теория вероятность сходимость теорема
Предельные теоремы теории вероятностей
Сходимость последовательностей случайных величин и вероятностных распределений
1.1.1.1 Сходимость случайных величин
Пусть имеется вероятностное пространство с заданной в нем системой случайных величин и случайной величиной. В теории вероятностей рассматривают следующие виды сходимости последовательностей случайных величин.
Последовательность случайных величин сходится по вероятности к случайной величине, если для любого
Этот вид сходимости обозначают так: , или.
Последовательность случайных величин сходится к случайной величине с вероятностью 1 (или почти наверное), если
то есть если при при всех за исключением, быть может, из некоторого множества нулевой вероятности (). Сходимость с вероятностью 1 будем обозначать так: , или. Сходимость с вероятностью 1 есть сходимость почти всюду относительно вероятностной меры.
Отметим, что сходимость есть событие из -алгебры, которое можно представить в виде
Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие признаки сходимости почти наверное.
Теорема 1.1. тогда и только тогда, когда для любого
или, что то же самое,
Теорема 1.2. Если ряд
сходится для любого, то
Можно показать, что сходимость влечет за собой сходимость (это следует из (1.1)).Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, однако справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3. Если, то существует подпоследовательность, такая, что при.
Связь сходимости со сходимостью устанавливают следующие теоремы.
Теорема 1.4. (Леви о монотонной сходимости) Пусть есть монотонная последовательность неотрицательных случайных величин:, имеющих конечные математические ожидания, ограниченные одной и той же величиной: . Тогда последовательность сходится с вероятностью 1 к некоторой случайной величине с, причем
Теорема 1.5. (Лебега о мажорируемой сходимости) Пусть и величины, где неотрицательная случайная величина, имеющая конечное математическое ожидание. Тогда случайная величина также имеет конечное математическое ожидание и
Последовательность случайных величин сходится к случайной величине в среднем порядка, если
Такую сходимость будем обозначать. При говорят о сходимости в среднеквадратичном и обозначают. В силу обобщенного неравенства Чебышева из сходимости следует сходимость. Из сходимости по вероятности, а тем более из сходимости почти наверное, сходимость порядка не следует. Таким образом, сходимость по вероятности является самой слабой сходимостью из трех, нами рассмотренных.
Говорят, что последовательность является фундаментальной по вероятности (почти наверное, в среднем порядка), если для любого при
Теорема 1.6. (Критерий сходимости Коши) Для того, чтобы в каком либо смысле (по вероятности, почти наверное, в среднем порядка) необходимо и достаточно, чтобы последовательность была фундаментальной в соответствующем смысле.
1.1.1.2 Слабая сходимость распределений
Говорят, что распределение вероятностей случайных величин слабо сходится к распределению случайной величины, если для любой непрерывной ограниченной функции
Слабую сходимость будем обозначать так: . Отметим, что из сходимости следует сходимость. Обратное неверно, однако для слабая сходимость влечет сходимость по вероятности.
Условие (1.2) можно переписать, используя интеграл Лебега по мере, следующим образом
Для случайных величин, имеющих плотность вероятностей, слабая сходимость означает сходимость при любой ограниченной функции
Если речь идет о функциях распределения и соответствующих и, то слабая сходимость означает, что
Последовательности случайных величин Х 1 , Х 2 , . . ., Х n
, . . ., заданных на нек-ром вероятностном пространстве к случайной величине X,
определяемая следующим образом: если для любого при
В математич. анализе этот сходимости называют сходимостью по мере. Из С. по в. вытекает сходимость по распределению.
В. И. Битюцков.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ" в других словарях:
- … Википедия
Сходимость с вероятностью единица, сходимость последовательности случайных величин X1, Х2, . . ., Х п. . . ., заданных на нек ром вероятностном пространстве к случайной величине X, определяемая следующим образом: (или п. н.), если В математич.… … Математическая энциклопедия
В теории вероятностей вид сходимости случайных величин. Содержание 1 Определение 2 Замечания … Википедия
В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру. Содержание 1 Определение 1.1 Термин … Википедия
У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходимость в в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах вид сходимости измеримых функций или случайных величин. Определение Пусть пространство с… … Википедия
- (по вероятности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве). Определение Пусть пространство с мерой.… … Википедия
Математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… … Большая советская энциклопедия
Тоже, что сходимость по вероятности … Математическая энциклопедия
Общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к результату, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Математическая энциклопедия
Книги
- Теория вероятностей и математическая статистика в задачах Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
- Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.А.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…
В дальнейшем нам придется широко оперировать производными и интегралами от случайных процессов. Обе операции - дифференцирование и интегрирование - предполагают, как известно, сходимость некоторой последовательности величин к пределу. Но для случайных величин, задаваемых не детерминированно, а своими распределениями вероятностей, понятие сходимости к пределу (а тем самым и понятия непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости для случайных функций) не может обладать тем же смыслом, какой вкладывается в него в анализе. Для последовательности случайных величин возможно лишь вероятностное определение сходимости к пределу, что, кстати сказать, открывает и более разнообразные возможности в выборе самого определения. Вероятностная сходимость существенна также и для рассмотрения так называемых эргодических свойств случайных функций, к чему мы обратимся в следующем параграфе.
Начнем, для простоты, с рассмотрения различных типов сходимости последовательности случайных величин к (неслучайному) числу а.
Один из видов вероятностной сходимости - сходимость в среднем квадратичном (ср. кв.), под которой понимается обращение в нуль среднего квадратичного отклонения от числа а при
что записывают в виде
Обозначение 1. i. m. составлено из начальных букв английского названия этого предела (limit in the mean square). Использование этого вида сходимости наиболее целесообразно в тех случаях, когда приходится иметь дело с квадратичными (в частности, имеющими энергетический смысл) комбинациями случайных величин.
Равенство (19.1) предполагает, очевидно, конечность самым конечно и среднее значение поскольку . Вычитая и прибавляя в скобках в (19.1), перепишем это равенство иначе:
Но предел суммы двух неотрицательных величин может быть равен нулю, только если равны нулю пределы обоих слагаемых, т. е.
Таким образом, -это предел последовательности средних значений а предел дисперсии равен нулю.
Другой вид вероятностной сходимости к а - сходимость по вероятности (по вер.) - определен следующим образом:
где, как обычно, - любое сколь угодно малое положительное число. В этом случае пишут
Равенство (19.2) означает, что вероятность попадания куда-либо вне сколь угодно узкого интервала в пределе обращается в нуль. Ввиду произвольной малости это в свою очередь означает, что плотность вероятности случайной величины переходит при . Однако отсюда отнюдь не следует, что а есть предел последовательности и что D стремится к нулю. Более того, могут неограниченно нарастать с увеличением N или даже быть бесконечными при всяком N. Пусть, например, неотрицательны и распределены по закону Коши:
При всяком предел при равен нулю, тогда как и предела не существует. Вместе с тем условие нормировки выполнено всегда:
так что стремится при . Нетрудно, однако, убедиться, что при любом N и бесконечны.
Сходимость по вероятности часто называют сходимостью в смысле закона больших чисел. Про случайные величины говорят, что они являются предельно постоянными, если существует такая последовательность постоянных что
Если все одинаковы (равны а), то это равенство переходит в (19.2), т. е. означает, что сходится по вероятности к а или же разность - а сходится по вероятности к нулю.
Сходимость по вероятности следует четко отличать от обычной сходимости
Действительно, относительно поведения эмпирических чисел - значений - математически доказать ничего нельзя. Доказаны могут быть только утверждения, относящиеся к теоретическим понятиям, в том числе к понятию вероятности, как оно определено в исходных аксиомах. В сходимости по вероятности речь идет не о том, что а при , а о том, что вероятность события стремится к единице. Связь этого утверждения с опытом заключена в «аксиоме измерения», согласно которой вероятность измеряется относительной частотой
наступления рассматриваемого случайного события в достаточно длинной серии испытаний, в достаточно обширном ансамбле систем и т. п.
Для лучшего уяснения этой принципиальной стороны вопроса остановимся на некоторых предельных теоремах теории вероятностей, объединяемых под общим названием закона больших чисел, а именно на теоремах, относящихся к тому случаю, когда в (19.2) есть среднеарифметическое N случайных величин
Мы производим серию из N испытаний, берем их результаты и вычисляем среднее (19.3). Затем мы смотрим, имеет ли место событие (назовем его событием BN), состоящее в том, что
Для того чтобы измерить вероятность события BN, мы должны осуществить очень большое число М серий по N испытаний, должны иметь коллектив таких серий. Закон больших чисел (19.2) утверждает, что чем длиннее серии, образующие коллектив (чем больше N), тем ближе к единице, т. е., по «аксиоме измерения», тем большее количество серий будет отвечать наступлению BN (в пределе - практически все):
Таким образом, это вполне содержательное утверждение, но оно становится таким только при четком сопоставлении математического понятия вероятности с эмпирическим понятием относительной частоты. Без этого закон больших чисел остается некоторой теоремой, логически вытекающей из определенной системы аксиом для величины Р, которая определена как вполне аддитивная, неотрицательная и нормированная к единице функция области.
Зачастую этот вопрос, который мы уже затрагивали в § 1, излагается в учебной литературе довольно сбивчиво, без четкого указания на то, что «аксиома измерения», связывающая понятия теории вероятностей с реальными явлениями, с экспериментом и практикой, не содержится в математической теории как таковой. Можно встретить утверждения о том, что фундамент успехов применения теории вероятностей в различных проблемах естествознания и техники заложен именно в законе больших чисел. Если бы это было так, то это означало бы, что
фундамент практических успехов есть логическое следствие определенных абстрактных аксиом и что эти математические аксиомы сами по себе предписывают, как должны вести себя эмпирические величины.
В принципе можно было бы исходить из других аксиом - и построить другую теорию вероятностей, выводы которой, будучи иными, чем в существующей теории, были бы столь же логически безупречны и столь же необязательны для реальных явлений. Положение здесь такое же, как и с различными возможными геометриями. Но как только математическая теория дополняется определенными способами измерения тех величин, с которыми она оперирует, и становится тем самым физической теорией, ситуация меняется. Правильность или неправильность теории перестает тогда быть вопросом только ее логической непротиворечивости, а становится вопросом ее соответствия реальным вещам и явлениям. Приобретает содержание вопрос об истинности самих аксиом, так как теперь это может быть подвергнуто экспериментальной и вообще практической проверке.
Однако еще до такой проверки необходимо внутреннее соответствие между обеими частями физической теории: устанавливаемые способы измерения величин не должны находиться в противоречии с теми уравнениями, которым подчиняет эти величины математическая часть теории. Например, уравнения движения Ньютона предполагают, что сила есть вектор, и поэтому несовместимы с таким способом измерения силы, который характеризовал бы ее только по абсолютной величине. Может быть, в действительности сила не вектор, а скажем, тензор, но это уже другой вопрос, касающийся того, насколько хорошо отражает объективную реальность данная физическая теория в целом. Мы же говорим сейчас лишь о том, что наличие противоречия между математической и измерительной частями физической теории делает ее несостоятельной еще до всякой проверки ее следствий на опыте.
С этой точки зрения закон больших чисел отличается от других - логически равносильных ему - теорем теории вероятностей лишь тем, что он, как будет видно из дальнейшего, особенно отчетливо и явно показывает совместимость математического определения вероятности и частотного способа ее измерения. Он показывает, что частотная «аксиома измерения» не противоречит математической теории, но последняя, разумеется, не заменяет и не может заменить эту «аксиому».
Доказательство различных теорем, имеющих форму закона больших чисел, использует обычно неравенство Чебышева, доказанное в его диссертации в 1846 г. Пусть случайная величина имеет конечную дисперсию Неравенство Чебышева
утверждает, что
Если, в частности, , то неравенство (19.4) принимает вид
Хотя неравенства (19.4) и (19.5) дают лишь весьма грубую оценку Р (более точную оценку можно получить, если иавестен закон распределения ), для теоретических построений они очень полезны и важны.
В случае, когда в неравенстве Чебышева есть среднее арифметическое (19.3) из N случайных величин неравенство (19.5) позволяет доказать теорему Чебышева, являющуюся довольно общим выражением закона больших чисел. А именно, если - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих равномерно ограниченные дисперсии (D С), то
Действительно,
Согласно неравенству Чебышева
откуда для вероятности противоположного события и следует теорема (19.6), т. е. сходимость по вероятности к
Частный случай теоремы Чебышева - теорема Пуассона. Пусть - случайные величины-фиксаторы исхода испытания или 0 в соответствии с наступлением или ненаступлением события А при испытании, при котором . Тогда
и теорема Чебышева дает
Это и есть теорема Пуассона. Еще более частный случай - когда . Тогда мы приходим к теореме Бернулли, одной из первых формулировок закона больших чисел:
Остановимся на этой простейшей форме закона. Теорема (19.8) показывает, что с ростом числа испытаний N относительная частота события А, т. е. эмпирическая величина сходится по вероятности к - вероятности события А. Если, бы это было не так, то было бы бессмысленно измерять вероятность при помощи относительной частоты. Но коль скоро это так, то частотный способ измерения вероятностей как (по относительной частоте наступления события А в серии из N испытаний), так и Р (на относительной частоте наступления события в коллективе из М серий по испытаний) может быть принят в качестве дополнения к математической теории, поскольку он ей не противоречит. После этого уже можно и спрашивать, и проверять на опыте, отражает ли получившаяся в результате физическая теория реальные статистические закономерности.
Любопытно, что для выполнения теоремы (19.8) при всяких значениях , т. е. для сходимости по вероятности
достаточно потребовать, чтобы эта сходимость имела место лишь для (относительная частота маловероятных событий должна быть мала).
Запишем теперь теорему Чебышева для случая, когда все - а. Тогда
и теорема принимает вид
что является основой правила среднего арифметического при измерениях. Отдельные могут сильно отклоняться от а, но с вероятностью имеем а при Это происходит потому, что при вычислении среднего значения случайные отклонения отдельных слагаемых компенсируются и в подавляющем большинстве случаев отклонение оказывается очень малым.
Отклонения от а могут быть случайными ошибками измерения. Но если сама точность отсчета при измерении не меньше , т. е. присутствует систематическая ошибка, связанная с ценой деления шкалы, то и точность не меньше при любом N, так что бессмысленно, апеллируя к закону больших чисел, стремиться получить и в этом случае значение а с погрешностью, меньшей , за счет Довольно широко распространено заблуждение, будто бы среднее арифметическое позволяет превзойти ограниченную снизу точность измерения и получать, скажем, с помощью щиткового амперметра отсчет силы тока с точностью до микроамперов.
Возможна и другая ситуация: сама измеряемая величина может быть случайной (шумовой ток и т. п.). Тогда мы можем быть уверены что при , т. е. среднее арифметическое стремится к математическому ожиданию случайной величины.
Условие взаимной независимости результатов измерения случайной величины требует, вообще говоря, выполнения ее замеров через достаточно большие промежутки времени. Однако для справедливости закона больших чисел само это условие независимости не необходимо, так как неравенство Чебышева требует лишь при . Мы не будем останавливаться на более общих теоремах и на необходимых и достаточных условиях, при которых для среднего арифметического справедлив закон больших чисел, так как эти условия касаются самой величины и поэтому менее интересны практически, чем более узкие условия, но относящиеся к отдельным слагаемым
В 1909 г. Э. Борелем (затем - в более общей форме - Ф. П. Кантелли, потом А. Н. Колмогоровым) было доказано более сильное утверждение, чем закон больших чисел. По теореме Бернулли
По Борелю (усиленный закон больших чисел)
т. е. с достоверностью, или, как принято говорить, «почти наверное», относительная частота имеет своим пределом вероятность . Это еще более твердое основание для того, чтобы измерять вероятность относительной частотой.
Опираясь на (19.9), можно ввести еще один вид вероятностной сходимости - сходимость в смысле усиленного закона больших чисел, которую называют также сходимостью с вероятноностью или сходимостью почти наверное :
(19.10)
Коротко это можно записать в виде
Иногда в связи с определением (19.10) возникает недоумение по поводу того, что в нем фигурирует обычный предел последовательности случайных величин. Создается впечатление, что мы как будто отступаем здесь от высказанного выше утверждения, что сходимость случайных величин может иметь только вероятностный смысл. Но именно об этом идет речь и в данном случае. Среди различных реализаций последовательности возможны и такие реализации, которые сходятся к а в обычном смысле. Можно показать, что множество таких реализаций обладает определенной вероятностью Р . Сходимость почти наверное означает, что эта вероятность, т. е. вероятность случайного события равна единице. Иначе говоря, реализации сходящиеся к а в обычном смысле, «почти исчерпывают» множество всех возможных реализаций последовательности Таким образом, мы никуда не уходим в (19.10) от вероятностного определения сходимости, хотя теперь имеется в виду не предел вероятности (как в сходимости по вероятности), а вероятность предела.
Приведем два из условий сходимости к а почти наверное. Одно из них - необходимое и достаточное
Однако на практике это условие никогда нельзя проверить. Другое - более сильное достаточное условие - состоит в том,
что при каком-либо должен сходиться ряд
Другие достаточные условия и вообще детальную математическую дискуссию вопросов, касающихся вероятностной сходимости, можно найти в книгах (гл. 3) и (гл. 1).
Сходимость в среднем квадратичном влечет за собой (в силу неравенства Чебышева) сходимость по вероятности, а если все почти наверное равномерно ограничены по модулю, то, и обратно, из сходимости по вероятности следует сходимость в среднем квадратичном. Сходимость почти наверное также влечет за собой сходимость по вероятности, но не сходимость в среднем квадратичном; в то же время и сходимость в среднем квадратичном не влечет за собой сходимости почти наверное.
В алгоритмы адаптации входит градиент реализации или его оценки, которые зависят от случайного процесса . Следовательно, векторы также являются случайными и для них непосредственно неприменимо обычное понятие сходимости, хорошо знакомое нам из курсов математического анализа и использованное в § 2.15. Поэтому необходимо привлечь новые понятия сходимости, понимаемые не в обычном, а в вероятностном смысле.
Различают три основных вида такой сходимости: сходимость по вероятности, сходимость в среднеквадратическом и сходимость почти наверное.
Случайный вектор сходится по вероятности к при , если вероятность того, что при любом норма превышает , стремится к нулю, или, кратко, если
. (3.29)
Сходимость по вероятности, конечно, не требует, чтобы каждая последовательность случайных векторов сходилась к в обычном смысле. Более того, ни для какого вектора мы не можем утверждать, что имеет место обычная сходимость.
Случайный вектор сходится к в среднеквадратическом при , если математическое ожидание квадрата нормы стремится к нулю, т. е. если
. (3.30)
Сходимость в среднеквадратическом влечет
за собой сходимость по вероятности, но также не предполагает для каждого
случайного вектора обычной
сходимости. Сходимость в среднеквадратическом связана с исследованием момента
второго порядка, который вычисляется достаточно просто, и, кроме того, она
имеет ясный энергетический смысл. Эти обстоятельства объясняют сравнительно
широкое распространение в физике именно такого понятия сходимости. Но сам факт,
что в обоих типах сходимости вероятность того, что данный случайный вектор сходится к
в обычном
смысле, равна нулю, вызывает иногда неудовлетворенность. Ведь мы всегда
оперируем с градиентом реализации 
и соответствующим ему
случайным вектором ,
и желательно, чтобы предел существовал именно для той последовательности
случайного вектора , которую мы сейчас
наблюдаем, а не для семейства последовательности случайных векторов , соответствующих
семейству реализаций , которые мы, возможно, никогда и не
будем наблюдать.
Это желание может осуществиться, если привлечь понятие сходимости почти наверное, или, что то же самое, сходимости с вероятностью единица.
Так как - случайный вектор, то и сходимость последовательности к в обычном смысле можно рассматривать как случайное событие. Последовательность случайных векторов сходится при к почти наверное, или с вероятностью единица, если вероятность обычной сходимости к равна единице, т. е. если
(3.31)
Отсюда следует, что, пренебрегая совокупностью реализаций случайных векторов, имеющих общую вероятность, равную нулю, мы имеем обычную сходимость. Конечно, скорость сходимости при этом зависит от реализации и имеет случайный характер.
Сходимость алгоритмов адаптации эквивалентна устойчивости систем, описываемых стохастическими разностными или дифференциальными уравнениями. Устойчивость этих систем нужно понимать в вероятностном смысле: по вероятности, в среднеквадратическом и почти наверное (или с вероятностью единица). Вероятностная устойчивость - сравнительно новый раздел теории устойчивости, который сейчас интенсивно разрабатывается.
Доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к некоторым постоянным величинам.
Тем самым, последовательность /t(/ m)> пг 1, является фундаментальной по вероятности, и, значит, согласно критерию Коши сходимости по вероятности , существует случайная величина , обозначаемая / (/), такая, что
Неравенство Чебышева. Сходимость по вероятности и ее свойства. Закон больших чисел в форме Чебышева.
Сходимость по распределению и ее свойства. Связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности. Характеристические функции.
Замечание. Сходимость по вероятности - u(Qv) у (Р0) когда N -> оо не вытекает из
Для того чтобы увидеть, почему это так, предположим, что вы сопоставляете сталелитейные компании, используя мультипликаторы цена / прибыль, и одна из фирм группы недавно декларировала очень низкую прибыль из-за забастовки, возникшей в прошлом году. Если вы не нормализуете прибыль, фирма будет выглядеть переоцененной относительно сектора, поскольку, по всей вероятности, рыночная цена будет основываться на ожидании, что трудности с рабочей силой , пусть даже и дорогостоящие, остались в прошлом. Если же для вынесения суждений по поводу сравнительной оценки вы используете такой мультипликатор, как цена / объем продаж и сопоставляете его со среднеотраслевым значением, то вы предполагаете, что раньше или позже будет наблюдаться сходимость маржи прибыли фирмы со среднеотраслевыми нормами.
Довольно часто гипотеза конвергенции неоклассической модели роста тестируется на примере регионов одной страны. Несмотря на то что возможно наличие расхождений между регионами по уровню развития технологий, предпочтений, и т.д., данные различия будут существенно менее значимыми, чем различия между странами. Поэтому вероятность наличия абсолютной конвергенции между регионами существенно выше, нежели между странами. Вместе с тем при использовании регионов для проверки гипотезы абсолютной сходимости нарушается важная предпосылка неоклассической модели роста - закрытость экономики . Очевидно, что культурные, лингвистические, институциональные и формальные барьеры для перемещения факторов оказываются менее значимыми для группы регионов одной страны. Однако показано, что даже в случае мобильности факторов и, таким образом, нарушения предпосылок исходной модели динамические свойства закрытой экономики и экономики со свободным
Поток с ограниченным последействием поток Пальма поток Эрланга k-то порядка закон распределения Эрланга k-то порядка с параметром Я нормированный поток Эрланга k-то порядка центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых случайных величин сходимость по вероятности мера последействия нормальное распределение нормальная кривая кривая Гаусса Гаусс К.Ф. Чебышёв П.Л.
Здесь plim - предел по вероятности стрелка в последнем условии обозначает сходимость по распределению.) Если эти условия выполнены, то при п - > со, как и в ситуации D,
Из леммы Фату следует, что этот процесс является (неотрицательным) супермартингалом, и, значит, по теореме Дуба о сходимости (см. ЗЬ, гл. III), с вероятностью единица существует и конечен lim Zt(- Zoo)
Особый интерес представляет одно из них, а именно - свойство аппроксимации плотности. В работе Паже (Pages, 1993) показано, что алгоритм СОК, завершающийся полным отсутствием соседей у нейрона-победителя в конце обучения, сходится, что соответствует сходимости классического метода гиногопараметри-ческого квантования или, иными словами, соревновательного обучения. Автор этой работы показывает, что после квантования нейроны представляют собой неплохой дискретный каркас для реконструкции начальной плотности при условии, что каждый нейрон взвешивается вероятностью, оцениваемой по частоте его области Вороного. При условии адекватного взвешивания нейронов полученный результат показывает, что начальные данные могут быть восстановлены, причем сам результат является точным, если число нейронов стремится к бесконечности.
