При вращении ведерка с водой. Вращаем ведёрко с водой

В приведённой ниже серии задач из открытого банка ФИПИ с интересным физическим содержанием (задания под номером 10 на профильном ЕГЭ) необходимо уметь выполнять не сложные действия с числами, находить квадратные корни.

Задание №41343 Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v L — длина верёвки в метрах, g g =10 м/с 2 211,6 см? Ответ выразите в м/с.

Решение. Вначале выразим длину верёвки в метрах 211,6 см = 2,116 м. Для того, чтобы вода не выливалась достаточно нулевого давления на дно ведёрка. Подставим значения давления, длины верёвки и ускорения свободного падения в формулу (1) и получим

0 = m ( v 2 /2,116 – 10) , разделим обе части на массу воды, она не равна нулю по условию.

0 = v 2 /2,116 – 10 , перенесём 10 в другую часть уравнения и умножим обе части на 2,116.

21,16 = v 2 , извлечём квадратный корень и получим v = 4,6.

Ответ 4,6.

Задания для самостоятельной работы.

m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 129,6 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 184,9 см? Ответ выразите в м/с.

m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 57,6 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 115,6 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 240,1 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 144,4 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 96,1 см? Ответ выразите в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, вычисляется по формуле (1), где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g =10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 52,9 см? Ответ выразите в м/с.

Прототип задания 11 (№ 27956)

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 100 - 10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \(r(p) = q \cdot p\). Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) оставит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение

$$r = q \cdot p = (100 - 10p)\cdot p,$$

$$r = 100p - 10p^2.$$

$$100p - 10p^2 \ge 240, $$

$$p^2 - 10p+24 \le 0,$$

$$4 \le p \le 6. $$

Значит, наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб., равна 6 тыс. руб.

Прототип задания 11 (№ 27957)

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2\), где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Решение

Найдем моменты времени, в которые мяч будет находится на высоте 3 метра:

$$1,6 + 8t - 5t^2 = 3,$$

$$5t^2 - 8t+1,4 = 0,$$

$$t_1 = 0,2,~t_2 = 1,4.$$

Первый раз мяч достигнет высоты 3 метра над землей через 0,2 секунды, второй раз (когда будет падать) - через 1,4 секунды (отсчитывая от момента броска).

Поэтому мяч будет находится на высоте не менее 3 метров в течение 1,4 - 0,2 = 1,2 сек.

Ответ: 1,2.

Прототип задания 11 (№ 27958)

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна \(P = m(\frac{v^2}{L}-g)\), m - масса воды в килограммах, v - скорость движения ведeрка в м/с, L - длина верeвки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c 2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение

Для того, чтобы вода не выливалась, нужно, чтобы в верхней точке P = 0. Поэтому

$$\frac{v^2}{L}-g = 0,$$

$$\frac{v^2}{0,4}-10 = 0,$$

$$v^2 = 4,~v = 2.$$

Наименьшая скорость равна 2 м/с.

Прототип задания 11 (№ 27959)

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt+ \frac{g}{2}k^2t^2\), где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0 = 20\)м - начальная высота столба воды, k = 1/50 - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g - ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/c 2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Задача 1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где - расстояние в метрах, - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение:

Вычислим расстояние до воды до дождя:

Во время дождя уровень воды поднимится, уменьшится время падения камешка и составит 1 с.

Тогда расстояние до воды после дождя будет м.

Соответственно уровень воды поднимется после дождя на м.

Ответ: 2,2.

Задача 2. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где - высота в метрах, - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Решение:

Находим интересующее нас время из неравенства:

Корни квадратного трехчлена : 0,2 и 2,4.

Поэтому переходим к следующему неравенству:

Стало быть, мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров в течении секунд.

Ответ: 2,2.

Задача 3. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где - масса воды в килограммах, - скорость движения ведeрка в м/с, - длина верeвки в метрах, - ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 160 см? Ответ выразите в м/с.

Решение:

Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.

Не забудьте перевести сантиметры в метры!

Поскольку – положительная величина, переходим к равносильному неравенству:

В силу неотрицательности переменной неравенство равносильно следующему:

Наименьшее значение , отвечающее неравенству, равно 4.

Задача 4. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где t - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м - начальная высота столба воды, - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а - ускорение свободного падения (считайте м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение:

Первоначальная высота столба в баке (при ) – м.

Четверть объема останется тогда в баке, когда высота столба воды в баке станет м.

Подставляем в основную формулу:

Таким образом, через 400 с после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды.

Ответ: 400.

Задача 5. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где t - время в минутах, К, К/мин, К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Найдем , отвечающее

Подставляя все известные величины, получаем:

Через 2 минуты после включения прибор нагреется до 1750 К, и если его нагревать и дальше, прибор может испортиться.

Поэтому, прибор нужно выключить через 2 минуты.

Задача 6. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где - время в минутах, мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а мин - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет 3000˚. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Найдем , отвечающее углу намотки :

Минут (в силу неотрицательности переменной имеем один корень)

Рабочий должен проверить работу лебедки не позднее 30 минут после начала работы.

Задача 7. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с. За секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Решение:

Согласно условию время , прошедшее от момента начала торможения, находится из следующего уравнения:

За 2 секунды после торможения автомобиль проделает путь 30 м.

Задача 8. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кгсм, даeтся формулой . При каком максимальном значении момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг см? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение:

Момент инерции катушки не должен превышать предельного значения 1300 кг см, поэтому

В силу неотрицательности , получаем:

Так, максимальное подходящее значение – это 10 см.

Задача 9. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где - постоянная, - радиус аппарата в метрах, кг/м - плотность воды, а - ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 42000 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение:

Выталкивающая сила при погружении должна быть не больше, чем 30618 Н, поэтому

Соответственно, максимальный радиус аппарата, отвечающий неравенству – 1.

Задача 10. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P , измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, а температура - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м, а излучаемая ею мощность не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение:

Решим неравенство:

Сокращаем обе части неравенства на

Умножаем обе части на 128:

В силу неотрицательности , имеем:

Наименьшая возможная температура звезды – 4000 К.

Ответ: 4000.

Вы можете пройти , часть 2.

«Вода не выливается из сосуда, который вращается, – не выливается даже тогда, когда сосуд перевернут дном вверх, ибо этому мешает вращение», – писал две тысячи лет назад Аристотель. На рисунке изображен этот эффектный опыт, который, без сомнения, многим знаком: вращая достаточно быстро ведерко с водой, как показано на рисунке, вы достигаете того, что вода не выливается даже в той части пути, где ведерко опрокинуто вверх дном.

В обиходе принято объяснять это явление «центробежной силой», понимая под нею ту воображаемую силу, которая будто бы приложена к телу и обусловливает стремление его удалиться от центра вращения. Этой силы не существует: указанное стремление есть не что иное, как проявление инерции, а всякое движение по инерции осуществляется без участия силы. В физике под центробежной силой разумеют нечто иное, а именно – ту реальную силу, с какой вращающееся тело натягивает удерживающую его нить или давит на свой криволинейный путь. Сила эта приложена не к движущемуся телу, а к препятствию, мешающему ему двигаться прямолинейно: к нити, к рельсам на кривом участке пути и т. п.

Обращаясь к вращению ведерка, попытаемся разобраться в причине этого явления, не прибегая вовсе к двусмысленному понятию «центробежной силы». Зададим себе вопрос: куда направится струя воды, если в стенке ведерка сделать отверстие? Не будь силы тяжести, водяная струя по инерции направилась бы по касательной АК к окружности АВ . Тяжесть же заставляет струю снижаться и описывать кривую (параболу АР ). Если окружная скорость достаточно велика, эта кривая расположится вне окружности АВ . Струя обнаруживает перед нами тот путь, по которому при вращении ведерка двигалась бы вода, если бы не препятствовало надавливающее на нее ведерко. Теперь понятно, что вода вовсе не стремится двигаться отвесно вниз, а потому и не выливается из ведерка. Она могла бы вылиться из него лишь в том случае, если бы ведерко было обращено отверстием в направлении его вращения.

Вычислите теперь, с какой скоростью надо в этом опыте вращать ведерко, чтобы вода из него не выливалась вниз. Скорость эта должна быть такова, чтобы центростремительное ускорение вращающегося ведерка было не меньше ускорения силы тяжести: тогда путь, по которому стремится двигаться вода, будет лежать вне окружности, описываемой ведерком, и вода нигде от ведерка не отстанет. Формула для вычисления центростремительного ускорения W такова;

где v – окружная скорость, R – радиус кругового пути. Так как ускорение тяжести на земной поверхности g = 9,8 м/сек 2 , то имеем неравенство v 2 /R = 9,8. Если положить R равным 70 см, то

Способностью жидкости прижиматься к стенкам сосуда, в котором она вращается вокруг горизонтальной оси, пользуются в технике для так называемого центробежного литья. При этом имеет существенное значение то, что неоднородная жидкость расслаивается по удельному весу: более тяжелые составные части располагаются дальше от оси вращения, легкие занимают место ближе к оси. Вследствие этого все газы, содержащиеся в расплавленном металле и образующие так называемые «раковины» в литье, выделяются из металла во внутреннюю, полую часть отливки. Изделия, изготовленные таким способом, получаются плотные и свободные от раковин. Центробежное литье дешевле обычного литья под давлением и не требует сложного оборудования.

Вариант 1 (2015)

1.1 Для покраски 1 кв. м потолка требуется 290 г краски. Краска продаётся в банках по 2 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 62 кв. м?

1.2 Бегун пробежал 150 м за 15 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

2. На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно 210 C.

3 .Для транспортировки 42 тонн груза на 1100 км можно воспользоваться услугами одной из трех фирм-перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждого перевозчика указана в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку?

4. Найти длину средней линии трапеции, если размер клетки 5см х 5 см. Ответ дайте в сантиметрах.

5 . В чемпионате мира участвуют 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Китая окажется в четвёртой группе?

6. Найдите корень уравненияlog 1 (7 3 x ) 2 .

7. КасательныеCA иCB к окружности образуют уголACB , равный 820 . Найдите величину меньшей дугиAB , стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.

на интервале (-8;5). В какой точке отрезка [-1;4] функцияf (x ) принимает наибольшее значение?

9. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды.

11. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила

килограммах, v - скорость движения ведeрка в м/с,L - длина верeвки в метрах,g - ускорение свободного падения (считайтеg 10 м/с2 ). С какой наименьшей скоростью

надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с.

12. Объем одного шара в 125 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 40 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 70 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3,5 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите точку минимума функцииy (2 x 2 12 x 12) e 5 x .

15. а) Решите уравнение

16. В кубеABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскость проходящая через прямуюA 1 B параллельно

прямой AC делит куб на два многогранника.

а)Докажите что отношение объемов многогранников 5:1

б) Найдите ребро куба, если объем многогранника, имеющего большее количество граней равен 20 3

17. Решить неравенство:

18. В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся трех его сторон и другой окружности каждая.

а) Доказать, что это окружности равных радиусов.

б) Найти площадь параллелограмма, если радиус окружности равен 1, так же известно, что длина одного из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания с

одной из окружностей равна 3 .

19. Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

20. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

4e x 5e x e x 2a 111e x 2

имеет ровно 2 корня.

21 . На доске написано следующее выражение:*1/1*1/2*1/3...*1/12

А) Докажите, что невозможно заменить звёздочки на + 1 и – 1 так, чтобы значение выражения стало равным 0.

Б) Какое наименьшее количество дробей надо убрать, чтобы стало возможным сделать значение оставшегося выражения равным 0 путём замены звёздочек на + 1 и – 1.