Для равновесия тела, находящегося под действием произвольной системы сил и пар сил, необходимо и достаточно, чтобыглавный вектор и главный момент этой системы относительно любой точки равнялись нулю.Главным вектором называют геометрическую сумму всех сил системы, аглавным моментом относительно точки – геометрическую сумму моментов всех сил относительно этой точки.
В общем случае условия равновесия в векторной форме имеют вид:
Проецируя векторные равенства (12.1) на координатные оси, получим аналитические условия равновесия:
;
Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма моментов их относительно каждой из этих осей были равны нулю.
При рассмотрении частных случае, когда система сил, действующих на тело, не является произвольной пространственной, условия равновесия записывают с учетом специфики данной системы сил.
Задачи статики на равновесие тела под действием различных систем сил следует решать в предлагаемой последовательности:
1) выбрать объект равновесия;
2) изобразить все активные силы, действующие на объект равновесия;
3) отбросить связи, наложенные на объект равновесия, и заменить их действие реакциями, соответствующими типам связей;
4) записать для полученной системы сил систему уравнений равновесия, решить эту систему и определить искомые величины.
Примечания:
■ в качестве объекта (объектов) равновесия может быть выбрана материальная точка, тело или совокупность связанных между собой тел таким образом, чтобы к этому объекту (объектам) были приложены все искомые силы или их часть;
■ если из уравнения равновесия невозможно однозначно определить все искомые силы или иные неизвестные параметры, то задача является статически неопределенной и решать ее в рамках статики нельзя. При этом возможны следующие случаи: число неизвестных больше числа уравнений статики, матрица системы уравнений при равенстве числа неизвестных числу уравнений – особенная (вырожденная ), число неизвестных меньше числа уравнений. В последнем случае объект может находиться в равновесии только при условиях, налагаемых на активные силы.
1.4. Центр параллельных сил. Центр тяжести
В статике доказывают, что если система параллельных сил имеет равнодействующую, то существует точка, притом только одна, через которую проходит ее линия действия. Эту точку называютцентром параллельных сил . Центр параллельных сил обладает одним важным свойством – если все силы повернуть относительно параллельных осей, проходящих через точки их приложения на один и тот же угол, то равнодействующая системы этих сил повернется на тот же угол относительно аналогичной оси, проходящей через центр параллельных сил.
Рассмотрим тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести Земли. При этом на каждый элементарный объем рассматриваемого тела действует сила тяжести
,
(1.3)
где
– удельный вес элемента объема
,
.
Когда тело однородно,
не зависит от координат.
Силы тяжести, действующие на каждый элементарный объем тела, направлены к центру Земли. Если размерами тела по отношению к размерам Земли пренебречь, то систему сил тяжести можно считать системой параллельных сил, направленных в одну сторону. Такая система всегда имеет равнодействующую, а, следовательно, и центр параллельных сил.
Центр системы сил тяжести, действующих на тело со стороны Земли, называют центром тяжести тела . Если тело рассматривается в системе отсчета с центром в точкеО и с координатными осямиx ,y ,z (рис. 1.8), то радиус-вектор центра тяжести и его координаты определяют по формуле:
Здесь
– модуль силы тяжести, действующей на
элементарный объем
.
Центр тяжести не изменяет своего
положения по отношению к телу при любой
его ориентации относительно Земли.
Центр тяжести – геометрическая точка,
которая может не принадлежать телу, но
обязательно с ним жестко связана. Если
тело однородно, т.е.
,
где
,
то вместо понятия центр тяжести можно
использовать центр тяжести объема,
занимаемого телом. Аналогично, если
однородное тело представляет собой
тонкую пластинку или оболочку постоянной
толщины, либо тонкий криволинейный
стержень постоянной толщины, то центр
тяжести такого тела называютцентром
тяжести поверхности
илилинии
.
Формулы, по которым определяют координаты центров тяжести однородных тел, имеют следующий вид:
– центр тяжести объема
– центр тяжести поверхности
– центр тяжести линии
,
(1.7)
где соответственно величины: V – объема тел;S – площади поверхности тела;L – длины тела, по которым берут интегралы.
Для нахождения центров тяжести тел используют непосредственно приведенные формулы, а также правила симметрии и методы разбиения сложных тел на более простые, для которых легче определить положения их центров тяжести. В отдельных случаях положения центров тяжести тел находят экспериментальным путем.
1.5 .Сухое трение. Законы Кулона
Понятия сухого трения вводятся в теоретическую механику из физики. Реальные тела не являются идеально гладкими и абсолютно твердыми. Поэтому при попытке перемещать или катить одно тело по поверхности другого возникают, кроме сил взаимодействия, направленных по общей нормали к соприкасающимся поверхностям в месте их контакта, силы и пары сил, которые препятствуют скольжению и качению. Эти силы называют соответственно силами трения скольжения и силами трения качения. Трение называютсухим , если между взаимодействующими твердыми телами отсутствует смазочный материал.
Многие задачи статики не могут быть решены без учета сил трения. Так, например, без этих сил невозможно равновесие твердого тела на наклонной плоскости. Всем известен факт буксования колес автомобиля на скользкой дороге, так что само движение в большинстве случаев обусловлено силами трения. Трение скольжения и трение качения учитывают в статике посредством эмпирических (опытных) данных, которые называют законами Кулона .
При попытке качения одного тела по поверхности другого сопротивление качению оказывает пара сил, называемая моментом сил трения качения . Сформулируем законы Кулона для трения качения. Направление момента сил трения качения противоположно тому направлению, в котором активные силы стремятся катить тело. Величина момента трения качения находится в интервале 0 ≤М тр ≤М тр.пр. Ее определяют формулой
М тр.пр = δN ,
где δ – коэффициент трения качения , имеющий размерность длины;N – нормальное давление. Экспериментально установлено, что величина δ зависит от материалов тел и радиуса катящегося тела. Значения δ можно найти в справочниках.
Отличительной особенностью задач статики при наличии сил трения является то, что, когда сила трения F тр или момент сил тренияМ тр меньше предельных значений, реакции связей, включающие силу и момент сил трения, определяют из уравнений равновесия, как обычно. Если же силы трения достигают предельных значений, то их находят с помощью коэффициентов трения и вводят как известные величины. При этом, однако, тело не находится в равновесии и применение уравнений статики ко всему телу становится неправомерным. Для установления равновесия тел при наличии трения уравнения равновесия дополняют соответствующими неравенствами, которые требуют, чтобы сила трения скольжения или момент сил трения качения не превосходили предельных значений.
Вопросы для самоконтроля
1. Что изучают в разделе статика курса теоретической механики?
2. Что называют абсолютно твердым телом?
3. Как определяют понятия силы и системы сил в статике?
4. Какие соотношения существуют между силами и системами сил? Приведите классификацию сил.
5. На каких аксиомах базируются теоретические положения статики?
6. Какое тело называют несвободным?
7. Как определяют понятия связей и их реакций?
8. Какие основные связи могут быть наложены на абсолютно твердое тело? Какие реакции возникают в этих связях?
9. Как формулируют условия равновесия абсолютно твердого тела в векторной и аналитической формах?
10. Какова последовательность решения задачи об определении реакций связей?
11. Какие условия должны выполняться для разрешимости системы уравнений равновесия абсолютно твердого тела?
12. Как определяют радиус-вектор и координаты центра тяжести тела?
13. Каким образом в статике учитывают действие сил сухого трения на твердое тело?
14. В чем заключаются особенности решения задач статики при наличии сил трения?
Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси, вокруг которой тело может вращаться, также равна нулю. Но здесь возникает такой вопрос: а устойчиво ли равновесие?
С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки (рис. 170) неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведет к тому, что он скатится вниз. А вот тот же шарик помещен на вогнутой подставке (рис. 171). Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Положение шарика можно считать устойчивым. В чем тут дело? Ведь в обоих случаях шарик находится в равновесии: сила тяжести равна по абсолютной величине противоположно направленной силе упругости (силе реакции) действующей со стороны опоры (рис. 172 и 173).
Все дело оказывается именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. При самом малом отклонении, которое всегда происходит из-за случайных сотрясений, воздушных течений и других причин, равновесие шарика нарушается. На рисунке 172 видно, что, как только шарик на выпуклой подставке покинул
свсе место, сила тяжести перестает уравновешиваться силой со стороны опоры (сила всегда направлена перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Геометрическая сумма (равнодействующая) силы тяжести и силы реакции опоры, т. е. сила направлена так, что шарик еще больше удалится от положения равновесия.
Иное дело на вогнутой подставке (рис. 173). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая направлена так, что тело вернется в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.
Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении от равновесного положения возникает сила, возвращающая тело к положению равновесия.
Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия возникает сила, удаляющая тело от этого положения.
Устойчивое и неустойчивое положения равновесия отличаются друг от друга еще и положением центра тяжести тела. Когда шарик находится в положении неустойчивого равновесия, его центр тяжести выше, чем когда он находится в любом соседнем положений. Наоборот, у шарика на вогнутой опоре центр
тяжести в положении устойчивого равновесия ниже, чем в любом из соседних положений. Значит, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений. Это определение устойчивости и неустойчивости тесно связано с предыдущим.
Возможно и такое положение равновесия, когда малые отклонения от него не приводят к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре (рис. 174). Ясно, что при любом изменении положения шарика оно остается равновесным. Такое равновесие называют безразличным.
Если тело имеет ось вращения, то его устойчивость или неустойчивость зависит от того, возникает ли момент силы, возвращающей тело к положению равновесия или, наоборот, удаляющей тело от этого положения.
В качестве примера рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца, как показано на рисунке 175, а. В таком положении линейка находится в равновесии, потому что сила тяжести проходящая через ее центр тяжести, уравновешивается силой реакции (силой упругости) со стороны стержня (опоры). Но если отклонить линейку от вертикального положения (рис. 175, б), то сила тяжести уже не уравновешивается реакцией опоры. Момент
силы тяжести относительно оси теперь не равен нулю (рис. 175, б). Вследствие этого сила возвратит линейку (после нескольких колебаний) в исходное положение. Поэтому положение линейки, показанное на рисунке 175, а, устойчиво. Но попытаемся подвесить ту же линейку на стержне так, как это показано на рисунке 176, а. Опыт убедит нас в том, что это сделать невозможно и нетрудно понять почему. Из рисунка 176, а видно, что при вертикальном положении линейки сила тяжести уравновешивается силой упругости (реакцией стержня), действующей на линейку со стороны стержня. Линейка должна находиться в равновесии. Но из рисунка 176, б видно, что при любом отклонении линейки от вертикального положения возникает момент силы тяжести. Вследствие этого линейка повернется так, чтобы занять положение, показанное на рисунке 176, в. Значит, равновесие линейки, соответствующее рисунку 176, а, неустойчиво.
Выходит, что равновесие тела при наличии оси вращения устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже оси вращения.
Понятно, что линейка, подвешенная на стержне, проходящем через отверстие в ее центре тяжести, будет находиться в безразличном равновесии (рис. 177). В этом случае при любом положении линейки момент силы тяжести, приложенной к ней, относительно оси вращения равен нулю.
Лабораторная работа № 5. Изучение равновесия тел под действием нескольких сил Цель работы: - экспериментально установить соотношение между силами, действующими на рычаг, и плечами этих сил, при котором рычаг находится в равновесии; - состоит в проверке утверждения о том, что тело, имеющее закреплённую ось вращения, находится в равновесии, если сумма моментов сил, стремящихся вращать тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, стремящихся вращать его против часовой стрелки. Оборудование: рычаг с балансиром, груз 100 г (4 шт.), стержень штатива с муфтой, динамометр, укладочный пенал. Дополнительное оборудование: линейка. Теоретическая часть. Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, не движется с ускорением. Подвесим шар на нити. На шар действует сила тяжести, но не вызывает ускоренного движения к Земле. Этому препятствует действие равной по модулю и направленной в противоположную сторону силы упругости. Сила тяжести и сила упругости уравновешивают друг друга, их равнодействующая равна нулю, поэтому равно нулю и ускорение шара (рис. 1). Рис. 1. Рис. 2. Точку, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом расположении тела, называют центром тяжести (рис. 2). Раздел механики, изучающий условия равновесия сил, называется статикой. Абсолютно твердым телом называют тело, расстоянием между любыми двумя точками которого неизменно. Равновесие невращающихся тел. Равномерное прямолинейное поступательное движение тела или его покой возможны только при равенстве нулю геометрической суммы всех сил, приложенных к телу. Таким образом, нвращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю. Рис. 3. Рис. 4. Рис. 5. Первое условие равновесия твердого тела: если его тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю: F1 F2 F3 ... Fn 0 (1) Равновесие тел, имеющих ось вращения. В повседневной жизни и технике часто встречаются тела, которые не могут двигаться поступательно, но могут вращаться вокруг оси. Примерами таких тел могут служить двери и окна, колеса автомобиля, качели и т. д. Если вектор силы F лежит на прямой, пересекающей ось вращения, то эта сила уравновешивается силой упругости Fупр со стороны оси вращения (рис. 3). Если же прямая, на которой лежит вектор силы F , не пересекает ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена силой упругости со стороны оси вращения, и тело поворачивается вокруг оси (рис. 4). Вращение тела вокруг оси под действием одной силы F1 может быть остановлено действием второй силы F2 . Опыт показывает, что если две силы F1 и F2 по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие: F1 d1 F2 d 2 (2) где d1 и d 2 - кратчайшие расстояния от прямых, на которых лежат векторы сил F1 и F2 (линии действия сил), до оси вращения (рис. 5). Длину перпендикуляра d, опущенного из оси вращения на линию действия силы, называют плечом силы. Моментом силы относительно оси вращения тела называется взятое со знаком «плюс» или «минус» произведение модуля силы на ее плечо. Момент силы F обозначается буквой M: M F d (3) Будем считать момент силы F положительным, если в отсутствие других сил она может вызвать поворот тела против часовой стрелки, и отрицательным, если F при тех же условиях может повернуть тело по часовой стрелке. За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1 Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон-метром (Н м). Второе условие равновесия твердого тела: при равновесии твердого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю: M 1 M 2 M 3 ... M n 0 (4) Общее условие равновесия тела. Объединяя два вывода, можно сформулировать общее условие равновесия тела: тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма векторов всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения. При выполнении общего условия равновесия тело необязательно находится в покое. Согласно второму закону Ньютона при равенстве нулю равнодействующей всех сил ускорение тела равно нулю и оно может находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно. Равенство нулю алгебраической суммы моментов сил не означает также, что при этом тело обязательно находится в покое. На протяжении нескольких миллиардов лет с постоянным периодом продолжается вращение Земли вокруг оси именно потому, что алгебраическая сумма моментов сил, действующих на Землю со стороны других тел, очень мала. По той же причине продолжает вращение с постоянной частотой раскрученное велосипедное колесо, и только внешние силы останавливают это вращение. Два условия равновесия твердого тела являются необходимыми и достаточными для равновесия твердого тела. Если же тело не абсолютно твердое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не находиться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равна нулю. Это происходит, потому что под действием внешних сил тело может деформироваться и сумма всех сил, действующих на каждый его элемент, в этом случае не будут равна нулю. Приложим, например, к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и равна нулю сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура. Виды равновесия. В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. Различают три вида равновесия тел: - устойчивое, - неустойчивое - безразличное. Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Это происходит, если при небольшом смещении тела в любом направлении от первоначального положения равнодействующая сил, действующих на тело, становится отличной от нуля и направлена к положению равновесия. В устойчивом равновесии находится, например, шар на дне углубления (рис. 6). Рис. 6. Рис. 7. Рис. 8. Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия (рис. 7). Если при небольших смещениях тела из первоначального положения равнодействующая приложенных к телу сил остается равной нулю, то тело находится в состоянии безразличного равновесия. В безразличном равновесии находится шар на горизонтальной поверхности (рис. 8). Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в устойчивом равновесии, если его центр тяжести расположен ниже оси вращения и находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения (рис. 9, а). При небольшом отклонении от этого положения равновесия алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, становится отличной от нуля, и возникающий момент сил поворачивает тело к первоначальному положению равновесия (рис. 9, б). Рис. 9. Рис. 10. Если же центр тяжести находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения, но расположен выше оси вращения, то равновесие неустойчивое (рис. 10, а, б). Тело находится в безразличном равновесии, когда ось вращения тела проходит через его центр тяжести (рис. 11). Равновесие тела на опоре. Если вертикальная линия, проведенная через центр тяжести С тела, пересекает площадь опоры, то тело находится в равновесии (рис. 12). Если же вертикальная линия, проведенная через центр тяжести, не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается (рис. 13). Рис. 11. Рис. 12. Рис. 13. Практическая часть. Работа предназначена для формирования более целостного представления о действии рычага и разновидностях его конструкции. Работа состоит из двух частей. В первой части экспериментально подтверждается условие равновесия рычага, а во второй части – второе условие равновесия. Перед началом выполнения работы внимательно прочитайте ход работы. 1. Соберите экспериментальную установку. Из укладочного пенала извлекают необходимое для работы оборудование, крышку пенала устанавливают на место. Рычаг прикрепляют крепежным винтом муфты к штативу, как и предусмотрено его конструкцией. Вид этой установки показан на рисунке 14. Убедитесь в том, что рычаг может вращаться вокруг оси без заметного трения. Перемещая ползунок вдоль рычага, найдите такое положение, при котором рычаг располагался бы на оси горизонтально. (Балансиром рычаг приводят в равновесие.). Рис. 14. Затем слева и справа от оси к рычагу подвешивают грузы, а отверстия для подвеса грузов выбирают так, чтобы рычаг оставался в равновесии. На каждой из сторон грузы должны быть повешены только к одному отверстию. Результаты опыта заносят в таблицу. 2. Ход работы. Для записи результатов измерений и вычислений подготовьте таблицу 1. Таблица 1. № опыта F1 , Н l1 , см M1, Н м F2 , Н l2 , см M2, Н м F1 F2 l2 l1 1. 2. 3. 4. 5. В таблице 1 обозначено: F1 - сила, стремящаяся вращать рычаг против часовой стрелки; F2 - сила, стремящаяся, вращать рычаг по часовой стрелке; l1 - плечо силы F1 ; l2 - плечо силы F2 . 1. К правой части рычага подвесьте два груза, используя для подвеса второе отверстие, справа от оси (рис. 15). Рис. 15. К левой части рычага подвесьте два груза. Место подвески этого груза определите экспериментально так, что бы рычаг сохранил равновесие. С помощью линейки измерьте плечи сил. Занесите данные первого опыта в первую строчку таблицы 1. При этом нужно учесть, что сила, стремящаяся вращать рычаг, равна весу грузов, которые подвешены. Вес грузов определяют с помощью динамометра. 2. К левой части рычага к первому отверстию от оси подвесьте три груза. К правой части рычага подвесьте один груз, выбрав место их подвески так, чтобы равновесие рычага сохранилось. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в этом опыте. Данные занесите во вторую строчку таблицы 1. 3. Повторите опыт, оставив без изменения плечо силы, а количество грузов уменьшите до одного. Сколько грузов и куда их надо подвесить к правой части рычага, чтобы равновесие рычага сохранилось. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в третьем опыте. Данные занесите в третью строчку таблицы 1. 4. К левой части рычага подвесьте два груза, используя для подвеса третье отверстие. Прикрепите динамометр ко второму отверстию справа от оси, как показано на рисунке 16, и, потянув за него вниз, верните рычаг в исходное положение. Рис. 16. По показанию динамометра определите величину силы F, которую необходимо было приложить к рычагу, чтобы вернуть его в равновесие. Измерьте линейкой плечи сил, приложенных к рычагу со стороны грузов и динамометра. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в четвертом опыте. Данные занесите в четвертую строчку таблицы 1. 5. Затем силы прикладывают к одной из сторон рычага. Ко второму отверстию справа прикладывают три груза, а динамометр прикрепляют к третьему отверстию, как показано на рисунке 17. По показанию динамометра определите величину силы F, которую необходимо было приложить к рычагу, чтобы вернуть его в равновесие. Измерьте линейкой плечи сил, приложенных к рычагу со стороны грузов и динамометра. Определите плечи и величины сил, приложенных к рычагу в пятом опыте. Данные занесите в пятую строчку таблицы 1. Рис. 17. 6. Для каждого опыта вычислите отношение сил F1 , прилагавшихся к F2 l2 . l1 7. Сделайте вывод о том, в каком отношении должны находиться приложенные к рычагу силы и их плечи, чтобы он находился в равновесии. рычагу и отношение их плеч 8. Для каждого опыта вычислите величины моментов сил M 1 и M 2 по M 1 F1 l1 формулам: (5) M 2 F2 l2 (6) и результаты занесите в таблицу 1. 9. Сравните величины моментов сил, приложенных к рычагу против и по часовой стрелке в каждом опыте, и сделайте вывод о справедливости утверждения, которое необходимо было проверить в работе. Вопросы для защиты лабораторной работы. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Что называется плечом силы? Что называется моментом силы? Что принимают за единицу момента силы? Когда момент силы считают положительным, а когда отрицательным? Назовите два условия равновесия твердого тела. Перечислите основные виды равновесия и кратко охарактеризуйте их. Внимательно посмотрите на рисунок 14 и скажите, находиться ли рычаг под действием приложенных сил в равновесии. Ответ поясните. Расстояние между отверстиями считать одинаковыми. Литература 1. Кабардин О. Ф.. Справ. Материалы: Учеб. Пособие для учащихся.-3-е изд.-М.: Просвещение, 1991.-с.:31-35. 2. Мякишев Г. Я.. Физика: Учебн. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский.-12-е изд.-М.: Просвещение,2004.- с.:129-138. 3. Справочник школьника. Физика/ Сост. Т. Фещенко, В. Вожегова.–М.: Филологическое общество «СЛОВО», ООО «Фирма» «Издательство АСТ», Центр гуманитарных наук при ф -те журналистики МГУ им. М. В. Ломоносова, 1998.–с.:309-312.
По
физике
за 9 класс (И.К.Кикоин, А.К.Кикоин, 1999 год),
задача №6
к главе «ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
».
Цель работы: установить соотношение между моментами сил, приложенных к плечам рычага при его равновесии. Для этого к одному из плеч рычага подвешивают один или несколько грузов, а к другому прикрепляют динамометр (рис. 179).
С помощью этого динамометра измеряют модуль силы F , которую необходимо приложить для того, чтобы рычаг находился в равновесии. Затем с помощью того же динамометра измеряют модуль веса грузов Р . Длины плеч рычага измеряют с помощью линейки. После этого определяют абсолютные значения моментов М 1 и М 2 сил Р и F :
Вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать, сравнив с единицей
отношение:
Средства измерения:
1) линейка; 2) динамометр.
Материалы: 1) штатив с муфтой; 2) рычаг; 3) набор грузов.
Порядок выполнения работы
1. Установите рычаг на штатив и уравновесьте его в горизонтальном положении с помощью расположенных на его концах передвижных гаек.
2. Подвесьте в некоторой точке одного из плеч рычага груз.
3. Прикрепите к другому плечу рычага динамометр и определите силу, которую необходимо прило
жить к рычагу для того, чтобы он находился в равновесии.
4. Измерьте с помощью линейки длины плеч рычага.
5. С помощью динамометра определите вес груза Р .
6. Найдите абсолютные значения моментов сил Р и F
7. Найденные величины занесите в таблицу:
|
M 1 = Pl 1 , Н⋅м | |||||
8. Сравните отношение
с единицей и сделайте вывод о погрешности экспериментальной проверки правила моментов.
Основной целью работы является установление соотношения между моментами сил, приложенных к телу с закрепленной осью вращения при его равновесии. В нашем случае в качестве такого тела мы используем рычаг. Согласно правилу моментов, чтобы такое тело находилось в равновесии, необходимо чтобы алгебраическая сумма моментов сил относительно оси вращения была равна нулю.
Рассмотрим такое тело (в нашем случае рычаг). На него действуют две силы: вес грузов P и сила F (упругости пружины динамометра), чтобы рычаг находился в равновесии и моменты этих сил должны быть равны по модулю меду собой. Абсолютные значения моментов сил F и P определим соответственно:
Выводы о погрешности экспериментальной проверки правила моментов можно сделать сравнив с единицей отношение:
Средства измерения: линейка (Δl = ±0,0005 м), динамометр (ΔF = ±0,05 H). Массу грузов из набора по механике полагаем равной (0,1±0,002) кг.
Выполнение работы
Определение
Равновесием тела называют такое состояние, когда любое ускорение тела равняется нулю, то есть все действия на тело сил и моментов сил уравновешены. При этом тело может:
- находиться в состоянии спокойствия;
- двигаться равномерно и прямолинейно;
- равномерно вращаться вокруг оси, которая проходит через центр его тяжести.
Условия равновесия тела
Если тело находится в равновесии, то одновременно выполняются два условия.
- Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулевому вектору : $\sum_n{{\overrightarrow{F}}_n}=\overrightarrow{0}$
- Алгебраическая сумма всех моментов сил, действующих на тело, равна нулю: $\sum_n{M_n}=0$
Два условия равновесия являются необходимыми, но не являются достаточными. Приведем пример. Рассмотрим равномерно катящееся без проскальзывания колесо по горизонтальной поверхности. Оба условия равновесия выполняются, однако тело движется.
Рассмотрим случай, когда тело не вращается. Для того, чтобы тело не вращалось и находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций всех сил на произвольную ось равнялась нулю, то есть равнодействующая сил. Тогда тело или находится в спокойствии, или двигается равномерно и прямолинейно.
Тело, которое имеет ось вращения, будет находиться в равновесном состоянии, если выполняется правило моментов сил: сумма моментов сил, которые вращают тело по часовой стрелке, должна равняться сумме моментов сил, которые вращают его против часовой стрелки.
Чтобы получить нужный момент при наименьшем усилии, нужно прикладывать силу как можно дальше от оси вращения, увеличивая тем же плечо силы и соответственно уменьшая значение силы. Примеры тел, которые имеют ось вращения, : рычаг, двери, блоки, коловорот и тому подобное.
Три вида равновесия тел, которые имеют точку опоры
- стойкое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее ближайшее положение и оставлено в спокойствии, вернется в это положение;
- неустойчивое равновесие, если тело, будучи выведенным из положения равновесия в соседнее положение и оставлено в спокойствии, будет еще больше отклоняться от этого положения;
- безразличное равновесие - если тело, будучи выведенным в соседнее положение и оставлено в спокойствии, останется в новом своем положении.
Равновесие тела с закрепленной осью вращения
- стойким, если в положении равновесия центр тяжести С занимает самое низкое положение из всех возможных ближних положений, а его потенциальная энергия будет иметь наименьшее значение из всех возможных значений в соседних положениях;
- неустойчивым, если центр тяжести С занимает наивысший из всех ближних положений, а потенциальная энергия имеет наибольшее значение;
- безразличным, если центр тяжести тела С во всех ближних возможных положениях находится на одном уровне, а потенциальная энергия при переходе тела, не изменяется.
Задача 1
Тело A массой m = 8 кг поставлено на шероховатую горизонтальную поверхность стола. К телу привязана нить, перекинутая через блок B (рисунок 1, а). Какой груз F можно подвязать к концу нити, свешивающейся с блока, чтобы не нарушить равновесия тела A? Коэффициент трения f = 0,4; трением на блоке пренебречь.
Определим вес тела ~A: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 Н.
Считаем, что все силы приложены к телу A. Когда тело поставлено на горизонтальную поверхность, то на него действуют только две силы: вес G и противоположно направленная реакция опоры RA (рис. 1, б).
Если же приложить некоторую силу F, действующую вдоль горизонтальной поверхности, то реакция RA, уравновешивающая силы G и F, начнет отклоняться от вертикали, но тело A будет находиться в равновесии до тех пор, пока модуль силы F не превысит максимального значения силы трения Rf max, соответствующей предельному значению угла ${\mathbf \varphi }$o(рис. 1, в).
Разложив реакцию RA на две составляющие Rf max и Rn, получаем систему четырех сил, приложенных к одной точке (рис. 1, г). Спроецировав эту систему сил на оси x и y, получим два уравнения равновесия:
${\mathbf \Sigma }Fkx = 0, F - Rf max = 0$;
${\mathbf \Sigma }Fky = 0, Rn - G = 0$.
Решаем полученную систему уравнений: F = Rf max, но Rf max = f$\cdot $ Rn, а Rn = G, поэтому F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 Н; m = F/g = 31,4/9,81 = 3,2 кг.
Ответ: Масса груза т = 3,2 кг
Задача 2
Система тел, изображённая на рис.2, находится в состоянии равновесия. Масса груза тг=6 кг. Угол между векторами $\widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}=60{}^\circ $. $\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|=\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|=F$. Найти массу гирь.
Равнодействующая сил ${\overrightarrow{F}}_1и\ {\overrightarrow{F}}_2$ равна по модулю весу груза и противоположна ему по направлению: $\overrightarrow{R}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2=\ -m\overrightarrow{g}$. По теореме косинусов, ${\left|\overrightarrow{R}\right|}^2={\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|}^2+{\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|}^2+2\left|{\overrightarrow{F}}_1\right|\left|{\overrightarrow{F}}_2\right|{cos \widehat{{\overrightarrow{F}}_1{\overrightarrow{F}}_2}\ }$.
Отсюда ${\left(mg\right)}^2=$; $F=\frac{mg}{\sqrt{2\left(1+{cos 60{}^\circ \ }\right)}}$;
Поскольку блоки подвижные, то $m_г=\frac{2F}{g}=\frac{2m}{\sqrt{2\left(1+\frac{1}{2}\right)}}=\frac{2\cdot 6}{\sqrt{3}}=6,93\ кг\ $
Ответ: масса каждой из гирь равна 6,93 кг
