Краткая историческая справка. Приведенные квадратные уравнения

«Как решать неполные квадратные уравнения» - Навыки решения. Кострома. Ярославль. Ладыженская Ольга Александровна. Стеклов Владимир Андреевич. Решим уравнение. Равенство. Устная работа. Казань. Объект движения. Криптографическая таблица. Нижний Новгород. Ляпунов Александр Михайлович. Решение неполных квадратных уравнений. Скорость. Автобус. Задачи на движение.

«Математика «Квадратные уравнения»» - е) При каком значении а уравнение имеет один корень? Решение квадратных уравнений. Устно решите квадратное уравнение. Решите уравнение с буквенными коэффициентами. Старайся дать уму как можно больше пищи. Цель: научиться видеть рациональный способ решения квадратных уравнений. М.В. Ломоносов. Выполнение упражнений.

«Франсуа Виет и его теорема» - Два многочлена тождественно равны. Математическое учение. Математические открытия. Формулы Виета. Франсуа Виет. Преподаватели. Выяснить из различных источников кто такой Франсуа Виет. Дискриминант. Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени. Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений.

«Нахождение корней квадратного уравнения» - Уравнение корней не имеет. Неполные квадратные уравнения. Свойства коэффициентов уравнения. Решение уравнений по формуле. Решение неполных квадратных уравнений. Определение количества корней квадратного уравнения. Нахождение корней неполных квадратных уравнений. Нахождение дискриминанта. Способы решения квадратных уравнений.

«Решение уравнений с квадратным корнем» - Приложение. Рисунок. Решение уравнения способом «переброски». Графическое решение квадратных уравнений. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Разложение на множители. Метод выделения полного квадрата. Уравнение. Коэффициент. Сумма коэффициентов. Способы решения квадратных уравнений. Свободный член.

«Решение неполных квадратных уравнений» - Решение поставленной задачи. Накопление фактов. Распределите данные уравнения на 4 группы. Взаимопроверка. Первичное осмысление и применение изученного материала. Тема урока. Считай несчастным тот день или час, в который ты не усвоил ничего. Решение неполных квадратных уравнений. Вопрос. Постановка учебной задачи.

Всего в теме 34 презентации

Теорема Виета

Творческая работа ученика 8 класса

МОУ «Новокиевская ООШ»

Луканина Кирилла

Руководитель: Крыжановская В.И.

I Введение. Историческая справка.

II Основная часть

1. 
   Страницы из биографии Ф. Виета
2. 
   Научная деятельность:

Б) обратная теорема

1. 
   Примеры решения уравнений
2. 
   Практическая работа
3. 
   Некоторые особые случаи решения уравнений

III Заключение. Теорема Виета в стихах

IV Используемая литература
По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Историческая справка

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет.

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.

В 1951 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, а также его свойства.

Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.

Начало формы

Конец формы

Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при жизни Виета. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство » (), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью.

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Вирта было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским математиком ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г. Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно».

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
Работы по математике писал чрезвычайно трудным языком, поэтому они не получили распространения. Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Лейдене Ф. Шоотеном. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с методом, позднее разработанным И. Ньютоном. Достижения Виета в тригонометрии - полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.

Научная деятельность

Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.

Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры , для которых он придумал термин «коэффициенты » (буквально: содействующие ). Виет использовал для этого только заглавные буквы - гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование - например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.

Другие заслуги Виета:

• 
  знаменитые «формулы Виета » для коэффициентов многочлена как функций его корней ;
• 
  новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения , применимый также для трисекции угла;
• 
  первый пример бесконечного произведения:

• 
  полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;
• 
  идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;
• 
  оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.

Формулы Виета

Формулировка

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

Иначе говоря (− 1) k a k равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a 0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формула Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство

Где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители .

После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 равна коэффициенту p , взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q :

В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0):

Практическая работа по алгебре в 8 классе.

Тема: “Теорема Виета”

Цель: установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Объект исследования: квадратное уравнение и его корни.

Знания, умения и навыки, необходимые для выполнения работы:

(т.е. то, что нужно вспомнить и повторить, прежде чем предлагать учащимся данную работу):

• 
  понятие полного квадратного уравнения;
• 
  умение записать квадратный трехчлен в общем виде;
• 
  алгоритм решения квадратного уравнения (как полного, так и приведенного);
• 
  умение записать общую формулу корней квадратного уравнения (полного и приведенного).

Приведенные квадратные уравнения.

1.1. Решите уравнения:

А) х 2 + 4х + 3 = 0;

Б) х 2 – 10х – 24 = 0.

1.2. Заполните таблицу:

1.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами.

1.4. Гипотеза: какую связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.

1.5. Проверка гипотезы: запишите приведенное квадратное уравнение в общем виде (х 2 + рх + q = 0).

1.6. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.

(Х 1 = ; X 2 = )

1.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.

1.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.

1.9. Сделайте вывод

Дополнительный вопрос.

Проверь свои выводы, решив уравнение: х 2 – 12х + 36 = 0.

2. Полные квадратные уравнения.

2.1. Решите уравнения:

А) 6 х 2 – 5х – 1 = 0;

Б) 5 х 2 + 9х + 4 = 0.

2.1. Заполните таблицу:

2.4. Гипотеза: какую связь между корнями полного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.

2.5. Проверка гипотезы: запишите полное квадратное уравнение в общем виде

(ах 2 + bх + с = 0).

2.6. Запишите общую формулу корней полного квадратного уравнения.

(Х 1 =; X 2 = )

2.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.

2.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.

2.9. Сделайте вывод : сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь.

(Полученное утверждение называется теоремой Виета)

Дополнительный вопрос.

Проверь свои выводы, решив уравнение: -2х 2 + 8х + 3 = 0.

Дополнительное задание.

Найдите сумму и произведение корней следующих квадратных уравнений:

А) х 2 – 5х + 6 = 0;

Б) 3х 2 – 4х – 2 = 0;

В) х 2 – 6х + 24 = 0;

Г) 6х 2 – 5х = 0.

2. Проверьте с помощью теоремы Виета: верно ли найдены корни квадратного уравнения.

Найдите с помощью теоремы, обратной теореме Виета корни квадратного уравнения:

А) х 2 + 11х – 12 = 0; б) 2 х 2 + 9х + 8 = 0; в) -3х 2 – 6х = 0; г) х 2 – 6 = 0.

Особые случаи решения квадратных уравнений

ax 2 +bx + c = 0

1. если a+b+c =0, то х 1 = 1, х 2 =

2. если a-b+c =0, (или а+с=b), то х 1 = -1, х 2 = -

Например: 3х 2 + 5х – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 х 1 = 1 х 2 =

Х 2 + 2х + 3 = 0 -1 +3 = 2 х 1 = -1 х 2 = = 3

Реши устно:

3х 2 – 2х – 1 = 0 3х 2 – 5х – 8 = 0

Х 2 – 3х + 2 = 0 4х 2 + 7х + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q .

• 
  Из «Радионяни » (другой вариант):

А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q - и вот решенья,
то есть корни уравненья.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь эта, что за беда

В числителе в, в знаменателе а.
Используемая литература:

1. 
   Энциклопедический словарь юного математика.

1. 
   Математика. Справочные материалы. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович. М. «Просвещение» 1986
2. 
   История математики в школе. Г.И.Глейзер

1. 
   Алгебра 8кл. под редакцией С.А.Теляковского

Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт. По образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. был советником королей Георга III и Георга IV. Но все свое свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды как древних, так и современных ему математиков.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство». Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и альмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства».

Действительно, все мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения. Для их решения имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Виет ввел в алгебру буквенную символику. После нововведения Виета стало возможным записывать правила в виде формул. Правда, у Виета показатели степеней ещё обозначались словами, и это создавало определенные трудности в решении некоторых задач. Во времена Виета был ещё ограничен запас чисел. Франсуа Виет очень подробно изложил в своих трудах теорию решения уравнений с первой по четвертую степень.

Большой заслугой Виета было открытие зависимости между корнями и коэффициентами уравнений приведенного вида произвольной натуральной степени. Нам хорошо известна знаменитая теорема Виета для приведенного квадратного уравнения: «сумма корней квадратного уравнения приведенного вида равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней этого уравнения равно свободному члену». Эта теорема позволяет устно проверять правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях находить и корни уравнений.

Отметим также, что Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа π.

Умер Виет в возрасте 63 лет в 1603 г.

Теорема Виета.

Сумма корней квадратного трехчлена x2 + px + q равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q.

Доказательство.

Пусть x1 и x2 – различные корни квадратного трехчлена x2 + px + q. Теорема Виета утверждает, что имеют место следующие соотношения: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Для доказательства подставим каждый из корней в выражение для квадратного трехчлена. Получим два верных числовых равенства: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Вычтем эти равенства друг из друга. Получим x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0

Разложим разность квадратов и одновременно перенесем второе слагаемое в правую часть:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Так как по условию корни x1 и x2 различны, то x1 – x2 ≠ 0 и мы можем разделить равенство на x1 – x2. Получим первое равенство теоремы: x1 + x2 = –p

Для доказательства второго подставим в одно из написанных выше равенств (например, в первое) вместо коэффициента p, равное ему число – (x1 + x2): x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Преобразуя левую часть, получаем: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, что и требовалось доказать.

В случае неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Теорема, обратная теореме Виета.

Если выполняются равенства x1+x2 = и x1x2 = , то числа x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Доказательство.

Из равенства x1+x2 = и x1x2 = следует, что x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2.

Но x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) и поэтому x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Отсюда следует, что x1 и x2 – корни уравнения x2 + x + = 0, а поэтому и уравнения ax2 + bx + c = 0.

Применение теоремы Виета.

Теорема Виета применяется в 8-м классе для подбора корней квадратных уравнений. Можно расширить рамки использования этой теоремы, например, для решения систем уравнений в 9-11-х классах и решения задач, связанных с исследованием квадратных уравнений и их корней. Это сокращает время и упрощает решение системы.

Решить систему уравнений:

Если допустить, что x и y-корни некоторого квадратного уравнения, сумма корней которого равна 5, а их произведение равно 6, то получим совокупность двух систем

Ответ: (2;3), (3;2).

Учащиеся довольно быстро осваивают этот способ решения и с удовольствием используют его. Далее можно усложнять системы и использовать этот прием при изучении различных тем в 10-11-х классах.

Решить систему уравнений:

При условии x > 0 y > 0 получаем

Пусть и - корни некоторого приведенного квадратного уравнения, тогда данная система равносильна совокупности двух систем

Вторая система совокупности не имеет решения, решением первой является пара x=9,y=4.

Ответ: (9;4).

Ниже приведены системы уравнений, решаемые с помощью теоремы Виета.

Ответ: (65;3),(5;63).

Ответ: (23;11),(7;27).

Ответ: (4;729),(81;4096).

Ответ: (2;2).

5. x + y =12 Ответ: (8;4),(4;8).

Ответ: (9;4),(4;9).

Аналогичные системы уравнений можно составить самому учителю или подключить к этому учащихся, что способствует развитию интереса к предмету.

Задания для устного решения.

Не решая квадратные уравнения, найдите их корни.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Ответ: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Ответ: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Ответ: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Ответ: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Ответ: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Ответ: -2,5;-1.

Рассмотрим задачи, при решении которых используется теорема Виета.

Не решая уравнения 9x²+18x-8=0,найдите x1³+x2³,где x1,x2-его корни.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1)Дискриминант больше нуля, D>0,значит x1,x2-действительные корни.

По теореме Виета, следует, что: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3)Преобразуем выражение x1³+x2³: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

В полученную формулу подставим известные нам значения и получим ответ:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

При каком значении k в уравнении 9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

По теореме Виета: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1),получили систему из двух уравнений и подставили вместо x2 2x1.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Сопоставим полученные уравнения:

Решим квадратное уравнение и найдем k:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Ответ: при k1=-1 и k2=2.

Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²+13x-17=0. Составьте уравнение корнями бы которого являлись бы числа 2-x1 и 2-x2.

Рассмотрим уравнение x²+13x-17=0.

1)Дискриминант D>0,значит x1;x2 –действительные корни.

По теореме Виета: x1 +x2 = -13 x1 ·x2 = -17

3)Подставим числа 2-x2 и 2-x2 в данную систему.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2·17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Следовательно, применяя теорему Виета, искомое уравнение x²-17x+13=0.

Ответ: x²-17x+13=0.

Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x2>x1,x1>0,x2

Т. к. x2 x1,следует, что b>0,с

Ответ: b>0,с

6)Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0,x2>0.

По теореме Виета: x1+x2=-b x1∙x2=c

Т. к. x1>0,x2>0,а x2>x1,следует, что b 0.

Задания для самостоятельного решения.

1)Не решая уравнения 2x²-3x-11=0,найдите +,где x1 ;x2 –его корни.

2)Найдите значение выражения +, где x1;x2 –корни трехчлена x²-18x+11=0.

3)Пусть x1;x2 –корни квадратного уравнения x²-7x-46=0.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являлись бы числа

2x1 +x2 и 2x2 +x1.

Ответ: 9x2-21x-481=0

4)При каком целом значении k один из корней уравнения

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 втрое меньше второго?

Ответ: k=2.

5) Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0,какими по знаку будут b и c,если x1 0.

Сегодня достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножил ты корни – и дробь уж готова
В числителе с , в знаменателе а.
И сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта
Что за беда
В числители в , в знаменателе а .
(Из школьного фольклора)

В эпиграфе замечательная теорема Франсуа Виета приведена не совсем точно. В самом деле, мы можем записать квадратное уравнение, которое не имеет корней и записать их сумму и произведение. Например, уравнение х 2 + 2х + 12 = 0 не имеет действительных корней. Но, подойдя формально, мы можем записать их произведение (х 1 · х 2 = 12) и сумму (х 1 + х 2 = -2). Наши стихи будут соответствовать теореме с оговоркой: «если уравнение имеет корни», т.е. D ≥ 0.

Первое практическое применение этой теоремы – составление квадратного уравнения, имеющего заданные корни. Второе: она позволяет устно решать многие квадратные уравнения. На отработку этих навыков, прежде всего и обращается внимание в школьных учебниках.

Мы же здесь будем рассматривать более сложные задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.

Пример 1.

Один из корней уравнения 5х 2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.

Решение.

Пусть второй корень равен х 2 .

Тогда первый корень х1 = 3х 2 .

Согласно теореме Виета сумма корней равна 12/5 = 2,4.

Составим уравнение 3х 2 + х 2 = 2,4.

Отсюда х 2 = 0,6. Следовательно х 1 = 1,8.

Ответ: с = (х 1 · х 2) · а = 0,6 · 1,8 · 5 = 5,4.

Пример 2.

Известно, что х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 – 8х + p = 0, причём 3х 1 + 4х 2 = 29. Найдите p.

Решение.

Согласно теореме Виета х 1 + х 2 = 8, а по условию 3х 1 + 4х 2 = 29.

Решив систему из этих двух уравнений найдём значение х 1 = 3, х 2 = 5.

А следовательно p = 15.

Ответ: p = 15.

Пример 3.

Не вычисляя корней уравнения 3х 2 + 8 х – 1 = 0, найдите х 1 4 + х 2 4

Решение.

Заметим, что по теореме Виета х 1 + х 2 = -8/3 и х 1 · х 2 = -1/3 и преобразуем выражение

а) х 1 4 + х 2 4 = (х 1 2 + х 2 2) 2 – 2х 1 2 х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) 2 – 2(х 1 х 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

Ответ: 4898/9.

Пример 4.

При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения
2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению.

Решение.

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами (а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х 1 >х 2 и получим х 1 + х 2 = (а + 1)/2 и х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х 1 – х 2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно. Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х 1 = а/2, х 2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х 1 · х 2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 5.

Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней уравнения
х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение.

Прежде всего, приведем уравнение к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0. Оно будет иметь корни, если D/4 ≥ 0. Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0. А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х 1 + х 2 = 2а, х 1 · х 2 = 2а – 1. Посчитаем

х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 . Или после подстановки х 1 2 + х 2 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2. Осталось составить равенство которое соответствует условию задачи: х 1 + х 2 = х 1 2 + х 2 2 . Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное уравнение имеет 2 корня: а 1 = 1 и а 2 = 1/2. Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 6.

Найти зависимость между коэффициентами уравнения ах 2 + вх + с = 0 если сумма кубов его корней равна произведению квадратов этих корней.

Решение.

Будем исходить из того, что данное уравнение имеет корни и, поэтому, к нему можно применить теорему Виета.

Тогда условие задачи запишется так: х 1 3 + х 2 3 = х 1 2 · х 2 2 . Или: (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2) = (х 1 х 2) 2 .

Необходимо преобразовать второй множитель. х 1 2 – х 1 · х 2 + х 2 2 = ((х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2) – х 1 х 2 .

Получим (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2) = (х 1 х 2) 2 . Осталось заменить суммы и произведения корней через коэффициенты.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 · c/a) = (c/a) 2 . Это выражение легко преобразуется к виду b(3ac – b 2)/a = c 2 . Соотношение найдено.

Замечание. Следует учесть, что полученное соотношение имеет смысл рассматривать лишь после того, как выполнится другое: D ≥ 0.

Пример 7.

Найдите значение переменной а, для которого сумма квадратов корней уравнения х 2 + 2ах + 3а 2 – 6а – 2 = 0 есть величина наибольшая.

Решение.

Если у этого уравнения есть корни х 1 и х 2 , то их сумма х 1 + х 2 = -2а, а произведение х 1 · х 2 = 3а 2 – 6а – 2.

Вычисляем х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 · х 2 = (-2а) 2 – 2(3а 2 – 6а – 2) = -2а 2 + 12а + 4 = -2(а – 3) 2 + 22.

Теперь очевидно, что это выражение принимает наибольшее значение при а = 3.

Остается проверить, в самом ли деле у исходного квадратного уравнения существуют корни при а = 3. Проверяем подстановкой и получаем: х 2 + 6х + 7 = 0 и для него D = 36 – 28 > 0.

Следовательно, ответ: при а = 3.

Пример 8.

Уравнение 2х 2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х 1 и х 2 . Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х 1 = 1/х 1 и Х 2 = 1/х 2 . (*)

Решение.

Очевидно, что х 1 + х 2 = 7/2 и х 1 · х 2 = -3/2. Составим второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0. Для этого используем утверждение, обратное теореме Виета. Получим: р = -(Х 1 + Х 2) и q = Х 1 · Х 2 .

Выполнив подстановку в эти формулы, исходя из (*), тогда: р = -(х 1 + х 2)/(х 1 · х 2) = 7/3 и q = 1/(х 1 · х 2) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0. Теперь легко посчитаем утроенную сумму его коэффициентов:

3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Ответ получен.

Остались вопросы? Не знаете, как использовать теорему Виета?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.