Формула второго замечательного предела имеет вид lim x → ∞ 1 + 1 x x = e . Другая форма записи выглядит так: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .
Когда мы говорим о втором замечательном пределе, то нам приходится иметь дело с неопределенностью вида 1 ∞ , т.е. единицей в бесконечной степени.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Рассмотрим задачи, в которых нам пригодится умение вычислять второй замечательный предел.
Пример 1
Найдите предел lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Решение
Подставим нужную формулу и выполним вычисления.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
У нас в ответе получилась единица в степени бесконечность. Чтобы определиться с методом решения, используем таблицу неопределенностей. Выберем второй замечательный предел и произведем замену переменных.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Если x → ∞ , тогда t → - ∞ .
Посмотрим, что у нас получилось после замены:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Ответ: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Пример 2
Вычислите предел lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Решение
Подставим бесконечность и получим следующее.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
В ответе у нас опять получилось то же самое, что и в предыдущей задаче, следовательно, мы можем опять воспользоваться вторым замечательным пределом. Далее нам нужно выделить в основании степенной функции целую часть:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
После этого предел приобретает следующий вид:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Заменяем переменные. Допустим, что t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; если x → ∞ , то t → ∞ .
После этого записываем, что у нас получилось в исходном пределе:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t · lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 · 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Чтобы выполнить данное преобразование, мы использовали основные свойства пределов и степеней.
Ответ: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Пример 3
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
После этого нам нужно выполнить преобразование функции для применения второго замечательного предела. У нас получилось следующее:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Поскольку сейчас у нас есть одинаковые показатели степени в числителе и знаменателе дроби (равные шести), то предел дроби на бесконечности будет равен отношению данных коэффициентов при старших степенях.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
При замене t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 у нас получится второй замечательный предел. Значит, что:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
Выводы
Неопределенность 1 ∞ , т.е. единица в бесконечной степени, является степенной неопределенностью, следовательно, ее можно раскрыть, используя правила нахождения пределов показательно степенных функций.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.
А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы . Их можно найти на странице . Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.
Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.
Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел , Второй замечательный предел . Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.
Первый замечательный предел
Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).
Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений ) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:
Данный математический факт носит название Первого замечательного предела . Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях .
Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:
– тот же самый первый замечательный предел.
Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.
На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю .
Примеры:
, , ,
Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.
А вот следующая запись – ересь:
Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.
Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.
На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).
Переходим к рассмотрению практических примеров:
Пример 1
Найти предел
Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.
Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):
Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .
В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:
То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:
Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:
Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:
Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики
.
Готово. Окончательный ответ:
Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:
“
Используем первый замечательный предел
“
Пример 2
Найти предел
Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:
Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):
Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:
Собственно, ответ готов:
В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.
Пример 3
Найти предел
Подставляем ноль в выражение под знаком предела:
Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы ).
В данном случае:
Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):
Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.
Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:
В итоге получена бесконечность, бывает и такое.
Пример 4
Найти предел
Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:
Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)
Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.
Постоянные множители вынесем за значок предела:
Организуем первый замечательный предел:
Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:
Избавимся от трехэтажности:
Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:
Пример 5
Найти предел
Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:
Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов .
Второй замечательный предел
В теории математического анализа доказано, что:
Данный факт носит название второго замечательного предела .
Справка: – это иррациональное число.
В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности .
Пример 6
Найти предел
Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.
Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений .
Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :
Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :
Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:
Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :
При этом сам значок предела перемещаем в показатель
:
Пример 7
Найти предел
Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.
Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:
В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать .
Доказательство:
Докажем вначале теорему для случая последовательности
По формуле бинома Ньютона:
Полагая получим
Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность возрастающая, при этом (2)*Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство
Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2: Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии: Поэтому (3)*
Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3): Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.
Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:
1. Пусть Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: ,где - это целая часть x. => =>
Если ,то Поэтому, согласно пределу Имеем
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда
Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.
Следствия:
9 .) Сравнение бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о главной части бесконечно малых.
Пусть функции a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1) a(x ) называется бесконечно малой более высокого порядка чем b(x ) если
Записывают: a(x ) = o(b(x )) .
2) a(x ) и b(x ) называются бесконечно малыми одного порядка , если
где С Îℝ и C ¹ 0 .
Записывают: a(x ) = O (b(x )) .
3) a(x ) и b(x ) называются эквивалентными , если
Записывают: a(x ) ~ b(x ).
4) a(x
) называется бесконечно малой порядка k относи-
тельно бесконечно малой
b(x
),
если бесконечно малые
a(x
) и
(b(x
)) k имеют один порядок, т.е. если
где С Îℝ и C ¹ 0 .
ТЕОРЕМА 6 (о замене бесконечно малых на эквивалентные).
Пусть a(x ), b(x ), a 1 (x ), b 1 (x ) – б.м. при x ® x 0 . Если a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ),
то
Доказательство: Пусть a(x ) ~ a 1 (x ), b(x ) ~ b 1 (x ), тогда
ТЕОРЕМА 7 (о главной части бесконечно малой).
Пусть a(x ) и b(x ) – б.м. при x ® x 0 , причем b(x ) – б.м. более высокого порядка чем a(x ).
= , a так как b(x )– более высокого порядка чем a(x ) ,то , т.е. из ясно, что a(x ) + b(x ) ~ a(x )
10) Непрерывность функции в точке(на языке пределов эпсилон-дельта,геометрическое) Односторонняя непрерывность. Непрерывность на интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.
1. Основные определения
Пусть f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если справедливо равенство
Замечания .
1) В силу теоремы 5 §3 равенство (1) можно записать в виде
Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов .
2) Равенство (1) можно также записать в виде:
Говорят: «если функция непрерывна в точке x 0 , то знак предела и функцию можно поменять местами».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (на языке e-d).
Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 если "e>0 $d>0 такое , что
если x ÎU(x 0 , d) (т.е. | x – x 0 | < d),
то f (x )ÎU(f (x 0), e) (т.е. | f (x ) – f (x 0) | < e).
Пусть x , x 0 Î D (f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная)
Обозначим: Dx = x – x 0 – приращение аргумента
Df (x 0) = f (x ) – f (x 0) – приращение функции в точкеx 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрическое).
Функция f (x ) называетсянепрерывной в точке x 0 если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е.
Пусть функция f (x ) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + d) (на промежутке (x 0 – d; x 0 ]).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева ), если справедливо равенство
Очевидно, что f (x ) непрерывна в точке x 0 Û f (x ) непрерывна в точке x 0 справа и слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f (x ) называется непрерывной на интервал е (a ; b ) если она непрерывна в каждой точке этого интервала .
Функция f (x ) называется непрерывной на отрезке [a ; b ] если она непрерывна на интервале (a ; b ) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).
11) Точки разрыва, их классификация
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f (x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в этой точке, то f (x ) называют разрывной в точке x 0 , а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f (x ) .
Замечания .
1) f (x ) может быть определена в неполной окрестности точки x 0 .
Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции.
2) Из определения Þ точка x 0 является точкой разрыва функции f (x ) в двух случаях:
а) U(x 0 , d)ÎD (f ) , но для f (x ) не выполняется равенство
б) U * (x 0 , d)ÎD (f ) .
Для элементарных функций возможен только случай б).
Пусть x 0 – точка разрыва функции f (x ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва I рода если функция f (x ) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа .
Если при этом эти пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва , в противном случае – точкой скачка .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой разрыва II рода если хотя бы один из односторонних пределов функции f (x ) в этой точке равен ¥ или не существует .
12) Свойства функций, непрерывных на отрезке (теоремы Вейерштрасса(без док-ва) и Коши
Теорема Вейерштрасса
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке , тогда
1)f(x)ограничена на
2)f(x) принимает на промежутке своё наименьшее и наибольшее значение
Определение : Значение функции m=fзовется наименьшим, если m≤f(x) для любого x€ D(f).
Значение функции m=fзовется наибольшим, если m≥f(x) для любого x€ D(f).
Наименьшее\наибольшее значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.
f(x 3)=f(x 4)=max
Теорема Коши.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и х – число, заключенное между f(a) и f(b),тогда существует хотя бы одна точка х 0 € такая, что f(x 0)= g
Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов
.
имеет вид .
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.
Необходимо вычислить предел
Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.
Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:
Получаем неопределенность .
Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:
Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:
Подставим решение первого замечательного примера и получаем:
Упрощаем дробь:
Ответ: 7/3.
Как видите – все очень просто.
Имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.
Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .
Необходимо вычислить предел
Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.
Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:
Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :
Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:
Не забываем выделять наш замечательный предел:
Вот такие действительно замечательные пределы
!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам
, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.
Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.
Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.
Мало информации? - Вы можете !
Можно писать математические вычисления в блокнотах. В блокноты с логотипом (http://www.blocnot.ru) индивидуальным писать намного приятней.
Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:
$ \bigg[\frac{\infty}{\infty}\bigg]^\infty $ и $ ^\infty $.
Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.
Формула и следствия
Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1+\frac{1}{x}\bigg)^x = e, \text{ где } e \approx 2.718 $$
Из формулы вытекают следствия , которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{k}{x} \bigg)^x = e^k, \text{ где } k \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{x \to \infty} \bigg (1 + \frac{1}{f(x)} \bigg)^{f(x)} = e $$ $$ \lim_{x \to 0} \bigg (1 + x \bigg)^\frac{1}{x} = e $$
Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.
Примеры решений
Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.
Пример 1 |
Найти предел $ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} $ |
Решение |
Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(\frac{x+4}{x+3} \bigg)^{x+3} = \bigg(\frac{\infty}{\infty}\bigg)^\infty $$ Найдем предел основания: $$ \lim_{x\to\infty} \frac{x+4}{x+3}= \lim_{x\to\infty} \frac{x(1+\frac{4}{x})}{x(1+\frac{3}{x})} = 1 $$ Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{x+4}{x+3} - 1 \bigg)^{x+3} = \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = $$ Смотрим на второе следствие и записываем ответ: $$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ \lim_{x\to\infty} \bigg(1 + \frac{1}{x+3} \bigg)^{x+3} = e $$ |
Пример 4 |
Решить предел $ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} $ |
Решение |
Находим предел основания и видим, что $ \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+4}{3x^2-2} = 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени: $$ \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{3x^2+4}{3x^2-2}-1 \bigg) ^{3x} = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{6}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = $$ Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{3x} = $$ Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ \frac{3x^2-2}{6} $. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать: $$ = \lim_{x\to \infty} \bigg (1+\frac{1}{\frac{3x^2-2}{6}} \bigg) ^{\frac{3x^2-2}{6} \cdot \frac{6}{3x^2-2}\cdot 3x} = \lim_{x\to \infty} e^{\frac{18x}{3x^2-2}} = $$ Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ \lim_{x\to \infty} \frac{18x}{3x^2-2} = 0 $. Поэтому продолжая решение имеем: |
Ответ |
$$ \lim_{x\to \infty} \bigg (\frac{3x^2+4}{3x^2-2} \bigg) ^{3x} = 1 $$ |
Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.
В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.