Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных.

, (4) где(5)-оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

Решением уравнения (4) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (1), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид . (6)

Cоответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (6) удовлетворяет уравнение (1).

Частота, период, длина волны.

Длина волны- это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний.Так как,тоили.

Свойства волн.

Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами.

Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).

Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например,волны на водепри достаточно большой скоростиветра, дующего над водной гладью.

Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волнв кристаллическом твёрдом теле могут генерироватьсязвуковыеволны.

Как правило, волны способны удалиться сколь угодно далеко от генератора колебаний. По этому причине иногда волнами называют «колебание, оторвавшееся от излучателя». Исключение составляют так называемые температурные волны, амплитуда которых экспоненциально спадает при удалении от излучателя.

Распространение. Большинство волн, по своей природе, являются не настоящими новыми физическими сущностями, а лишь условным названием для определённого вида коллективного движения. Так, если в объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты.Звук- это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. Т.е. большинство волн - это колебания некоторойсреды. Вне этой среды волны данного типа (например, звук в вакууме) не существуют.

Имеются, однако, волны, которые являются не «рябью» какой-либо иной среды, а представляют собой именно новые физические сущности. Так, электромагнитные волныв современной физике - это не колебание некоторой среды (называвшейся в XIX векеэфиром), а самостоятельное, самоподдерживающееся поле, способное распространяться в вакууме. Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.

Распространение волн - это, как правило, равномерный процесс, т.е. волны обычно распространяются с некоторой определённой скоростью(которая, конечно же, может зависеть от многих параметров).

При распространении в некоторой средеамплитудаволны может затухать, что связано сдиссипативнымипроцессами внутри среды, сквозь которую проходят волны. В случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны могут, наоборот, усиливаться (пример: генерациялазерного излучения).

Взаимодействие с телами и границами раздела. Наиболее «спокойным» образом волна распространяется в однородной, однотипной среде. Если же на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело, или граница раздела двух сред, то это приводит к нарушению нормального распространения волны. Результат этого нарушения часто проявляется в виде следующих явлений:

отражение

преломление

рассеяние

дифракция

Разумеется, конкретный вид законов, описывающих эти процессы, зависит от типа волны.

Пространственные размеры волны. Когда говорят опространственном размере волны , то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой. Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны. Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т.д.).

Некоторые виды волн, в частности, солитоны, являются ограниченными волнами по построению.

Волна ограниченного размера называется волновым пакетом, или цугом волн. В теории, волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени.

Поляризация. В каждой точке любой волны можно ввести некоторойвекторное поле. Так, если волна есть колебание некоторой среды, то этим вектором будет векторскоростичастицы этой среды в данной точке; если это электромагнитная волна, то этим вектором будетэлектрическое полеи т.д. Направление этого вектора задаёт поляризацию волны. Если этот вектор параллелен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется вдоль направления движения), то волна называетсяпродольной . Если вектор перпендикулярен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется поперёк направления движения), то волна называетсяпоперечной .

Поперечность или продольность волны определяется её природой. Так, например, плоские электромагнитные и гравитационные волны поперечны, звуковая волна в газе - продольна, а упругие волны в твёрдом теле могут быть как продольными, так и поперечными.

Фазовая когерентность.Когерентностьволны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, т.е. разность фаз между двумя точками не зависит от времени. Отсутствие когерентности, следовательно, это ситуация, когда разность фаз между двумя точками не константа, а почти случайно «скачет» со временем (сбои фаз). Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (т.е. нескорелированных) излучателей.

Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временнойипространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн вволноводахмогут иметь местофазовые сингулярности. В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемаявторая периодичность.

Одним из наиболее распространенных в инженерной практике уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний. Поскольку колебания - процесс нестационарный, то одной из независимых переменных является время t . Кроме того, независимыми переменными в уравнении являются также пространственные координаты х, у, z . В зависимости от их количества различают одномерное, двумерное и трехмерное волновые уравнения.

Одномерное волновое уравнение – уравнение, описывающее продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения, а также поперечные колебания тонкого стержня (струны) и другие задачи. Двумерное волновое уравнение используют для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны). Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидкости, упругих волн в сплошной среде и т.п.).

Рассмотрим одномерное волновое уравнение, которое можно записать в виде

Для поперечных колебаний струны искомая функция U (x , t ) описывает положение струны в момент t . В этом случае а 2 = Т/ρ, где Т - натяжение струны, ρ - ее линейная (погонная) плотность. Колебания предполагаются малыми, т.е. амплитуда мала по сравнению с длиной струны. Кроме того, уравнение (2.63) записано для случая свободных колебаний. В случае вынужденных колебаний в правой части уравнения добавляют некоторую функцию f (x , t ), характеризующую внешние воздействия, при этом сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.

Простейшей задачей для уравнения (2.63) является задача Коши: в начальный момент времени задаются два условия (количество условий равно порядку входящей в уравнение производной по t ):

Эти условия описывают начальную форму струны и скорость ее точек .

На практике чаще приходится решать не задачу Коши для бесконечной струны, а смешанную задачу для ограниченной струны некоторой длины l . В этом случае задают граничные условия на ее концах. В частности, при закрепленных концах их смещения равны нулю, и граничные условия имеют вид

Рассмотрим некоторые разностные схемы для решения задачи (2.63)-(2.65). Простейшей является явная трехслойная схема типа крест (шаблон показан на рис. 2.21). Заменим в уравнении (2.63) вторые производные искомой функции U по t и х их конечно-разностными соотношениями с помощью значений сеточной функции в узлах сетки :

Рис. 2.21. Шаблон явной схемы

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-ом слое:

Здесь, как обычно в трехслойных схемах, для определения неизвестных значений на (j + 1)-ом слое нужно знать решения на j -ом и (j - 1)-ом слоях. Поэтому начать счет по формулам (2.66) можно лишь для второго слоя, а решения на нулевом и первом слоях должны быть известны. Их находят с помощью начальных условий (2.64). На нулевом слое имеем

Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием (2.64). Производную заменим конечно-разностной аппроксимацией. В простейшем случае полагают

(2.68)

Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом временном слое:

Отметим, что аппроксимация начального условия в виде (2.68) ухудшает аппроксимацию исходной дифференциальной задачи: погрешность аппроксимации становится порядка , т.е. первого порядка по τ, хотя сама схема (2.66) имеет второй порядок аппроксимации по h и τ. Положение можно исправить, если вместо (2.69) взять более точное представление:

(2.70)

Вместо нужно взять . А выражение для второй производной можно найти с использованием исходного уравнения (2.63) и первого начального условия (2.64). Получим

Тогда (2.70) примет вид:

Разностная схема (2.66) с учетом (2.71) обладает погрешностью аппроксимации порядка

При решении смешанной задачи с граничными условиями вида (2.65), т.е. когда на концах рассматриваемого отрезка заданы значения самой функции, второй порядок аппроксимации сохраняется. В этом случае для удобства крайние узлы сетки располагают в граничных точках (х0 =0, xI = l ). Однако граничные условия могут задаваться и для производной.

Например, в случае свободных продольных колебаний стержня на его незакрепленном конце задается условие

Если это условие записать в разностном виде с первым порядком аппроксимации, то погрешность аппроксимации схемы станет порядка . Поэтому для сохранения второго порядка данной схемы по h необходимо граничное условие (2.72) аппроксимировать со вторым порядком.

Рассмотренная разностная схема (2.66) решения задачи (2.63) - (2.65) условно устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости:

Следовательно, при выполнении этого условия и с учетом аппроксимации схема (2.66) сходится к исходной задаче со скоростью O (h 2 + τ 2 ). Данная схема часто используется в практи-ческих расчетах. Она обеспечивает приемлемую точность получения решения U (x , t ), которое имеет непрерывные производные четвертого порядка.

Рис. 2.22. Алгоритм решения волнового уравнения

Алгоритм решения задачи (2.63)-(2.65) с помощью данной явной разностной схемы приведен на рис. 2.22. Здесь представлен простейший вариант, когда все значения сеточной функции, образующие двумерный массив, по мере вычисления хранятся в памяти компьютера, а после решения задачи выводятся результаты. Можно было бы предусмотреть хранение решения лишь на трех слоях, что сэкономило бы память. Результаты в таком случае можно выводить в процессе счета (см. рис. 2.13).

Существуют и другие разностные схемы решения волнового уравнения. В частности, иногда удобнее использовать неявные схемы, чтобы избавиться от ограничений на величину шага, налагаемых условием (2.73). Эти схемы обычно абсолютно устойчивы, однако алгоритм решения задачи и программа для компьютера усложняются.

Построим простейшую неявную схему. Вторую производную по t в уравнении (2.63) аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j - 1, j , j + 1. Производную до х заменяем полусуммой ее аппроксимации на (j + 1)-ом и (j - 1)-ом слоях (рис. 2.23):

Рис. 2.23. Шаблон неявной схемы

Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j + 1)-ом слое:

Полученная неявная схема устойчива и сходится со скоростью . Систему линейных алгебраических уравнений (2.74) можно, в частности, решать методом прогонки. К этой системе следует добавить разностные начальные и граничные условия. Так, выражения (2.67), (2.69) или (2.71) могут быть использованы для вычисления значений сеточной функции на нулевом и первом слоях по времени.

При двух или трех независимых пространственных переменных волновые уравнения принимают вид

Для них также могут быть построены разностные схемы по аналогии с одномерным волновым уравнением. Разница состоит в том, что нужно аппроксимировать производные по двум или трем пространственным переменным, что, естественно, усложняет алгоритм и требует значительно больших объемов памяти и времени счета. Подробнее двумерные задачи будут рассмотрены ниже для уравнения теплопроводности.

Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.

Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(x —vt ). Посмотрим теперь, является ли f (x — v t ) решением волнового уравнения. Вычисляя дχ /дх, получаем производную функции dχ / d x = f `(x —vt ). Дифференцируя еще раз, находим

Дифференцируя эту же функцию χ по t , получаем значение — v , умноженное на производную, или dχ / d t = —v f `(x — vt ); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f(х — vt ) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c s .
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущение вида χ(х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак d 2 χ / d t 2 не зависит от выбора x+ vt или х —v t, потому что в эту производную входит только v 2 . Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c s .


Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ 1 . Это значит, что вторая производная χ 1 . по х равна второй производной χ 1 по t, умноженной на 1/с 2 s . И пусть есть второе решение χ 2 обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

Теперь мы хотим удостовериться, что χ(х, t) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

Отсюда следует, что d 2 χ/ d x 2 = (1/ c 2 s) d 2 χ l d t 2 , так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ .


Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси у , тоже удовлетворяет волновому уравнению

где с — скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.

Волны. Уравнение волны

Помимо уже рассмотренных нами движений, почти во всех областях физики встречается ещё один тип движения – волны . Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения).

Возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются волнами . Волны бывают механические и электромагнитные.

Упругие волны – это распространяющиеся возмущения упругой среды.

Возмущение упругой среды – это любое отклонение частиц этой среды от положения равновесия. Возмущения возникают в результате деформации среды в каком-либо её месте.

Совокупность всех точек, куда дошла волна в данный момент времени, образует поверхность, называемую фронтом волны .

По форме фронта волны делятся на сферические и плоские. Направление распространения фронта волны определяется перпендикуляром к фронту волны, называемым лучом . Для сферической волны лучи представляют собой радиально расходящийся пучок. Для плоской волны лучи- пучок параллельных прямых.

В любой механической волне одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространения возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение возмущения происходят в одном направлении, называется продольной (рис.7.2 а ).

Волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения возмущений, называется поперечной (рис. 7.2 б).

В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной - смещения (сдвига) одних слоев среды относительно других. Продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных), а поперечные - только в твёрдых.

Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны υ понимают скорость распространения возмущения. Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твёрдых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных.

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в её источнике . Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденной волной расстояние равно произведению скорости на время её распространения. Таким образом, длина волны

Из уравнения (7.1) следует, что частицы, отделённые друг от друга интервалом λ, колеблются в одинаковой фазе. Тогда можно дать следующее определение длины волны: длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.

Выведем уравнение плоской волны, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени. Пусть волна распространяется вдоль луча от источника с некоторой скоростью υ.

Источник возбуждает простые гармонические колебания, и смещение любой точки волны в любой момент времени определяетcz уравнением

S = Asinωt (7. 2)

Тогда точка среды, отстоящая от источника волны на расстоянии х, также будет совершать гармонические колебания, но с запаздыванием по времени на величину , т.е. на время, необходимое для распространения колебаний от источника до этой точки. Смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия в любой момент времени будет описываться соотношением

(7. 3)

Это и есть уравнение плоской волны. Эта волна, характеризуется следующими параметрами:

· S - смещение от положения равновесии точки упругой среды, до которой дошло колебание;

· ω - циклическая частота колебаний, генерируемых источником, с которой колеблются и точки среды;

· υ - скорость распространения волны (фазовая скорость);

· х – расстояние до той точки среды, куда дошло колебание и смещение которой равно S;

· t – время отсчитываемое от начала колебаний;

Вводя в выражение (7. 3) длину волны λ, уравнение плоской волны можно записать так:

(7. 4)

где называется волновым числом (число волн, приходящихся на единицу длины).

Волновое уравнение

Уравнение плоской волны (7. 5) - одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым . В уравнения (7.5) входят переменные t и х, т.е. смещение периодически меняется и во времени и в пространстве S = f(x, t). Волновое уравнение можно получить, если продифференцировать (7. 5) дважды по t:

И дважды по х

Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение плоской бегущей волны вдоль оси X:

(7. 6)

Уравнение (7.6) называют волновым , и для общего случая, когда смещение является функцией четырех переменных, оно имеет вид

(7.7)

, где -оператор Лапласа

§ 7.3 Энергия волны. Вектора Умова .

При распространении в среде плоской волны

(7.8)

происходит перенос энергии. Мысленно выделим элементарный объем ∆V, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех его точках можно считать одинаковыми и равными соответственно

Выделенный объём обладает кинетической энергией

(7.10)

m=ρ∆V - масса вещества в объеме ∆V, ρ - плотность среды].

(7.11)

Подставляя в (7.10) значение , получаем

(7.12)

Максимумы кинетической энергии приходятся на те точки среды, которые проходят положения равновесия в данный момент времени (S = 0), в эти моменты времени колебательное движение точек среды характеризуется наибольшей скоростью.

Рассматриваемый объем ∆V обладает также потенциальной энергией упругой деформации

[Е - модуль Юнга; - относительное удлинение или сжатие].

Учитывая формулу (7.8) и выражение для производной, находим, что потенциальная энергия равна

(7.13)

Анализ выражений (7.12) и (7.13) показывает, что максимумы потенциальной и кинетической энергий совпадают. Следует отметить, что это является характерной особенностью бегущих волн. Чтобы определить полную энергию объема ∆V, нужно взять сумму потенциальной и кинетической энергий:

Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии:

(7.15)

Из выражения (7.15) следует, что плотность энергии является функцией координаты х, т. е. в различных точках пространства она имеет различные значения. Максимального значения плотность энергии достигает в тех точках пространства, где смещение равно нулю (S = 0). Средняя плотность энергии в каждой точке среды равна

(7.16)

так как среднее значение

Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии, которая доставляется от источника колебаний в различные области среды.

Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называют вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны.

Дифференцируя эту же функцию χ по t , получаем значение - v , умноженное на производную, или d χ / d t = - v f `( x - vt ); вторая производная по времени дает

Очевидно, что f (х - vt ) удовлетворяет волновому уравнению, если v равно c s .
Таким образом, из законов механики мы получаем, что любое звуковое возмущение распространяется со скоростью c s и, кроме того,

тем самым мы связали скорость звуковых волн со свойствами среды.

Легко увидеть, что звуковая волна может распространяться и в направлении отрицательных х, т. е. звуковое возмущение вида χ(х, t)=g(x+vt) также удовлетворяет волновому уравнению. Единственное отличие этой волны от той, которая распространялась слева направо, заключается в знаке v, но знак d 2 χ / d t 2 не зависит от выбора x+ vt или х - v t, потому что в эту производную входит только v 2 . Отсюда следует, что решение уравнения описывает волны, бегущие в любом направлении со скоростью c s .


Особый интерес представляет вопрос о суперпозиции решений. Допустим, мы нашли одно решение, скажем χ 1 . Это значит, что вторая производная χ 1 . по х равна второй производной χ 1 по t, умноженной на 1/с 2 s . И пусть есть второе решение χ 2 обладающее тем же свойством. Сложим эти два решения, тогда получается

Теперь мы хотим удостовериться, что χ(х, t) тоже представляет некую волну, т. е. χ тоже удовлетворяет волновому уравнению. Это очень просто доказать, так как

Отсюда следует, что d 2 χ/ d x 2 = (1/ c 2 s ) d 2 χ l d t 2 , так что справедливость принципа суперпозиции проверена. Само существование принципа суперпозиции связано с тем, что волновое уравнение линейно по χ .


Теперь естественно было бы ожидать, что плоская световая волна, распространяющаяся вдоль оси х и поляризованная так, что электрическое поле направлено по оси у , тоже удовлетворяет волновому уравнению

где с - скорость света. Волновое уравнение для световой волны есть одно из следствий уравнений Максвелла. Уравнения электродинамики приводят к волновому уравнению для света точно так же, как уравнения механики приводят к волновому уравнению для звука.