Инструкция
Вам заданы трех точек. Обозначим их как (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Предполагается, что эти точки являются вершинами некоторого треугольника
. Задача в том, чтобы составить уравнения его сторон - точнее уравнения тех прямых, на которых лежат эти стороны. Эти уравнения должны иметь вид:
y = k1*x + b1;
y = k2*x + b2;
y = k3*x + b3.Таким образом, вам предстоит найти угловые k1, k2, k3 и смещения b1, b2, b3.
Найдите прямой, проходящей через точки (x1, y1), (x2, y2). Если x1 = x2, то искомая прямая вертикальна и ее уравнение x = x1. Если y1 = y2, то прямая горизонтальна и ее уравнение y = y1. В общем случае эти координаты не будут друг другу.
Подставляя координаты (x1, y1), (x2, y2) в общее уравнение прямой, вы получите систему из двух линейных уравнений:k1*x1 + b1 = y1;
k1*x2 + b1 = y2.Вычтите одно уравнение из другого и решите полученное уравнение относительно k1:k1*(x2 - x1) = y2 - y1, следовательно, k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1).
Подставляя найденное в любое из исходных уравнений, найдите выражение для b1:((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1 + b1 = y1;
b1 = y1 - ((y2 - y1)/(x2 - x1))*x1.Поскольку уже известно, что x2 ≠ x1, можно упростить выражение, умножив y1 на (x2 - x1)/(x2 - x1). Тогда для b1 вы получите следующее выражение:b1 = (x1*y2 - x2*y1)/(x2 - x1).
Проверьте, не ли третья из заданных точек на найденной прямой. Для этого подставьте (x3, y3) в выведенное уравнение и посмотрите, соблюдается ли равенство. Если оно соблюдается, следовательно, все три точки лежат на одной прямой, и треугольник вырождается в отрезок.
Тем же способом, что описан выше, выведите уравнения для прямых, проходящих через точки (x2, y2), (x3, y3) и (x1, y1), (x3, y3).
Окончательный вид уравнений для сторон треугольника, заданного координатами вершин, так:(1) y = ((y2 - y1)*x + (x1*y2 - x2*y1))/(x2 - x1);
(2) y = ((y3 - y2)*x + (x2*y3 - x3*y2))/(x3 - x2);
(3) y = ((y3 - y1)*x + (x1*y3 - x3*y1))/(x3 - x1).
Чтобы найти уравнения сторон треугольника , прежде всего надо постараться решить вопрос о том, как найти уравнение прямой на плоскости, если известен ее направляющий вектор s(m, n) и некоторая точка М0(x0, y0), принадлежащая прямой.
Инструкция
Возьмите произвольную (переменную, плавающую) точку М(x, y) и постройте вектор М0M ={x-x0, y-y0} ( записать и М0M(x-x0, y-y0)), который, очевидно будет коллинеарен (параллелен) по к s. Тогда, можно заключить, что координаты этих векторов пропорциональны, поэтому можно составить каноническое прямой: (x-x0)/m = (y-y0)/n. Именно это соотношение будет использоваться в при решении поставленной задачи.
Все дальнейшие действия определяются исходя из способа .1-й способ. Треугольник задан координатами трех его вершин, что в школьной геометрии заданию длин трех его сторон (см. рис. 1). То есть в условии даны точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3). Им соответствуют их радиус-векторы) OM1, 0M2 и ОМ3 с такими же, как и у точек, координатами. Для получения уравнения сторон ы М1М2 требуется ее направляющий вектор М1М2=ОМ2 – ОМ1=М1М2(x2-x1, y2-y1) и любая из точек М1 или М2 (здесь взята точка с меньшим индексом).
Итак, для сторон ы М1М2 каноническое уравнение прямой (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1). Действуя чисто индуктивно можно записать уравнения остальных сторон .Для сторон ы М2М3: (x-x2)/(x3-x2)=(y-y2)/(y3-y2). Для сторон ы М1М3: (x-x1)/(x3-x1)=(y-y1)/(y3-y1).
2-й способ. Треугольник задан двумя точками (теми же, что и ранее М1(x1, y1) и M2(x2, y2)), а также ортами направлений двух других сторон . Для сторон ы М2М3: p^0(m1, n1). Для М1М3: q^0(m2, n2). Поэтому для сторон ы М1М2 будет тем же, что и в первом способе:(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).
Для сторон ы М2М3 в качестве точки (x0, y0) канонического уравнения (x1, y1), а направ-ляющий вектор – это p^0(m1, n1). Для сторон ы М1М3 в качестве точки (x0, y0) берется (x2, y2), направляющий вектор – q^0(m2, n2). Таким образом, для М2М3: уравнение (x-x1)/m1=(y-y1)/n1.Для М1М3: (x-x2)/m2=(y-y2)/n2.
Видео по теме
Совет 3: Как найти высоту треугольника, если даны координаты точек
Высотой называют отрезок прямой линии, соединяющий вершину фигуры с противолежащей стороной. Этот отрезок обязательно должен быть перпендикулярен стороне, поэтому из каждой вершины можно провести лишь одну высоту . Поскольку вершин в этой фигуре три, высот в нем столько же. Если треугольник задан координатами своих вершин, вычисление длины каждой из высот можно произвести, например, воспользовавшись формулой нахождения площади и рассчитав длины сторон.
Инструкция
Начните с вычисления длин сторон треугольника . Обозначьте координаты фигуры так: A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) и C(X₃,Y₃,Z₃). Тогда длину стороны AB вы сможете рассчитать по формуле AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²). Для двух других сторон эти будут выглядеть так: BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) и AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²). Например, для треугольника с координатами A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) длина стороны AB составит √((3-16)² + (5-14)² + (7-19)²) = √(-13² + (-9²) + (-12²)) = √(169 + 81 + 144) = √394 ≈ 19,85. Длины сторон BC и AC, рассчитанные таким же способом, будут равны √(15² + 12² + 6²) = √405 ≈ 20,12 и √(2² + 3² + (-6²)) = √49 = 7.
Знания длин трех сторон, полученных на предыдущем шагу, достаточно для вычисления площади треугольника (S) по формуле Герона: S = ¼ * √((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Например, подстановки в эту формулу значений, полученных из координат треугольника -образца из предыдущего шага, эта даст значение: S = ¼*√((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20,12) * (19,85+20,12-7)) = ¼*√(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ≈ ¼*√75768,55 ≈ ¼*275,26 = 68,815.
Исходя из площади треугольника , рассчитанной на предыдущем шаге, и длин сторон, полученных на втором шаге, вычислите высоты для каждой из сторон. Так как площадь равна половине произведения высоты на длину стороны, к которой она проведена, для нахождения высоты делите удвоенную площадь на длину нужной стороны: H = 2*S/a. Для использованного выше примера высота, опущенная на сторону AB составит 2*68,815/16,09 ≈ 8,55, высота к стороне ВС иметь длину 2*68,815/20,12 ≈ 6,84, а для стороны АС эта величина будет равна 2*68,815/7 ≈ 19,66.
Источники:
- даны точки найти площадь треугольника
Совет 4: Как по координатам вершин треугольника найти уравнения его сторон
В аналитической геометрии треугольник на плоскости можно задать в декартовой системе координат. Зная координаты вершин, вы можете составить уравнения сторон треугольника. Это будут уравнения трех прямых, которые, пересекаясь, образуют фигуру.
В задачах 1 - 20 даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Длина сторон треугольника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Расстояние d от точки M: d = 10
Даны координаты вершин треугольника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Длина сторон треугольника
Расстояние d между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2) определяется по формуле:
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A 1 (x 1 ; y 1) и A 2 (x 2 ; y 2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB
или
или
y = -3 / 4 x -7 / 4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = 1 / 2 x + 9 / 2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:
или
или
y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Угол между прямыми
Уравнение прямой AB:y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC:y = 1 / 2 x + 9 / 2
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k 1 x + b 1 и y 2 = k 2 x + b 2 , вычисляется по формуле:
Угловые коэффициенты данных прямых равны -3 / 4 и 1 / 2 . Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:
tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.44 0 или 1.107 рад.
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N 0 (x 0 ;y 0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k 1 прямой AB.
Уравнение AB: y = -3 / 4 x -7 / 4 , т.е. k 1 = -3 / 4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k 1 *k = -1.
Подставляя вместо k 1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
-3 / 4 k = -1, откуда k = 4 / 3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(5,7) и имеет k = 4 / 3 ,то будем искать его уравнение в виде: y-y 0 = k(x-x 0).
Подставляя x 0 = 5, k = 4 / 3 , y 0 = 7 получим:
y-7 = 4 / 3 (x-5)
или
y = 4 / 3 x + 1 / 3 или 3y -4x - 1 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = -1
y = -1
D(-1;-1)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M 1 (x 1 ;y 1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:
Найдем расстояние между точкой C(5;7) и прямой AB (4y + 3x +7 = 0)
Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой C(5;7) и точкой D(-1;-1).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр;
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
(x-a) 2 + (y-b) 2 = R 2
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
Следовательно, Е(2;3) и R = CD / 2 = 5. Использую формулу, получаем уравнение искомой окружности: (x-2) 2 + (y-3) 2 = 25
6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Уравнение прямой AB: y = -3 / 4 x -7 / 4
Уравнение прямой AC: y = 1 / 2 x + 9 / 2
Уравнение прямой BC: y = -7x + 42
Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
Решение:
1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид
(2)
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:
Или
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
Или рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
(4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
находим т.е. D(8;0).
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
(5)
Следовательно,
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
Находим .
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
Задача 2. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2.
Решение :
В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).
По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид:
Задание 1
57. даны вершины треугольника АВС. Найти
) длину стороны АВ;
) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
) внутренний угол А;
) уравнение медианы проведенной ихз вершины В;
) уравнение высоты СD и ее длину;
)уравнение окружности для которой высота СD есть диаметр и точки пересечения этой окружности со стороной АС;
) уравнение биссектрисы внутреннего угла А;
) площадь треугольника АВС;
) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Сделать чертеж.
А(7, 9); В(-2, -3); С(-7, 7)
Решение:
1)
Найдем длину вектора
= (хb - xa)2 + (yb - ya)2 = ((-2)-7)2 + (-3 - 9)2 = 92 + 122 = 225
= = 15 - длина стороны АВ
2)
Найдем уравнение стороны АВ
Уравнение прямой, проходящей через точки А(ха; ув) и В(ха; ув) в общем виде
Подставим координаты точек А и В в это уравнение прямой =
=
=
SAB = (- 3, - 4) называется направляющим вектором прямой АВ. Этот вектор параллелен прямой АВ.
4(х - 7) = - 3(у - 9) 4х + 28 = - 3у + 27 4х + 3у + 1 = 0 - уравнение прямой АВ Если уравнение записать в виде: у = х - то можно выделить его угловой коэффициент: k1 =4/3
Вектор NAB = (-4, 3) называется нормальным вектором прямой AB.
Вектор N AB = (-4, 3) перпендикулярен прямой AB.
Аналогично найдем уравнение стороны АС
=
=
=
SAС = (- 7, - 1) - направляющий вектор стороны АС
(х - 7) = - 7(у - 9) х + 7 = - 7у + 63 х + 7у - 56 = 0 - уравнение стороны АС у = = х + 8 откуда угловой коэффициент k2 = 1/7
Вектор N AC = (- 1, 7) - нормальный вектор прямой AC.
Вектор N AC = (- 1, 7) перпендикулярен прямой AC.
3)
Найдем угол А
Запишем формулу скалярного произведения векторов и
* = * cos ∟A
Для нахождения угла А достаточно найти косинус данного угла. Из предыдущей формулы запишем выражение для косинуса угла А
cos ∟A =
Находим скалярное произведение векторов и
= (хв - ха; ув - уа) = (- 2 - 7; - 3 - 9) = (-9, -12)
= (хс - ха; ус - уа) = (- 7 - 7; 7 - 9) = (-14; -2)
9*(-14) + (-12)*(-2) = 150
Длина вектора = 15 (нашли ранее)
Найдем длину вектора = (хС - xа)2 + (yс - ya)2 = (-14)2 + (-2)2 = 200
= = 14,14 - длина стороны АС
Тогда cos ∟A = = 0,7072
∟A = 450
4)
Найдем уравнение медианы ВЕ, проведенной из точки В на сторону АС
Уравнение медианы в общем виде Теперь необходимо найти направляющий вектор прямой ВЕ. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСD, таким образом, чтобы сторона АС являлась его диагональю. Диагонали в параллелограмме делятся пополам, т. е. АЕ = ЕС. Следовательно, точка E лежит на прямой BF. В качестве направляющего вектора прямой BE можно принять вектор , который и найдем.
= +
= (хc - хb; уc - уb) = (- 7- (-2); 7 - (-3)) = (-5. 10)
= + = (-5 + 9; 10 + 12) = (4; 22)
Подставим в уравнение Подставим координаты точки С (-7; 7) (х + 7) = 2(у - 7) х + 77 = 2у - 14 х - 2у + 91 = 0 - уравнение медианы ВЕ Так как точка Е - середина стороны АС, то ее координаты хе = (ха + хс)/2 = (7 - 7)/2 = 0
уе = (уа + ус)/2 = (9 + 7)/2 = 8
Координаты точки Е (0; 8)
5)
Найдем уравнение высоты CD и ее длину
Уравнение в общем виде
Необходимо найти направляющий вектор прямой СD
Прямая СD перпендикулярна прямой АВ, следовательно, направляющий вектор прямой СD параллелен нормальному вектору прямой АВ
CD‖AB
То есть в качестве направляющего вектора прямой CD можно принять нормальный вектор прямой АВ Вектор AB найден ранее: AB (-4, 3)
Подставим координаты точки С, (- 7; 7) (х + 7) = - 4(у - 7) х + 21 = - 4у + 28 х + 4у - 7 = 0 - уравнение высоты С D Координаты точки D: Точка D принадлежит прямой АВ, следовательно, координаты точки D(xd. yd) должны удовлетворять уравнению прямой АВ, найденному ранее
Точка D принадлежит прямой CD, следовательно, координаты точки D(xd. yd) должны удовлетворять уравнению прямой CD,
Составим систему уравнений на основе этого Координаты D(1; 1) Найдем длину прямой CD
= (хd - xc)2 + (yd - yc)2 = (1 + 7)2 + (1 - 7)2 = 64 +36 = 100
= = 10 - длина прямой СD
6)
Найдем уравнение окружности диаметром СD
Очевидно, что прямая СD проходит через начало координат так как ее уравнение -3х - 4у = 0, следовательно, уравнение окружности можно записать в виде (х - а)2 + (у - b)2 = R2 - уравнение окружности с центром в точке (а; b)
Здесь R = СD/2 = 10 /2 = 5 (х - а)2 + (у - b)2 = 25
Центр окружности О (а; b) лежит на середине отрезка СD. Найдем его координаты:
х0 = a = = = - 3;
y0 = b = = = 4
Уравнение окружности: (х + 3)2 + (у - 4)2 = 25
Найдем пересечение этой окружности со стороной АС: точка К принадлежит одновременно окружности и прямой АС х + 7у - 56 = 0 - уравнение прямой АС, найденной ранее. Составим систему Таким образом, получили квадратное уравнение у2 - 750у +2800 = 0
у2 - 15у + 56 = 0
=
у1 = 8
у2 = 7 - точка, соответствующая точке С
следовательно координаты точки Н: х = 7*8 - 56 = 0
Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»
Даны вершины
,
,
треугольника АВС. Найти:
Уравнения всех сторон треугольника;
Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;
Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;
Точку пересечения высот треугольника;
Точку пересечения медиан треугольника;
Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;
Угол А ;
Сделать чертеж.
Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:
1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):
=
Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :
Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :
И так же уравнение прямой ВС :
2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства
и
задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:
Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством
.
Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):
значит, нужное неравенство имеет вид:
.
Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:
значит, нужное неравенство будет иметь вид
Окончательно получаем систему неравенств:
Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .
3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А
на
сторону ВС
,
рассмотрим уравнение стороны ВС
:
.
Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:
Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .
б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:
Здесь
– это координаты т.В
,
а
– координаты т.С
.
Подставим и получим:
Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:
в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора
и
и их длины:
Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов
есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:
4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В
.
Сторона АС
задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС
,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС
),
имеет вид:
Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:
- координаты этой точки.
5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к сторонеАВ.
Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:
Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.
Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:
Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.
6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением
и находится по формуле:
7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и, который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:
.