Что будет если разделить на 1. Примеры, когда необходимо сдвинуть запятую, а цифр уже не осталось

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.

Статья написана в продолжение тренда:

Disclaimer

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии - желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

1. Вобще-то уже все поделили до нас!

1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом - основным инструментом математического анализа . Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.

Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева - крутой спуск, справа - крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности . Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.

Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

Подытожим:

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.

1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.

Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком "/".

Доопределим операции.

Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.

Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.

Математическим языком:

С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем . А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.

Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .

На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено", но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!".
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах Добавить метки

• научить выполнять деление с 0 и 1 на основе связи с действием умножения; закреплять знание связи компонентов действий умножения и деления;
• повторять изученные табличные случаи умножения и деления (на 2, 3, 4, 5); развивать мыслительные операции;
• воспитывать взаимоконтроль, самоконтроль, самооценку; аккуратность, внимательность.

Оборудование: учебник “Моя математика” 2 класс Образовательной системы “Школа 2100” авторов Демидовой Т.Е., Козловой С.А., Тонких А.П., часть 3, стр.10–11 (см.Приложение 2 ); презентация к уроку (см. Приложение 1 ), схемы, карточки с заданиями.

Задание 1

Учитель: Составьте по 4 возможных равенства с числами 20, 4, 5; 18, 3, 6.

Выполняется самостоятельно в тетрадях и у доски 2 учащимися для взаимопроверки. Дополнительно.* a, в, с (по карточкам)

– Как деление связано с умножением? Слайд 1 (Если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель).

а в = с с: в = а

2. Постановка учебной задачи и ее решение

1) Задание 2

– Найдите значение второго выражения в каждом столбце, вычислив значение первого.

Постановка учебной задачи 1:

– Чему равно частное от деления любого числа а на единицу?

Решение учебной задачи:

– При делении любого числа а на единицу получаем это же число.

Слайд 2

а: 1 = а, так как, а 1 = а

Постановка учебной задачи 2:

– Можно ли подобрать такое число, умножив которое на 0, мы получили бы 5 или 7? (Нет.)
– Существует ли значение выражения: 5 делить на 0, 7 делить на 0? (Нет.)

Решение учебной задачи:
Слайд 3

На нуль делить нельзя.

2) Задание 3

– Найдите значение второго выражения в каждом столбце, вычислив значение первого. Выполняется по рядам в тетрадях и у доски для взаимо- и самопроверки.

Постановка учебной задачи 3:

– Чему равно частное от деления нуля на любое число а , не равное нулю?

Решение учебной задачи:

– При делении нуля на любое число, не равное нулю, получим нуль.

Слайд 4

0: а = 0, при а = 0, так как, а 0 = 0

3) Задание 4

– Найдите значение выражения в каждом столбце, вычислив значение первого.

Выполняется по рядам в тетрадях и у доски для взаимо- и самопроверки.

Постановка учебной задачи 4:

– Чему равно частное от деления любого числа а, не равного нулю, на это же число?

Решение учебной задачи:

– При делении любого числа а, не равного нулю, на само себя получаем единицу. Слайд №5 приложения

а: а = 1, при а = 0, так как, а 1 = а

4) Физкультминутка “Зарядка”

Каждый день по утрам делаем зарядку (ходьба на месте).
Очень нравится нам делать по порядку:
Весело шагать (ходьба) ,
Руки поднимать (руки вверх) ,
Приседать и вставать (приседания 4–6 раз) ,
Прыгать и скакать (5–6 прыжков) .

Ритмический счет. Упражнения для глаз.

3. Первичное закрепление

1) Задание 5

Коллективная работа у доски с объяснением.

– Найдите, если возможно, значения выражений. Придумай похожие выражения и найди их значения.*

2) Самостоятельная работа по вариантам

Слайд 6

25: 25 = 37: 1 = 0: 147 = 2: 0 = 0: 1 =

52: 52 = 73: 1 = 0: 741 = 5: 0 = 1: 1 =

– Проверьте себя, выполнив обратное действие.

Самопроверка по слайду 7. Взаимопроверка. Самооценка.

3) Физкультминутка “Зарядка”

Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту тихо сесть.

Точечный массаж. Упражнения на дыхание.

– Как бы вы сформулировали тему нашего сегодняшнего урока? Какие учебные задачи решили? Как вы оцените свои знания, полученные на уроке?

Решение задачи (№ 7а учебника)

Слайд 7

“С грядки собрали 72 морковки, часть морковок израсходовали, а другую часть связали в 5 пучков по 9 морковок в каждом. Сколько морковок израсходовали?”.

– Прочитайте. О чем задача? Что известно? Как обозначим число собранных морковок? (целым отрезком). Как обозначим число израсходованных морковок? (частью отрезка).

– Как обозначим число связанных морковок? (частью отрезка). Какую часть можно найти сразу? (запишем действием). Что нужно узнать в задаче? Как найти неизвестную часть? (из целого вычесть известную часть). Запишем решение и вычислим. Вспомним порядок действий в выражении.

72 – 9 5 = 27 (м) – израсходовали.

– Каким действием нашли известную часть?
– Каким действием нашли неизвестную часть?

1) для закрепления темы урока – карточки;
2) для совершенствования знаний таблицы умножения и деления на 2, 3, 4, 5 – карточки.
3) для сильных учащихся уравнения (Слайд 8 ):

1. х 1 = 45; у: у = 1; х 5 = 50
2. № 6 с 11, 1 и 2 столбики. (На доске)

7. Домашнее задание

С. 11 № 8, № 6 (3ст.).

8. Итог урока

– Чему научился Коля? (стр. 11, цветное поле) (Делить с нулем и единицей). А вы? Как вы оцените свою работу на уроке?

(Самооценка – дети поднимают зеленые, желтые, красные круги)

Зеленый – доволен собой, у меня всё получилось;
Жёлтый – доволен собой, хотя у меня не всё получилось;
Красный – мне нужна помощь.

ГБПОУ «Дзержинский педагогический колледж»

Подготовила:

Студентка гр. ПНК-4

Мартюхина Альбина

Николаевна

Конспект урока математики

По тему: «Деление числа на 1 и на само себя»

Методист:

Уланова Е.В.______

Дзержинск, 2017

Конспект урока математики во 2 «В» классе

Математика

Тема урока

«Деление числа на 1 и на само себя»

Класс

2 «В»

УМК

«Планета знаний»

Тип урока

Урок изучения нового

Цель, задачи

Цель: Создание благоприятной атмосферы для изучения темы «Деление на 1 и на само себя»

Образовательные:
1) Рассмотреть случаи деления любого числа на 1, на само себя, деление 0 на число, невозможность деления на 0;

2) Продолжить работу по осознанию учащимися взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления;
3) Совершенствовать навыки решения задач;

Развивающие:
1) развивать грамотную монологическую речь

Воспитательные:
1) воспитывать любовь к изучаемому предмету.

Общая информация

Формируемые УУД

Знать правила деления числа на 1 и на само себя

Метапредметные УУД

Воспринимать учебную задачу, сохраня ть на протяжении всего урока .

Уметь грамотно и четко формулировать свои мысли

Личностные УУД

Уметь пользоваться формами самооценивания

Коммуникативные: составляют небольшие устные монологические высказывания

Личностные

пользуются формами самоценивания на уроке

Планируемые результаты урока

Литература и Интернет-ресурсы

Учебник математики для 2 класса, Башмаков М.И., Нефедова М.Г

Дополнительная

Схемы, таблицы

Оборудование

ТСО-компьютер (презентация), учебник, Smart - board

Для учащихся:

учебники

План урока:

Организационный момент (2мин)

Устный счёт (5мин)

Актуализация опорных знаний (3мин)

Открытие новых знаний(14мин)

Физкультминутка(2мин)

Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи (14мин)

Инструктаж о выполнение домашнего задания (2мин)

Рефлексия (3мин)

Ход урока:

Мультимедийная презентация

РУУД: принимают учебную задачу

2.Устный счет

Закрепить умения

Игра «Цепочка»

Приползла гусеничка, помогите ей найти значение.

320 -300: 4 . 9 +9:9

Что вспомнили?

Незнайка не может попасть в «Солнечный город». На воротах код, который он не может разгадать. Помогите ему.

Задание на слайде

Решают задания помогают Незнайке

Устный счет

Работа в тетради

демонстрация

ПУУД: Уметь воспроизводить устные приёмы сложения

Уметь вычислять сумму, разность используя письменные алгоритмы сложения.

уметь решать примеры.

РУУД:

принимают учебную задачу

РУУД:

принимают учебную задачу

ПУУД:

Знают компоненты умножение и деления

3.Актуализация опорных знаний

Повторение пройденного материала

Какими правилами пользовались?

Как найти неизвестный множитель?

Как найти делитель? Как найти делимое?

Нахождение неизвестного множителя, делимого и делителя.

Значение произведения разделить на известный множитель.

Нужно делимое разделить на значение частного.

Значение частного умножить на делитель.

Опрос

Демонстрация

4 .Открытие новых знаний

Открытие нового знания

На доске Маша и Миша.

7:1=7 9:1=9

7:7=1 9:9=9

0:7=0 0:9=1

Чем похожи выражения у Маши и Миши? Встречались ли нам раньше такие выражения?

Кто скажет, чему сегодня будем учиться?

И ещё кое - что узнаем.

Кто из детей выполнил правильно? Д. Маша.

Докажите.

Вывод:

При делении любого числа на 1, получаем это же число; а:1=а.

При делении любого числа на само себя, получаем 1. При условии, что а=0; а: а=1, а=0.

При делении 0 на любое число, получаем 0, при условии, что а=0; 0:а=0, а=0.

Сверьте вывод с правилами на с. 54

Вы ничего не заметили? Догадайтесь, почему на 0 делить нельзя.

У обоих частное, деление на 1, само на себя, деление 0 на число.

Нет.

Сегодня научимся делить любое число на 1, само на себя, делить 0 на число…

Если мы 7 . 7=7, 0 . 7=0. Значит, выполнено, верно, т.е. значение частного умножить на делитель, получается делимое.

вывешиваю правила в табличках по ходу объяснения и поясняем вместе.

Есть ещё четвёртое правило. На 0 делить нельзя. а:0

Например: 3:0=3, проверю.

3 . 0=0, а по правилу, должно быть 3. Такого быть не может!

Поэтому на 0 делить нельзя.

Опрос

Беседа

Мультимедийная презентация

Демонстрация

РУУД:

принимают учебную задачу

ПУУД:

Знать правило деления на 0,себя и 1

5.Физ.минутка

Восстановление работоспособности

Видеозапись

6 .Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Закрепить полученные знания

Незнайка решил за доской все выражения и ждёт, пока вы у него проверите. Выполните работу в тетрадях и сверьте с доской.

9:1=1 9 0:5=5 0

63:1=63 0:54=0

8:8=1 0:12=0

75:75=0 1 14:0=0

Что вы заметили?

Кто в неё попался?

Что не знает Незнайка?

Вывод

Чего не усвоил Незнайка?

Задача №170

Прочитайте задачу. Подчеркните последний вопрос. Что будем узнавать в задаче? Что известно в задаче?

Как показать на схеме?

Что нужно узнать?

Кто пойдёт к доске и решит задачу?

Решение на доске и в тетрадях.

48-6=42 (ок.) поймал Саша.

42:7=6 (ок.) поймал Коля.

48+42+6=96 (ок.)

Ответ: 96 окуней поймали все мальчики.

Кто бы хотел попробовать свои знания при решении задач повышенной сложности? (один ученик решает задачу на Smart -доске, другой на карточке из сборника –по теме «Умножение и деление»

Ловушку.

На 0 делить нельзя.

Объясните оставшиеся выражения.

Сколько окуней поймали все три мальчика.

Что было три мальчика Миша, Саша и Коля.

Миша поймал 48 окуней. Саша мы не знаем сколько, но сказано, что на 6 меньше.

А Коля - тоже не знаем сколько, но знаем, что в 7 раз меньше, чем Саша.

Сколько все три мальчика поймали окуней.

Упражнения

Беседа

ПУУД:

Знать правило деления на 0, 1 и само себя,уметь применять их при решение задач

РУУД:

принимают учебную задачу

КУУД: Уметь точно и грамотно формулировать свои вопросы и ответы, строить речевые высказывания;

ЛУУД: Уметь высказывать собственное мнение и позицию

6.Инструктаж о выполнении домашнего задания

Объяснение домашнего задания

Открываем дневники, записываем домашнее задание

№ 167 (6 последних выражений), № 169 (5 з.)

Слово учителя

7.Рефлексия

Подведение итогов урока

А теперь вернёмся к нашему Мише и проверим, что же он выполнил неправильно.

9:9=1 верно т.к. 9 . 1=9

9:9=9 1 неверно т.к. при делении числа на само себя, получаем 1.

0:9=1 0 неверно т.к. при делении 0 на любое число, не равное 0, получаем 0.В какую ловушку мы не должны попадать? . Всем спасибо. Урок окончен.

Отвечают на вопросы учителя

На 0 делить нельзя.

Беседа

КУУД: слушают других, соблюдают правила общения; и грамотно формулируют свои вопросы и ответы, строят речевые высказывания;

высказывают собственное мнение и позицию

ЛУУД: слушают других, соблюдают правила общения

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль – яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность – это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление – это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль - как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль - это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

• бесконечность, разделенная на бесконечность: ?:?;
• бесконечность минус бесконечность: ???;
• единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ? ;
• бесконечность, умноженная на 0: ?*0;
• некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь – французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

В настоящее время метод Лопиталя с успехом применяется при решении неопределенностей типа 0:0 или?:?.

Как делить и умножать на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.?

Напишите правила деления и умножения.

Чтобы умножить число на 0.1, нужно просто перенести запятую.

Например было 56 , стало 5,6 .

Чтобы разделить на это же число, нужно перенести запятую в противоположную сторону:

Например было 56 , стало 560 .

С числом 0,01 всё то же самое, но нужно перенести на 2 знака, а не на один.

Вообщем сколько нулей, на столько и переносите.

Например есть число 123456789.

Нужно его умножить на 0.000000001

Нулей в числе 0.000000001 девять (ноль слева от запятой тоже считаем), значит число 123456789 сдвигаем на 9 разрядов:

Было 123456789 стало 0,123456789.

Чтобы не умножить, а разделить на это же число, сдвигаем в другую сторону:

Было 123456789 стало 123456789000000000.

Чтобы сдвинуть так целое число, просто приписываем к нему нолик. А в дробном передвигаем запятую.

Деление числа на 0,1 соответствует умножению этого числа на 10

Деление числа на 0,01 соответствует умножению этого числа на 100

Деление на 0,001 — умножению на 1000.

Чтобы легче было запомнить — читаем число, на которое нужно разделить справа налево, не обращая внимания на запятую, и на полученное число умножаем.

Пример: 50: 0,0001. Это все равно что 50 умножить на (читаем справа налево без запятой — 10000) 10000. Получается 500000.

То же самое с умножением, только наоборот:

400 х 0,01 — то же самое, что разделить 400 на (читаем справа налево без запятой — 100) 100: 400: 100 = 4.

Кому удобнее переносить при умножении и делении на такие числа запятые вправо при делении и влево при умножении, можно делать и так.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Деление на десятичную дробь

I. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Приме ры.

Выполнить деление: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Решение.

Пример 1) 16,38: 0,7.

В делителе 0,7 после запятой стоит одна цифра, поэтому, перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо.

Тогда нам нужно будет разделить 163,8 на 7 .

Выполним деление по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

Делим так, как делят натуральные числа. Как снесем цифру 8 - первую цифру после запятой (т.е. цифру в разряде десятых), так сразу поставим в частном запятую и продолжим деление.

Ответ: 23,4.

Пример 2) 15,6: 0,15.

Переносим запятые в делимом (15,6 ) и делителе (0,15 ) на две цифры вправо, так как в делителе 0,15 после запятой стоят две цифры.

Помним, что справа к десятичной дроби можно приписать сколько угодно нулей, и от этого десятичная дробь не изменится.

15,6:0,15=1560:15.

Выполняем деление натуральных чисел.

Ответ: 104.

Пример 3) 3,114: 4,5.

Перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо и разделим 31,14 на 45 по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.

3,114:4,5=31,14:45.

В частном поставим запятую сразу, как сносим цифру 1 в разряде десятых. Затем продолжаем деление.

Чтобы закончить деление нам пришлось приписать нуль к числу 9 - разности чисел 414 и 405 . (мы знаем, что справа к десятичной дроби можно приписывать нули)

Ответ: 0,692.

Пример 4) 53,84: 0,1.

Переносим запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо.

Получаем: 538,4:1=538,4.

Проанализируем равенство: 53,84:0,1=538,4. Обращаем внимание на запятую в делимом в данном примере и на запятую в полученном частном. Замечаем, что запятая в делимом перенесена на 1 цифру вправо, как если бы мы умножали 53,84 на 10. (Смотрите видео «Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.») Отсюда правило деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

II. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)

Примеры.

Выполнить деление: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Решение.

Пример 1) 617,35: 0,1.

Согласно правилу II деление на 0,1 равносильно умножению на 10 , и запятую в делимом перенесем на 1 цифру вправо :

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235: 0,01.

Деление на 0,01 равносильно умножению на 100 , значит, запятую в делимом перенесем на 2 цифры вправо :

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845: 0,001.

Так как деление на 0,001 равносильно умножению на 1000 , то перенесем запятую на 3 цифры вправо :

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397: 0,0001.

Разделить десятичную дробь на 0,0001 - это все равно, что умножить ее на 10000 (переносим запятую на 4 цифры вправо ). Получаем:

www.mathematics-repetition.com

Умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,01

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будет рассмотрено, как выполнять умножение и деление на числа вида 10, 100, 0,1, 0,001. Также будут решены различные примеры на данную тему.

Умножение чисел на 10, 100

Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичная запись данного числа – это сокращенная запись суммы. Необходимо расписать ее более подробно:

Таким образом, нужно умножить сумму. Для этого можно просто умножить каждое слагаемое:

Выходит, что.

Можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 10 очень просто: нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию.

Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

Умножить на 100 – это то же самое, что и умножить два раза на 10. Иными словами, необходимо сдвинуть запятую вправо два раза:

Деление чисел на 10, 100

Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае, необходимо представить число 25,78 в виде суммы:

Так как нужно поделить сумму, то это эквивалентно делению каждого слагаемого:

Выходит, чтобы разделить на 10, нужно запятую сдвинуть влево на одну позицию. Например:

Упражнение. Разделить 124,478 на 100.

Разделить на 100 – это то же самое, что два раза разделить на 10, поэтому запятая сдвигается влево на 2 позиции:

Правило умножения и деления на 10, 100, 1000

Если десятичную дробь нужно умножить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть вправо на столько позиций, сколько нулей у множителя.

И наоборот, если десятичную дробь нужно поделить на 10, 100, 1000 и так далее, нужно запятую сдвинуть влево на столько позиций, сколько нулей у множителя.

Примеры, когда необходимо сдвинуть запятую, а цифр уже не осталось

Умножить на 100 значит сдвинуть запятую вправо на две позиции.

После сдвига можно обнаружить, что после запятой уже нет цифр, а это значит, что дробная часть отсутствует. Тогда и запятая не нужна, число получилось целое.

Сдвигать нужно на 4 позиции вправо. Но цифр после запятой всего две. Стоит вспомнить, что для дроби 56,14 есть эквивалентная запись.

Теперь умножить на 10 000 не составляет труда:

Если не очень понятно, почему можно дописать два нуля к дроби в предыдущем примере, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь в этом.

Эквивалентные десятичные записи

Запись 52 означает следующее:

Если впереди поставить 0, получим запись 052. Эти записи эквивалентны.

Можно ли поставить два нуля впереди? Да, эти записи эквивалентны.

Теперь посмотрим на десятичную дробь:

Если приписать ноль, то получается:

Эти записи эквивалентны. Аналогично можно приписать несколько нулей.

Таким образом, к любому числу можно приписать несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут эквивалентные записи одного и того же числа.

Так как происходит деление на 100, то необходимо сдвинуть запятую на 2 позиции влево. Слева от запятой не осталось цифр. Целая часть отсутствует. Такую запись часто используют программисты. В математике же, если целой части нет, то ставят ноль вместо нее.

Сдвигать нужно влево на три позиции, но позиций всего две. Если перед числом написать несколько нулей, то это будет эквивалентная запись.

То есть при сдвиге влево, если цифры кончились, необходимо восполнить их нулями.

В данном случае стоит помнить, что запятая всегда стоит после целой части. Тогда:

Умножение и деление на 0,1, 0,01, 0,001

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 – очень простая процедура. Точно так же дело обстоит и с числами 0,1, 0,01, 0,001.

Пример . Умножить 25,34 на 0,1.

Выполним запись десятичной дроби 0,1 в виде обыкновенной. Но умножить на – то же самое, что разделить на 10. Поэтому необходимо сдвинуть запятую на 1 позицию влево:

Аналогично умножить на 0,01 – это разделить на 100:

Пример. 5,235 разделить на 0,1.

Решение данного примера строится аналогичным образом: 0,1 выражается в виде обыкновенной дроби, а делить на – это все равно, что умножить на 10:

То есть чтобы поделить на 0,1, нужно запятую сдвинуть вправо на одну позицию, что равносильно умножению на 10.

Правило умножения и деления на 0,1, 0,01, 0,001

Умножить на 10 и разделить на 0,1 – это одно и то же. Запятую нужно сдвинуть вправо на 1 позицию.