Ротор (математика)

Ро́тор , или вихрь - векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается

(в русскоязычной литературе) или

(в англоязычной литературе),

а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:

Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:

Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.

Интуитивный образ

Если v (x,y,z) - поле скорости движения газа (или течения жидкости), то rot v - вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно rot v = 2 ω , где ω - эта угловая скорость.

Простую иллюстрацию этого факта - см. ниже.

Эта аналогия может быть сформулирована вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию (данное в следующем параграфе) можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Математическое определение

Ротор векторного поля - есть вектор, проекция которого на каждое направлениеn есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке .

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь F - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами , а - орты декартовых координат):

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла(слева) и векторного поля:

(Последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Связанные определения

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется безвихревым и является потенциальным . Поскольку эти условия являются друг для друга необходимыми и достаточными, оба термина являются практическими синонимами. (Впрочем, это верно только для случая полей, определённых на односвязной области).

Чуть подробнее о взаимной обусловленности потенциальности и безвихревого характера поля - см. ниже (Основные свойства).

Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно вихревым , такое поле не может быть потенциальным.

Обобщение

Наиболее прямое обобщение ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям, определённым на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) такое

при индексах m и n от 1 до размерности пространства.

Это же может быть записано как внешнее произведение:

При этом ротор есть антисимметричное тензорное поле валентности два.

В случае размерности 3 свертка этого тензора с символом Леви-Чивиты даёт обычное определение трехмерного ротора, приведённое в статье выше.

Для двумерного пространства может быть вдобавок при желании использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, совпадающим с проекцией традиционного векторного произведения на ось, ортогональную данному двумерному пространству - если считать при этом двумерное пространство вложенным в некое трехмерное, чтобы традиционное векторное произведение имело смысл).

Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля(обозначаетсяrot) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор
определяется как предел отношения циркуляции поляпо некоторому контуру (L ), содержащему точкуM , и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору
, к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точкуM , а площадь области (S ) стремится к нулю:

. (1.13)

В трехмерном пространстве
через декартовы прямоугольные координаты вектора
выражается следующим образом:

или в удобной для запоминания символической форме

. (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора+

непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поляпо замкнутому контуру (L ) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S ), натянутую на этот контур:

. (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L ) и поверхности (S ) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора: 1) ; 2) .

Определение. Векторное поленазывается безвихревым в данной области (V ), если.

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля
.

Решение.Вектор
в координатной форме:


. Вычислим ротор по формуле (1.15):

Поле напряженности
- безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора
по контуру
1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Решение. 1)Контур (L ) – окружность радиуса
, лежащая в плоскостиz =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии
, так что
,. Для циркуляции вектораимеем:. 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S ), натянутую на контур (L ).Естественно в качестве (S ) взять круг, имеющий линию (L ) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормальк кругу необходимо взять равной
. Вычислим ротор:
. По теореме Стокса
.

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии плоских векторных полей:

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Найти векторные линии:

6.
; 7.
, где
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, где
- постоянные векторы.

Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:

14.
,
;15.
,
.

Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:

16.
, (S ): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями
,
.

17.
, (S ): внешняя сторона параболоида
, ограниченного плоскостью
;

18.
,
: боковая поверхность кругового цилиндра
, ограниченного плоскостями
;

19.
, (S ): внешняя сторона части параболоида
, расположенной в первом октанте;

20.
, (S ): полная поверхность конуса
, ограниченного плоскостью
;

21. , (S ): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидом
и плоскостьюz = 0;

22.
, (S ): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями
,
,
,
;

23.
, (S ): сфера
.

Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.

24.
, (S ): верхняя сторона круга, вырезанного конусом
на плоскости

25.
, (S ): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскостис координатными плоскостями;

26. , (S ): часть плоскости
, ограниченная окружностью
, в направлении орта.

Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27.
, (S ): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28.
, (S ): поверхность куба
,
,
;

29.
, (S ): сфера
;

30.
, (S ): часть параболоида
, отсекаемая плоскостью
; в отрицательную сторону осиOx ;

31.
, (S ): поверхность тела
,
,
,

;

32. , (S ): поверхность тела
,
;

33. , (S ):;

Найти линейный интеграл вектора на плоскости:

36.
верхняя половина эллипса
от точкиA (a ,0), до точкиB (-a ,0);

37. а) отрезок прямойOB ; б) дуга параболы
; в) дуга параболы
; г) ломанаяOAB , гдеA (1,0); д) ломанаяOCB , гдеC (0,1);

39. от точки (-1, 1) до точки (2, 2).

Вычислить линейный интеграл:

41.
,
отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки (4,4,4);

44. отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1).

45. Дана напряженность
силового поля. Найти работу поля при перемещении массыm вдоль одного витка винтовой линии

,
из точки
в точкуB (t =2);

46. Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы
от точки с абсциссой
до точки с абсциссой
.

В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля:

47. в отрицательном направлении;

48.
замкнутая линия, образованная отрезками осей координатOx иOy и другой астроиды
,
, лежащей в первом квадранте;

51. линия пересечения параболоида
с координатными плоскостями (в первом октанте);

52. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью
вокруг осиOz . Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиусаR , центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).

53. Найти работу поля
при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице.

Найти дивергенцию нижеследующих полей:

54.
. При какой функции
будет?

55.
;56.
- линейная скорость точек вращающейся жидкости
- угловая скорость);

57.
напряженность магнитного поля,J ,– постоянные;

58.
; 59.
;

60. Вычислить
в точке (1,-1,1).

Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: 1) непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке:

64.
;

В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей:

73. 74.

75. Показать, что если координаты вектораимеют непрерывные частные производные второго порядка, то
.

76. Показать, что еслии- постоянные векторы, то
.

77. Показать, что
.

78. Показать, что
.

79. Показать, что векторное поле
является безвихревым.

80. Показать, что ротор поля линейных скоростейточек вращающегося твердого тела есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения:
.

81. Какова должна быть функция
, чтобы ротор векторного полясовпадал с вектором
?

Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке:

84.
по контуру, образованному пересечением плоскости
с координатными плоскостями;

15.2. Частные случаи векторных полей. Операции второго порядка

15.2.1. Потенциальное векторное поле

Определение. Векторное поленазывается потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция
, градиент которой образует это поле:

. (2.1)

Функция u называется потенциалом векторного поля.

Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым:

. (2.2)

Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля .

Свойства потенциальных полей.

1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала

2) циркуляция (1.9) вектора по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:

. (2.4)

3) потенциал
находится по формуле (2.3):

, (2.5)

где (AM ) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M . Если путь (AM ) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал
через определенные интегралы
;
):

Пример. Проверить, что поле вектора является потенциальным и найти его потенциал.

Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2):

Поле потенциально. Найдем потенциал
по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять точкуA (0,0,0):
.

Важнейшими характеристиками векторного поля являются ротор и дивергенция. В этом параграфе мы рассмотрим математическое описание этих характеристик векторных поле и методы их вычисления с помощью дифференциальных операций. При этом мы будем использовать только декартову систему координат. Более полное определение дивергенции и ротора и их физический смысл рассмотрим в следующей главе. Вычисление этих величин в криволинейных системах координат рассмотрим позже.

Рассмотрим векторное поле, заданное в трехмерном пространстве.

Определение 1. Дивергенцией векторного поля называется число, которое определяется выражением

При этом предполагается, что соответствующие частные производные существуют в рассматриваемой точке. Дивергенцию векторного поля, так же, как и градиент, можно записать, используя оператор набла

Здесь дивергенция представлена как скалярное произведение векторов и F . Отметим без доказательства, что дивергенция описывает плотность источников, создающих поле.

Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля в точке.

Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, который определяется выражением

Отметим, что в представленной сумме индексы в соседних слагаемых изменяются согласно правилу круговой перестановки с учетом правила.

Ротор векторного поля можно записать с помощью оператора набла

Ротор характеризует тенденцию к вращению или завихрению векторного поля, поэтому иногда его называют вихрем и обозначают curlF .

Пример 1. Вычислить ротор векторного поля в точке.

Иногда возникает необходимость вычисления градиента векторного поля. В этом случае вычисляется градиент от каждой компоненты векторного поля. В результате получается тензор второго ранга, которым и определяется градиент вектора. Этот тензор можно описать матрицей

Для описания таких объектов удобно использовать тензорные обозначения

полагая. Использование тензорных методов упрощает математические операции над такими объектами. Детальное изложение аппарата тензорного исчисления дается в курсе «Основы тензорного анализа», который читается параллельно курсу «Дополнительные главы высшей математики».

Пример 1. Вычислить градиент векторного поля.

Решение. Для вычислений используем тензорные обозначения. Имеем

Здесь символ Кронекера, - единичная матрица.

Пример 2. Вычислить градиент скалярного поля и сравнить выражения и.

Некоторые свойства оператора набла

Ранее мы ввели оператор векторного дифференцирования

С помощью этого оператора мы записали основные дифференциальные операции в тензорных полях:

Оператор является обобщением оператора дифференцирования и обладает соответствующими свойствами производной:

1) производная суммы равна сумме производных

2) постоянный множитель можно выносить за знак оператора

В переводе на язык векторных функций эти свойства имеют вид:

Выводятся эти формулы так же, как и соответствующие формулы для производных функции одной переменной.

Использование оператора Гамильтона позволяет упростить многие операции, связанные с дифференцированием в тензорных полях. Однако следует иметь в виду, что этот оператор векторный и с ним надо обращаться аккуратно. Рассмотрим некоторые применения этого оператора. При этом соответствующие формулы записываются как с помощью оператора Гамильтона, так и в обычных обозначениях.

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому в соответствии с формулой (11.10) поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую, поверхность равен нулю.

Заменив в соответствии с (11.41) поверхностный интеграл в (49.1) объемным, получим, что

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна нулю:

Теперь обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 49.1; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции через ( - проекция элемента контура на направление вектора В)

Из рисунка видно, что равно где b - расстояние от провода с током до , - угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок Таким образом, подставив выражение (42.5) для В, получим

С учетом равенства (49.4) имеем

При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. ). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а затем в противоположном (участок ), вследствие чего равен нулю.

Учтя этот результат, можно написать

где под следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.

Знак выражения (49.6) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол а). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (49.6) положительна, в противном случае - отрицательна. Знак можно учесть, полагая алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным.

С помощью соотношения (49.6) легко восстановить в памяти формулу (42.5) для В поля прямого тока.

Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса b (рис. 49.2). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности и соотношение (49.6) имеет вид

Отсюда (ср. с (42.5)).

Случай неплоского контура (рис. 49.3) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемешается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (49.6), остаются справедливыми, если под подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен если контур охватывает ток, и нулю в противном случае.

Следовательно, мы снова приходимк формуле (49.6).

Формула (49.6) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока.

Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (40.1))

Каждый из интегралов в этой сумме равен Следовательно,

(напомним, что - алгебраическая величина).

Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, можно представить в виде

Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор есть плотность тока в той точке, где расположена площадка ; - положительная нормаль к этой площадке (т. е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему).

Заменив в (49.7) сумму токов выражением (49.8), получим

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству

Полученное равенство должно выполйяться при произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:

Коэффициент пропорциональности в СИ равен .

Отметим, что формулы (49.7) и (49.9) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.

Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (13.5), (12.3), (49.2) и (49.9)

Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом Поле, у которого ротор отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.

Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции А:

(дивергенция ротора всегда равна нулю; см. (11.39)). Функция А называется векторным потенциалом магнитного поля. Некоторые сведения о векторном потенциале содержатся в Приложении III (стр. 486).