Altın oran teriminin doğru anlaşılmasını seçin. Altın oran nedir?

Bilimsel ve Teknik Ansiklopedik Sözlük şunu belirtiyor: "Altın oran, bir parçanın orantılı olarak iki eşit olmayan parçaya bölünmesidir; burada daha küçük parça daha büyük parçayla, daha büyük parça ise bütünle ilişkilidir." Bu, AC/BC = BC/AB formülüyle ifade edilir; burada AC daha küçük segmenttir ve BC daha büyük segmenttir.

Bu oranın, Evrenin ideal bir modeli olan dünya düzeninin uyum ve düzeninin bir tezahürü olduğuna inanılıyor. Rahip Luca Pacioli“İlahi Oran” kitabında altın oranın ilahi üçlüyü ortaya çıkardığını yazdı: küçük bölüm Oğul'u, büyük bölüm Baba'yı ve tüm bölüm Kutsal Ruh'u temsil eder.

Altın oran başka nerelerde karşımıza çıkıyor?

Altın oranın insanı çevreleyen her şeyde yer alan evrensel bir kural olduğu bir kavram var. Altın oranı araştıran Alman araştırmacı Profesör Adolf Zeising Bitkilerin bölümlerinin ve insan vücudunun oranlarının altın oran kuralına tabi olduğuna inanılıyordu. Yaklaşık iki bin kişiyi ölçtükten sonra insan vücudunun parçalarının birbiriyle yaklaşık olarak aynı oranda ilişkili olduğu sonucuna vardı. Bu modelin doğrulandığı antik heykeller üzerindeki gözlemlerini kontrol etti, bu da eskilerin altın oran kanunundan haberdar olduğu anlamına geliyordu.

Doğa araştırmacıları, çeşitli canlı sistemlerin yapısında “ideal oran” buluyor. En ünlü örnek, altın oran matematik kanununa uyan ve örneğin dağ keçilerinin boynuzları veya yumuşakça kabukları şeklinde şekillenen sarmal yapıdır.

Yumuşakça kabuğundaki altın oran. Fotoğraf: Shutterstock.com

Altın oranın ilkeleri Mısırlılar veya Babilliler gibi eski insanların mimarisinde bulunabilir. Mezardaki Cheops piramidinin, tapınakların ve kabartmaların oranlarını ölçtükten sonra Tutankhamun eski mimarların hesaplamalarını bu kalıba dayandırdıkları anlaşıldı.

Rönesans döneminde sanatçılar ve heykeltıraşlar altın oran ilkesini bilinçli olarak kullanmaya başladılar ve böylece eski geleneklere saygı duruşunda bulundular. Bu kuralın takipçilerinden biri kabul edilir. Leonardo da Vinci Bu arada, çoğu zaman "altın oran" teriminin türetildiğine inanılır. Sanat tarihçileri altın oranın belirtilerini onun pek çok resminde, özellikle de Son Akşam Yemeği kompozisyonunda ve Vitruvius Adamı'nın vücut parçalarının oranında buluyorlar.

Matematikte, parçaların oranına ilişkin temel yasaya ek olarak altın oranın bir örneği de verilmiştir. Fibonacci serisi. Bu, sonraki her sayının önceki iki sayının toplamına eşit olduğu bir sayı dizisidir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, vb. Bu durumda, serideki komşu sayıların oranı altın orana yaklaşmaktadır. Bu dizinin "Bir çiftten bir yılda kaç çift tavşan doğar?" bilmecesine yanıt olarak ortaya çıktığına inanılıyor.

İnsan etrafındaki nesneleri şekillerine göre ayırt eder. Bir nesnenin şekline olan ilgi yaşamsal bir zorunluluktan kaynaklanabileceği gibi, şeklin güzelliğinden de kaynaklanabilir. Yapımı simetri ve altın oranın birleşimine dayanan form, en iyi görsel algıya, güzellik ve uyum duygusunun ortaya çıkmasına katkıda bulunur. Bütün her zaman parçalardan oluşur, farklı boyutlardaki parçalar birbirleriyle ve bütünle belli bir ilişki içindedir. Altın oran prensibi sanatta, bilimde, teknolojide ve doğada bütünün ve parçalarının yapısal ve işlevsel mükemmelliğinin en yüksek tezahürüdür.

Altın oran - harmonik oran

Düz segment AB aşağıdaki şekillerde iki kısma ayrılabilir:

iki eşit parçaya - AB : klima = AB : Güneş;





herhangi bir açıdan iki eşit olmayan parçaya bölünür (bu parçalar orantı oluşturmaz);





böylece, ne zaman AB : klima = klima : Güneş.

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara orantılı bir şekilde bölünmesidir; burada, büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilişkili olduğu için tüm parça daha büyük parçayla ilişkilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olan bütüne göre daha küçük olan kısım daha büyüktür

A : B = B : C veya İle : B = B : A.

Pirinç. 1. Altın oranın geometrik görüntüsü

Altın orana pratik olarak aşina olmak, bir pergel ve cetvel kullanarak düz bir çizgi parçasını altın orana bölmekle başlar.

Pirinç. 2. Altın oranı kullanarak bir doğru parçasını bölmek. M.Ö. = 1/2 AB; CD = M.Ö.

noktadan İÇİNDE yarıya eşit bir dik geri yüklenir AB. Alınan puan İLE bir çizgiyle bir noktaya bağlı A. Ortaya çıkan çizgiye bir segment çizilir Güneş nokta ile biten D. Segment reklam doğrudan aktarıldı AB. Ortaya çıkan nokta e bir segmenti böler AB altın oran oranında.

Altın oranın dilimleri sonsuz irrasyonel kesir olarak ifade edilir A.E.= 0,618..., eğer AB biri olarak al OLMAK= 0,382... Pratik amaçlar için sıklıkla yaklaşık 0,62 ve 0,38 değerleri kullanılır. Segment ise AB 100 parça olarak alınırsa parçanın büyük kısmı 62, küçük kısmı ise 38 parça olur.

Altın oranın özellikleri aşağıdaki denklemle açıklanmaktadır:

X 2 - X - 1 = 0.

Bu denklemin çözümü:

Altın oranın özellikleri, bu sayı etrafında romantik bir gizem ve neredeyse mistik bir tapınma havası yaratmıştır.

İkinci altın oran

Bu oran mimaride bulunur ve aynı zamanda uzun yatay formatta görüntü kompozisyonları oluştururken de ortaya çıkar.

Pirinç. 3.İkinci altın oranın inşası

Bölme aşağıdaki gibi gerçekleştirilir (bkz. Şekil 3). Segment AB altın orana göre bölünür. noktadan İLE dikey geri getirildi CD. Yarıçap AB bir nokta var D bir çizgiyle bir noktaya bağlanan A. Dik açı AKD yarıya bölünür. noktadan İLEçizgiyle kesişene kadar bir çizgi çizilir reklam. Nokta e bir segmenti böler reklam 56:44 ile ilgili olarak.

Pirinç. 4. Bir dikdörtgenin ikinci altın oran çizgisiyle bölünmesi

Şek. Şekil 4'te ikinci altın oran çizgisinin konumu gösterilmektedir. Altın oran çizgisi ile dikdörtgenin orta çizgisinin ortasında yer alır.

Altın Üçgen

Pirinç. 5. Düzenli bir beşgen ve beşgen inşaatı

Bir pentagram oluşturmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir. Yapım metodu Alman ressam ve grafik sanatçısı Albrecht Dürer (1471...1528) tarafından geliştirilmiştir. İzin vermek O- dairenin merkezi, A- bir daire üzerinde bir nokta ve e- segmentin ortası OA. Yarıçapa dik OA, noktada geri yüklendi HAKKINDA, çemberi bir noktada kesiyor D. Bir pusula kullanarak çapın üzerine bir parça çizin C.E. = ED. Bir daire içine yazılan düzgün beşgenin kenar uzunluğu DC. Segmentleri daireye yerleştirin DC ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini köşegenlerle birbirine bağlayıp bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla birbirine bağlanan parçalara böler.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgeni temsil ediyor. Kenarları tepede 36° açı oluşturur ve yan tarafa yatırılan taban onu altın oran oranında böler.

Pirinç. 6. Altın üçgenin inşaatı

Doğrudan bir işlem gerçekleştiriyoruz AB. noktadan Aüzerine üç kez bir parça yerleştirin HAKKINDA ortaya çıkan nokta boyunca keyfi değer Rçizgiye dik bir çizgi çizin AB, noktanın sağında ve solunda dik olarak R bölümleri bir kenara bırakın HAKKINDA. Alınan puanlar D Ve D 1 düz çizgilerle bir noktaya bağlayın A. Segment gg 1'i hatta koy Reklam 1, puan almak İLE. Çizgiyi böldü Reklam Altın oranla orantılı olarak 1. çizgiler Reklam 1 ve gg 1 “altın” bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.

Altın oranın tarihi

Yunanlılar yetenekli geometricilerdi. Hatta çocuklarına geometrik şekilleri kullanarak aritmetik öğretiyorlar. Pisagor karesi ve bu karenin köşegeni, dinamik dikdörtgenlerin inşasının temelini oluşturdu.

Pirinç. 7. Dinamik dikdörtgenler

Platon (MÖ 427...347) da altın bölümü biliyordu. Onun diyalogu "Timaeus", Pisagor okulunun matematiksel ve estetik görüşlerine ve özellikle de altın bölüm konularına ayrılmıştır.

Antik Yunan tapınağı Parthenon'un cephesi altın oranlara sahiptir. Kazılarda antik dünyanın mimar ve heykeltıraşlarının kullandığı pusulalar keşfedildi. Pompei pusulası (Napoli'deki müze) aynı zamanda altın bölümün oranlarını da içerir.

Pirinç. 8. Antik altın oran pusulası

Bize kadar ulaşan antik literatürde altın bölümden ilk kez Öklid'in Elementler kitabında bahsedilmiştir. “İlkeler” in 2. kitabında altın bölümün geometrik yapısı verilmektedir. Öklid'den sonra altın bölümün incelenmesi Hypsicles (M.Ö. II. Yüzyıl), Pappus (MS III. Yüzyıl) ve diğerleri tarafından yapılmıştır. Ortaçağ Avrupa'sında altın bölümle Öklid'in Elementler kitabının Arapça çevirileri sayesinde tanıştık. Navarre'dan (III. yüzyıl) çevirmen J. Campano, çeviri hakkında yorumlarda bulundu. Altın bölümün sırları kıskançlıkla korundu ve sıkı bir gizlilik içinde tutuldu. Sadece inisiyeler tarafından biliniyorlardı.

Rönesans döneminde, hem geometri hem de sanatta, özellikle de mimaride kullanılması nedeniyle bilim adamları ve sanatçılar arasında altın bölüme olan ilgi arttı. Sanatçı ve bilim adamı Leonardo da Vinci, İtalyan sanatçıların çok fazla ampirik deneyime sahip olduğunu ancak çok az olduğunu gördü. bilgi . Geometri üzerine bir kitap tasarladı ve yazmaya başladı, ancak o sırada keşiş Luca Pacioli'nin bir kitabı ortaya çıktı ve Leonardo bu fikrinden vazgeçti. Çağdaşlara ve bilim tarihçilerine göre Luca Pacioli, Fibonacci ile Galileo arasındaki dönemde İtalya'nın en büyük matematikçisi olan gerçek bir aydındı. Luca Pacioli, biri "Resimde Perspektif Üzerine" olmak üzere iki kitap yazan sanatçı Piero della Franceschi'nin öğrencisiydi. Tanımlayıcı geometrinin yaratıcısı olarak kabul edilir.

Luca Pacioli bilimin sanat için önemini çok iyi anlamıştı. 1496'da Moreau Dükü'nün daveti üzerine Milano'ya geldi ve burada matematik dersleri verdi. Leonardo da Vinci o dönemde Milano'da Moro sarayında da çalışıyordu. 1509'da Luca Pacioli'nin "İlahi Oran" adlı kitabı Venedik'te zekice hazırlanmış resimlerle yayınlandı, bu yüzden bunların Leonardo da Vinci tarafından yapıldığına inanılıyor. Kitap altın orana coşkulu bir ilahiydi. Altın oranın pek çok avantajı arasında keşiş Luca Pacioli, ilahi üçlemenin bir ifadesi olarak "ilahi özünü" belirtmeyi ihmal etmedi: Oğul Tanrı, baba Tanrı ve kutsal ruh Tanrı (küçük bölüm, oğul Tanrı'nın kişileşmesidir, daha büyük bölüm - baba Tanrı ve tüm bölüm - Kutsal Ruh'un Tanrısı).

Leonardo da Vinci, altın bölümün çalışmasına da büyük önem verdi. Düzenli beşgenlerden oluşan stereometrik bir gövdenin bölümlerini yaptı ve her seferinde altın bölümdeki en boy oranlarına sahip dikdörtgenler elde etti. Bu yüzden bu bölüme bu adı verdi. altın oran. Bu yüzden hala en popüler olanı olmaya devam ediyor.

Aynı dönemde Avrupa'nın kuzeyinde, Almanya'da Albrecht Dürer de aynı sorunlar üzerinde çalışıyordu. Oranlar üzerine incelemenin ilk versiyonunun girişini çiziyor. Dürer yazıyor. “Bir şeyin nasıl yapılacağını bilen birinin, ihtiyacı olanlara öğretmesi lâzımdır. Bunu yapmak için yola çıktım.”

Dürer'in bir mektubuna bakılırsa İtalya'dayken Luca Pacioli ile tanışmış. Albrecht Dürer, insan vücudunun oranları teorisini ayrıntılı olarak geliştirir. Dürer, ilişkiler sisteminde altın kısma önemli bir yer ayırmıştır. Bir kişinin boyu altın oranlarda kemer çizgisine ve ayrıca indirilmiş ellerin orta parmak uçlarından, yüzün alt kısmından ağıza vb. çizilen bir çizgiye bölünür. Dürer'in orantısal pusulası iyi bilinmektedir.

16. yüzyılın büyük gökbilimcisi. Johannes Kepler altın oranı geometrinin hazinelerinden biri olarak adlandırdı. Altın oranın botanik açısından önemine (bitkilerin büyümesi ve yapısı) ilk dikkat çeken o olmuştur.

Kepler, altın oranın kendi kendine devam ettiğini söyledi: "Öyle yapılandırılmıştır ki, bu hiç bitmeyen oranın en düşük iki teriminin toplamı üçüncü terime ve eğer toplanırsa son iki terime eşit olur." , bir sonraki terimi veririz ve aynı oran sonsuza kadar korunur."

Altın oranın bir dizi bölümünün inşası hem artış yönünde (artan seri) hem de azalma yönünde (azalan seri) yapılabilir.

İsteğe bağlı uzunlukta düz bir çizgi üzerindeyse parçayı bir kenara koyun M, segmenti yanına koyun M. Bu iki bölüme dayanarak, artan ve azalan serilerin altın oranının bölümlerinden oluşan bir ölçek oluşturuyoruz.

Pirinç. 9. Altın oranın segmentlerinden oluşan bir ölçeğin oluşturulması

Sonraki yüzyıllarda altın oran kuralı akademik bir kanona dönüştü ve zamanla sanatta akademik rutine karşı mücadele başladığında, mücadelenin hararetinde "bebeği banyo suyuyla birlikte dışarı attılar." Altın oran 19. yüzyılın ortalarında yeniden “keşfedildi”. 1855 yılında Alman altın oran araştırmacısı Profesör Zeising, “Estetik Çalışmalar” adlı eserini yayımladı. Zeising'in başına gelen şey, bir fenomeni diğer fenomenlerle bağlantısı olmadan bu şekilde ele alan bir araştırmacının başına kaçınılmaz olarak gelmesi gereken şeydi. Altın oranın oranını mutlaklaştırdı ve bunun tüm doğa ve sanat olguları için evrensel olduğunu ilan etti. Zeising'in çok sayıda takipçisi vardı ama onun oranlar öğretisinin "matematiksel estetik" olduğunu ilan eden muhalifler de vardı.

Pirinç. 10.İnsan vücudunun bazı kısımlarındaki altın oranlar

Zeising muazzam bir iş çıkardı. Yaklaşık iki bin insan vücudunu ölçtü ve altın oranın ortalama istatistik yasasını ifade ettiği sonucuna vardı. Vücudun göbek noktasına göre bölünmesi altın oranın en önemli göstergesidir. Erkek bedeninin oranları ortalama 13: 8 = 1,625 oranında dalgalanır ve kadın bedeninin oranlarına göre altın orana biraz daha yakındır, buna göre oranın ortalama değeri 8 oranıyla ifade edilir: 5 = 1,6. Yeni doğmuş bir bebekte bu oran 1:1, 13 yaşında 1,6, 21 yaşında ise erkeğinkine eşittir. Altın oranın oranları aynı zamanda vücudun diğer kısımlarına (omuzun uzunluğu, önkol ve el, el ve parmaklar vb.) göre de ortaya çıkar.

Pirinç. 11.İnsan figüründe altın oranlar

Zeising, teorisinin geçerliliğini Yunan heykelleri üzerinde test etti. Apollo Belvedere'nin oranlarını en detaylı şekilde geliştirdi. Yunan vazoları, çeşitli dönemlere ait mimari yapılar, bitkiler, hayvanlar, kuş yumurtaları, müzik tonları ve şiirsel ölçüler incelenmiştir. Zeising, altın oranın tanımını vererek onun düz çizgi parçaları ve sayılarla nasıl ifade edildiğini gösterdi. Zeising, doğru parçalarının uzunluklarını ifade eden sayılar elde edildiğinde bunların bir yönde veya diğer yönde sonsuza kadar devam edebilecek bir Fibonacci serisi oluşturduğunu gördü. Bir sonraki kitabı “Doğa ve Sanatta Temel Morfolojik Kanun Olarak Altın Bölünme” başlığını taşıyordu. 1876'da Rusya'da Zeising'in bu çalışmasının ana hatlarını çizen küçük bir kitap, neredeyse bir broşür yayınlandı. Yazar, Yu.F.V. baş harflerine sığındı. Bu baskıda tek bir resim eserinden bahsedilmiyor.

19. yüzyılın sonu - 20. yüzyılın başı. Altın oranın sanat ve mimari eserlerde kullanımına ilişkin pek çok tamamen biçimci teori ortaya çıktı. Tasarım ve teknik estetiğin gelişmesiyle birlikte altın oran kanunu otomobil, mobilya vb. tasarımına da yayıldı.

Fibonacci serisi

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 vb. sayılardan oluşan bir dizi. Fibonacci serisi olarak bilinir. Sayı dizisinin özelliği, üçüncüden başlayarak üyelerinin her birinin önceki iki 2 + 3 = 5'in toplamına eşit olmasıdır; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 vb. ve serideki komşu sayıların oranı altın bölümün oranına yaklaşır. Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618. Bu ilişki sembolü ile gösterilir F. Yalnızca bu oran - 0,618: 0,382 - bir düz çizgi parçasının, daha büyük olanın bütünle olduğu gibi, daha küçük olan daha büyük olanla da ilişkili olduğunda, onu sonsuza kadar artırarak veya azaltarak, altın oranda sürekli bir bölünme sağlar.

Fibonacci ayrıca ticaretin pratik ihtiyaçlarını da ele aldı: Bir ürünü tartmak için kullanılabilecek en küçük ağırlık sayısı nedir? Fibonacci optimal ağırlık sisteminin 1, 2, 4, 8, 16 olduğunu kanıtlıyor.

Genelleştirilmiş altın oran

Bilim adamları Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu.Matiyasevich, Fibonacci sayılarını kullanarak Hilbert'in 10. problemini çözüyor. Fibonacci sayılarını ve altın oranı kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için zarif yöntemler ortaya çıkıyor. ABD'de 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile oluşturuluyor.

Bu alandaki başarılardan biri genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir.

Fibonacci serisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ile onun keşfettiği "ikili" ağırlık serileri 1, 2, 4, 8, 16... ilk bakışta tamamen farklıdır. Ancak bunların yapımına yönelik algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisi 2 = 1 + 1 olan toplamıdır; 4 = 2 + 2..., ikincisinde kendinden önceki iki sayının toplamıdır 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2.... Genel bir matematik bulmak mümkün mü? elde ettiğimiz formül ve “ikili seriler ve Fibonacci serileri? Ya da belki bu formül bize bazı yeni benzersiz özelliklere sahip yeni sayısal kümeler verecektir?

Aslında sayısal parametreyi ayarlayalım S, herhangi bir değeri alabilen: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Bir sayı serisi düşünün, S+ 1, bunların ilk terimleri birimdir ve sonrakilerin her biri, bir öncekinin iki teriminin toplamına eşittir ve öncekinden şu şekilde ayrılır: S adımlar. Eğer N Bu serinin üçüncü terimini φ S ( N), sonra φ S ( genel formülünü elde ederiz. N) = φ S ( N- 1) + φ S ( N - S - 1).

Açıkça görülüyor ki ne zaman S= 0 bu formülden "ikili" bir seri elde ederiz; S= 1 - Fibonacci serisi, S= 2, 3, 4. adı verilen yeni sayı serileri S-Fibonacci sayıları.

Genel olarak altın S-orantı altın denklemin pozitif köküdür S-bölümler x S+1 - x S - 1 = 0.

Bunu ne zaman göstermek kolaydır S= 0, segment ikiye bölünür ve ne zaman S= 1 - tanıdık klasik altın oran.

Komşular arasındaki ilişkiler S- Fibonacci sayıları altın sınırında mutlak matematiksel doğrulukla örtüşmektedir S-oranlar! Bu gibi durumlarda matematikçiler altının S-bölümler sayısal değişmezlerdir S-Fibonacci sayıları.

Altının varlığını doğrulayan gerçekler S-doğadaki bölümler, Belaruslu bilim adamı E.M. Soroko “Sistemlerin Yapısal Uyumu” kitabında (Minsk, “Bilim ve Teknoloji”, 1984). Örneğin, iyi çalışılmış ikili alaşımların, yalnızca orijinal bileşenlerin özgül ağırlıklarının birbiriyle ilişkili olması durumunda özel, belirgin işlevsel özelliklere (termal kararlı, sert, aşınmaya dayanıklı, oksidasyona dirençli vb.) sahip olduğu ortaya çıktı. altın biri tarafından S-oranlar. Bu, yazarın altının olduğu hipotezini öne sürmesine olanak sağladı. S-bölümler kendi kendini organize eden sistemlerin sayısal değişmezleridir. Deneysel olarak doğrulandıktan sonra bu hipotez, kendi kendini organize eden sistemlerdeki süreçleri inceleyen yeni bir bilim alanı olan sinerjetiğin gelişimi için temel öneme sahip olabilir.

Altın kodları kullanma S- Oranlar herhangi bir gerçek sayı ile altının kuvvetlerinin toplamı olarak ifade edilebilir. S-tamsayı katsayılı oranlar.

Sayıları kodlamanın bu yöntemi arasındaki temel fark, yeni kodların tabanlarının altın renginde olmasıdır. S-oranlar, ile S> 0'ın irrasyonel sayılar olduğu ortaya çıkar. Böylece, irrasyonel temellere sahip yeni sayı sistemleri, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki tarihsel olarak kurulmuş ilişkiler hiyerarşisini "tepeden tırnağa" yerleştiriyor gibi görünüyor. Gerçek şu ki, ilk kez doğal sayılar “keşfedildi”; bu durumda oranları rasyonel sayılardır. Ve ancak daha sonra - Pisagorcular tarafından kıyaslanamaz bölümlerin keşfedilmesinden sonra - irrasyonel sayılar doğdu. Örneğin, ondalık, beşli, ikili ve diğer klasik konumsal sayı sistemlerinde, doğal sayılar bir tür temel prensip olarak seçilmiştir - 10, 5, 2 - ve belirli kurallara göre diğer tüm doğal sayılar ve rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar oluşturuldu.

Mevcut gösterim yöntemlerine bir tür alternatif, temel prensip olarak başlangıcı irrasyonel bir sayı olan (hatırlayın, altın oran denkleminin kökü olan) yeni, irrasyonel bir sistemdir; diğer gerçek sayılar zaten onun aracılığıyla ifade ediliyor.

Böyle bir sayı sisteminde, herhangi bir doğal sayı her zaman sonlu olarak temsil edilebilir - önceden düşünüldüğü gibi sonsuz değil! - herhangi bir altının derecelerinin toplamı S-oranlar. Şaşırtıcı matematiksel basitliğe ve zarafete sahip olan "irrasyonel" aritmetiğin, klasik ikili ve "Fibonacci" aritmetiğinin en iyi özelliklerini özümsemiş gibi görünmesinin nedenlerinden biri de budur.

Doğada oluşum ilkeleri

Kabuk spiral şeklinde bükülür. Açtığınızda yılanın uzunluğundan biraz daha kısa bir uzunluk elde edersiniz. On santimetrelik küçük bir kabuğun 35 cm uzunluğunda bir spirali vardır. Spiraller doğada çok yaygındır. Spiralden bahsetmeden altın oran fikri eksik kalacaktır.

Pirinç. 12. Arşimet sarmalı

Spiral kıvrımlı kabuğun şekli Arşimet'in dikkatini çekti. Bunu inceledi ve spiral için bir denklem buldu. Bu denkleme göre çizilen spiral onun adıyla anılmaktadır. Adımındaki artış her zaman aynıdır. Şu anda Arşimet spirali teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

Goethe ayrıca doğanın sarmallığa olan eğilimini de vurguladı. Ağaç dallarındaki yaprakların sarmal ve spiral dizilişi uzun zaman önce fark edilmişti. Ayçiçeği tohumları, çam kozalakları, ananaslar, kaktüsler vb.'nin dizilişinde spiral görüldü. Botanikçiler ve matematikçilerin ortak çalışması bu şaşırtıcı doğa olaylarına ışık tuttu. Fibonacci serisinin daldaki yaprakların dizilişinde (filotaksis), ayçiçeği çekirdeğinde ve çam kozalağında kendini gösterdiği ve dolayısıyla altın oran yasasının kendini gösterdiği ortaya çıktı. Örümcek ağını spiral şeklinde örer. Kasırga spiral gibi dönüyor. Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor. DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. Goethe spirale "yaşam eğrisi" adını verdi.

Yol kenarındaki otlar arasında olağanüstü bir bitki yetişir - hindiba. Şimdi ona daha yakından bakalım. Ana gövdeden bir sürgün oluşmuştur. İlk yaprak tam oradaydı.

Pirinç. 13. Hindiba

Sürgün uzaya güçlü bir fırlatma yapar, durur, bir yaprak bırakır ama bu sefer ilkinden daha kısadır, yine uzaya fırlatır ama daha az kuvvetle daha da küçük boyutta bir yaprak bırakır ve tekrar fırlatılır. . İlk emisyon 100 birim olarak alınırsa, ikincisi 62 birime, üçüncüsü 38, dördüncüsü 24 vb. Yaprakların uzunluğu da altın orana tabidir. Bitki büyürken ve alanı fethederken belirli oranları korudu. Büyüme dürtüleri altın oranla orantılı olarak giderek azaldı.

Pirinç. 14. Canlı kertenkele

İlk bakışta kertenkele gözümüze hoş gelen oranlara sahiptir; kuyruğunun uzunluğu vücudun geri kalan kısmının uzunluğuyla 62 ila 38 arasında ilişkilidir.

Hem bitki hem de hayvan dünyasında, doğanın biçimlendirici eğilimi, büyüme ve hareket yönüne ilişkin simetriyi sürekli olarak kırar. Burada altın oran, büyüme yönüne dik olan parçaların oranlarında ortaya çıkar.

Doğa simetrik parçalara ve altın oranlara bölme işlemi gerçekleştirmiştir. Parçalar bütünün yapısının tekrarını ortaya koyar.

Pirinç. 15. kuş yumurtası

Bir şair, doğa bilimci ve sanatçı olan büyük Goethe (suluboyayla çizdi ve resim yaptı), organik cisimlerin biçimi, oluşumu ve dönüşümüne ilişkin birleşik bir doktrin yaratmayı hayal etti. Morfoloji terimini bilimsel kullanıma sokan oydu.

Pierre Curie bu yüzyılın başında simetriyle ilgili bir dizi derin fikir formüle etti. Çevrenin simetrisi dikkate alınmadan herhangi bir cismin simetrisinin dikkate alınamayacağını savundu.

"Altın" simetri yasaları, temel parçacıkların enerji geçişlerinde, bazı kimyasal bileşiklerin yapısında, gezegensel ve kozmik sistemlerde, canlı organizmaların gen yapılarında kendini gösterir. Bu modeller, yukarıda belirtildiği gibi, bireysel insan organlarının ve bir bütün olarak vücudun yapısında bulunur ve aynı zamanda beynin bioritimlerinde ve işleyişinde ve görsel algıda da kendini gösterir.

Altın oran ve simetri

Altın bölüm asimetrinin bir tezahürü değildir, simetriye zıt bir şeydir. Modern fikirlere göre altın bölüm asimetrik simetridir. Simetri bilimi aşağıdaki gibi kavramları içerir: statik Ve dinamik simetri. Statik simetri barışı ve dengeyi karakterize ederken, dinamik simetri ise hareketi ve büyümeyi karakterize eder. Dolayısıyla doğada statik simetri kristallerin yapısıyla temsil edilirken sanatta huzuru, dengeyi ve hareketsizliği karakterize eder. Dinamik simetri aktiviteyi ifade eder, hareketi, gelişimi, ritmi karakterize eder, yaşamın kanıtıdır. Statik simetri, eşit bölümler ve eşit değerlerle karakterize edilir. Dinamik simetri, segmentlerdeki bir artış veya bunların azalması ile karakterize edilir ve artan veya azalan bir serinin altın bölümünün değerleriyle ifade edilir.

Eğitim amaçlı açık alanlardan)

Antik Mısır piramitleri, Leonardo da Vinci'nin "Mona Lisa" tablosu, ayçiçeği, salyangoz, çam kozalağı ve insan parmaklarının ortak noktalarının neler olduğunu öğrenelim mi?

Bu sorunun cevabı keşfedilen şaşırtıcı rakamlarda gizli İtalyan ortaçağ matematikçisi Pisalı Leonardo, daha çok Fibonacci adıyla bilinir (yaklaşık 1170 doğumlu - 1228'den sonra öldü), İtalyan matematikçi . Doğu'yu dolaşırken Arap matematiğinin başarılarıyla tanıştı; Batı'ya transferlerine katkıda bulundu.

Onun keşfinden sonra bu sayılar ünlü matematikçinin adıyla anılmaya başlandı. Fibonacci sayı dizisinin şaşırtıcı özü şudur: bu dizideki her sayının önceki iki sayının toplamından elde edildiği.

Yani diziyi oluşturan sayılar:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

"Fibonacci sayıları" olarak adlandırılır ve dizinin kendisi de Fibonacci dizisi olarak adlandırılır.. Fibonacci sayılarıyla ilgili çok ilginç bir özellik var. Dizideki herhangi bir sayıyı serideki önündeki sayıya böldüğünüzde sonuç her zaman irrasyonel değer olan 1,61803398875... etrafında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen ona ulaşamayan bir değer olacaktır. (Yaklaşık irrasyonel sayı, yani ondalık gösterimi sonsuz olan ve periyodik olmayan bir sayı)

Üstelik dizideki 13. sayıdan sonra bu bölme sonucu serinin sonsuza kadar sabit kalıyor... Orta Çağ'da İlahi oran adı verilen ve günümüzde altın oran, altın ortalama veya altın oran olarak adlandırılan şey, bu sabit sayıdaki bölümdür. . Cebirde bu sayı Yunanca phi (Ф) harfiyle gösterilir.

Yani Altın oran = 1:1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

İnsan vücudu ve altın oran.

Sanatçılar, bilim insanları, moda tasarımcıları, tasarımcılar hesaplamalarını, çizimlerini veya eskizlerini altın oran oranına göre yaparlar. Yine altın oran prensibine göre yaratılmış olan insan vücudundan alınan ölçümleri kullanıyorlar. Leonardo Da Vinci ve Le Corbusier başyapıtlarını yaratmadan önce Altın Oran kanununa göre oluşturulan insan vücudunun parametrelerini aldılar.

Tüm modern mimarların en önemli kitabı olan E. Neufert'in "Bina Tasarımı" referans kitabı, altın oranı içeren insan gövdesi parametrelerinin temel hesaplamalarını içerir.

Vücudumuzun çeşitli bölgelerinin oranları altın orana çok yakın bir sayıdır. Bu oranlar altın oran formülüne uyuyorsa kişinin görünümü veya vücudu ideal orantılı kabul edilir. İnsan vücudundaki altın ölçüsünü hesaplama prensibi bir diyagram şeklinde gösterilebilir:

E/m=1.618

İnsan vücudunun yapısındaki altın oranın ilk örneği:
Göbek noktasını insan vücudunun merkezi, ayak ile göbek noktası arasındaki mesafeyi ölçü birimi olarak alırsak, kişinin boyu 1.618 sayısına denk gelir.

Buna ek olarak vücudumuzun birkaç temel altın oranı daha vardır:

* parmak uçlarından bileğe ve dirseğe kadar olan mesafe 1:1.618;

* Omuz seviyesinden başın tepesine kadar olan mesafe ve başın büyüklüğü 1:1.618;

* Göbek noktasından başın tepesine ve omuz hizasından başın tepesine kadar olan mesafe 1:1.618;

* Göbek noktasının dizlere ve dizlerden ayaklara olan mesafesi 1:1.618;

* Çene ucundan üst dudak ucuna ve üst dudak ucundan burun deliklerine kadar olan mesafe 1:1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1:1.618;

* Çene ucundan kaşların üst çizgisine ve kaşların üst çizgisinden tepeye kadar olan mesafe 1:1.618'dir:

Kusursuz güzelliğin kriteri olarak insan yüz hatlarındaki altın oran.

İnsan yüz hatlarının yapısında da altın oran formülüne yakın değerde birçok örnek bulunmaktadır. Ancak hemen tüm insanların yüzlerini ölçecek bir cetvel bulmak için acele etmeyin. Çünkü bilim adamlarına ve sanatçılara, sanatçılara ve heykeltıraşlara göre altın orana tam karşılıklar ancak mükemmel güzelliğe sahip insanlarda mevcuttur. Aslında altın oranın bir insanın yüzündeki tam varlığı, insan bakışı için ideal güzelliktir.

Örneğin öndeki üst iki dişin genişliklerini toplayıp bu toplamı dişlerin yüksekliğine bölersek altın oran sayısını elde ederek bu dişlerin yapısının ideal olduğunu söyleyebiliriz.

Altın oran kuralının insan yüzünde başka uygulamaları da vardır. İşte bu ilişkilerden birkaçı:

*Yüz yüksekliği/yüz genişliği;

* Dudakların burun tabanına bağlantı merkezi noktası / burun uzunluğu;

* Yüz yüksekliği / çene ucundan dudakların orta noktasına kadar olan mesafe;

*Ağız genişliği/burun genişliği;

* Burun genişliği / burun delikleri arasındaki mesafe;

* Gözbebekleri arasındaki mesafe / kaşlar arasındaki mesafe.

İnsan eli.

Avucunuzu kendinize yaklaştırıp işaret parmağınıza dikkatlice bakmanız yeterli, içinde altın oranın formülünü hemen bulacaksınız. Elimizin her parmağı üç falankstan oluşur.

* Parmağın ilk iki falanjının, parmağın tüm uzunluğuna göre toplamı, altın oran sayısını verir (başparmak hariç);

* Ayrıca orta parmak ile küçük parmak arasındaki oran da altın orana eşittir;

* Bir kişinin 2 eli vardır, her eldeki parmaklar 3 falandan oluşur (başparmak hariç). Her elde 5 parmak yani toplamda 10 parmak vardır ancak iki falankslı iki başparmak dışında altın oran prensibine göre sadece 8 parmak yaratılmıştır. Oysa bu 2, 3, 5 ve 8 sayıları Fibonacci dizisinin sayılarıdır:

İnsan akciğerinin yapısındaki altın oran.

Amerikalı fizikçi B.D West ve Dr. A.L. Goldberger, fiziksel ve anatomik çalışmaları sırasında altın oranın insan akciğerinin yapısında da bulunduğunu tespit etti.

İnsan akciğerlerini oluşturan bronşların özelliği asimetrilerinde yatmaktadır. Bronşlar biri (solda) daha uzun, diğeri (sağda) daha kısa olan iki ana hava yolundan oluşur.

* Bronşların dallarında, tüm küçük solunum yollarında bu asimetrinin devam ettiği tespit edildi. Ayrıca kısa ve uzun bronş uzunluklarının oranı da altın orandır ve 1:1.618'e eşittir.

Altın ortogonal dörtgen ve spiralin yapısı.

Altın oran, bir parçanın eşit olmayan parçalara orantılı bir şekilde bölünmesidir; burada, büyük parçanın kendisi daha küçük olanla ilişkili olduğu için tüm parça daha büyük parçayla ilişkilidir; veya başka bir deyişle, daha büyük olanın bütüne oranı ne kadar küçükse, o kadar büyüktür.

Geometride bu en boy oranına sahip bir dikdörtgene altın dikdörtgen adı verildi. Uzun kenarları kısa kenarlarına göre 1.168:1 oranındadır.

Altın dikdörtgenin ayrıca birçok şaşırtıcı özelliği vardır. Altın dikdörtgenin birçok olağandışı özelliği vardır. Kenarı dikdörtgenin küçük kenarına eşit olan altın dikdörtgenden bir kare keserek yine daha küçük boyutlarda bir altın dikdörtgen elde ediyoruz. Bu işleme süresiz olarak devam edilebilir. Kareleri kesmeye devam ettikçe giderek küçülen altın dikdörtgenler elde edeceğiz. Dahası, doğal nesnelerin (örneğin salyangoz kabukları) matematiksel modellerinde önemli olan logaritmik bir spiral içinde yer alacaklardır.

Spiralin kutbu, ilk dikdörtgen ile kesilecek ilk dikey köşegenlerin kesişiminde bulunur. Ayrıca, sonraki tüm azalan altın dikdörtgenlerin köşegenleri bu köşegenlerin üzerinde yer alır. Tabii bir de altın üçgen var.

İngiliz tasarımcı ve estetisyen William Charlton, insanların spiral şekilleri göze hoş bulduklarını ve binlerce yıldır bu şekilleri kullandıklarını belirterek, bunu şöyle açıkladı:

"Spiralin görünümünü beğeniyoruz çünkü görsel olarak onu kolayca görebiliyoruz."

Doğada.

* Spiralin yapısının temelini oluşturan altın oran kuralına, doğada eşi benzeri olmayan güzellikteki yaratımlarda sıklıkla rastlanır. En belirgin örnekler, ayçiçeği çekirdeği, çam kozalağı, ananas, kaktüslerin dizilişinde, gül yapraklarının yapısında vb. sarmal şeklin görülebilmesi;

* Botanikçiler, bir daldaki yaprakların, ayçiçeği tohumlarının veya çam kozalaklarının dizilişinde Fibonacci serisinin açıkça ortaya çıktığını ve dolayısıyla altın oran yasasının ortaya çıktığını bulmuşlardır;

Yüce Rabbimiz, yarattıklarının her biri için özel bir ölçü tesis etmiş ve ona ölçülülük vermiştir. Bu, doğadaki örneklerle de teyit edilmektedir. Canlı organizmaların büyüme süreci logaritmik spiralin şekline tam olarak uygun olarak gerçekleştiğinde pek çok örnek verilebilir.

Spiraldeki tüm yaylar aynı şekle sahiptir. Matematikçiler, yayların boyutunda bir artış olsa bile spiralin şeklinin değişmeden kaldığını bulmuşlardır. Matematikte spiralle aynı özelliklere sahip başka bir form yoktur.

Deniz kabuklarının yapısı.

Deniz diplerinde yaşayan yumuşak gövdeli yumuşakçaların kabuklarının iç ve dış yapısını inceleyen bilim insanları şunları söyledi:

"Kabukların iç yüzeyi kusursuz bir şekilde pürüzsüzdür, dış yüzeyi ise tamamen pürüz ve düzensizliklerle kaplıdır. Yumuşakça kabuğun içindeydi ve bunun için kabuğun iç yüzeyinin kusursuz bir şekilde pürüzsüz olması gerekiyordu. Dış köşeleri-eğrileri Kabuk gücünü, sertliğini arttırır ve böylece gücünü arttırır. Mükemmellik ve Kabuk (salyangoz) yapısının şaşırtıcı zekası, kabukların spiral fikri mükemmel bir geometrik şekildir ve rafine güzelliğiyle şaşırtıcıdır. "

Kabuklu salyangozların çoğunda kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür. Ancak hiç şüphe yok ki bu mantıksız yaratıklar, logaritmik spiral hakkında hiçbir fikre sahip olmadıkları gibi, kendilerine spiral şeklinde bir kabuk oluşturabilecek en basit matematik bilgisine bile sahip değillerdir.

Peki o zaman bu mantıksız yaratıklar, sarmal bir kabuk biçimindeki ideal büyüme ve varoluş biçimini kendileri için nasıl belirleyip seçebildiler? Bilim dünyasının ilkel yaşam formu olarak adlandırdığı bu canlılar, logaritmik kabuk şeklinin kendi varoluşları için ideal olacağını hesaplayabilirler miydi?

Elbette hayır, çünkü böyle bir plan akıl ve bilgi olmadan gerçekleştirilemez. Ancak ne ilkel yumuşakçalar ne de bilinçsiz doğa böyle bir zekaya sahip değildir, ancak bazı bilim adamları buna dünyadaki yaşamın yaratıcısı (?!) adını verirler.

En ilkel canlı türünün bile kökenini, belirli doğa koşullarının tesadüfi birleşimiyle açıklamaya çalışmak, en hafif tabirle saçmadır. Bu projenin bilinçli bir yaratım olduğu açıktır.

Biyolog Sir D'Arcy Thompson deniz kabuklarının bu tür büyümesine şöyle diyor: "cücelerin büyüme formu."

Sir Thompson şu yorumu yapıyor:

"Deniz kabuklarının orantılı olarak büyüyüp genişleyerek aynı şekli koruyarak büyümesinden daha basit bir sistem yoktur. En şaşırtıcı olanı kabuk büyür ama asla şeklini değiştirmez."

Çapı birkaç santimetre olan Nautilus, cüce büyüme alışkanlığının en çarpıcı örneğidir. S. Morrison, insan zihniyle bile planlanması oldukça zor görünen nautilus'un büyüme sürecini şu şekilde tanımlıyor:

"Nautilus kabuğunun içinde sedeften yapılmış bölmeleri olan birçok bölme-oda vardır ve kabuğun kendisi de merkezden genişleyen bir spiral şeklindedir. Nautilus büyüdükçe kabuğun ön kısmında başka bir oda büyür, ancak bu sefer öncekine göre daha büyük ve odanın arkasında kalan bölmeler sedef tabakasıyla kaplanmış. Böylece spiral her zaman orantılı olarak genişliyor.”

Bilimsel adlarına uygun olarak logaritmik büyüme düzenine sahip bazı spiral kabuk türleri şunlardır:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Keşfedilen tüm fosil kabuk kalıntıları da gelişmiş bir spiral şekle sahipti.

Ancak logaritmik büyüme formu sadece yumuşakçalarda değil hayvanlar aleminde de bulunur. Antilop, yaban keçisi, koç ve benzeri hayvanların boynuzları da altın oran kanunlarına göre spiral şeklinde gelişir.

İnsan kulağında altın oran.

İnsanın iç kulağında, ses titreşimini iletme işlevini yerine getiren Koklea ("Salyangoz") adı verilen bir organ vardır.. Bu kemiksi yapı sıvıyla doludur ve aynı zamanda salyangoz şeklindedir ve sabit bir logaritmik spiral şekli = 73° 43' içerir.

Hayvan boynuzları ve dişleri spiral şeklinde gelişir.

Fillerin ve soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların pençeleri ve papağanların gagaları logaritmik biçimdedir ve spirale dönüşme eğiliminde olan bir eksen şeklini andırır. Örümcekler ağlarını daima logaritmik spiral şeklinde örerler. Plankton (globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida türleri) gibi mikroorganizmaların yapısı da spiral bir şekle sahiptir.

Mikrokozmosların yapısında altın oran.

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare, beşgen veya altıgenle sınırlı değildir. Bu şekilleri birbirine farklı şekillerde bağlarsak yeni üç boyutlu geometrik şekiller elde ederiz. Buna örnek olarak küp veya piramit gibi şekiller verilebilir. Ancak bunların yanında günlük hayatta karşılaşmadığımız, isimlerini belki de ilk kez duyduğumuz üç boyutlu figürler de var. Bu tür üç boyutlu şekiller arasında tetrahedron (normal dört taraflı şekil), oktahedron, dodecahedron, icosahedron vb. yer alır. Dodekahedron 13 beşgenden, ikosahedron ise 20 üçgenden oluşur. Matematikçiler bu rakamların matematiksel olarak çok kolay dönüştürüldüğünü ve dönüşümlerinin altın oranın logaritmik spiral formülüne göre gerçekleştiğini belirtiyorlar.

Mikrokozmosta altın oranlara göre oluşturulmuş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde mevcuttur. . Örneğin birçok virüs, bir ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla dizilmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 adet protein hücresi bulunur ve bu köşelerden sivri uçlu yapılar uzanır.

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'li yıllarda keşfedildi. Birkbeck College London'dan bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. 13 Polyo virüsü logaritmik bir form sergileyen ilk virüstü. Bu virüsün formunun Rhino 14 virüsünün formuna benzer olduğu ortaya çıktı.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklıyla bile oluşturulması oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu şekilleri nasıl oluşturuyor? Bu virüs türlerini keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor:

“Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin, ikosahedron şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Bu düzen, bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu, bir temel üzerine inşa edilmiştir. 14 Bu tür küplerin yerleştirilmesi son derece hassas ve detaylı bir şema-açıklama gerektirir. Oysa bilinçsiz virüsler, elastik, esnek protein hücresel birimlerden böylesine karmaşık bir kabuk oluştururlar."

İç tasarım ve mimaride mekansal nesnelerin geometrisiyle en azından dolaylı olarak karşılaşan herhangi bir kişi muhtemelen altın oran ilkesinin farkındadır. Yakın zamana kadar, yani birkaç on yıl öncesine kadar altın oranın popülaritesi o kadar yüksekti ki, mistik teorilerin ve dünyanın yapısının birçok destekçisi ona evrensel harmonik kural diyordu.

Evrensel oranın özü

Şaşırtıcı derecede farklı. Bu kadar basit bir sayısal bağımlılığa karşı önyargılı, neredeyse mistik tutumun nedeni, birkaç olağandışı özellikti:

• Virüslerden insanlara kadar canlılar dünyasındaki çok sayıda nesne, altın oran değerine çok yakın temel vücut veya uzuv oranlarına sahiptir;
• 0,63 veya 1,62 bağımlılığı yalnızca biyolojik canlılar ve bazı kristal türleri için tipiktir; minerallerden peyzaj elemanlarına kadar cansız nesneler son derece nadir olarak altın oranın geometrisine sahiptir;
• Vücut yapısındaki altın oranların, gerçek biyolojik nesnelerin hayatta kalması için en uygun oran olduğu ortaya çıktı.

Günümüzde altın oran, hayvanların vücut yapısında, yumuşakçaların kabuk ve kabuklarında, oldukça fazla sayıda çalı ve otların yaprak, dal, gövde ve kök sistemlerinin oranlarında bulunmaktadır.

Altın bölümün evrenselliği teorisinin pek çok takipçisi, oranlarının biyolojik organizmalar için varoluş koşullarında en uygun olduğu gerçeğini defalarca kanıtlamaya çalıştı.

Deniz yumuşakçalarından Astreae Heliotropium'un kabuk yapısı genellikle örnek olarak verilmektedir. Kabuk, pratik olarak altın oran oranlarıyla örtüşen bir geometriye sahip, sarmal bir kalsit kabuktur.

Daha anlaşılır ve açık bir örnek sıradan bir tavuk yumurtasıdır.

Ana parametrelerin yani büyük ve küçük odakların oranı veya yüzeyin eşit uzaklıktaki noktalarından ağırlık merkezine olan mesafeleri de altın orana karşılık gelecektir. Aynı zamanda kuş yumurtası kabuğunun şekli, kuşun biyolojik bir tür olarak hayatta kalması için en uygun olanıdır. Bu durumda kabuğun mukavemeti önemli bir rol oynamaz.

Bilginize! Geometrinin evrensel oranı olarak da adlandırılan altın oran, çok sayıda pratik ölçüm ve gerçek bitki, kuş ve hayvanların boyutlarının karşılaştırılması sonucunda elde edildi.

Evrensel oranın kökeni

Antik Yunan matematikçileri Öklid ve Pisagor, bölümün altın oranını biliyorlardı. Antik mimarinin anıtlarından biri olan Cheops piramidinde, kenar ve taban oranı, bireysel unsurlar ve duvar kısmaları evrensel orana uygun olarak yapılmıştır.

Altın oran tekniği Orta Çağ'da sanatçılar ve mimarlar tarafından yaygın olarak kullanılırken, evrensel oranın özü evrenin sırlarından biri olarak kabul ediliyor ve sıradan insandan dikkatle saklanıyordu. Pek çok resim, heykel ve binanın kompozisyonu kesinlikle altın bölümün oranlarına uygun olarak inşa edilmiştir.

Evrensel oranın özü ilk kez 1509'da parlak matematiksel yeteneklere sahip Fransisken keşiş Luca Pacioli tarafından belgelendi. Ancak gerçek tanınma, Alman bilim adamı Zeising'in insan vücudunun oranları ve geometrisi, eski heykeller, sanat eserleri, hayvanlar ve bitkiler üzerine kapsamlı bir çalışma yürütmesinin ardından gerçekleşti.

Canlıların çoğunda bazı vücut ölçüleri aynı oranlara tabidir. 1855 yılında bilim adamları, altın oran oranlarının vücut ve formun uyumu için bir tür standart olduğu sonucuna vardılar. Öncelikle canlılardan bahsediyoruz; ölü doğa için altın oran çok daha az yaygın.

Altın oran nasıl elde edilir

Altın oran, en kolay şekilde, aynı nesnenin bir noktayla ayrılmış farklı uzunluklardaki iki parçasının oranı olarak düşünülebilir.

Basitçe söylemek gerekirse, büyük bir parçanın içine küçük bir parçanın kaç uzunluğunun sığacağı veya en büyük parçanın doğrusal bir nesnenin tüm uzunluğuna oranı. İlk durumda altın oran 0,63, ikinci durumda ise en boy oranı 1,618034'tür.

Uygulamada, altın oran sadece bir orandır; belirli bir uzunluktaki parçaların, bir dikdörtgenin kenarlarının veya diğer geometrik şekillerin, gerçek nesnelerin ilgili veya eşlenik boyutsal özelliklerinin oranıdır.

Başlangıçta, altın oranlar geometrik yapılar kullanılarak ampirik olarak elde edildi. Harmonik oranı oluşturmanın veya türetmenin birkaç yolu vardır:

Bilginize! Mimari versiyon, klasik altın oranın aksine 44:56 en-boy oranını ima ediyor.

Altın oranın canlılar, resimler, grafikler, heykeller ve antik yapılar için standart versiyonu 37:63 olarak hesaplandıysa, 17. yüzyılın sonlarından itibaren mimaride altın oran giderek 44:56 olarak kullanılmaya başlandı. Uzmanların çoğu, daha "kare" oranların lehine olan değişikliğin yüksek katlı inşaatın yaygınlaşması olduğunu düşünüyor.

Altın oranın ana sırrı

Hayvanların ve insanların vücut oranlarındaki evrensel bölümün doğal tezahürleri, bitkilerin kök tabanı hala evrim ve dış çevrenin etkisine uyum sağlama ile açıklanabiliyorsa, o zaman inşaatta altın bölümün keşfi 12.-19. yüzyıllara ait evlerin sayısı belli bir sürpriz oldu. Üstelik ünlü antik Yunan Parthenon'u evrensel oranlara uygun olarak inşa edilmiş; Orta Çağ'da zengin soyluların ve varlıklı kişilerin birçok evi ve kalesi, altın orana çok yakın parametrelerle bilinçli olarak inşa edilmiştir.

Mimaride altın oran

Günümüze kadar ulaşan binaların birçoğu, Orta Çağ mimarlarının altın oranın varlığından haberdar olduklarını ve elbette bir ev inşa ederken ilkel hesaplamalarına ve bağımlılıklarına göre yönlendirildiklerini göstermektedir. maksimum güce ulaşmaya çalıştılar. En güzel ve uyumlu evleri inşa etme arzusu özellikle hükümdarların konutlarında, kiliselerde, belediye binalarında ve toplumda özel sosyal öneme sahip binalarda belirgindi.

Örneğin Paris'teki ünlü Notre Dame Katedrali'nin oranlarında altın orana karşılık gelen birçok bölüm ve boyutsal zincirler bulunmaktadır.

Profesör Zeising'in 1855 yılında araştırmasının yayınlanmasından önce bile, 18. yüzyılın sonlarında St. Petersburg'daki Golitsyn Hastanesi ve Senato binasının ünlü mimari kompleksleri, Moskova'daki Pashkov Evi ve Petrovsky Sarayı bu yöntem kullanılarak inşa edilmişti. altın bölümün oranları.

Elbette daha önce de evler altın oran kuralına tam olarak uyularak inşa ediliyordu. Diyagramda gösterilen Nerl'deki Şefaat Kilisesi'nin antik mimari anıtından bahsetmeye değer.

Hepsi sadece formların uyumlu bir kombinasyonu ve yüksek inşaat kalitesiyle değil, aynı zamanda her şeyden önce binanın oranlarındaki altın oranın varlığıyla da birleşiyor. Binanın şaşırtıcı güzelliği, yaşı dikkate alındığında daha da gizemli hale geliyor. Şefaat Kilisesi'nin binası 13. yüzyıla kadar uzanıyor, ancak bina modern mimari görünümünü 17. yüzyılın başlarında almış. Restorasyon ve yeniden yapılanma sonucu.

Altın oranın insanlar için özellikleri

Orta Çağ'daki binaların ve evlerin antik mimarisi, birçok nedenden dolayı modern insanlar için çekici ve ilgi çekici olmaya devam ediyor:

• Cephe tasarımında bireysel bir sanatsal üslup, modern klişelerden ve sıkıcılıktan kaçınmamızı sağlar; her bina bir sanat eseridir;
• Heykellerin, heykellerin, alçı pervazların, farklı dönemlere ait bina çözümlerinin alışılmadık kombinasyonlarının dekorasyonu ve dekorasyonu için yoğun kullanım;
• Binanın oranları ve kompozisyonu, binanın en önemli unsurlarına dikkat çekiyor.

Önemli! Bir ev tasarlarken ve görünümünü geliştirirken, ortaçağ mimarları bilinçsizce insanın bilinçaltı algısının özelliklerini kullanarak altın oran kuralını uyguladılar.

Modern psikologlar, altın oranın, bir kişinin bilinçsiz arzusunun veya boyut, şekil ve hatta renklerde uyumlu bir kombinasyon veya orana tepkisinin bir tezahürü olduğunu deneysel olarak kanıtlamıştır. Birbirini tanımayan, ortak ilgi alanları olmayan, farklı mesleklerden ve yaş kategorilerinden oluşan bir grup insana, aralarında en çok bir kağıdı bükme görevinin de bulunduğu bir dizi testin sunulduğu bir deney yapıldı. kenarların optimal oranı. Test sonuçlarına göre, 100 vakanın 85'inde çarşafın denekler tarafından neredeyse tam olarak altın orana göre büküldüğü tespit edildi.

Bu nedenle modern bilim, evrensel oran olgusunun herhangi bir metafizik kuvvetin eylemi değil, psikolojik bir olgu olduğuna inanmaktadır.

Modern tasarım ve mimaride evrensel kesit faktörünün kullanılması

Altın oranı kullanma ilkeleri son birkaç yıldır özel ev inşaatlarında son derece popüler hale geldi. Yapı malzemelerinin ekolojisi ve güvenliğinin yerini uyumlu tasarım ve evin içinde enerjinin doğru dağıtımı almıştır.

Evrensel uyum kuralının modern yorumu, bir nesnenin olağan geometrisinin ve şeklinin çok ötesine geçmiştir. Günümüzde kural, yalnızca revak ve alınlığın uzunluğunun boyutsal zincirlerine, cephenin bireysel elemanlarına ve binanın yüksekliğine değil aynı zamanda odaların, pencere ve kapı açıklıklarının alanına ve hatta odanın iç kısmının renk şeması.

Uyumlu bir ev inşa etmenin en kolay yolu modüler temeldir. Bu durumda çoğu bölüm ve oda, altın oran kuralına uygun olarak tasarlanmış bağımsız bloklar veya modüller halinde yapılır. Bir dizi uyumlu modül şeklinde bir bina inşa etmek, cephenin ve iç mekanın çoğunun altın oran oranlarının katı çerçevesinde olması gereken tek bir kutu inşa etmekten çok daha kolaydır.

Özel konut tasarımı yapan birçok inşaat şirketi, maliyet tahminini artırmak ve müşterilere evin tasarımının baştan sona üzerinde çalışıldığı izlenimini vermek için altın oran ilke ve kavramlarını kullanıyor. Kural olarak, böyle bir evin kullanımının çok uygun ve uyumlu olduğu beyan edilir. Doğru seçilmiş oda alanı oranı, sahiplerin manevi konforunu ve mükemmel sağlığını garanti eder.

Ev, altın bölümün optimal oranları dikkate alınmadan inşa edilmişse, odanın oranları 1:1.61 oranında duvarların oranına karşılık gelecek şekilde odaları yeniden tasarlayabilirsiniz. Bunu yapmak için mobilyalar taşınabilir veya odaların içine ek bölmeler yerleştirilebilir. Aynı şekilde pencere ve kapı açıklıklarının boyutları da açıklığın genişliği kapı kanadı yüksekliğinden 1,61 kat az olacak şekilde değiştirilmektedir. Aynı şekilde mobilya, ev aletleri, duvar ve zemin dekorasyonunun planlaması da yapılmaktadır.

Bir renk şeması seçmek daha zordur. Bu durumda, altın kuralın takipçileri, olağan 63:37 oranı yerine basitleştirilmiş bir yorum olan 2/3'ü benimsedi. Yani, ana renk arka planı oda alanının% 60'ını kaplamalı, en fazla% 30'u gölgelendirme rengine verilmeli ve geri kalanı, renk şemasının algısını geliştirmek için tasarlanmış çeşitli ilgili tonlara ayrılmalıdır. .

Odanın iç duvarları 70 cm yükseklikte yatay bir kuşak veya bordürle bölünmüş olup, döşenen mobilyaların altın orana göre tavan yüksekliği ile orantılı olması gerekmektedir. Aynı kural uzunlukların dağılımı için de geçerlidir, örneğin kanepenin boyutu bölme uzunluğunun 2/3'ünü geçmemelidir ve mobilyaların kapladığı toplam alan odanın alanıyla 1 olarak ilgilidir. :1.61.

Altın oranın pratikte büyük ölçekte uygulanması tek bir kesit değeri nedeniyle zordur, bu nedenle uyumlu binalar tasarlanırken sıklıkla bir dizi Fibonacci sayısına başvurulur. Bu, evin ana elemanlarının oranları ve geometrik şekilleri için olası seçeneklerin sayısını genişletmenize olanak tanır. Bu durumda açık bir matematiksel ilişkiyle birbirine bağlanan bir dizi Fibonacci sayısına harmonik veya altın adı verilir.

Altın oran prensibine dayanan modern konut tasarımı yönteminde Fibonacci serisinin yanı sıra ünlü Fransız mimar Le Corbusier'in önerdiği prensip de yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu durumda, binanın ve iç mekanın tüm parametrelerinin hesaplandığı başlangıç ​​ölçü birimi olarak gelecekteki sahibinin boyu veya bir kişinin ortalama boyu seçilir. Bu yaklaşım, yalnızca uyumlu değil aynı zamanda gerçekten bireysel bir ev tasarlamanıza olanak tanır.

Çözüm

Uygulamada, altın oran kuralına göre bir ev inşa etmeye karar verenlerin incelemelerine göre, iyi inşa edilmiş bir binanın aslında yaşamak için oldukça rahat olduğu ortaya çıkıyor. Ancak bireysel tasarım ve standart dışı boyutlarda yapı malzemelerinin kullanılması nedeniyle binanın maliyeti% 60-70 oranında artmaktadır. Ve bu yaklaşımda yeni bir şey yok, çünkü geçen yüzyılın çoğu binası özellikle gelecekteki sahiplerinin bireysel özelliklerine göre inşa edildi.

Güzel bir manzaraya baktığımızda etrafımızdaki her şey bizi kucaklıyor. Daha sonra detaylara dikkat ediyoruz. Mırıldanan bir nehir ya da görkemli bir ağaç. Yeşil bir alan görüyoruz. Rüzgârın onu nasıl nazikçe kucakladığını ve çimleri bir yandan diğer yana salladığını fark ediyoruz. Doğanın kokusunu hissedebiliyoruz, kuşların cıvıltılarını duyabiliyoruz... Her şey uyumlu, her şey birbiriyle bağlantılı ve huzur hissi, güzellik duygusu veriyor. Algılama aşamalar halinde, biraz daha küçük parçalar halinde ilerler. Bankta nereye oturacaksınız: kenarda mı, ortada mı, yoksa herhangi bir yerde mi? Çoğu kişi bunun ortadan biraz daha uzakta olduğu cevabını verecektir. Bench'in vücudunuzdan kenara kadar olan oranı yaklaşık olarak 1,62 olacaktır. Sinemada, kütüphanede, her yerde aynı. Tüm dünyada “Altın Oran” dediğim uyumu ve güzelliği içgüdüsel olarak yaratıyoruz.

Matematikte altın oran

Güzelliğin ölçüsünü belirlemenin mümkün olup olmadığını hiç merak ettiniz mi? Matematiksel açıdan bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Basit aritmetik, Altın Oran prensibi sayesinde kusursuz güzelliğe yansıyan mutlak uyum kavramını verir. Diğer Mısır ve Babil'in mimari yapıları bu prensibe uymaya başlayan ilk yapılar oldu. Ancak bu prensibi formüle eden ilk kişi Pisagor'du. Matematikte bu, bir parçanın yarıdan biraz fazlaya, daha doğrusu 1,628'e bölünmesidir. Bu oran φ =0,618= 5/8 olarak gösterilmektedir. Küçük bir parça = 0,382 = 3/8 ve tüm parça bir olarak alınır.

A:B=B:C ve C:B=B:A

Altın oran ilkesi, büyük yazarlar, mimarlar, heykeltıraşlar, müzisyenler, sanat adamları, kiliselerde unsurlarıyla birlikte piktogramlar (beş köşeli yıldız vb.) çizen, kötü ruhlardan kaçan Hıristiyanlar ve eğitim gören insanlar tarafından kullanılmıştır. kesin bilimler, sibernetik problemlerini çözme.

Doğada ve olaylarda altın oran.

Dünyadaki her şey şekil alır, yukarı doğru, yana doğru veya spiral şeklinde büyür. Arşimet ikincisine çok dikkat etti ve bir denklem oluşturdu. Fibonacci serisine göre bir kozalak, bir kabuk, bir ananas, bir ayçiçeği, bir kasırga, bir örümcek ağı, bir DNA molekülü, bir yumurta, bir yusufçuk, bir kertenkele vardır...

Titirius, tüm Evrenimizin, uzayımızın, galaktik uzayımızın - her şeyin Altın Prensip'e göre planlandığını kanıtladı. Canlı ve cansız her şeyde en yüksek güzellik okunabilir.

İnsanda altın oran.

Kemikler de doğa tarafından 5/8 oranına göre tasarlanmıştır. Bu, insanların “geniş kemikler” konusundaki çekincelerini ortadan kaldırıyor. Oranlardaki çoğu vücut parçası denklem için geçerlidir. Vücudun tüm kısımları Altın Formüle uyuyorsa, dış veriler çok çekici ve ideal oranda orantılı olacaktır.

Omuzlardan başın tepesine kadar olan bölüm ve büyüklüğü = 1:1 0,618
Göbek deliğinden başın tepesine ve omuzlardan başın tepesine kadar olan bölüm = 1:1 0,618
Göbek deliğinden dizlere ve dizlerden ayaklara kadar olan bölüm = 1:1 .618
Çeneden üst dudağın en uç noktasına ve oradan buruna kadar olan bölüm = 1:1 .618


Tüm yüz mesafeleri göze çarpan ideal oranlar hakkında genel bir fikir verir.
Parmaklar, avuç içi de kanuna uyar. Ayrıca, gövde ile birlikte açılmış kolların uzunluğunun bir kişinin boyuna eşit olduğu da unutulmamalıdır. Neden tüm organlar, kan, moleküller Altın Formüle karşılık geliyor. Uzayımızın içinde ve dışında gerçek uyum.

Çevreleyen faktörlerin fiziksel tarafındaki parametreler.

Ses seviyesi. Kulak kepçesinde rahatsızlık hissi ve ağrıya neden olan sesin en yüksek noktası = 130 desibel. Bu sayı 1.618 oranına bölündüğünde bir insan çığlığının sesinin = 80 desibel olacağı ortaya çıkıyor.
Aynı yöntemi kullanarak daha da ileri giderek, normal insan konuşması hacmi için tipik olan 50 desibel elde ederiz. Ve formül sayesinde elde ettiğimiz son ses ise hoş bir fısıltı sesi = 2,618.
Bu prensibi kullanarak optimum-rahat, minimum ve maksimum sıcaklık, basınç ve nem sayılarını belirlemek mümkündür. Uyumun basit aritmetiği tüm çevremize gömülüdür.

Sanatta altın oran.

Mimarlıkta en ünlü binalar ve yapılar şunlardır: Mısır piramitleri, Meksika'daki Maya piramitleri, Notre Dame de Paris, Yunan Parthenon, Peter Sarayı ve diğerleri.

Müzikte: Arensky, Beethoven, Havan, Mozart, Chopin, Schubert ve diğerleri.

Resimde: ünlü sanatçıların hemen hemen tüm resimleri kesitlere göre boyanmıştır: çok yönlü Leonardo da Vinci ve benzersiz Michelangelo, en saf sanatın ideali olan Shishkin ve Surikov gibi yazılı akrabalar - İspanyol Raphael ve Kadın güzelliği idealini ortaya koyan İtalyan Botticelli ve daha birçokları.

Şiirde: Alexander Sergeevich Puşkin'in, özellikle "Eugene Onegin" ve "Kunduracı" şiirinin düzenli konuşması, harika Shota Rustaveli ve Lermontov'un şiiri ve diğer birçok büyük kelime ustası.

Heykel alanında: Apollon Belvedere, Olimposlu Zeus, güzel Athena ve zarif Nefertiti'nin heykeli ve diğer heykeller ve heykeller.

Fotoğrafçılık “üçler kuralını” kullanır. Prensip şudur: Kompozisyon dikey ve yatay olarak 3 eşit parçaya bölünmüştür, kilit noktalar ya kesişme çizgilerinde (ufuk) ya da kesişme noktalarında (nesne) bulunur. Yani oranlar 3/8 ve 5/8'dir.
Altın Oran'a göre detaylı olarak incelenmeye değer pek çok püf noktası bulunmaktadır. Bir sonraki yazımda bunları ayrıntılı olarak anlatacağım.