Предварительные замечания. Найдем изображение Фурье от d -функции.
Очевидно, справедливо и обратное преобразование Фурье:
А также:
1. Пусть процесс представляет собой постоянную величину x(t)=A o . Как уже было выяснено ранее, корреляционная функция такого процесса равна Найдем спектральную плотность процесса путем прямого преобразования Фурье функции R(t):
Спектр процесса состоит из единственного пика типа импульсной функции, расположенной в начале координат. Таким образом, если в процессе присутствует только одна частота w =0, то это значит, что вся мощность процесса сосредоточена на этой частоте, что и подтверждает вид функции S(w). Если случайная функция содержит постоянную составляющую, т.е. среднее значение , то S(w) будет иметь разрыв непрерывности в начале координат и будет характеризоваться наличием d -функции в точке w =0.
2. Для гармонической функции X=A o sin(w 0 t+j) корреляционная функция:
Спектральная плотность равна
График S(w) будет иметь два пика типа импульсной функции, расположенных симметрично относительно начала координат при w= +w 0 и w= -w 0 . Это говорит о том, что мощность процесса сосредоточена на двух частотах +w 0 и -w 0 .
Если случайная функция имеет гармонические составляющие, то спектральная плотность имеет разрывы непрерывности в точках w = ±w 0 и характеризуется наличием двух дельта-функций, расположенных в этих точках.
Белый шум . Под белым шумом понимают случайный процесс, имеющий одинаковые значения спектральной плотности на всех частотах от -¥ до +¥ : S(w ) = Const.
Примером такого процесса при определенных допущениях являются тепловые шумы, космическое излучение и др. Корреляционная функция такого процесса равна
Таким образом R(t) представляет собой импульсную функцию, расположенную в начале координат.
Этот процесс является чисто случайным процессом, т.к. при любом t ¹0 отсутствует корреляция между последующими и предыдущими значениями случайной функции. Процесс с такой спектральной плотностью является физически нереальным, т.к. ему соответствуют бесконечно большие дисперсия и средний квадрат случайной величины:
Такому процессу соответствует бесконечно большая мощность и источник с бесконечно большой энергией.
2. Белый шум с ограниченной полосой частот. Такой процесс характеризуется спектральной плотностью вида
S(w)=C при ½w½ <w n ,
S(w) =0 при ½w½>w n .
где (-w n , w n) полоса частот для спектральной плотности.
Это такой случайный процесс, спектральная плотность которого остается практически постоянной в диапазоне частот, могущих оказать влияние на рассматриваемую систему управления, т.е. в диапазоне частот, пропускаемых системой. Вид кривой S (w ) вне этого диапазона не имеет значения, т.к. часть кривой, соответствующая высшим частотам, не окажет влияния на работу системы. Этому процессу соответствует корреляционная функция
Дисперсия процесса равна
5. Типовой входной сигнал следящей системы. В качестве типового сигнала принимают сигнал, график которого показан на рис.63. Скорость вращения задающего вала следящей системы сохраняет постоянное значение в течение некоторых интервалов времени t 1 , t 2 ,...
Переход от одного значения к другому совершается мгновенно. Интервалы времени подчиняются закону распределения Пуассона. Математическое ожидание
Рис.63. Типовой сигнал
График такого вида получается в первом приближении при слежении РЛС за движущейся целью. Постоянные значения скорости соответствуют движению цели по прямой. Перемена знака или величины скорости соответствует маневру цели.
Пусть m -среднее число перемен скорости за 1 с. Тогда Т=1/m будет среднее значение интервалов времени, в течение которых угловая скорость сохраняет свое постоянное значение. Применительно к РЛС это значение будет средним временем движения цели по прямой. Для определения корреляционной функции необходимо найти среднее значение произведения
При нахождении этого значения могут быть два случая.
1. Моменты времени t и t+t относятся к одному интервалу. Тогда среднее произведения угловых скоростей будет равно среднему квадрату угловой скорости или дисперсии:
2. Моменты времениt и t+t относятся к разным интервалам. Тогда среднее произведения скоростей будет равно нулю, так как величины W(t) и W(t+t) для разных интервалов можно считать независимыми величинами:
Корреляционная функция равна:
где, Р 1 - вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале, а Р 2 =1- Р 1 вероятность нахождения их в разных интервалах.
Оценим величину Р 1 . Вероятность появления перемены скорости на малом интервале времени Dt пропорциональна этому интервалу и равна mDt или Dt/Т. Вероятность отсутствия перемены скорости для этого же интервала будет равна 1-Dt/Т. Для интервала времени t вероятность отсутствия перемены скорости т.е. вероятность нахождения моментов времени t и t+t в одном интервале постоянной скорости будет равна произведению вероятности отсутствий перемены скорости на каждом элементарном промежутке Dt, т.к. эти события независимые. Для конечного промежутка получаем, что число промежутков равно t/Dt и
Перейдя к пределу, получим
СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
М.М. Гхашим, Т.В.Чернэуцану
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Утверждено
ученым советом института
Севастополь
Гхашим М.М., Т.В.Чернэуцану
Случайные функции: учеб.-метод. пособие. – Севастополь: СевГУ, 2015.
В данном пособии рассмотрены три основных раздела: « », « », « ». Каждый из разделов включает в себя основные вопросы теории, разбор типовых примеров, задания для самостоятельной работы с ответами к ним.
предназначено для студентов третьего курса при изучении темы « ».
Рецензенты:
к.ф.-м..,
к.т.н, доцент
нк.ф.-м.н доцент
© Издание СевГУ, 2015
§ 1. Понятие о случайной функции……………………………………
§ 2. Характеристики случайных функций……………………………
§ 3. Оператор динамической системы……………………………….
§ 4. Линейные преобразования случайных функций………………
§ 5. Стационарные случайные процессы ……………………
§ 6. Спектральное разложение стационарной случайной функции………
§ 7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций………….
Решение типовых задач………………………………………………..
Задачи для самостоятельного решения………………………………
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………………
Случайные функции
Понятие о случайной функции.
В курсе теории вероятностей основным предметом исследования были случайные величины, которые характеризовались тем, что в результате опыта принимали некоторое одно, заранее неизвестное, но единственное значение. Т.е., случайные явления изучались как бы в «статике», в каких-то фиксированных постоянных условиях отдельного опыта. Однако на практике часто приходится иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в процессе опыта. Например, угол упреждения при непрерывном прицеливании по движущейся цели; отклонение траектории управляемого снаряда от теоретической в процессе управления или самонаведения, и т.д. В принципе, любые системы с автоматизированным управлением предъявляют определенные требования к соответствующей теоретической базе – теории автоматического управления. Развитие этой теории невозможно без анализа ошибок, неизбежно сопровождающих процессы управления, которые всегда протекают в условиях непрерывно действующих случайных возмущений или «помех». Эти возмущения по своей природе являются случайными функциями. Итак:
Определение . Случайной функцией X (t ) называют функцию неслучайного аргумента t , которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной.
Конкретный вид, принимаемый случайной функцией X (t ) в результате опыта, называется реализацией случайной функции.
Пример . Самолет на воздушном курсе имеет теоретически постоянную воздушную скорость V . Фактически его скорость колеблется около этого среднего номинального значения и представляет собой случайную функцию времени. Полет можно рассматривать как опыт, в котором случайная функция V (t ) принимает определенную реализацию (Рис.1).
 |
|||
От опыта к опыту вид реализации меняется. Если на самолете установлен самописец, то он в каждом полете запишет новую, отличную от других, реализацию случайной функции. В результате нескольких полетов можно получить семейство реализаций случайной функции V (t ) (Рис.2).
На практике встречаются случайные функции, зависящие не от одного аргумента, а от нескольких, например, состояние атмосферы (температура, давление, ветер, осадки). В данном курсе мы будем рассматривать только случайные функции одного аргумента. Так как этим аргументом чаще всего является время, будем обозначать его буквой t . Кроме того, условимся обозначать случайные функции большими буквами (X (t ), Y (t ), …) в отличие от неслучайных функций (x (t ), y (t ), …).
Рассмотрим некоторую случайную функцию X (t ). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций, которые мы обозначим соответственно номерам опытов x 1 (t ), x 2 (t ), …, x n (t ). Очевидно, каждая реализация есть обычная (не случайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X (t ) превращается в не случайную функцию.
Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t . В этом случае случайная функция X (t ) превратится в случайную величину.
Определение. Сечением случайной функции X (t ) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.
Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. В дальнейшем часто будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию X (t ) то как случайную функцию, то как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения t или при его фиксированном значении.
Рассмотрим случайную величину X (t ) – сечение случайной функции в момент t . Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t . Обозначим его f (x , t ). Функция f (x , t ) называется одномерным законом распределения случайной функции X (t ).
Очевидно, функция f (x , t ) не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции X (t ), т.к. она характеризует только закон распределения X (t ) для данного, хотя и произвольного t и не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин X (t ) при различных t . С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции X (t ) является так называемый двумерный закон распределения : f (x 1 , x 2 ; t 1 , t 2). Это – закон распределения системы двух случайных величин X (t 1), X (t 2), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X (t ). Но и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей. Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать все более полную характеристику случайной функции, но оперировать столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне затруднительно. В пределах данного курса мы вообще не будем пользоваться законами распределения, а ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин.
Основные задачи
Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций.
Прямая задача {анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).
Обратная задача {синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается.
Определение случайной функции
Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X{t), Y{t) и т.д.
Например, если U - случайная величина, то функция Х{!)=С U - случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция является случайной величиной: при t { = 2
получим случайную величину Х х = AU, при t 2 = 1,5 - случайную величину Х 2 = 2,25 U и т.д.
Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.
Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t 2 U, приведенной выше, при значениях аргумента 7, = 2 и t 2 = 1,5 были получены соответственно случайные величины X { = AUn Х 2 = 2,2577, которые и являются сечениями заданной случайной функции.
Итак, случайную ф у н к ц и ю можно рассматр и - вать как совокупность случайных величин {Х(?)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.
Реализацией (траекторией , выборочной функцией) случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t , равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.
Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.
Реализации функции X(t) обозначают строчными буквами x t (t) t x 2 (t) и т.д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = (/sin t, где U - непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и { = 3, а во втором испытании и 2 = 4,6, то реализациями X(t) являются соответственно неслучайные функции х { (t ) = 3sin t и х 2 (t) = 4,6sin t.
Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.
Случайным (стохастическим ) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т.е. скорость есть случайный процесс.
Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.
Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).
Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры - случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:
X{t) = sin Qf, где Q - случайная величина,
X(t) = Г/sin t, где U - случайная величина,
X(t) = Г/sin Qt, где О. и .
В частности, при Y==0 получим D z (t )= M [| (t )|] 2 =D x (t ), т. е. требование (**) выполняется.
Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем
D z (t )=M [| (t )| 2 ]= M {[ (t )] 2 + [ (t ) 2 ]}= M [ (t )] 2 +M [ (t ) 2 ]= D x (t )+D y (t ).
Итак,дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:
D z (t )=D x (t )+D y (t ).
Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х (t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x (t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z (t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z (t , t ) была равна дисперсии D z (t ), т. е. чтобы выполнялось требование
K z (t , t )=D z (t ). (***)
Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z (t ) называют корреляционный момент сечений (t 1)и (t 2)
K z (t 1 , t 2)= M .
В частности, при равных значениях аргументов
K z (t , t )= M =M [| | 2 ]= D z (t ).
т. е. требование (***) выполняется.
Если действительные случайные функции Х (t ) и Y (t )коррелированы, то
K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2)+ [R xy (t 2 ,t 1)]+ [ R xy (t 1 ,t 1)].
если Х (t ) и Y (t ) не коррелированы, то
K z (t 1 , t 2)= K x (t 1 , t 2)+K y (t 1 , t 2).
Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 (t )=Х 1 (t )+ Y 1 (t )i и Z 2 (t )=Х 2 (t )+ Y 2 (t )i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование
Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)
В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим
т. е. требование (****) выполняется.
Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:
Задачи
1. Найти математическое ожидание случайных функций:
a) X (t )=Ut 2 , где U- случайная величина, причем M (U )=5 ,
б ) Х (t )=U cos2t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M (U )=3 , M (V )=4 .
Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.
2. К х (t 1 ,t 2) случайной функции X (t ). Найти корреляционные функции случайных функций:
a) Y (t )=X (t )+t; б) Y (t )=(t +1)X (t ); в) Y (t )=4X (t ).
Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.
3. Задана дисперсия D x (t ) случайной функции Х (t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y (t )=Х (t )+e t б ) Y (t )=tX (t ).
Отв . a) D y (t )=D x (t ); б) D y (t )=t 2 D x (t ).
4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х (t )=Usin 2t , где U- случайная величина, причем M (U )=3 , D (U )=6 .
Отв . а)m x (t ) =3sin 2t; б) К х (t 1 ,t 2)= 6sin 2t 1 sin 2t 2 ; в) D x (t )=6sin 2 2t .
5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ), зная ее корреляционную функцию К х (t 1 ,t 2)=3cos (t 2 -t 1).
Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).
6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X (t )=(t +1)U , и Y(t )= (t 2 + 1)U , где U- случайная величина, причем D (U )=7.
Отв . a) R xy (t 1 ,t 2)=7(t 1 +l)(t 2 2 +l); б) ρ xy (t 1 ,t 2)=1.
7. Заданы случайные функции Х (t )= (t- 1)U и Y (t )=t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M (U )=2, M (V )= 3, D (U )=4 , D (V )=5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z (t )=X (t )+Y (t ).
Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х (t ) и Y (t ) не коррелированы.
Отв . а) m z (t )=2(t - 1)+3t 2 ; б) К z (t 1 ,t 2)=4(t 1 - l)(t 2 - 1)+6t 1 2 t 2 2 ; в) D z (t )=4(t - 1) 2 +6t 4 .
8. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +1 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание ее производной.
9. Задано математическое ожидание m x (t )=t 2 +3 случайной функции Х (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )=tХ" (t )+t 3 .
Отв. m y (t)=t 2 (t+2).
10. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию ее производной.
11. Задана корреляционная функция К х (t 1 ,t 2)= случайной функции Х (t ). Найти взаимные корреляционные функции.
