В МСС принято разделять все силы на внешние и внутренние.

Внешние силы возникают в результате взаимодействия сплошной среды с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является гравитационная сила - сила тяжести.

Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов сплошной среды. Они не могут изменить количество движения этого объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости.

Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными .

Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы) - ускорение. Рассмотрим в качестве примера силу тяжести. Плотность её распределения – вектор равный по модулю ускорению свободного падения. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести , где g = 9,81 м/с 2 - ускорение свободного падения. При этом вес объёмаравен:

. (1.5.1)

Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения. Характеристикой поверхностной силы является её распределения по поверхности, которое называется напряжением .

Напряжение . В сечении сплошной среды на произвольно ориентированной площадке с нормалью действует вектор напряжения (рис.1.10). Его можно разложить на две составляющие нормальное напряжение и - касательное напряжением на данной площадке. Если площадка лежит в плоскости нормальной оси координат, то напряжение определяется тремя величинами – проекциями на соответствующие оси (рис.1.11). Напряжения на площадках, нормальных осям, определяются зависимостью:

рис.1.10 рис.1.11

Рассмотрим в сплошной среде элементарный объем - силовой тетраэдр (рис.1.12). Три грани которого принадлежат координатным плоскостям, а четвертая нормальна . Напряжение , действующее на , может быть охарактеризовано тремя проекциями p nx , p ny и p nz на координатные оси х, у и z и зависит от направления площадки нормали к .

.

Первый индекс указывает на направление площадки, второй - на ось проектирования.

Применим к второй закон Ньютона (сила = массе умноженной на ускорение):

Разделим все на и переходя к пределу , с учетом получим формулы Коши для напряжения на произвольно ориентированной площадке, проходящей через данную точку:

(1.5.2)

Силовой тетраэдр. Рис.1.12

Обратим внимание, что данное выражение есть произведение некоего обекта, задаваемого матрицей 3х3 на вектор единичной нормали. Данный объект называется тензором напряжений :

(1.5.3)

Составляя три основных уравнения равновесия тетраэдра – три уравнения момента. Удобно делать это относительно осей, проходящих через центр масс – точку с координатами . В этом случае в уравнениях из 12 напряжений, будут присутствовать, только по два касательных, а остальные будут либо параллельны выбранной оси, либо будут проходить через нее. В результате получаем

эти равенства выражают закон взаимности касательных напряжений, а сам тензор напряжений является симметричным.

Таким образом, напряженное состояние сплошной среды в любой точке однозначно определяется шестью величинами напряжений, которые и составляют симметричный тензор.

Если грань тетраэдра совпадает с поверхностью твердого тела, то проекции вектора напряжений совпадают с проекциями внешней нагрузки

(1.5.5)

Так как тензор напряжений симметричный, то всегда можно выбрать такую систему координат, в которой он будет иметь диагональный вид. Для этого необходимо решить характеристическое (вековое) уравнение:

. (1.5.6)

Решением характеристического уравнения являются три величины , которые называются главными напряжениями , а направления нормалей к площадкам на которые они действуют – главными осями напряженного состояния системы .

Рассмотрим бесконечно малый отрезок dS (рис.1.12) , проекции которого на оси декартовой системы координат dx, dy, dz . Пусть при деформации точка M смещается, причем проекции ее перемещения . В теории упругости рассматриваются деформации и перемещения, т.е. такие величины, для которых их произведениями и квадратами можно пренебречь. Тогда проекции перемещение точки M’ будут:

(1.5.7)

Проекции dS * , в который переходит отрезок dS после деформации:

Вычисляя и отбрасывая члены второго порядка, получим:

(1.5.9)

Данные шесть величин полностью характеризуют деформационное состояние тела и составляют тензор деформации:

(1.5.10)

Разберемся с физическим смыслом этих величин. Введем относительное удлинение отрезка

Тогда для малых деформаций

или в проекциях

Таким образом, диагональные компоненты равны удвоенным относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, которые до деформации были параллельны координатным осям.

Рассмотрим, как изменяются углы при деформации. Возьмем плоскость 0zy (рис.1.13) и посмотрим как изменится первоначально прямой угол между отрезками dy и dz . Видно, что с точность до бесконечно малых второго порядка этот угол изменится на то есть на .

Таким образом, недиагональные составляющие есть величина изменения первоначально прямого угла между соответствующими бесконечно малыми отрезками после деформации. Величины , , принято называть сдвигами .

Приведем окончательный вид записи тензора деформаций:

(1.5.14)

Если ввести обозначение получим форму записи связи перемещений с компонентами тензора деформаций (соотношения Коши) :

. (1.5.15)

Тензор деформации и тензор напряжения подобны, это позволяет выявить важные свойства деформированного состояния.

Пусть в теле созданы напряжения пропорциональные деформациям,

(1.5.16)

Было показано, что для каждой точки напряженного состояния существуют такие ориентации площадок, на которых реализуются главные напряжения. Тогда:

(1.5.17)

Таким образом, в деформированном теле существуют три направления, сдвиги между которыми равны нулю. Прямые, проведенные по этим направлениям, называются главными осями деформируемого состояния в данной точке. Относительные удлинения по этим направлениям называются главными удлинениями :

Выполнив замену в характеристическом уравнении, получим так же кубическое уравнение

(1.5.19)

Коэффициенты в вековом уравнении, определяемые формулами (1.5.19) называют инвариантами тензора деформаций .

Связь между тензором напряжений и тензором деформаций, определяет физическую модель сплошной среды (ее реологию). В частности, для модели изотропных упругих тел, имеют место соотношения обобщенного закона Гука известные из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие:

(1.5.20)

Здесь Е и G - модули Юнга (модуль продольной упругости) и сдвига, n - коэффициент Пуассона. Они связаны известной зависимостью .

В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. В этом случае получаем

, (1.5.21)

В случае текучих сред связь между тензорами напряжений и деформаций отсутствует. И в рассмотрение вводится тензор скоростей деформаций:

А модель сплошной среды определяется зависимостью между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Так для ньтоновских жидкостей используется соотношение, называемое обобщенный закон Ньютона:

(1.5.23)

Наиболее простой моделью является модель «идеальной» жидкости:

(1.5.24)

Экспериментальные данные и общие физические представления показывают, что при больших температурах и давлениях любая среда практически обладает свойствами идеальной жидкости .

Изменение свободной энергии при изотермическом сжатии кристалла явлйется, как и у изотропных тел, квадратичной функцией тензора деформации. В противоположность тому, что имело место для изотропных тел, эта функция содержит теперь не два, а большее число независимых коэффициентов.

Общий вид свободной энергии деформированного кристалла есть

где есть некоторый тензор 4-го ранга, называемый тензором модулей упругости. Поскольку тензор деформации симметричен, то произведение не меняется при перестановке индексов или пары i, к с парой . Очевидно поэтому, что и тензор может быть определен так, чтобы он обладал такими же свойствами симметрии по отношению к перестановке индексов:

Путем простого подсчета можно убедиться в том, что число различных компонент тензора 4-го ранга, обладающего такими свойствами симметрии, равно в общем случае

Соответственно выражению (10,1) для свободной энергии зависимость тензора напряжений от тензора деформации имеет в кристаллах вид (ср. также сноску на стр. 59)

Наличие той или иной симметрии кристалла приводит к появлению зависимостей между различными компонентами тензора так что число его независимых компонент оказывается меньшим, чем .

Рассмотрим эти соотношения для всех возможных типов макроскопической симметрии кристаллов, т. е. для всех кристаллических классов, распределив их по соответствующим кристаллическим системам (см. V, § 130, 131).

1. Триклинная система. Триклинная симметрия (классы ) не накладывает никаких ограничений на компоненты тензора а выбор системы координат с точки зрения симметрии вполне произволен. При этом отличны от нуля и независимы все 21 модуль упругости. Произвольность выбора системы координат позволяет, однако, наложить на компоненты тензора дополнительные условия. Поскольку ориентация системы координат относительно тела определяется тремя величинами (углами поворота), то таких условий может быть три; можно, например, три из компонент считать равными нулю. Тогда независимыми величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 18 отличных от нуля модулей и 3 угла, определяющих ориентацию осей в кристалле.

2. Моноклинная система. Рассмотрим класс выбираем систему координат с плоскостью х, у, совпадающей с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются преобразованию: . Компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому ясно, что при указанном преобразовании все компоненты , среди индексов которых индекс содержится нечетное (1 или 3) число раз, переменят свой знак, а остальные компоненты останутся неизменными. С другой стороны, в силу симметрии кристалла все характеризующие его свойства величины (в том числе и все компоненты ) должны остаться неизменными при отражении в плоскости симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов должны быть равными нулю. Соответственно этому общее выражение для свободной упругой энергии кристалла моноклинной системы есть

Здесь стоят 13 независимых коэффициентов. Такое же выражение получается для класса а также и класса содержащего оба элемента симметрии вместе. В изложенных рассуждениях, однако, соображения симметрии фиксируют выбор направления лишь одной из осей координат , направления же осей х, у в перпендикулярной плоскости остаются произвольными. Этим произволом можно воспользоваться для того, чтобы надлежащим выбором осей обратить в нуль одну из компонент, скажем Тогда 13 величинами, характеризующими упругие свойства кристалла, будут 12 отличных от нуля модулей и один угол, определяющий ориентацию осей в плоскости х, у.

3. Ромбическая система. Во всех классах этой системы выбор осей координат однозначно диктуется симметрией и для свободной энергии получается выражение одинакового вида. Рассмотрим, например, класс и выберем плоскости координат в трех плоскостях симметрии этого класса. Отражения в каждой из этих плоскостей представляют собой преобразования, при которых одна из координат меняет знак, а две другие не меняются. Очевидно, поэтому, что из всех компонент отличными от нуля останутся только те, среди индексов которых каждое из их значений встречается четное число раз; все остальные компоненты должны были бы менять знак при отражении в какой-нибудь из плоскостей симметрии. Таким образом, общее выражение для свободной энергии имеет в ромбической системе вид

Она содержит всего девять модулей упругости.

4. Тетрагональная система. Рассмотрим класс Выбираем координаты с осью по оси а оси у - перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Отражения в этих двух плоскостях означают соответственно преобразования в силу этого исчезают все компоненты с нечетным числом одинаковых индексов. Далее, поворот на угол вокруг оси представляет собой преобразование г. Отсюда вытекают соотношения

Остальные преобразования, входящие в класс ничего не добавляют к этим условиям. Таким образом, свободная энергия кристаллов тетрагональной системы имеет вид

Она содержит шесть модулей упругости.

Такой же результат получится и для других классов тетрагональной системы, в которых естественный выбор осей координат диктуется симметрией . В классах же однозначен выбор лишь одной оси - вдоль оси или При этом требования симметрии допускают существование (помимо фигурирующих в (10,6)) еще и компонент

Надлежащим выбором направлений осей у эти компоненты могут быть обращены в нуль, и тогда F снова приведется к тому же виду (10,6).

5. Ромбоэдрическая система. Рассмотрим класс См и выберем систему координат с осью вдоль оси третьего порядка и осью у, перпендикулярной к одной из вертикальных плоскостей симметрии. Для выяснения ограничений, налагаемых на компоненты тензора наличием оси удобно произвести формальное преобразование, введя комплексные «координаты» согласно определению

координату же оставляем без изменений. К этим новым координатам преобразуем также и тензор ; в его компонентах индексы пробегают теперь значения . Легко видеть, что при повороте на 120° вокруг оси z новые переменные подвергаются преобразованию

Отличными от нуля могут быть в силу симметрии кристалла только те из компонент которые не меняются при этом преобразовании. Очевидно, что этим свойством обладают те компоненты, среди индексов которых три раза повторяются или (обращаем внимание на то, что или индекс содержится столько же раз, сколько (поскольку таковыми являются компоненты

Далее, отражение в плоскости симметрии, перпендикулярной к оси у, есть преобразование или для величин?, Поскольку при этом преобразовании переходит в то эти две компоненты должны быть равны друг другу. Таким образом, кристаллы ромбоэдрической системы обладают всего шестью модулями упругости. Для того чтобы написать выражение для свободной энергии, надо составить сумму в которой индексы пробегают значения поскольку нам надо выразить F через компоненты тензора деформации в координатах , то мы должны выразить через них компоненты в «координатах» Это легко сделать, воспользовавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих двух координат. Так, из

следует, что

В результате находим для F следующее выражение:

Оно содержит 6 независимых коэффициентов. Такой же результат получится для классов . В классах же в которых выбор осей у остается произвольным, требования симметрии допускают также и отличную от нуля разность

Она, однако, может быть обращена в нуль надлежащим выбором осей х, у.

6. Гексагональная система. Рассмотрим класс и выберем систему координат с осью по оси 6-го порядка. Введем снова координаты (10,7). При повороте на угол вокруг оси они подвергаются преобразованию

Отсюда видно, что отличны от нуля только те компоненты среди индексов которых индексы ) встречаются одинаковое число раз. Таковыми являются

Другие возможные элементы симметрии гексагональной системы ничего не добавляют к этим ограничениям. Таким образом, имеется всего пять модулей упругости. Свободная энергия имеет вид

Следует отметить, что деформация в плоскости х, у (деформация с отличными от нуля ) определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела; другими словами, в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. По этой причине выбор направлений осей в этой плоскости вообще несуществен и никак не отражается на виде F. Выражение (10,9) относится поэтому ко всем классам гексагональной системы.

7. Кубическая система. Направим оси х, у, z по трем осям 4-го порядка кубической системы. Уже наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси z) ограничивало число различных компонент тензора следующими шестью:

Повороты на 90° вокруг осей х и у дают соответственно преобразования . В силу них из написанных шести компонент делаются равными первая со второй, третья с четвертой и пятая с шестой.

Таким образом, остается всего три различных модуля упругости. Свободная энергия кристаллов кубической системы имеет вид

Выпишем еще раз число независимых параметров (модулей упругости или углов, определяющих ориентацию осей в кристалле) для классов различных систем;

Минимальное же число отличных от нуля модулей, которого можно добиться надлежащим выбором осей координат, одинаково для всех классов в каждой системе:

Все сказанное относится, разумеется, к монокристаллам. Поликристаллические же тела с достаточно малыми размерами входящих в их состав кристаллитов можно рассматривать как изотропные тела (поскольку мы интересуемся деформациями в участках, больших по сравнению с размерами кристаллитов). Как и всякое изотропное тело, поликристалл характеризуется всего двумя модулями упругости. Можно было бы на первый взгляд подумать, что эти модули можно получить из модулей упругости отдельных кристаллитов посредством простого усреднения. В действительности, однако, это не так. Если рассматривать деформацию поликристалла как результат деформации входящих в него кристаллитов, то следовало бы в принципе решить уравнения равновесия для всех этих кристаллитов с учетом соответствующих граничных условий на поверхностях их раздела.

Отсюда видно, что связь между упругими свойствами кристалла, рассматриваемого в целом, и свойствами составляющих его кристаллитов зависит от конкретной формы кристаллитов и от корреляции между их взаимными ориентациями. Поэтому не существует общей зависимости между модулями упругости поликристаллов и монокристалла (того же вещества).

Вычисление модулей изотропного поликристалла по монокристаллическим модулям может быть произведено со значительной точностью лишь в случае слабой анизотропии упругих свойств монокристалла. В первом приближении модули упругости поликристалла можно положить равными просто «изотропной части» упругих модулей монокристалла. Тогда в следующем приближении появляются члены, квадратичные по малой «анизотропной части» этих модулей. Оказывается, что эти поправочные члены не зависят от формы кристаллитов и от корреляции их ориентаций и могут быть вычислены в общем виде.

Наконец, остановимся на тепловом расширении кристаллов. В изотропных телах тепловое расширение происходит одинаково по всем направлениям, так что тензор деформации при свободном тепловом расширении имеет вид (см. § 6)

где а - коэффициент теплового расширения. В кристаллах же надо писать

(10,11)

где - некоторый тензор второго ранга, симметричный по индексам t, k. Выясним число различных независимых компонент этого тензора в кристаллах разных систем. Для этого проще всего воспользоваться известным из тензорной алгебры обстоятельством, что всякому симметричному тензору второго ранга можно привести в соответствие некоторый, как говорят, тензорный эллипсоид. Из соображений симметрии непосредственно очевидно, что при триклинной, моноклинной и ромбической симметриях эллипсоид является, вообще говоря, трехосным (т. е. длины всех его осей различны). При тетрагональной же, ромбоэдрической и гексагональной симметриях эллипсоид должен являться эллипсоидом вращения (с осью соответственно вдоль осей симметрии или ). Наконец, кубическая симметрия приводит к вырождению эллипсоида в шар.

Но трехосный эллипсоид определяется тремя независимыми величинами (длинами осей), эллипсоид вращения - двумя, а шар всего одной (радиусом). Таким образом, число независимых компонент тензора в кристаллах различных систем есть:

Кристаллы первых трех систем называются двухосными, а вторых трех - одноосными. Обратим внимание на то, что тепловое расширение кристаллов кубической системы определяется всего одной величиной, т. е. что они ведут себя в отношении своего теплового расширения как изотропные тела.

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны деформациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений как -ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси . Закон Гука говорит, что каждая компонента линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку и содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их , определив посредством уравнения

, (39.12)

где каждый значок , , и может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор – на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций – тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравнения (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряжения и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче – это подумать об энергии. Когда сила пропорциональна перемещению , скажем , то работа, затраченная на любое перемещение , равна . Подобным же образом энергия , запасенная в любой единице объема деформированного материала, оказывается равной

. (39.13)

Полная же работа , затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от по всему его объему:

. (39.14)

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минимальной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений по всему телу, при которых минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я говорил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисления, применяемого при решении задач на минимизацию подобного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в подробности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в содержится не 81 различный параметр. Поскольку и - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то состоит максимум из 36 различных компонент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии для него получается такой:

(39.15)

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл повернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси , так и в направлении оси . Следовательно, если мы переменим наши определения осей координат и в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

. (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свойством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим на , то ничего не должно измениться. Но изменение на меняет на , так как перемещение в направлении будет теперь перемещением в направлении . Чтобы энергия при этом не менялась, должно переходить в . Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому должно быть таким же, как и . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и !» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компоненты, у которых встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те , у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для , имеют силу и для и для .) Таким образом, выживают только компоненты типа , , и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все на и наоборот (или все на и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненулевые возможности:

(39.17)

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симметрия еще выше. Числа должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами :

. (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тензор напряжений должен быть связан с способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто», - скажете вы. «Единственный способ получить из - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вставить единичный тензор , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по , - это . (Он преобразуется подобно , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего с для изотропного материала, будет

Коэффициенты могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, например через модуль Юнга и отношение Пуассона . На вашу долю оставляю показать, что

(39.22)

Тензор напряжений

Тензор деформаций описывает деформацию тела с кинематической точки зрения, то есть безотносительно причин, породивших ее. Для рассмотрения этих причин (действующих на тело сил) необходимо определить понятие напряжения как силы, действующей на единицу площади сечения детали. Рассмотрим плоский срез деформируемого тела, проходящий через точку P с нормалью n . Пусть f - сила, действующая на маленький участок плоскости A, содержащий точку P .

Тогда предел существует и называется напряжением в точке P вдоль вектора n . Для определения напряжения в произвольном направлении используется тензор напряжений, который задает напряжение в произвольном направлении n как tn = n . Для большинства материалов тензор задается симметрической матрицей. Физический смысл тензора напряжений иллюстрируется на примере срезов, параллельных координатным плоскостям (рис. 31).

Обобщенный закон Гука, матрицы жесткости и упругости

В предыдущей лекции мы рассматривали динамику движения недеформируемого твердого тела. Как известно, она описывается уравнениями Ньютона-Эйлера (основанными на втором законе Ньютона), которые связывают линейное и угловое ускорение тела с действующими на него силами посредством массы и тензора инерции. Аналогичную роль в задачах теории упругости играет обобщенный закон Гука. Открытый в XVII веке английским математиком Гуком (Hooke) закон растяжения для тонкого стержня имеет вид F = kx, где F - действующая на стержень сила, x - величина растяжения, а k - коэффициент упругости. Величину коэффициента упругости можно связать с физическими размерами стержня следующим образом: k = ES/L, где S - площадь поперечного сечения стержня, L - его длина, а E - модуль Юнга. С введением понятий относительного удлинения x/L и нормального напряжения в поперечном сечении = F/S закон Гука принимает вид E. Как мы уже знаем, в общем случае напряжение и деформация определяются симметрическими тензорами размера 3х3. Тем не менее, между этими тензорными сущностями действует то же линейное соотношение, что и между скалярными, называемое обобщенным законом Гука: . Тензор четвертого порядка C в данной формуле задается 81 коэффициентом (34), но так как он связывает симметрические 3х3-матрицы, каждая из которых определяется шестью скалярными величинами, то может быть представлен в виде 6х6-матрицы жесткости D , которая связывает вектор деформаций с вектором напряжений

Это линейное соотношение справедливо для малых деформаций. Обратная матрица к матрице жесткости (D -1) называется матрицей упругости. Заметим, что матрица жесткости (упругости) полностью определяется свойствами материала и не зависит от конкретных нагрузок на тело. Упругие свойства материала могут быть описаны с помощью двух параметров, измеряемых в заданных направлениях: модуля Юнга E, который определяет отношение напряжения к внутренней деформации и коэффициента Пуассона н, который характеризует отношение относительного поперечного сужения к относительному продольному удлинению. Для линейно-эластичных изотропных материалов (таких как металлы, стекло, полипропилен и полиэтилен, резина - в случае малых деформаций) модуль Юнга и коэффициент Пуассона являются константами, не зависящими от направления и точки измерения, а матрица жесткости имеет следующий вид.

Теперь, чтобы описать деформации, мы должны связать их с внутренними силами - с напряжениями в материале. Мы предполагаем, что закон Гука справедлив для любого кусочка материала, т. е. что напряжения всюду пропорциональны дефор­мациям. В гл. 31 мы определили тензор напряжений S ij как i-ю компоненту силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси j. Закон Гука говорит, что каждая ком­понента S ij линейно связана с каждой компонентой напряжения. Но поскольку S и l содержат по девяти компонент, то всего для описания упругих свойств материала требуется 9X9=81 возможный коэффициент. Если материал однороден, то все эти коэффициенты будут постоянными. Мы обозначим их C ijkl определив посредством уравнения

где каждый значок i, j, k и l может принимать значения 1, 2 или 3. Поскольку коэффициенты С ijkl связывают один тензор с другим, они тоже образуют тензор - на этот раз тензор четвертого ранга. Мы можем назвать его тензором упругости.

Предположим, что все C ijkl известны и что к телу какой-то произвольной формы мы приложили сложные силы. При этом возникнут все сорта деформаций - тело как-то исказится. Каковы будут перемещения? Вы понимаете, что это довольно сложная задача. Если вам известны деформации, то из уравне­ния (39.12) можно найти напряжения, и наоборот. Но напряже­ния и деформации, которые возникли в любой точке, зависят от того, что происходит во всей остальной части материала.

Наиболее простой способ подступиться к такой задаче - это подумать об энергии. Когда сила F пропорциональна пере­мещению х, скажем F=kx, то работа, затраченная на любое перемещение х, равна kx 2 /2. Подобным же образом энергия w , запасенная в любой единице объема деформированного мате­риала, оказывается равной

Полная же работа W, затраченная на деформацию всего тела, будет интегралом от w по всему его объему:

Следовательно, это и есть потенциальная энергия, запасенная во внутренних напряжениях материала. Когда тело находится в равновесии, эта внутренняя энергия должна быть минималь­ной. Таким образом, проблема определения деформаций в теле может быть решена нахождением таких перемещений и по всему телу, при которых W минимальна. В гл. 19 (вып. 6) я го­ворил вам о некоторых общих идеях вариационного исчисле­ния, применяемого при решении задач на минимизацию подоб­ного рода. Однако сейчас мы больше не будем вдаваться в под­робности этой задачи.

Сейчас нас главным образом будет интересовать то, что можно сказать относительно общих свойств тензора упругости. Прежде всего ясно, что на самом деле в C ijkl содержится не 81 различный параметр. Поскольку S ij и e ij - симметричные тензоры, каждый из которых включает только шесть различных элементов, то C ijkl состоит максимум из 36 различных компо­нент. Обычно же их гораздо меньше.

Рассмотрим специальный случай кубического кристалла. Плотность энергии w для него получается такой:

т. е. всего 81 слагаемое! Но кубический кристалл обладает определенными симметриями. В частности, если кристалл по­вернуть на 90°, то все его физические свойства останутся теми же. Например, у него должна быть одна и та же жесткость относительно растяжения как в направлении оси у, так и в нап­равлении оси х. Следовательно, если мы переменим наши опре­деления осей координат х и у в уравнении (39.15), то энергия не должна измениться. Поэтому для кубического кристалла

C хххх =С уууу = C zzzz . (39.16)

Мы можем еще показать, что компоненты, наподобие С ххху , должны быть нулями. Кубический кристалл обладает тем свой­ством, что он симметричен при отражении относительно любой плоскости, перпендикулярной к одной из осей координат. Если мы заменим у на -y, то ничего не должно измениться. Но из­менение у на -у меняет е xy на -е xy , так как перемещение в нап­равлении +у будет теперь перемещением в направлении -у. Чтобы энергия при этом не менялась, С ххху должно переходить в -С ххху Но отраженный кристалл будет тем же, что и прежде, поэтому С хх xy должно быть таким же, как и -С ххху . Это может произойти только тогда, когда оба они равны нулю.

Но вы можете сказать: «Рассуждая таким же образом, можно сделать и C yyyy =0!» Это неверно. Ведь здесь у нас четыре игрека. Каждый у изменяет знак, а четыре минуса дают плюс. Если у встречается два или четыре раза, то такие компоненты не должны быть равны нулю. Нулю равны только те компо­ненты, у которых у встречается либо один, либо три раза. Таким образом, для кубического кристалла не равны нулю только те С, у которых один и тот же значок встречается четное число раз. (Рассуждения, которые мы провели для у, имеют силу и для х и для z.) Таким образом, выживают только компоненты типа С ххуу , С хуху , С хуух и т. д. Однако мы уже показали, что если изменить все х на у и наоборот (или все z на x и т. д.), то для кубического кристалла мы должны получить то же самое число. Это означает, что остаются всего три различные ненуле­вые возможности:

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симмет­рия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

C хххх =C ххуу +C хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тен­зор напряжений S ij должен быть связан с e ij способом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,- скажете вы. «Единственный способ полу­чить S ij из e ij - умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S ij = (Постоянная)Xе ij ». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вста­вить единичный тензор  ij , умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е ij . Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е, - это e jj . (Он преоб­разуется подобно х 2 +y 2 +z 2 , а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S ij с e ij для изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в пре­дыдущей главе.) Постоянные (, и  называются упругими по­стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действи­тельно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, напри­мер через модуль Юнга Y и отношение Пуассона  . На вашу долю оставляю показать, что