Бином ньютона свойства биномиальных коэффициентов треугольник паскаля. Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Очевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером :

Введем понятие определителя n -го порядка.

Определение 4.1:

Определителем n -го порядка называется число равное

Сумме n ! слагаемых;

Каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца;

Каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел.

Т.о.

Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…,n .

5. Основные свойства определителей.

Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка.

1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием ) определитель остается неизменным. Действительно:

Следовательно, , что и требовалось доказать.

Примечание : Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны.

2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный.

Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель

что и требовалось доказать.

3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль.

4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя.

Что и требовалось доказать.

5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые.

что и требовалось доказать.

6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число.

Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке:

Действительно, в силу свойств 3,4,5

что и требовалось доказать.

6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя.

Рассмотрим определитель n -го порядка:

Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент

Если в определителе мы вычеркнем i -юстроку и j -йстолбец, то получим определитель порядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый минором элемента определителя . Будем обозначать минор элемента символом .

Определение 6.1. А лгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим

Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя

ортогональный унитарный матрица полилинейный

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (рис.2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других -- со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, -- со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Вычисление определителей порядка N>3.

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка.

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где -- дополнительный минор элемента. Обозначим. Тогда. Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя, получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как, но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель, по последней строке ((n-1)-й строке), получаем. Продолжая аналогичным образом и учитывая, что, приходим к формулет.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы, т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя "равноправны": любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю:.

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов, то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е.):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

4. Пусть -- квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и, называется присоединенной по отношению к, если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы. Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением, при этом получим матрицу;

б) найти присоединенную матрицу, транспонируя матрицу.

Из формул (2.4) следует, что, где -- единичная матрица того же порядка, что и.

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы, где -- произвольная квадратная матрица, -- единичная, а -- нулевая матрица соответствующего порядка, -- транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы. Следовательно,

Методы вычисления определителей n-го порядка.

Пусть дано упорядоченное множество n элементов. Всякое расположение n элементов в определённом порядке называется перестановкой из этих элементов.

Так как каждый элемент определяется своим номером, то будем говорить, что дано n натуральных чисел.

Число различных перестановок из n чисел равно n!

Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j , но i > j , т. е. большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i , j составляет инверсию .

Пример 1. Определить число инверсий в перестановке (1, 5, 4, 3, 2)

Решение.

Числа 5 и 4, 5 и 3, 5 и 2, 4 и 3, 4 и 2, 3 и 2 образуют инверсии. Общее число инверсий в данной перестановке равно 6.

Перестановка называется чётной , если общее число инверсий в ней чётное, в противном случае она называется нечётной . В рассмотренном выше примере дана чётная перестановка.

Пусть дана некоторая перестановка …, i , …, j , … (*) . Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией . После транспозиции чисел i и j в перестановке (*) получится перестановка …, j , …, i , …, где все элементы, кроме i и j , остались на своих местах.

От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.

Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

При n ≥ 2 число чётных и нечётных перестановок из n чисел одинаково и равно .

Пусть М – упорядоченное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n -й степени .

Подстановки записывают так: https://pandia.ru/text/78/456/images/image005_119.gif" width="27" height="19"> и все ik различны.

Подстановка называется чётной , если обе её строки (перестановки) имеют одинаковые чётности, т. е. либо обе чётные, либо обе нечётные. В противном случае подстановка называется нечётной .

При n ≥ 2 число чётных и нечётных подстановок n -й степени одинаково и равно .

Определителем квадратной матрицы А второго порядка А= называется число, равное =а11а22–а12а21.

Определитель матрицы называют также детерминантом . Для определителя матрицы А используют следующие обозначения: det A, ΔA.

Определителем квадратной матрицы А=третьего порядка называют число, равное │А│=а11а22а33+а12а23а31+а21а13а32‑а13а22а31‑а21а12а33‑а32а23а11

Каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части последней формулы представляет собой произведение элементов матрицы, взятых по одному и только одному из каждого столбца и каждой строки. Для определения знака произведения полезно знать правило (его называют правилом треугольника), схематически изображённое на рис.1:

«+» «-»

https://pandia.ru/text/78/456/images/image012_64.gif" width="73" height="75 src=">.

Решение.

Пусть А – матрица n-го порядка с комплексными элементами:

А=https://pandia.ru/text/78/456/images/image015_54.gif" width="112" height="27 src=">(1) ..gif" width="111" height="51">(2) .

Определителем n-го порядка, или определителем квадратной матрицы А=(aij) при n>1, называется алгебраическая сумма всевозможных произведений вида (1) , причём произведение (1) берётся со знаком «+», если соответствующая ему подстановка (2) чётная, и со знаком «‑», если подстановка нечётная.

Минором М ij элемента aij определителя называется определитель, полученный из исходного вычёркиванием i -й строки и j - го столбца.

Алгебраическим дополнением А ij элемента aij определителя называют число А ij =(–1) i + j М ij , где М ij – минор элемента aij .

Свойства определителей

1. Определитель не изменяется при замене всех строк соответствующими столбцами (определитель не изменится при транспонировании).

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

3. Определитель с двумя одинаковыми (пропорциональными) строками (столбцами) равен нулю.

4. Общий для всех элементов строки (столбца) множитель можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, отличное от нуля.

6. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

7. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения (свойство разложения определителя по строке (столбцу)).

Рассмотрим некоторые способы вычисления определителей порядка n .

1. Если в определителе n-го порядка хотя одна строка (или столбец) состоят из нулей, то определитель равен нулю.

2. Пусть в определителе n-го порядка какая-то строка содержит отличные от нуля элементы. Вычисление определителя n-го порядка можно свести в этом случае к вычислению определителя порядка n-1. Действительно, используя свойства определителя, можно все элементы какой-либо строки, кроме одного, сделать нулями, а затем разложить определитель по указанной строке. Например, переставим строки и столбцы определителя так, чтобы на месте а11 стоял отличный от нуля элемент.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image018_51.gif" width="32 height=37" height="37">.gif" width="307" height="101 src=">

Заметим, что переставлять строки (или столбцы) не обязательно. Можно нули получать в любой строке (или столбце) определителя.

Общего метода вычисления определителей порядка n не существует, если не считать вычисление определителя заданного порядка непосредственно по определению. К определителю того или иного специального вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более простым определителям.

3. Приведем к треугольному виду. Пользуясь свойствами определителя, приводим его к так называемому треугольному виду, когда все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Полученный определитель треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Если удобнее получить нули по одну сторону от побочной диагонали, то он будет равен произведению элементов побочной диагонали, взятому со знаком https://pandia.ru/text/78/456/images/image022_48.gif" width="49" height="37">.

Пример 3. Вычислить определитель разложением по строке

https://pandia.ru/text/78/456/images/image024_44.gif" width="612" height="72">

Пример 4. Вычислить определитель четвёртого порядка

https://pandia.ru/text/78/456/images/image026_45.gif" width="373" height="96 src=">.

2-й способ (вычисление определителя путём разложения его по строке):

Вычислим этот определитель разложением по строке, предварительно преобразовав его так, чтобы в какой-то его строке все элементы кроме одного обратились в ноль. Для этого прибавим первую строку определителя к третьей. Затем умножим третий столбец на (‑5) и сложим с четвёртым столбцом. Преобразованный определитель раскладываем по третьей строке. Минор третьего порядка приводим к треугольному виду относительно главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/456/images/image028_44.gif" width="202" height="121 src=">

Решение.

Вычтем из первой строки вторую, из второй – третью и т. д., наконец, из предпоследней последнюю (последняя строка остается без изменений).

https://pandia.ru/text/78/456/images/image030_39.gif" width="445" height="126 src=">

Первый определитель в сумме – треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он равен произведению диагональных элементов, т. е. (n–1)n. Второй определитель в сумме преобразуем, прибавив последнюю строку ко всем предыдущим строкам определителя. Полученный при этом преобразовании определитель будет треугольного вида относительно главной диагонали, поэтому он будет равен произведению диагональных элементов, т. е. nn-1:

=(n–1)n+(n–1)n + nn-1.

4. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Если в определителе выделить k строк (или столбцов) (1£k£n-1), то определитель равен сумме произведений всех миноров k-ого порядка, расположенных в выделенных k строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения.

Пример 6. Вычислить определитель

https://pandia.ru/text/78/456/images/image033_36.gif" width="538" height="209 src=">

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №2

«ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ N-ГО ПОРЯДКА»

Вариант 1

Вычислить определители

https://pandia.ru/text/78/456/images/image035_39.gif" width="114" height="94 src=">

алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно:

(х + а) n = х n + n/1(ax n-1) + (а 2 х n-2) + …(a n x n-m) + …

или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2.3…n:

(х + а) n = ∑ m (!x n-m a m

Формула эта была впервые дана Ньютоном в 1676 г. без доказательства. Она высечена на гробнице Ньютона, в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, хотя далеко не может считаться одним из важнейших открытий Ньютона.

Доказательство формулы Б. для целого показателя получается легко, как частный случай из более общей формулы, выражающей произведение произвольного числа двучленов. Легко убедиться непосредственным умножением, что для случая n = 2 или n = 3 имеет место формула:

(x + a 1)(х + а 2)…(х + а n) = х n + S n 1 x n-l + S n 2 x n-2 + … + S n n

где S n 1 есть сумма данных количеств a 1 , a 2 . . . а n , S n 2 сумма произведений их по два, - S n n произведение всех этих количеств. А затем можно доказать, что если она верна для n, то верна и для n +1 множителей. Ибо, прибавив один множитель х + а n+1 , получим прямым умножением

(x + a 1)(x + a 2)…(x + a n-1) = х n-1 + (S n 1 + a n+1)x n + (S n 2 + S n 1 a n-1)x n-1 + … + S n n a n

и в то же время очевидно, что

S n 1 + a n+1 + 1 = S 1 n+1

S n 2 + S n 1 a n+1 = S 2 n+1

и т. д., так что правая часть последнего равенства есть

x n+1 + S 1 n+1 x n + S 2 n+1 х n-1 + … + (S n+1) n+1

и т. д. Пусть теперь все а равны между собой и равны, например, а , тогда:

S 2 = а 2 …

и получим (х + а) n = x n + nax n-1 + (a 2 x n-2) + …

Таким образом верность формулы Ньютона для n целого, положительного доказана. Но уже и сам Ньютон показал, что она верна и для дробного, и для отрицательного. Приведем доказательство Эйлера для n какого угодно. Рассмотрим выражение:

1 + nx + + x 3 + …

Для n целого оно равно (1 + x) n . Пусть для всякого n оно есть вообще f(n). Точно так же пусть подобное же выражение с заменой n на m есть f(m). Перемножая, находим, с одной стороны, f(n)f(m), с другой стороны - выражение, закон составления коэффициентов которого нам известен из случая n, m целых, именно:

f(n)f(m) = 1 + [(n + m)/1]x + [(n + m)(n + m - 1)/1.2]x 2 + [(n + m)(n + m - 1)(n + m - 2)/1.2.3]x 3 + …

а это есть очевидно f(n+m). Итак, мы получили f(n)f(m) = f(n + m); точно так же для произвольного числа множителей f(n 1)f(n 2).. . f(n μ) = f(n 1 +n 2 +…+n μ); полагая n 1 = n 2 =…= n μ = λ/μ, имеем

f(n)f(–n) = f(0) = 1, т. е. f(–n) = 1/f(n) или

f(–n) = (1 + x) –l = nx + x 2 - x 3 + … и т. д.

- двучлен, сумма или разность двух алгеб-раич. выражений, называемых членами Б., напр. , и т. д. О степенях Б., то есть выражениях да, см. Ньютона бином...
Математическая энциклопедия
- алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности двух количеств, например ахm +...
- алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: n = хn + n/1 + + … + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! = 1.2...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- и лат. nomen - имя) двучлен, сумма или разность двух алгебраических выражений, называемых членами Б.; например a + b, и т.д. О степенях Б., то есть выражениях вида n, см. Ньютона бином...
- название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых, а именно: где n - целое положительное число, а и b - какие угодно...
Большая Советская энциклопедия
- название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени...
Энциклопедия Кольера
- то же, что двучлен. О биноме вида n см. в ст. Ньютона бином...
- формула, выражающая целую положительную степень суммы двух слагаемых через степени этих слагаемых (коэффициенты при них называются биномиальными коэффициентами...
Большой энциклопедический словарь
- Заимств. в первой половине XIX в. из франц. яз., где binôme - сложение лат. bi и греч. nomē «часть, доля». Ср. словообразовательную кальку этого слова - двучлен...
Этимологический словарь русского языка
- Из романа «Мастер и Маргарита» Михаила Афанасьевича Булгакова. Слова Коровьева-Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым...
Словарь крылатых слов и выражений
- ; мн. бино/мы, Р....
Орфографический словарь русского языка
- муж. биномия жен. в буквосчислении: численное выражение, состоящее из двух членов; двучлен, двучленная величина...
Толковый словарь Даля
- БИНО́М, -а, муж. В математике: двучлен...
Толковый словарь Ожегова
- бино́м м. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность двух одночленов; двучлен...
Толковый словарь Ефремовой
- Разг. Шутл. О чём-л. сложном, запутанном. Елистратов, 41...
Большой словарь русских поговорок
- БИНОМ, -а, м. . Ирон. О чем-л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита»...
Словарь русского арго

"Бином Ньютона" в книгах

От Кеплера до Ньютона

Из книги Лаплас автора Воронцов-Вельяминов Борис Николаевич

1.2. От Анаксимандра до Ньютона

Из книги Природа времени: Гипотеза о происхождении и физической сущности времени автора Бич Анатолий Макарович

1.2. От Анаксимандра до Ньютона Существует широко распространенное убеждение, что на заре человечества первоначально было освоено понятие пространства и только потом, по подобию пространства, люди постепенно приспособили для практических целей понятие времени.Может

Мнение Р.Ньютона

Из книги Критическое исследование хронологии древнего мира. Античность. Том 1 автора Постников Михаил Михайлович

Мнение Р.Ньютона В последнее время древние затмения были заново изучены Робертом Ньютоном, рассмотревшим не только античные, но и средневековые затмения. Мы не будем подробно излагать его труды, а приведем только одну цитату, подводящую итог его исследований.«Мы можем

Психология Ньютона

Из книги Квантовый ум [Грань между физикой и психологией] автора Минделл Арнольд

Психология Ньютона Всегда ли верны эти законы? Если мы рассмотрим нашу автомобильную аварию, то скажем да, мы знаем, что эти законы верны. Но верны ли они психологически? Многие сказали бы, что да. Например, третий закон можно было бы назвать законом оскорбления и возмездия:

Механика Ньютона

автора

Механика Ньютона Теория тяготения Ньютона без использования его законов механики не была бы создана. Опуская детали, которые можно найти и в школьном учебнике физики, приведем эти три основных закона в окончательном виде. Без всякого сомнения, они имеют фундаментальное

Закон Ньютона

Из книги Гравитация [От хрустальных сфер до кротовых нор] автора Петров Александр Николаевич

Закон Ньютона Закон всемирного тяготения после обсуждения в третьем чтении был отправлен на доработку… Фольклор Проверка закона Ньютона. Осмысление закона Ньютона до сих пор играет очень важную роль для осмысления представлений о гравитации вообще. Как можно

Законы Ньютона

Из книги Возвращение чародея автора Келер Владимир Романович

Законы Ньютона К числу выдающихся научных достижений Ньютона относится высказанное им смелое предположение, по которому все материальные тела, кроме таких наглядных, очевидных свойств, как твердость, упругость, вес и т. д., имеют еще одно чрезвычайно важное свойство:

Бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (БИ) автора БСЭ

Дифференциальный бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ДИ) автора БСЭ

Ньютона бином

Из книги Большая Советская Энциклопедия (НЬ) автора БСЭ

Подумаешь, бином Ньютона!

Из книги Энциклопедический словарь крылатых слов и выражений автора Серов Вадим Васильевич

Подумаешь, бином Ньютона! Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 - 1940). Слова Коровьева-Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на

БИНОМ ХАЙЯМА

Из книги Такой способ понимать автора Лурье Самуил Аронович

БИНОМ ХАЙЯМА Не знаю, как вы, - а я, собираясь на необитаемый остров, непременно прихватил бы с собою Омара Хайяма. Это практично: на весах любой таможни 66 четверостиший стрелку не потревожат, - и вот вам сопутствует лучший в мире собутыльник.Положим, воображаемый. Но ведь

БИНОМ ХАЙЯМА

Из книги Успехи ясновидения автора Лурье Самуил Аронович

БИНОМ ХАЙЯМА Не знаю, как вы, - а я, собираясь на необитаемый остров, непременно прихватил бы с собою Омара Хайяма. Это практично: на весах любой таможни 66 четверостиший стрелку не потревожат, - и вот вам сопутствует лучший в мире собутыльник. Положим, воображаемый. Но ведь и

Это вам не бином Ньютона!

Из книги Сигнал и шум. Почему одни прогнозы сбываются, а другие – нет автора Сильвер Нейт

Это вам не бином Ньютона! Прежде чем гипотеза будет признана, необходимы неопровержимые доказательства. Парниковая гипотеза соответствовала данному условию, и именно поэтому в первом отчете МГЭИК вывод о существовании парникового эффекта выделен из сотен других

Бином Ньютона

Из книги Разъезд Тюра-Там автора Ковтонюк Владимир Александрович

Бином Ньютона Кубань стекает капельками с ледников Эльбруса, объединяется в отдельные безобидные ручейки, которые, сливаясь и принимая притоки Даут и Худес, образуют стиснутый горами необузданный поток. Перед самым городом скалы, словно устраивая последнюю проверку

План-конспект урока по математике:

« Бином Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов»

Цели :

- обучающие : познакомить с формулой бинома Ньютона, научить применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена;
- развивающие : способствовать развитию памяти, алгоритмического и логического мышления, внимания;
- воспитательные: продолжить воспитание чувства ответственности, самостоятельности, добросовестности.)

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация, карточки с теоретическим материалом.

Тип урока – к омбинированный;

Формы работы учащихся – фронтальная, индивидуальная.

Ход урока:

1 . Организационный момент:

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация знаний

I . Фронтальный опрос:

1)Что изучает комбинаторика?

2)Какие виды соединений или выборок вам известны?

3) Отгадать кроссворд «Комбинаторика»

II . Устный счет:

5!=….(120), А 5 2 =…(20)., С 4 2 =….(8)

Сколькими способами можно разместить 5 человек на скамейке?

3. Изложение нового материала: Работа с карточками теоретического материала. Заслушивание и анализ сообщений студентов. Написание конспекта.

I ) История комбинаторики ( Сообщение студента )

На прошлом уроке мы познакомились с основами комбинаторики. Домашнее задание для первой творческой группы было подготовить сообщение об истории возникновения комбинаторики как науки. (Сообщение студента)

Какие же ученые внесли вклад в развитие комбинаторики как науки?

Одним из выдающихся умов того времени был английский ученый Исаак Ньютон. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение об этом великом гении.

II ) Исаак Ньютон- великий математик ( Сообщение студента )

Вы услышали из доклада, сколько гениальных идей и открытий принадлежит великому математику Исааку Ньютону. Одним из его открытий является формула Бином Ньютона .

III ) Бином Ньютона.

Именно этому открытию мы посвятим наш сегодняшний урок. Запишем тему урока. Цели нашего урока : познакомиться с формулой бинома Ньютона, научиться применять формулу бинома Ньютона при возведении в степень двучлена.

Слово бином означает «Два числа» В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется « бином », по-русски – двучлен .

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а , она убывает от максимума до нуля):

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

Возможно, вы уже догадались, что «рояль в кустах» – это треугольник Паскаля на предыдущей странице. Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1 ):

Окончательно получим:

Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой , по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Ваше домашнее задание было подготовить сообщение о французском ученом Паскале.

IV ) Блез Паскаль ( Сообщение студента )

Теперь понятно, как возвести бином в любую степень n . В левой части записываем (а+b) n . А в правой части записываем сумму а n + а n-1 b + … + b n , оставляя в каждом слагаемом место для коэффициента. И эти места заполняем числами из n –ой строчки треугольника Паскаля, которую, конечно, нужно заранее выписать.

Возведение двучлена a + b в степень n может быть произведено по формуле называемой разложением бинома Ньютона :

(a + b) n = a n + C 1 n a n - 1 b + C 2 n a n - 2 b 2 +...+C k n a n - k b k +... + C n - 1 n ab n - 1 + C n n b n

где C k n - все возможные сочетания , которые можно образовать из n элементов по k .

Пример : (a + b) 5 = a 5 + C 1 5 a 4 b + C 2 5 a 3 b 2 + C 3 5 a 2 b 3 + C 4 5 ab 4 + C 5 5 b 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5

Таким образом можно записать формулу для возведения двучлена в любую степень. Давайте заметим некоторые свойства у слагаемых в разложении двучлена по формуле Бинома Ньютона.

V ) Свойства бинома Ньютона

Коэффициенты симметричны.

Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются.

Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома.

Сумма коэффициентов разложения (a + b) n равна 2 n .

VI ) Закрепление нового материала.

Мы знакомились с вами с применением бинома Ньютона при изучении формул сокращенного умножения: Где же ещё применяется Бином Ньютона?

VII ) Применение Бинома Ньютона.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример.

Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение.

Представим первое слагаемое выражение как и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

VIII ) Что означает фразеологизм «Бином Ньютона»?

Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.
Возникновение фразы : из романа (1891 - 1940 гг.) «Мастер и Маргарита» (1940 г.).
Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
« - Ну, конечно, это не сумма, - снисходительно сказал Воланд своему гостю, - хотя, впрочем, и она, собственно, вам не нужна. Вы когда умрете?
Тут уж буфетчик возмутился.
- Это никому не известно и никого не касается, - ответил он.
- Ну да, неизвестно, - послышался все тот же голос (Коровьева) из кабинета, - подумаешь, бином Ньютона ! Умрет он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвертой палате».

IX ) Итоги урока. Рефлексия

Подумаешь, Бином Ньютона

"Подумаешь, Бином Ньютона"
Кот промяукал Бегемот
(Он Воланда слуга покорный),
Предсказывая жизни ход.
Все это только подтверждает
Ньютона гений, но давно
Бином известен был в Китае,
Арабы знали про него.
Но обобщил Ньютон решение,
Возвёл он в степень многочлен...
Избавил нас от всех сомнений
Других же нет у нас проблем.
Скажите нам совсем без прений
Зачем нам нужен тот бином?
Комбинаторику явлений
Мы без бинома не найдём.
Nov. 7, 2015

Что нового вы узнали на уроке? Важна ли эта формула для математики? Трудно ли вам было усваивать новый материал?

Домашнее задание. Подготовка к контрольной работе.

( задание на листочках каждому студенту )

1. Из 12 членов команды нужно выбрать капитана и заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

2.Вычислите: 4Р 3 +3А 2 10 -С 2 5

Выпускники экономического института работают в трех различных организациях: 17 человек в банке,23- в фирме и 19-в налоговой инспекции. Найдите вероятность того, что случайно встреченный выпускник работает в банке?

Имеется 8 различных книг 2 из которых сборники стихов. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы справочники оказались рядом?

Для игры в КВН нужно выбрать команду из 6 человек, Сколькими способами можно это сделать, если в команде должно быть мальчиков и девочек поровну, и в классе 12 девочек и 10 мальчиков?

Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр, 0,1,3,6,7,9?

Разложите на множители: (a - b ) 9 и (3 x + y ) 10