4 уравнение максвелла говорит о том что. Уравнения максвелла

Введение Максвеллом понятия тока смещения, привело к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля, которая позволяет с единой точки зрения объяснить не только электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существования которых было впоследствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат 4 уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным, так и вихревым, поэтому напряженность результирующего поля равна:

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля :

Получаем

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

	1),
	2),

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует связь.

Для изотропных, несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред запишем формулы связи:


	б) ,
	в) ,

где - электрическая постоянная, - магнитная постоянная,

Диэлектрическая проницаемость среды, m - магнитная проницаемость среды,

r - удельное электрическое сопротивление, - удельная электрическая проводимость.

Из уравнений Максвелла вытекает, что:

источником электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, которые могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (токами), либо переменными электрическими полями.

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе не существует магнитных зарядов.

Если и (стационарные поля), то уравнения Максвелла принимают следующий вид:

Источниками электрического стационарного поля являются только электрические заряды, источниками стационарного магнитного поля - только токи проводимости.

Электрическое и магнитное поле в данном случае независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Дифференциальная форма записи уравнений Максвелла:



	3) ,

Интегральная форма записи уравнений Максвелла является более общей, если имеются поверхности разрыва. Дифференциальная форма записи уравнения Максвелла предполагает, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же важную роль, как и законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с переменным электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным полем, т.е. электрическое и магнитное поле неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Свойства уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей Е и В по времени и пространственным координатам и первые степени плотности электрических зарядов и токов j . Свойство линейности уравнений Максвелла связано с принципом суперпозиции, если два каких-нибудь поля удовлетворяют уравнениям Максвелла, то это относится и к сумме этих полей.

Уравнения Максвелла содержат уравнения непрерывности, выражающие закон сохранения электрического заряда. Чтобы получить уравнение непрерывности необходимо взять дивергенцию от обеих частей первого из уравнений Максвелла в дифференциальной форме записи:

Уравнения Максвелла выполняются во всех инерциальных системах отсчета. Они являются релятивистки инвариантными. Это есть следствие принципа относительности, согласно которому все инерциальные системы отсчета физически эквивалентны друг другу. Вид уравнений Максвелла при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не меняется, однако входящие в них величины преобразуются по определенным правилам. Т.е. уравнения Максвелла являются правильными релятивистскими уравнениями в отличие, например, от уравнений механики Ньютона.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и магнитного полей. Это обусловлено тем, что в природе электрические заряды существуют, а магнитные заряды нет.

Из уравнений Максвелла следует важный вывод о существовании принципиально нового явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его имеет обязательно волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они всегда распространяются со скоростью равной скорости света. Теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн и позволила установить все их основные свойства.

В случае стационарных (то есть неменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, происхождение которых связано с покоящимися зарядами для электрического поля и со стационарными токами для магнитного поля, эти поля являются независимыми друг от друга, что позволяет рассматривать их отдельно друг от друга.

Уравнения Максвелла – это система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла для стационарных полей:

Таким образом, уравнения Максвелла для стационарных полей :

I.; II. ;

III.; IV. .

Векторные характеристики электростатического поля исвязаны между собой следующим соотношением:

где – электрическая постоянная,  – диэлектрическая проницаемость среды.

Векторные характеристики магнитного поля и связаны между собой следующим соотношением:

где – магнитная постоянная, – магнитная проницаемость среды.

Тема 8. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Согласно теории Максвелла для электромагнитного поля в случае нестационарных (то есть, изменяющихся во времени) электрического и магнитного полей, источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющееся во времени магнитное поле, а источниками магнитного поля могут быть либо движущиеся электрические заряды (электрические токи), либо переменное электрическое поле.

В отличие от стационарных полей переменные электрическое и магнитное поля не являются независимыми друг от друга и рассматриваются как электромагнитное поле.

Уравнения Максвелла, как система уравнений, описывающих природу происхождения и свойства электрического и магнитного полей в случае электромагнитного поля имеет вид:

I .
, то есть циркуляция вектора напряженности электрического поля определяется скоростью изменения вектора индукции магнитного поля (  скорость изменения вектора индукции ).

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

II .
, то есть поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхностьS , равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри объема V , ограниченного данной замкнутой поверхностью S (  объемная плотность заряда).

III .
, то есть циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруL определяется полным током I полн. , пронизывающим поверхность S , ограниченную данным контуром L .

полный ток I полн , складывающийся из тока проводимости I и тока смещения I см. , то есть I полн. = I + I см. .

Суммарный ток проводимости I определяется в общем случаечерез поверхностную плотность тока j (
)интегрированием, то есть

Ток смещения I см ,пронизывающий поверхность S , определяется в общем

случаечерез поверхностную плотность тока смещения
(
) интегрированием, то есть:
.

Введенное Максвеллом понятие «тока смещения», величина которого определяется скоростью изменения вектора электрического смещения , то есть величиной , показывает, что магнитные поля могут возбуждаться не только движущимися зарядами (электрическими токами проводимости), но и переменными электрическими полями.

IV .
, то есть поток вектора индукциимагнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (Е Q ), так и вихревым (Е B ), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора Е Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е B определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где e 0 и m 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g - удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E= const и B= const) уравнения Максвелла примут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше:

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле .

Ток смещения или абсорбционный ток - величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется вклассической электродинамике

Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

Введение тока смещения позволило устранить противоречие в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.

Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

ного коэффициента) называется поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхность :

(СИ)

Ток смещения. Для обобщения уравнений электромагнитного поля в вакууме на переменные поля необходимо изменить только одно из написанных ранее уравнений (см. разд. 3.4, 3.12); три уравнения оказываются верными в общем случае. Однако закон полного тока для магнитного поля в случае переменных полей и токов оказывается неверным. В соответствии с этим законом ток должен быть одинаковым для любых двух натянутых на контур поверхностей; если заряд в объеме между выбранными поверхностями меняется, то это утверждение вступает в противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке конденсатора (рис. 45) ток через одну из указанных поверхностей равен а через другую (проходящую между пластинами) - нулю. Чтобы снять указанное противоречие, Максвелл ввел в это уравнение ток смещения, пропорциональный скорости изменения электрического поля:

В диэлектрической среде выражение для тока смещения принимает вид:

Первый член представляет собой плотность тока смещения в вакууме, второй - реальный ток, обусловленный движением связанных зарядов при изменении поляризованности. Ток смещения через поверхность равен где Ф - поток вектора через поверхность. Введение тока смещения снимает противоречие с законом сохранения заряда. Например, при зарядке плоского конденсатора ток смещения через поверхность, проходящую между пластинами, равен току по подводящим проводам.

Система уравнений Максвелла в вакууме. После введения тока смещения система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Приведем также запись уравнений Максвелла в дифференциальной форме в системе СГС:

Плотности заряда и тока связаны соотношением

выражающим закон сохранения заряда (это уравнение является следствием уравнений Максвелла).

Уравнения Максвелла в среде имеют вид: дифференциальная форма интегральная форма

и служат для определения четырех величин . К уравнениям Максвелла, в среде надо добавить материальные уравнения связи между , характеризующие электрические и магнитные свойства среды. Для изотропных линейных сред эти уравнения имеют вид:

Из уравнений Максвелла можно получить граничные условия для (см. разд. 3.6, 3.13).

Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.

Из уравнений Максвелла можно вывести следующее уравнение для любого объема V, ограниченного поверхностью

Первый член описывает изменение энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. Видно, что в общем случае для плотности энергии электромагнитного поля оказываются верными формулы, полученные ранее для постоянного электрического и магнитного полей. Второй член представляет собой работу поля над частицами в рассматриваемом объеме. Наконец, третий член описывает поток электромагнитной энергии через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Плотность потока энергии в данной точке пространства (вектор Пойнтинга) определяется векторами Е и В в этой же точке:

Последнее выражение справедливо и для плотности потока электромагнитной энергии в веществе. Плотность энергии в среде имеет вид:

Пример 1. Рассмотрим зарядку плоского конденсатора с круглыми пластинами, расположенными на расстоянии . Скорость изменения энергии в цилиндре радиусом (меньше размеров пластин) равна

Напряженность магнитного поля найдем из второго уравнения Максвелла: (справа стоит ток смещения). Получаем, что скорость притока энергии через боковую поверхность цилиндра: равна скорости изменения энергии в объеме.

Релятивистские свойства полей. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменяются как источники электромагнитного поля (плотности заряда и тока), так и сами поля, но уравнения Максвелла сохраняют свой вид. Проще всего выглядят формулы преобразования для источников - плотность движущегося заряда). Если обозначить за плотность заряда в ИСО, в которой то с учетом сокращения продольных размеров (см. разд. 1.11) получим

Сравнивая с -вектором энергии-импульса, видим, что образуют -вектор, т.е. преобразуются друг через друга так же, как по формулам преобразования Лоренца. Зная, как преобразуются источники поля, можно найти формулы для преобразования Е, В. Они выглядят так:

Здесь - скорость системы отсчета К относительно системы К, преобразования записаны для компонент полей, параллельных и перпендикулярных Инвариантами этих преобразований являются скалярные величины

При с формулы преобразования полей принимают следующий упрощенный вид:

Пример 2. Магнитное поле нерелятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной нерелятивистской скоростью V. В ИСО связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К надо записать формулы

преобразования Учитывая, что в нерелятивистском пределе длины отрезков не меняются, получим (для момента, когда частица проходи в К через начало координат):

При выводе этих формул было использовано равенство

Пример 3. Поляризация диэлектрика при движении в магнитном поле. При движении диэлектрика с нерелятивистской скоростью перпендикулярно линиям индукции магнитного поля происходит его поляризация. В ИСО, связанной с диэлектриком, существует поперечное электрическое поле . Характер поляризации диэлектрика зависит от его формы.

Пример 4. Электрическое поле релятивистской частицы. Рассмотрим частицу, которая движется относительно ИСО К с постоянной релятивистской скоростью V. В ИСО К связанной с движущейся частицей, имеется только электрическое поле Для перехода в ИСО К следует использовать формулы преобразования (92) с Запишем ответ для момента времени, когда частица в ИСО К проходит через начало координат, для точки, лежащей в плоскости При переходе от координат к координатам надо учесть, что (координаты точки измеряются в К одновременно с прохождением частицы через начало координат). В результате получим

Видно, что вектор Е коллинеарен вектору Однако на одном и том же расстоянии от заряда поле в точке, расположенной На линии его движения, меньше, чем в точке, расположенной на перпендикуляре к скорости. Магнитное поле в той же точке определяется выражением:

Отметим, что рассмотренное электрическое поле не является потенциальным.

Система уравнений Максвелла включает в себя четыре основных уравнения

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Эта система дополняется тремя материальными уравнениями, определяющими связь между физическими величинами, входящими в уравнения Максвелла:

(3.5)

Вспомним физический смысл этих математических фраз.

В первом уравнении (3.1) утверждается, что электростатическое поле может быть создано только электрическими зарядами.В этом уравнении- вектор электрического смещения, ρ - объемная плотность электрического заряда.

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Как свидетельствует эксперимент, поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность всегда равен нулю (3.2)

Сопоставление уравнений (3.2) и (3.1) позволяет сделать вывод о том, что магнитные заряды в природе отсутствуют.

Огромный интерес и важность представляют уравнения (3.3) и (3.4). Здесь рассматриваются циркуляции векторов напряженности электрического () и магнитного () полей по замкнутому контуру.

В уравнении (3.3) утверждается, что переменное магнитное поле () является источником вихревого электрического поля ().Это не что иное, как математическая запись явления электромагнитной индукции Фарадея.

В уравнении (3.4) устанавливается связь магнитного поля и переменного электрического. Согласно этому уравнению магнитное поле может быть создано не только током проводимости (), но и переменным электрическим полем.

В этих уравнениях:

- вектор электрического смещения,

H - напряженность магнитного поля,

E - напряженность электрического поля,

j - плотность тока проводимости,

μ - магнитная проницаемость среды,

ε -диэлектрическая проницаемость среды.

Электромагнитные волны. Свойства электромагнитных волн

В прошлом семестре, завершая рассмотрение системы уравнений классической электродинамики Максвелла, мы установили, что совместное решение двух последних уравнений (о циркуляции векторов и) приводит к дифференциальному волновому уравнению.

Так мы получили волновое уравнение «Y» волны:

. (3.6)

Электрическая компонента y – волны распространяется в положительном направлении оси X с фазовой скоростью

(3.7)

Аналогичное уравнение описывает изменение в пространстве и во времени магнитного поля y – волны:

. (3.8)

Анализируя полученные результаты, можно сформулировать ряд свойств, присущих электромагнитным волнам.

1. Плоская «y» - волна является линейно поляризованной поперечной волной. Векторы напряженности электрического (), магнитного () поля и фазовой скорости волны () взаимно перпендикулярны и образуют «правовинтовую» систему (рис.3.1).