Dağıtım serisi verilmiştir. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu

Olasılık teorisi uygulamalarında deneyin niceliksel özellikleri birincil öneme sahiptir. Niceliksel olarak belirlenebilen ve yapılan deney sonucunda duruma göre farklı değerler alabilen niceliğe denir. rastgele değişken.

Rastgele değişken örnekleri:

1. Bir zarın on atışında çift sayının gelme sayısı.

2. Bir dizi atış yapan atıcının hedefe yaptığı vuruş sayısı.

3. Patlayan bir merminin parça sayısı.

Verilen örneklerin her birinde, rastgele değişken yalnızca izole edilmiş değerleri, yani doğal bir sayı dizisi kullanılarak numaralandırılabilen değerleri alabilmektedir.

Olası değerleri, bu değişkenin belirli olasılıklarla aldığı bireysel izole sayılar olan böyle bir rastgele değişkene denir. ayrık.

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz (sayılabilir) olabilir.

Dağıtım kanunu Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların bir listesidir. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası, bir tablo (olasılık dağılım serisi) şeklinde, analitik ve grafiksel olarak (olasılık dağılım poligonu) belirtilebilir.

Bir deney gerçekleştirirken, incelenen değerin "ortalama olarak" değerlendirilmesi gerekli hale gelir. Rastgele bir değişkenin ortalama değerinin rolü, adı verilen sayısal bir özellik tarafından oynanır. matematiksel beklenti, formülle belirlenir

Nerede X 1 , X 2 ,.. , X N– rastgele değişken değerleri X, A P 1 ,P 2 , ... , P N– bu değerlerin olasılıkları (unutmayın) P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Örnek. Atış hedefe yapılır (Şek. 11).

I'de bir vuruş üç puan, II'de iki puan, III'te bir puan verir. Bir atıcının tek atışında attığı puanların sayısı şu şekilde bir dağıtım yasasına sahiptir:

Atıcıların becerilerini karşılaştırmak için atılan puanların ortalama değerlerini karşılaştırmak yeterlidir; matematiksel beklentiler M(X) Ve M(e):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(e) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

İkinci atıcı ortalama olarak biraz daha yüksek puan verir; defalarca ateşlendiğinde daha iyi sonuç verecektir.

Matematiksel beklentinin özelliklerine dikkat edelim:

1. Sabit bir değerin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir:

M(C) = C.

2. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M =(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. Birbirinden bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. Binom dağılımının matematiksel olumsuzlaması, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir (görev 4.6).

M(X) = pr.

Bir rastgele değişkenin “ortalama olarak” matematiksel beklentisinden nasıl saptığını değerlendirmek; Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin değerlerinin yayılmasını karakterize etmek için dağılım kavramı kullanılır.

Varyans rastgele değişken X sapmanın karesinin matematiksel beklentisi denir:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dağılım, bir rastgele değişkenin dağılımının sayısal bir özelliğidir. Tanımdan, rastgele bir değişkenin dağılımı ne kadar küçük olursa, olası değerlerinin matematiksel beklentinin etrafına o kadar yakın yerleştirildiği, yani rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisiyle o kadar iyi karakterize edildiği açıktır. .

Tanımdan, varyansın aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabileceği anlaşılmaktadır.

.

Varyansı başka bir formül kullanarak hesaplamak uygundur:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dispersiyon aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Sabitin varyansı sıfırdır:

D(C) = 0.

2. Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

D(Müşteri Deneyimi) = C 2 D(X).

3. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyansının toplamına eşittir:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir olayın bir denemede meydana gelme ve gelmeme olasılığının çarpımına eşittir:

D(X) = npq.

Olasılık teorisinde sıklıkla bir rastgele değişkenin varyansının kareköküne eşit bir sayısal özellik kullanılır. Bu sayısal özelliğe ortalama kare sapma adı verilir ve sembolü ile gösterilir.

.

Bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının yaklaşık boyutunu karakterize eder ve rastgele değişkenle aynı boyuta sahiptir.

4.1. Atıcı hedefe üç el ateş eder. Her atışta hedefi vurma olasılığı 0,3'tür.

İsabet sayısı için bir dağıtım serisi oluşturun.

Çözüm. İsabet sayısı ayrı bir rastgele değişkendir X. Her değer X N rastgele değişken X belirli bir olasılığa karşılık gelir P N .

Bu durumda ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası belirtilebilir. yakın dağıtım.

Bu problemde X 0, 1, 2, 3 değerlerini alır. Bernoulli formülüne göre

,

Rastgele değişkenin olası değerlerinin olasılıklarını bulalım:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Rastgele değişkenin değerlerini düzenleyerek X artan sırayla dağıtım serisini elde ederiz:

Tutarın

rastgele değişkenin olasılığı anlamına gelir X Olasılar arasından en az bir değer alacaktır ve bu olay güvenilirdir, dolayısıyla

.

4.2 .Çantada 1'den 4'e kadar sayıların yazılı olduğu 4 top bulunmaktadır. İki top alınıyor. Rastgele değişken X– top numaralarının toplamı. Rastgele bir değişkenin dağılım serisini oluşturun X.

Çözüm. Rastgele değişken değerleri X 3, 4, 5, 6, 7'dir. Karşılık gelen olasılıkları bulalım. Rastgele değişken değeri 3 X Seçilen toplardan birinin 1, diğerinin 2 numaraya sahip olduğu tek durumda kabul edilebilir. Olası test sonuçlarının sayısı, ikiden oluşan dört (olası top çifti sayısı) kombinasyon sayısına eşittir.

Klasik olasılık formülünü kullanarak elde ederiz

Aynı şekilde,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Toplam 5 iki durumda görünebilir: 1 + 4 ve 2 + 3, yani

.

Xşu forma sahiptir:

Dağıtım fonksiyonunu bulun F(X) rastgele değişken X ve planlayın. Şunun için hesapla: X matematiksel beklenti ve varyansı.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, dağılım fonksiyonu ile belirlenebilir.

F(X) =P(X X).

Dağıtım işlevi F(X) sayı doğrusunda tanımlanan, azalmayan, soldan sürekli bir fonksiyondur, oysa

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Ayrık bir rastgele değişken için bu fonksiyon aşağıdaki formülle ifade edilir:

.

Bu nedenle bu durumda

Dağıtım fonksiyonu grafiği F(X) basamaklı bir çizgidir (Şek. 12)

BeklentiM(X) değerlerin ağırlıklı aritmetik ortalamasıdır X 1 , X 2 ,……X N rastgele değişken X terazili ρ 1, ρ 2, …… , ρ N ve rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılır X. Formüle göre

M(X)=x 1 ρ 1 +x 2 ρ 2 +……+ x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dağılım rastgele bir değişkenin değerlerinin ortalama değerinden dağılım derecesini karakterize eder ve gösterilir D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Ayrık bir rastgele değişken için varyans şu şekildedir:

veya formül kullanılarak hesaplanabilir

Problemin sayısal verilerini formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. İki zar aynı anda iki kez atılıyor. Ayrık bir rastgele değişkenin binom dağılım yasasını yazın X- iki zarda eşit toplam puan sayısının oluşma sayısı.

Çözüm. Rastgele bir olay tanıtalım

A= (bir atışta iki zar toplamda çift sayıda puanla sonuçlandı).

Bulduğumuz klasik olasılık tanımını kullanarak

R(A)= ,

Nerede N - olası test sonuçlarının sayısı kural tarafından bulunur

çarpma:

N = 6∙6 =36,

M - etkinliği destekleyen kişi sayısı A sonuçlar - eşit

M= 3∙6=18.

Yani bir denemede başarı olasılığı

ρ = P(A)= 1/2.

Problem Bernoulli test şeması kullanılarak çözülmüştür. Buradaki zorluklardan biri, bir kerede iki zar atmak olacak. Bu tür testlerin sayısı N = 2. Rastgele değişken X olasılıklarla 0, 1, 2 değerlerini alır

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Bir rastgele değişkenin gerekli binom dağılımı X bir dağıtım serisi olarak temsil edilebilir:

4.5 . Altı parçadan oluşan bir partide dört standart parça vardır. Üç parça rastgele seçildi. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımını oluşturun X– seçilenler arasındaki standart parça sayısı ve bunun matematiksel beklentisi.

Çözüm. Rastgele değişken değerleri X 0,1,2,3 sayılarıdır. Açık ki R(X=0)=0, çünkü yalnızca iki standart olmayan parça vardır.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası X Bunu bir dağıtım serisi şeklinde sunalım:

Beklenti

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin olduğunu kanıtlayın X- olayın gerçekleşme sayısı A V N her birinde bir olayın meydana gelme olasılığının eşit olduğu bağımsız denemeler ρ – bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığı ile deneme sayısının çarpımına eşit, yani binom dağılımının matematiksel beklentisinin kanıtlanması için

M(X) =N . ρ ,

ve dağılım

D(X) =n.p. .

Çözüm. Rastgele değişken X 0, 1, 2... değerlerini alabilir N. Olasılık R(X= k) Bernoulli formülü kullanılarak bulunur:

R(X=k)= R N(k)= ρ İle (1-ρ ) N-İle

Rastgele bir değişkenin dağılım serisi Xşu forma sahiptir:

Nerede Q= 1- ρ .

Matematiksel beklenti için şu ifadeye sahibiz:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

Tek bir test durumunda, yani n= Rastgele değişken için 1 X 1 – olayın gerçekleşme sayısı A- dağıtım serisi şu şekildedir:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = pq.

Eğer X k – olayın gerçekleşme sayısı A o zaman hangi sınavda R(X İle)= ρ Ve

X=X 1 +X 2 +….+X N .

Buradan anlıyoruz

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= hayır,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Kalite kontrol departmanı ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Ürünün standart olma ihtimali 0,9'dur. Her partide 5 ürün bulunmaktadır. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- Her biri 4 standart ürün içerecek olan parti sayısı - eğer 50 parti muayeneye tabi ise.

Çözüm. Rastgele seçilen her partide 4 standart ürün bulunma olasılığı sabittir; şununla belirtelim ρ .Sonra rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X eşittir M(X)= 50∙ρ.

Olasılığı bulalım ρ Bernoulli'nin formülüne göre:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Üç zar atılıyor. Bırakılan noktaların toplamının matematiksel beklentisini bulun.

Çözüm. Rastgele bir değişkenin dağılımını bulabilirsiniz X- düşürülen noktaların toplamı ve ardından matematiksel beklenti. Ancak bu yol çok zahmetlidir. Rasgele bir değişkeni temsil eden başka bir tekniği kullanmak daha kolaydır X matematiksel beklentisinin hesaplanması daha kolay olan birkaç basit rastgele değişkenin toplamı şeklinde hesaplanması gereken . Rastgele değişken ise X Ben atılan puanların sayısıdır Ben– kemikler ( Ben= 1, 2, 3), sonra puanların toplamı Xşeklinde ifade edilecektir.

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Orijinal rastgele değişkenin matematiksel beklentisini hesaplamak için geriye kalan tek şey matematiksel beklenti özelliğini kullanmaktır.

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Açıkça görülüyor ki

R(X Ben = K)= 1/6, İLE= 1, 2, 3, 4, 5, 6, Ben= 1, 2, 3.

Bu nedenle rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X Ben benziyor

M(X Ben) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Aşağıdaki durumlarda test sırasında arızalanan cihaz sayısına ilişkin matematiksel beklentiyi belirleyin:

a) Tüm cihazların arıza olasılığı aynıdır R ve test edilen cihazların sayısı şuna eşittir: N;

b) başarısızlık olasılığı Ben – cihazın değeri eşittir P Ben , Ben= 1, 2, … , N.

Çözüm. Rastgele değişken olsun X arızalı cihazların sayısıdır, o zaman

X = X 1 + X 2 + … + X N ,

X Ben =

Açık ki

R(X Ben = 1)= R Ben , R(X Ben = 0)= 1– R Ben ,ben= 1, 2, … ,N.

M(X Ben)= 1∙R Ben + 0∙(1-P Ben)=P Ben ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .

“a” durumunda cihazın arızalanma olasılığı aynıdır, yani

R Ben =p,ben= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Rastgele değişkenin olduğunu fark edersek bu cevap hemen elde edilebilir. X parametrelerle bir binom dağılımına sahiptir ( N, P).

4.10. İki zar aynı anda iki kez atılıyor. Ayrık bir rastgele değişkenin binom dağılım yasasını yazın X - iki zarda çift sayıda puanın atılma sayısı.

Çözüm. İzin vermek

A=(ilk zarda çift sayı atılması),

B =(ikinci zarda çift sayı atılması).

Bir atışta her iki zarda da çift sayı gelmesi çarpım ile ifade edilir AB. Daha sonra

R (AB) = R(A)∙R(İÇİNDE) =
.

İki zarın ikinci atışının sonucu birinciye bağlı değildir, dolayısıyla Bernoulli'nin formülü aşağıdaki durumlarda geçerlidir:

N = 2,p = 1/4, Q = 1– p = 3/4.

Rastgele değişken X 0, 1, 2 değerlerini alabilir , olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak bulunabilir:

R(X= 0)= P 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Rastgele bir değişkenin dağılım serisi X:

4.11. Cihaz, zaman içinde her bir elemanın aynı çok küçük arıza olasılığına sahip, bağımsız olarak çalışan çok sayıda elemandan oluşur. T. Zaman içindeki ortalama ret sayısını bulun T Bu süre zarfında en az bir elemanın arızalanma olasılığı 0,98 ise.

Çözüm. Zaman içinde reddeden kişi sayısı Töğeler – rastgele değişken X Poisson yasasına göre dağıtılan eleman sayısı fazla olduğundan elemanlar bağımsız çalışır ve her elemanın arıza olasılığı küçüktür. Bir olayın ortalama gerçekleşme sayısı N testler eşittir

M(X) = n.p..

Başarısızlık olasılığı nedeniyle İLE gelen unsurlar N formülle ifade edilir

R N (İLE)
,

nerede  = n.p., o zaman tek bir elemanın bile bu süre içinde arızalanmama olasılığı T ulaşıyoruz k = 0:

R N (0)= e -  .

Bu nedenle zıt olayın olasılığı zaman içindedir T en az bir öğe başarısız olur - 1'e eşit - e -  . Problemin koşullarına göre bu olasılık 0,98'dir. Denklemden.

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

buradan  = -in 0,02  4.

Yani zamanla T cihazın çalışmasında ortalama 4 eleman arızalanacaktır.

4.12 . Zarlar “iki” gelene kadar atılır. Ortalama atış sayısını bulun.

Çözüm. Rastgele bir değişken tanıtalım X– bizi ilgilendiren olay gerçekleşene kadar yapılması gereken testlerin sayısı. Olasılık X= 1, zarın bir atışında “iki” gelme olasılığına eşittir, yani.

R(X= 1) = 1/6.

Etkinlik X= 2, ilk testte "iki"nin gelmediği, ancak ikinci testte çıktığı anlamına gelir. Olayın olasılığı X= 2, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması kuralıyla bulunur:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Aynı şekilde,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

vesaire. Bir dizi olasılık dağılımı elde ederiz:

Ortalama atış sayısı (denemeler) matematiksel beklentidir

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + İLE (5/6) İLE -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + İLE (5/6) İLE -1 + …)

Serinin toplamını bulalım:

İLEG İLE -1 = (G İLE) G 
.

Buradan,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Bu nedenle, “iki” gelene kadar ortalama 6 zar atmanız gerekir.

4.13. Olayın meydana gelme olasılığı aynı olacak şekilde bağımsız testler gerçekleştirilir A her testte. Bir olayın gerçekleşme olasılığını bulun A, eğer bir olayın üç bağımsız denemede meydana gelme sayısının varyansı 0,63 ise .

Çözüm. Bir olayın üç denemede meydana gelme sayısı rastgele bir değişkendir X, binom yasasına göre dağıtılır. Bir olayın bağımsız denemelerde meydana gelme sayısının varyansı (olayın her denemede aynı meydana gelme olasılığı ile), deneme sayısının olayın meydana gelme ve gerçekleşmeme olasılıkları ile çarpımına eşittir. (sorun 4.6)

D(X) = npq.

Koşullara göre N = 3, D(X) = 0,63, böylece yapabilirsiniz R denklemden bul

0,63 = 3∙R(1-R),

iki çözümü olan R 1 = 0,7 ve R 2 = 0,3.

Bu sayfada eğitimsel çözüm örneklerini topladık ayrık rastgele değişkenlerle ilgili problemler. Bu oldukça kapsamlı bir bölümdür: çeşitli dağıtım yasaları (binom, geometrik, hipergeometrik, Poisson ve diğerleri), özellikler ve sayısal özellikler incelenir; her dağıtım serisi için grafik gösterimler oluşturulabilir: olasılıkların çokgeni (çokgen), dağılım fonksiyonu.

Aşağıda, bir dağılım yasası oluşturmak için olasılık teorisinin önceki bölümlerinden edinilen bilgileri uygulamanız ve ardından matematiksel beklentiyi, varyansı, standart sapmayı hesaplamanız, bir dağıtım fonksiyonu oluşturmanız, cevap vermeniz gereken ayrık rastgele değişkenlerle ilgili karar örneklerini bulacaksınız. DSV vb. ile ilgili sorular. s.

Popüler olasılık dağılım yasalarına örnekler:

DSV özellikleri için hesap makineleri

• DSV'nin matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapmasının hesaplanması.

DSV ile ilgili çözülmüş sorunlar

Geometrik yakın dağılımlar

Görev 1. Arabanın yolu boyunca, her biri arabanın daha fazla hareket etmesini 0,5 olasılıkla yasaklayan 4 trafik ışığı vardır. Arabanın ilk duraktan önce geçtiği trafik ışığı sayısının dağılım serisini bulun. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı nedir?

Görev 2. Avcı, ilk vuruşa kadar oyuna ateş eder, ancak en fazla dört atış yapmayı başarır. Hedefi tek atışla vurma olasılığı 0,7 ise, ıskalayanların sayısı için bir dağılım kanunu çizin. Bu rastgele değişkenin varyansını bulun.

Görev 3. 3 fişek sahibi olan atıcı, ilk isabetine kadar hedefe atış yapar. Birinci, ikinci ve üçüncü atışların isabet olasılıkları sırasıyla 0,6, 0,5 ve 0,4'tür. S.V. $\xi$ - kalan kartuş sayısı. Bir rastgele değişkenin dağılım serisini derleyin, rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını, standart sapmasını bulun, rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturun, $P(|\xi-m| \le \sigma$'ı bulun.

Görev 4. Kutu içerisinde 7 adet standart ve 3 adet arızalı parça bulunmaktadır. Parçaları geri iade etmeden standart olan görünene kadar sırayla çıkarırlar. $\xi$ alınan kusurlu parçaların sayısıdır.
Ayrık bir rastgele değişken olan $\xi$ için bir dağıtım kanunu çizin, matematiksel beklentisini, varyansını, standart sapmasını hesaplayın, bir dağıtım poligonu ve dağıtım fonksiyonunun bir grafiğini çizin.

Bağımsız olaylara sahip görevler

Görev 5. Olasılık teorisi yeniden sınavına 3 öğrenci katıldı. Birinci kişinin sınavı geçme olasılığı 0,8, ikincinin 0,7 ve üçüncünün sınavı geçme olasılığı 0,9'dur. Sınavı geçen öğrenci sayısına ait $\xi$ rastgele değişkeninin dağılım serisini bulun, dağılım fonksiyonunu çizin, $M(\xi), D(\xi)$'yi bulun.

Görev 6. Hedefi tek atışta vurma olasılığı 0,8 olup her atışta 0,1 azalır. Üç atış yapılması durumunda hedefe isabet eden isabetlerin sayısı için bir dağılım kanunu hazırlayın. Beklenen değeri, varyansı ve S.K.O.'yu bulun. bu rastgele değişken. Dağılım fonksiyonunun grafiğini çizin.

Görev 7. Hedefe 4 el ateş edilir. Vuruş olasılığı şu şekilde artar: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. $X$ rastgele değişkeninin isabet sayısı dağılım yasasını bulun. $X \ge 1$ olasılığını bulun.

Görev 8. Simetrik iki madeni para atılıyor ve madeni paraların her iki üst yüzündeki armaların sayısı sayılıyor. Her iki madeni paranın üzerindeki arma sayısı olan ayrı bir rastgele değişken olan $X$'ı ele alıyoruz. $X$ rastgele değişkeninin dağılım yasasını yazın, matematiksel beklentisini bulun.

DSV'nin diğer sorunları ve dağıtım yasaları

Görev 9.İki basketbol oyuncusu potaya üç atış yapıyor. İlk basketbolcunun vurma olasılığı 0,6, ikincinin vurma olasılığı ise 0,7'dir. Birinci ve ikinci basketbolcuların başarılı atış sayıları arasındaki fark $X$ olsun. $X$ rastgele değişkeninin dağıtım serisini, modunu ve dağıtım fonksiyonunu bulun. Bir dağıtım çokgeni ve dağıtım fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Beklenen değeri, varyansı ve standart sapmayı hesaplayın. $(-2 \lt X \le 1)$ olayının olasılığını bulun.

Sorun 10. Belirli bir limana yükleme yapmak üzere günlük olarak gelen yerleşik olmayan gemilerin sayısı, aşağıdaki şekilde verilen $X$ rastgele değişkenidir:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) Dağıtım serisinin belirtildiğinden emin olun,
B) $X$ rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonunu bulun,
C) Belirli bir günde üçten fazla geminin gelmesi durumunda, ilave sürücü ve yükleyici kiralama ihtiyacı nedeniyle liman masrafları üstlenir. Limanın ek maliyetlere maruz kalma olasılığı nedir?
D) $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

Sorun 11. 4 zar atılıyor. Her tarafta görünecek noktaların sayısının toplamının matematiksel beklentisini bulun.

Sorun 12.İkili, arması ilk görünene kadar sırayla yazı tura atıyor. Armayı alan oyuncu diğer oyuncudan 1 ruble alır. Her oyuncu için kazanmanın matematiksel beklentisini bulun.

Rastgele değişken Değişken, her test sonucunda rastgele nedenlere bağlı olarak önceden bilinmeyen bir değer alan değişken olarak adlandırılır. Rastgele değişkenler büyük Latin harfleriyle gösterilir: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Türlerine göre rastgele değişkenler şunlar olabilir: ayrık Ve sürekli.

Ayrık rastgele değişken- bu, değerleri sayılabilirden fazla olamayacak, yani sonlu veya sayılabilir olan rastgele bir değişkendir. Sayılabilirlik derken, bir rastgele değişkenin değerlerinin numaralandırılabileceğini kastediyoruz.

Örnek 1 . Ayrık rastgele değişkenlerin örnekleri şunlardır:

a) $n$ atışla hedefe yapılan isabet sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

b) Yazı tura atıldığında düşen amblem sayısı, burada olası değerler $0,\ 1,\ \dots ,\ n$'dır.

c) gemiye gelen gemilerin sayısı (sayılabilir bir değerler dizisi).

d) PBX'e gelen çağrıların sayısı (sayılabilir değerler kümesi).

1. Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı kanunu.

Ayrık bir rastgele değişken $X$, $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$ olasılıklarıyla $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerini alabilir. Bu değerler ile olasılıkları arasındaki yazışmaya denir ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Kural olarak, bu yazışma, ilk satırında $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve ikinci satırda olasılıkların $p_1,\dots ,\ p_n$ olduğu bir tablo kullanılarak belirtilir. bu değerlere karşılık gelenler belirtilmektedir.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(dizi)$

Örnek 2 . Rastgele değişken $X$, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Böyle bir rastgele değişken $X$ şu değerleri alabilir: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Tüm bu değerlerin olasılıkları 1/6$'a eşittir. O zaman $X$ rastgele değişkeninin olasılık dağılımı yasası:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(dizi)$

Yorum. Ayrık bir rastgele değişken $X$'in dağılım yasasında $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ olayları tam bir olay grubu oluşturduğundan, olasılıkların toplamı bire eşit olmalıdır, yani $ \sum(p_i)=1$.

2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi.

Rastgele bir değişkenin beklentisi“merkezi” anlamını belirler. Ayrık bir rastgele değişken için matematiksel beklenti, $x_1,\dots ,\ x_n$ değerlerinin ve bu değerlere karşılık gelen $p_1,\dots ,\ p_n$ olasılıklarının çarpımlarının toplamı olarak hesaplanır; yani : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngiliz dili literatüründe başka bir gösterim $E\left(X\right)$ kullanılır.

Matematiksel beklentinin özellikleri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ve en büyük değerleri arasında yer alır.
2. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir, yani. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Örnek 3 . $2$ örneğinden $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulalım.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ öğesinin, $X$ rastgele değişkeninin en küçük ($1$) ve en büyük ($6$) değerleri arasında yer aldığını fark edebiliriz.

Örnek 4 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3X+5$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ elde ederiz. cdot 2 +5=11$.

Örnek 5 . $X$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinin $M\left(X\right)=4$'a eşit olduğu bilinmektedir. $2X-9$ rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ elde ederiz. cdot 4 -9=-1$.

3. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı.

Eşit matematiksel beklentilere sahip rastgele değişkenlerin olası değerleri, ortalama değerleri etrafında farklı şekilde dağılabilir. Örneğin iki öğrenci grubunda olasılık teorisi sınavının ortalama puanı 4 çıktı, ancak bir grupta herkes iyi öğrenci çıktı, diğer grupta ise sadece C öğrencileri ve mükemmel öğrenciler vardı. Bu nedenle, bir rastgele değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisi etrafındaki yayılımını gösterecek sayısal bir karakteristiğe ihtiyaç vardır. Bu özellik dağılımdır.

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansı$X$ şuna eşittir:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

İngiliz edebiyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ gösterimi kullanılır. $D\left(X\right)$ varyansı sıklıkla $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) formülü kullanılarak hesaplanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dispersiyon özellikleri$D\sol(X\sağ)$:

1. Varyans her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir; $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitin varyansı sıfırdır, yani. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit faktör, karesi olması koşuluyla dağılımın işaretinden çıkarılabilir, yani. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Bağımsız rastgele değişkenler arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir; $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Örnek 6 . Örnek $2$'dan $X$ rastgele değişkeninin varyansını hesaplayalım.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\yaklaşık 2,92.$$

Örnek 7 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=2$'a eşit olduğu bilinmektedir. $4X+1$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak şunu buluruz: $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Örnek 8 . $X$ rastgele değişkeninin varyansının $D\left(X\right)=3$'a eşit olduğu bilinmektedir. $3-2X$ rastgele değişkeninin varyansını bulun.

Yukarıdaki özellikleri kullanarak $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= değerini buluruz. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu.

Ayrık bir rastgele değişkeni bir dağılım serisi biçiminde temsil etme yöntemi tek yöntem değildir ve en önemlisi evrensel değildir, çünkü sürekli bir rastgele değişken bir dağılım serisi kullanılarak belirlenemez. Rastgele bir değişkeni temsil etmenin başka bir yolu daha vardır: dağıtım fonksiyonu.

Dağıtım işlevi$X$ rastgele değişkenine $F\left(x\right)$ fonksiyonu adı verilir ve bu, $X$ rastgele değişkeninin bazı sabit $x$ değerlerinden, yani $F\'den daha düşük bir değer alma olasılığını belirler. sol(x\sağ )=P\sol(X< x\right)$

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. $X$ rastgele değişkeninin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ aralığından değer alma olasılığı, bunun uçlarındaki dağıtım fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. aralık: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Örnek 9 . $2$ örneğinden $X$ ayrık rastgele değişkeninin dağıtım yasası için $F\left(x\right)$ dağıtım fonksiyonunu bulalım.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(dizi)$

Eğer $x\le 1$ ise, o zaman açıkça $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X dahil) olur< 1\right)=0$).

1$ ise< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

2$ ise< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

3$ ise< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

4$ ise< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

5$ ise< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Eğer $x > 6$ ise, $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Yani $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,\ 1'de< x\le 2,\\
1/3,\ 2'de< x\le 3,\\
1/2,\3'te< x\le 4,\\
2/3,\ 4'te< x\le 5,\\
5/6,\ 4'te< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri kavramdır. rastgele değişken.

Rastgele isminde boyut Test sonucunda önceden bilinmeyen ve önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olan belirli olası değerleri alır.

Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle gösterilir X, e, Z vb. veya Latin alfabesinin sağ alt indeksli büyük harfleri ve rastgele değişkenlerin alabileceği değerler - Latin alfabesinin karşılık gelen küçük harfleriyle X, sen, z vesaire.

Rastgele değişken kavramı, rastgele olay kavramıyla yakından ilişkilidir. Rastgele bir olayla bağlantı belirli bir sayısal değerin bir rastgele değişken tarafından benimsenmesinin olasılık ile karakterize edilen rastgele bir olay olduğu gerçeğinde yatmaktadır. .

Uygulamada iki ana tip rastgele değişken vardır:

1. Ayrık rastgele değişkenler;

2. Sürekli rastgele değişkenler.

Rastgele değişken, rastgele olayların sayısal bir fonksiyonudur.

Örneğin, rastgele bir değişken, bir zar atıldığında elde edilen puanların sayısı veya bir çalışma grubundan rastgele seçilen bir öğrencinin boyudur.

Ayrık rastgele değişkenler yalnızca önceden listelenebilecek birbirinden uzak değerleri alan rastgele değişkenlere denir.

Dağıtım kanunu(dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu) bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Ayrık rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerini ele alalım.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası her ilişkiye denir , rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kurmak .

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası şu şekilde temsil edilebilir: tablolar:

Rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani.

Dağıtım kanunu tasvir edilebilir grafiksel olarak: rastgele bir değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir; ortaya çıkan noktalar bölümlerle birbirine bağlanır. Oluşturulan sürekli çizgiye denir dağıtım poligonu.

Örnek. 4 fişekli bir avcı, ilk vuruşu yapana veya tüm fişekleri tüketene kadar oyuna ateş eder. İlk atışta isabet olasılığı 0,7'dir, sonraki her atışta bu oran 0,1 azalır. Bir avcının harcadığı fişek sayısı için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. 4 mermisi olan bir avcı dört atış yapabildiğinden, rastgele değişken X- Avcının harcadığı fişek sayısı 1, 2, 3, 4 değerlerini alabilir. İlgili olasılıkları bulmak için olayları tanıtıyoruz:

- “ile vurmak Ben- ah atış”, ;

- “ne zaman özledim Ben- om shot” ve olaylar ikili olarak bağımsızdır.

Elimizdeki problem koşullarına göre:

,

Bağımsız olaylar için çarpma teoremini ve uyumsuz olaylar için toplama teoremini kullanarak şunları buluruz:

(avcı ilk atışta hedefi vurmuştur);

(avcı ikinci atışta hedefi vurmuştur);

(avcı üçüncü atışta hedefi vurmuştur);

(Avcı dördüncü atışta hedefi vurdu veya dört atışta da ıskaladı).

Kontrol edin: - doğru.

Böylece rastgele bir değişkenin dağılım yasası Xşu forma sahiptir:

Örnek. Bir işçi üç makineyi çalıştırıyor. Bir saat içinde ilk makinenin ayar gerektirmemesi olasılığı 0,9, ikincisi - 0,8, üçüncüsü - 0,7'dir. Bir saat içinde ayarlanması gereken makine sayısı için bir dağıtım kanunu hazırlayın.

Çözüm. Rastgele değişken X- Bir saat içinde ayar gerektirecek makinelerin sayısı 0,1, 2, 3 değerlerini alabilir. Karşılık gelen olasılıkları bulmak için olayları tanıtıyoruz:

- “Ben- makinenin bir saat içinde ayarlanması gerekecek";

- “Ben- makinenin bir saat içinde ayar yapmasına gerek kalmayacaktır” .

Karşılaştığımız sorunun koşullarına göre:

, .

Ayrık rastgele Değişkenler yalnızca birbirinden uzak olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlerdir.
Dağıtım kanunu
Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi, olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların listesidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu fonksiyondur:
,
bağımsız değişken x'in her değeri için rastgele değişken X'in bu x'ten daha küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
,
ayrık bir rastgele değişkenin değeri nerede; - rastgele bir değişkenin X değerlerini kabul etme olasılığı.
Eğer bir rastgele değişken sayılabilir bir olası değerler kümesini alıyorsa, o zaman:
.
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi:
,

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı ve standart sapması
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı:
veya .
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısındaki varyans
,
burada p olayın meydana gelme olasılığıdır.
Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması:
.

Örnek 1
Ayrık bir rastgele değişken (DRV) X için bir olasılık dağılımı kanunu çizin - bir çift zarın n = 8 atışında en az bir "altı"nın k kez gerçekleşme sayısı. Bir dağıtım poligonu oluşturun. Dağılımın sayısal özelliklerini bulun (dağılım modu, matematiksel beklenti M(X), dağılım D(X), standart sapma s(X)). Çözüm: Gösterimi tanıtalım: A olayı – “bir çift zar atıldığında en az bir kez altı ortaya çıkar.” A olayının P(A) = p olasılığını bulmak için, öncelikle karşıt olay olan Ā'nin P(Ā) = q olasılığını bulmak daha uygundur - "bir çift zar atıldığında asla altı gelmemiştir."
Bir zar atıldığında altının gelmeme olasılığı 5/6 olduğuna göre olasılık çarpım teoremine göre
P(Ā) = q = = .
Sırasıyla,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemdeki testler Bernoulli şemasını takip ediyor, dolayısıyla d.s.v. büyüklük X- sayı kİki zar atıldığında en az bir altının oluşması, binom olasılık dağılımı yasasına uyar:

burada = kombinasyonların sayısıdır Nİle k.

Bu problem için yapılan hesaplamalar rahatlıkla bir tablo şeklinde sunulabilir:
Olasılık dağılımı d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının çokgeni (çokgen) Xşekilde gösterilmiştir:

Pirinç. Olasılık dağılım poligonu d.s.v. X=k.
Dikey çizgi, dağılımın matematiksel beklentisini gösterir M(X).

D.s.v'nin olasılık dağılımının sayısal özelliklerini bulalım. X. Dağıtım modu 2'dir (burada P 8(2) = 0,2932 maksimum). Tanım gereği matematiksel beklenti şuna eşittir:
M(X) = = 2,4444,
Nerede xk = k– d.s.v tarafından alınan değer X. Varyans D(X) aşağıdaki formülü kullanarak dağılımı buluruz:
D(X) = = 4,8097.
Standart sapma (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Örnek2
Ayrık rastgele değişken X dağıtım kanunu tarafından verilen

Çözüm. If , o zaman (üçüncü özellik).
Eğer öyleyse. Gerçekten mi, X 0,3 olasılıkla 1 değerini alabilir.
Eğer öyleyse. Aslında eşitsizliği sağlıyorsa
, o zaman meydana gelebilecek bir olayın olasılığına eşittir X 1 değerini (bu olayın olasılığı 0,3) veya 4 değerini (bu olayın olasılığı 0,1) alacaktır. Bu iki olay uyumsuz olduğundan toplama teoremine göre bir olayın olasılığı 0,3 + 0,1 = 0,4 olasılıklarının toplamına eşittir. Eğer öyleyse. Aslında olay kesindir, dolayısıyla olasılığı bire eşittir. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu fonksiyonun grafiği:
Bu değerlere karşılık gelen olasılıkları bulalım. Koşullu olarak, cihazların arızalanma olasılıkları eşittir: bu durumda cihazların garanti süresi boyunca çalışma olasılıkları eşittir:




Dağıtım kanunu şu şekildedir: