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemde tanımlanan genel denkleminin ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu sonucuna varabiliriz. Başka bir deyişle orijinal çizgi genel denklemine karşılık gelir; bir çizginin genel denklemi belirli bir çizgiye karşılık gelir.

Teoremin kanıtından ayrıca x ve y değişkenleri için A ve B katsayılarının, A x + B y + C = doğrusuna ait genel denklemle verilen normal çizgi vektörünün koordinatları olduğu sonucu çıkar. 0.

Düz bir çizginin genel denkleminin özel bir örneğini ele alalım.

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgiye karşılık gelen 2 x + 3 y - 2 = 0 denklemi verilsin. Bu doğrunun normal vektörü vektördür n → = (2, 3) ​​​. Çizimde verilen düz çizgiyi çizelim.

Şunu da söyleyebiliriz: Çizimde gördüğümüz düz çizgi, 2 x + 3 y - 2 = 0 genel denklemiyle belirlenir, çünkü belirli bir doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları bu denkleme karşılık gelir.

Doğrunun genel denkleminin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir λ sayısıyla çarparak λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 denklemini elde edebiliriz. Ortaya çıkan denklem orijinal genel denklemin eşdeğeridir, bu nedenle düzlemde aynı düz çizgiyi tanımlayacaktır.

Bir doğrunun genel denklemini tamamlayın– A, B, C sayılarının sıfırdan farklı olduğu A x + B y + C = 0 düz çizgisinin böyle genel bir denklemi. Aksi takdirde denklem tamamlanmamış.

Bir doğrunun tamamlanmamış genel denkleminin tüm varyasyonlarını analiz edelim.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 olduğunda genel denklem B y + C = 0 formunu alır. Böyle tamamlanmamış bir genel denklem, O x y dikdörtgen koordinat sisteminde O x eksenine paralel bir düz çizgiyi tanımlar, çünkü x'in herhangi bir gerçek değeri için y değişkeni bu değeri alacaktır. -CB. Başka bir deyişle, A = 0, B ≠ 0 olduğunda, A x + B y + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi, koordinatları aynı sayıya eşit olan (x, y) noktalarının yerini belirtir. -CB.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 ise genel denklem y = 0 formunu alır. Bu eksik denklem x eksenini Ox tanımlar.
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 olduğunda, ordinata paralel bir düz çizgiyi tanımlayan tamamlanmamış bir A x + C = 0 genel denklemi elde ederiz.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 olsun, o zaman tamamlanmamış genel denklem x = 0 formunu alacaktır ve bu, O y koordinat çizgisinin denklemidir.
5. Son olarak A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 için tamamlanmamış genel denklem A x + B y = 0 formunu alır. Ve bu denklem orijinden geçen bir doğruyu tanımlıyor. Aslında (0, 0) sayı çifti A x + B y = 0 eşitliğine karşılık gelir, çünkü A · 0 + B · 0 = 0.

Düz bir çizginin yukarıdaki tamamlanmamış genel denklem türlerinin tümünü grafiksel olarak gösterelim.

Örnek 1

Verilen düz çizginin ordinat eksenine paralel olduğu ve 2 7, - 11 noktasından geçtiği bilinmektedir. Verilen doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Ordinat eksenine paralel bir düz çizgi, A x + C = 0 formundaki bir denklemle verilir, burada A ≠ 0'dır. Koşul aynı zamanda çizginin geçtiği noktanın koordinatlarını da belirtir ve bu noktanın koordinatları tamamlanmamış A x + C = 0 genel denkleminin koşullarını karşılar, yani. eşitlik doğrudur:

bir 2 7 + C = 0

Eğer A'ya sıfır olmayan bir değer verirsek, örneğin A = 7'yi kullanarak C'yi belirlemek mümkündür. Bu durumda şunu elde ederiz: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Hem A hem de C katsayılarını biliyoruz, bunları A x + C = 0 denkleminde yerine koyuyoruz ve gerekli düz çizgi denklemini elde ediyoruz: 7 x - 2 = 0

Cevap: 7 x - 2 = 0

Örnek 2

Çizim düz bir çizgiyi gösteriyor; denklemini yazmanız gerekiyor.

Çözüm

Verilen çizim, sorunu çözmek için ilk verileri kolayca almamızı sağlar. Çizimde verilen doğrunun O x eksenine paralel olduğunu ve (0, 3) noktasından geçtiğini görüyoruz.

Apsise paralel olan düz çizgi, tamamlanmamış genel denklem B y + C = 0 ile belirlenir. B ve C değerlerini bulalım. Verilen doğru bu noktadan geçtiği için (0, 3) noktasının koordinatları B y + C = 0 doğrusu denklemini sağlayacaktır, o zaman eşitlik geçerlidir: B · 3 + C = 0. B'yi sıfır dışında bir değere ayarlayalım. Diyelim ki B = 1, bu durumda B · 3 + C = 0 eşitliğinden C: C = - 3'ü bulabiliriz. Bilinen B ve C değerlerini kullanarak düz çizginin gerekli denklemini elde ederiz: y - 3 = 0.

Cevap: y - 3 = 0 .

Düzlemde belirli bir noktadan geçen çizginin genel denklemi

Verilen çizginin M 0 (x 0 , y 0) noktasından geçmesine izin verin, o zaman koordinatları çizginin genel denklemine karşılık gelir, yani. eşitlik doğrudur: A x 0 + B y 0 + C = 0. Bu denklemin sol ve sağ taraflarını, doğrunun genel tam denkleminin sol ve sağ taraflarından çıkaralım. Şunu elde ederiz: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, bu denklem orijinal genel denkleme eşdeğerdir, M 0 (x 0, y 0) noktasından geçer ve normaldir. vektör n → = (A, B) .

Elde ettiğimiz sonuç, doğrunun normal vektörünün koordinatları ve bu doğrunun belirli bir noktasının koordinatları bilinen bir doğrunun genel denklemini yazmayı mümkün kılmaktadır.

Örnek 3

İçinden bir çizginin geçtiği bir M 0 (- 3, 4) noktası ve bu doğrunun normal vektörü verildiğinde n → = (1 , - 2) . Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları denklemi derlemek için gerekli verileri elde etmemizi sağlar: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Daha sonra:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Sorun farklı şekilde çözülebilirdi. Düz bir çizginin genel denklemi A x + B y + C = 0'dır. Verilen normal vektör, A ve B katsayılarının değerlerini elde etmemizi sağlar, o zaman:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Şimdi problemin koşuluna göre belirlenen ve içinden doğrunun geçtiği M 0 (- 3, 4) noktasını kullanarak C’nin değerini bulalım. Bu noktanın koordinatları x - 2 · y + C = 0 denklemine karşılık gelir, yani. - 3 - 2 4 + C = 0. Dolayısıyla C = 11. Gerekli düz çizgi denklemi şu formu alır: x - 2 · y + 11 = 0.

Cevap: x - 2 y + 11 = 0 .

Örnek 4

2 3 x - y - 1 2 = 0 doğrusu ve bu doğru üzerinde yer alan bir M 0 noktası veriliyor. Bu noktanın sadece apsisi bilinmektedir ve -3'e eşittir. Belirli bir noktanın koordinatını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 noktasının koordinatlarını x 0 ve y 0 olarak belirleyelim. Kaynak verileri x 0 = - 3 olduğunu gösterir. Nokta belirli bir çizgiye ait olduğundan koordinatları bu çizginin genel denklemine karşılık gelir. O zaman eşitlik doğru olacaktır:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

Y'yi tanımlayın: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Cevap: - 5 2

Bir doğrunun genel denkleminden diğer doğru denklem türlerine geçiş ve bunun tersi

Bildiğimiz gibi, bir düzlemdeki aynı doğru için çeşitli denklem türleri vardır. Denklem türünün seçimi problemin koşullarına bağlıdır; çözmek için daha uygun olanı seçmek mümkündür. Bir tür denklemi başka türden bir denkleme dönüştürme becerisi burada çok faydalıdır.

İlk olarak, A x + B y + C = 0 formundaki genel denklemden x - x 1 a x = y - y 1 a y kanonik denklemine geçişi düşünelim.

Eğer A ≠ 0 ise B y terimini genel denklemin sağ tarafına taşırız. Sol tarafta parantezlerden A'yı çıkarıyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz: A x + C A = - B y.

Bu eşitlik orantı olarak yazılabilir: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ise genel denklemin sol tarafında sadece A x terimini bırakır, diğerlerini sağ tarafa aktarırız ve şunu elde ederiz: A x = - B y - C. – B'yi parantezlerden çıkarırsak: A x = - B y + C B .

Eşitliği orantı şeklinde yeniden yazalım: x - B = y + C B A.

Elbette ortaya çıkan formülleri ezberlemeye gerek yok. Genel bir denklemden kanonik bir denkleme geçerken eylemlerin algoritmasını bilmek yeterlidir.

Örnek 5

3 y - 4 = 0 doğrusunun genel denklemi verilmiştir. Bunu kanonik bir denkleme dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Orijinal denklemi 3 y - 4 = 0 olarak yazalım. Daha sonra algoritmaya göre ilerliyoruz: 0 x terimi sol tarafta kalıyor; ve sağ tarafa - parantezlerden 3 tane koyduk; şunu elde ederiz: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Ortaya çıkan eşitliği oran olarak yazalım: x - 3 = y - 4 3 0 . Böylece kanonik formda bir denklem elde ettik.

Cevap: x - 3 = y - 4 3 0.

Bir doğrunun genel denklemini parametrik denklemlere dönüştürmek için önce kanonik forma, ardından bir doğrunun kanonik denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapılır.

Örnek 6

Düz çizgi 2 x - 5 y - 1 = 0 denklemiyle verilir. Bu doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.

Çözüm

Genel denklemden kanonik denkleme geçiş yapalım:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Şimdi ortaya çıkan kanonik denklemin her iki tarafını da λ'ya eşit alırsak:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Cevap:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Genel denklem, eğimi y = k · x + b olan bir düz çizgi denklemine dönüştürülebilir, ancak yalnızca B ≠ 0 olduğunda. Geçiş için B y terimini sol tarafta bırakıyoruz, geri kalanları sağa aktarıyoruz. Şunu elde ederiz: B y = - A x - C . Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da sıfırdan farklı B'ye bölelim: y = - A B x - C B.

Örnek 7

Doğrunun genel denklemi verilmiştir: 2 x + 7 y = 0. Bu denklemi eğim denklemine dönüştürmeniz gerekiyor.

Çözüm

Algoritmaya göre gerekli işlemleri yapalım:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

Cevap: y = - 2 7 x .

Bir doğrunun genel denkleminden, x a + y b = 1 formundaki bölümlerde bir denklem elde etmek yeterlidir. Böyle bir geçiş yapmak için C sayısını eşitliğin sağ tarafına taşırız, ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da -C'ye böleriz ve son olarak x ve y değişkenlerinin katsayılarını paydalara aktarırız:

Bir x + B y + C = 0 ⇔ Bir x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C Bir + y - C B = 1

Örnek 8

x - 7 y + 1 2 = 0 çizgisinin genel denklemini parçalı doğru denklemine dönüştürmek gerekir.

Çözüm

1 2'yi sağ tarafa taşıyalım: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Eşitliğin her iki tarafını da -1/2'ye bölelim: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Cevap: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

Genel olarak ters geçiş de kolaydır: diğer denklem türlerinden genel olana.

Parçalar halinde bir doğrunun denklemi ve açısal katsayılı bir denklem, eşitliğin sol tarafındaki tüm terimlerin basitçe toplanmasıyla kolayca genel bir denkleme dönüştürülebilir:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ Bir x + B y + C = 0

Kanonik denklem aşağıdaki şemaya göre genel bir denkleme dönüştürülür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Parametrik olanlardan geçmek için önce kanonik olana, ardından genel olana geçin:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ Bir x + B y + C = 0

Örnek 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 doğrusuna ait parametrik denklemler verilmiştir. Bu doğrunun genel denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Parametrik denklemlerden kanonik denklemlere geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Kanonikten genele geçelim:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Cevap: y - 4 = 0

Örnek 10

x 3 + y 1 2 = 1 segmentlerindeki düz bir çizginin denklemi verilmiştir. Denklemin genel formuna geçmek gerekir.

Çözüm:

Denklemi gerekli biçimde yeniden yazıyoruz:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

Cevap: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

Bir doğrunun genel denklemini çizmek

Yukarıda genel denklemin normal vektörün bilinen koordinatları ve doğrunun geçtiği noktanın koordinatları ile yazılabileceğini söylemiştik. Böyle bir düz çizgi A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 denklemiyle tanımlanır. Orada ilgili örneği de analiz ettik.

Şimdi önce normal vektörün koordinatlarını belirlememiz gereken daha karmaşık örneklere bakalım.

Örnek 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 doğrusuna paralel bir doğru verilmiş. Verilen doğrunun geçtiği M 0 (4, 1) noktası da bilinmektedir. Verilen doğrunun denklemini yazmak gerekir.

Çözüm

Başlangıç ​​koşulları bize doğruların paralel olduğunu söylüyor, sonra denklemi yazılması gereken doğrunun normal vektörü olarak n → = (2, - 3) doğrusunun yön vektörünü alıyoruz: 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Artık doğrunun genel denklemini oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

Örnek 12

Verilen doğru orijinden x - 2 3 = y + 4 5 doğrusuna dik olarak geçmektedir. Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

Belirli bir çizginin normal vektörü, x - 2 3 = y + 4 5 çizgisinin yön vektörü olacaktır.

O halde n → = (3, 5) . Düz çizgi orijinden geçer, yani. O noktasından (0, 0). Belirli bir çizgi için genel bir denklem oluşturalım:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Cevap: 3 x + 5 y = 0.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.