Понтрягин обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения

> Книги по математике > Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ОНТИ, 1939 (djvu)
• Андронов А.А., Леонтович Е.В., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966 (djvu)
• Аносов Д.В. (ред.) Гладкие динамические системы (Сборник переводов, Математика в зарубежной науке N4). М.: Мир, 1977 (djvu)
• Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985 (djvu)
• Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970 (djvu)
• Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М: РХД, 2002 (djvu)
• Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (2-е изд.). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968 (djvu)
• Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: Теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001 (djvu)
• Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1950 (djvu)
• Горбузов В.Н. Целые решения алгебраических дифференциальных уравнений. Гродно: ГрГУ, 2006 (pdf)
• Гурса Э. Курс математического анализа, том 2, часть 2. Дифференциальные уравнения. М.-Л.: ГТТИ, 1933 (djvu)
• Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967 (djvu)
• Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений. Киев: Вища школа, 1974 (djvu)
• Егоров Д. Интегрирование дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Печатня Яковлева, 1913 (djvu)
• Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979 (djvu)
• Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Мн.: АН БССР, 1963 (djvu)
• Еругин Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений. Л.: ЛГУ, 1956 (djvu)
• Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)
• Зайцев В.Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: РГПУ им. А.И.Герцена, 1996 (pdf)
• Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание, 1989 (djvu)
• Ибрагимов Н.Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Знание, 1991 (djvu)
• Калинин В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения (пособие для практических занятий). М.: МГУНГ им. И.М. Губкина, 2005 (pdf)
• Каменков Г.В. Избранные труды. Т.1. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика. М.: Наука, 1971 (djvu)
• Каменков Г.В. Избранные труды. Т.2. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972 (djvu)
• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям (4-е издание). М.: Наука, 1971 (djvu)
• Каплански И. Введение в дифференциальную алгебру. М.: ИЛ, 1959 (djvu)
• Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления (2-е изд.). М.: Наука, 1979 (djvu)
• Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958 (djvu)
• Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела (2-е изд.). Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000 (djvu)
• Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. университета, 1995 (djvu)
• Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968 (djvu)
• Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972 (djvu)
• Коялович Б.М. Исследования о бесконечных системах линейных уравнений // Изв. Физ.-мат. инст. им. В.А. Стеклова. 1930. Т. III. С. 41-167. (djvu)
• Коялович Б.М. Исследования о дифференциальном уравнении ydy-ydx=Rdx. СПб: Академия наук, 1894 (djvu)
• Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959 (djvu)
• Крускал М. Адиабатические инварианты. Асимптотическая теория уравнений Гамильтона и других систем дифференциальных уравнений, все решения которых приблизительно периодичны. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
• Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 (djvu)
• Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Л.: Артиллерийская академия, 1933 (djvu)
• Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1957 (djvu)
• Лаппо-Данилевский И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений. Л.-М., ГИТТЛ, 1934 (djvu)
• Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964 (djvu)
• Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978 (djvu)
• Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961 (djvu)
• Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950 (djvu)
• Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966 (djvu)
• Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977 (djvu)
• Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наук. думка, 1972 (djvu)
• Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967 (djvu)
• Мищенко Е.Ф., Розов Н.X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975 (djvu)
• Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969 (djvu)
• Мордухай-Болтовской Д. Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений. Варшава, 1910 (djvu)
• Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы (2-е изд.). М.: Наука, 1969 (djvu)
• Незбайло Т.Г. Теория интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.: ЧП Генкин А.Д., 2007 (pdf)
• Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ОГИЗ, 1947 (djvu)
• Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964 (djvu)
• Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. Мн.: Выш. школа, 1973 (djvu)
• Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения (4-е изд.). М.: Наука, 1974 (djvu)
• Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГИТТЛ, 1947 (djvu)
• Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964 (djvu)
• Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987

Л. С. ПОНТРЯГИН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЙ Допущено Министерством высшего и cv-"Онего ьнециильного обра ювсшип СССР в качестве учебника оля студснтое tjHiiet"fici"fcrue ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ Ф113ИКОМАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1974 22.161.6 П 56 УДК 517.9 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 197Б г. 1702050000-155 П " 053@2)-82 СОДЕРЖАНИЕ От автора, / Б Глава первая. Введение Т § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Т § 2. Некоторые элементарные методы интегрирования 13 § 3. Формулировка теоремы существования и единственности... 21 § 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной, 25 § 5. Комплексные дифференциальные уравнения й § 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравне- уравнениях SS Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами 41 § 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффици- коэффициентами (случай простых корней) 42 § 8. Линейное однородное.уравнение с постоянными коэффициен- коэффициентами (случай кратных корней) 60 § 9. Устойчивые многочлены 5§ § 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффици- коэффициентами 63 § 11. Метод исключения 67 § 12. Метод комплексных амплитуд 75 § 13. Электрические цепи 89 § 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными ко- коэффициентами 91 § 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фа- фазовые пространства 108 § 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоян- постоянными коэффициентами 115 Глава т р е т ь я. Линейные уравнения с переменными коэффи- коэффициентами 121 § 17. Нормальная система линейных уравнений 121 § 18. Линейное уравнение и-ro порядка 131 § 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами Ив Глава четвертая. Теоремы существования Г>3 § 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения 1»2 § 21. Доказательство теоремы существования и единственности дли нормальной системы уравнений 161 1» 4 СОДЕРЖАНИЕ § 22. Непродолжаемые решения 173 § 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений н параметров 178 § 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям н параметрам 185 § 25. Первые интегралы 196 Глава пятая. Устойчивость 204 § 26. Теорема Ляпунова 205 § 27. Центробежный регулятор (исследования Вышиеградского) 218 § 28. Предельные циклы 224 § 29. Ламповый генератор 244 § 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка 251 § 31. Устойчивость периодических решений 268 Добавление I. Некоторые вопросы анализа 284 § 32.. Топологические свойства евклидовых пространств 284 § 33. Теоремы о неявных функциях 298 Добавление П. Линейная алгебра - . 309 § 34. Минимальный аннулирующий многочлен 309 § 35. Функции матриц 316 § 36. Жорданова форма матрицы 823 Предметный указатель 329 ОТ АВТОРА Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ря- ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я, исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руковод- руководством при выборе материала для моих лекций. Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важ- важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги. Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержа- содержащийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год. Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использую- использующийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств 6 ОТ АПТОРА расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре. В этом, втором издании по новому изложены теоремы о непре- непрерывной зависимости решений от начальных значений" и параметров, а также о дифференцируемостп решений по этим величинам. Сдела- Сделаны также многие более мелкие исправления. В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гам- крелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чте- чтении лекции, а также при написании и редактировании этой книги. Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александ- Александром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долго- долголетние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги. Л. С. Понтрягин ГЛАВА ПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена в первую счередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкно- обыкновенных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решений существует - таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не дока- доказываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда дру- других теорем того же типа дается в четвертой главе, а до этого сфор- сформулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их вначение. Кроме этих основных сведений, в первой главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простейших типов. В конце главы рассматриваются комплексные диф- дифференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциаль- дифференциальных уравнений. § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, п которых неизвестными являются функции одного "или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются сбыкновенными дифференциальные уравнениями. В дальнейшем мм будем иметь дело только с последними. Так как в ряде физических применений независимым переменным, от кбторого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем неза- независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, z и т. д. Производные функций по t 8 ВВЕДЕНИЕ (Гл. I будут, как правило, обозначаться точками: х = --, J?=^-^- и т. д. В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указы- указывать порядок производной верхним индексом в скобках; например, В первую очередь мы займемся рассмотрением одного диф- дифференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде: F(t, х, х)=0. A) Здесь t - независимое переменное, х- его неизвестная функция, . dx _ " . x = -jt - ее производная, a F- заданная, функция трех переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов; поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду множество В точек координатного пространства трех пере- переменных t, х, X. Решением уравнения A) называется такая функ- функция jc = Единственности (теорема 1), которая в этом параграфе приво» дится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. § 20). 10 ВВЕДЕНИЕ [Гл. 1 Теорема 1. Пусть x=f(t, х) C) - дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция f(t, х) задана на некотором открытом множестве. Г плоскости Р переменных t, x. Относительно функции f будем предполагать, что она сама и ее частная производная -J- являются непре- непрерывными функциями на всем открытом множестве Г. Теорема утверждает, что: 1) для всякой точки (tt, xB) множества Г найдется решение x=*"-f{t) уравнения C), удовлетворяющее условию ч>(д=*0; D) 2) если два решения лг = ф(/) и jc=/(O уравнения C) совпа- совпадают хотя бы для одного значения t = t0, tn. e. если то решения эти. тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены. Числа ^0, хй называются начальными значениями для решения х = <р (/), а соотношение D) - начальным условием для этого реше- решения. Говорят также, что решение х = <р (t) удовлетворяет начально- начальному условию D) или же что оно имеет начальные значения t0, x0. Утверждение, что решение x=*y(f) удовлетворяет начальному усло- условию D) (или имеет начальные значения t0, x0), предполагает, что интервал ri<^, х„) множества Г являются начальными значениями для не- некоторого решения, уравнения C) и что два решения с общими началь- начальными значениями^-совпадают. Геометрическое содержание теоремы 1~заключается в том, что через каждую /почку (t0, jc0) множества Г проходит одна и толь- только одна интегральная кривая уравнения C) (см. рис. 1). Говоря, что через каждую точку (f0, х„) множества Г проходит «только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточ- неточность. В самом деле, решением уравнения C) называется функция je = @> заданная на вполне определенном интервале ^> Наряду с этой функцией может существовать функция x = также удовлетворяющая уравнению C) и имеющая те же начальные значения t0, x0, но заданная на другом интервале *1<С^<С** Вто- Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функции <р@ и <]>(?) сов- совпадают там, где они обе определены, но вовсе не утверждает, что интервалы их определения ri<^<^rs и Si<^Тогда решения x~диф- дифференциального уравнения E). 2. Дадим математическое описание процесса распада ра- радиоактивного вещества. Количество вещества, еще не распавшегося к моменту времени t, обозначим через x(t). Из физических сообра- соображений следует, что (если нет условий для возникновения цепной реакции) скорость распада, т. е. производная jt(t), пропорциональна имеющемуся количеству нераспавшегося радиоактивного вещества: Здесь р - постоянный положительный коэффициент пропорциональ- иости, зависящий от свойств радиоактивного вещества, а знак ми- минус в правой части означает, что x(t) убывает. Мы видим, что функция хA) удовлетворяет простейшему дифференциальному ура- уравнению, рассмотренному в примере 1, так что Для определения константы с достаточно указать какие-либо начальные значения. Если, например, известно, что в момент времени t = 0 имелось количество вещества xt, то с = х0, и мы имеем: x(t) = x,e-V. Скорость распада выражается здесь величиной р размерности 1/сек. Часто вместо величины C скорость распада характеризуют так на- вываемым периодом полураспада, т. е. временем, за которое распа- распадается половина имеющегося запаса вещества. Обозначим период полураспада через Т и установим связь между величинами р и Г. Мы имеем: откуда Г-=4-1п2. g 2] НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 13 § 2. Некоторые влементарные методы интегрирования Главной задачей, возникающей перед нами, когда мы имеем дело с дифференциальным уравнением, является задача отыскания его решений. В теории дифференциальных уравнений, так же как в алгебре, вопрос о том, что значит найти решение уравнения, можно понимать по-разному. В алгебре первоначально стремились найти общую формулу с применением радикалов для решения уравнений каждой степени. Таковы были: формула для решения квадратного уравнения, формула Кардана для решения кубического уравнения и формула Феррари для решения уравнения четвертой степени. Позже было установлено, что для уравнений выше четвертой степени общей формулы решения в радикалах не существует. Осталась возможность приближенного решения уравнений с числовыми коэф- коэффициентами, а также возможность исследования зависимости корней уравнений от его коэффициентов. Примерно такова же была эволю- эволюция понятия решения в теории дифференциальных уравнений. Перво- Первоначально стремились решать, или, как говорят, «интегрировать диф- дифференциальные уравнения в квадратурах», т. е. пытались записать решение при помощи элементарных функций и интегралов от них. Позже, когда выяснилось, что решение в этом смысле существует лишь для очень немногих типов уравнений, центр тяжести теории %ыл перенесен на изучение общих закономерностей поведения решений. В этом параграфе будут приведены методы интегрирования в квадратурах некоторых простейших уравнений первого порядка. А) (Уравнение в полных дифференциалах). Решим уравнение Х- h(t,x) " W правая часть которого представлена в виде отношения функций g(t,x) и h(t,x). Предполагается, что функции g(t,x) и h(t,x) опре- определены и непрерывны на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, x, причем внаменатель A (t, x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества, а выражение h(t, x)dx - - g(t, x)dt представляет собой полный дифференциал на всем мно- множестве * Г. Последнее означает, что существует функция F (t, л), определенная на множестве Г и удовлетворяющая на всем этом мно- множестве условиям *l=h(t, х), d-^ = -g(t,x). B) Уравнение A) условимся символически записывать в виде ура- уравнения h(t, x)dx - g{t, x)dt = 0, 14 ВВЕДЕНИЕ [Гл I левая часть которого является полным дифференциалом. Оказывается, что для каждого решения je = cp(?) уравнения A) справедливо тождество F(t, tp(O) = const. Обратно, каждая функция x - y(t), заданная на некотором интер- интервале и определяемая как неявная функция из уравнения F{t,x) = c C) (с произвольной константой с), является решением дифференциаль- дифференциального уравнения A). Докажем предложение А). Пусть x - (*)ЖО-*(*.?(<))=о. Левая часть этого равенства, в силу B), представляет собой полную производную по t функции F(t, f(t)), так что JLF(t, на всем интервале г, <[? налагаемыми на t при произвольном х. Это мно- множество представляет собой полосу, если rt и г2 конечны; полупло- полуплоскость, если конечна только одна из величин rlt rit и плоскость, если бесконечны обе величины гь rs. Правая часть уравнения D) непре- непрерывна вместе со своей частной производной по х на всем множестве Г, так что для уравнения D) выполнены условия теоремы 1. Пусть t0 - некоторая точка интервала r]<^<]"V- Положим: A (t) = \ a (x) dt. E) to Функция A(i) определена на всем интервале О <^" <С г«- Оказывается, что совокупность всех решений уравнения D) записывается формулой (Ь) где л*0 - произвольная константа. Каждое из этих решений опреде- определено на всем интервале "Ч<С^<СГ« и потому непродолжаемо (так как за пределами этого интервала не определена правая часть уравне- уравнения D)). Для доказательства предложения Б) заметим прежде всего, что функция jc, заданная соотношением F), является решением уравнения D). Это непосредственно проверяется путем подстановки. Докажем, что формула F) содержит все решения. Пусть x==y(f)-некоторое решение уравнения D), определенное на ин- интервале $!<^<^5г. Этот интервал должен содержаться в интервале fi<^t так как правая часть уравнения D) определена только на этом последнем интервале. Пусть т0, ?0 - начальные значения ре- решения x = y(t). Докажем, что можно так подобрать число х0 в фор- формуле F), чтобы определяемое этой формулой решение имело своими начальными значениями -с0, $0. т. е. удовлетворяло условию 16 ВВЕДЕНИЕ [Гл I Этим будет доказано (см. теорему 1), что решение jt=2, а функция g(x) определена, непрерывна и не об- обращается в нуль на интервале qi0 и при х <^ 0 уравнение это можно ре- решать по способу, указанному в примере 1. Для каждой из этих полуплоскостей мы имеем: i ~ = i cos t dt или, иначе, = sin t - с. Таким образом, получаем: Кроме решений, описываемых этой формулой, мы имеем очевидное решение х = 0. A2) Покажем, что формулы A1) и A2) охватывают совокупность всех решений уравнения A0). Пусть (t0, х0) - произвольные начальные вначения. Если >го = О, то решение A2) имеет эти начальные значения. Если же х0 ф 0, то указанные начальные значения имеет решение A1) при - s\nt i__L хч Решение A2) определено на интервале (- оо, +оо) и потому не- юродолжаемо. Точно так же при |с|^>1 формула A1) определяет одно непродолжаемое решение, заданное на интервале (- оо, -j- со). При фиксированной константе с, удовлетворяющей неравенству | с \ =^ 1, формула A1) задает не одно решение, а бесконечное мно- множество решений. Каждое отдельное решение в етом случае епределено на интервале r!<^0, х<^0 уравнение A3) можно 20 ВВЕДЕНИЕ [Гл. ! решать по способу, указанному в примере 2. Решая уравнение A3) "з этим способом, мы получаем: х =t-с, или X == \1 - С) у 11х) Часть графика функции A4) (при t<^c) проходит в полуплоскости х<^0, часть же (при <]>с) -в полуплоскости лг^>0. Непосредст- Непосредственно проверяется, однако, что функция A4) является решением Рис. 4. уравнения A3) при всех значениях t на интервале - o В то же время xsO также является решением уравнения A3). Таким образом, через каждую точку х «= 0, t ¦=» с прямой х = 0 проходят уже два решения (рис. 4): ре&ение A4) и решение л: = 0. Мы видим, что вторая часть теоремы 1 (единственность) не имеет места для уравнения A3). 5 31 ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 21 § 3. Формулировка теоремы существования и единственности В § 1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение пер- первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных диф- дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравне- уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвест- неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях те- теорема существования и единственности является основным теорети- теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению дан- данной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности формулируется и до- доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой си- системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Систе- Системы дифференциальных уравнений того частного типа, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными. Система х1=/"у, х\ х*, . . . , х"); /= 1, . . . , и, A) обыкновенных диффереициальных уравнений называется нормальной. В этой системе t - независимое переменное, х1,..., х" - неизвестные функции этого переменного, a f1,...,/" - функции от я-{- I перемен- переменных, заданные на некотором открытом множестве Г пространства размерности п-\-\, в котором координатами точки являются числа t, х1 хп. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции fit, х1, х* хп), 1=1,..., п, B) непрерывны на открытом множестве Г; точно так же:.будет пред- предполагаться, что и-их частные производные W- > я, дх/ " существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные C), непрерывность которых предполагается, берутся только по неременным х1 х", а не по независимому переменному t. Решением системы уравнений A) называется система непрерыв- непрерывных функций x" = ?(@, 1=1,..., п, D) определенных на некотором интервале rl<^t *& . К* 4i<4b A3) 24 ВВЕДЕНИЕ [Гл. I существует решение системы A2) с этими начальными значе- значениями, определенное на всем интервале Oy<^t<^qu. В частности, если коэффициенты и свободные члены системы A2) определены на всей прямой, т. е. если qt = - оо, ^4=-|-оо, то для любых начальных значений существует решение системы A2), опре- определенное на всем бесконечном интервале -oo<^t <^-|-oo. Решения нормальной системы A) интерпретируются геометри- геометрически в виде интегральных кривых в (я-f- 1)-мерном прост- пространстве с координатами t, х1, ..., х" (ср. § 1). Уравнения интеграль- интегральной кривой имеют вид: х" = ?"@. /=1, .... п, A4) где A4) есть решение системы. Сама система A) интерпретируется с помощью поля направлений в (и-f-1)-мерном пространстве (ср. § 1). Примеры 1. Решим нормальную линейную систему уравнений jf = - toy, y=zi#x. A5) Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с коор- координатами t, х, у. Непосредственно проверяется, что система функций x = Ci cos (not -\- с4), у = с, sin (u>t -\- c8), A6) где ct и га - произвольные постоянные, представляет собой реше- решение системы A5). Для того чтобы показать, что, выбирая надлежа- надлежащим образом постоянные ct и сг, можно получить по формуле A6) произвольное решение, зададимся начальными значениями t0, jc0, y0 и покажем, что среди решений A6) имеется решение с этими на- начальными значениями. Мы получаем для постоянных сх и с» условия t, cos(u)/0-fcs) = x0, c,stn(u)fo-f с%)=уо. A7) Пусть р и f - полярные координаты точки (х0, ....«. A8) Если правые части B) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества A8) имеет непрерывную производную по t, и потому функция fyl (t) существует и непрерывна. Дифференцируя написанное тождество A8) k раз, мы последовательно убедимся в су- существовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3,..., k~\-1 функций <р"@- § 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной В предыдущем параграфе была сформулирована теорема суще- существования и единственности для нормальной системы дифференци- дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установ- установлена теорема существования и единственности для этих общих си- систем уравнений. Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого перемен- переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно запи- записать в виде: F(t, х, Л, ..., .*(п>) = О. A) Здесь t - независимое переменное, х - его неизвестная функция, а F- заданная функция я-{-2 переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности я-|-2, в ко- котором координатами точки являются переменные t, х, х, ..., х{"\ Если максимальный порядок производной, входящей в дифференци- дифференциальное уравнение, равен я, то говорят, что имеется уравнение п-го порядка. Решением уравнения A) называется такая непрерывная функ- функция x=xy(t) независимого переменного t, определенная на некото- некотором интервале ri<^t<^rit что при подстановке ее вместо х в урав- 26 ВВЕДЕНИЕ [Гл 1 нение (I) мы получаем тождество по г на интервале /"!<[?. Очевидно, что подстановка x = y(t) в соотношение A) возможна лишь тогда, когда функция о(?) на всем интервале своего существо- существования Гх <^ t <^ г9 имеет производные до порядка п включительно. Для того чтобы подстановка x = y(t) в соотношение A) была воз- возможна, необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты {t, $(t), ..., cp(n) (t)}, принадлежала множеству В определения функции F при произвольном t из интервала rl<^t<^r9. Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть ваписана в виде: pit v jt X{m> V {/ 0{t, x, x, .... xlm\ y,y y»») = 0. j { } 8десь t - независимое переменное, х к у - две его неизвестные функции, ари О - две функции, каждая от/я-|-п-[-3 переменных, заданные в некотором открытом множестве В. Если максимальный порядок производной функции х, входящей в систему B), равен т, а максимальный порядок производной функции у, входящей в си- систему B), равен п, то число т. называется порядком системы B) относительно х, число я- порядком системы B) относительно у, а число т-\-п называется порядком системы B). Решением си- системы B) называется пара непрерывных функций Jf= (t), у = ф (t) в систему B). Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного незави- независимого переменного. Если неизвестными функциями системы диф- дифференциальных уравнений являются функции х1, ..., х", а наивыс- наивысший порядок производной функции х1, входящей в систему, ра- равен qt, 2=1, ..., я, то число q, называется порядком системы относительно х1, а число q = qy-f- q2-f- ... -f- qn называется поряд- порядком системы. Таким образом, нормальная система A) § 3 имеет порядок я. Если соотношение A) может быть разрешено относительно xin\ то уравнение A) переписывается в виде: x"=f(t, х, х, .... xl"-l)). C) Точно так же, если система B) может быть разрешена относительно § 4 1 СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ 27 величин xtm) и У"", то эта система может быть переписана в виде. *«*)=/(«, х, х, .... *<"-», у, J>, ... У»> = #(/, дг, jt, .... x, ... Уравнение C) и система D) называются разрешенными относитель- относительно высших производных. Аналогично определяются разрешенные от- относительно высших производных системы с произвольным числом не- неизвестных функций. В частности, нормальная система A) § 3 является разрешенной относительно высших производных. В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно системами, разрешенными, от- относительно высших производных. Покажем теперь, что всякая имеющая порядок и система диффе- дифференциальных уравнений, разрешенная относительно высших производ- производных, сводится к нормальной системе порядка п. Для начала покажем, как одно уравнение порядка п сводится к нормальной системе по- порядка п. А) Пусть У»>=/(*. у,$, ....У""") E) - одно дифференциальное уравнение порядка п, разрешенное отно- относительно высшей производной. Здесь t - независимое переменное, у- неизвестная функция переменного t. Далее, /(г, у, J>, .... д/(и"") есть заданная функция п-\- 1 переменных t, у, _р, ..., У""", опреде- определенная в некотором открытом множестве Г координатного прост- пространства размерности и-f- 1. Относительно функции f(t, у,у, ..., у1""**) мы будем предполагать, что она непрерывна на множестве Г и что ее частные производные (где предполагается, что Уо) =у) также непрерывны на множестве Г. Для замены уравнения E) нормальной системой уравнении вводятся новые неизвестные функции х1, х*, ..., х" независимого перемен- переменного t при помощи равенств х* = у, x4=j>, .... хп = у(п"»>. F) Оказывается, что уравнение E) эквивалентно системе X * = X3, G) Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки Уо> А» ! jV" " множества Г существует решение у = 4 28 ВВЕДЕНИЕ 1Гл. I уравнения E), удовлетворяющее начальным условиям ф<*>(У=У*>, * = 0, 1, .... я-1, или, как говорят, решение с начальными значениями tv jvA,. - У."-1»- (8) Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпада- совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (б) линейно, т. е. функция / линейна относительно переменных у, _р, ... ...", У", а коэффициенты ее определены и непрерывны на интер- интервале qt<^t<^qi, то для любых начальных значений t0, y0, j>0, ... « Уо"~1)> где 9i <С *о "^ ?*> имеется решение y = ty(t), определенное на всем интервале qx <^ t <^ у* Докажем, что уравнение E) эквивалентно системе G). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению E), и докажем, что функции jc1, ..., х", определенные соотношениями F), удовлетворяют систе- системе G). Дифференцируя соотношения F), вводящие новые неиз- неизвестные функции х1, .... х", получаем: Л"=у1к); k=l я-1, (9) х"=у(п\ A0) Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений F), а правую часть соотношения A0) на основании уравнения E), кото- которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему G). Допустим, что, наоборот, функции х1 хп удовлетворяют системе G); при- примем тогда х1 за у и покажем, что функция у удовлетворяет уравне- уравнению E). Полагая в первом из уравнений системы G) х1 =у, полу- получаем х* =$. Заменяя во втором из уравнений G) х2 через j>, полу- получаем jc3:=5J. Продолжая это построение дальше, мы приходим к со- соотношениям F). Наконец, заменяя в последнем из уравнений системы G) каждую функцию х1, ..., хп в силу формул F), получаем урав- уравнение E) для у. Так как функция / определена на множестве Г, то правые части системы G) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам F). Для системы G) выполнены условия теоремы 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать начальные значения t0, xl0, х\, ..., xj в множестве Г. Эги начальные значения в силу замены F) превращаются в начальные значения для уравнения E). Если уравнение E) линейно, то система G) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предло- предложения А). g 41 СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ 29 Таким образом, предложение А) доказано. Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных. Для того чтобы не загромождать изложения формулами, рассмотрим в нижеследующем предложении Б) систему четвертого порядка, со- состоящую из двух уравнений. Б) Пусть u=f(t, и, и, v, *), 1 * = g(t, и, й, v.if)] { " - система двух уравнений второго порядка. Здесь t - независимое переменное, а и и v - его неизвестные функции. Сведем систему A11 к нормальной системе, введя новые неизвестные функции jc1, х9, х*, X1, по следующим формулам: При этой замене система A1) переходит в систему A2) =/<<. х\ х\ xl = g(t, х1, х\ Xя, х1). Если предположить, что функции fug, стоящие в правых частях уравнений A1), определены в некотором открытом множестве Г пя- пятимерного пространства, где координатами точки служат t, a, it, v, t, причем функции эти непрерывны и имеют непрерывные частные про- производные первого порядка по переменным и, и, v, v, то система A2) нормальна и удовлетворяет условиям теоремы 2 на множестве 1\ Отсюда легко следует, что для произвольной точки tQ, и0, щ, vt, 4fc множества Г существует решение и = <р(*), v = ty(t) системы A\\ удовлетворяющее начальным условиям Кроме того, всякие решения с одинаковыми начальными условиям! совпадают на общей части их интервалов существовании. Доказательство предложения Б) проводится точно так же, ка и доказательство предложения А). Если одно уравнение я-го порядка задано в форме F{t,y,S. ...,/n))=0, A1) не разрешенной относительно высшей производной у^ неизвестной фуш* кции, то прежде всего возникает вопрос о возможности разрешения 30 ВВЕДЕНИЕ [Гл. 1 его относительно _у1"""; этот вопрос можно считать не относящимся к области дифференциальных уравнений, он относится скорее к об- области теории функций. Здесь, однако, имеются некоторые вопросы, которые разбираются в теории дифференциальных уравнений. Они носят следующий характер. Допустим, что уравнение A3) является квадратным относительно переменного _у(л\ Тогда оно определяет двузначную функцию ум остальных переменных. Там, где два зна- значения действительно различны, мы приходим в сущности к двум различным уравнениям вида E), но там, где два значения перемен- переменного yl"\ определяемые уравнением A3), сливаются, расщепление на два уравнения вида E) невозможно и приходится рассматривать уравнение A3). Изучение таких уравнений приводит к понятию об особых решениях дифференциального уравнения и к рассмотрению уравнений на поверхностях. Эти вопросы, однако, в книге рассмат- рассматриваться не будут. Примеры 1. Решим уравнение?-{-сЛс=о, (и) где (о - положительная константа. Непосредственно проверяется, что функция jc = r cos (orf-|-a), r^sO, A5) где г и а - постоянные, удовлетворяет этому уравнению. Покажем, что формула A5) охватывает совокупность всех решений. Пусть x - "f(t)- произвольное решение уравнения A4). В силу теоремы 3 (см. конец предложения А)) можно считать, что решение лг^<р(<) определено для всех значений t. Положим Sin а = = хв. Если эти равенства выполнены, то решения A5) и <р@ имеют одинаковые начальные значения 0, ха, х0 и потому совпадают (см. предложение А)). Функция A5) описывает гармонический колебательный процесс. Положительная константа г называется амплитудой колебания A5), а а - его начальной фазой или просто фазой. Уравнение A4) на- вывается уравнением гармонических колебаний. Число ш называется частотой колебаний, хотя в действительности число колебаний в секунду определяется формулой 2. Рассмотрим движение точки р массы т по горизонтальной прямой / под действием силы F, притягивающей ее к точке о на f «1 СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ 81 той же прямой и пропорциональной расстоянию между точками р и о. Для составления уравнения движения точки р введем на прямой / координату, приняв за начало точку о. Переменную координату точки р обозначим через x=x(t). Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения точки р будет иметь вид: т х = F = -kx. Это уравнение обычно записывается в виде: тх -j- kx - 0. A6) Физически сила F может быть осуществлена какой-либо пружиной (рис. 5). Число k называется коэффициентом"упругости этой пру- пружины. Согласно формуле A5) решение уравнения A6) имеет вид: Таким образом, частота колебаний ш=1/ -¦ точки р определя- определяется ее массой т и упругостью пружины k; она не зависит от на- начальных условий. От начальных условий, т. е. от положения л:0 точ- точки р и ее скорости х0 в момент? = 0, зависят амплитуда г коле- колебания и его начальная фаза а. к-*- Рис. 5. 3. Составим и решим приближенно уравнение математического маятника. Математический маятник представляет собой точку р массы т, которая под действием силы тяжести движется по окруж- окружности К радиуса /, лежащей в вертикальной плоскости. Величина / называется длиной маятника. На окружности К введем угловую ко- координату, приняв за начало координат самую нижнюю точку о ок- окружности К (рис. 6). Переменную координату точки р обозначим через <р = ".р(<). Точка р находится под действием силы тяжести P=mg, направленной вертикально вниз. Составляющая этой силы, направленная по нормали к окружности, уравновешивается благодаря реакции связи (окружности или нити, заставляющей точку двигаться по окружности); составляющая, направленная по касательной к ок- окружности в точке р, равна - mgsin "f (если за положительное 32 ВВЕДЕНИЕ [Гл I направление на касательной принять направление, соответствующее возрастанию угла <р). Таким образом, уравнение движения точки р имеет вид: или, иначе, A7) Уравнение это нелинейно, и его решение представляет большие трудности. Если предположить, что координата <р точки р в процессе движения мало отклоняется от нуля, то приближенно в уравнении A7) можно заме- заменить sin"f через <р> и мы по- получим «приближенное» ли- линейное уравнение маятника: И, Его решение имеет вид (см. A5)): Таким образом, частота «ма- «малых колебаний» маятника определяется формулой ш = о ___ Рис. 6. Число v малых колебаний маятника в секунду определяется фор- формулой Например, длина секундного маятника, т. е. маятника, совершаю- совершающего одно колебание в секунду (у = \[сек), определяется формулой м. § 5. Комплексные дифференциальные уравнения До сих пор мы рассматривали лишь действительные уравнения и их действительные решения. В некоторых случаях, однако, напри- например при решении линейных уравнений с постоянными коэффициен- коэффициентами, бывает легче найти сначала комплексные решения дей- действительного уравнения, а затем уже выделить из них действитель- действительные решения. Для изложения этого подхода мы должны ввести §5] КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 33 понятия комплексной" функции действительного переменного и комп- комплексной системы дифференциальных уравнений. А) Говорят, что задана комплексная функция х@ действитель- действительного переменного t, если на некотором интервале ri<^tf<^ra каж- каждому значению переменного t поставлено в соответствие комплексное число где <р@ и ty(t) являются действительными функциями действитель- действительного переменного t. Функция y(t) называется действительной ча- частью комплексной функции х@> а функция ty(t) называется мнимой частью комплексной функции х@_- Комплексная функция х@ назы- называется непрерывной, если функции" (t) и ty(t) непрерывны. Точно так же комплексная функция y_(t) называется дифференцируемой, если, дифференцируемы функции т0 на том же интервале и коэффициенты многочленов f и @/ являются непрерывными функциями. Таким об- образом, прапые части системы E) определены и удовлетворяют усло- условиям теоремы 2 в открытом множестве Г, определяемом единствен- КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ УРАВНЕНИЯ 35 ным условием ные переменные Полагая ху, .. налагаемым на.... у" х" и у t, в то время как осталь- остальостаются произвольными. 11 *"@ = ?" У= >. У=1, и, мы приходим к задаче отыскания решения системы E) при началь ных условиях. и. y=i, В силу теоремы 2 решение это существует; всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на обшей чаои их интервалов определения. Если система A) линейна, то система E) также линейна, и по- потому заключительная часть предложения Б) вытекает из теоремы 3. Следует отметить, что система A), в правых частях которой стоят многочлены относительно переменных zx, ..., z", может бьмь действительной, т. е. коэффициенты этих многочленов могут быть действительными функциями переменного t; тем не менее д;ы можем и в этом случае рассматривать систему A) как комплексную, именно искать ее комплексные решения, считая, что функчии z1,..., zn комплексны. Этот подход к действительным уравнениям применяется потому, что в некоторых случаях, легче найти комплексные решения действительных уравнений, чем их действительные решения. В этом случае находят сначала комплексные решения действительной системы уравнений, затем из комплексных решений выделяют действительные решения, т. е. рассматривают только такие комплексные решении, мнимая часть которых обращается в нуль. Именно таким приемом будут » дальнейшем решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Так же, как в действительном случае, и в комплексном случае к нормальной системе можно свести довольно общие системы диффе- дифференциальных уравнений. Таким образом, мы имеем в комплексном случае предложения, аналогичные предложениям А), Б) § 4. Здесь дадим только формулировку теоремы существования для одного уравнения «-го порядка. В) Пусть *<">=/(". z. i, .... г)) F) - уравнение порядка п, в котором правая часть является многочле- многочленом относительно переменных г, ?, ..., z{n~v с коэффициентами, являющимися непрерывными действительными или комплексными функциями переменного t, определенными на интервале 9i ...»-?o(" "^ - произвольные комплексные числа, a tf0 - дей- действительное число, удовлетворяющее неравенствам qi<^to<^q= ^ , SltlT> = 2/ Пусть X = ji-|-/v есть комплексное число. В силу формулы G) мы имеем: Мы покажем, что для комплексных значений X имеет место следую- следующая формула дифференцирования: + (9) хорошо известная для действительных значений параметра X. Формула G), принятая здесь за определение функции е" комплексного переменного w, может быть доказана, если фун- функцию ew определить с помощью ряда Мы, однако, будем считать, что функция ё" определяется формулсп G). §5] КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 37 Докажем формулу (8). Пусть ^i = Я| -f- lvu wi Тогда имеем: = e+ (cos (w, -f ц) + / sin (vt + w2)) = Докажем теперь формулу (9). Рассмотрим сначала случай чисто мни- мнимого числа X = tv. Мы имеем: - еы = -гг (COS v/ ~\-1 sin -vf) = - v sin v* -|- h cos \t = = h (cos v< -f-1 si" v0 = be"rf- Далее, для произвольного X = jA-j-b в силу формулы дифференци- дифференцирования произведения имеем: еы = Примеры 1. Рассмотрим комплексное уравнение A0) где z -je-f-/y есть комплексная неизвестная функция действитель- функция действительною переменного t, a X = jA-}-b - комплексное число. Из (9) сле- следует, что z = ceu A1) есть решение уравнения A0) при произвольной комплексной посто- постоянной с. Покажем, что формула A1) охватывает совокупность всех решений. Для этого, как и в примере 1 § 1, можно было бы вос- воспользоваться теоремой единственности, но мы используем здесь и тео- теорему 3, для того чтобы показать, как при ее помощи можно несколько упростить вычисления. В данном случае эти упрощения очень незна- незначительны, но в дальнейшем аналогичный прием может дать более существенные результаты. Итак, пусть z = x (t) - произвольное ре- решение уравнения A0). В силу теоремы 3 (см. заключительную часть предложения В)) можно считать, что решение это определено для всех значений t. Полагая y@) = z0, мы видим, что решение z = % (t) имеет своими начальными значениями числа 0, zv Те же начальные значе- значения имеет, очевидно, и решение получаемое из A1) при с = г0. 88 ВВЕДЕНИЕ |Гл I Если положить c = reia, где г^Ои а - действительные числа, ю решение A1) записывается в форме z = reu+ia. A2) Расщепим теперь уравнение A0) на действительную и мнимую части. Мы имеем: = (И- Ь) (или X = {XX - -yy, 1 Таким образом, система A3) двух действительных уравнений равно- равносильна одному комплексному уравнению A0), и потому произвольное решение x = y(t), y=ty(t) системы A3) связано с произвольным ре- решением A2) уравнения A0) соотношением

(/) и свободные члены bt (t) уравнений являются функциями t. Если все свободные члены системы A) тождественно равны нулю, то система называется однородной. Каждой линейной системе соответствует однородная линейная система, получающаяся из нее отбрасыванием свободных членов. Таким образом, линейной системе A) соответствует линейная однородная система % = Ь 1= I, .... я- B) / * Отметим несколько непосредственно проверяемых свойств линей- линейных систем. При их формулировке будет предполагаться, что псе коэффициенты и свободные члены линейной системы определена и непрерывны на интервале 9i есть решение системы D), то система функций иредставляет себой решение системы A). ГЛАВА ВТОРАЯ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Системы обыкновенных дифференциалышх уравнений с постоян- постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не представляет больших трудностей, часто считают, что они не имеют сколько-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводят место простого при- примера к общей теории линейных уравнений. Между тем линейные урав- уравнения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные техни- технические применения, так как работа весьма многих технических объектов достаточно адэкватным образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического ха- характера в теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих прикладную направленность, и некоторые из них нашли отражение в настоящей главе. Так, в этой главе используются обычные для ин- инженерной практики операционные обозначения, которые очень удобны для решения систем уравнений методом исключения. Рассматривается вопрос об устойчивости решений систем линейных уравнений, очень важный в теории автоматического управ- управления. Далее, излагается так называемый метод комплексной амплитуды, представляющий собой удобный способ нахождения частных установившихся решений и широко применяемый в электро- электротехнике. Не ограничиваясь решением чисто математических задач, порож- порожденных практикой, я привожу здесь в очень краткой догматической форме изложение теории электрических цепей. Расчет электрических цепей дает хорошую и важную с технической точки зрения иллю- иллюстрацию развитых в этой главе математических методов. Кроме того, в настоящую главу включено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка, которому предшест- предшествует самое начальное изучение фазовых пространств автономных 42 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 (вообще говоря, нелинейных) систем. Фазовые пространства авто- автономных систем также находят важные приложения в технике. Благодаря всему сказанному глава о линейных уравнениях с постоянными коэффициентами занимает в этой книге значительно больше места, чем это обычно бывает в учебниках по теории обык- обыкновенных дифференциальных уравнений. Изложение всего материала настоящей главы очень элементарно, за исключением лишь § 14, где используется жорданова форма матриц. Все сделанное при по- помощи жорданозой формы в дальнейшем не употребляется и может быть пропущено, как это подробно указано в § 14. § 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней) В этом и следующем параграфах будет решено линейное одно- однородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка и, т. е. уравнение <) ,) пг^0. A) где г есть неизвестная функция независимого переменного /, а. ко- коэффициенты Я|, .... аа суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этого уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты at, ..., ап действительны) из них будут выделены действительные решения. Уравнение A) можно записать в виде: *<»> = - Й1 *<"-» - ... - а„_, г - ап г, B) так что к нему применима теорема существования и единственности (см. предложение В) § 5). В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения B) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все ре- решения. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет опе- операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе опера- операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени г от произвольной функции z = z(t) обоз- обозначается не через -^- г, а через pz, так что буква р, стоящая сле- слева от функции, является символом дифференцирования по t Если позволить себе применить к символу дифференцирова- дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к f 7.1 СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 43 обозначению Пользуясь этим обозначением, мы можем написать tz -f-... -f an.. #2 -f aj. перь в правой части последнего ра за скобку функцию г, то мы получа сог" -f- 00 Если теперь в правой части последнего равенства позиолигь себе вынести за скобку функцию г, то мы получаем равенство = (а,/1 Таким образом, мы приходим к формальному определению. А) Пусть L (р) = floP" 4- а\Рп~х + ¦ + ап-\Р + ап - произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z - некото- некоторая действительная или комплексная функция действительного пере- переменного t. Положим: L [р)г = а,гМ + а^п-л) + _^ + а^ + ^ C) Если t(p) и Af(p) суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования />), а г, zv z%-функции переменного t, то, каж легко видеть, мы имеем тождества = L (р) zx 4- /- (p)zit ¦ Hp)(AHp)z)=(Hp)M(p))z. В силу введенных обозначений уравнение A) может быть запи- записано в виде: Цр)г = 0, D) где L (р)=р" 4- я,?"-14- + o»-iP + «« Б) Пусть Z. (/?) - произвольный многочлен относительно символа р. Тогда L(p)P*=L(\). Положим: Покажем теперь, что константы си сь..., сп можно выбрать так, чтобы и решение z(t), определяемое формулой (8), удовлетворяло тем же начальным условиям *»-1. (9) Подставляя функцию z из формулы (8) в уравнения (9), получаем: "^4fl 4) ", У-к СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 45 Соотношения A0) представляют собой систему из я уравнений отно- относительно неизвестных с1, с\ ..., сп. Для того чтобы система A0) была разрешима, достаточно, чтобы детерминант матрицы г.(О) J?g@) г(,п-2Ч0) *<"->) -. ^п-2"@) ^-"@) 4"->) - ^!)@), не обращался в нуль. Непосредственно видно, что матрица A1) имеет вид: /1 1 ... 1 i Х8 ... Хп и потому ее детерминант (детерминант Вандермонда) отличен от нуля, так как все числа Xt, X, Х„ попарно различны. Однако мы дадим другое (непосредственное) доказательство того, что детерминант мат- матрицы A1) отличен от нуля. Доказательство это в дальнейшем будет обобщено и на случай кратных корней. Если бы детерминант матрицы A1) обращался в нуль, то суще- существовала бы линейная зависимость между ее строками. Допустим* что эта линейная зависимость имеет место. Это значит, что суще- существуют такие числа bn_lt Ьп_ч, ..., Ьо, не обращающиеся одновременно в нуль, что, умножая на них строки матрицы A1) и складывая, полу- получаем нулевую строку. Выписывая k-R член этой нулевой строки, по\пу- чаём: *„- ** @)+*»-А @)+...+V<"~2) @)+ »@) = 0. A2) Если обозначить через М (р) многочлен b$n i -j- fc,p"~* -{-...-(- bn_^p ~\- -\-bn_x, то соотношение A2) можно записать в виде: В силу формул E) и G), отсюда получаем: а это невозможно, так как степень многочлена М(р) не превосхо- превосходит п - 1, потому он не может иметь п различных корней 46 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл. 2 Х|, ..., Xfe, .... А„. Полученное противоречие показывает, что детер- детерминант системы A0) отличен от нуля, и потому константы с1, .... с" можно (и притом однозначно) выбрать так, чтобы решения z^(t) и z(t) удовлетворяли одинаковым начальным условиям. При таком (и только при таком) выборе этих констант решение (8) совпадает с заданным решением г%{1). Итак, теорема 4 доказана. Если коэффициенты многочлена L{p), входящего в уравнение F), действительны, то возникает вопрос о выделении действительных решений из совокупности (8) всех комплексных решений. Решение этого вопроса опирается на предложение Г), при форму- формулировке и доказательстве которого мы будем пользоваться вектор- векторными обозначениями. Напомним их здесь. В) Вектором л-мерного пространства будем называть последо- последовательность, состоящую из п чисел: и = (и\ и2, .... н"). Здесь и - вектор, а и1, н4 и" - числа, называемыа его коорди- координатами. Векторы всегда будем обозначать жирными буквами. Если координаты вектора - действительные числа, то вектор считается действительным, если же координаты его комплексны, то и сам вектор считается комплексным. Вектор и, комплексно сопряженный с вектором я, определяется равенством й = (иТ i?, .... /7). Очевидно, что вектор и тогда и только тогда является действитель- действительным, когда а = и. Произведение вектора « = («", и9, ..., и") на действительное или комплексное число а определяется формулой а« = иа = (ам1, аи8, ..., аи"). Сумма векторов « = («", м9 и") и v=(vl, v* vn) определяется формулой Нулевым вектором называется вектор 0, все координаты которого равны нулю. Пусть «1, «2 «г - конечная система векторов. Соотношение §7] СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 47 где а1(аг а, - числа, среди которых имеются не равные нулю, называется линейной зависимостью между векторами ии и4. .., иг. Если между векторами не существует линейной зависимости, то они называются линейно независимыми. Пусть «/ = («}, и], .... и]), У-1. .... г. Числа и1, образуют матрицу (и"); "=1 я; 7=1» .... г. Если считать, что верхний индекс / указывает номер строки, а нижний j - номер столбца, то матрица {и") имеет высоту и и ширину г. Таким образом, вектору iij в матрице (и1) соответствует j-R столбец (состоящий из координат этого вектора). Отсюда видно, что линей- линейной зависимости векторов иь щ, ..., иг соответствует линейная зависимость столбцов матрицы (и".). В случае г = м матрица (н".) квад- квадратна, и векторы и, и, .... «„ тогда и только тогда линейно неза- независимы, когда детерминант М этой матрицы отличен от нуля. Г) Пусть «I. ** .... zn A3) - система из и линейно независимых комплексных векторов в л-мер- ном пространстве. Допустим, что система A3) вместе с каждым вектором содержит сопряженный ему вектор. При этих предположе- предположениях вектор г, определяемый формулой z = clzx + ... + c"z,v (И) тогда и только тогда действителен, когда коэффициенты, стоящие при сопряженных векторах, сопряжены, а коэффициенты, стоящие при действительных векторах, действительны. Докажем это. Будем предполагать для определенности, что выпол- выполнены соотношения ~Zj = Zf, 7=2* + !. - « J Тогда вектор г согласно A4) имеет вид: z = с1*, + с% +... + с2*-1^, + c*»zih + <* а вектор z - вид: *= T*Zy + ?г2 +...+ «^.rf- ^"!г4А + c2*+1zifttl +... + с» zn. A6) Если с1 = ?, ..., с" = с2*, c2ft+1 = с5*4; . .к, сп == с", A7) то из равенств A5) и Aб) следует, что z = z, т. е. что вектор е действителен. Если, наоборот, предположить, что вектор z дей« 48 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ G ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 ствителен, т. е. что г =г, то равенства A5) и A6) дают (в силу линейной независимости векторов A3)) систему соотношений A7). Итак, предложение Г) доказано. Нижеследующее предложение Д) дает способ выделения дей- действительных решений из совокупности всех комплексных решений уравнения F) в случае, когда коэффициенты многочлена L (р) дей- действительны. Д) Допустим, что коэффициенты многочлена L(p) действительны; тогда наряду с каждым комплексным корнем Х_многочлен L (р) имеет сопряженный с ним корень X. Решения еи и еи уравнения F) сопря- сопряжены между собой (см. § 5,Г)). Если же корень X действителен, то реше- решение еи действительно. Таким образом, наряду с каждым решением в системе решений G) имеется также комплексно сопряженное с ним решение. Для того чтобы решение (8) уравнения F) было действи- действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты, стоящие при комплексно сопряженных решениях, были сопряжены, а коэффициенты при действительных решениях действительны. Для доказательства обозначим через zk вектор с координатами {zk@), 2k@),..., г%~2Щ, z?-l> @)} и через г - вектор с координа- координатами {z0, ?«,..., zf,")}. Тогда соотношения A0) принимают вид: Векторы Zi, Zi,..., zn линейно независимы, так как детерминант мат- матрицы A1) отличен от нуля. Таким образом, необходимость приведен- приведенного в Д) условия следует непосредственно из Г). С другой стороны, если это условие выполнено, то решение (8) действительно. В самом деле, если Xt и Ха - два комплексно сопряженных корня, а с1 и с8 -¦ две комплексно сопряженные константы, то функции с1ех^ и с*ех*1 комплексно сопряжены, а следовательно, их сумма действительна. Итак;"предложение Д) доказано. Примеры 1. Найдем все комплексные решения уравнения Г - 35-f- 9i-\-l3z - 0. Его можно записать в виде F), где Непосредственно проверяется, что р = - 1 есть корень характера стического многочлена L (р). Разделив L(p) на р-f-l. получаем: -4/>+13), откуда находим еще два корня 2 ± 3/. Таким образом, корнями § 71 СЛУЧАЙ ПРОСТЫХ КОРНЕЙ 49 многочлена L (р) являются числа В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения, имеет вид: В нижеследующих примерах 2 и 3 даются два общих правила выделения действительных решений. Правила эти непосредственно вытекают из предложения Д). 2. Будем считать, что система решений G) удовлетворяет условиям...,Zn - Zn, A8) и положим: zx=xx-\-lyx, .... zik_x = xk + lyk, где xx xk, yu ... i V* - действительные функции. Будем, далее, считать, что числа с1, с*, ..., с" удовлетворяют условиям A7) и по- положим: с1 =1-(а1 - /* ). ..-. "** " = 1 (а* - 1Ъ% где а1, ..., ак, bl, ..., Ък - действительные числа. При этих обозна- обозначениях общее действительное решение уравнения F) записывается в виде: г = al где суть произвольные действительные числа. 8. Опять будем считать, что решения G) удоелетворяю* условиям A8); положим: В предположении, что числа с1, с\ ..., с" удовлетворяют условиям A7), мы можем положить: В этих обозначениях каждое действительное решение z записывается в виде: г = p,e|li" cos (v,f -f a,) -f...-{- pft^ft" cos (vftf + aft) -f -f сг*+V2*+i" -f... -f c"e V. Здесь рц..., pft, a, ..., aft, c2ft+1, ..., с" суть произвольные действи- действительные константы. Из последней записи видно, что каждая мнимая 60 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 часть v,- ^ь 0 корня Ху придает решению колебательный характер частоты v;-, а каждая действительная часть jxy корня \j дает e?.jy либо рост (при ^^>0), либо убывание (при (а;-<^0). 4. Используя результаты примеров 2 и 3, мы можем записать все действительные решения уравнения, рассмотренного в примере 1, в двух следующих формах: г = axev cos 3* -f blev sin Ы -f сV, г = р,с4" cos § 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней) Если характеристический многочлен L (Р) =Рп + сцрп-1 +... + -f а„ уравнения?(р)г = 0 A) (см. § 7, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида еи нельзя найти п различных решений уравнения A). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующим на- наводящим соображением. Пусть Xi и Х9 - два различных действитель- действительных корня характеристического многочлена L(p); тогда функция -j г-" является решением уравнения A). Если теперь предполо- жить, что при изменении коэффициентов многочлена L (р) число Xj стремится к Xj, то это решение переходит (в цределе) в функцию fe*"", о которой естественно предположить, что она является реше- решением уравнения A) в случае, если Xj есть двукратный корень мно- многочлена L(p). Аналогично мы приходим к догадке, что если X есть Л-кратный корень характеристического многочлена L(p), то решениями уравнения A) яиляются все функции: Распространяя эту догадку на случай комплексных кратных корней, мы приходим к предположению о справедливости нижеследующей теоремы (являющейся обобщением теоремы 4): Теорема 5. Пусть L{p)z = V B) - линейное однородное уравнение порядка п с постоянными коэф- коэффициентами. Пусть, далее, Х„ ..., Хт - совокупность всех по- попарно различных корней характеристического многочлена L (р) уравнения B), причем корень Х7- имеет кратность kj, так что *»l СЛУЧАИ КРАТНЫХ КОРНЕЙ 61 ~\~ *« ~\-" ~\- 1*т = п- Положим: zkt = C) Тогда все функции C) являются решениями уравнения B), ч/яо и/м/ любых комплексных постоянных с1, с3, ..., с" функция D) также является решением этрго уравнения. Решение это явля- является общим в том смысле, что каждое решение уравнения B) может быть получено по формуле D) при надлежащем выборе констант с1 с". /7ри этом константы с1, .... с" однозначно определяются для каждого данного решения z. Заметим, что функции C) определены на всей числовой прямой - оо <^t<^ -|- оо. Доказательству теоремы 5 предпошлем доказательство формулы смещения. А) Пустл?(/?)-произвольным многочлен, X - произвольное ком- комплексное число и/(<) - произвольная достаточное число раз диффе- дифференцируемая функция. Тогда имеет место следующая нажпая формула: L (р) (e*f(t)) = еи ¦ L (/> + l)f(t). E) Докажем формулу E). Проверим ее сначала для случая L(p)^p. Мы имеем: Р (^"/@) = X /" Теперь формулу E) легко проверить для произвольного многочлена первой степени L(p) = ap-\- b. Мы имеем: (ар + *) (^7@) = ^ (f = ае» (р + Х)/(<) + be"f{t) = еи [а (р + X) Доказательство формулы E) в общем случае проведем индуктивно по степени п многочлена L(j>). Для п=\ формула, как мы видели, верна. Допустим, что она справедлива для многочлена степени п - 1 («5=2), и докажем ее для многочлена L (р) степени п. Для этого многочлен L{p) степени п разложим на два множителя L(p) = = Ly (p) ¦ Ц (р), где Ll(p) имеет степень 1, а?«(/>) имеет степень п-1. Так как для каждого из многочленов Ц{р) и Z.2(/0 формула E) справедлива, то мы имеем (см. § 7, А)): = Lt(p) (I, (р) (еХ//@)) = Ц(р) (euU 62 ЛИНЕЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 Таким образом, формула E) доказана. Докажем теперь предложение Б), в котором теорема Б почти пол- полностью содержится. Б) Пусть L (р) - произвольный многочлен относительно символа р и пусть функция юг@ действительного переменного t определяется формулой где X - комплексное число. Оказывается, что если X есть А-кратнып корень многочлена L (р), то функции щ (t) o)ft_, (t) тождественно равны нулю. С другой стороны, оказывается, что если функции и>0@> o>i(<)> ¦> wk-\(t) равны нулю хотя бы для одного вначения t = te, т. е. имеют место равенства % Со) = «oi Со) =... = «ом Со) = 0, F) то.Х есть корень многочлена L{p) и кратность этого корня не меньше к. Докажем предложение Б). В силу формулы смещения (см. E)) имеем: vr{t) = euL{p + \)tr. G) Допустим сначала, что X есть А-кратный корень многочлена L(p), т. е. что Заменив в этом тождестве р через р -f- X, получим: /.(р + А) = Л*(р + Х)/. (8) Из формул G) и (8) получаем: is>r{t)=eXtM(p-\-V)(/tr) = Q при г = 0, 1, .... А -1, так как рНг = 0 при r<^k. Таким образом, первая часть предложе- предложения Б) доказана. Допустим теперь, что имеют место соотношения (в). Разлагая L(p-\-\) по степеням р, получаем: (9)" Из соотношений G) и (9) получаем: а это в силу F) дает Допустим теперь, что имеют место равенства A0) § 8 | СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ 53 и докажем, что br~0. В силу G), (9) и A0) имеем: В силу F) из этого следует Ь, = 0. Таким образом, Ьй - Ьх = ... = fcft_i = 0, и многочлен /.(p-f-A) имеет вид: Заменяя в этом тождестве р через р - X, получаем: а это показывает, что X есть корень многочлена L (р), причем крат- кратность его не меньше k. .Таким образом, предложение Б) доказано. Доказательство теоремы 5. Из первой части предложе- предложения В) непосредственно следует, что функции C), указанные в фор- формулировке теоремы 5, являются решениями уравнения B). Докажем, что, выбирая надлежащим образом константы с1 с", мы можем получить по формуле D) произвольное решение z% уравнения B) (при этом, в отличие от того, что было сделано при доказательстое теоремы.4, мы здесь не будем пользоваться теоремой 3). Пусть г% - произвольное решение уравнения B), определенное на некотором интервале ri<^i, COS (t -\- ai) -|- ptt COS (t + a-i). § 9. Устойчивые многочлены Пусть L(p)z = 0 , A) - линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Вопрос о том, как ведут себя решения этого уравнения при t-~4-°o (стремятся ли они к нулю, остаются ограниченными или неограниченно возрастают), играет очень важную роль в целом ряде приложений теории обыкновенных дифференциальных уравнений. |9] УСТОЙЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 67 В примерах 3 § 7 и 4 § 8 уже отмечалось, что этот вопрос о по- поведении решений уравнения A) связан с тем, каковы действительные части корней многочлена L {р). Формулируем теперь эту связь более точно: А) Многочлен L (р) называется устойчивым, если все его корни имеют отрицательные действительные части или, говоря геометриче- геометрическим языком, лежат по левую сторону от мнимой оси плоскости комплексного переменного. Пусть J~l т - все корни многочлена L (р). Если многочлен этот устойчив, то существует такое положительное число а, что J=l т- B) Мы покажем, что для каждого решения "f (t) уравнения A) в,втом случае найдется такое положительное число М, что \ стремится к нулю при f-oo и потому ограничена при t^ 0. Таким образом, мы имеем: или, что то же, se-al при Если теперь - произвольное решение уравнения A), то при <^>0 имеем: Таким образом, неравенство C) доказано. Следует отметить, что если хотя бы один из корней X,- многочлена L(p) имеет положитель- положительную действительную часть ^ ]> 0, то существует решение е 1* урав- уравнения (I), неограниченно возрастающее при t-»oo. 68 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (Гл. 8 Нахождению различных, по возможности удобных для практи- практического применения условий устойчивости многочленов до сих пор посвящаются многие исследования математиков. Для многочлена вто- второй степени условие устойчивости непосредственно выводится из формулы решения квадратного уравнения (см. Б)). Вопрос об устой- устойчивости многочлена произвольной степени л был решен в несколько различных формах математиками Раусом и Гурвицем. Условия Ра- Рауса - Гурвица, однако, мало удобны для вычислительной практики, и потому продолжают до.сих пор отыскивать новые формулировки условий устойчивости. Здесь будет приведено доказательство крите- критерия Рауса - Гурвица для п = 3 и без доказательства будет дано условие устойчивости для произвольной степени я в форме Гурвица. Б) Многочлен второй степени L(p)=р%-\-ар-\-b с действитель- действительными коэффициентами а и b тогда и только тогда устойчив, когда коэффициенты его положительны. Это утверждение легко проверяется при помощи формулы реше- решения квадратного уравнения. В) Если многочлен L{p)=pn-\-aipn~x-\- ... +а„ с действитель- действительными коэффициентами устойчив, то все его коэффициенты положи- положительны. Для доказательства разложим многочлен L (р) на действительные множители первой и второй степени, т. е. на множители вида р-\-с и pi -\- ар -\- Ь. Так как многочлен L (р) устойчив, то и каждый мно- множитель указанного вида, входящий в его состав, также устойчив. Для устойчивости множителя р -\- с необходимо, чтобы число с было положительно, а для устойчивости множителя р9 -(- ар -f- b необхо- необходимо, чтобы оба числа a, b были положительными. Из положитель- положительности коэффициентов множителей легко следует положительность коэффициентов произведения. Нижеследующая теорема дает критерий устойчивости для много- многочленов 3-й степени. Теорема 6. Многочлен L(j>) - 04? -f- atf2 -f- <цр -|- а3, а„ > О с действительными коэффициентами тогда и только тогдаустой- чае, когда числа at, а^, а3 положительны и, сверх того, выпол- выполнено неравенство Доказательство. При доказательстве будем рассматривать многочлен L(p) = p* + ap*-\-bp-\-c D) случай общего многочлена L (р) легко сводится к этому. В силу предло- предложения В) нам достаточно доказать, что многочлен D) с п о л о ж к- тельными коэффициентами а, Ь, с тогда и только тогда устойчив, §91 УСТОЙЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 69 когда имеет место неравенство ab>c. E) При доказательстве мы воспользуемся тем, что корни многочлена являются непрерывными функциями его коэффициентов. Выясним прежде всего, при каких условиях многочлен D) имеет чисто мнимые корни, в частности, корень р -0, который также сле- следует считать чисто мнимым, так как он лежит на мнимой оси. Мы имеем: L(P) = (p-\-a)(pi-\-b)-ab-\-c. F) Если многочлен L{p) имеет корень 0, то с = 0, а это по предполо- предположению исключено, так как с ^> 0. Допустим, что корнем многочле- многочлена L (/?) является число /со, где со ф 0. Если предположить при этом, что число - «о4 -|- Ь отлично от нуля, то число (/о) -|~ а) (- w* -(- Ь) имеет отличную от нуля мнимую часть и не может взаимно уничто- уничтожаться с действительным числом -ab -J- с. Таким образом, число /и> лишь тогда может быть корнем многочлена L (р), когда - ю4 -}- Ь = 0; в этом случае мы имеем равенство L(h>) = ~ аЬ-\-с-Ъ. Обратно, если ab - c, то в силу F) многочлен L(p) имеет чисто мни- мнимые корни p = :+:i]/rb. Таким образом, многочлен L{p) (с положи- положительными коэффициентами) тогда и только тогда имеет чисто мнимые корни, когда ab = c. В частности, при непрерывном изменении поло- положительных коэффициентов а, Ь, с корень многочлена L (/?) только тогда может пересечь мнимую ось, когда выполнено равенство ab = с. Допустим, что неравенство E) не выполняется. Тогда либо ab = с, либо ab<^c. В первом случае многочлен L (р) имеет чисто мнимые корни и, следовательно, неустойчив. Покажем, что во втором случае, т. е. при выполнении неравенства а* О, G) многочлен L{p) также неустойчив. Будем менять непрерывно коэф- коэффициенты а и Ь, оставляя их положительными, так, чтобы они стре- стремились к нулю и чтобы при этом неравенство G) не нарушалось. При этом изменении ни один корень не перейдет с одной стороны мнимой оси на другую, и, следовательно, свойство многочлена быть устойчивым или неустойчивым не изменится. При а = Ь = 0 получаем многочлен р3-\-с, который имеет корни y^cfcos -^-zb/sin -g-J, лежа- лежащие по правую сторону мнимой оси. В силу непрерывности зависи- зависимости корней от коэффициентов, неустойчивость (наличие корней справа от мнимой оси) сохраняется и при достаточно малых поло- положительных а и Ь. 60 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 Допустим теперь, что неравенство E) выполнено, и покажем, что многочлен L (р) устойчив. Для этого будем менять коэффициент с так, чтобы он стремился к нулю, оставаясь положительным, и чтобы неравенство E) при этом не нарушалось. При с = 0 мы получаем многочлен имеющий один нулевой корень и два корня с отрицательными дей- действительными частями. При малом положительном с эти два корня мало изменятся, так что произведение их останется положительным, а нулевой корень перейдет в малый положительный или отрицательный. Так как произведение всех трех корней равно отрицательному чис- числу - с, то корень, близкий к нулю, будет отрицателен. Итак, теорема 6 доказана. Для того чтобы формулировать необходимые и достаточные усло- условия устойчивости любого многочлена с действительными коэффици- коэффициентами, условимся сначала о терминологии. Пусть Рк...> Рп... Pin р - Ра\ РпЛ - произвольная квадратная матрица порядка п. главным k-м минором детерминант матрицы Рп... Рчл... Ры Будем называть ее Pki .../> минор этот мы будем обозначать через Afc (P). Таким образом, детер- детерминант Дд(Р) составлен из элементов матрицы Р, входящих в пер- первые k столбцов и строк. Теорема 7. Пусть аор"-\-aip"~l-f- ... -\-а„, Оо~^>0 (8) - произвольный многочлен" степени п с действительными коэф- коэффициентами. Для того чтобы выяснить вопрос о его устойчи- устойчивости, составляют матрицу /а, а3 ав... О \ а0 а4 а^ ... О О а, аА \ 0 -я/ § 9] УСТОЙЧИВЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 61 порядка п. Оказывается, что многочлен (8) устойчив тогда и только тогда, когда все главные миноры &k(Q), k=\, ...", Л матрицы Q положительны. Теорема 7 в этой книге доказана не будет. Доказательство ее можно найти, например, в книге: Н. Г. Ч е т а е в, Устойчивость дви- движения, Гостехиздат, М., 1956 (см. стр. 79 - 83). Во избежание недоразумений опишем матрицу Q. Столбец номера k матрицы Q имеет вид: где элемент ak стоит на главной диагонали; при этом элемент ct+y, индекс k-\-j которого отрицателен или больше п, считается рав- равным нулю. Примеры \. "Выведем из теоремы 7 теорему 6. В случае п = 3 матр

Четвертая (последняя) книга из серии небольших научно-популярных книг «Знакомство с высшей математикой». В ней изложение теории дифференциальных уравнений проведено с упором на линейные уравнения с постоянными коэффициентами, с применением этих уравнений к теории электрических цепей. Рассмотрены также автономные системы, положение равновесия в них и предельные циклы с применением к теории регулирования и работе лампового генератора.
Для школьников старших классов, интересующихся математикой, и студентов младших курсов вузов. Может быть полезна преподавателям средней и высшей школы.

Электрические цепи.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений находит свои применения в различных областях техники; она применяется в электротехнике и, в частности, радиотехнике. При некоторой идеализации работа радиоприбора может быть математически описана системой обыкновенных дифференциальных уравнений, причем неизвестными функциями времени в этой системе являются величины токов, проходящих через различные детали прибора, или падения напряжения между отдельными узлами прибора. Радиоприборы дают очень богатый материал, иллюстрирующий применения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гораздо более богатый, чем, например, задачи механики. Богатство это характеризуется, в частности, тем, что систему обыкновенных дифференциальных уравнений, возникшую из какой-нибудь технической задачи, часто удается смоделировать электрическим прибором, т. е. сконструировать такой электрический прибор, работа которого описывается той же системой уравнений, что и интересующий нас технический объект.

Такой моделирующий электроприбор может до некоторой степени помочь в решении системы уравнений, так как, наблюдая за его работой, мы тем самым наблюдаем за поведением неизвестных функций, удовлетворяющих системе уравнений. Физические законы, управляющие работой электроприборов, формулируются настолько просто, что они легко могут быть сообщены даже человеку, почти незнакомому с физикой. Здесь в несколько догматической форме дается изложение простейших законов электротехники и приводится несколько примеров применения дифференциальных уравнений к изучению работы электроприборов.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Знакомство с высшей математикой, Книга 4, Дифференциальные уравнения и их приложения, Понтрягин Л.С., 1988 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Л.С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

• Бесплатно скачать книгу , 3.54 Мб, формат.djv
Учебник удостоен Государственной премии СССР 1975 года
Издание четвертое, 1974 год

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

Глава первая. Введение
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования
§ 3. Формулировка теоремы существования и единственности
§ 4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения
§ 6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях

Глава вторая. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 7. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней)
§ 8. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней)
§ 9. Устойчивые многочлены
§ 10. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
§ 11. Метод исключения
§ 12. Метод комплексных амплитуд
§ 13. Электрические цепи
§ 14. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами
§ 15. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства
§ 16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

Глава третья. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
§ 17. Нормальная система линейных уравнений
§ 18. Линейное уравнение n-го порядка
§ 19. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами

Глава четвертая. Теоремы существования
§ 20. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения
§ 21. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений
§ 22. Непродолжаемые решения
§ 23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений параметров
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям параметрам
§ 25. Первые интегралы

Глава пятая. Устойчивость
§ 26. Теорема Ляпунова
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского)
§ 28. Предельные циклы
§ 29. Ламповый генератор
§ 30. Положения равновесия автономной системы второго порядка
§ 31. Устойчивость периодических решений

Добавление I. Некоторые вопросы анализа
§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств
§ 33. Теоремы о неявных функциях

Добавление II. Линейная алгебра
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен
§ 35. Функции матриц
§ 36. Жорданова форма матрицы

Краткая аннотация книги

Эта книга написана на основе лекций, которые я в течение ряда лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории автоматического управления. Эти применения и послужили руководством при выборе материала для моих лекций.

Теория колебаний и теория автоматического управления, несомненно, играют очень важную роль в развитии всей современной материальной культуры, и потому я считаю, что такой подход к выбору материала для курса лекций является, если и не единственно возможным, то во всяком случае разумным. Стремясь дать студентам не только чисто математическое орудие, пригодное для применений в технике, но также продемонстрировать и сами применения, я включил в лекции некоторые технические вопросы. В книге они изложены в § 13, 27, 29. Эти вопросы составляют неотъемлемую органическую часть моего курса лекций и, соответственно, этой книги.

Кроме материала, излагавшегося на лекциях, в книгу включены некоторые более трудные вопросы, разбиравшиеся на студенческих семинарах. Они содержатся в § 19, 31 книги. Материал, содержащийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.

Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использующийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств, расположенных в евклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной алгебре.

В этом, втором издании по-новому изложены теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных значений и параметров, а также о дифференцируемости решений по этим величинам. Сделаны также многие более мелкие исправления.

В заключение я хочу выразить благодарность моим ученикам и ближайшим товарищам по работе В. Г. Болтянскому, Р. В. Гамкрелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке и чтении лекций, а также при написании и редактировании этой книги.

Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долголетние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги, Л.С. Понтрягин.

Книги, книги скачать, скачать книгу, книги онлайн, читать онлайн, скачать книги бесплатно, читать книги, читать книги онлайн, читать, библиотека онлайн, книги читать, читать онлайн бесплатно, читать книги бесплатно, электронная книга, читать онлайн книги, лучшие книги математика и физика, интересные книги математика и физика, электронные книги, книги бесплатно, книги бесплатно скачать, скачать бесплатно книги математика и физика, скачать книги бесплатно полностью, онлайн библиотека, книги скачать бесплатно, читать книги онлайн бесплатно без регистрации математика и физика, читать книги онлайн бесплатно математика и физика, электронная библиотека математика и физика, книги читать онлайн математика и физика, мир книг математика и физика, читать бесплатно математика и физика, библиотека онлайн математика и физика, чтение книг математика и физика, книги онлайн бесплатно математика и физика, популярные книги математика и физика, библиотека бесплатных книг математика и физика, скачать электронную книгу математика и физика, бесплатная библиотека онлайн математика и физика, электронные книги скачать, учебники онлайн математика и физика, библиотека электронных книг математика и физика, электронные книги скачать бесплатно без регистрации математика и физика, хорошие книги математика и физика, скачать книги полностью математика и физика, электронная библиотека читать бесплатно математика и физика, электронная библиотека скачать бесплатно математика и физика, сайты для скачивания книг математика и физика, умные книги математика и физика, поиск книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно математика и физика, электронная книга скачать математика и физика, самые лучшие книги математика и физика, электронная библиотека бесплатно математика и физика, читать онлайн бесплатно книги математика и физика, сайт книг математика и физика, библиотека электронная, онлайн книги читать, книга электронная математика и физика, сайт для скачивания книг бесплатно и без регистрации, бесплатная онлайн библиотека математика и физика, где бесплатно скачать книги математика и физика, читать книги бесплатно и без регистрации математика и физика, учебники скачать математика и физика, скачать бесплатно электронные книги математика и физика, скачать бесплатно книги полностью, библиотека онлайн бесплатно, лучшие электронные книги математика и физика, онлайн библиотека книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно без регистрации, библиотека онлайн скачать бесплатно, где скачать бесплатно книги, электронные библиотеки бесплатные, электронные книги бесплатно, бесплатные электронные библиотеки, онлайн библиотека бесплатно, бесплатно читать книги, книги онлайн бесплатно читать, читать бесплатно онлайн, интересные книги читать онлайн математика и физика, чтение книг онлайн математика и физика, электронная библиотека онлайн математика и физика, бесплатная библиотека электронных книг математика и физика, библиотека онлайн читать, читать бесплатно и без регистрации математика и физика, найти книгу математика и физика, каталог книг математика и физика, скачать книги онлайн бесплатно математика и физика, интернет библиотека математика и физика, скачать бесплатно книги без регистрации математика и физика, где можно скачать книги бесплатно математика и физика, где можно скачать книги, сайты для бесплатного скачивания книг, онлайн читать, библиотека читать, книги читать онлайн бесплатно без регистрации, книги библиотека, бесплатная библиотека онлайн, онлайн библиотека читать бесплатно, книги читать бесплатно и без регистрации, электронная библиотека скачать книги бесплатно, онлайн читать бесплатно.

,
С 2017 года возобновляем мобильную версию веб-сайта для мобильных телефонов (сокращенный текстовый дизайн, технология WAP) - верхняя кнопка в левом верхнем углу веб-страницы. Если у Вас нет доступа в Интернет через персональный компьютер или интернет-терминал, Вы можете воспользоваться Вашим мобильным телефоном для посещения нашего веб-сайта (сокращенный дизайн) и при необходимости сохранить данные с веб-сайта в память Вашего мобильного телефона. Сохраняйте книги и статьи на Ваш мобильный телефон (мобильный интернет) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов, бесплатно (по цене услуг Интернет) и без паролей. Материал приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг и статей на веб-сайте и их продажи третьими лицами запрещены.

Примечание. Удобная текстовая ссылка для форумов, блогов, цитирования материалов веб-сайта, код html можно скопировать и просто вставить в Ваши веб-страницы при цитировании материалов нашего веб-сайта. Материал приведен для ознакомления. Сохраняйте также книги на Ваш мобильный телефон через сеть Интернет (есть мобильная версия сайта - ссылка вверху слева страницы) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.