Аморфные тела — Гипермаркет знаний. Общая характеристика аморфных тел

Большинство веществ в умеренном климате Земли находятся в твердом состоянии. Твердые тела сохраняют не только форму, но и объем.

По характеру относительного расположения частиц твердые тела делят на три вида: кристаллические, аморфные и композиты.

Аморфные тела. Примерами аморфных тел могут служить стекло, различные затвердевшие смолы (янтарь), пластики и т. д. Если аморфное тело нагревать, то оно постепенно размягчается, и переход в жидкое состояние занимает значительный интервал температур.

Сходство с жидкостями объясняется тем, что атомы и молекулы аморфных тел, подобно молекулам жидкости, имеют время «оседлой жизни». Определенной температуры плавления нет, поэтому аморфные тела можно рассматривать как переохлаждение жидкости с очень большой вязкостью. Отсутствие дальнего порядка в расположении атомов аморфных тел приводит к тому, что вещество в аморфном состоянии имеет меньшую плотность, чем в кристаллическом.

Беспорядок в расположении атомов аморфных тел приводит к тому, что среднее расстояние между атомами по разным направлениям одинаково, поэтому они изотропны, т. е. все физические свойства (механических, оптических и т. д.) не зависят от направления внешнего воздействия. Признаком аморфного тела являются неправильная форма поверхности при изломе. Аморфные по происшествию тела после длительного промежутка времени все же меняют свою форму под действием силы тяжести. Этим они похожи на жидкости. При повышении температуры такое изменение формы происходит быстрее. Аморфное состояние неустойчиво, происходит переход аморфного состояния в кристаллическое. (Стекло мутнеет.)

Кристаллические тела. При наличии периодичности в расположении атомов (дальнего порядка) твердое тело является кристаллическим.

Если рассмотреть при помощи лупы или микроскопа крупинки соли, то можно заметить, что они ограничены плоскими гранями. Наличие таких граней - признак нахождения в кристаллическом состоянии.

Тело, представляющее собой один кристалл, называется монокристаллом. Большинство кристаллических тел состоит из множества расположенных беспорядочно мелких кристаллов, которые срослись между собой. Такие тела называются поликристаллами. Кусок сахара - поликристаллическое тело. Кристаллы различных веществ имеют разнообразную форму. Размеры кристаллов тоже разнообразны. Размеры кристаллов поликристаллического типа могут изменяться с течением времени. Мелкие кристаллы железа переходят в крупные, этот процесс ускоряется при ударах и сотрясениях, он происходит в стальных мостах, железнодорожных рельсах и т. д., от этого прочность сооружения с течением времени уменьшается.

Очень многие тела одинакового химического состава в кристаллическом состоянии в зависимости от условий могут существовать в двух или более разновидностях. Это свойство называется полиморфизмом. У льда известно до десяти модификаций. Полиморфизм углерода - графит и алмаз.

Существенным свойством монокристалла является анизотропия - неодинаковость его свойств (электрические, механические и т. д.) по различным направлениям.

Поликристаллические тела изотропны, т. е. обнаруживают одинаковые свойства по всем направлениям. Объясняется это тем, что кристаллы, из которых состоит поликристаллическое тело, ориентированы друг по отношению к другу хаотически. В результате ни одно из направлений не отличается от других.

Созданы композиционные материалы, механические свойства которых превосходят естественные материалы. Композиционные материалы (композиты) состоят из матрицы и наполнителей. В качестве матрицы применяются полимерные, металлические, углеродные или керамические материалы. Наполнители могут состоять из нитевидных кристаллов, волокон или проволоки. В частности, к композиционным материалам относят железобетон и железографит.

Железобетон - один из основных видов строительных материалов. Он представляет собой сочетание бетона и стальной арматуры.

Железографит - металлокерамический материал, состоящий из железа (95-98 %) и графита (2-5 %). Из него изготавливают подшипники, втулки для разных узлов машин и механизмов.

Стеклопластик - также композиционный материал, представляющий собой смесь стеклянных волокон и отвердевшей смолы.

Кости человека и животных представляют собой композиционный материал, состоящий из двух совершенно различных компонентов: коллагена и минерального вещества.

Аморфные твердые тела по многим своим свойствам и главным образом по микроструктуре следует рассматривать как сильно переохлажденные жидкости с очень высоким коэффициентом вязкости. Структура таких тел характеризуется только ближним порядком в расположении частиц. Некоторые из таких веществ вообще не способны кристаллизоваться: воск, сургуч, смолы. Другие при определённом режиме охлаждения образуют кристаллические структуры, но в случае быстрого охлаждения рост вязкость препятствует упорядочению в расположении частиц. Вещество затвердевает раньше, чем реализуется процесс кристаллизации. Такие тела называются стеклообразными: стекло, лёд. Процесс кристаллизации в таком веществе может произойти и после затвердевания (помутнение стёкол). К аморфным относят и твёрдые органические вещества: резина, дерево, кожа, пластмассы, шерстяные, хлопковые и шёлковые волокна. Процесс перехода таких веществ из жидкой фазы в твёрдую представлен на рис. – кривая I.

Аморфные тела не имеют температуры затвердевания (плавления). На графике Т = f(t) имеется точка перегиба, которую называют температурой размягчения. Снижение температуры приводит к постепенному росту вязкости. Такой характер перехода в твёрдое состояние, обуславливает отсутствие у аморфных веществ удельной теплоты плавления. Обратный переход, когда теплота подводится, происходит плавное размягчение до состояния жидкости.

КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА.

Характерной особенностью микроструктуры кристаллов является пространственная периодичность их внутренних электрических полей и повторяемость в расположении кристаллообразующих частиц – атомов, ионов и молекул (дальний порядок). Частицы чередуются в определенном порядке вдоль прямых линий, которые называются узловыми. В любом плоском сечении кристалла две пересекающихся системы таких линий образуют совокупность совершенно одинаковых параллелограммов, которые плотно, без зазоров покрывают плоскость сечения. В пространстве пересечение трех некомпланарных систем таких линий образует пространственную сетку, которая разбивает кристалл на совокупность совершенно одинаковых параллелепипедов. Точки пересечения линий, образующих кристаллическую решетку называются узлами. Расстояния между узлами вдоль какого-то направления называется трансляциями или периодами решетки. Параллелепипед, построенный на трех некомпланарных трансляциях называется элементарной ячейкой или параллелепипедом повторяемости решетки. Важнейшим геометрическим свойством кристаллических решеток является симметрия в расположении частиц по отношению к определенным направлениям и плоскостям. По этой причине, хотя и существует несколько способов выбора элементарной ячейки, для данной кристаллической структуры, выбирают ее так, чтобы она соответствовала симметрии решетки.

Кристаллические тела можно разделить на две группы: монокристаллы и поликристаллы. Для монокристаллов наблюдается единая кристаллическая решетка в объеме всего тела. И хотя внешняя форма монокристаллов одного вида может быть разной, углы между соответствующими гранями будут всегда одинаковыми. Характерной особенностью монокристаллов является анизотропия механических, тепловых, электрических, оптических и др. свойств.

Монокристаллы нередко встречаются в естественном состоянии в природе. Например, большинство минералов – хрусталь, изумруды, рубины. В настоящее время в производственных целях многие монокристаллы выращивают искусственно из растворов и расплавов - рубины, германий, кремний, арсенид галия.

Один и тот же химический элемент может образовать несколько, отличающихся по геометрии, кристаллических структур. Это явление получило название - полиморфизма. Например, углерод – графит и алмаз; лед пять модификаций и др.

Правильная внешняя огранка и анизотропия свойств, как правило, не проявляются для кристаллических тел. Это объясняется тем, что кристаллические твердые тела обычно состоят из множества беспорядочно ориентированных мелких кристалликов. Такие твердые тела называются поликристаллическими. Связано это с механизмом кристаллизации: при достижении необходимых для этого процесса условий, очаги кристаллизации одновременно возникают во множестве мест исходной фазы. Зародившиеся кристаллы расположены и ориентированы друг по отношению к другу совершенно произвольно. По этой причине по окончании процесса мы получаем твердое тело в виде конгломерата сросшихся мелких кристалликов – кристаллитов.

С энергетической точки зрения различие между кристаллическими и аморфными твердыми телами хорошо прослеживаются в процессе отвердевания и плавления. Кристаллические тела имеют точку плавления – температуру, когда вещество устойчиво существует в двух фазах – твёрдой и жидкой (рис. кривая 2). Переход молекулы твердого тела в жидкость означает, что она приобретает дополнительно три степени свободы поступательного движения. Т.о. единица массы вещества при Т пл. в жидкой фазе имеет большую внутреннюю энергию, чем такая же масса в твердой фазе. Кроме того, меняется расстояние между частицами. Поэтому в целом количество теплоты необходимое для превращения единицы массы кристаллического вещества в жидкость будет:

λ = (U ж -U кр) + P (V ж -V кр),

где λ – удельная теплота плавления (кристаллизации), (U ж -U кр) – разность внутренних энергий жидкой и кристаллической фаз, Р – внешнее давление, (V ж -V кр) – разность удельных объемов. Согласно уравнению Клапейрона - Клаузиуса температура плавления зависит от давления:

Видно, что если (V ж -V кр)> 0, то > 0, т.е. с ростом давления температура плавления повышается. Если же объем вещества при плавлении уменьшается (V ж -V кр)< 0 (вода, висмут), то рост давления приводит к понижению Т пл.

У аморфных тел теплота плавления отсутствует. Нагревание приводит к постепенному увеличению скорости теплового движения и уменьшению вязкости. На графике процесса имеется точка перегиба (рис.), которую условно называют температурой размягчения.

ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Тепловое движение в кристаллах из-за сильного взаимодействия ограничивается только колебаниями частиц около узлов кристаллической решетки. Амплитуда этих колебаний обычно не превращает 10 -11 м, т.е. составляет всего 5-7% периода решетки вдоль соответствующего направления. Характер этих колебаний весьма непрост, так как определяется силами взаимодействия колеблющейся частицы со всеми своими соседями.

Рост температуры означает увеличение энергии движения частиц. Это в свою очередь, означает увеличение амплитуды колебаний частиц и объясняет расширение кристаллических твердых тел при нагревании.

l t = l 0 (1 + αt 0),

где l t иl 0 – линейные размеры тела при температурахt 0 и 0 0 С, α – коэффици-ент линейного расширения. Для твёрдых тел α имеет порядок 10 -5 – 10 -6 К -1 . В результате линейного расширения увеличивается и объём тела:

V t = V 0 (1 + βt 0),

здесь β – коэффициент объёмного расширения. β = 3α в случае изотропного расширения. Монокристаллические тела, будучи анизотропными, имеют три разных значения α.

Каждая частица, совершающая колебания, имеет три степени свободы колебательного движения. Учитывая, что, кроме кинетической, частицы обладают еще и потенциальной энергией, на одну степень свободы частиц твёрдых тел следует приписать энергию ε = кТ. Теперь для внутренней энергии моля будем иметь:

U μ = 3N A kT = 3RT,

а для молярной теплоемкости:

Т.е. молярная теплоемкость химически простых кристаллических тел одинакова и не зависит от температуры. Это закон Дюлонга-Пти.

Как показал эксперимент, этот закон достаточно хорошо выполняется, начиная с комнатных температур. Объяснения отклонениям от закона Дюлонга-Пти при низких температурах были даны Эйнштейном и Дебаем в квантовой теории теплоемкости. Было показано, что энергия, которая приходится на одну степень свободы не является постоянной величиной, а зависит от температуры и частоты колебаний.

РЕАЛЬНЫЕ КРИСТАЛЛЫ. ДЕФФЕКТЫ В КРИСТАЛАХ

Реальные кристаллы обладают рядом нарушений идеальной структуры, которые называются дефектами кристаллов:

а) точечные дефекты –

дефекты Шотки (незанятые частицами узлы);

дефекты Френкеля (смещение частиц из узлов в междуузлия);

примеси (внедренные чужеродные атомы);

б) линейные – краевые и винтовые дислокации. Это локальные нерегулярно

сти в расположения частиц

из-за недостроенности отдельных атомных плоскостей

или из-за нарушений в последовательности их застройки;

в) плоскостные – границы между кристаллитами, ряды линейных дислокаций.

Нужно помнить, что не все тела, которые существуют на планете Земля, имеют кристаллическое строение. Исключения из правила получили название «аморфные тела». Чем же они отличаются? Исходя из перевода данного термина - аморфный - можно предположить о том, что такие вещества отличаются от других своей формой или видом. Речь идет об отсутствии так называемой кристаллической решетки. Процесс расщепления, при котором появляются грани, не происходит. Аморфные тела также отличаются тем, что не зависят от окружающей среды, и их свойства постоянны. Такие вещества называются изотропными.

Небольшая характеристика аморфных тел

Из школьного курса физики можно вспомнить то, что аморфные вещества имеют такое строение, при котором атомы в них расположены в хаотичном порядке. Определенное место могут иметь лишь структуры-соседи, где такое расположение является вынужденным. Но все же проводя аналогию с кристаллами, аморфные тела не обладают строгой упорядоченностью молекул и атомов (в физике такое свойство получило название «дальний порядок»). В результате исследований было выяснено, что по своей структуре данные вещества схожи с жидкостями.

Некоторые тела (в качестве примера можно взять диоксид кремния, чья формула SiO 2) могут одновременно находиться в аморфном состоянии и иметь кристаллическую структуру. Кварц в первом варианте обладает структурой неправильной решетки, во втором - правильного шестиугольника.

Свойство №1

Как уже говорилось выше, аморфные тела не обладают кристаллической решеткой. Их атомы и молекулы имеют ближний порядок размещения, что и будет первым отличительным свойством данных веществ.

Свойство №2

Текучестью данные тела обделены. Для того чтобы лучше объяснить второе свойство веществ, можно сделать это на примере воска. Ни для кого не секрет, что если налить воду в воронку, то она просто выльется из нее. То же самое будет и с любыми другими текучими веществами. А свойства аморфных тел не позволяют им проделывать такие «трюки». Если воск поместить в воронку, то он предварительно растечется по поверхности и лишь потом начнет стекать с нее. Это связано с тем, что молекулы в веществе перескакивают из одного положения равновесия в абсолютно другое, не имея основного местоположения.

Свойство №3

Пора поговорить о процессе плавления. Следует запомнить тот факт, что аморфные вещества не имеют определенной температуры, при которой начинается плавление. Во время поднятия градуса тело постепенно становится мягче и затем превращается в жидкость. Физики всегда делают упор не на температуре, при которой данный процесс начал происходить, а на соответствующем температурном интервале плавления.

Свойство №4

О нем уже было сказано выше. Аморфные тела изотропны. То есть их свойства в любом направлении неизменны, даже если условия пребывания в местах различны.

Свойство №5

Хоть раз каждый человек наблюдал, что с течением определенного промежутка времени стекла начинали мутнеть. Это свойство аморфных тел связно с повышенной внутренней энергией (она в разы больше, чем у кристаллов). Из-за этого данные вещества спокойно сами могут перейти в кристаллическое состояние.

Переход к кристаллическому состоянию

Спустя определенный промежуток времени любое аморфное тело переходит в кристаллическое состояние. Это можно наблюдать в привычной жизни человека. Например, если оставить леденец или мед на несколько месяцев, то можно заметить, что они оба потеряли свою прозрачность. Обычный человек скажет, что они просто засахарились. И правда, если разломать тело, то можно заметить наличие кристаллов сахара.

Итак, говоря об этом, необходимо уточнить, что самопроизвольное превращение в другое состояние связано с тем, что аморфные вещества неустойчивы. Сравнивая их с кристаллами, можно понять, что последние в разы «мощнее». Объяснить факт можно благодаря межмолекулярной теории. Согласно ей, молекулы постоянно перескакивают с одного места на другое, тем самым заполняя пустоты. Со временем образуется устойчивая кристаллическая решетка.

Плавление аморфных тел

Процессом плавления аморфных тел называется момент, когда с поднятием температуры все связи между атомами рушатся. Именно тогда вещество превращается в жидкость. Если условия плавления таковы, что давление одинаково на протяжении всего периода, то температура также должна быть фиксированной.

Жидкие кристаллы

В природе существуют тела, которые имеют жидкокристаллическую структуру. Как правило, они входят в перечень органических веществ, а их молекулы обладают нитевидной формой. Тела, о которых идет речь, обладают свойствами жидкостей и кристаллов, а именно текучестью и анизотропией.

В таких веществах молекулы располагаются параллельно друг другу, однако, между ними нефиксируемое расстояние. Они движутся постоянно, но ориентацию менять несклонны, поэтому постоянно находятся в одном положении.

Аморфные металлы

Аморфные металлы больше известны обычному человеку под названием металлические стекла.

Еще в 1940 году ученые заговорили о существовании данных тел. Уже тогда стало известно, что специально полученные вакуумным напылением металлы, не имели кристаллических решеток. И лишь через 20 лет было произведено первое стекло такого типа. Особого внимания у ученых оно не вызвало; и только спустя еще 10 лет о нем заговорили американские и японские профессионалы, а потом уже корейские и европейские.

Аморфные металлы отличаются вязкостью, достаточно высоким уровнем прочности и стойкостью к коррозии.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИЗИКА 8 КЛАСС

Доклад на тему:

“Аморфные тела. Плавление аморфных тел.”

ученица 8 “б” класса:

2009

Аморфные тела.

Проделаем опыт. Нам понадобятся кусок пластилина, стеариновая свеча и электрокамин. Поставим пластилин и свечу на равных расстояниях от камина. По прошествии некоторого времени часть стеарина расплавится (станет жидкостью), а часть – останется в виде твердого кусочка. Пластилин за то же время лишь немного размягчится. Еще через некоторое время весь стеарин расплавится, а пластилин – постепенно "разъедется" по поверхности стола, все более и более размягчаясь.

Итак, существуют тела, которые при плавлении не размягчаются, а из твердого состояния превращаются сразу в жидкость. Во время плавления таких тел всегда можно отделить жидкость от еще не расплавившейся (твердой) части тела. Эти тела – кристаллические. Существуют также твердые тела, которые при нагревании постепенно размягчаются, становятся все более текучими. Для таких тел невозможно указать температуру, при которой они превращаются в жидкость (плавятся). Эти тела называют аморфными.

Проделаем следующий опыт. В стеклянную воронку бросим кусок смолы или воска и оставим в теплой комнате. По прошествии примерно месяца окажется, что воск принял форму воронки и даже начал вытекать из нее в виде "струи" (Рис.1). В противоположность кристаллам, которые почти вечно сохраняют собственную форму, аморфные тела даже при невысоких температурах обладают текучестью. Поэтому их можно рассматривать как очень густые и вязкие жидкости.

Строение аморфных тел. Исследования при помощи электронного микроскопа, а также при помощи рентгеновских лучей свидетельствуют, что в аморфных телах не наблюдается строгого порядка в расположении их частиц. Взгляните, на рисунке 2 изображено расположение частиц в кристаллическом кварце, а на правом – в аморфном кварце. Эти вещества состоят из одних и тех же частиц – молекул оксида кремния SiO 2 .

Кристаллическое состояние кварца получается, если расплавленный кварц охлаждать медленно. Если же охлаждение расплава будет быстрым, то молекулы не успеют "выстроиться" в стройные ряды, и получится аморфный кварц.

Частицы аморфных тел непрерывно и беспорядочно колеблются. Они чаще, чем частицы кристаллов могут перескакивать с места на место. Этому способствует и то, что частицы аморфных тел расположены неодинаково плотно: между ними имеются пустоты.

Кристаллизация аморфных тел. С течением времени (несколько месяцев, лет) аморфные вещества самопроизвольно переходят в кристаллическое состояние. Например, сахарные леденцы или свежий мед, оставленные в покое в теплом месте, через несколько месяцев становятся непрозрачными. Говорят, что мед и леденцы "засахарились". Разломив леденец или зачерпнув мед ложкой, мы действительно увидим образовавшиеся кристаллики сахара.

Самопроизвольная кристаллизация аморфных тел свидетельствует, что кристаллическое состояние вещества является более устойчивым, чем аморфное. Межмолекулярная теория объясняет это так. Межмолекулярные силы притяжения-отталкивания заставляют частицы аморфного тела перескакивать преимущественно туда, где имеются пустоты. В результате возникает более упорядоченное, чем прежде расположение частиц, то есть образуется поликристалл.

Плавление аморфных тел.

По мере возрастания температуры энергия колебательного движения атомов в твёрдом теле возрастает и, наконец, наступает такой момент, когда связи между атомами начинают разрываться. При этом твердое тело переходит в жидкое состояние. Такой переход называется плавлением. При фиксированном давлении плавление происходит при строго определённой температуре.

Количество тепла, необходимое для превращения единицы массы вещества в жидкость при температуре плавления, называют удельной теплотой плавления λ .

Для плавления вещества массой m необходимо затратить количество теплоты равное:

Q = λ · m .

Процесс плавления аморфных тел отличается от плавления кристаллических тел. При повышении температуры аморфные тела постепенно размягчаются, становятся вязкими, до тех пор, пока не превратятся в жидкость. Аморфные тела в противоположность кристаллам не имеют определенной температуры плавления. Температура аморфных тел при этом изменяется непрерывно. Это происходит потому, что в аморфных твердых телах, как и в жидкостях, молекулы могут перемещаться друг относительно друга. При нагревании их скорость увеличивается, увеличивается расстояние между ними. В результате тело становится все мягче и мягче, пока не превратится в жидкость. При отвердевании аморфных тел их температура также понижается непрерывно.

Наличие определенной точки плавления - это важный признак кристаллических веществ. Именно по этому признаку их можно легко отличить от аморфных тел, которые также относят к твердым телам. К ним, в частности, относятся стекла, очень вязкие смолы, пластмассы.

Аморфные вещества (в отличие от кристаллических) не имеют определенной температуры плавления - они не плавятся, а размягчаются. При нагревании кусок стекла, например, снача­ла становится из твердого мягким, его легко можно гнуть или растягивать; при более высокой температуре кусок начинает менять свою форму под действием собственной тяжести. По мере на­гревания густая вязкая масса принимает форму того сосуда, в котором лежит. Эта масса сначала густая, как мед, затем - как сметана и наконец становится почти такой же маловязкой жидкос­тью, как вода. Однако указать определенную температуру перехода твердого тела в жидкое здесь невозможно, поскольку ее нет.

Причины этого лежат в коренном отличии строения аморфных тел от строения кристалличес­ких. Атомы в аморфных телах расположены беспорядочно. Аморфные тела по своему строению нэ.поминэ.ют экидкости. лс6 в твердом стекле атомы расположены беспорядочно. Значит, повы­шение температуры стекла лишь увеличивает размах колебаний его молекул, дает им постепенно все большую и большую свободу перемещения. Поэтому стекло размягчается постепенно и не обнаруживает резкого перехода «твердое-жидкое», характерного для перехода от расположения молекул в строгом порядке к беспорядочному.

Теплота плавления

Теплота плавления - это количество теплоты, которое необходимо сообщить веществу при постоянном давлении и постоянной температуре, равной температуре плавления, чтобы полно­стью перевести его из твердого кристаллического состояния в жидкое.

Теплота плавления равна тому количеству теплоты, которое выделяется при кристалли­зации вещества из жидкого состояния.

При плавлении вся подводимая к веществу теплота идет на увеличение потенциальной энер­гии его молекул. Кинетическая энергия не меняется, поскольку плавление идет при постоянной температуре.

Изучая на опыте плавление различных веществ одной и той же массы, можно заметить, что для превращения их в жидкость требуется разное количество теплоты. Например, для того чтобы расплавить один килограмм льда, нужно затратить 332 Дж энергии, а для того чтобы расплавить 1 кг свинца - 25 кДж.

Физическая величина, показывающая, какое количество теплоты необходимо сообщить крис­таллическому телу массой 1 кг, чтобы при температуре плавления полностью перевести его в жидкое состояние, называется удельной теплотой плавления.

Удельную теплоту плавления измеряют в джоулях на килограмм (Дж/кг) и обозначают гре­ческой буквой X (лямбда).

Удельная теплота кристаллизации равна удельной теплоте плавления, поскольку при крис­таллизации выделяется такое же количество теплоты, какое поглощается при плавлении. Так, например, при замерзании воды массой 1 кг выделяются те же 332 Дж энергии, которые нужны для превращения такой же массы льда в воду.

Чтобы найти количество теплоты, необходимое для плавления кристаллического тела произ­вольной массы, или теплоту плавления, надо удельную теплоту плавления этого тела умножить на его массу:

Количество теплоты, выделяемое телом, считается отрицательным. Поэтому при расчете ко­личества теплоты, выделяющегося при кристаллизации вещества массой т, следует пользоваться той же формулой, но со знаком «минус».