Что такое центр проекции. Центральное и параллельное проецирование

ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ

Начертательная геометрия изучает способы построения изображений пространственных фигур на плоскости и решения пространственных задач на чертеже.

Проекционное черчение рассматривает практические вопросы построения чертежей и решает задачи способами, рассмотренными в начертательной геометрии, сначала на чертежах геометрических тел, а затем на чертежах моделей и технических деталей.

СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Форму любого предмета можно рассматривать как сочетание отдельных простейших геометрических тел. А для изображения геометрических тел нужно уметь изображать их отдельные элементы: вершины (точки), ребра (прямые), грани (плоскости).

В основе построения изображений лежит способ проецирования. Получить изображение какого-либо предмета - значит спроецировать его на плоскость чертежа, т.е. спроецировать отдельные его элементы. Поскольку простейшим элементом любой фигуры является точка, изучение проецирования начинают с проецирования точки.

Для получения изображения точки А на плоскости Р (рис. 4.1) через точку А проводят проецирующий луч Аа. Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью Р будет изображением точки А на плоскости Р (точка а), т. е. ее проекцией на плоскость Р.

Такой процесс получения изображения (проекции) называют проецированием. Плоскость Р является плоскостью проекций. На ней получают изображение (проекцию) предмета, в данном случае точки.

Принцип проецирования легко понять на примере получения тени предмета на стене или листе бумаги. На рис. 4.1 изображена тень карандаша, освещенного лампой, а на рис. 4.2 - тень карандаша, освещенного солнечным светом. Если представить световые лучи прямыми линиями, то есть проецирующими лучами, а тень - проекцией (изображением) предмета на плоскости, то легко представить себе механизм проецирования.

В зависимости от взаимного расположения проецирующих лучей проецирование делят на центральное и параллельное.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Центральное проецирование - получение проекций с помощью проецирующих лучей, проходящих через точку S, которую называют центром проецирования (рис. 4.3). Если считать лампу точечным источником освещения, то проецирующие лучи выходят из одной точки, следовательно, на плоскости Р получена центральная проекция карандаша (рис. 4.1).

Примером центрального проецирования является проецирование кадров кинофильма или слайдов на экран, где кадр - объект проецирования, изображение на экране - проекция кадра, а фокус объектива - центр проецирования.

Изображения, получаемые способом центрального проецирования, подобны изображениям на сетчатке нашего глаза. Они наглядны, понятны для нас, так как показывают нам предметы окружающей действительности такими, какими мы их привыкли видеть. Но искажение размеров предметов и сложность построения изображений при центральном проецировании не позволяют использовать его для изготовления чертежей.

Центральные проекции широко применяют лишь там, где нужна наглядность в изображениях, например, в архитектурно-строительных чертежах при изображении перспектив зданий, улиц, площадей и т. п.

Параллельное проецирование . Если центр проецирования - точку S удалить в бесконечность, то проецирующие лучи станут параллельными друг другу. На рис. 4.4 показано получение параллельных проекций точек А и В на плоскости Р.

В зависимости от направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные .

При косоугольном проецировании угол наклона проецирующих лучей к плоскости проекций не равен 90 о (рис. 4.5).

При прямоугольном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (рис. 4.6).

Рассмотренные выше способы проецирования не устанавливают взаимно однозначного соответствия между объектом (точка А) и его изображением (проекцией). При заданном направлении проецирующих лучей на плоскости проекций всегда получается лишь одна проекция точки, но судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции невозможно, так как на одном и том же проецирующем луче Аа (рис. 4.7) точка может занимать различные положения, находясь выше или ниже заданной точки А, и какое положение точки в пространстве соответствует изображению (проекции) а, определить невозможно.

Рис. 4.4. Рис. 4.5. Рис. 4.6.

Для того чтобы по изображению точки можно было определить ее положение в пространстве, необходимо как минимум иметь две проекции этой точки. При этом должно быть известно взаимное расположение плоскостей проекций и направление проецирования. Тогда, имея два изображения точки А, можно будет представить, как расположена точка в пространстве.

Наиболее простым и удобным является проецирование на взаимно перпендикулярные плоскости проекций с помощью проецирующих лучей, перпендикулярных плоскостям про­екций.

Такое проецирование называют ортогональным проецированием, а полученные изображения - ортогональными проекциями.

Центральное проецирование. Свойства центрального проецирования. Примеры центрального проецирования точки, отрезка прямой треугольника

Ответ: ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Основными видами проецирования являются центральное и параллельное. Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов из некоторого центра на плоскость.

Пусть задана плоскость П1 и кривая линия k с точками А, В, С (рис.1.1).

Рис.1.1

Возьмем некоторую точку S, не лежащую в плоскости П1. Через точку S и точки А, В, С кривой k проведем прямые до пересечения с плоскостью П1 в точках A1, B1, C1. Проведя таким образом через S и каждую точку кривой k прямые, получим в плоскости П1 изображение k1 кривой k.

В соответствии с описанным построением введем следующие понятия:

S - центр проекций; П1 - плоскость проекций; кривая k с точками А, В, С - объект проецирования; SА, SВ, SС - проецирующие лучи; A1,B1,C1 - центральные проекции точек А, В, С; k1 - центральная проекция кривой k. Рассматривая каждую пространственную фигуру как совокупность точек, можно сказать, что проекция фигуры представляет собой множество проекций ее точек.

Свойства центрального проецирования:

1. Любая точка (кроме S) проецируется на плоскость проекций в единственную точку (рис.1).

2. Каждой точке (A, B, C, D,...), принадлежащей какой-либо линии (кривой или прямой), соответствует проекция (A1, B1, C1, D1, ...) этой точки на проекции данной линии (рис.1).

3. Кривая в общем случае проецируется в кривую, а прямая - в прямую. Если прямая совпадает с проецирующим лучом, например DE (рис.1), то она проецируется в точку D1 º E1. Плоскость, проходящая через центр проекций, проецируется в прямую и называется проецирующей. Кривая, все точки которой принадлежат проецирующей плоскости, проецируется в прямую.

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий (рис.1).

Центральное проецирование обладает большой наглядностью и применяется в строительном черчении, в архитектуре, в живописи и т.п. Недостатком центрального проецирования является сложность построения изображения предмета и определения истинных размеров. Поэтому оно имеет ограниченное применение в техническом черчении.

Параллельное проецирование свойства параллельного проецирования. Примеры параллельного проецирования точки отрезка прямой треугольника

1.3.3 Параллельное проецирование

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования.

Если центр проекций при центральном аппарате проецирования перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Отсюда аппарат параллельного проецирования состоит из плоскости проекций П и направления Р. При центральном проецировании проецирующие лучи выходят из одной точки, а при параллельном проецировании - параллельны между собой.

В зависимости от направления проецирующих лучей параллельное проецирование может быть косоугольным, когда проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Рассмотрим пример косоугольного параллельного проецирования.

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Аналогично можно построить параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1.

Нажмите на картинку для просмотра...

Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А, В, C, D, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1, В1, С1, D1 точек A, B, C, D. Соединив параллельные проекции А1, В1, С1, D1 мы получим параллельную проекцию А1В1С1D1 четырёхугольника ABCD.

Свойства проекций при параллельном проецировании:

Первые шесть свойств центрального проецирования справедливы и для параллельного проецирования. Перечислим ещё несколько свойств присущих параллельному проецированию:

Проекции параллельных прямых параллельны.

Нажмите на картинку для просмотра...

Из рисунка видно, что прямые АА1, ВВ1, СС1 и DD1 образуют две параллельные плоскости a и b. Эти две плоскости пересекаются с П1. Следовательно, линии пересечения их А1В1 и С1D1 будут параллельны.

Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

Нажмите на картинку для просмотра...

Пусть точка С принадлежит отрезку АВ, причем |АС| : |СВ| = 2: 1. Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ. Точка С1 А1В1. Проведём АC" || А1C1 и CB" || C1B1, получим два подобных треугольника АCC" и CBB". Из их подобия следует пропорциональность сторон: |АC| : |СВ| = |AC"| : |CB"|, но |CB"| = |С1В1|, а |AC"| = |А1C1|, отсюда |АC| : |СВ| = |А1С1| : |C1B1|.

Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Нажмите на картинку для просмотра...

Возьмём треугольник АВС и спроецируем его на две параллельные плоскости проекций П1" и П1. Так как длины отрезков равны |А1 А1"| = |В1 В1"| = |С1 С1"| и отрезки параллельны, то четырёхугольники А1 А1" В1 В1", В1 В1" С1С1", С1 С1"А1А1" являются параллелограммами. Следовательно, противоположные стороны их равны по длине |А1 В1| = |А1" В1"|, |В1 С1| = |В1" С1"|, |А1 С1| = |А1" С1"|, а значит, треугольники равны.

Аналогично, тоже самое можно доказать и для любой другой плоской фигуры. Параллельное проецирование, в отличие от центрального, обладает меньшей наглядностью, но обеспечивает простоту построения и большую взаимосвязь с оригиналом.

Ортогональное проецирование свойства ортогонального проецирования Эпюр Монжа точка в системе двух плоскостей точка в системе трех плоскостей координаты точки

Как уже было сказано выше ортогональное проецирование - это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.

Нажмите на картинку для просмотра...

Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.

Нажмите на картинку для просмотра...

Чтобы получить ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, П1. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся ортогональные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив ортогональные проекции А1 и В1 получим ортогональную проекцию А1В1 отрезка АВ.

Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.

Свойства ортогонального проецирования:

Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Нажмите на картинку для просмотра...

Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А1В1 на плоскость П1. Если провести прямую АС || А1В1, то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А1В1| : cos a, т. к. |А1В1| = |АС|.

Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла: Теорема:

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Нажмите на картинку для просмотра... Доказательство:

Дан прямой угол АВС, у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П1. По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ1. Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1), т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В1С1 || ВС, поэтому тоже к плоскости b, т. е. и прямой А1В1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А1В1 и В1С1 равен 90°, что и требовалось доказать.

Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.

Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.

Эпюр Монжа или ортогональные проекции.

Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.

Аксонометрический чертеж.

Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.

Перспективный чертеж.

При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.

Проекции с числовыми отметками и др.

Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.

Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.

Ортогональные проекции отрезка прямой общего положения прямые уровня и их проекции. Проецирующие прямые и их проекции примеры построения горизонтали, фронтали.

Прямая частного положения (или прямая уровня) - прямая, параллельная хотя бы одной из плоскостей проекций.

1. Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью - h. На горизонтальную плоскость проекций горизонталь проецируется в натуральную величину.

2. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронталью - v. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется в натуральную величину.

3. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой - w. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину.

Прямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка. Эта проекция называется главной или вырожденной. Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими.

1. Горизонтально проецирующая прямая - прямая горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции || оси z.

2. Фронтально проецирующая прямая - прямая фронтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции || оси y.

3. Профильно проецирующая прямая - прямая профильной плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции || оси x.

Следы прямой примеры определения следов прямой общего положения прямых уровня

Следы прямой

След прямой – это точка пересечения ее с некоторой плоскостью или поверхностью (рис. 20).

Горизонтальным следом прямой называется некоторая точка H, в которой прямая встречается с горизонтальной плоскостью, а фронтальным – точка V, в которой данная прямая встречается с фронтальной плоскостью (рис. 20).

На рисунке 21а изображен горизонтальный след прямой, а ее фронтальный след, – на рисунке 21б.

Иногда также рассматривается профильный след прямой, W – точка пересечения прямой с профильной плоскостью.

Горизонтальный след находится в горизонтальной плоскости, т. е. его горизонтальная проекция h совпадает с этим следом, а фронтальная h́ лежит на оси х. Фронтальный след лежит во фронтальной плоскости, поэтому его фронтальная проекция ν́ совпадает с ним же, а горизонтальная v лежит на оси х.

Итак, H = h, и V = ν́. Следовательно, для обозначения следов прямой можно применять буквы h и ν́.

Взаимное расположение точки и прямой взаимное расположение точки и плоскости пример определения недостающей проекции точки лежащей в заданной плоскости треугольника

1.8.3. Взаимное расположение точек и прямой

Точка может либо лежать на прямой, либо быть вне ее. Если

точка находится на прямой, то в соответствии со свойством принад-

лежности (см. 3.3) ее проекции должны лежать на одноименных

проекциях прямой.

Если же точка находится вне прямой, то хотя бы одна из проек-

ций точки не будет лежать на одноименной проекции прямой (рису-

нок 29, точки В, С, D).

На рисунке 29 видно, что точка В нахо-

l дится над прямой l, т.к. она расположена

выше, чем горизонтально конкурирующая с

ней и лежащая на прямой точка помечен-

ная крестиком. Здесь же видно, что точка С

расположена за прямой l, поскольку она на-

фронтально конкурирующая с ней точка от-

l меченная крестиком. О точке D можно ска-

зать, что она находится ближе и ниже пря-

мой l, т.к. она ближе и ниже точки лежащей

Рисунок 29

на прямой (отмечена крестиком).

Для определения положения точки относительно профильной

Таким образом:

определение взаимного положения точки и прямой сво-

дится к определению взаимного положения двух точек.

§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой пря-

мой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая m || Sum, так как она параллельна прямой l, принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

Взаимное расположение двух прямых примеры определения расстояния между параллельными прямыми скрещивающимися прямыми способом замены плоскостей проекций

Теорема о проекции прямого угла проведение перпендикуляра к горизонтали фронтали пример построения из заданной точки перпендикуляра к плоскости

Решение многих метрических задач требует применения перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на свойства прямоугольного проецирования прямого угла.

Прямой угол проецируется без искажения если обе стороны параллельны плоскости проекций. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекции.

Теорему о проецировании прямого угла мы рассматривали при изучении свойств ортогонального проецирования. Напомним эту теорему.

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину. Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.

Способы задания плоскости на чертеже взаимное расположение плоскостей признак параллельности двух плоскостей пример построения через заданную точку плоскости, параллельной заданной плоскости а

Различные способы задания плоскости на чертеже

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, б) прямой и точкой, взятой вне прямой, в) двумя пересекающимися прямыми, г) двумя параллельными прямыми.

В соответствии с этим на чертеже плоскость может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рис. 97), б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рис. 98), в) проекциями двух пересекающихся прямых (рис. 99), г) проекциями двух параллельных прямых (рис. 100).

Каждое из представленных на рис. 97- 100 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 97) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 98; от него мы можем перейти к рис. 100, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.

Плоскость может быть задана на чертеже и проекциями любой плоской фигуры (треугольника, квадрата, круга и т. д.). Пусть некоторая пл. а определена точками А, В и С (рис. 101). Проведя прямые линии через одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D, взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит пл. а; проводя прямую через точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл. а (например, через точку С), получаем еще одну прямую в пл. О!,

Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки, принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов.

В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются между собой.

Проекции плоскостей частного положения (плоскостейуровня, проецирующих плоскостей) взаимное расположение плоскостей признак перпендикулярности двух плоскостей пример построения через заданную точку плоскости б, перпендикулярной заданной плоскости а

2.5.2 Ортогональный чертеж плоскости частного положения

Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью. Существует три вида проецирующих плоскостей: 1. Горизонтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П1. И поэтому проецируется на нее как прямая.

2. Фронтально-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П2. И поэтому проецируется на нее как прямая.

3. Профильно-проецирующая плоскость - перпендикулярна к П3. И поэтому проецируется на нее как прямая. На обычном ортогональном чертеже, когда плоскость П3 не используется, профильно-проецирующая плоскость выглядит как плоскость общего положения.

Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня: 1. Горизонтальная плоскость уровня - || П1.

2. Фронтальная плоскость уровня - || П2.

3. Профильная плоскость уровня - || П3.

Adele - Someone Like You

That you"re settled down

That your dreams came true.

Guess she gave you things

I didn"t give to you

Why are you so shy?

Ain"t like you to hold back

Or hide from the light

That for me it isn"t over

I"ll find someone like you

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead."

Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead,

It was the time of our lives

We were born and raised

In a summer haze

Bound by the surprise

Of our glory days

I hate to turn up out of the blue uninvited

But I couldn"t stay away, I couldn"t fight it.

I had hoped you"d see my face and that you"d be reminded

That for me it isn"t over, yeah.

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you too

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

Nothing compares

No worries or cares

Regrets and mistakes

And memories made.

Who would have known

This would taste?

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you too

Don"t forget me I beg

I remember you said,

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead"

I"ll find someone like you

I wish nothing but the best for you, too

Don"t forget me I beg

I remember you said

"Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead"

Sometimes it lasts in love

But sometimes it hurts instead

Слова песни Adele - Someone Like You

В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемых в техническом черчении, лежит метод проекции . Изучение начинают с построения проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

В книге приняты следующие обозначения:

Центральные проекции и их основные свойства

При центральном проецировании – построении центральных проекций – задают плоскость проекций и центр проецирования – точку, не лежащую в плоскости проекций. На рис. 1.1 плоскость я – плоскость проекций, точка S – центр проецирования.

Для проецирования произвольной точки через нее и центр проецирования проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.

На рис. 1.1 центральной проекцией точки А является точка пересечения прямой SA с плоскостью к. Также построены центральные проекции точек В, С, D на плоскости .

Прямые, проходящие через центр проецирования и проецируемые точки, называют проецирующими прямыми.

Центральные проекции и двух различных точек 5и Св пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих од-

ной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.

Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве, т. е. нет обратимости чертежа.

Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например можно задать второй центр проецирования. Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек. При этом проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 1.2) или могут оказаться в одной плоскости как, например, в случае, показанном на рис. 1.4.

Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рис. 1.2 проецирующая коническая поверхность β пересекается с плоскостью проекций я по кривой А°В°, являющейся проекцией линии АВ. Однако проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности может быть бесчисленное количество линий, проецирующихся в одну и те жу линию на плоскости проекций (рис. 1.3).

При проецировании прямой линии, не проходящей через центр проецирования, проецирующей поверхностью служит плоскость. Так, на рис. 1.4 проецирующая плоскость γ, образуемая проецирующими прямыми SC и SD, проходящими через точки С и D прямой, пе-

ресекает плоскость проекций л по прямой С °D °, которая и является проекцией прямой CD. Соответственно проекция М° точки М прямой CD принадлежит и проекции C°D°.

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций п проекции треугольника АВС (рис. 1.5) достаточно построить проекции А°, В°, С° трех его точек – вершин А, В, С.

Обобщая, отметим следующие свойства центрального проецирования.

• 1. При центральном проецировании:
  • а) точка проецируется точкой;
  • б) прямая, не проходящая через центр проецирования, проецируется прямой (проецирующая прямая – точкой);
  • в) плоская (двумерная) фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется двумерной фигурой (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются вместе с ней в виде прямой);
  • г) трехмерная фигура отображается двумерной.
• 2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.
• 3. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.
• 4. Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением, например изображения на киноэкране, фотопленке.

Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны.

• От латинского projectio – бросание вперед, вдаль (отprojicere – бросить, выставить вперед).

Аэроснимки с каждым годом находят все большее применение в лесном деле не только как материал для изучения, описания и измерения изображенных на них объектов лесной территории, но и как основа для составления планов, карт лесов и для решения лесохозяйственных и лесоинженерных задач. Правильное решение указанных задач по результатам измерений на аэроснимках возможно только при знании их свойств и зависимостей между объектами и их изображением на аэроснимках. Поэтому необходимо установить, что же представляет собой аэроснимок с геометрической точки зрения и каковы основные его измерительные свойства.
Аэроснимок является центральной проекцией или перспективой сфотографированной местности.
Центральной проекцией называется изображение различных объектов местности, в том числе древостоев, полученное путем проектирования их на плоскость (картинную плоскость) лучами, проходящими через одну определенную точку, называемую центром проекции.
При аэрофотосъемке центром проекции является узловая точка объектива аэрофотоаппарата, а картинной плоскостью- плоскость аэронегатива. Вид такой проекции приведен на рис. 34, где S - центр проекции (узловая точка объектива аэрофотоаппарата), ASа, BSb, ОSо и т. д. - проектирующие лучи. Совокупность проектирующих лучей называется связкой проектирующих лучей или просто связкой лучей, T - поверхность Земли, принимаемая за предметную плоскость, рр - плоскость фотоизображения - картинная плоскость, оSO - оптическая ось аэрофотоаппарата - главный проектирующий луч, перпендикулярный картинной плоскости, оS - главное (фокусное) расстояние аэрофотоаппарата, о - главная точка аэроснимка (главная точка перспективы).
Положение главной точки о определяется точкой пересечения прямых, проведенных через координатные метки аэроснимка (рис. 35).

Рассматриваемые вопросы:

• 1. Понятие о проецировании
• 4. Метод Монжа
• 5. Аксонометрическая проекция

Понятие о проецировании. Изображения предметов на чертежах получают проецированием. Проецирование есть процесс построения изображения предмета на плоскости при помощи проецирующих лучей. В результате этого процесса получается изображение, называемое проекцией .

Слово «проекция» в переводе с латинского означает бросание вперед, вдаль. Проекцию можно наблюдать, рассматривая тень, отбрасываемую предметом на поверхность стены при освещении этого предмета источником света. компьютерный графика проецирование эскизирование

Под проецированием подразумевается процесс, в результате которого получаются изображения (проекции на плоскости), т.е. когда через характерные точки фигуры проводятся лучи до пересечения их с плоскостью, и полученные точки от пересечения лучей с плоскостью соединяют прямыми или кривыми линиями соответствующим образом.

Центральное (коническое) проецирование. В пространстве будет плоскость П1, назовем ее плоскостью проекции или картинной плоскостью. Возьмем какую-либо точку S, не принадлежащую плоскости проекции П1. Назовем ее центром проекции (Рис. 19).

Чтобы спроецировать фигуру АВС, называемую оригиналом, надо провести из точки S через точки А, В, С прямые, называемые проецирующими лучами, до пересечения их с плоскостью П1 в точках А1, В1, С1. Соединив их последовательно прямыми линиями, получим фигуру А1В1С1. Это будет центральная проекция А1В1С1 данной фигуры АВС на плоскость проекции П1.

Рис.19.

Параллельное (цилиндрическое) проецирование. При параллельном проецировании, как и в случае центрального проецирования, берут плоскость проекций П1, а вместо центра проекций S задают направление проецирования.

Задаем направление проецирования S не параллельно плоскости П1, считая, что точка S - центр проецирования - удалена в бесконечность. Оригинал проецирования та же фигура АВС, расположенная в пространстве. Чтобы спроецировать фигуру АВС, проводим через точки А, В, С параллельно направлению проецирования S проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекцией П1 в точках А1,В1,С1. Точки А1,В1,С1 соединим прямыми линями, получим фигуры А1В1С1; это будет параллельная проекция фигуры АВС на плоскость П1. Таков процесс параллельного проецирования (Рис. 20).

Рис.20.

Если оригиналом является прямая линия, то все проецирующие лучи точек этой прямой будут располагаться в одной плоскости, называемой проецирующей плоскостью.

Плоскость Р, проходящая через проецирующие прямые ВВ1 и СС1, пересекает плоскость проекции П1 по прямой. Эту прямую можно рассматривать как проекцию прямой, заданной точками В и С. В зависимости от направления проецирования S к плоскости проекций параллельное проецирование разделяют на прямоугольные (ортогональные) и косоугольные проецирование (Рис. 21).

Рис.21 Прямоугольное и косоугольное проецирование

Прямоугольное проецирование , когда направление проецирования S с плоскостью проекций составляет прямой угол (Рис. 21а).

Косоугольное проецирование , когда направление проецирования составляет с плоскостью проекции угол меньше 90 ?(Рис. 21б).

Метод Монжа . Сведения и приемы построений, обусловливаемые потребностью в плоских изображениях пространственных форм, накапливались постепенно еще с древних времен. В течение продолжительного периода плоские изображения выполнялись преимущественно как изображения наглядные. С развитием техники первостепенное значение приобрел вопрос о применении метода, обеспечивающего точность и удобоизмеримость изображений, т. е. возможность точно установить место каждой точки изображения относительно других точек или плоскостей и путем простых приемов определить размеры отрезков линий и фигур. Постепенно накопившиеся отдельные правила и приемы построений таких изображений были приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г.

Прямоугольное проецирование есть частный случай параллельного проецирования. Метод ортогональных проекций называют методом Монжа . Этот метод является наиболее распространенным при составлении технических чертежей. Он не дает наглядности изображения, но зато является простым и удобным при выполнении чертежа и дает высокую точность. Метод Монжа - это прямоугольная параллельная проекция на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Такой комплекс двух связанных между собой ортогональных проекций выявляет положение проецируемого предмета в пространстве. Изложенный Монжем метод обеспечивает выразительность, точность и удобоизмеримость изображений предметов на плоскости, был и остается основным методом составления технических чертежей (рисунок 22).

Слово прямоугольный часто заменяют словом ортогональный, образованным из слов древнегреческого языка, обозначающих «прямой» и «угол». В дальнейшем изложении термин ортогональные проекции будет применяться для обозначения системы прямоугольных проекций на взаимно перпендикулярных плоскостях. На рисунке 22 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой П1, расположена горизонтально; другая, обозначенная буквой П2, -- вертикально. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций, плоскость П1 называют горизонтальной плоскостью проекций . Плоскости проекций П1, и П2 образуют систему П1, П2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций . Ось проекций разделяет каждую из плоскостей П1, и П2 на полуплоскости. Для этой оси будем применять обозначение х или обозначение в виде дроби П2 / П1.

Рис.22.

Аксонометрическая проекция . Если предмет с отнесенными к нему осями прямоугольных координат расположить перед плоскостью проекций и проецировать параллельными лучами на одну плоскость, которую в этом случае называют картинной, то получают аксонометрическую проекцию.

На рис. 23 показаны куб, отнесенные к нему оси прямоугольных координат х0,у0,z0, плоскость проекций Р и аксонометрическое изображение куба.

Рис.23. Образование аксонометрических проекций: а и б - фронтальной диметрической; в и г - изометрической

Аксонометрия - слово греческое, в переводе означает измерение по осям. При построении аксонометрических проекций размеры откладывают вдоль осей х,у,z.

Аксонометрические проекции достаточно наглядны, поэтому в ряде случаев они применяются для пояснения прямоугольных проекций сложных машин и механизмов и их отдельных деталей. При аксонометрическом проецировании фигура связывается с пространственной системой координатных осей, затем эту фигуру с осями координат проецируют на одну плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций.

Аксонометрические проекции, полученные прямоугольным проецированием фигуры с координатными осями, называют прямоугольными, а полученные при косоугольном проецировании - косоугольными.

Плоскостью проекций называют плоскость, на которой получают проекцию предмета.