Найти производную функции в точке принадлежащей параболе. Связь с градиентом

Алгоритм, представленный на рис.12, называется циклический алгоритм с предусловием , так как условие проверяется в начале цикла или на входе в цикл.> x на входе в цикл. Если условие выполняется, то переход к блоку 4, иначе на блок 6.

В четвёртом блоке вычисляется значение переменной у i = i +1 .

В пятом блоке выводится результат:

· значение переменной у ,

i .

Пример: Составить блок-схему примера (рисунок 12), проверяя условие выхода из цикла. В этом примере условие задачи не меняется, и результат выведется тот же, но блок-схема будет другой.

Решение: В этом случае проверяется условие на выход из цикла: y<=x . При этом условии цикл не выполняется. Условие в блок-схеме следует перенести в конец цикла, после вывода на печать. Цикл выполняется до тех пор, пока выполняется условие y>x .

Алгоритм, если условие перенести в конец цикла, называется алгоритмом цикла с постусловием . Алгоритм этой задачи приводится на рис. 13.

Во втором блоке вводятся y =30 , x =4 .

В третьем блоке вычисляется значение переменной у , подсчитывается количество выполненных циклов i = i +1 .

В четвёртом блоке выводится результат:

· значение переменной у ,

· количество выполненных циклов i .

В пятом блоке проверяется условие y <= x на выход из цикла. Если условие выполняется, то переход к блоку 6, иначе на блок 3 и цикл повторяется.

Рис.13 . Алгоритм цикла с постусловием

Контрольные вопросы

1. Понятие алгоритма.

2. Виды алгоритмов.

3. Основные алгоритмические структуры.

4. Основные блоки графического алгоритма.

5. Линейная алгоритмическая структура. Пример.

6. Ветвление. Пример.

7. Циклические алгоритмические структуры. Пример.

При изучении информатики немало внимания уделяется изучению алгоритмов и их видам. Не зная основных сведений о них, нельзя написать программу или проанализировать ее работу. Изучение алгоритмов начинается еще в школьном курсе информатики. Сегодня мы рассмотрим понятие алгоритма, свойства алгоритма, виды.

Понятие

Алгоритм - это определенная последовательность действий, которая приводит к достижению того или иного результата. Составляя алгоритм, детально прописывают каждое действие исполнителя, которое в дальнейшем приведет его к решению поставленной задачи.

Довольно часто алгоритмы используют в математике для решения тех или иных задач. Так, многим известен алгоритм решения квадратных уравнений с поиском дискриминанта.

Свойства

Прежде чем рассматривать в информатике, необходимо выяснить их основные свойства.

Среди основных свойств алгоритмов необходимо выделить следующие:

• Детерминированность, то есть определенность. Заключается в том, что любой алгоритм предполагает получение определенного результата при заданных исходных.
• Результативность. Означает, что при наличии ряда исходных данных после выполнения ряда шагов будет достигнут определенный, ожидаемый результат.
• Массовость. Написанный единожды алгоритм может использоваться для решения всех задач заданного типа.
• Дискретность. Она подразумевает, что любой алгоритм можно разбить на несколько этапов, каждый из которых имеет свое назначение.

Способы записи

Вне зависимости от того, какие виды алгоритмов в информатике вы рассматриваете, существует несколько способов их записи.

1. Словестный.
2. Формульно-словестный.
3. Графический.
4. Язык алгоритма.

Наиболее часто изображают алгоритм в виде блок-схемы, используя специальные обозначения, зафиксированные ГОСТами.

Основные виды

Выделяют три основных схемы:

1. Линейный алгоритм.
2. Ветвящийся алгоритм, или разветвленный.
3. Циклический.

Линейный

Наиболее простым в информатике считается Он предполагает последовательность выполнения действий. Приведем наиболее простой пример алгоритма такого вида. Назовем его «Сбор в школу».

1. Встаем, когда звенит будильник.

2. Умываемся.

3. Чистим зубы.

4. Делаем зарядку.

5. Одеваемся.

6. Кушаем.

7. Обуваемся и идем в школу.

8. Конец алгоритма.

Разветвляющийся алгоритм

Рассматривая виды алгоритмов в информатике, нельзя не вспомнить о разветвляющейся структуре. Данный вид предполагает наличие условия, при котором в случае его выполнения действия выполняются в одном порядке, а в случае невыполнения - в другом.

Например, возьмем следующую ситуацию - переход дороги пешеходом.

1. Подходим к светофору.

2. Смотрим на сигнал светофора.

3. Он должен быть зеленым (это условие).

4. Если условие выполняется, мы переходим дорогу.

4.1 Если нет - ждем, пока загорится зеленый.

4.2 Переходим дорогу.

5. Конец алгоритма.

Циклический алгоритм

Изучая виды алгоритмов в информатике, детально следует остановиться на Данный алгоритм предполагает участок вычислений или действий, который выполняется до выполнения определенного условия.

Возьмем простой пример. Если ряд чисел от 1 до 100. Нам необходимо найти все то есть те, которые делятся на единицу и себя. Назовем алгоритм «Простые числа».

1. Берем число 1.

2. Проверяем, меньше ли оно 100.

3. Если да, проверяем простое ли это число.

4. Если условие выполняется, записываем его.

5. Берем число 2.

6. Проверяем, меньше ли оно 100.

7. Проверяем, простое ли оно.

…. Берем число 8.

Проверяем, меньше ли оно 100.

Проверяем, простое ли число.

Нет, пропускаем его.

Берем число 9.

Таким образом перебираем все числа, до 100.

Как видите, шаги 1 - 4 будут повторяться некоторое число раз.

Среди циклических выделяют алгоритмы с предусловием, когда условие проверяется в начале цикла, или с постусловием, когда проверка идет в конце цикла.

Другие варианты

Алгоритм может быть и смешанным. Так, он может быть циклическим и разветвленным одновременно. При этом используются разные условия на разных отрезках алгоритма. Такие сложные структуры приеняются при написании сложных программ и игр.

Обозначения в блок-схеме

Мы с вами рассмотрели, какие виды алгоритмов есть в информатике. Но мы не рассказали о том, какие обозначения используются при их графической записи.

1. Начало и конец алгоритма записываются в овальной рамке.
2. Каждая команда фиксируется в прямоугольнике.
3. Условие прописывается в ромбе.
4. Все части алгоритма соединяются при помощи стрелок.

Выводы

Мы с вами рассмотрели тему "Алгоритмы, виды, свойства". Информатика уделяет немало времени изучению алгоритмов. Их используют при написании различных программ как для решения математических задач, так и для создания игр и различного рода приложений.

Производная по направлению

В математическом анализе , производная по направлению - это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента . Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению .

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

где - орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Плита Наска
• Коробков, Дмитрий Сергеевич

Смотреть что такое "Производная по направлению" в других словарях:

производная по направлению - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN directional derivative … Справочник технического переводчика

Производная (обобщения) - У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные … Википедия

Производная (обобщение)

Производная направления - В математическом анализе, производная по направлению это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает на сколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.… … Википедия

Производная функции - У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная … Википедия

Производная функция - Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… … Википедия

Производная - (ый, ое) произведённая, образованная от другой, простейшей или основной величины, формы, категории. Содержание 1 Математика 2 Нематематические понятия … Википедия

Производная Ли - тензорного поля по направлению векторного поля главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем. Названа в … Википедия

Производная Гато - расширяет концепцию производной на локально выпуклые топологические векторные пространства. Название дано в честь французского математика Рене Гато (фр. René Gâteaux). Определение Пусть есть отображение, действующее из в. Дифференциалом… … Википедия

Односторонняя производная - В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных … Википедия

Книги

• Высшая математика. Стандартные задачи с основами теории: Учебное пособие. , Вдовин А.Ю.. Доп. УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно-технологических комплексов в качестве уч. пос. для студентов вузов, обуч. по специальностям направлений подготовки… Купить за 425 руб
• Методы решения некоторых задач избранных разделов высшей математики. Практикум , Клименко Константин Григорьевич, Левицкая Галина Васильевна, Козловский Евгений Александрович. В данном практикуме рассматриваются методы решения некоторых типов задач из таких разделов общепринятого курса математического анализа, как предел и экстремум функции, градиент и производная…

Пусть Z = F (M ) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(у; х); L ={ Cos ; Cos } – единичный вектор (на рис. 33 1= , 2= ); L – направленная прямая, проходящая через точку М ; М1(х1; у1), где х1=х+х и у1=у+у – точка на прямой L ;  L – величина отрезка ММ1 ;  Z = F (х+х, у+у)- F (X , Y ) – приращение функции F (M ) в точке М(х; у).

Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z = F ( M ) в точке M ( X ; Y ) по направлению вектора L .

Обозначение.

Если функция F (M ) дифференцируема в точке М(х; у) , то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L , исходящему из М ; вычисляется она по следующей формуле:

(8)

Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L .

Пример 46. Вычислить производную функции Z = X 2 + Y 2 X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1 , где М1 – точка с координатами (3; 0).

. Найдем единичный вектор L , имеющий данное направление:

Откуда Cos = ; Cos =- .

Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2) :

По формуле (8) получим

Пример 47. Найти производную функции U = Xy 2 Z 3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN , где N (5; 4; 2) .

. Найдем вектор и его направляющие косинусы:

Вычислим значения частных производных в точке М :

Следовательно,

Определение. Градиентом Функции Z = F (M ) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, взятым в точке М(х; у).

Обозначение.

Пример 48. Найти градиент функции Z = X 2 +2 Y 2 -5 в точке М(2; -1) .

Решение . Находим частные производные: и их значения в точке М(2; -1):

Пример 49. Найти величину и направление градиента функции в точке

Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:

Следовательно,

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U = F (X , Y , Z ) , выводятся формулы

Вводится понятие градиента

Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных : в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:

1) Пусть задана функция Z = F (X , Y ) , имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F (X 0 , Y 0 ) . Рассмотрим график функции. Через точку (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0) , рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) , будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.

2) Градиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0 . Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0 . Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.

Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом . Координаты этого вектора равны:

Антиградиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0 . Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.

3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X , Y ) из области определения функции F (X , Y ) , таких, что F (X , Y )= Const , где запись “ Const ” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.

Определение. Линией уровня функции U = F ( X , Y ) называется линия F (X , Y )=С на плоскости XOy , в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С , которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X , Y , F (X , Y )= Const ), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z = F (X , Y ), с другой - лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ , и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z = Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ . Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ .

Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня .

Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.

Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением , или Направлением наискорейшего роста .

«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.

Пример 50. Найти линии уровня функции U = X 2 + Y 2 .

Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X 2 + Y 2 = C (C >0) . Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

Построение линий уровня. Их анализ находит широкое применение в экономических задачах микро - и макроуровня, теории равновесия и эффективных решений. Изокосты, изокванты, кривые безразличия – это все линии уровня, построенные для разных экономических функций.

Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F (X , Y )=10х1/3у2/3 , где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:

5х + 10у = 30,

Т. е. определяют линию уровня функции:

G (X , Y ) = 5х + 10у.

С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30 . Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.

Определение. Поверхностью уровня функции U = F ( X , Y , Z ) называется поверхность F (X , Y , Z )=С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Пример 52. Найти поверхности уровня функции U = X 2 + Z 2 - Y 2 .

Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид X 2 + Z 2 - Y 2 =С . Если С=0 , то получаем X 2 + Z 2 - Y 2 =0 – конус; если C <0 , то X 2 + Z 2 - Y 2 =С – Семейство двуполостных гиперболоидов.