День 23 марта 2015 года, в который написаны эти строки, является 133-м днём рождения Эмми (Амалии) Нётер (1882-1935). Об этой дате вспомнили и в корпорации Google, разместив на главной странице своей поисковой системы посвящённое ей изображение (дудл).
Эмми Нётер была удивительным математиком. Возможно, она была величайшей женщиной-математиком всех времён. Так, Норберт Винер поместил Нётер в один ряд с лауреатом двух нобелевских премий Марией Кюри, которая, к слову, тоже была превосходным математиком. Гений Эмми Нётер по достоинству оценил и другой нобелевский лауреат Альберт Эйнштейн.
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН
По мнению наиболее выдающихся из числа ныне здравствующих математиков, Эмми Нётер была величайшим творческим математическим гением, явившимся миру с тех пор, как для женщин открылось высшее образование.
Общество
Эмми Нётер родилась в обществе, где женщины, можно сказать, были скованы по рукам и ногам. В то время в Германии правил всесильный кайзер Вильгельм II, любитель торжественных приёмов и церемоний, по сути исполнявший роль «свадебного генерала». Он приезжал в город, чинно спускался с поезда, а затем местный градоначальник произносил речь. Всей остальной работой занимался Железный Канцлер Отто фон Бисмарк. Он и был истинным главой государства и общества, вдохновителем его консервативной структуры, которая препятствовала обучению женщин. Образцом женщины была супруга кайзера, императрица Августа Виктория, жизненным кредо которой были четыре «К»: кайзер, Kinder (дети), Kirche (церковь), Küche (кухня) — дополненная версия трёх «К» из народной немецкой трилогии «Kinder, Küche, Kirche». В такой среде женщинам отводилась чётко выписанная роль: на социальной лестнице они находились ниже мужчин и на ступеньку выше домашних животных. Так, женщины не могли получить образование. Собственно, обучение женщин не было запрещено полностью — для родины Гёте и Бетховена это было бы слишком. Преодолев множество препятствий, женщины могли учиться, но не имели права занимать должностей. Итог был тем же самым, но игра — более тонкой. Некоторые преподаватели, демонстрируя особое идеологическое рвение, отказывались начинать занятия, если в аудитории присутствовала хотя бы одна женщина. Совершенно иначе дело обстояло, например, во Франции, где господствовали свобода и либерализм.
Детство и юность
Эмма Нётер родилась в небольшом городе Эрлангене, в семье преподавателей, принадлежавшей к верхушке среднего класса. Эрланген занимает необычное место в истории математики — он является малой родиной создателя так называемой «синтетической геометрии» Христиана фон Штаудта (1798-1867). Кроме того, именно в Эрлангене юный гений Феликс Клейн (1849-1925) обнародовал свою знаменитую Эрлангенскую программу, в которой классифицировал геометрии с точки зрения теории групп.
Отец Эмми, Макс Нётер, преподавал математику в Эрлангенском университете. Его интеллект унаследовали сын Франц, посвятивший жизнь прикладной математике, и дочь Эмми, которая напоминала гадкого утёнка из сказки Андерсена — никто даже предположить не мог, каких научных высот она достигнет. В детстве и юности Эмии ничем не отличалась от сверстников: ей очень нравилось танцевать, поэтому она охотно посещала все торжества. При этом девушка не проявляла особого интереса к музыке, что отличает её от других математиков, которые часто любят музыку и даже играют на разных инструментах. Эмми исповедовала иудаизм — в то время это обстоятельство было несущественным, но в дальнейшем сказалось на её судьбе.
За исключением редких проблесков гениальности обучение Эмми ничем не отличалось от обучения её сверстниц: она умела готовить и вести домашнее хозяйство, проявляла успехи в изучении французского и английского языков. Но в конце-концов, ко всеобщему удивлению, Эмми выбрала математику.
Научная карьера
Эмми имела всё необходимое для того, чтобы посвятить себя выбранному занятию: она знала математику, её семья могла выделять ей средства на жизнь (пусть и весьма скудные), а личное знакомство с коллегами отца позволяло ей рассчитывать на то, что учёба в университете не станет невыносимой.
Здание Kollegienhaus — одного из старейших корпусов Эрлангенского университета
Чтобы продолжить обучение в университете, Эмми пришлось стать слушательницей — посещать занятия в качестве полноправного студента ей запрещалось. Она успешно окончила обучение и сдала экзамен, дававший ей право на получение докторской степени. В качестве темы диссертации Эмми выбрала алгебраические инварианты тернарных квадратичных форм. Преподавателем этой дисциплины был Пауль Гордан (1837-1912), которого современники называли «королём теории инвариантов». Он также был давним другом отца Нётер и сторонником конструктивной математики. В поисках алгебраических инвариантов Гордан превращался в настоящего бульдога: он вцеплялся в инвариант и не разжимал челюстей до тех пор, пока не выделял его среди хитросплетений расчётов, порой казавшихся бесконечными.
В докторской диссертации под названием «Об определении формальных систем тернарных биквадратичных форм» приведён 331 инвариант тернарных биквадратичных форм, найдённых Эмми. Работа принесла ей степень доктора и дала возможность вдоволь попрактиковаться в математической гимнастике. Этот тяжкий труд сама Эмми в порыве самокритики назвала чепухой. Она стала второй женщиной-доктором наук в Германии после Софьи Ковалевской.
Эмми получила должность преподавателя в Эрлангене, где проработала восемь лет, не получая никакого жалования. Порой ей выпадала честь замещать собственного отца — его здоровье к тому времени ослабело. Пауль Гордан вышел в отставку, его сменил Эрнст Фишер, который придерживался более современных взглядов и прекрасно ладил с Эмми. Именно Фишер познакомил её с трудами Гильберта.
К счастью, проницательность Нётер, её ум и знания заметили два светила Гёттингенского университета, «самого математического университета в мире». Этими светилами были Феликс Клейн и Давид Гильберт (1862-1943). Шёл 1915 год, Первая мировая война была в самом разгаре. И Клейн, и Гильберт отличались крайним либерализмом в вопросах обучения женщин (и их участии в исследовательской работе) и были специалистами высочайшего уровня. Они убедили Эмми покинуть Эрланген и переехать с ними в Гёттинген для совместной работы. В то время гремели революционные физические идеи Альберта Эйнштейна, а Эмми была экспертом по алгебраическим и прочим инвариантам, составлявшим крайне полезный математический аппарат теории Эйнштейна.
Всё это было бы смешно, если не было бы так грустно — даже поддержка таких авторитетов не помогла Эмми преодолеть сопротивление учёного совета Гёттингенского университета, от членов которого можно было услышать что-то в духе: «Что скажут наши героические солдаты, когда вернуться на родину, и в аудиториях им придётся сидеть перед женщиной, которая будет обращаться к ним с кафедры?».
Эмми так и не была избрана приват-доцентом. Учёный совет объявил ей настоящую войну. Конфликт вскоре прекратился, была провозглашена Веймарская республика, и положение женщин улучшилось: они получили право голосовать. А Эмми смогла занять должность приват-доцента (но без жалования), однако лишь в 1922 году, приложив огромные усилия, она наконец начала получать жалование за свой труд.
Эмми раздражало, что её работа на посту редактора журнала «Анналы математики», отнимавшая немало времени, не была оценена по достоинству.
Теорема Нётер
В 1918 году была опубликована сенсационная теорема Нётер. Многие называли её именно так, хотя Эмма доказала немало и других теорем, в том числе очень важных. Нётер заслужила бы бессмертие, даже если бы умерла на следующий день после публикации теоремы в 1918 году, хотя на самом деле она нашла доказательство тремя годами ранее. Эта теорема не относится к абстрактной алгебре и находится на стыке между физикой и математикой, точнее говоря, принадлежит к механике. К сожалению, чтобы её объяснить понятным для читателя языком, пусть даже в упрощённом виде, нельзя обойтись без высшей математики и физики.
Если говорить просто, без символов и уравнений, то теорема Нётер в наиболее общей формулировке гласит:
Если физическая система обладает непрерывной симметрией, то в ней найдутся соответствующие величины, которые сохраняют значение с течением времени.
Понятие непрерывной симметрии в физике объясняется с помощью групп Ли. Если не углубляться в детали, то можно сказать, что в физике под симметрией понимают любое изменение физической системы, относительно которого физические величины в системы являются инвариантными. Это изменение посредством математически непрерывного преобразования должно затрагивать системы координат, а рассматриваемая величина до и после преобразования должна оставаться неизменной.
Эта теорема Эмми Нётер вызвала множество хвалебных отзывов, в том числе от Эйнштейна, который писал Гильберту:
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН
Вчера я получил очень интересную статью госпожи Нётер о построении инвариантов. На меня производит впечатление то, что такие вещи можно рассматривать со столь общей точки зрения. Старой гвардии в Гёттингене не повредило бы, если бы её послали на обучение к госпоже Нётер. Похоже, она хорошо знает своё ремесло.
Похвала была заслуженной: теорема Нётер сыграла нетривиальную роль в решении задач общей теории относительности. Эта теорема, по мнению многих специалистов, является фундаментальной, а некоторые даже ставят её в один ряд с известной всем теоремой Пифагора.
Перенесёмся в простой и понятный мир экспериментов, описанный Карлом Поппером (1902-1994), и предположим, что мы создали новую теорию, описывающую новое физическое явление. По теореме Нётер, если в рамках нашей теории присутствует некая разновидность симметрии (предполагать подобное вполне разумно), то в системе будет сохраняться некоторая величина, которую можно измерить. Таким образом, можно определить, верна наша теория или нет.
Алгебра и ещё раз алгебра
Итак, как мы уже рассказали выше, Эмми Нётер обосновалась в Гёттингене рядом с Клейном и Гильбертом — двумя математиками мировой величины. Остроумный Гильберт нашёл способ преодолеть препятствия со стороны наиболее косных и консервативных преподавателей: он организовали курсы под своим именем, но на занятиях его всякий раз замещала Эмми, а недоброжелателям оставалось лишь скрежетать зубами.
Эмми отличалась невероятной работоспособностью — её можно было сравнить с автомобилем, у которого отказали тормоза. Постепенно, но неуклонно, Эмми стала уделять всё больше внимания вопросам чистой алгебры: сначала кольцам и идеалам колец, затем — более сложным структурам, в частности, различным алгебрам. Она настолько овладела темой, что вполне заслужила титул «властительницы колец». К этой эпохе относятся столь важные для развития алгебры результаты, как теорема Ласкера-Нётер (1921) и лемма о нормализации (1926). К 1927 году относятся её теоремы об изоморфизме.
Затем, практически сразу же, Эмми перешла к более сложным темам, в частности, к алгебрам. В 1931 году была сформулирована теорема Альберта-Брауэра-Хассе-Нётер об алгебрах конечной размерности. В 1933 году Эмми Нётер вновь получила важный результат, связанный с алгебрами, — так называемую теорему Сколема-Нётер.
За Эмми повсюду следовала настоящая толпа учеников — шумных, недисциплинированных, но очень умных. То были «дети Нётер», которые внимали её словам. Они сопровождали её во время длинных прогулок и частых купаний в муниципальном бассейне, где Эмми плавала и ныряла, словно дельфин. Многие из «детей Нётер» впоследствии стали великими математиками благодаря идеям, которые они почерпнули от наставницы, хотя её педагогический дар был, если можно так сказать, нестандартным: она относилась к ученикам как курица-наседка к цыплятам — была неизменно строгой и требовательной и не отходила от них ни на шаг. Многим она напоминала скорее петуха, чем курицу, и они называли её, проявляя уважение к её уму и некоторую робость, в мужском роде — Der Noether.
В то время нацисты установили повальную слежку, они вмешивались в частную жизнь людей и буквально осаждали университеты. Один из учеников Нётер, который был евреем и поэтому не мог посещать университет, приходил заниматься к ней в форме члена штурмового отряда, чтобы избежать подозрений. Пацифистка Эмми воспринимала происходящее со смирением.
Она занималась наиболее современными разделами алгебры. Время от времени Эмми обращалась к топологии, в частности в совместных работах с Павлом Сергеевичем Александровым (1896-1982). Специализацией Нётер было подробное изучение алгебраических структур, цель которого — отбросить их частные свойства и рассмотреть их в максимально общем виде. Эмма пользовалась безграничным авторитетом. К ней приезжали ученики со всех уголков Европы. Один из них, Бартель ван дер Варден (1903-1996), впоследствии прославившийся как автор «Современной алгебры», книги, ставшей каноном для нескольких поколений, писал в некрологе Эмми Нётер:
БАРТЕЛЬ ЛЕЕНДЕРТ ВАН ДЕР ВАРДЕН
Для Эмми Нётер связи между числами, функциями и операциями становились ясными, доступными для обобщения и полезными только после того, как они были отделены от конкретных объектов и сведены к концептуальным связям общего вида.
А вот что писал Эйнштейн:
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН
Теоретическая математика — своего рода поэзия логичных идей. Её цель — поиск наиболее общих идей, которые в простом, логичном и общем виде описывают максимально возможный спектр формальных взаимосвязей. На этом пути к логической красоте мы и открываем формулы, позволяющие глубже постичь законы природы.
Нётеровы кольца
Большая часть научной работы Эмми Нётер была посвящена кольцам и идеалам — алгебраическим структурам, над которыми она работала многие годы. Почему это было так важно?
Я не буду останавливаться на теории идеалов и колец, скажу лишь о том, что гениальность Нётер заключается в том, что она выстроила цепочку идеалов, объединённых функцией принадлежности , которая отражает их делимость друг на друга. Так как любое отношение делимости рано или поздно заканчивается некоторым числом, то рано или поздно заканчивается любая цепочка идеалов. «Хорошие» цепочки идеалов обязательно заканчиваются, то есть являются конечными.
Кольца, на которых не существует бесконечных цепочек идеалов, называются нётеровыми кольцами. Именно этим кольцам Эмми Нётер уделяла особое внимание в своих исследованиях.
Конец истории
Не стоит и говорить, что уже в 1930-е годы Эмми Нётер пользовалась среди математиков невероятным уважением. Пример тому — её участие в Международном конгрессе 1932 года. На следующий год к власти в Германии пришли нацисты, и с огромной решительностью, которая могла сравниваться только с их же глупостью, принялись изгонять из университетов преподавателей-евреев. От антисемитизма пострадала и Эмми. Напрасно протестовали её друзья и знакомые — она и многие её коллеги (Томас Манн, Альберт Эйнштейн, Стефан Цвейг, Зигмунд Фрейд, Макс Борн и многие другие) были вынуждены прекратить преподавание в Германии и покинуть страну (как стало ясно позднее, такая счастливая возможность выпала далеко не всем), чтобы распространять свои «зловредные идеи» среди представителей других, неарийских рас. Что именно зловредного увидели нацисты в современной алгебре, мы уже никогда не узнаем. Вероятнее всего, нацисты сами не знали ответа на этот вопрос.
Брат Эмми, Фриц, совершив фатальную ошибку, переехал в Томск, а сама Эмми, которая некоторое время склонялась то к Оксфорду, то к Москве, но в конце-концов усилиями Фонда Рокфеллера оказалась в США.
Такой выбор — эмиграция в США, спас жизнь Эмми, что доказывает трагическая судьба её брата Фрица в СССР. В ноябре 1937 года Фриц Нётер был арестован в своём доме в Томске и 23 октября 1938 года приговорён к 25 годам лишения свободы по обвинению в шпионаже в пользу Германии. Оставшихся без родителей сыновей - Германа и Готфрида - в марте 1938 года выслали из СССР. В тюрьме Фриц был обвинён в «антисоветской пропаганде», 8 сентября 1941 года приговорён к смертной казни и расстрелян.
В США Эмми Нётер читала лекции и проводила семинары в Институте перспективных исследований в Принстоне. Основным местом работы Нётер стал расположенный недалеко от Нью-Джерси Бриин-Мор-колледж в штате Пенсильвания — лучший женский колледж мира. Иногда Эмми забывала, что находится в Америке, и в разгар спора о математике разражалась тирадами на немецком языке.
Спустя всего два года после приезда в Америку врачи обнаружили у Эмми рак. Она прекрасно перенесла операцию, но умерла от эмболии.
Интересно, что среди лавины некрологов один, за подписью ван дер Вардена, был без особых проблем опубликован в Германии — должно быть, нацистские цензоры не слишком хорошо разбирались в алгебре.
Именем Эмми Нётер также названы кратер на обратной стороне Луны и астероид под номером 7001.
| Ама́лия Э́мми Нётер | |
| Amalie Emmy Noether | |
| Портрет | |
| Род деятельности: |
математик |
|---|---|
| Дата рождения: | |
| Место рождения: | |
| Гражданство: | |
| Дата смерти: | |
| Место смерти: | |
Ама́лия Э́мми Нётер (Amalie Emmy Noether, 1882, Эрланген, Германия - 1935, Брин-Мор, Пенсильвания, США) - немецкий математик.
Семья Нётер
Её отец Макс Нётер (1844-1921), родился в Эрлангене, был профессором математики в течение почти 50 лет. Он внес важный вклад в геометрию и был главным авторитетом алгебраической-геометрические школы в Германии . Он написал много статей по геометрии гиперпространства, абелевых и тета-функций.
Его сын Фриц Нётер (1884-1941) стал профессором прикладной математики в Высшей технической школе, Бреслау .
Ранние годы Эмми
Эмми была дочерью Макса Нётера, родилась и получила образование в Эрлангене. В 1900 году она получила сертификат на преподавание английского и французского языков в школах для девочек. Но захотела изучать математику в университете Эрлангена (ныне Университет Эрланген-Нюрнберг). В то время женщинам было позволено входить в аудиторию только с разрешения преподавателя. Она провела зиму 1903-04 гг., посещая лекции в университете Гёттингена, где преподавали математики Давид Гильберт, Феликс Клейн и Герман Минковский и астроном Карл Шварцшильд .
Она вернулась в Эрлангене в 1904 году, когда там было разрешено женщинам быть полноправными студентами. Окончила этот университет. Она получила степень доктора философии в Эрлангене в 1907 году, защитив диссертацию об алгебраических инвариантах. Осталась в Эрлангене, где она работала без оплаты ее собственных исследований и была ассистентом у отца, Макса Нётера.
В 1915 году Нётер был приглашена Гильбертом и Клейном в Гёттинген , считавшийся математической столицей мира. В 1916 г. переехала туда к ним. Вскоре, используя свои знания инвариантов, она помогала им исследовать математические аспекты недавно опубликованной Альбертом Эйнштейном общей теории относительности.
Будучи уже выдающимся математиком, Нетер как женщина не получила академической должности. Гильберт и Клейн убедил ее остаться там, несмотря на яростные возражения некоторых членов профессорско-преподавательского состава против преподавания женщины в университете. До 1922 г. читала университетский курс алгебры вместо его официального руководителя Д. Гильберта (с его согласия).
В 1918 году Нётер обнаружила, что если лагранжиан (величина, характеризующая физическую систему, в механике это кинетическая минус потенциальная энергия) не изменяется, когда система координат изменяется, то есть величина, которая сохраняется. Например, когда лагранжиан зависит от изменения во времени, то энергия - сохраняемая величина. Это соотношение между тем, что известно как симметрии физической системы и её законами сохранения известно как теорема Нётер и оказалось ключевым результатом в теоретической физике.
Условия изменились при Веймарской республике, и Нётер получила официальный допуск к преподаванию в 1919 году. После долгого сопротивления университетского сообщества она была назначена «неофициальным» экстраординарным профессором Геттингенского университета. Этот статус не предоставлял академических прав и жалованья, но позволил создать группу учеников (их называли «мальчики Нетер»), из которой позднее вышли виднейшие алгебраисты. В 1920 году она опубликовала работы, сделавшие её одним из ведущих математиков.
В течение следующих шести лет ее исследования сосредоточены на общей теории идеалов (специальные подмножества колец), для которых её остаточная теорема - важная часть. На основе аксиоматики она разработала общую теорию идеалов для всех случаев. Её абстрактная теория помогла сблизить много важных математических разработок.
С 1927 научные интересы Нётер были сосредоточены на некоммутативных алгебрах (алгебры, в которых порядок перемножения чисел влияет на ответ), их линейных преобразований, и их применение к коммутативным числовым полям. Она построила теорию некоммутативных алгебр заново единой и чистой концептуально. В сотрудничестве с Хельмутом Хассе и Рихардом Брауэром, она исследовала структуру некоммутативных алгебр и их применение к коммутативным полям с помощью перекрестного продукта (вид умножения, используется между двумя векторами). Важные работы этого периода: «Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie» (1929; «Гиперкомплексные системы счисления и их представление») и «Nichtkommutative Algebra» (1933; «Некоммутативная Алгебра»).
В дополнение к исследовательской и преподавательской работе, Нётер помогала отредактировать «Mathematische Annalen». С 1930 по 1933 год она была центром сильнейшей математической деятельности в Гёттингене .
В США
В 1933 г. Нетер как еврейка вынуждена была покинуть Германию и переехала в США , где преподавала в колледже Брин-Мор.
Математик Эмми Нётер была гением, положившим начало новому подходу в физике
Теорема Нётер в теоретической физике – то же самое, что и естественный отбор в биологии. Если бы вы написали уравнение, которое кратко излагает все, что мы знаем о теоретической физике, то на одном его конце были бы имена Фейнмана, Шрёдингера, Максвелла и Дирака. Но если вы напишите фамилию Нётер с другой стороны уравнения, то это бы компенсировало их всех.
Эмми Нётер родилась в Баварии в 1882 году. Она посещала школу-пансион и получила диплом, дающий право преподавать языки - французский и английский. Однако вскоре девушка поняла, что математика, которой занимались ее отец и брат в Эрлангенском университете, интересует ее куда больше. Женщинам не разрешалось поступать в высшие учебные заведения, но Эмми сдала вступительный экзамен на пять с плюсом и просто посещала лекции вольнослушательницей до тех пор, пока университет не стал принимать девушек на обучение. И Нётер смогла получить степень доктора наук.
Девушка начала заниматься исследовательской работой и, можно сказать, изобрела общую алгебру. Эта дисциплина изучает алгебраические системы (алгебраические структуры) и редуцировать их до максимально абстрактных форм. Целью Нётер было понять, как математические идеи коррелируют друг с другом и построить общие математические структуры. Она никогда не заявляла о том, что открыла нечто революционное, но её работа стала новым подходом в математике.
Пока Нётер писала свою принципиально новую работу в Эрлангенском университете, у неё не было ни должности, ни зарплаты. Единственное, что она могла – время от времени заменять своего отца на лекциях по математике, когда он был болен.
Спустя семь лет математики Давид Гильберт и Феликс Клейн пригласили Нётер поработать с ними в Гёттингенском университете. Они хотели, чтобы женщина решила проблему сохранения энергии в теории общей относительности Эйнштейна. Пытаясь сделать это, Эмми сформулировала теорему Нётер, тем самым внеся один из самых значительных вкладов в теоретическую физику.
Эйнштейн говорил о теореме как о примере «прозорливого математического мышления». При этом теорема имеет простую формулировку: каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения. Под симметрией подразумевается, что физический процесс - или его математическое описание - остается неизменным при изменении какого-либо аспекта установки.
Например, идеальный маятник, который бесконечно долго колеблется туда-сюда, симметричен во времени. Исходя из теоремы Нётер, все, обладающее временной симметрией, сохраняет энергию. Таким образом, маятник не теряет энергии. Если же система обладает вращательной симметрией - то есть работает одинаково вне заивимости от ориентации в пространстве - то в ней сохраняется момент импульса. Это означает, что если объект вначале вращается, то он продолжит вращаться бесконечно долго. Стабильность, которую мы видим у орбит планет, – это следствие симметрий, которые работают вместе - сохранение и энергии, и углового момента тел.
Теорема Нётер позволяет нам провести глубокие связи между результатами экспериментов и фундаментальным математическим описанием их физики. Размышления о физике в этом случае формируют основу того типа теоретического скачка, который привел физиков к теоретическому предсказанию бозона Хиггса задолго до того, как частицу смогли обнаружить в результате исследований на БАК. Симметрия настолько фундаментальна для физики, что стандартная модель физики частиц часто называется по её группам симметрии: U(1)×SU(2)×SU(3).
Это, конечно, здорово, что Нётер произвела коренной переворот в физике - но при этом она продолжала работать без зарплаты, часто читая лекции за Гильберта и будучи его ассистенткой. В 1922 году, спустя 4 года после публикации своей теоремы, женщина получила статус внештатного доцента, и ей начали давать неболоьшую зарплату. Эмми читала лекции по всей Европе.
Когда нацисты пришли к власти, Нётер оказалась без работы, потому что она была еврейкой. Ей пришлось эмигрировать в Америку, где она стала приглашенным профессором в женском колледже в Брин-Море. Кроме того, Эмми Нётер читала еженедельные лекции в Принстоне. В Брин-Море Нётер впервые стала работать с женщинами-математиками. Трагично, что ей было отведено всего лишь 2 года, чтобы этим наслаждаться. Нётер умерла в 1935 году в возрасте 53 лет после неудачной операции по удалению раковой опухоли.
Многие великие физики и математики того времени, включая Эйнштейна, превозносили Эмми. В её эпоху ученые мужи усердно старались, чтобы женщины не приходили в науку. Но Нётер поборола это правило (возможно, с поддержкой Эйнштейна).
Даже сегодня в математике и физике мы можем наблюдать асимметрию в отношении к ученым женского и мужского пола (это называется «Эффектом Матильды в науке»). Как Нётер и говорила - как только симметрия нарушается, что-то теряется.
Katie Mack
The woman who invented abstract algebra // Cosmos Magazine
Перевод: Катюша Шутова
| Комментарии: 0 |
Алексей Левин
Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала важнейшим инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения (например, если в изолированной системе частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в этой системе выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер - и этот результат, наряду с последовавшими важнейшими работами по абстрактной алгебре, заслуженно позволяет многим считать Нётер величайшей женщиной в истории математики.
Алексей Левин
В июле 1918 года ученые круги Геттингена узнали о доказательстве математической теоремы, которой было суждено стать самым универсальным и эффективным инструментом фундаментальной физики новейшего времени. Лекция посвящена как самой теореме и ее роли в прогрессе теоретической физики, так и очень нестандартной личности и жизни ее автора великого математика Эмми Нётер. Особое внимание будет уделено связям Нётер как с современной ей Россией, так и с российской историей 19 века.
Эмиль Ахмедов
Какие наблюдения лежат в основе специальной теории относительности? Как был выведен постулат о том, что скорость света не зависит от системы отсчета? О чем теорема Нётер? И существуют ли явления, которые противоречат СТО? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.
Эмиль Ахмедов
Как меняются физические законы в различных системах отсчета? Какой физический смысл имеет искривление пространства? И как функционирует Global Positioning System? О неинерциальных системах отсчета, ковариантности и физическом смысле искривления пространства рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.
Эмиль Ахмедов
О преобразованиях Лоренца, специальной теории относительности, о парадоксе близнецов и парадоксе стержня и сарая рассказывает доктор физико-математических наук Эмиль Ахмедов.
Дмитрий Казаков
Как были открыты три поколения кварков? Какие теории описывают взаимодействие частиц? Какими свойствами обладают кварки? О типах элементарных частиц, теории групп и открытии трех поколений кварков рассказывает доктор физико-математических наук Дмитрий Казаков.
Иван Лосев
Общепринятый формализм классической (гамильтоновой) механики подразумевает, что наблюдаемые образуют алгебру Пуассона, а эволюция системы задается уравнением Гамильтона. В общепринятом квантово-механическом формализме наблюдаемые - это самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция задается уравнением Гейзенберга. Эти два уравнения похожи, но природа наблюдаемых совершенно разная. Это затрудняет переход как от классического к квантовому, так и обратно. По этой причине в был предложен более простой (и более алгебраический) формализм для квантовой механики, в котором квантовая алгебра наблюдаемых становится деформацией классической. Я начну с того, что на примере потенциальной системы объясню возникновение скобки Пуассона и уравнения Гамильтона. Затем я поговорю о деформациях алгебр и объясню почему деформационный формализм с легкостью обеспечивает переход к квазиклассическому пределу.
Немецкий математик.
Она была приглашена Давидом Гильбертом для чтения лекций и проведения научной работы в Гёттингенском университете.
«Эмми Нётер
имела мало общего и легендарной «математичкой» Софьей Ковалевской
, очаровавшей даже Вейерштрасса
своим умом и молодым обаянием. Она была совсем лишена женственности как во внешности, так и в своих манерах. Даже сегодня первое, что вспоминают знавшие её мужчины, - это: «У неё был громкий и неприятный голос», «Она выглядела, как энергичная и очень близорукая прачка», «Её одежда всегда была мешковатой».
Все они с восторгом цитируют деликатное замечание , что «грации не стояли у её колыбели».
Однако Эмми Нётер суждено было оказать гораздо более важное влияние на математику, чем очаровательной Софье
.
Даже в то время она уже обладала солидными знаниями некоторых предметов, необходимых Гильберту и Клейну для их работы в теории относительности. Оба они решили, что она должна остаться в Гёттингене. Однако несмотря на то, что Гёттинген был первым университетом в Германии, присудившим докторскую степень женщине, получить хабилитацию (Термин происходит от латинского «habilis» - способный, пригодный и означает получения права войти в состав преподавателей университета - Прим. И.Л. Викентьева)
для неё было нелёгким делом.
В голосовании о приёме хабилитации должен был принимать участие весь философский факультет, включавший, помимо представителей естественных наук и математики, также философов, филологов и историков. Особое противодействие исходило от нематематической части факультета.
Их формальное возражение сводилось к следующему: «Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Став таковым, она сможет затем стать профессором и членом университетского сената. Разве можно допустить, чтобы женщина входила в сенат?» Неформальное возражение было таким: «Что подумают наши солдаты, когда, вернувшись в университет, они увидят, что им придётся учиться, сидя у ног женщины?»
Гильберту
эти рассуждений напоминали те, которые он слышал, когда пытался пробить перед этими же членами факультета диссертацию Громмера. «Если студенты без диплома гимназии будут всегда писать такие же диссертации, как Громмер, - сказал он тогда, - то нужно будет издать закон, запрещающий устраивать выпускные экзамены». Теперь с той же прямотой он ответил на их формальные возражения против доцентуры Эмми Нётер: «Meine Herren, я не вижу, почему пол кандидата должен быть причиной против присуждения ему звания приват-доцента. В конце концов, ведь сенат - не бани».
Когда, несмотря на такое возражение, ему всё же не
удалось добиться присуждения хабилитации Эмми Нётер
, он по-своему решил проблему сохранения ее в Гёттингене.
Лекции будут объявлены под именем профессора Гильберта , а читать их будет госпожа Нётер. Война продолжалась».
Констанс Рид, Гильберт, М., «Наука», 1977 г., с. 187-188.
В 1918 году Эмми Нётер доказала фундаментальную теорему теоретической физики, связывающую законы сохранения с симметрией системы, получившую название «Нётер теорема».
«Теорема Э. Нётер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат в инерциальной системе отсчёта, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (инвариант
). Поскольку рассматриваемое преобразование тесно связано со своей симметрией пространства и времени (однородного пространства, изотропного пространства и однородности времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать в соответствии с классической механикой свой определённый закон сохранения.
С однородностью пространства, т.е. симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, т.е. с равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса.
Представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не
может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Практическое значение теоремы Э. Нётер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу.
При наличие в физической системе симметрии другого рода, например, динамической (математической), данные симметрии прогнозируют частные законы сохранения, которые также обладают функцией запрета на локальные явления саморазвития».
Балакшин О.Б. , Гармония саморазвития в природе и обществе: подобие и аналогии, М., Издательство ЛКИ, 2008 г., с. 112.
«… было установлено существование тесной взаимосвязи между инвариантностью теории относительно преобразований симметрии и законами сохранения физических величин (теорема Нётер ). Теорема Нётер имеет глубокий эвристический смысл. Если в рассматриваемой физической системе имеется сохраняющаяся величина, описывающая определённые свойства системы, то должна существовать и группа преобразований, не меняющая эту систему. Если же обнаружена физической системы при каких-то преобразованиях, то ей соответствует сохранение определённой физической величины».
Кувшинов В.И., Стражев В.И., От научной гипотезы к физической факту, Минск, «Наука и техника», 1977 г., с. 23.
Эмми Нётер смогла стать приват-доцентом в1919 году, а сверхштатным профессором - в 1922 году.
В 1933 году, когда к власти в Германии пришли фашисты, Эмми Нётер переехала в США.
Узнав о её смерти, Альберт Эйнштейн
написал: «Большинство людей все свои силы расходуют в борьбе за свой хлеб насущный. Даже многие из тех, кого судьба или какое-либо особое дарование «избавили от необходимости вести эту борьбу, большую часть сил отдают умножению мирских благ и своего состояния.
За подобными усилиями, направленными к накоплению всяческих благ, весьма часто кроется иллюзия, будто в этом и состоит наиболее существенная и желанная цель, к которой надлежит стремиться.
К счастью, существует меньшинство, состоящее из тех, кто рано осознал, что самые прекрасные переживания и наибольшее удовлетворение человечество получает не извне, а что они связаны с развитием собственных чувств, мыслей и поступков каждого отдельного индивидуума.
Подлинные художники, исследователи и мыслители, всегда были людьми такого рода. Как бы незаметно ни проходила жизнь этих людей, плоды их усилий оказывались самым драгоценным вкладом в то наследство, которое поколение оставляет своим преемникам.
Несколько дней тому назад в возрасте пятидесяти трёх лет скончалась выдающийся математик профессор Эмми Нётер
, когда-то связанная с Гёттингенским университетом, а в последние два года работавшая в колледже Брин Моур. По отзывам наиболее компетентных из ныне живущих математиков, фрейлейн Эмми Нётер входила в число самых значительных и самых творческих гениев математики, появившихся с тех пор, как женщины стали получать высшее образование.
В области алгебры, которой наиболее одарённые математики занимались на протяжении столетий, она открыла методы, оказавшие огромное влияние на развитие современного поколения молодых математиков. Чистая математика - это своего рода поэзия логики идей. Математики пытаются найти как можно более общее представление об операции, которое позволило бы просто, логично и единообразно охватить возможно более широкий круг формальных соотношений»
Альберт Эйнштейн, Памяти Эмми Нетер / Собрание научных трудов в 4-х томах, Том 4, 1967 г., «Наука», с.108.
Ровно сто лет назад на семинаре Геттингенского математического общества была представлена теорема, которая со временем стала важнейшим инструментом в математической и теоретической физике. Она связывает каждую непрерывную симметрию физической системы с некоторым законом сохранения (например, если в изолированной системе частиц процессы инвариантны относительно сдвига по времени, то в этой системе выполняется закон сохранения энергии). Доказала эту теорему Эмми Нётер - и этот результат, наряду с последовавшими важнейшими работами по абстрактной алгебре, заслуженно позволяет многим считать Нётер величайшей женщиной в истории математики.
Исторические ассоциации
Для начала - небольшое, но поучительное отступление от основной темы. В 60-е годы ХХ века на встрече со студентами МГУ замечательный московский математик Дмитрий Евгеньевич Меньшов рассказывал о Московской математической школе :
«В 1914 году я поступил в Московский университет. Николай Николаевич Лузин тогда был за границей. Но он договорился с Дмитрием Федоровичем Егоровым , что они организуют семинарий для студентов. И в 1914 году Дмитрий Федорович такой семинарий организовал. Он был посвящен числовым рядам. В следующем году Николай Николаевич вернулся в Москву и начал руководить семинарием сам. В 1915 году мы занимались функциональными рядами, а в 1916 году - ортогональными рядами.
А потом наступил тысяча девятьсот семнадцатый год. Это был очень памятный год в нашей жизни, в тот год произошло важнейшее событие, повлиявшее на всю нашу дальнейшую жизнь: мы стали заниматься тригонометрическими рядами ... »
Итак, для Меньшова главным событием 1917 года оказался переход к исследованию тригонометрических рядов! Не зря же порой утверждают, что у математиков восприятие окружающего мира несколько своеобразно.
Аналогичным образом могли бы охарактеризовать случившееся в конце июля 1918 года профессора знаменитого математического факультета Геттингенского университета. Мир вокруг них рушился, хотя, возможно, они этого еще не поняли. На Западном фронте бесславно закончилась Вторая битва на Марне - последнее крупное наступление кайзеровских армий, ставшая прелюдией поражения Германии в Великой Войне. 16 июля в подвале Ипатьевского дома убили царскую семью и ее немногочисленную свиту. В эти роковые дни, точнее 23 июля, участники семинара Геттингенского математического общества заслушали сообщение о теореме, которая со временем превратилась в чрезвычайно эффективный инструмент фундаментальной науки. Осенью расширенный и доработанный текст доклада был опубликован в журнале Nachrichten von der Könighche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse . Эта статья, озаглавленная Invariante Variationsprobleme, вошла в золотой фонд математической и теоретической физики (доступны оригинал на немецком и перевод на английский).
У ее автора тогда не было никакого формального статуса в германском академическом мире. Хотя 36-летняя Эмми Нётер успела защитить докторскую диссертацию и опубликовала 12 оригинальных работ, ее пол полностью перекрыл возможность войти в университетские круги Германии. В частности, она не могла (и даже в будущем не смогла) стать членом Королевского научного общества Геттингена , где ее работу спустя три дня после доклада представил великий математик Феликс Клейн (вполне возможно, что Эмми Нётер даже не присутствовала на этом заседании). Да и позднее, уже в двадцатые годы, став математиком с мировым именем, она была вынуждена довольствоваться в Геттингенском университете до неприличия низким жалованьем и очень скромным положением. Возможно, в этом были повинны и ее еврейское происхождение, и весьма левые взгляды.
Долгий путь к вершинам
Великие математики обычно проявляют свои уникальные способности с ранних лет. Однако нет правил без исключений.
Эмми Нётер (Amalie Emmy Noether) родилась 23 марта 1882 года в провинциальном баварском городе Эрлангене . С 1743 года там существовал «свободный» (то есть, не связанный с религиозными деноминациями) университет имени Фридриха-Александра , один из трех в тогдашней Германии (два других были учреждены ранее в Галле и Геттингене). Учили там неплохо, но особыми научными достижениями его профессура похвастаться не могла. Правда, в 1872–75 годах в Эрлангене работал молодой Феликс Клейн. При вступлении в должность он прочел ставшую знаменитой лекцию «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований», где содержались наброски плана радикального обновления геометрии на базе абстрактной алгебры, включая теорию групп. Эта лекция, вошедшая в историю науки как Эрлангенская программа , оказалась важной вехой для развития математики второй половины XIX века. Однако Клейн через три года сменил Эрланген на Мюнхен. После него в штате университета Фридриха-Александра состояли математики хоть и хорошие, но не первого ранга. Одним из них был отец Эмми, занимавший профессорскую кафедру до 1919 года. плодотворно занимался алгебраической геометрией, в 1870-е годы доказал (один или в соавторстве) несколько весьма нетривиальных теорем, но затем посвятил себя одному лишь преподаванию. Там же читал лекции видный алгебраист Пауль Гордан , который со временем сыграл немалую роль в судьбе дочери своего коллеги.
Маленькая Эмми была самым обычным ребенком - милая и умная девочка, но отнюдь не вундеркинд. В семь лет она поступила в муниципальную женскую гимназию, где училась хорошо, но не блестяще. В апреле 1900 года сдала государственные экзамены, дающие право преподавать английский и французский языки в женских школах королевства Бавария. Однако вместо того, чтобы искать место учительницы, она поступила вольнослушателем в Эрлангенский университет, поскольку в полноправные студенты девушек тогда не брали. Зимой 1903–04 годов она провела семестр в Геттингене, где слушала лекции таких звезд германской науки, как математики Герман Минковский , Феликс Клейн и Давид Гильберт и астрофизик Карл Шварцшильд . По возвращении в Эрланген она осенью 1904 года получила университетский диплом по специальности «математика». Это позволило ей продолжить образование на философском факультете, где в декабре 1907 года под руководством Гордана она защитила докторскую диссертацию, и даже с отличием - summa cum laude . На следующий год ее диссертация появилась в весьма престижном «Журнале чистой и прикладной математики» (Journal für die reine und angewandte Mathematic ), более известном по имени своего основателя как журнал Крелля (Crelle"s Journal). Это была ее первая научная публикация, причем весьма солидного объема - 68 страниц (чуть раньше трехстраничный дайджест этой работы появился в сборнике трудов Физико-Медицинского общества Эрлангена).
После защиты Эмми семь с половиной лет оставалась в Эрлангене в весьма двусмысленной роли неоплачиваемого и не имеющего должности сотрудника университетского Математического института. Она руководила несколькими докторантами, иногда подменяла отца в качестве лектора и, конечно, занималась собственными исследованиями. В 1909 году она получила первое институциональное признание, став членом Немецкого математического общества .
Примерно до 1911 года Эмми Нётер в общем не выходила из круга проблем, которыми занималась при подготовке диссертации. Они всецело лежали в области научных интересов Пауля Гордана. Эти задачи требовали трудоемких вычислений, но в идейном плане ничего особенного не представляли. Через много лет она говорила о них без малейшего пиетета и даже признавалась, что совершенно позабыла формальный аппарат, которым некогда пользовалась. Однако в ретроспективе очевидно, что приобретенный опыт немало помог для доказательства ее великой теоремы.
На этом стоит остановиться подробнее. Пауль Гордан с конца 1860-х годов занимался алгебраическими инвариантами , став одним из крупнейших специалистов в этой области математики. Исторически эти исследования восходят к трудам таких титанов, как Леонард Эйлер , Жозеф Луи Лагранж и, особенно, Карл Фридрих Гаусс , которые вышли на эти проблемы в рамках теории чисел. В этой теории немалую роль играют так называемые алгебраические формы - однородные полиномы любой степени от двух или большего числа переменных. Самый простой из них в стандартной записи выглядит так:
где x и y - независимые переменные, a , b и с - постоянные коэффициенты.
Это бинарная квадратичная форма, иначе говоря, форма второй степени от двух переменных. Тернарная (то есть, от трех переменных x , y и z ) квадратичная форма выглядит аналогично, только длиннее:
Для примера можно еще выписать и бинарную кубическую форму:
Дальнейшие примеры, наверно, излишни.
Переменные, сколько бы их ни было (то есть, какова бы ни была размерность пространства этих переменных) можно подвергнуть линейному преобразованию (перейти к новым переменным, которые будут линейными комбинациями старых). Геометрически такое преобразование означает поворот координатных осей с одновременным изменением масштаба длины вдоль каждой оси. При записи формы в новых переменных ее коэффициенты, конечно, изменяются. Однако же, и это самое важное, некоторые функции от этих коэффициентов либо сохраняют свое численное значение, либо умножаются на общий множитель, который зависит лишь от конкретного преобразования переменных. Эти функции и называются алгебраическими инвариантами. Если множитель, о котором идет речь, равен единице, инвариант именуется абсолютным. Легко показать, что инвариантом (хотя и не абсолютным) бинарной квадратичной формы служит ее дискриминант \(b^2-ac\), хорошо известный из школьной алгебры. Бинарная кубическая форма имеет уже целый ряд инвариантов. Даже простейший из них, найденный в 1844 году немецким математиком Фердинандом Эйзенштейном , куда длиннее: \(3b^2c^2 + 6abcd-4b^3d-4ac^3-a^2d^2\).
Понятно, что разные типы алгебраических форм имеют разные семейства инвариантов, подчас очень многочисленные. Их вычислением многие годы занимался Гордан, которого не зря называли королем теории инвариантов. Именно такую задачу - найти полный набор инвариантов тернарной биквадратичной формы - он предложил своему единственному докторанту Эмми Нётер. Она ее блестяще решила, составив список аж из трехсот тридцати одного инварианта! Вероятно, эта работа ей так надоела, что много лет спустя она охарактеризовала ее как бредятину - с возрастом она стала весьма остра на язык.
В 1910 году Гордан подал в отставку. Через год его кафедру занял Эрнст Фишер (Ernst Fischer), ученый с куда более современными математическими интересами. Общение с Фишером облегчило Эмми Нётер знакомство со многими новыми идеями, в частности, с работами в области абстрактной алгебры и теории непрерывных групп. Тем самым ее научные устремления сблизились с интересами Давида Гильберта и прочих геттингенских математиков, которые не шутя заинтересовались ее работами. Так и получилось, что весной 1915 года Клейн и Гильберт пригласили Нётер перебраться в свой университет, рассчитывая обеспечить ей должность приват-доцента . Однако тогда из этого ничего не вышло. Несмотря на представленный соискателем в ноябре 1915 года доклад, университетский Сенат отказал Эмми Нётер в утверждении «из-за неисполнения формальных правил». Имелось в виду утвержденное в 1908 году положение, согласно которому приват-доцентами могли быть только мужчины. Защитники Эмми апеллировали к министру культуры, но он отказался вмешиваться. Согласно распространенной легенде, именно в этой связи Гильберт заявил коллегам, что не видит, с какой стати пол кандидата может быть препятствием к занятию должности приват-доцента, поскольку университет - это все же не баня.
Даже если он так и сказал (документальных подтверждений этому нет), его ядовитая риторика не возымела действия. Еще три года Эмми фактически работала как ассистент Гильберта и иногда читала вместо него лекции, но, как и в Эрлангене, всего лишь на птичьих правах. Только в 1919 году, уже в эпоху Веймарской республики, она наконец-то стала приват-доцентом, а еще четыре года спустя университет почтил ее довольно странным титулом неофициального экстраординарного профессора (nicht-beamteter ausserordentlicher Professor). Правда, это звание, как и приват-доцентура, не давало права на регулярное жалованье. Однако Гильберту и другой звезде геттингенской математики Рихарду Куранту удалось пробить для нее в университете занятия по алгебре, которые все же оплачивались, хотя и очень скромно (200–400 марок в месяц), причем ее контракт требовал ежегодного подтверждения от прусского Министерства науки, искусств и просвещения. В этом качестве Эмми Нётер проработала в Геттингене до 1933 года. После прихода к власти Гитлера, когда ученые-евреи были изгнаны из германских университетов, она переехала в США.
Теорема по заказу
Вскоре после приезда Эмми Нётер в Геттинген там произошли события, которые стали прелюдией к ее первой великой работе. Летом 1915 года Альберт Эйнштейн в шести лекциях ознакомил геттингенских коллег с основными идеями своей (тогда еще не законченной, но уже близкой к завершению) релятивистской теории гравитации, более известной как общая теория относительности . Среди слушателей был и Гильберт, который серьезно заинтересовался эйнштейновскими идеями. В ноябре Эйнштейн написал окончательную версию уравнений ОТО, о чем доложил на четырех заседаниях Прусской Академии наук (см. Столетие ОТО, или Юбилей «Первой ноябрьской революции»). Чуть позже Гильберт заново вывел эти уравнения на основе принципа наименьшего действия, о чем и сообщил в статье, опубликованной в конце марта 1916 года. Этот вывод изящней первоначального вывода Эйнштейна и заслуженно фигурирует во многих учебниках, например, в «Теории поля» Ландау и Лифшица.
В ходе этой работы Гильберт столкнулся с весьма серьезной проблемой. Он понял, что новая теория гравитации заставляет иначе взглянуть на священную корову физики - закон сохранения энергии . Ньютоновская теория тяготения и максвелловская электродинамика считают энергию измеримой физической величиной, которая определена в любой точке пространства и в любой момент времени (или в любой точке пространства-времени, если воспользоваться языком специальной теории относительности). В теории Эйнштейна такая интерпретация сталкивается с затруднениями, которые и заметил Гильберт.
Для начала - одно уточнение. Ньютоновская гравитация не обладает собственной динамикой, поскольку изменения поля тяготения возникают только вследствие перемещений создающих его тел. Электромагнитное поле, напротив, динамично само по себе. В нем возможны волновые процессы, которые переносят энергию. Однако суммарный поток энергии электромагнитного поля через границы любой замкнутой области пространства равен скорости изменения полной энергии, содержащейся в этом объеме. Это и есть закон сохранения электромагнитной энергии в физически осмысленной форме.
Иное дело эйнштейновское тяготение. В отличие от ньютоновского, оно динамично, и в нем, как и в электромагнитном поле, возможны волновые процессы. Однако его динамика гораздо сложнее. Уравнения ОТО могут быть записаны в произвольных системах пространственно-временных координат, между которыми возможны гладкие преобразования. За счет таких преобразований можно занулить величину поля тяготения в любой произвольно выбранной точке и ее бесконечно малой окрестности. Физически это означает, что туда можно посадить воображаемого наблюдателя, который не сможет зарегистрировать силу тяготения (в этом и состоит эйнштейновский принцип эквивалентности). Отсюда следует, что в ОТО однозначная локализация энергии в принципе невозможна. Вопрос, как быть с законом ее сохранения, сильно беспокоил Гильберта, и он попросил Эмми Нётер с этим разобраться. Именно эта задача и привела Нётер к ее теореме.
Конечно, Гильберт сделал выбор не на пустом месте. Он знал, как блестяще Нётер продемонстрировала свой математический дар при вычислении алгебраических инвариантов. Анализ условий, при которых выполняются законы сохранения физических величин (в частности, энергии) также требовал работы с инвариантами, но иного рода - дифференциальными (см.: Differential invariant). Так что у Гильберта, равно как и у заинтересованного в этой же проблеме Феликса Клейна, были все основания рассчитывать на помощь своей бывшей студентки.
Эти ожидания она не только оправдала, но и превзошла. Эмми Нётер скорее всего приступила к выполнению гильбертовского задания осенью 1915 года. В конце концов она получила чрезвычайно сильные результаты, чья область применения оказалась много шире рамок задачи, изначально поставленной Гильбертом. Как оказалось, эта область включает не только ОТО и другие полевые теории классической физики, но и теории квантованных полей, развитые во второй половине двадцатого века. Разумеется, в 1918 году оснований ожидать такого успеха просто не существовало.
В самой общей форме суть теоремы Нётер можно выразить буквально в двух словах. Изучая природу на фундаментальном уровне, ученые стремятся находить те характеристики физических систем, которые остаются неизменными в ходе процессов, в которых задействованы эти системы. Например, наша планета движется по своей орбите с переменной скоростью, однако воображаемый отрезок, соединяющий ее с Солнцем, за равные промежутки времени заметает равные площади (второй закон Кеплера). Полный электрический заряд изолированной макроскопической системы не изменяется, какие бы внутренние превращения она ни претерпевала; точно так же, абсолютным постоянством отличаются и заряды элементарных частиц. Из теоремы Нётер следует, что само существование подобных сохраняющихся свойств непосредственно связано с симметриями некоторой фундаментальной физической величины, которая определяет динамику системы. Выражаясь иначе, законы сохранения оказываются прямым следствием наличия тех или иных симметрий. Этот вывод стал самым универсальным инструментом выявления таких законов во множестве областей физики от ньютоновской механики до современной Стандартной модели элементарных частиц . Помимо этого, его можно назвать одним из наиболее красивых теоретических прозрений во всей истории науки.
Величина, о которой только что шла речь, называется действием . Ее конкретный вид зависит от системы, чье поведение она описывает. По форме это одномерный или многомерный интеграл от столь же фундаментального функционала - лагранжиана . В реальных физических процессах действие принимает экстремальное значение - чаще всего, достигает минимума. Это утверждение, не вполне точно называемое принципом наименьшего действия , позволяет с помощью методов вариационного исчисления записывать уравнения, описывающие динамику системы.
Как уже говорилось, именно таким методом Гильберт получил уравнения ОТО иначе, нежели это сделал Эйнштейн. Разумеется, ему сначала потребовалось определить, как в данном случае выглядит действие и, соответственно, лагранжиан, в чем он и преуспел (почти одновременно вывод уравнений ОТО на основе принципа наименьшего действия осуществил Хендрик Антон Лоренц , а в 1916 году - и сам Эйнштейн). Не вдаваясь в подробности, отмечу, что гильбертовский лагранжиан (Einstein–Hilbert action) зависит от компонентов метрического тензора , определяющих деформацию пространственно-временного континуума, которая, согласно ОТО, проявляет себя как сила тяготения.
Теперь вернемся к Эмми Нётер. В ее статье задействована весьма высокая математика, которую никак не описать словами. Все, что можно сделать - обрисовать общую идею. Подобно Гильберту, она работала с принципом наименьшего действия. Ее интересовали последствия математических операций, которые преобразуют математические объекты, участвующие в вычислении действия, однако оставляют неизменной его численную величину - или, в более общем случае, изменяют ее не слишком сильно (конечно, для этого «не слишком» есть точное математическое определение). Это означает, что подобные операции оставляют действие инвариантным. Инвариантность по отношению к определенному преобразованию или даже целому классу преобразований называется симметрией . Эмми Нётер в своей работе задалась вопросом, к каким последствиям приводит наличие у действия тех или иных симметрий.
Эту задачу она решала в очень общей форме, но с одним существенным ограничением. Преобразования симметрии могут быть как непрерывными, так и дискретными. Примеры первых - сдвиги вдоль координатных осей или повороты на произвольные углы. Дискретные преобразования, напротив, допускают лишь конечное или, максимум, счетное число изменений. Например, окружность остается неизменной при любых поворотах вокруг своего геометрического центра, а квадрат - только при поворотах, кратных 90 градусам. В первом случае мы имеем дело с непрерывной симметрией, во втором - с дискретной. И те, и другие симметрии описываются с помощью теории групп , но при этом применяются разные ее ветви. Дискретные преобразования, интересующие физику, используют теорию групп с конечным числом элементов. Для описания непрерывных симметрий используют бесконечные группы определенного типа, которые называются группами Ли в честь великого норвежского математика Софуса Ли . Эмми Нётер исследовала связь между законами сохранения и непрерывными симметриями, поэтому в своей работе она пользовалась теорией групп Ли. Стоит отметить, что дискретные симметрии тоже могут привести к тем или иным законам сохранения, однако в этом случае теорема Нётер непременима.
К началу второго десятилетия прошлого века теория групп Ли была хорошо разработана не только самим Ли, но и другими математиками, прежде всего немцем Вильгельмом Киллингом и французом Эли Картаном . Тогдашние физики практически не были с ней знакомы, но у Эмми Нётер, было время и желание изучить ее еще в Эргангене. Теперь же она ее применила - и с большим успехом.
Эмми Нётер рассмотрела преобразования симметрии, в которых работают группы Ли двух типов. В одном случае каждое преобразование (то есть, каждый элемент группы Ли) зависит от конечного (можно даже и счетного) количества численных параметров. Элементы групп Ли второго типа, напротив, зависят от того или иного числа произвольных функций. Например, плоские вращения определяются одним параметром (углом поворота), а пространственные - тремя (каждое из них можно представить как последовательность вращений вокруг трех координатных осей). Напротив, эйнштейновская ОТО основана на принципе полной ковариантности уравнений, то есть возможности записать их в любой четырехмерной системе координат (что физически означает возможность произвольно выбрать локальную систему отсчета в любой точке пространства-времени). Это тоже разновидность симметрии, причем именно той, которую Эмми Нётер отнесла ко второму типу.
Как следствие, теорема Нётер состоит из двух частей. Сначала она рассмотрела инвариантность действия относительно симметрий, которым отвечают групповые преобразования первого типа. Оказалось, что подобная инвариантность позволяет записать математические соотношения, которые можно интерпретировать как законы сохранения физических величин, удовлетворяющих этим симметриям. А если проще, то эти законы есть прямые следствя тех или иных симметрий.
Вот несколько примеров. Возьмем изолированную (то есть свободную от внешних воздействий) систему частиц, которые подчиняются ньютоновской механике и ньютоновской теории тяготения (в роли частиц могут выступать планеты, обращающиеся вокруг условно неподвижной звезды). Для такой системы действие инвариантно относительно сдвигов времени. Из теоремы Нётер следует, что полная (кинетическая и потенциальная) энергия частиц не зависит от времени, то есть сохраняется. Аналогично, инвариантность относительно произвольных сдвигов в пространстве означает сохранение полного импульса, а инвариантность относительно вращений - сохранение момента количества движения.
Конечно, эти законы были известны и раньше, но природа их оставалась загадочной, если угодно, таинственной. Теорема Нётер раз и навсегда сняла покров с этой тайны, связав законы сохранения с симметриями пространства и времени.
Аналогична и ситуация для систем, которые описываются релятивистской механикой. Здесь нет разделенных времени и пространства, на смену им пришел единый четырехмерный пространственно-временной континуум, известный как пространство Минковского . Максимальная симметрия такого пространства-времени дается десятипараметрической группой Ли, известной как группа Пуанкаре . У нее есть четырехпараметрическая подгруппа, которой отвечают сдвиги в пространстве Минковского. Инвариантность действия относительно этих сдвигов приводит к сохранению четырехмерного вектора, одна из компонент которого соответствует энергии, а три - импульсу. Отсюда следует, что в каждой инерциальной системе отсчета энергия и импульс сохраняются (хотя их численные величины в различных системах не одинаковы).
Все эти выводы были очевидны сразу после публикации теоремы Нётер. Вот еще один пример, который был осознан, когда была построена квантовая электродинамика. До сих пор речь шла о внешних симметриях, связанных не с самой физической системой, а с ее, если так можно выразиться, отношениями с временем и пространством. Однако теорема Нётер позволяет учесть и внутренние симметрии, иначе говоря, симметрии физических полей, «вписанных» в лагранжиан (для любителей точности - симметрии математических конструкций, представляющих эти поля). Эта возможность тоже ведет к открытию различных законов сохранения.
Возьмем лагранжиан свободного релятивистского электрона, который позволяет вывести знаменитое уравнение Дирака . Он не меняется при таком преобразовании волновой функции, которое сводится к ее умножению на комплексное число с единичным модулем. Физически это означает изменение фазы волновой функции на постоянную величину, не зависящую от пространственно-временных координат (такая симметрия называется глобальной). Геометрически это преобразование эквивалентно плоскому повороту на произвольный, но фиксированный угол. Следовательно, оно описывается однопараметрической группой Ли - так называемой группой U(1) . В силу исторической традиции, восходящей к великому математику и ученику Гильберта Герману Вейлю , ее относят к большой группе симметрий, именуемых калибровочными . Из теоремы Нётер следует, что глобальная калибровочная симметрия этого типа влечет за собой сохранение электрического заряда. Не слабый результат, и уж отнюдь не тривиальный!
Вторая теорема Нётер не столь прозрачна. Она описывает ситуации, когда преобразования симметрии, оставляющие действие инвариантным, зависят не от численных параметров, а от каких-то произвольных функций. Оказалось, что в общем случае такая инвариантность не дает возможности формулировать законы сохранения физически измеримых величин. В частности, из второй теоремы Нётер следует, что в общей теории относительности не существует универсальных законов сохранения энергии, импульса и момента импульса, которые имели бы однозначный смысл в физически реальных (то есть не бесконечно малых) областях пространства-времени. Правда, есть частные случаи, когда в рамках ОТО можно корректно поставить вопрос о сохранении энергии. Однако в целом решение этой задачи зависит от того, что именно считать энергией поля тяготения и в каком смысле говорить о ее сохранении. Более того, не сохраняется и полная энергия частиц, которые движутся в пространстве с динамическим полем тяготения (другими словами, в пространстве с изменяющейся метрикой). Так, в нашей расширяющейся Вселенной фотоны реликтового излучения непрерывно теряют энергию - это всем известный феномен космологического красного смещения.
Две судьбы
Статья в Nachrichten значительно продвинула научную карьеру Эмми Нётер. На фоне послевоенного ослабления мужского шовинизма 21 мая 1919 года философский факультет Геттингенского университета согласился принять эту публикацию в качестве квалификационной диссертации (Habilitation), необходимой для получения должности приват-доцента. Уже через неделю Нётер сдала положенный устный экзамен, а 4 июня прочла для членов математического отделения факультета пробную лекцию. С осеннего семестра она приступила к чтению первого собственного курса.
После этого судьбы теоремы Нётер и ее автора решительно разошлись. Эмми Нётер больше никогда не занималась физикой, полностью переключившись на абстрактную алгебру. В этой быстро развивающейся области математики она получила фундаментальные, в полном смысле основополагающие результаты в алгебраической геометрии и теории колец . О них можно рассказывать очень долго, но это совсем другая история.
Спокойная и профессионально насыщенная жизнь Эмми Нётер в Геттингене оборвалась с приходом нацистов. В апреле 1933 года Министерство науки, искусства и просвещения аннулировало ее разрешение преподавать в Геттингенском университете (это же постановление лишило профессорских должностей Куранта и одного из создателей квантовой механики Макса Борна). Через несколько месяцев Эмми Нётер эмигрировала в США, где с помощью Фонда Рокфеллера получила гостевой контракт на преподавание в элитном женском колледже Брин-Мар в штате Пенсильвания. С февраля 1934 года она также стала читать еженедельные лекции в расположенном неподалеку (но не в Принстонском университете , куда женщины в те времена совершенно не допускались). Летом она ненадолго съездила в Геттинген, вопользовавшись новообретенным статусом иностранного ученого, а после этого навсегда оставила Германию. Но жить ей оставалось уже недолго. 14 апреля 1935 года Эмми Нётер скончалась из-за осложнений после хирургической операции - скорее всего, из-за тяжелой инфекции. В письме, опубликованном 5 мая на страницах «Нью-Йорк Таймс», Альберт Эйнштейн отметил: „in the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began“ («как считают наиболее компетентные современные математики, фрейлейн Нётер продемонстрировала в своем математическом творчестве столь высокую степень гениальности, какой с тех пор, как женщины обрели право на высшее образование, не удалось достичь никому» ). А девятью днями ранее Герман Вейль в посвященной ее памяти лекции сказал: „she was a great mathematician, the greatest ... that her sex has ever produced, and a great woman“ («она была великой женщиной и при этом величайшей женщиной-математиком» ).
При жизни и вскоре после смерти Эмми Нётер ей воздавали дань уважения практически лишь из-за алгебраических иследований. Как ни странно это сейчас выглядит, ее великую теорему практически никто не заметил. Конечно, эту работу высоко оценили и Гильберт, и представивший ее Королевскому обществу Клейн, но дальше этого не пошло. Даже Герман Вейль, который много занимался теоретической физикой, и, в частности, симметрией, не нашел нужным упомянуть ее в вышедшей в 1928 году фундаментальной монографии «Теория групп и квантовая механика». Кажется, единственный короткий, пересказ работы Эмми Нётер в классических математических трудах первой трети прошлого века можно найти в знаменитой книге Куранта и Гильберта «Методы математической физики», вышедшей первым изданием в 1924 году.
Причины такого забвения можно долго обсуждать, но это слишком далеко от основной темы. Как бы то ни было, вплоть до середины ХХ века физики почти не ссылались на статью Нётер, хотя ее результаты были не только достаточно известны, но и многократно использовались. В 50-е годы ситуация изменилась. Это прежде всего связано с проснувшимся интересом к роли симметрий в квантовых теориях поля, который последовал за опубликованной в 1954 году статьей сотрудников Брукхейвенской национальной лаборатории Чжэньнина Янга и Роберта Миллса Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance . Соавторы «изобрели» названные их именами квантовые поля, основанные на калибровочной симметрии изотопического спина. В отличие от симметрии, которая обеспечивает сохранение электрического заряда, она была не глобальной, а локальной - в том смысле, что параметры групповых преобразований в их работе были функциями пространственных координат. Это и есть тип симметрии, который Эмми Нётер рассматривала во второй теореме.
Как известно, именно освоение локальных калибровочных симметрий позволило построить в 1970-е годы Стандартную модель элементарных частиц - наиболее серьезное достижение теоретической физики второй половины ХХ века. Но еще за пару десятилетий до ее создания теорему Нётер начали цитировать в физических статьях и монографиях. Сейчас ее работа признана высокой классикой науки.
Напоследок хотелось бы позволить читателю еще на одном примере почувствовать вкус применения симметрий, рассмотренных Эмми Нётер в ее второй теореме. Вернемся к калибровочной группе U(1), однако теперь сделаем поворот фазы переменной величиной, функцией пространственно-временных координат. В данном случае мы имеем дело не с глобальными, а с локальными калибровочными преобразованиями. Напомню, что это как раз тот тип групповых преобразований, которые описывает вторая теорема Нётер.
Лагранжиан Дирака сам по себе не инвариантен относительно локальной группы U(1) - следовательно, не инвариантно и действие. Однако инвариантность можно восстановить, если в лагранжиан добавить силовое поле, также подчиняющееся некоторой локальной симметрии. В результате такой операции в лагранжиане автоматически появляется дополнительный член, который описывает взаимодействие этого поля с электронами. Само поле представляет собой квантовую версию электромагнитного излучения. Так что требование локальной калибровочной симметрии типа U(1) для поля Дирака автоматически приводит к выводу, что электроны взаимодействуют посредством обмена квантами электромагнитного поля, то есть фотонами! А в качестве дополнительной премии получим еще одно утверждение - эти кванты обладают нулевой массой!
Этот вывод можно сформулировать иначе. Для существования локальной инвариантности относительно группы U(1) необходимо, чтобы сохраняющийся заряд был источником безмассового векторного поля (фотоны - векторные частицы, частицы со спином 1). Способность электрического заряда порождать фотоны является его уникальным свойством. Элементарные частицы обладают и другими сохраняющимися зарядами (например, барионным и лептонным). Однако, как следует из экспериментальных данных, эти заряды не генерируют безмассовые векторные поля - то есть, эксперимент не подтверждает существование барионных и лептонных аналогов фотонов. Этим зарядам соответствуют лишь глобальные, а не локальные симметрии типа U(1).
Этот пример отнюдь не единичен. Симметрии второй теоремы Нётер позволяют установливать фундаментальные соответствия между свойствами частиц и полей, с которыми эти частицы могут взаимодействовать. Опять-таки - куда как не слабо! Не случайно известный американский физик-теоретик профессор Калифорнийского университета Энтони Зи (Anthony Zee) в вышедшей в 2016 году монографии Group Theory in a Nutshell for Physicists заметил, что, по всей вероятности, Эмми Нётер - наилучшая из женщин-физиков, когда либо живших на этом свете („arguably the deepest woman physicist who ever lived“ ). Столь высокая оценка - и всего лишь из-за единственной статьи!
И еще одна любопытная деталь. Идею калибровочной симметрии впервые предложил Вейль в статье Gravitation and Electricity , опубликованной в Берлине все в том же 1918 году. Так что мы вправе отметить столетний юбилей сразу двух крупнейших прорывов в теоретической физике! Поистине, боги милосердны к великим ученым.
Российский след
Эмми Нётер имела немало друзей и почитателей в советском математическом сообществе. В 1923 году в Геттинген из Москвы приезжали блестящие молодые топологи Павел Александров и Павел Урысон , через которых у Нётер установились связи с российскими коллегами. Зимой 1928–29 годов она читала курс абстрактной алгебры в МГУ и руководила семинаром по алгебраической геометрии в Коммунистической академии . Когда Нётер изгнали из Геттингена, Александров пытался добиться для нее кафедры алгебры в МГУ, но не получил поддержки Наркомата просвещения. Случись иначе, она могла бы создать в Москве школу алгебраистов мирового уровня. Но судьба могла распорядиться и по-другому. Ее младший брат Фриц , хороший математик-прикладник, уехал в СССР, где стал профессором Томского университета. В конце 1937 года его арестовали как немецкого шпиона и 10 сентября 1941 года расстреляли в Орле.
Однако в каком-то смысле связи Эмми Нётер с Россией восходят к намного более ранним временам. В Брин-Мар ее пригласила декан математического факультета Анна Пелл Уилер (Anna Johnson Pell Wheeler), которая в свое время училась в Геттингене. Об этой женщине стоит рассказать подробней, причем главная фишка будет в конце.
Урожденная Анна Джонсон, дочь шведских эмигрантов, принадлежала к тому же поколению ученых, что и Эмми Нётер, и практически была ее ровесницей. Она родилась в мае 1883 года в штате Айова. В 1899 году была принята в университет Южной Дакоты, где стала одной из лучших студенток. Анна училась на отлично по немецкому, французскому, латыни, химии, физике и математике, которая превратилась в ее главное увлечение. Девушкой заинтересовался профессор математики Александр Пелл (Alexander Pell), который угадал в ней замечательные способности к абстрактному мышлению и уговорил продолжить математическое образование. В 1903 году Анна перевелась в университет своего родного штата Айова и через год защитила там магистерскую диссертацию в области приложения теории групп к линейным дифференциальным уравнениям. За эту работу она получила стипендию в знаменитом женском колледже Радклифф (Radcliffe College), и в 1905 году заработала еще одну магистерскую степень. Уже тогда ее считали одной из наиболее перспективных женщин-математиков Америки. В 1906 году Анна выиграла конкурс на получение престижной стипендии имени Алисы Фримен Палмер, предназначенной для выпускниц американских колледжей, пожелавших продолжить образование за рубежом. Эта позволило провести год в Геттингенском университете, где она училась у тех же самых звезд немецкой науки, что и (двумя годами ранее) Эмми Нётер. Ее главным наставником стал Гильберт, который тогда занимался интегральными уравнениями и заразил этим увлечением свою американскую ученицу. Впоследствии она работала в этой области и в смежной сфере функционального анализа.
Александр Пелл постоянно переписывался с Анной, и в конце концов сделал ей предложение. Летом 1907 года он приехал в Геттинген, и они поженились. Там Пелл познакомился с университетскими светилами, в кругу которых вращалась его невеста. Супруги вернулись в университет Южной Дакоты, где Анна стала читать курсы дифференциальных уравнений и теории функций. Большую часть 1908 года она снова провела в Геттингене, после чего поступила в аспирантуру Чикагского университета. В 1910 году она получила докторскую степень и в 1911 году приступила к преподаванию математики в одном из местных колледжей.
К этому времени Пелл тоже оказался в Чикаго, где получил место в Институте Армора (сейчас - ). В 1911 году после перенесенного инсульта он перестал преподавать и передал свои лекции Анне. Она замещала мужа вплоть до 1913 года, когда он формально вышел в отставку. Тем не менее, Пелл продолжал писать статьи и принимать участие в конференциях Американского математического общества (последний раз - в 1919 году), а во время учебного года 1915–16 годов даже прочел семестровый курс в Северо-Западном университете.
В 1918 году Анну Пелл пригласили в Брин-Мар, где она стала профессором, а впоследствии - и деканом математического отделения. К этому времени она прочно вошла в немногочисленную плеяду женщин-математиков с международной репутацией. Но Пелл до этого не дожил: он скончался 26 января 1921 года. В 1925 году Анна вышла замуж за своего коллегу профессора-латиниста Артура Уилера, но в 1932 году опять овдовела. В 1948 году она ушла на пенсию, однако не перестала следить за математической литературой и посещать семинары. Умерла она в марте 1966 года в возрасте 82 лет. Ее похоронили на баптистском кладбище рядом с могилой первого мужа. Еще при жизни из собственных средств Анна учредила стипендию имени Александра Пелла для математически одаренных студентов университета Южной Дакоты. Этот фонд существует и по сей день.
Юрия Давыдова «Глухая пора листопада»). Оставшиеся на свободе народовольцы позволили Дегаеву уехать в Америку, где он и стал Пеллом. В Штатах он после многих злоключений получил математическое образование, закончил аспирантуру в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе и в конце концов получил кафедру в Южной Дакоте. Так что демону истории для устройства Эмми Нётер в США было нужно, чтобы злой гений «Народной воли» превратился в почтенного американского профессора, который заметил и продвинул одаренную студентку из глубокой провинции. Вот как оно бывает!
