Знакопеременные ряды признак лейбница. Абсолютная и условная сходимость

imS 2n+1 {nà∞} = im(S 2n +U 2n+1)=S;

Чётные и нечётные суммы с одним пределом => ряд сходится.

1) Заметим, что S>0, т.е. знак суммы совпадает со знаком первого члена.

38. Абсол и условная сходимость.

О. Ряд вида (1)

наз знакочеред-ся.

Признак Лейбница (сх-ть знакочер ряда).

Для того, чтобы ряд (1) сх-ся достаточно, чтобы абсол значения убывали и →0 при возрастании n, т.е.

О. Если ряд, сост из абсол значений величин сх-ся, то ряд наз абсолютно сходящимся.

Теорема: Если ряд явл абсол сх-ся, то исх ряд сх-ся.

Док-во:восп-ся 1 признаком сравнения

Рассм-м ряд - ряд из абсол значений величин

Доказана сх-ть по 2-му признаку сравнения, след-но исх ряд сх-ся абсолютно.

О. Если ряд, образ из абсол значений его величин расх-ся, а исх ряд сх-ся, то он наз условно сх-ся.

39. Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Ряд вида , где - числа, называемые коэффициентами ряда, x – переменная, наз-ся степенным рядом. Интервал (-R;R) наз интервалом сх-ти степ ряда. Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться. Для нахождения радиуса сходимости можно воспольз-ся, признаками Даламбера или Коши. Теорема. Если существует | a n +1 / a n |=L, то R=1/L= | a n / a n +1 |. (Док-во. Рассмотрим ряд a n x n . Применим к нему признак Даламбера. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.) Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ . Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x 0 =0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда a n x n есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зав-ти от рез-тов этого исслед-я обл-ю сх-ти ряда м. б. один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]. Теорема Абеля: 1) Если степенной ряд a n x n сходится при x=x 0 , то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Док-во 1)Так как числовой ряд a n x 0 n сходится, то a n x 0 n =0. Это означает, что числовая последовательность {a n x 0 n } ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) +…+…= a n x 0 n (x/x 0) 2 . Рассмотрим ряд из абсолютных величин. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |> x 1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)

Определение 1

Числовой ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n-1} \, \cdot a_{n} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...,\]

где $a_{n} > 0$, называется знакочередующимся рядом.

Для установления сходимости таких рядов существует достаточный признак сходимости, называемый признаком Лейбница.

Теорема 1 (признак Лейбница)

Пусть числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ удовлетворяет условиям:

1. $u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} > 0$, т.е. этот ряд знакочередующийся;
2. члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: $\left|u_{1} \right|>\left|u_{2} \right|>\left|u_{3} \right|>...\, \, \, $ т.е. $a_{n} >a_{n+1} ,\, \, \, \, n=1,\, 2,\, ...$;
3. общий член ряда $a_{n} $ стремится к 0, т.е. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$.

Тогда ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма $S\le a_{1} $.

Доказательство

1. Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка $S_{n} =S_{2m} =a_{1} -a_{2} +a_{3} -a_{4} +...+a_{2m-1} -a_{2m} $ и запишем её в виде: $S_{2m} =(a_{1} -a_{2})+(a_{3} -a_{4})+...+(a_{2m-1} -a_{2m})$. В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма $S_{2m} >0$ и последовательность $\left\{S_{2m} \right\}$ монотонно возрастает:
\

\[\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m+1} =\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } (S_{2m} +a_{2m+1})=\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } S_{2m} +\mathop{\lim }\limits_{m\to \infty } a_{2m+1} =S.\]

Итак, при всех n (чётных или нечётных), $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =S\le a_{1} $, следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.

Замечание 1

Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера $N\in $N.

Замечание 2

Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.

Следствие

$|R_{n} |\le |a_{n+1} |$. Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство

Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть $|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|$. А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} =\, 1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +\ldots . \]

Решение. Обозначим $\frac{(-1)^{n-1} }{n} =u_{n} $. К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся $a_{n} =\frac{1}{n} ,\, \, \, u_{n} =(-1)^{n-1} \cdot a_{n} ,\, \, \, a_{n} >0$; условие 2) выполнено: $1>\frac{1}{2} >\frac{1}{3} >\frac{1}{4} >\ldots $; условие 3) также выполнено: $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n} =0$. Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма $S\le a_{1} =1$.

Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} \, $сходится.

Пример 2

Сколько членов ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+2} }{n^{2} } \, $ необходимо взять, что бы получить сумму ряда с точностью 0,01?

Решение. Данный ряд знакопеременный и является сходящимся по теореме Лейбница. Его $n$ - ый остаток оценим по формуле

\[|R_{n} |=\left|\sum \limits _{k=n+1}^{\infty }a_{n} \right|\le \left|a_{n+1} \right|\]

Для того что бы определ ить количество членов ряда, которые нужно взять для обеспечения неоходимой точности, необходимо решить неравенство

\[\left|R_{n} \right|\le 0,01.\]

Откуда ${(n+1)}^2>100$ или $n\ge 10$.

Из этого видно, что нужно взять не меньше десяти первых членов ряда, что бы при замене суммы ряда суммой его первых $n$ членов погрешность была меньшей 0,01.

Пример 3

Исследовать ряд

\[\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}\]

на сходимость

В общий член ряда входит множитель ${(-1)}^n$, а значит, нужно использовать признак Лейбница

1. Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно $\sum\limits^{\infty }_{n=1}{{(-1)}^nn}=-1+2-3+4\dots $ и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».
2. Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }\]

который чаще всего является очень простым.

\[{\mathop{lim}_{n\to \infty } a_n\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } n\ }=+\infty \ne 0\]

члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Вывод: ряд расходится.

Пример 4

Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(-1\right)^{n+1} \frac{1}{n^{2} } =1-\frac{1}{2^{2} } +\frac{1}{3^{2} } -\frac{1}{4^{2} } +... \]

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

\ \[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{n^{2} } =0\]

Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2} } $ сходится по интегральному признаку. Это случай ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{p} } $, где $ р = 2 > 1$.

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 - u 2)+(u 3 - u 4)+…+(u 2 n -1 - u 2 n ).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 - u 3)+(u 4 - u 5)+…+(u 2 n -2 - u 2 n -1)+ u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n →∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 = S + 0= S . Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n+1 =

u n =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n > u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n > u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n > u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Теорема 10 . (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

u 1 + u 2 +…+ u n +…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u 1 │+│ u 2 │+…+│ u n │+…= │ u n │.(21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство . Рассмотрим вспомогательный ряд

(u 1 +│u 1 │)+(u 2 +│u 2 │)+…+(u n +│u n │)+…= (u n +│u n │).(22)

Очевидно, 0≤ u n +│u n │≤2│u n │ при всех n =1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u n │, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈S n . Точность этого равенства возрастает с увеличением n .

Определение 7 . Если числовой ряд сходится, то разность R n =S -S n называется n -м остатком ряда.

Таким образом, R n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R n = u n+1 +u n+2 +… .

Заметим, что R n = (S-S n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S n равна |R n |=| S - S n |. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R n |< E . Однако в общем случае находить точно R n не удаётся.

Теорема 11. (о б оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство . Пусть ряд u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+(-1) n -1. u n +… сходится по признаку Лейбница. Тогда n S ≈1-0,166≈0,84.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е.
, то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

.

Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

Знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
. Члены ряда монотонно убывают и
. Теперь исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера:
. Ряд сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

По теореме Лейбница
. Ряд сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, имеет вид
. По признаку Даламбера получим
. Ряд сходится, значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :

f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….

Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:

f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)

который называется функциональным рядом .

Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае функциональным рядом является ряд:

который называется степенным рядом , где
постоянные числа, называемыекоэффициентами членов степенного ряда .

Степенной ряд может быть записан и в такой форме:

где
некоторое постоянное число.

При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение (1 способ) .

Применим признак Даламбера.

Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.

По признаку Даламбера ряд сходится, если
и
.

Т.е. ряд сходится, если < 1, откуда
или-3< x <3.

Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).

В крайних точках интервала x =
, будем иметь
.

В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

x = -3 ,

Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
Следовательно, ряд в точкеx = -3 сходится.

x = 3,

Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.

Ответ:

Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:

, где и
коэффициентыи
членов ряда.

Для данного ряда имеем:

. R =3.

ряд сходится

Интервал сходимости ряда: -3< x <3.

Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x =
.

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда
более рационален.

Пример 2.

Найти область сходимости степенного ряда:
.

Найдем R – радиус сходимости ряда.

,
,
.

.
.

Интервал сходимости ряда (-;).

Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .

x = - ,

Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
, следовательно, ряд в точкеx = -сходится.

x = ,
.

Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.

Здесь
:

, члены ряда
монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ: [-;) – область сходимости ряда.

Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд

сходится, если выполняются оба условия:

Следствие

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычесления неполной суммы ряда:

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда R n = S − S n будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

Источники

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. - Изд. 7-е, стереотипное. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. - С. 296.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Признак Лейбница" в других словарях:

Признак Дирихле теорема, указывающая достаточные условия сходимости несобственных интегралов и суммируемости бесконечных рядов. Названа в честь немецкого математика Лежёна Дирихле. Содержание … Википедия

Признак Дини признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из сходится к ней в смысле нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее, при некоторых… … Википедия

Признак сравнения утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство … Википедия

Признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836. Пусть есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд сходится или расходится одновременно с рядом … Википедия

Признак сходимости рядов Фурье: если периодическая функция имеет ограниченную вариацию на отрезке, то её ряд Фурье сходится в каждой точке к числу; если при этом функция непрерывна на отрезке … Википедия

- (признак Раабе Дюамеля) признак сходимости знакоположительных числовых рядов, установленный Йозефом Людвигом Раабе (Joseph Ludwig Raabe) и независимо Жан Мари Дюамелем. Содержание 1 Формулировка 2 Формул … Википедия

Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Жозефом Бертраном. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия

Общий признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный в 1812 году Карлом Гауссом, при исследовании сходимости гипергеометрического ряда. Формулировка Пусть дан ряд и ограниченная числовая последовательность. Тогда если… … Википедия

Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью. Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия

Признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия