Тема: Тригонометрические формулы (25 часов)
Урок 6 – 7: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Цель:
изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Для достижения поставленной цели необходимо:
- Знать:
- формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса); знаки тригонометрических функций по четвертям; множество значений тригонометрических функций; основные формулы тригонометрии.
- Понимать:
- что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента; алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
- Применить:
- умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; умение работать с простыми дробями; умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
- Анализ:
- анализировать ошибки в логике рассуждения.
- Синтез:
- предложить свой способ решения примеров; составить кроссворд, используя полученные знания.
- Оценка:
- знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
- Актуализация знаний и умений.
- В какой четверти находится угол в 1 радиан и чему он примерно равен?
- Какое слово пропущено в определение функции синус?
- Какое слово пропущено в определении функции косинус?
- Какие значения может принимать синус?
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m331cd31a.gif)
- Объяснение нового материала.
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_4c0963aa.png)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m5d74e65c.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m25dba0a7.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m53d4ecad.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m48852940.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_76c6e7d.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m8309b83.gif)
1.
Проверьте правильность вашей записи. Выставите себе баллы в карту урока для Задания № 2. Продолжаем. Мы вывели основное тригонометрическое тождество, а для чего оно нам нужно? Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса значение косинуса и наоборот. Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента. Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. Для проверки к доске вызываются два ученика. Одному предлагается выразить синус через косинус, второму – косинус через синус. На экран выводится верный ответ:
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m4a1c534b.gif)
Пример 1 . Вычислить
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_4c64b230.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m57b260f3.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_202ddc27.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_16e208d.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_7b3dece0.gif)
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m1096e0c7.gif)
Перемножая эти равенства, получаем:
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_267d0e3b.gif)
Из равенства (4) можно выразить
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m6bbb3251.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m43e44d4.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m3353ac0a.gif)
Равенства (4) – (6) верны при всех значениях, при которых
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_3a4277a2.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_28e9c2d6.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m21a317b9.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m72187de8.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m6fd299c7.gif)
Если обе части равенства (1) разделить на
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_348b19b6.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m5b5c183b.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_3553e557.gif)
Рассмотрим примеры использования выведенных формул для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.
Пример 1. Найдем если известно, что
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m612d3350.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_2b34a03b.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m8ffb697.gif)
- Для отыскания котангенса угла
удобно воспользоваться формулой (6):
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m5e211e78.gif)
Пример2. Известно, что
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m4fe02070.gif)
- Воспользуемся формулой (7).
Имеем:
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_39068a40.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m40ec55e.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_4bbda525.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m27af592f.gif)
![](https://i0.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m1297ce07.gif)
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_2d1000da.gif)
Ответ:
![](https://i1.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m6d5c52f6.gif)
Пример 3. Упростим выражение:
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m431dd6b9.gif)
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_m1e1c2ad1.gif)
- Закрепление.
А сейчас на экране представлены рубрики самооценки по данной теме. Отметьте, на какой уровень вы бы хотели сегодня выйти.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню (перед вами лежат задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
![](https://i2.wp.com/doc4web.ru/uploads/files/64/63987/hello_html_3f1c6f53.gif)
4 вариант
А теперь, ребята, давайте проверим ответы. На экран выводятся правильные ответы, и учащиеся проверяют свои работы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4. По карте урока оцените себя. Подсчитайте свои баллы и выставите их в карту.
- Домашнее задание.
- Записать все выведенные формулы в справочник. По учебнику №459 (3, 5), №460 (1)
В этой статье мы всесторонне рассмотрим . Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.
Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.
Навигация по странице.
Связь между синусом и косинусом одного угла
Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве
вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на и соответственно, а равенства
и
следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.
То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.
Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.
Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений . Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.
Тангенс и котангенс через синус и косинус
Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида и сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть,
, а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть,
.
Благодаря такой очевидности тождеств и часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.
В заключение этого пункта следует отметить, что тождества и имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула справедлива для любых , отличных от (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула
- для всех , отличных от , где z
- любое .
Связь между тангенсом и котангенсом
Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.
Доказательство формулы очень просто. По определению и , откуда
. Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как и
, то
.
Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть .
Открытый урок по алгебре и началам анализа по теме: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла» (10 класс)
Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала, осмысливание связей и отношений в объектах изучения
Образовательная : вывод формул зависимости между синусом и косинусом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса по заданному значению одного из них.
Развивающая : учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь учащихся, умение давать лаконичные формулировки
Воспитательная: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям, воспитывать у учащихся аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Здоровье-сберегающая : создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
Знания и умения: определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса); знаков тригонометрических функций по четвертям; множества значений тригонометрических функций; основных формул тригонометрии. У мение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания; работать с простыми дробями; выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Ход урока
Организационный момент:
Проверить готовность учащихся к уроку. Открытие на компьютерах сайта учителя(Приложение 1).
Устная работа по пройденной теме : «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
На доске:
Задание:
Расставить номера четвертей координатной плоскости и определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Самостоятельная работа по теме: «Знаки синуса, косинуса и тангенса»
Учащиеся открывают на сайте раздел «Задания к уроку по тригонометрии». Самопроверка
(Учащиеся выполняют задание №1, проверяют свои работы и оцениваю себя)
Объяснение нового материала
На доске:
х = … α , … ≤ cos α≤ … 2)* tg α = , α≠ …
y = … α, … ≤ sin α≤ … ctg α = , α≠ …
Задание: дописать формулы
Учитель : «Мы с вами изучили каждое понятие отдельно. Как вы считаете какую тему далее логично изучить?»
( Предполагаемый ответ: «Зависимость между этими понятиями»)
Формулируется тема урока: «Зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла»
Учитель : «Есть несколько путей решения этой проблемы»
Используя уравнение единичной окружностиИспользуя теорему Пифагора
Учитель : «Давайте рассмотрим оба и выберем наиболее рациональный»
На доске:
Учащиеся выводят равенство cos 2 α + sin 2 α = 1
Учитель : «Мы получили равенство справедливое при любых значениях, входящих в него букв. Как называют такие равенства?»
( Предполагаемый ответ : тождества)
Учитель : «Вспомните, как называется тождество cos 2 α + sin 2 α = 1 »
Закрепление изученного материала
А) Учитель: «Откройте учебник стр.147, № 457(2;4)»(вызванные учащиеся решают у доски)
Б) Учитель: «Приступите к выполнению задания №2. Работаем по вариантам» (Обсуждение полученных результатов)
На доске:
1 вариант 2 вариант
Учитель: «В данных формулах перед корнем стоят знаки « ±» . От чего зависит какой знак ставить в формуле?»
(Предполагаемый ответ: «От того, в какой четверти расположен угол поворота точки P(1;0)»)
В) Учитель: «Приступите к выполнению задания №3». (Учащиеся решают задания, проверка на доске)
Подведение итогов урока
Учитель: «Молодцы! Итог урока мы подведем с помощью кроссворда» (Задание 4) (Учащиеся работают в парах за компьютером)
7) Рефлексия в форме анкетирования (приложение 2)
Учитель: «Сделайте вывод о своей работе на уроке, заполнив тест».
8) Домашнее задание
§25, №456, 457(1;3),460(1;3).
Доклад
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: