Криволинейный интеграл 1 го рода. Задача о работе силы

Спектральный состав излучения определяется цветовой температурой (ТцВ) источника света, которая выражается в градусах Кельвина. Так, Тцв ЛН составляет 2800-3600 К, при этом излучается преимущественно оранжево-красная часть спектра. Эти лампы превращают в световой поток лишь 5 % (до 18,6 %) потребляемой энергии, испускают непрерывный поток излучения и имеют срок службы 1000 ч(ГОСТ2239-79).[ ...]

Спектральный анализ - физический метод качественного и количественного определения атомного и молекулярного состава вещества, основанный на исследовании его спектров . Физическая основа спектрального анализа - спектроскопия атомов и молекул, его классифицируют по целям анализа и типам спектров . Атомный спектральный анализ определяет элементный состав образца по атомным (ионным) спектрам испускания и поглощения, молекулярный спектральный анализ - молекулярный состав вещества по молекулярным спектрам поглощения, люминесценции и комбинационного рассеяния света .[ ...]

Интенсивность света и его спектральный состав - мощный бо-танико-географический экологический фактор. Широтные различия в интенсивности и спектральном составе радиации во многом определили особенности формирования типов растительности, характерных для тундр, тайги, степей и других географических зон земного шара. Световой режим, сложившийся в том или ином регионе, выполняет роль фактора естественного отбора растений. Поэтому в одних местообитаниях преобладают светолюбивые растения (гелиофиты), в других - тенелюбивые, теневыносливые (сциофиты).[ ...]

Остается еще исследовать спектральный состав света, рассеиваемого крупными частицами.[ ...]

Существенное влияние оказал спектральный состав света и на подземную часть растений. Как видно из табл. 31 и рис. 242, внесение кииетина в культуральную среду в условиях синего света заметно стимулировало клубиеобразоваиие. При освещении же красным светом стимулирующий эффект кшхетппа не проявился (на коротком дне) или же был выражен значительно слабее (на длинном дне). Зависимость морфогенетического действия ИУК от спектрального состава света оказалась прямо противоположной той, которая выявилась в случае кииетина. Особенно ясно стимулирующее влияние ИУК в комбинации с освещением красным светом обнаружилось в условиях длинного дня.[ ...]

Лампы накаливания генерируют свет по принципу теплового нагрева. Видимое излучение в них возникает в результате нагревания нити накала до температуры свечения, от которой и зависит спектральный состав излучения.[ ...]

Согласно существующим представлениям, спектральный состав света наряду с влиянием на устьичный аппарат оказывает сильное воздействие на чувствительность растительности к атмосферным загрязнениям, особенно с учетом влияния солнечной радиации на различные светозависимые физиологические процессы. Из результатов наблюдений на загрязненных территориях и в фумигационных камерах стало известно, что высокая интенсивность освещения не только во время, но и после газации может усиливать реакции растений на загрязнители воздуха (Stoklasa, 1923; Haselhoff et al., 1932; van Haut, Stratmann, 1970). Например, пребывание при полном солнечном освещении растений сои (Glycine max.[ ...]

На рост и развитие растений влияют внешние факторы: интенсивность и спектральный состав света, продолжительность дня и ночи, температура и влажность воздуха и почвы, органические и минеральные удобрения.[ ...]

В океане интенсивность освещения падает с глубиной. Параллельно изменяется и спектральный состав света: глубже всего проникает его коротковолновая часть - синие и голубые лучи. Освещенность щ мелководье мало отличается от суши, и обитающие здесь рыбы имеют в сетчатке большой процент колбочек, чувствительных к красному цвету. У рыб, обитающих в зеленой воде прибрежной зоны, таких колбочек нет; отсутствуют у них и оранжево-чувствительные клетки. Среди глубоководных рыб большинство имеют в сетчатке лишь один тип палочек, чувствительных к синему цвету.[ ...]

Таким образом, в разных местообитаниях различаются не только интенсивность радиации, но и ее спектральный состав, продолжительность освещения растений, пространственное и временное распределение света разной интенсивности и т. д. Соответственно разнообразны и приспособления организмов к жизни в наземной среде при том или ином световом режиме. Как уже нами было отмечено ранее, по отношению к свету различают три основных группы растений: светолюбивые (гелиофиты), тенелюбивые (сцио-фиты) и теневыносливые. Светолюбивые и тенелюбивые растения различаются положением экологического оптимума (рис. 5.43).[ ...]

Для лучшего понимания процессов крашения и подцветки бумаги необходимо кратко остановиться на природе света и цвета. Солнечный луч света состоит из смеси простых монохроматических цветов, отличающихся длиной волны и коэффициентом преломления. Длина волн лучей видимого спектра лежит в пределах от 380 до примерно 780 нм. За пределами видимой части спектра располагается невидимая его часть. Участки спектра с длиной волны более 780 нм называются инфракрасными, или тепловыми, а участки с длиной волны менее 380 нм называются ультрафиолетовыми (УФ). Эти лучи химически активны и отрицательно влияют на свето-прочность некоторых пигментов и красителей. Световые лучи, исходящие от различных источников света, имеют неодинаковый спектральный состав и поэтому значительно отличаются по цвету.[ ...]

В связи с тем, что лучи разных участков солнечного спектра неодинаково поглощаются водой, с глубиной изменяется и спектральный состав света, ослабляются красные лучи (рис. 5.20). Сине-зеленые лучи проникают на значительные глубины. Сгущающиеся с глубиной сумерки в океане имеют вначале зеленый, затем голубой, синий, сине-фиолетовый цвета, сменяясь в дальнейшем постоянным мраком (рис. 5.21). Соответственно сменяют друг друга с глубиной и живые организмы.[ ...]

В условиях плохой освещенности (в пещерах, в глубинных горизонтах водоемов) в клетках сине-зеленых водорослей изменяется пигментный состав. Это явление, получившее название хроматической адаптации, представляет собой приспособительное изменение окраски водорослей под влиянием изменения спектрального состава света за счет увеличения количества пигментов, имеющих окраску, дополнительную к цвету падающих лучей. Изменения окраски клеток (хлорозы) происходят и в случае недостатка в среде некоторых компонентов, в присутствии токсических веществ, а также при переходе к гетеротрофному типу питания.[ ...]

Изучено разностороннее влияние на результаты дешифрирования таких природных факторов, как структура равнинных и горных ландшафтов, состав и сочетание в нем различных насаждений, структура полога и крон, условий освещения ландшафта прямым и рассеянным светом, спектральных характеристик растений и растительных группировок, сезона аэрофотосъемки, состояния атмосферы, влияющего на смещение деревьев от их раскачивания. Анализировалось многостороннее влияние таких технических условий аэрофотосъемки, как фокусное расстояние и угол изображения фотокамеры, высота фотографирования, величина проекции и разность параллаксов деревьев, масштаб, наклоны камеры и разность высот фотографирования стереопары, тип аэропленки и ее спектральная чувствительность, разрешающая способность и сдвиг изображения, способы получения позитивов и т.д. Такой анализ оказался совершенно необходимым для определения пригодности аэрофотоснимков при решении различных задач изучения лесов. Он нужен также для определения и выбора технических параметров съемки, соответствующих природным условиям региона (Киреев, 1975).[ ...]

Весьма перспективным методом определения концентрации хлорофилла является флюоресцентный метод, суть которого состоит в анализе спектра отраженного сигнала и сравнении площадей спектральных полос флюоресценции хлорофилла и водной среды. Отношение этих величин пропорционально отношению концентраций хлорофилла и молекул воды. На сегодня уже имеется набор данных «спектр возбуждения - спектр флюоресценции», по которым можно судить о возможностях неконтактного контроля хлорофилла по его флюоресценции и, в частности, установлен факт, что вода как таковая собственной флюоресценцией не обладает. Кроме того, по изменениям форм спектра фотолюминесценции при соответствующих изменениях возбуждающей длины волны можно качественно характеризовать состав флюоресцирующего фитопланктона, по свечению в УФ - свете определять соотношение физиологически наиболее активных, ослабленных и неактивных (мертвых) хлорофиллсодержащих клеток.[ ...]

Интенсивность облучения зависит от широты местности и угла падения лучей на поверхность. Поглощательная способность тела зависит от материала, из которого оно выполнено (стали), и от спектрального состава падающего облучения (солнечного света). Поглощенная телом энергия излучается обратно, однако спектральный состав излучения и его энергия уже отличны от падающего излучения.[ ...]

По мере углубления в толщу листового полога тени (зоны пониженной освещенности) становятся все более и более размытыми, потому что из-за рассеяния и переотражения значительная часть световых лучей утрачивает первоначальное направление. Изменен и спектральный состав прошедшего через листовой полог света - он обладает пониженной фотосинтетиче-ской активностью, так как в нем снижена доля ФАР. Изменены, таким образом, свойства света и как ресурса, и как условия.[ ...]

Выражение (30) позволяет для различных районов моря рассчитывать цвет (спектр моря) по данным измерения глубины исчезновения белого диска; при помощи таблиц получают коэффициент рассеяния и для различных длин световых волн задаются значениями коэффициента поглощения. В настоящее время для разных районов Мирового океана при помощи спектрофотометров определен спектральный состав диффузного (внутреннего) света.[ ...]

Кроме объемов водного стока методы ДЗЗ позволяют оценивать и некоторые показатели качества поверхностных вод. Зондирование водных объектов в «тепловом» диапазоне дает возможность локализовать, в частности, места сосредоточенных сбросов. Микроволновое зондирование применяется для обнаружения нефтяных пятен на поверхности внутренних водоемов, заливов морей и океанов. Показатели интенсивности и спектральный состав отраженного от водной поверхности солнечного света может быть индикатором качества воды водоема, поскольку характеристики отраженного света изменяются вместе с изменениями концентраций растворенных и взвешенных веществ, планктона, водорослей. Цвет и температура водоема могут свидетельствовать также о определенном трофическом статусе водного объекта L.[ ...]

Древние микроорганизмы, растения и животные участвовали в создании мощных запасов ископаемых топлив, толщ известняков, фосфоритов, некоторых руд и глинистых пород, содержащих железо, алюминий, марганец и другие металлы. По мнению А.Ю. Розанова (1999), «за редким исключением все осадочные породы в той или иной степени образовались с участием микробов». Биогенная миграция веществ во многом определила формирование ландшафтов и природно-климатических зон. Фотосинтез в растениях обусловил современный состав атмосферы, от которого зависят окислительно-восстановительное равновесие среды, радиационный и тепловой режим на планете, спектральный состав достигающего поверхности Земли солнечного света. Растительный покров существенно определяет водный баланс, распределение влаги и климатические особенности больших пространств. Живые организмы играют ведущую роль в самоочищении воздуха, рек и озер, от них во многом зависит солевой состав природных вод и распределение многих химических веществ между сушей и океаном. Благодаря растениям, животным и микроорганизмам создается почва и поддерживается ее плодородие.

Задача о массе кривой. Пусть в каждой точке кусочно-гладкой материальной кривойL: (AB) задана ее плотность . Определить массу кривой.

Поступим так же, как мы поступали при определении массы плоской области (двойной интеграл) и пространственного тела (тройной интеграл).

1. Организуем разбиение области- дуги Lна элементы – элементарные дугитак, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и
(условие А )

2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M i и вычислим в них значения функции

3. Построим интегральную сумму
, где- длина дуги(обычно вводятся одни и те же обозначения для дуги и ее длины). Это – приблизительное значение массы кривой. Упрощение состоит в том, что мы предположили плотность дуги постоянной на каждом элементе и взяли конечное число элементов.

Переходя к пределу при условии
(условие В ), получим криволинейный интеграл первого рода как предел интегральных сумм:

.

Теорема существования 10 .

Пусть функция
непрерывна на кусочно-гладкой дугеL 11 . Тогда криволинейный интеграл первого рода существует как предел интегральных сумм.

Замечание. Предел этот не зависит от

способа выбора разбиения, лишь бы выполнялось условие А

выбора «отмеченных точек» на элементах разбиения,

способа измельчения разбиения, лишь бы выполнялось условие В

Свойства криволинейного интеграла первого рода.

1. Линейность а) свойство суперпозиции

б) свойство однородности
.

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Так как в интегральной сумме число слагаемых конечно, перейдем к интегральным суммам для правых частей равенств. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность. Если
, то
=
+

Доказательство. Выберем разбиение области Lтак, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементыL 1 , так и элементыL 2 . Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3.
.Здесь – длина дуги .

4. Если на дуге выполнено неравенство, то

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

5. Теорема об оценке.

Если существуют константы
, что, то

Доказательство. Интегрируя неравенство
(свойство 4), получим
. По свойству 1 константы
можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка
, что

Доказательство. Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то существует ее нижняя грань
и верхняя грань
. Выполнено неравенство. Деля обе части наL, получим
. Но число
заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве L, то в некоторой точке
функция должна принимать это значение. Следовательно,
.

На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
2. В каждой части свободно выбрать точку M .
3. Найти значение функции в выбранных точках.
4. Значения функции умножить на
   • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
   • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
5. Найти сумму всех произведений.
6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .

первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.

Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

.

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

.

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

.

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

.

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл

.

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы

,

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода .

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

.

Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле

.

Пример 1.

где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):

Из уравнения прямой выразим y через x :

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

,

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L - часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

, если

а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;

б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":

.

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

.

а в подынтегральные функции подставим

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

,

если L - часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

.

, .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.